Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій
Досліджується модель про конфліктний перерозподіл ресурсного простору (території) між парою опонентів у випадку нескінченого фрактального подрібнення простору. Доведено існування граничних значень мір Лебега захоплених опонентами територій, дано оцінку цих мір за допомогою функції розподілу стандарт...
Збережено в:
Дата: | 2016 |
---|---|
Автори: | , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Ukrainian |
Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133885 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій / І.В. Веригіна, О.М. Бузинний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 28-44. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-133885 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1338852018-06-09T03:05:29Z Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій Веригіна, І.В. Бузинний, О.М. Досліджується модель про конфліктний перерозподіл ресурсного простору (території) між парою опонентів у випадку нескінченого фрактального подрібнення простору. Доведено існування граничних значень мір Лебега захоплених опонентами територій, дано оцінку цих мір за допомогою функції розподілу стандартного нормального розподілу. Встановлено зв’язок між кроком подрібнення та заданою точністю наближення мір захоплених територій до своїх граничних значень. За допомогою комп’ютерного моделювання одержано графіки, що демонструють поведінку мір захоплених територій із збільшенням кроку подрібнення. The model of conflict redistribution of a resource space (territory) between a pair of opponents is discusseded in the case of infinite fractal division of space. The existence of limit Lebeg’s measure of occupied territories is proved and the estimation of these measures in terms of standard normal distribution function is given. The connection between a step of division and the exactness of approaching of measures for occupied territories to its limit values is obtained. Using computer modeling we get graphs which demonstrate the measure's behavior of the occupied territories under increasing the division step. 2016 Article Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій / І.В. Веригіна, О.М. Бузинний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 28-44. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133885 517.9 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
description |
Досліджується модель про конфліктний перерозподіл ресурсного простору (території) між парою опонентів у випадку нескінченого фрактального подрібнення простору. Доведено існування граничних значень мір Лебега захоплених опонентами територій, дано оцінку цих мір за допомогою функції розподілу стандартного нормального розподілу. Встановлено зв’язок між кроком подрібнення та заданою точністю наближення мір захоплених територій до своїх граничних значень. За допомогою комп’ютерного моделювання одержано графіки, що демонструють поведінку мір захоплених територій із збільшенням кроку подрібнення. |
format |
Article |
author |
Веригіна, І.В. Бузинний, О.М. |
spellingShingle |
Веригіна, І.В. Бузинний, О.М. Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
author_facet |
Веригіна, І.В. Бузинний, О.М. |
author_sort |
Веригіна, І.В. |
title |
Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій |
title_short |
Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій |
title_full |
Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій |
title_fullStr |
Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій |
title_full_unstemmed |
Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій |
title_sort |
конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій |
publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
publishDate |
2016 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133885 |
citation_txt |
Конфліктний перерозподіл ресурсного простору: оцінка швидкості збіжності мір захоплених територій / І.В. Веригіна, О.М. Бузинний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 28-44. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
work_keys_str_mv |
AT verigínaív konflíktnijpererozpodílresursnogoprostoruocínkašvidkostízbížnostímírzahoplenihteritoríj AT buzinnijom konflíktnijpererozpodílresursnogoprostoruocínkašvidkostízbížnostímírzahoplenihteritoríj |
first_indexed |
2025-07-09T19:48:19Z |
last_indexed |
2025-07-09T19:48:19Z |
_version_ |
1837200065706328064 |
fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
28
7. Ясинський В. К. Основи обчислювальних методів / В. К. Ясинський. —
Чернівці : Золоті литаври, 2005. — 396 с.
8. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач /
Ф. П. Васильев. — М. : Наука, 1980. — 518 с.
9. Григорків В. С. Оптимальне керування в економіці / В. С. Григорків. —
Чернівці : ЧНУ, 2011. — 200 с.
A single-component macroeconomic growth model with endogenous tech-
nological progress taking into account consumption and investment delay was
proposed. In the mathematical model it was taken into account the impact on
the final output of consumption, investment in fixed assets expand, improve
production efficiency, taking into account expenses on science, taxation, gov-
ernment spending, balance and eliminate pollution in the investment delay. The
proposed model uses sufficient conditions for optimality late to study.
Key words: endogenous technological progress, investment delay, op-
timal control, optimal process, edge process, the main process, the time
switch control.
