Магнітореологія розведених суспензій у крові

У рамках структурно-феноменологічного підходу отримані реологічні рівняння стану розведеної суспензії у крові недеформівних осесиметричних магніточутливих частинок. Як реологічна модель несучої рідини та гідродинамічна модель зважених частинок використовуються рідина В. К. Стокса з моментними напруж...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Мельник, О.О., Лісовська, В.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133894
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Магнітореологія розведених суспензій у крові / О.О. Мельник, В.П. Лісовська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 115-124. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133894
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1338942018-06-09T03:05:18Z Магнітореологія розведених суспензій у крові Мельник, О.О. Лісовська, В.П. У рамках структурно-феноменологічного підходу отримані реологічні рівняння стану розведеної суспензії у крові недеформівних осесиметричних магніточутливих частинок. Як реологічна модель несучої рідини та гідродинамічна модель зважених частинок використовуються рідина В. К. Стокса з моментними напруженнями та тривісна гантель, відповідно. На основі отриманих результатів досліджено вплив зовнішнього магнітного поля на реологічну поведінку суспензії, що розглядається. The rheological equation for a dilute suspension of rigid axisymmetric elongated particles possessing a permanent magnetic moment with blood as a carrier fluid are derived within the frames of a structure-phenomenological approach. The V. K. Stokes fluid with couple stresses and the uniaxial dumbbell are used as the rheological and hedrodynamic models of blood and suspended particles, respectively. The influence of an external magnetic field on a rheological behaviour of the suspension under study is examined. 2016 Article Магнітореологія розведених суспензій у крові / О.О. Мельник, В.П. Лісовська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 115-124. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133894 532.135:[532.584+591.111.4] uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У рамках структурно-феноменологічного підходу отримані реологічні рівняння стану розведеної суспензії у крові недеформівних осесиметричних магніточутливих частинок. Як реологічна модель несучої рідини та гідродинамічна модель зважених частинок використовуються рідина В. К. Стокса з моментними напруженнями та тривісна гантель, відповідно. На основі отриманих результатів досліджено вплив зовнішнього магнітного поля на реологічну поведінку суспензії, що розглядається.
format	Article
author	Мельник, О.О. Лісовська, В.П.
spellingShingle	Мельник, О.О. Лісовська, В.П. Магнітореологія розведених суспензій у крові Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Мельник, О.О. Лісовська, В.П.
author_sort	Мельник, О.О.
title	Магнітореологія розведених суспензій у крові
title_short	Магнітореологія розведених суспензій у крові
title_full	Магнітореологія розведених суспензій у крові
title_fullStr	Магнітореологія розведених суспензій у крові
title_full_unstemmed	Магнітореологія розведених суспензій у крові
title_sort	магнітореологія розведених суспензій у крові
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133894
citation_txt	Магнітореологія розведених суспензій у крові / О.О. Мельник, В.П. Лісовська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 115-124. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT melʹnikoo magnítoreologíârozvedenihsuspenzíjukroví AT lísovsʹkavp magnítoreologíârozvedenihsuspenzíjukroví
first_indexed	2025-07-09T19:49:28Z
last_indexed	2025-07-09T19:49:28Z
_version_	1837200127007129600
