К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления

К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления

Исследуется одна задача оптимального управления, описываемая дискретно-непрерывной моделью, и в приложениях моделирующих, например, процессы, протекающие в ректификационной колонке. Получены необходимые условия оптимальности, первого и второго порядков (случай квазиособых управлений)....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2015
Автори: Гусейнзаде, Г.А., Мансимов, К.Б.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133861
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления / Г.А. Гусейнзаде, К.Б. Мансимов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 56-68. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133861
record_format dspace
spelling irk-123456789-1338612018-06-09T03:05:05Z К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления Гусейнзаде, Г.А. Мансимов, К.Б. Исследуется одна задача оптимального управления, описываемая дискретно-непрерывной моделью, и в приложениях моделирующих, например, процессы, протекающие в ректификационной колонке. Получены необходимые условия оптимальности, первого и второго порядков (случай квазиособых управлений). In this work the is considered an optimal control problem for continuous-discrete systems. The first and second order necessary optimality conditions are derived. 2015 Article К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления / Г.А. Гусейнзаде, К.Б. Мансимов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 56-68. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133861 517.977.52 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Исследуется одна задача оптимального управления, описываемая дискретно-непрерывной моделью, и в приложениях моделирующих, например, процессы, протекающие в ректификационной колонке. Получены необходимые условия оптимальности, первого и второго порядков (случай квазиособых управлений).
format Article
author Гусейнзаде, Г.А.
Мансимов, К.Б.
spellingShingle Гусейнзаде, Г.А.
Мансимов, К.Б.
К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Гусейнзаде, Г.А.
Мансимов, К.Б.
author_sort Гусейнзаде, Г.А.
title К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления
title_short К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления
title_full К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления
title_fullStr К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления
title_full_unstemmed К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления
title_sort к необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2015
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133861
citation_txt К необходимым условиям оптимальности для одного класса дискретно-непрерывной задачи оптимального управления / Г.А. Гусейнзаде, К.Б. Мансимов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 56-68. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT gusejnzadega kneobhodimymusloviâmoptimalʹnostidlâodnogoklassadiskretnonepreryvnojzadačioptimalʹnogoupravleniâ
AT mansimovkb kneobhodimymusloviâmoptimalʹnostidlâodnogoklassadiskretnonepreryvnojzadačioptimalʹnogoupravleniâ
first_indexed 2025-07-09T19:45:03Z
last_indexed 2025-07-09T19:45:03Z
_version_ 1837199843205840896
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 56 УДК 517.977.52 Г. А. Гусейнзаде*, докторант, К. Б. Мансимов**, д-р физ.-мат. наук, профессор *Институт систем управления НАН Азербайджана, г. Баку, Азербайджан, **Бакинский Государственный Университет, г. Баку, Азербайджан К НЕОБХОДИМЫМ УСЛОВИЯМ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Исследуется одна задача оптимального управления, описы- ваемая дискретно-непрерывной моделью, и в приложениях моде- лирующих, например, процессы, протекающие в ректификацион- ной колонке. Получены необходимые условия оптимальности, первого и второго порядков (случай квазиособых управлений). Ключевые слова: дискретно-непрерывная система, ли- неаризованное условие максимума, необходимое условие оп- тимальности, квазиособое управление. Введение. В теории оптимального управления наблюдается по- стоянный интерес к моделям управления системами с неоднородной структурой. В различных публикациях эти системы фигурируют под разными названиями: системы с переменной структурой, гибридные системы, дискретно-непрерывные системы и др. (см., например, [1– 9]). Дискретно-непрерывные управляемые процессы, т.