Отримано: 20.04.2016
УДК 517.9
І. В. Веригіна,
О. М. Бузинний
Національний технічний університет України «КПІ», м. Київ
КОНФЛІКТНИЙ ПЕРЕРОЗПОДІЛ РЕСУРСНОГО
ПРОСТОРУ: ОЦІНКА ШВИДКОСТІ ЗБІЖНОСТІ МІР
ЗАХОПЛЕНИХ ТЕРИТОРІЙ
Досліджується модель про конфліктний перерозподіл ресурс-
ного простору (території) між парою опонентів у випадку нескін-
ченого фрактального подрібнення простору. Доведено існування
граничних значень мір Лебега захоплених опонентами територій,
дано оцінку цих мір за допомогою функції розподілу стандартно-
го нормального розподілу. Встановлено зв’язок між кроком под-
рібнення та заданою точністю наближення мір захоплених тери-
торій до своїх граничних значень. За допомогою комп’ютерного
моделювання одержано графіки, що демонструють поведінку мір
захоплених територій із збільшенням кроку подрібнення.
Ключові слова: динамічна система конфлікту, конфлікт-
ний перерозподіл ресурсного простору, стратегії опонентів,
самоподібні міри.
Вступ. Теорія динамічних систем конфлікту (ДСК), розвинута у [1–
3], застосовується до задачі про перерозподіл ресурсного простору. У [4]
розв’язання цієї задачі запропоновано для випадку, коли початковий
поділ ресурсного простору відбувається на два регіони, тобто при 2n ,
© І. В. Веригіна, О. М. Бузинний, 2016
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13
29
де доводиться, що при нескінченому збільшенні кроку подрібнення іс-
нують граничні значення мір територій, захоплених опонентами. У [5]
цю задачу було розв’язано у більш загальному випадку для 2n . У
даній роботі, як і у попередніх, пропонується ймовірнісний підхід до
доведення цього факту. Новим є те, що міри захоплених територій на-
ближаються значеннями функції розподілу стандартної нормально роз-
поділеної величини. Застосування нерівності Беррі-Ессеєна (див. [9])
дозволило оцінити точність такого наближення.
Виконано комп’ютерне моделювання цієї задачі, що, з одного
боку, дає можливість наочно продемонструвати та підтвердити тео-
ретичні висновки, виконати обчислення та дати оцінку того, як шви-
дко наближаються міри захоплених територій до своїх граничних
значень. З іншого боку, саме попередні теоретичні міркування дозво-
лили зробити комп’ютерну модель більш ефективною.
Постановка задачі. Розглянемо модель системи з двох проти-
діючих сторін, назвемо їх опонентами А та В, які взаємодіють (конф-
ліктують) по певному правилу на спільному ресурсному просторі
[0,1] . Нехай простір конфлікту є подрібненим на регіони ітера-
ційним способом, який застосовується у фрактальній геометрії (див.,
наприклад, [1, 6]):
1
1
...
,..., 1
k
k
n
i i
i i
, 1, 2,...k ( k — крок подрібнен-
ня). На кроці подрібнення 1k простір поділений на n регіонів, міри
Лебега яких 1 2, ,..., nq q q , де 0iq ,
1
1
n
ii
q
. При подальшому
подрібненні міра Лебега регіону
1... ki i визначається за формулою
1 2
1... 1 2( ) ... n
k
m m m
i i nq q q , 1
0,1,..., ,
n
i ii
m k m k
, де im позначає
кількість індексів в
1... ki i рівних i .
Розподіл присутності опонентів А та В на задається кусково-
рівномірними ймовірнісними мірами та відповідно:
1 1... ...( )
k ki i i ip ,
1 1... ...( )
k ki i i ir ,
1 1
1 1
... ...
,..., 1 ,..., 1
1
k k
n n
n n
i i i i
i i i i
p r
.
Стратегія кожного з опонентів А та В фіксується числами
1 2, ,..., n та 1 2, ,..., n , де
1 1
1
n n
i ii i
, 0 1i ,
0 1i для всіх 1,...,i n , і тоді на k -тому кроці подрібнення роз-
поділ присутності опонентів визначається за формулами:
1 2
1... 1 2 ... n
k
m m m
i i np , 1 2
1... 1 2 ... n
k
m m m
i i nr . (1)
Припускаємо, що стратегії опонентів не є тотожно рівними, тобто
існують такі індекси i , що i i , тому, взагалі,
1 1... ...k ki i i ip r .