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 115 УДК 532.135:[532.584+591.111.4] О. О. Мельник, канд. фіз.-мат. наук, В. П. Лісовська, канд. фіз.-мат. наук Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана, м. Київ МАГНІТОРЕОЛОГІЯ РОЗВЕДЕНИХ СУСПЕНЗІЙ У КРОВІ У рамках структурно-феноменологічного підходу отримані реологічні рівняння стану розведеної суспензії у крові недеформі- вних осесиметричних магніточутливих частинок. Як реологічна модель несучої рідини та гідродинамічна модель зважених части- нок використовуються рідина В. К. Стокса з моментними напру- женнями та тривісна гантель, відповідно. На основі отриманих результатів досліджено вплив зовнішнього магнітного поля на ре- ологічну поведінку суспензії, що розглядається. Ключові слова: реологічне рівняння, суспензія у крові, зважені частинки. Вступ. У роботі вивчається можливість керування за допомогою зовнішнього магнітного поля реологічними властивостями розведеної суспензії у крові, яка утворюється при доданні до неї недеформівних видовжених частинок із сталим магнітним моментом. Для цього в межах структурно-феноменологічного підходу [1, 2] одержано реоло- гічні рівняння такої суспензії, які використовуються для вивчення її реологічної поведінки у простій зсувній течії при наявності попереч- ного магнітного поля. Суспензії у крові недеформівних частинок, у тому числі таких, які виготовлені з використанням магнітних носіїв [3, 4], можуть утворюва- тися при доданні безпосередньо до кровотоку частинок лікарських речо- вин для адресної доставки до ураженого органу; частинок субстанцій, непрозорих для рентгенівських променів, які використовуються для ві- зуалізації кровоносних судин; ферро- або феррімагнітних частинок з високою теплоємністю, які переносяться кров’ю до певного органу для наступної теплової дії на нього при лікуванні ракових захворювань, то- що. Суспензії у крові виникають також за межами організму, а саме, в апаратах для очищення крові; у різних приладах, які використовуються для вивчення крові, зокрема, при доданні до зразків крові частинок з магнітним колоїдом, розміщених в їхніх полімерних матрицях, для пок- ращення біохімічних або біомедичних аналізів [3] тощо. Як реологічна та гідродинамічна моделі крові і частинок, зваже- них у ній, у даній роботі використовується рідина В. К. Стокса з мо- ментними напруженнями [5] і тривісна гантель, відповідно. © О. О. Мельник, В. П. Лісовська, 2016 Математичне та комп’ютерне моделювання 116 Реологічна модель розведеної суспензії тривісних гантельних частинок. В роботі припускається, що характерний розмір недефор- мівних частинок суспензії набагато більший порівняно з характерни- ми розмірами форменних елементів крові, — еритроцитів, лейкоцитів і тромбоцитів. Це дозволяє розглядати взаємодію зважених частинок з кров’ю як гідродинамічну взаємодію з суцільним середовищем. Сумарний об’єм еритроцитів крові приблизно у 50 разів перевищує об’єм лейкоцитів і тромбоцитів [6], тому реологічну поведінку крові визначає концентрація і механічні властивості тільки еритроцитів [6]. Висока концентрація еритроцитів — близько 46% — у крові лю- дини приводить до того, що в ній, як і в будь-якій концентрованій суспензії, між форменними елементами, крім центральної, виникає нецентральна взаємодія. Як наслідок, між елементами мікрострукту- ри крові повинні діяти пари сил, а напружений стан крім в’язких на- пружень повинен визначатися моментними напруженнями. Це пояс- нює вибір у даній роботі, як і в роботі [7], рідини В. К. Стокса з мо- ментними напруженнями [5] для реологічного моделювання крові. Теорія В. К. Стокса [5] — найпростіше узагальнення ньютонів- ської теорії в’язкої рідини, яке враховує наявність моментних напру- жень у градієнтних течіях рідин. В’язкі і моментні напруження ij і ijM в реологічній моделі В. К. Стокса [5] повністю визначаються полем швидкості iv   2 ,ij ijij p d     (1) 4 4 .ij ij jiK K    (2) У реологічних рівняннях (1), (2)  ij — симетрична частина те- нзора напружень ij ; ij — девіаторна частина тензора моментних рапужень