е. процессы с изменяющейся во времени структурой, вплоть до изменения природы переменных, участвующих в их описании на различных этапах явля- ются удобной математической моделью для описания многих про- цессов и широко распространены в химическом производстве, дина- мике роботов, в процессе развития биологических процессов и др. (см., например, [1–9]). Модели подобного типа возникают, также на- пример, при математическом моделировании ряда индустриальных процессов [4], и в частности, многократно повторяющиеся процессы проката бруска металла с целью получения нужного качества листо- вых металлов также являются таковыми. Ректификационный процесс многокомпонентной смеси в много- тарельчатой коленке также описывается дискретно-непрерывными системами [4–6]. Исходя из теоретических и практических потребно- стей, является очень важным исследования задач оптимального управления, описываемые различными дискретно-непрерывными системами. Ряд аспектов, задач оптимального управления, дискретно непрерывными системами, изучены например, в работах [1–9]. Исхо- © Г. А. Гусейнзаде, К. Б. Мансимов, 2015 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 57 дя из этого, настоящая работа посвящена исследованию одного клас- са дискретно-непрерывной задачи оптимального управления. Ряд линейных дискретно-непрерывных задач оптимального управ- ления с квадратичным критерием качества изучены в работах [4–6]. В [4] в линейном случае исследован, также ряд аспектов задач оптимального управления линейными дискретно-непрерывными сис- темами. Предлагаемая работа посвящена исследованию одной дискрет- но-непрерывной задачи оптимального управления при предположе- нии выпуклости области управления. Доказан аналог линеаризованного условия максимума, а затем исследован случай вырождения этого условия оптимальности. Постановка задачи. Допустим, что управляемый процесс опи- сывается дискретно-непрерывной системой уравнений                0 1 , , 1, , , , , , , , , : 1 ; , dx k t A k t x k t f k t x k t u k t dt k t D k t k N t t t          (1) с краевыми условиями         0 1 0 0, , , , , , 1 . x t g t t t t T x k t h k k N         (2) Здесь k натуральное число,  ,A k t — заданная непрерывная по t при каждом k  n n матричная функция,  , , ,f k t x u — заданная n -мерная вектор-функция непрерывная по  , ,t x u вместе с частны- ми производными по  ,x u при каждом k до второго порядка вклю- чительно, N — заданное натуральное число,  h k — заданная дис- кретная вектор-функция,  g t — заданная непрерывная вектор- функция,    , , ,nx k t R k t D  — вектор состояния процесса, а  ,u k t — r -мерный кусочно-непрерывный (с конечным числом то- чек разрыва первого рода) по t при каждом k вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и выпуклого множества rU R , т.е.  ,u k t U ,  ,k t D . (3) Каждую управляющую функцию  ,u k t с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Математичне та комп’ютерне моделювання 58 В дальнейшем предполагается, что каждому допустимому управле- нию  ,u k t соответствует единственное решение  ,x k t задачи (1)–(2). На решениях краевой задачи, порожденные всевозможными до- пустимыми управлениями, определим терминальный функционал (критерий качества)     1,S u x N t . (4) Здесь  x заданная дважды непрерывна дифференцируемая, ска- лярная функция. Рассмотрим задачу о минимуме функционала (4) при ограниче- ниях (1)–(3). Допустимое управление,  ,u k t доставляющее минимум функцио- налу (4) при ограничениях (1)–(3) назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс     , , ,u k t x k t — оптимальным процессом. Специальное приращение критерия качества. Предположим, что     , , ,u k t x k t заданный допустимый процесс. Через (  ,u k t           , , , , , ,u k t u k t x k t x k t x k t      ) обозначим, произволь- ный допустимый процесс. Тогда ясно, что при заданном  ,u k t  ,x k t будет решением краевой задачи                 , , , , , , , , , , , , 1, , d x k t f k t x k t u k t dt f k t x k t u k t A k t x k t        (5)    0 0, 0, , , 0, 1 , x t t T x k t k N        (6) а приращение критерия качества имеет вид            1 1, ,S u S u S u x N t x N t      . (7) Введем функцию Гамильтона-Понтрягина       , , , , , , , , ,H k t x u k t k t f k t x u   , а также обозначения         , , , , , , , ,x xH k t H k t x k t u k t k t ,         , , , , , , , ,u uH k t H k t x k t u k t k t ,         , , , , , , , ,xx xxH k t H k t x k t u k t k t , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 59         , , , , , , , ,xu xuH k t H k t x k t u k t k t ,         , , , , , , , ,uu uuH k t H k t x k t u k t k t ,       , , , , , ,x xf k t f k t x k t u k t ,       , , , , , ,u uf k t f k t x k t u k t , где ( ) — штрих означает транспонирование, а нижние индексы при    , , , , , , , ,H k t x u f k t x u означают частные производные по соот- ветствующим переменным. Здесь  ,k t n -мерный вектор сопряженных переменных яв- ляющийся решением сопряженной системы             , 1, 1, , , , , , , , , 1 1, x d k t A k t k t H k t x k t u k t k t dt k N           (8)         , , , , , , , , ,x d N t H N t x N t u N t N t dt        1 1, ,xN t x N t   ,  1, 0k t  , 1 1k N   . (9) Умножая обе части равенства (5) слева скалярно на  ,k t , а затем интегрируя по t от 0t до 1t , суммируя по k от 1 до N и учи- тывая вид функции Гамильтона-Понтрягина будем иметь                         1 1 0 0 1 0 1 1 , , , , 1, , , , , , , , , , , , , , , . t tN N k kt t t t d x k t k t dt k t A k t x k t dt dt H k t x k t u k t k t H k t x k t u k t k t dt                     (10) Тогда используя формулу Тейлора, и учитывая формулу (10), при помощи метода приращений (см. напр. [10–12]) формула прира- щения (7) представляется в виде               2 1 1 1 1 12 , ,1 , , , 2 x N t x N t S u x N t x N t x N t x x                        1 0 2 1 1 1 1 1 1 , , , , , tN N k k t d k t x N t k t x k t x k t dt dt                      1 0 1 , , 1, t N kt k t A k t x k t dt      (11) Математичне та комп’ютерне моделювання 60                     1 0 1 0 1 1 , , , , 1 , , , 2 , , , 2 t N x u kt t N xx ux kt H k t x k t H k t u k t dt x k t H k t x k t u k t H k t x k t                               1 0 2 2 2 1 , , , , , , . t N uu kt u k t H k t u k t dt x k t u k t dt         Здесь величины  i  , 1,2i  определяются соответственно из разложений                        1 1 1 1 1 2 21 1 1 1 12 , , , , , ,1 , , , , 2 x N t x N t x N t x N t x N t x x N t x N t x N t x N t x                                                                 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 , , , 2 , , , 2 , , , , , , . x u xx ux uu H k t x k t u k t k t H k t x k t u k t k t H k t x k t H k t u k t x k t H k t x k t u k t H k t x k t u k t H k t u k t x k t u k t                          Далее ясно, что             1 1 0 0 1 1 1 , , 1, 1, 1, , . t tN N k kt t k t A k t x k t dt k t A k t x k t dt              Поэтому формула приращения (11) записывается в виде                       2 1 1 1 1 12 1 1 1 1 , ,1 , , , 2 , , , , N N k k x N t x N t S u x N t x N t x N t x x d k t k t x k t x k t dt dt                               1 0 1 1 1, 1, , t N kt k t A k t x k t dt                1 0 1 , , , , t N x u kt H k t x k t H k t u k t dt          (12) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 61             1 0 1 1 , , , 2 , , , 2 t N xx ux kt x k t H k t x k t u k t H k t x k t                       1 0 2 1 2 2 2 1 , , , , , , , . uu t N kt u k t H k t u k t dt x N t x k t u k t dt             Поскольку  ,k t является решением задачи (8)–(9), то форму- ла приращения (12) функционала качества принимает вид                                        1 1 0 0 1 0 1 1 2 1 1 12 2 2 2 1 1 2 1 1 , , , , , 2 2 , , , , , , , , , , , , , . t tN N u xx k kt t ux uu tN k t S u H k t u k t dt