Математичне та комп’ютерне моделювання
30
Згідно теорії динамічних систем конфлікту (див. [1–3]), якщо
1 1... ...k ki i i ip r , то еволюція моделі відбувається таким чином, що міра
присутності опонента А у регіоні
1... ki i наближається до деякого не-
нульового значення, а міра присутності опонента В у цьому ж регіоні
стає нульовою. Вважаємо, що в цьому регіоні «перемагає» опонент А
і він «захоплює» цю територію. Позначимо такий регіон
1... k
А
i i . І на-
впаки, якщо
1 1... ...k ki i i ip r , то в цьому регіоні «перемагає» опонент В.
Позначимо такий регіон
1... k
В
i i . У випадку
1 1... ...k ki i i ip r обидва опоне-
нта у результаті конфліктної взаємодії з часом втрачають свій вплив у
регіоні
1... ki i , тоді цей регіон не буде належати жодному з опонентів.
Позначимо такий регіон
1... k
А В
i i
. На кроці подрібнення k зберемо всі
регіони, «захоплені» А або В, та ті, де вони обидва втрачають свій
вплив. Міри цих територій позначимо:
1... k
A А
k i iT ,
1... k
B B
k i iT ,
1... k
A В А В
k i iT .
Поставимо питання: як змінюються розміри захоплених територій,
якщо k необмежено зростає? Покажемо, що існують граничні значення:
limA A
k
k
T T
, limB B
k
k
T T
limA B A B
k
k
T T
, з’ясуємо, як швидко на-
ближаються А
kT , B
kT та А B
kT до них, та які параметри на це впливають.
Про міру Лебега захопленої території як імовірність. Умова
1 1... ...k ki i i ip r , що забезпечує перемогу опонента А у регіоні
1... ki i ,
рівносильна такій умові
1 2 1 2
1 2 1 2... ...n nm m m mm m
n n .
Прологарифмуємо та поділимо на k :
1 1 2 2
1 2
ln ln ... ln 0n n
n
mm m
k k k
. (2)
Подивимось на нумерацію регіону
1... ki i як на випадкову послідов-
ність індексів 1,..., ki i . На кожному місці s можна очікувати появу
одного з індексів 1,...,i n з відповідними ймовірностями iq :
s iP i i q , тоді i
i
m
k
є частотою появи індексу i у послідов-
ності 1,..., ki i . Позначимо:
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13
31
1
ln
n
i i
k
ii
m
k
.
Величина k є випадковою. Виконання умови (2) означає, що від-
бувається подія 0k , що також означає, що регіон належить опоне-
нту А. Таким чином, міри Лебега територій, захоплених опонентами А
та В на кроці подрібнення k , A
kT та B
kT , відповідно, та території, де
опоненти рівносильні, A B
kT , допускають імовірнісну інтерпретацію.
Тут і в подальшому, позначаємо P C — імовірність події C .
Твердження 1 (Про міру Лебега захопленої території як імо-
вірність). 0A
k kT P , 0B
k kT P , 0A B
k kT P .
(Детальне доведення цього твердження див. [5]).
Зробимо кілька зауважень щодо введеної величини k .
Випадкова величина k є лінійною комбінацією незалежних ви-
падкових біноміальних величин im . Відомо (див., наприклад [7]), що
математичне сподівання таких величин i iM m kq . Математичне
сподівання випадкової величини k :
1
: q ln
n
i
k i
ii
M
. (3)
Біноміально розподілені величини , 1,im i n , можна подати у
вигляді суми бернуллієвих величин (див. [7–8]), а саме:
( ) ( ) ( )
1
1
...
k
i i i
i jk
j
m
,
де ( )i
j — випадкові величини, що є індикаторами появи індексу
, 1,i i n , на місці , 1,j j k , у послідовності індексів 1{ ,..., }ki i :
( ) 1i
j j iP P i i q , ( ) 0 1i
j j iP P i i q .
Як відомо, математичне сподівання ( )i
j iM q , дисперсія
( ) (1 )i
j i iD q q . Подамо різницю k через ( )i
j :
( )
1 1 1
( )
1 1
1 1
ln ln
1
ln .
n n k
ii i
k i i j i
i ii i j
k n
i i
j i
ij i
m kq q
k k
q
k
(4)
Математичне та комп’ютерне моделювання
32
Позначимо
( )
1
ln
n
i i
j j i
ii
X q
. (5)
Тоді (4) перепишеться:
1
1
... 1 k
k
k j
j
X X
X
k k
. (6)
Зазначимо, що величини , 1,jX j k є однаково розподілені, матема-
тичне сподівання 0jM X , дисперсія
2 2
1
(1 ) ln
n
i
j j i i
ii
D X M X q q
.
Введемо позначення:
2 2
1
(1 ) ln
n
i
i i
ii
S q q
. (7)
Тоді 2 2
jM X S .
Третій абсолютний момент цих величин є скінченним:
3 3
jM X nQl , (8)
де max , 1 , max ln i
i i
i i i
Q q q l
.
Зауважимо, що величини , ,S , які задаються формулами (3),
(7), (8) не залежать від кроку подрібнення k , а фіксуються заданим
початковим розподілом на регіони та обраними стратегіями опо-
нентів А та В.
Наближення A
kT значеннями функції розподілу стандартної
нормально розподіленої величини. При великих k біноміальні ве-
личини im поводять себе як нормально розподілені. Випадкова вели-
чина k як лінійна комбінація im при великих k також буде поводи-
ти себе як нормально розподілена. Тоді значення А
kT можна оцінити
відповідними значеннями функції розподілу стандартної нормально
розподіленої випадкової величини 0,1( ) 0.5 ( ),F x x де
2 /2
0
1
( )
2
x tx e dt
— табульована функція Лапласа. Нагадаємо
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13
33
основні властивості функції ( )x : (0) 0 , ( ) ( )x x ,
( ) 0.5 , ( ) 0.5 .
Наступна теорема показує, як оцінити А
kT значеннями 0,1( )F x та
точність такої оцінки.
Теорема 1. Існує деяка константа W така, що для всіх k
0.5A
k
k W
T
S k
. (9)
Доведення. Згідно з твердженням 1:
( )
0 .A k
k k
k k
T P P
S S
(10)
Величина
( )k k
S
є центрованою, її дисперсія дорівнює 1.
Нехай випадкові величини , 1,...,jX j k , задано рівностями (5).
Нехай ( )kF x — функція розподілу випадкової величини
1
k
j
j
X
X
S k
. Ці величини задовольняють умовам застосування нері-
вності Беррі-Ессеєна (див. [10, с. 608–609]). Тоді для всіх k та x :
0,1 3
3
( ) ( )k
W
F x F x
S k k
. (11)
Враховуючи (8):
3
3
3 nQl
W
S
. Функція розподілу випад-
кової величини
1
k
j
j
X
X
S k
: 1 ...
( ) k
k
X X
F x P X x P x
S k
.
Враховуючи (6) перепишемо:
( ) ( )
( ) k k
k
k k
F x P x P x
SS k
.
Підставимо
k
x
S
:
( ) ( )
1k k
k
k kk k k
F P P
S S S S S
.
Математичне та комп’ютерне моделювання
34
Згідно з (10):
1 A
k k
k
F T
S
.
Підставляючи у нерівність (11) маємо:
0,11 A
k
k W
T F
S k
.
Звідки і отримаємо твердження теореми, нерівність (9).
Отже A
kT можна наближати значеннями функції розподілу стан-
дартної нормальної величини
0,11 0.5 .A
k
k k
T F
S S
(12)
Похибка такого наближення не перевищує величини W
k
, тобто з
ростом k зменшується. Нерівність (9) також дозволяє знайти грани-
чне значення A
kT при k .
Про граничні значення мір Лебега захоплених територій.
Теорема 2. Якщо 0 , то lim 1A A
k
k
T T
, lim 0В В
k
k
T T
.
Якщо 0 , то lim 0A A
k
k
T T
, lim 1В В
k
k
T T
.
Якщо 0 , то lim lim 1 2A A В В
k k
k k
T T T T
.
lim 0А В А В
k
k
T T
.
Доведення. Перепишемо (9):
0.5 0.5A
k
W W
k T k
S Sk k
. (13)
Якщо k , тоді 0
W
k
.
При 0 0.5k
S
, отже існує границя
lim 1A A
k
k
T T
.
При 0 0.5k
S
, отже існує границя
lim 0A A
k
k
T T
.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13
35
При 0 0 0k
S
, отже існує границя
1
lim
2
A A
k
k
T T
.
Якщо розподіли опонентів А та В поміняти місцями, то поміняє
знак величина . Отже можна сформулювати аналогічні твердження
щодо граничних значень міри території, що контролюється В. При
0 існує границя lim 0В В
k
k
T T
. При 0 існує границя
lim 1В В
k
k
T T
.