ijM ; р — тиск; , ,   — реологічні сталі; ijd — тензор швидкостей деформації,   , ,1 2ij i j j id v v  ; ijK — тензор градієн- та швидкостей мікрообертання частинок рідини, який визначається як градієнт вектора вихору швидкості   ,1 2і irs s rv  , ,ij j iK  ; ij , ijk — символи Кронекера і Леві-Чівіта. Гідродинамічною моделлю зважених частинок у даній роботі є тривісна гантель. Це недеформівна система шести точкових центрів гід- родинамічної взаємодії моделі з несучою рідиною (бусинок), які знахо- дяться на кінцях трьох взаємно перпендикулярних осей 1 2 3, ,L L L  1 2 3L L L  (рис. 1). Осі симетричної тривісної гантелі перетинають- ся в одній точці і діляться у ній навпіл. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 117 Рис. 1. Симетрична тривісна гантель — гідродинамічна модель осесиметричних дисперсних частинок суспензії Для коефіцієнта тертя  центрів гідродинамічної взаємодії, які розташовані на кінцях осей тривісної гантелі, і взаємодіють із несу- чою рідиною, як кульки радіуса r , використовується співвідношення  1 ,N В   (3)  2 0 0 2 2 В r r       (4) одержане у [8] при дослідженні обтікання кульки радіуса r рідиною (1), (2). У (3) N — коефіцієнт поступального тертя кульки радіуса r у ньютонівській рідині з в’язкістю  , 6N r  ;    ; 0 0r r l , де 0l   . Феноменологічний параметр 0l , внутрішній масштабний пара- метр рідини В. К. Стокса (1), (2), що входить у співвідношення (3), (4), має розмірність довжини. Згідно з [5], він є функцією розмірів елементів мікроструктури рідини, яка моделюється рівняннями (1), (2), та їх концентрації. Цей параметр 0l для крові визначається на основі результатів роботи [7], в якій порівнювалися між собою профілі швидкості течії Пуазейля рідини В. К. Стокса (1), (2), одержані теоретично в [5, 7], і крові при її течії по трубці [9] з діаметром 54 10 м. Значення 0l для трьох зразків крові, які відрізняються показниками гематокриту bC , наведені у таблиці 1. Таблиця 1 Залежність параметра 0l від показника гематокриту крові bC l0·106, м 6,666 8,000 14,815 Cb, % 6 13 40 Математичне та комп’ютерне моделювання 118 Результати тестування експериментальних даних у [7] виявилися практично нечуттєвими до зміни параметра    в його прийня- тому діапазоні 1 1   ; теоретичні розрахунки у [7] проводилися при 0,5  . У роботі припускається, що зважені частинки та їх гідродинамі- чна модель мають сталий магнітний момент i ip Pn , де p — вели- чина сталого магнітного моменту; in — одиничний вектор, який ха- рактеризує орієнтацію осесиметричної зваженої частинки і орієнта- цію осі 1L тривісної гантелі у лабораторній системі координат. Та- кож припускається, що суспензія є розведеною настільки, що взаємо- дією між магнітними полями зважених частинок, як і гідродинаміч- ною взаємодією між ними можна нехтувати. Для отримання реологічного рівняння стану суспензії, що розгляда- ється, використовується структурно-феноменологічний підхід. На пер- шому (структурному) етапі при вивченні взаємодії окремої модельної мікрочастинки з несучою рідиною отримується визначальне рівняння для вектора in , який характеризує орієнтацію зваженої частинки    i ik k ik k km k m i i k k i P n n d n d n n n H H n n W       , (5) де W — коефіцієнт обертального тертя тривісної гантелі у рідині В. К. Стокса,    2 2 21 2 1W L p  ,    2 2 1 21 1 , ,р р р L L       ik — тензор вихору швидкості. Також на цьому етапі отримується вираз для швидкості дисипа- ції механічної енергії в одиниці об’єму суспензії       2 22 0 0 2 2 1 2 1 2 1 , ij ij i i ij jk i k ik i k L n d d p N N p d d n n p d N n                  (6) де 0 — швидкість дисипації механічної енергії в одиниці об’єму суспензії за відсутності зважених частинок; 0n — кількість зважених частинок в одиниці об’єму суспензії; p — швидкість дисипації ме- ханічної енергії при обтіканні 6 бусинок модельної частинки; — символ осереднення за допомогою функції розподілу F кутових по- ложень вектора in , яка визначається рівнянням   0i i F Fn t n        . У роботі також припускається, що зважені частинки є набагато меншими, ніж характерний розмір області течії суспензії. Це дозволяє Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 119 моделювати таку суспензію при її вивченні у межах структурно- феноменологічного підходу [1, 2] структурним континуумом з двома внутрішніми мікропараметрами — одиничним вектором in , який харак- теризує орієнтацію зваженої частинки, і вектором i i ik kN n n  , який характеризує її кутову швидкість відносно несучої рідини; тут крапка над in означає локальне диференціювання за часом. Вид і структура отриманого на першому етапі виразу для швид- кості дисипації механічної енергії в одиниці об’єму суспензії (6) до- зволяє на другому етапі побудувати феноменологічне рівняння для тензора напружень у суспензії 0 ,ij ij ijT t n   (7) а також записати за допомогою цього рівняння феноменологічний вираз для швидкості дисипації механічної енергії в одиниці об’єму суспензії   0 0 0 hf ij ij i ijk j kn d n N n M      . У (7) ijt — тензор напружень у несучій рідині суспензії за відсу- тності зважених частинок; 0 ijn  — напруження, спричинене при- сутністю 0n зважених частинок в одиниці об’єму суспензії.    0 1 2 3 4 5 6 7 8 , ij km k m ij km k m i j ij ik k j jk k i i j j i a a d n n a a d n n n n a d a d n n a d n n a n N a n N            де  0,8ia i  — сталі феноменологічні коефіцієнти. При порівнянні структурного і феноменологічного виразів для швидкості дисипації механічної енергії в одиниці об’єму суспензії на третьому етапі визначаються невідомі реологічні сталі  0,8ia i  реологічного рівняння для напруження (7) і отримується остаточний вигляд реологічного рівняння стану розведеної суспензії тривісних гантелей при наявності зовнішнього магнітного поля   2 0 02 0 02 2 2 0 02 1 2 1 1 . 1 ij ij ij km k m i j ik k j jk k i j i i j k k i j W T t n d n Wd n n n n p W P n d n n d n n n H n p p Pp n H n n PH n n n p                       (8) W — єдиний реологічний параметр у (5), (8), який характеризує вза- ємодію зважених частинок з несучою рідиною, яка моделюється рі- Математичне та комп’ютерне моделювання 120 диною В. К. Стокса з моментними напруженнями (1), (2). Згідно з рівняннями (3), (4) врахування моментних напружень, які виникають у несучій рідині, веде до зростання коефіцієнта обертального тертя зважених частинок  1NW W B  , порівняно з величиною   2 22 1 2 N N L W p    у суспензії, несуча рідина якої моделюється нью- тонівською рідиною з в’язкістю  . Оцінимо аналітично радіус r бусинок гантелі через осьове відно- шення еліпсоїда обертання з рівності N NEW W . Тут NEW — коефіцієнт обертального тертя еліпсоїда обертання з віссю симетрії 12a L і еква- торіальним діаметром 2 32b L L  , який є гідродинамічно еквівалент- ним тривісній гантелі з осями 1 2 3L L L  (рис. 1), як моделі зважених частинок суспензії у ньютонівській несучій рідині з в’язкістю  . Врахо- вуючи, що коефіцієнт обертального тертя NEW одновісного еліпсоїда у ньютонівській рідині визначається співвідношенням  24 3NEW ab f p  ,    4 22 2 2 2 4 1 12 1 ln 1 2 1 1 p f p p pp p p p p p                    , радіус r бусинок гантельних зважених частинок визначається виразом     1 218 1 L f p r p     . Зазначимо, що еліпсоїд обертання це найбільш поширена гідро- динамічна модель зважених частинок у суспензіях з ньютонівською несучою рідиною. При такому виборі радіуса r бусинок гантелі отримується ви- значальне рівняння для тензора напружень у суспензії, що розгляда- ється, у формі               2 2 02 2 2 0 02 1 1 1 2 1 1 1 . 1 ij ij ij km k m i j ik k j jk k i j i i j k k i j f p T t V B d V B f p d n n n n p f p P V B d n n d n n n H n p p Pp n H n n P H n n n p                                (9) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 121 У (9) V — об’ємна концентрація зважених частинок,   2 0 4 3 ;V n ab параметр B , визначений формулою (4), має вигляд               22 2 1 0 1 0 2 , . 18 12 f p B A p pL l A p L l A p               Значення параметра 0l , які представлені у таблиці 1, дозволяють використати (9) як реологічне рівняння для напружень у суспензії недеформівних симетричних частинок у крові. Магнітореологічна поведінка розведеної суспензії тривісних гантелей у крові. Отримуючи рівняння (5), (9), ми припустили, що швидкість несучої рідини в околі зваженої частинки є лінійною фун- кцією координат. Тому при течіях суспензії у крові у великих та се- редніх судинах та каналах різних пристроїв поза організмом людини, які використовуються для дослідження крові, зважені частинки лока- льно розташовані у простих зсувних течіях. Тому у даній роботі розг- лядається динаміка зважених частинок та напруження в суспензії у простій зсувній течії: 0, , 0;x y zv v Kx v K const    при наявнос- ті зовнішнього магнітного поля: , 0;x y zH H H H H const    для дослідження впливу моментних напружень, які виникають у кро- ві, та обертальної в’язкості крові на реологічну поведінку суспензії у крові. Магніточутливість крові не враховується. При дослідженні динаміки видовжених зважених частинок у простій зсувній течії отримано, що зважені частинки стаціонарно зави- сають без обертання в площинах, перпендикулярних до осі Oz при cr  , де 2 ; . 1cr KW PH       У цьому випадку зважені частинки орієнтуються під кутом  до площини xOz  21 2 1 1 arcsin . 2          При cr  зважені частинки обертаються у площинах, перпе- ндикулярних до осі Oz , з кутовою швидкістю  1 1 1 cos 2 sin . 2 K            З урахуванням встановленої динаміки тривісних гантелей для суспензії в крові знайдені залежності характеристичної в’язкості Математичне та комп’ютерне моделювання 122 a V       та різниць нормальних напружень 1 0 yy zzT T n PH    та 2 0 xx zzT T n PH    від  N NKW PH  . На рисунках 2–5 показані реологічні характеристики 1 2, ,   як функції параметра N для розведеної суспензії осесиметричних не- деформівних частинок у крові при різних значеннях видовженості p зважених частинок та різних значеннях гематокриту bC крові. Рис. 2. Залежність  від N при 40%bC  ; криві 1–3 відповідають видовженості зважених частинок суспензії  2,3, 4p  . Рис. 3. Залежність  від N при  2p  ; криві 1–3 відповідають показникам гематокриту крові 6%,13%, 40%bC  Рис. 4. Залежність 1 від N при 40%bC  ; криві 1–3 відповідають видовженості зважених частинок суспензії  2,3, 4p  . Рис. 5. Залежність 2 від N при 40%bC  ; криві 1–3 відповідають видовженості зважених частинок суспензії  2,3, 4p  . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 123 Псевдопластична поведінка суспензії у крові, тобто зменшення  зі збільшенням N , що спостерігається на (Рис. 2, 3), має місце при не- перервній зміні стаціонарного кута зависання зважених частинок. Проте існує критичне значення   1 cr N cr B     , коли стаціонарне зависання частинок перестає спостерігатися і починається обертальний рух зваже- них частинок. Ділатантна поведінка суспензії у крові, тобто збільшення  зі зростанням N , яке спостерігається на кожній з кривих (Рис. 2), відповідає обертальній динаміці зважених частинок. Висновки. Представлені розрахунки показують, що врахування моментних напружень у градієнтних течіях крові, як несучої рідини су- спензії, приводить до зростання ефективної в’язкості a суспензії та різниць нормальних напружень yy zzT T та xx zzT T , порівняно із су- спензією з ньютонівською несучою рідиною. Отримані результати вияв- ляють зміни реологічних характеристик крові при доданні до неї у малих кількостях ліків або частинок, які використовуються для візуалізації течії крові. Теоретично виявлено, що присутність зважених частинок у крові змінює не тільки в’язкість крові і, як наслідок, течію крові у судинах, але і тиск крові на стінки судин в результаті існування ненульових різниць нормальних напружень (ефекта Вайссенберга) у створеній суспензії. Залежність ефективної в’язкості суспензії від інтенсивності зов- нішнього магнітного поля дозволяє, крім того, контролювати значен- ня ефективної в’язкості суспензії у крові і, таким чином, контролюва- ти течію крові у судинах та в каналах пристроїв, які використовують- ся при вивченні крові поза організмом людини. Список використаних джерел: 1. Шмаков Ю. И. Структурно — континуальный подход в реологии поли- мерных материалов / Ю. И. Шмаков, Е. Ю. Таран // Инж. — физ. журн. — 1970. — Т. 18, № 6. — С. 1019–1024. 2. Таран Е. Ю. Реологическое уравнение состояния разбавленных суспензий жестких гантелей с шариками на концах / Е. Ю. Таран // Прикл. Механи- ка. — 1977. — Т. 13. № 4. — С. 110–115. 3. Magnetic manipulation instrumentation for medical physics research / G. T. Gillies, R. C. Ritter, W. C. Broadus [et al.] // Rev. Sci. Instrum. — 1994. — Vol. 65. — P. 533–562. 4. Scientific and clinical applications of magnetic carriers / [edited by U. Höfely et al.]. — New York : Plenum Press, 1997. — 652 p. 5. Stokes V. K. Couple stresses in fluids / V. K. Stokes // Phys. Fluids. — 1966. — Vol. 9. — P. 1709–1715. 6. Левтов В. А. Реология крови / В. А. Левтов, С. А. Регирер, Н. Х. Шадри- на. — М. : Медицина, 1982. — 272 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 124 7. Valanis K. C. Poiseuille flow of fluid with couple stress with applications to blood flow / K. C. Valanis, C. T. Sun // Biorheology, — 1969. — Vol. 6. — P. 85–97. 8. Stokes V. K. Effects of couple stresses in fluids on the creeping flow past a sphere / V. K. Stokes // Phys. Fluids. — 1971. — Vol. 14. — P. 1580–1582. 9. Bugliarello G. The profile velocity and other characteristics of blood flow in a non-uniform shear field / G. Bugliarello, C. Kapur, G. Hsiao // Proc. 4th Inter. Congr. on Rheol. — New York, 1965. — P. 351–370. The rheological equation for a dilute suspension of rigid axisymmetric elongated particles possessing a permanent magnetic moment with blood as a carrier fluid are derived within the frames of a structure-phenomenological ap- proach. The V. K. Stokes fluid with couple stresses and the uniaxial dumbbell are used as the rheological and hedrodynamic models of blood and suspended particles, respectively. The influence of an external magnetic field on a rheological behaviour of the suspension under study is examined. Key words: rheological equation, suspension in blood, suspended par- ticles. Отримано: 19.04.2016 УДК 519.9 О. П. Нечуйвітер, д-р фіз.-мат. наук, К. В. Кейта, аспірант Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків ОБЧИСЛЕННЯ 2 D ІНТЕГРАЛІВ ВІД ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ З ВИКОРИСТАННЯМ КУСКОВО-СТАЛОЇ ІНТЕРЛІНАЦІЇ У статті розглядаються кубатурні формули обчислення 2 D інтегралів від тригонометричних функцій з використанням ін- терлінації у випадку, коли інформація про функцію задана її слідами на лініях. Ключові слова: інтерлінаці функцій, кубатурна формула, інтеграли від тригонометричних функцій. Вступ. На даний час є математичні моделі, зокрема в цифровій обробці сигналів, комп’ютерній та сейсмічній томографії, які викори- стовують нові інформаційні оператори. Так в теорії наближеного об- числення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій двох змінних побудовані кубатурні формули наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є з використанням інтерлінації функцій на класі Ліпшиця, Гьо- льдера, класі диференційованих функцій. В якості даних такі кубату- рні формули використовують не лише значення функції у вузлових точках, а також сліди функції на лініях. Сучасні математичні моделі © О. П. Нечуйвітер, К. В. Кейта, 2016 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Магнітореологія розведених суспензій у крові

Institution

Ähnliche Einträge