x k t H k t x k t u k t H k t x k t u k t H k t u k t dt x N t x N t x N t x x N t x k t u k t dt                                           (13) Пусть  0,1  произвольное число, а  ,v k t U ,  ,k t D произвольное допустимое управление. По предположению множест- во U выпуклое. Поэтому специальное приращение допустимого управления  ,u k t можно определить по формуле      , , ,u k t v k t u k t       . (14) Через,  ,x k t обозначим, специальное приращение состояния  ,x k t . Соответствующее специальному приращению (14) управле- ния  ,u k t . Используя краевую задачу (5)–(6) доказывается Лемма. Для специального приращения  ,x k t состояния  ,x k t имеет место разложение      , , , ;x k t k t k t      , (15) где  ,k t есть решение задачи Математичне та комп’ютерне моделювання 62                    , , , , 1, , , , , , , x u d k t f k t k t A k t k t f k t v k t u k t dt k t D          (16)    0 0, 0, , , 0, 1 . t t T k t k N        (17) Здесь  , ; 0k t    при 0  , для всех k , равномерно по t . Доказательство. Из краевой задачи (5)–(6) следует, что  , ;x k t  является решением линеаризованной задачи                      3 , ; , , ; , , , , ; , ; , 1, ; , x u d x k t f k t x k t f k t v k t u k t dt x k t u k t A k t x k t                     (18)    0 0, ; 0, , , ; 0, 1 . x t t T x k t k N          Далее из (5)–(6) ясно также, что                     0 0 , ; , , , , ; , , , ; , , , , , , 1, ; . t t t t x k t f k x k x k t u k u k t f k x k u k d A k x k d                            Отсюда используя условию Липшица имеем           0 0 1, ; , ; , ; , 1, ; , t t t t x k t L x k u k d A k x k d                      (19) где 1 0L const  . Из (19) используя лемму Гронуолла-Беллмана, после некоторых преобразований получаем, что  , ; ~x k t   . (20) С учетом (20) из (18) переходя к эквивалентному интегральному уравнению имеем           0 , ; , , ; , 1, ; t x t x k t f k x k A k x k d                Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 63         0 0 3, , , , ; . t t u t t f k v k u k d k d              Отсюда с учетом (15) имеем                      0 0 4 , , ; , , , 1, , , , , ; . t x t t u t k t k t f k k A k k d f k v k u k d k t                                Разделяя обе части последнего соотношения на  и переходя к пределу при 0  получим, что  ,k t является решением сле- дующего линейного интегрального уравнения типа Вольтерра                  0 , , , , 1, , , , . t x u t k t f k k A k k f k v k u k d                Из последнего следует, что  ,k t является решением краевой задачи (16)–(17). Лемма доказана. С учетом соотношений (14), (15), из формулы приращения (13) получаем справедливость разложения                                                1 0 1 0 1 22 1 1 12 1 2 , , , , , , , , , 2 2 , , , , , , , , , . tN u k t tN xx k t ux uu S u u S u H k t v k t u k t dt x N t N t N t k t H k t k t x v k t u k t H k t k t v k t u k t H k t v k t u k t dt                                        (21) Здесь  2 2 0    при 0  . Необходимые условия оптимальности. Из разложения (21) следует Теорема 1. При сделанных предположениях для оптимальности допустимого управления  ,u k t в рассматриваемой задаче необхо- димо, чтобы неравенство        1 0 1 , , , 0 tN u k t H k t v k t u k t dt      (22) Математичне та комп’ютерне моделювання 64 выполнялось для всех  ,v k t U ,  ,k t D . Неравенство (22) есть общее необходимое условие оптимально- сти первого порядка в форме линеаризованного условия максимума. Из него можно получить более легко проверяемые необходимые ус- ловия оптимальности. Приведем некоторые из них. Следствие 1. Для оптимальности допустимого управления  ,u k t необходимо, чтобы неравенство        1 0 , , 0 t u t H k t w t u k t dt   (23) выполнялось для всех кусочно-непрерывных вектор-функций  w t U , t T , 1 k N  . Следствие 2. Если  ,u k t оптимальное управление в задаче (1)– (4), то вдоль процесса     , , ,u k t x k t неравенство        1 , , 0 N u k H k w k u k      (24) выполняется для всех  w k U , 1 k N  , 0 1,t t  . Здесь 0 1,t t  — произвольная точка непрерывности управле- ния  ,u k t по второму аргументу. Линеаризованные необходимые условия оптимальности типа (22)– (24) для других классов задач оптимальности управления выведены, на- пример, в работах 11–18. Исходя из них можно аналогично работам 14–16 и др. предлагать различные градиентного типа алгоритмы. Теперь изучим случай вырождения необходимого условия оп- тимальности (22). Определение 1. Если для всех  ,v k t U ,  ,k t D        1 0 1 , , , 0 tN u k t H k t v k t u k t dt     , (25) то следуя, например [12; 13], допустимое управление  ,u k t назовем квазиособым управлением, а соответствующий случай квазиособым случаем. Ясно, что для квазиособых управлений линеаризованное усло- вие максимума (25) теряет свое содержательное значение. Поэтому Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 65 надо иметь новые необходимые условия оптимальности (условия оптимальности второго порядка), позволяющие хотя бы в принципе выявлять неоптимальность квазиособых управлений. В квазиособом случае из разложения (21) следует общее, но не- явное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Теорема 2. Для оптимальности квазиособого управления  ,u k t в задаче (1)–(4) необходимо, чтобы неравенство                                   1 0 2 1 1 12 1 , , , , , , 2 , , , , , , , , , 0 tN xx k t ux uu x N t N t N t k t H k t k t x v k t u k t H k t k t v k t u k t H k t v k t u k t dt                     (26) выполнялось для всех  ,v k t U ,  ,k t D . Используя это неявное необходимое условие оптимальности, получим конструктивно проверяемые необходимые условия опти- мальности квазиособых управлений Уравнение (16) является линейной неоднородной системой уравнений. Поэтому его решение, удовлетворяющее краевому усло- вию (17) допускает представление [19]            1 0 1 , , ; , , , , tk u s t k t F k t s f s v s u s d        , (27) где  , ; ,F k t s  —  n n матричная функция являющаяся решением системы          , ; , , ; , , , ; 1, 1,xF k t s F k t s f s F k t s A s          , 1 1s k   ,      , , , , ; , ,xF k t k F k t k f k     ,  , ; , 0F k t s t  , 1 1s k   ,  , ; ,F k t k t E , ( E —  n n единичная матрица). Используя представление (27) займемся преобразованием сла- гаемых неравенства (26). Имеем        2 1 1 12 , , , x N t N t N t x       Математичне та комп’ютерне моделювання 66          1 1 0 0 1 1 , , , , ; , t tN u k t t v u f F N t               (28)             2 1 12 , , ; , , , , ,u x N t F N t f v u d d x                                         0 1 0 0 1 1 1 , , , , , , , , ; , , , , . tN ux k t t tN k ux k st t u v k t u k t H k t k t dt v k t u k t H k t F k t s f s v s u s d dt                        (29) Наконец, следуя, например [12; 17–18] получаем                                          1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 max , , , , , ; , , , , , , ; , , , , , , , , ; , , , ; , tN ux k t t tN k u k t t tk xx u t t tN N u t t t xx k k t H k t k t dt F k t f v u H k t F k t f v u v u f F k t H k t F k t dt                                                                                       max , , , , . N uf v u d d                      (30) Введем обозначение                   1 1 1 1 max , max , , , , , ; , , , ; , , ; , , , ; , . xx tN xx k t M F N t x N t F N t F k t H k t F k t dt                          (31) Тогда с учетом тождеств (28)–(29) и обозначения (31) неравен- ство (26) примет вид Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 67                                             1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , 2 , , , , ; , , , , , , , , , 0. t tN N u t t u t tN k ux k st t u tN uu k t v u f M f v u d d v k t u k t H k t F k t s f s v s u s d dt v k t u k t H k t v k t u k t dt                                                         (32) Теорема 3. Для оптимальности квазиособого управления  ,u k t в задаче (1)–(4) необходимо, чтобы неравенство (32) выполнялось для всех  ,v k t U ,  ,k t D . Неравенство (32) есть интегральное необходимое условие опти- мальности квазиособых управлений, и носит довольно общий харак- тер. Выбирая  ,v k t специальным