Якщо 0 з нерівності (13) випливає існування границі
1
lim
2
В В
k
k
T T
.
Оскільки для кожного k виконується 1A B A B
k k kT T T , то,
враховуючи попередні міркування, стверджуємо, що для всіх значень
існує границя lim 0A В A В
k
k
T T
.
Теорему доведено.
Зауважимо, що у [5] отримано трохи інше доведення цієї ж теореми.
Швидкість наближення мір Лебега захоплених територій до
своїх граничних значень. Поставимо задачу: для довільного 0
знайти таке ( )k , щоб для всіх ( )k k справджувалось
A A
kT T , В В
kT T , A В A В
kT T .
Твердження 2. У випадку 0 , якщо ( )k таке, що
( ) 0.5
( )
W
k
S k
, то для всіх ( )k k справджується
A A
kT T , В В
kT T , A В A В
kT T .
Доведення. Нехай 0 . Оскільки вираз 0.5
W
k
S k
при k монотонно зростає, прямуючи до 1, то для довільного
0 знайдеться таке ( )k , що для всіх ( )k k
0.5 ( ) 1
( )
W
k
S k
або
Математичне та комп’ютерне моделювання
36
( ) 0.5
( )
W
k
S k
. (14)
Тоді, враховуючи ліву частину нерівності (13), вірно 1A
kT .
У випадку, коли 0 права частина нерівності (13) прямує до 0.
Знайдемо таке ( )k , щоб права частина нерівності (13) була менше
за :
0.5 ( )
( )
W
k
S k
,
або
( ) 0.5
( )
W
k
S k
,
або
( ) 0.5
( )
W
k
S k
, (15)
тоді для всіх ( )k k вірно A
kT .
Порівняємо нерівності (14) для випадку 0 та (15) для випад-
ку 0 . Враховуючи симетричність ситуації з В
kT , стверджуємо,
що: для довільного 0 , якщо знайдено таке ( )k , щоб виконува-
лась нерівність (15), тоді для всіх ( )k k буде виконуватись
A A
kT T , В В
kT T .
У випадку 0 нерівність (13) перепишеться:
0.5 0.5A
k
W W
T
k k
. Тому при
W
k
виконується
0.5A
kT , 0.5B
kT .
Комп’ютерне моделювання задачі. Нехай подрібнення простору
проведено при 2n :
1
1
2
...
,..., 1
k
k
i i
i i
, 1, 2,...k Стратегії опонен-
тів А та В задаються числами 1 2, 1 , 1 2, 1 , так,
що 0 1 , 0 1 , . Тоді згідно з формулою (2):
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13
37
1 2
1
q ln q ln
1
. Для цього випадку було створено дві
комп’ютерні моделі: модель 1 (явна) та модель 2 (стохастична ).
У явній моделі для кожного фіксованого k (послідовно від
1k до 24k ) було виконано описане вище подрібнення відрізка
[0,1] . Для кожного регіону
1... ki i було знайдено значення мір
присутності опонентів згідно з формулами (1). З’ясовано, ким з опо-
нентів «контролюється» цей регіон, та безпосередньо пораховано
1... k
А А
k i iT ,
1... k
B B
k i iT та
1... k
А B А B
k i iT .
Стохастичну модель створено, базуючись на Твердженні 1. Для
фіксованого значення k моделюється випадкова послідовність індек-
сів довжиною k : 1,..., ki i . На кожному місці s поява індексу 1 або 2
відбувається з ймовірностями 1q та 2q , відповідно, 1 2 1q q . Ве-
деться підрахунок m -числа появи індексу 1i та значення величини
1
ln ln
1k
m k m
k k
. При достатньо великій кількості повторів
(до 610N ) можна знайти статистичну ймовірність того, що вели-
чина k більше або менше, або дорівнює 0: 0 А
k kP T ,
0 B
k kP T , 0 A B
k kP T .
Аналогічно працюють ці моделі і для 2n .
За допомогою комп’ютерного моделювання отримано наступні
результати.
1. Проілюстровано графічно поведінку А
kT , B
kT та А B
kT при збільшенні
k . Модель підтверджує результат, сформульований у теоремі 1.
2. Виконано порівняння А
kT із відповідними значеннями функції
розподілу стандартної нормально розподіленої випадкової вели-
чини. Згідно з (12): 0.5 .A
k
k
T
S
Тут , S задаються фо-
рмулами (3), (7).
3. Оцінено швидкість наближення А
kT , B
kT та А B
kT до своїх гранич-
них значень. А саме: для заданого 0 знайдено такий крок под-
рібнення ( )k , що для всіх ( )k k виконується A A
kT T ,
В В
kT T , A В A В
kT T .
Математичне та комп’ютерне моделювання
38
Розрахунки зроблено для декількох прикладів.
Приклад 1. 2n , 1 2 0.5,q q 1 0.6, 2 0.4, 1 0.3,
2 0.7 . У цьому випадку значення параметрів 0.0668,
0.4454S , 0.15
S
.
У наступній таблиці наведено результати роботи двох описаних
моделей. Стохастична модель повторювалась тричі. Зауважимо, що
для цього прикладу для всіх k 0A B
kT .
Таблиця 1
Порівняння значень мір захоплених територій A
kT та B
kT
у явній та стохастичній моделях для Прикладу 1
k
Явна
Модель 1
Стохастична
Модель 2
610N
Стохастична
Модель 2
610N
(повтор)
Стохастична
Модель 2
610N
(повтор)
12
0.6128
0.3862
A
k
B
k
T
T
0.6119
0.3881
A
k
B
k
T
T
0.6120
0.3880
A
k
B
k
T
T
0.6129
0.3871
A
k
B
k
T
T
16
0.5984
0.4016
A
k
B
k
T
T
0.6010
0.3990
A
k
B
k
T
T
0.5983
0.4017
A
k
B
k
T
T
0.5982
0.4018
A
k
B
k
T
T
20
0.7483
0.2517
A
k
B
k
T
T
0.7460
0.2540
A
k
B
k
T
T
0.7477
0.2523
A
k
B
k
T
T
0.7486
0.2514
A
k
B
k
T
T
24
0.7294
0.2706
A
k
B
k
T
T
0.7292
0.2708
A
k
B
k
T
T
0.7298
0.2702
A
k
B
k
T
T
0.7298
0.2702
A
k
B
k
T
T
100 _____
0.8647
0.1453
A
k
B
k
T
T
0.8644
0.1356
A
k
B
k
T
T
0.8445
0.1555
A
k
B
k
T
T
400 _____
0.9837
0.0163
A
k
B
k
T
T
0.9843
0.0157
A
k
B
k
T
T
0.9844
0.0156
A
k
B
k
T
T
Результати обчислень проілюстровано графіком. На графіку
верхня зігзагоподібна лінія відповідає А
kT , нижня B
kT , також зобра-
жено відповідну поведінку функції розподілу стандартної нормально
розподіленої величини 0,1( )F x .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13
39
Рис. 1. Приклад 1. Графіки поведінки ,A B
k kT T в залежності від k
Приклад 2. 4n , 1 2 3 40.1, 0.2, 0.3, 0.4q q q q , 1 0.1,
2 3 40.2, 0.3, 0.4 , 1 2 3 40.3, 0.2 .
У цьому випадку 0.2079, 0.5336S , 0.39
S
.
У наступній таблиці наведено результати роботи двох моделей.
Стохастична модель повторювалась двічі.
Таблиця 2
Порівняння значень мір захоплених територій A
kT , B
kT та A B
kT у
явній та стохастичній моделях для Прикладу 2
k
Явна
Модель 1
Стохастична
Модель 2
610N
Стохастична
Модель 2
610N
(повтор)
8
0.8264
0.1582
A
k
B
k
T
T
0.0154A B
kT
0.8258
0.1586
A
k
B
k
T
T
0.0156A B
kT
0.8265
0.1582
A
k
B
k
T
T
0.0153A B
kT
10
0.8561
0.1339
A
k
B
k
T
T
0.0100A B
kT
0.8560
0.1341
A
k
B
k
T
T
0.0099A B
kT
0.8566
0.1335
A
k
B
k
T
T
0.0099A B
kT
Математичне та комп’ютерне моделювання
40
Продовження таблиці 2
12
0.8794
0.1147
A
k
B
k
T
T
0.0059A B
kT
0.8791
0.1150
A
k
B
k
T
T
0.0059A B
kT
0.8793
0.1147
A
k
B
k
T
T
0.0060A B
kT
24 ______
0.9508
0.0484
A
k
B
k
T
T
0.0008A B
kT
0.9510
0.0482
A
k
B
k
T
T
0.0008A B
kT
48 _____
0.9898
0.0102
A
k
B
k
T
T
0A B
kT
0.9897
0.0103
A
k
B
k
T
T
0A B
kT
100 _____
0.9996
0.0004
A
k
B
k
T
T
0A B
kT
0.9996
0.0004
A
k
B
k
T
T
0A B
kT
Результати проілюстровано графіком. На графіку крапками зо-
бражено значення А
kT , B
kT , A B
kT , також суцільною лінією показано
значення функції розподілу стандартної нормально розподіленої ве-
личини 0,1( )F x .
Рис. 2. Приклад 2. Графіки поведінки , ,A B A B
k k kT T T в залежності від k
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13
41
Порівняння роботи двох моделей явної та стохастичної дає змогу
зробити висновки, що результати стохастичної моделі мають достатню
точність ( два — три знаки після коми можна вважати достовірними).
Явна модель хоча і є точною, але застосування цієї моделі потребує ко-
лосального об’єму оперативної пам’яті. Точність стохастичної моделі
можна покращити, збільшивши кількість повторів N. Крім того, робота
цієї моделі дозволила провести обчислення для великих значень k , до
400k та вище, це впливає тільки на час роботи програми. У наступ-
них прикладах при дослідженні поведінки системи застосовуємо тільки
стохастичний підхід. Наступні два приклади проілюструємо графіками.
Приклад 3. 4n , 1 2 3 4 0.25q q q q , 1 2 0.2,
3 4 0.3 , 1 2 3 40.1, 0.15, 0.2, 0.55 .
У цьому випадку 0.1950, 0.4531S , 0.43
S
.
На графіку крапками зображено значення А
kT , B
kT , також су-
цільною лінією показано значення функції розподілу стандартної
нормально розподіленої величини 0,1( )F x . 0A B
kT .
Рис. 3. Приклад 3. Графіки поведінки ,A B
k kT T в залежності від k
Приклад 4. 4n , 1 2 3 40.1, 0.4, 0.4, 0.1q q q q , 1 0.1,
2 30.2, 0.3, 4 0.4 , 1 2 3 40.4, 0.3, 0.2, 0.1 .
У цьому випадку 0, 0.6518S .
Математичне та комп’ютерне моделювання
42
На графіку зігзагоподібна лінія показує поведінку А
kT , що на-
ближається до
1
2
( B
kT також наближається до
1
2
, на графіку не пока-
зано). A B
kT прямує до нульового значення.
Рис. 4. Приклад 4. Графіки поведінки ,A A B
k kT T в залежності від k .
Оцінка швидкості наближення мір територій до своїх гранич-
них значень. За допомогою комп’ютерного моделювання для довільно-
го 0 знайдено таке ( )k , щоб для всіх ( )k k справджувалось
A A
kT T , В В
kT T , A В A В
kT T .
Результати знаходження кроку подрібнення ( )k за заданим
наведено у таблиці 3 для прикладів 1–4.
Таблиця 3
Оцінка швидкості наближення
мір територій до своїх граничних значень
№ Приклади
Параметри
, S, S
( )k
1
1 2
1 2
1 2
2,
0.5,
0.6, 0.4
0.3, 0.7
n
q q
0.0668
S 0.4454
0.15S
0.1 159
0.05 253
0.01 497
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13
43
Продовження таблиці 3
2
4n ,
1 2 3 40.1, 0.2, 0.3, 0.4q q q q
1 2 3 40.1, 0.2, 0.3, 0.4
1 2 3 40.3, 0.2
0.2079
S 0.5336
0.39S
0.1 14
0.05 23
0.01 48
3
4n ,
1 2 3 4 0.25q q q q
1 2 3 40.2, 0.3
1 2 3 40.1, 0.15, 0.2, 0.55
0.1950
S 0.4531
0.43S
0.1 12
0.05 20
0.01 38
4
4n ,
1 2 3 40.1, 0.4, 0.4, 0.1q q q q
1 2 3 40.1, 0.2, 0.3, 0.4
1 2 3 40.4, 0.3, 0.2, 0.1
0
S 0.6518
0.43S
0.1 2
0.05 6
0.01 38
Значення параметрів , S , які однозначно визначаються почат-
ковими стратегіями та розподілом на регіони, впливають на шви-
дкість наближення А
kT , B
kT та А B
kT до своїх граничних значень. Ця
швидкість тим більша, чим більшим є відношення S .
Висновки. Досліджено модель про конфліктний перерозподіл
ресурсного простору (території) між парою опонентів у випадку не-
скінченого фрактального подрібнення простору. На кожному кроці
подрібнення розглянуто міри Лебега территорій, що контролюються
кожним з опонентів, та для них запропоновано ймовірнісну інтерпре-
тацію, а саме: ці міри виражено через функцію розподілу деякої ви-
падкової величини, що є лінійною комбінацією біноміально розподі-
лених величин. Отримано наближення цих мір значеннями функції
розподілу стандартної нормально розподіленої величини. Оцінено
точність такого наближення. Показано, наприклад, що модуль різниці
між мірою захопленої опонентом території та відповідними значен-
нями функції стандартного нормального розподілу із збільшенням
кроку подрібнення зменшується пропорційно оберненій величині
корня квадратного з кроку подрібнення. Доведено існування гранич-
них значень мір захоплених опонентами територій при нескінченому
збільшенні кроку подрібнення. Показано, що існує тільки три мож-
ливі граничні значення цих мір: 1, 0 або
1
2
. За допомогою
комп’ютерного моделювання для декількох прикладів виконано об-
числення значень захоплених територій та одержано графіки, що де-
Математичне та комп’ютерне моделювання
44
монструють поведінку мір захоплених територій із збільшенням кро-
ку подрібнення. Результати комп’ютерного моделювання підтвер-
джують сформульовані раніше теоретичні висновки. Також
комп’ютерна модель дозволяє встановити зв’язок між кроком подрі-
бнення та заданою точністю наближення мір захоплених територій до
своїх граничних значень. Показано, що швидкість наближення цих
мір до своїх граничних значень залежить тільки від певних парамет-
рів, що визначаються початковими стратегіями опонентів.
Список використаних джерел:
1. Koshmanenko V. The infinite direct products of probability measures and
structural similarity / V. Koshmanenko // Meth. Funct. Anal. and Top. —
2011. — Vol. 17, № 1. — P. 20–28
2. Кошманенко В. Д. Спектральна теорія динамічних систем конфлікту /
В. Д. Кошманенко. — К. : Наук. думка, 2016. — 287 с.
3. Koshmanenko V. Dynamical systems of conflict in terms of structural meas-
ures / V. Koshmanenko, I. Verygina // Meth. Funct. Anal. and Topology. —
2016. — Vol. 22. — № 1.
4. Веригіна І. В. Порівняння стратегій пари опонентів у задачі «захоплення»
території / І. В. Веригіна. — К. : Доповіді НАН України, 2016 (у редакції)
5. Кошманенко В. Д. Задача про оптимальну стратегію в моделях конфлікт-
ного перерозподілу ресурсного простору / В. Д. Кошманенко, І. В. Вери-
гіна // Укр. мат. журн. — К. (у редакції)
6. Працьовитий М. В. Фрактальний підхід в дослідженнях сингулярних роз-
поділі / М. В. Працьовитий. — К. : Нац. пед. ун-т, 1998. — 292 с.
7. Смирнов Н. В. Курс теории вероятностей и математической статистики /
Н. В. Смирнов, И. В. Барковский. — М. : Наука, 1965. — 511 с.
8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : в 2-х т. /
В. Феллер. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 527 с.
9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : в 2-х т. /
В. Феллер. — М. : Мир, 1984. — Т. 2. — 752 с.
The model of conflict redistribution of a resource space (territory) be-
tween a pair of opponents is discusseded in the case of infinite fractal divi-
sion of space. The existence of limit Lebeg’s measure of occupied territo-
ries is proved and the estimation of these measures in terms of standard
normal distribution function is given. The connection between a step of di-
vision and the exactness of approaching of measures for occupied territo-
ries to its limit values is obtained. Using computer modeling we get graphs
which demonstrate the measure's behavior of the occupied territories under
increasing the division step.
Key words: dynamical conflict systems, conflict redistribution of а re-
source space, strategies of opponents, self-similar measures.
Отримано: 16.03.2016
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c00200064006500740061006c006a006500720065007400200073006b00e60072006d007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500640073006b007200690076006e0069006e006700200061006600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020007000690065006d01130072006f00740069002000640072006f016100610069002000620069007a006e00650073006100200064006f006b0075006d0065006e007400750020006100700073006b006100740065006900200075006e0020006400720075006b010101610061006e00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|