образом из него можно получить более легко проверяемые необходимые условия оптимальности. Выводы. Рассматривается задача оптимального управления для одного класса дискретно-непрерывных систем. Применяя модифици- рованный вариант метода приращений, основанный на явной линеа- ризации рассматриваемой системы, получен ряд необходимых усло- вий оптимальности первого порядка. Далее изучен случай вырожде- ния линеаризованного условия максимума (квазиособый случай). Установлено довольно общее необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. Список использованной литературы: 1. Расина И. В. Дискретно-непрерывные модели и оптимизация управляе- мых процессов / И. В. Расина // Программные системы: Теория и прило- жения. — 2012. — № 5 (9). — С. 45–72. 2. Гурман В. И. Линейно-квадратичные дискретно-непрерывные системы / В. И. Гурман, И. В. Расина, О. В. Батурина // Материалы XII Всероссий- ской совещании по проблемам управления. — М., 2014. — С. 166–172. 3. Расина И. В. Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно- непрерывных процессов / И. В. Расина // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 10. — С. 3–17. 4. Дымков М. П. Экстремальные задачи в многопараметрических системах управления / М. П. Дымков. — Мн. : БГЭУ, 2005. — 363 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 68 5. Constrained optimal control theory for differential linear repetitive processes / M. Dymkov, E. Pogers, S. Dymkov, K. Golkowski // SIAM J. Control Optim. — 2008. — Vol. 47, № 1. — P. 396–420. 6. Optimal control on non-stationary differential linear repetitive processes / S. Dymkov, M. Dymkov, E. Pogers, K. Golkowski // Inteqr. Equation oper. Theory. — 2008. — Vol. 60, № 1. — P. 201–216. 7. Control theory for a class of 2 D continuous-discrete linear systems / M. Dym- kov, I. Gaishun, E. Rogers, K. Golkowski, D. H. Owens // Int. J. Control. — 2004. — Vol. 77, № 9. — P. 847–860. 8. Kaczorek T. Stability of continuous- discrete linear systems described by gen- eral model / T. Kaczorek // Bull Pol. Acad. Sci. Tech. — 2011. — Vol. 59, № 2. — P. 189–183. 9. Xiao Y. Stability, controllability and absorbability of 2 D continuous-discrete linear systems / Y. Xiao // Proc. Int. Symp. on Circuits and Systems. — 2003. — Vol. 4. — P. 468–471. 10. Розоноэр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории опти- мальных систем / Л. И. Розоноэр // Автоматика и телемеханика. — 1959. — № 10-12. 11. Габасов Р. Принцип максимума в теории оптимального управления / Р. Га- басов, Ф. М. Кириллова. — Минск : Изд-во «Наука и техника», 1974. — 272 с. 12. Мансимов К. Б. Особые управления в системах с запаздыванием / К. Б. Мансимов. — Баку : ЭЛМ, 1999. — 164 с. 13. Габасов Р. Особые оптимальные управления / Р. Габасов, Ф. М. Кирилло- ва. — М. : Наука, 1973. — 256 с. 14. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — М. : Наука, 1981. — 400 с. 15. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — М. : Наука, 1988. 16. Демьянов В. Ф. Приближенные методы решения экстремальных задач / В. Ф. Демьянов. — Л. : Изд-во Ленинградского ун-та, 1968. — 180 с. 17. Мансимов К. Б. Качественная теория оптимального управления система- ми Гурса-Дарбу / К. Б. Мансимов, М. Дж. Марданов. — Баку : Изд-во ЭЛМ, 2010. — 363 с. 18. Марданов М. Дж. Исследование особых управлений и необходимые условия оптимальности второго порядка в системах с запаздыванием / М. Дж. Марда- нов, К. Б. Мансимов, Т. К. Меликов. — Баку : ЭЛМ, 2013. — 361 с. 19. Гусейнзаде Г. А. Об интегральном представлении решений одной линейной дискретно-непрерывной системы / Г. А. Гусейнзаде, К. Б. Мансимов // Изв. НАН Азербайджана. Сер. физ.-техн. и мат. наук. — 2013. — № 6. — С. 15–20. In this work the is considered an optimal control problem for continu- ous- discrete systems. The first and second order necessary optimality con- ditions are derived. Key words: discrete-continuous system, the linearized maximum con- dition, necessary, optimality conditions, guasisingular control. Отримано: 29.04.2015 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси