Деякі застосування математики функціональних інтервалів

Деякі застосування математики функціональних інтервалів

У роботі запропоновано алгоритми розв’язування алгебраїчних та трасцендентних рівнянь і нерівностей, задач оптимізації, двосторонньої апроксимації функцій на заданому інтервалі нелінійними сплайнами. Доведена коректність цих застосувань та наведені результати обчислюваних експериментів....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2016
1. Verfasser: Сеньо, П.С.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133900
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Деякі застосування математики функціональних інтервалів / П.С. Сеньо // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 182-193. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133900
record_format dspace
spelling irk-123456789-1339002018-06-09T03:04:56Z Деякі застосування математики функціональних інтервалів Сеньо, П.С. У роботі запропоновано алгоритми розв’язування алгебраїчних та трасцендентних рівнянь і нерівностей, задач оптимізації, двосторонньої апроксимації функцій на заданому інтервалі нелінійними сплайнами. Доведена коректність цих застосувань та наведені результати обчислюваних експериментів. In the article there are suggested algorithms of solving algebraic and transcendental equations and inequalities. optimization problems. twostage approximation of functions on the preset interval by nonlinear splines. It is proved the correctness of these applications as well as there are given the results of computing experiments. 2016 Article Деякі застосування математики функціональних інтервалів / П.С. Сеньо // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 182-193. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133900 519.21:519.61 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У роботі запропоновано алгоритми розв’язування алгебраїчних та трасцендентних рівнянь і нерівностей, задач оптимізації, двосторонньої апроксимації функцій на заданому інтервалі нелінійними сплайнами. Доведена коректність цих застосувань та наведені результати обчислюваних експериментів.
format Article
author Сеньо, П.С.
spellingShingle Сеньо, П.С.
Деякі застосування математики функціональних інтервалів
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Сеньо, П.С.
author_sort Сеньо, П.С.
title Деякі застосування математики функціональних інтервалів
title_short Деякі застосування математики функціональних інтервалів
title_full Деякі застосування математики функціональних інтервалів
title_fullStr Деякі застосування математики функціональних інтервалів
title_full_unstemmed Деякі застосування математики функціональних інтервалів
title_sort деякі застосування математики функціональних інтервалів
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2016
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133900
citation_txt Деякі застосування математики функціональних інтервалів / П.С. Сеньо // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 182-193. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT senʹops deâkízastosuvannâmatematikifunkcíonalʹnihíntervalív
first_indexed 2025-07-09T19:50:16Z
last_indexed 2025-07-09T19:50:16Z
_version_ 1837200179707510784
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 182 УДК 519.21:519.61 П. С. Сеньо, канд. фіз.-мат. наук Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів ДЕЯКІ ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИКИ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ ІНТЕРВАЛІВ У роботі запропоновано алгоритми розв’язування алгебра- їчних та трасцендентних рівнянь і нерівностей, задач оптимі- зації, двосторонньої апроксимації функцій на заданому інтер- валі нелінійними сплайнами. Доведена коректність цих засто- сувань та наведені результати обчислюваних експериментів. Ключові слова: інтервал, функціональний інтервал , лі- нійний функціональний інтервал, ширина інтервалу, квазілі- нійний простір, збіжність, порядок збіжності. Вступ. Питанням узагальнення поняття інтервальної математики присвячено багато робіт. Найбільш вдалим таким узагальненням є математика напрямлених інтервалів [4], запропонована С. М. Марко- вим. Однак вона застосовна лише до монотонних функцій. У [2] введені нові об’єкти дослідження — функціональні інтер- вали, арифметичні, та теоретико-множинні операції над ними. Функ- ціональні інтервали є узагальненням числових інтервалів та інтерва- льних розширень функцій [1, с. 31–33]. У [3] доведено, що множина лінійних функціональних інтервалів, визначених на одному й тому ж проміжку X аргументу, при означених у [2] арифметичних операці- ях, є квазілінійним простором. Формулювання задачі та основні напрямки її розв’язання. Квазілінійний простір лінійних функціональних інтервалів є узагаль- ненням квазілінійного простору інтервалів. Тому, цей вищий рівень абстракції та отримані в [2; 3] висновки дають можливість на основі математики функціональних інтервалів будувати і досліджувати ефе- ктивні методи розв’язування широкого кола задач. В основу таких методів покладено те, що кожен функціональний інтервал 1 2{ , ( ), ( )}X f x f x визначає двосторонню апроксимацію одно- часно всіх функцій, для яких функції 1 2( ), ( )f x f x є мінорантою та мажорантою, відповідно. Тому кожну задачу, яка потребує аналізу деякої функції (функцій), що міститься у цьому функціональному інтервалі, часто можна розв’язати або лише за допомогою аналізу таких простіших функцій 1 2( ), ( )f x f x , або так значно легше отриму- ємо розв’язок сформульованої задачі. Розв’язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь і нерівностей. Нехай потрібно знайти в інтервалі X D всі дійсні корені рівняння © П. С. Сеньо, 2016 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 183 ( ) 0f x  , (1) де RGRD:f  . Функція ( )f x на цьому інтервалі може бути розривною, і/або недиференційованою. Побудуємо для неї на інтер- валі X лінійний інтервальний обмежник ( )L X ={ , ( ), ( )}X l x l x . Його обмежуючі функції ( ), ( )l x l x кусково-лінійні. Тому у кожному інте- рвалі 1 2 2 3[ , ], [ , ],x x x x  1, [ , ]n nx x  , де 1 2 2 3[ , ] [ , ]x x x x  1 1 1[ , ] [ , ]n n nx x x x X   , лінійний обмежник ( )L X є деяким елементарним лінійним обмеж- ником 1{[ , ], , }i i i ii ix x k x m k x m   , ( 1, 2, ,i n  ), тобто 1 2 1 11 1 2 3 2 2 12 2 ( ) {[ , ], , } {[ , ], , } ... {[ , ], , }.n n n nn n L X x x k x m k x m x x k x m k x m x x k x m k x m            (2) Нехай 1 1{ }n i ix   — множина точок ix інтервалу X розбиття лі- нійного інтервального обмежника ( )L X функції ( )f x на елементар- ні лінійні інтервальні обмежники; 1{ }n i ik  , 1{ }n iik  , 1{ }n i im  , 1{ }n iim  , 1 1{ }n i if   , 1 1{ }n ii f   — множини кутових коефіцієнтів ,i ik k , зміщень ,i im m , значень if , i f верхніх та нижніх її лінійних елементарних обмежуючих функцій, відповідно, у точках ix . Алгоритм 1. Нехай ii ii f k x m  , i i i if k x m  , ( 1, 2, ,i n  ), (3) / ii ix m k   , (4) /i i ix m k   . (5) Тоді: 1) якщо 0 i f і 1 0 i f   , або 0if  і 1 0if   , то на проміжку 1[ , ]i ix x  немає коренів рівняння (1); 2) якщо i f  1 0 i f   , і if  1 0if   , то у проміжку 1[ , ]i ix x  лише на проміжку [min{ , }, max{ , }]i ii ix x x x   є корені рівняння (1), де чис- ла ix , ix визначаємо за формулами (4), (5), відповідно; 3) якщо 0 if , 10 if  , 0 i f , 1 0 i f   , то у проміжку 1[ , ]i ix x  лише на проміжку [ , ]i ix x  можуть бути корені рівняння (1), де число ix визначаємо за формулою (4); Математичне та комп’ютерне моделювання 184 4) якщо 0 if , 10 if  , 0 i f  , 1 0 i f   , то у проміжку 1[ , ]i ix x  лише на проміжку [ , ]i ix x можуть бути корені рівняння (1), де чи- сло ix визначаємо за формулою (4); 5) якщо 0 if , 1 0if   , 0 i f  , 1 0 i f   ,, то у проміжку 1[ , ]i ix x  лише на проміжку [ , ]i ix x можуть бути корені рівняння (1), де число ix визначаємо за формулою (5); 6) якщо 0if  , 10 if  , 0 i f  , 1 0 i f   , то у проміжку 1[ , ]i ix x  лише на проміжку 1[ , ]i ix x  можуть бути корені рівняння (1), де число ix визначаємо за формулою (5); 7) якщо 0 i f  , 1 0 i f   , 0 if , 10 if  , то на всьому проміжку 1[ , ]i ix x  можуть бути корені рівняння (1); 8) якщо 0 i f  , 1 0 i f   , 0 if , 10 if  , то на всьому проміжку 1[ , ]i ix x  можуть бути корені рівняння (1); 9) якщо if  0 i f  і 1i f  = 1if  =0, то на всьому проміжку 1[ , ]i ix x  мо- жуть бути корені рівняння (1), причому 1ix  — корінь цього рівняння; 10) якщо 1 1 0i i f f    і i f = if =0, то на всьому проміжку 1[ , ]i ix x  мо- жуть бути корені рівняння (1), причому ix — корінь цього рівняння; 11) якщо 0 if  i f і 1i f  = 1if  =0, то на проміжку 1[ , ]i ix x  лише чи- сло 1ix  є коренем рівняння (1); 12) якщо 10 if   1i f  і i f = if =0, то на проміжку 1[ , ]i ix x  лише чи- сло ix є коренем рівняння (1); 13) якщо if  1if   i f  1 0 i f   , то всі точки проміжку 1[ , ]i ix x  є коренями рівняння (1). Зауваження 1. Якщо в інтервалах 1[ , ]i ix x  і 1 1[ , ]i ix x  можуть бути корені рівняння (1), то в інтервалі 1[ , ]i ix x   обов’язково є хоча б один його корінь. Після локалізації інтервалів, де є, або можуть бути корені рів- няння (1), далі пошук коренів цього рівняння продовжуємо за описа- ним вище алгоритмом окремо в кожному з цих інтервалів. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 185 Зауваження 2. Алгоритми розв’язування нерівностей багато в чому аналогічні алгоритмам розв’язування рівнянь, оскільки всі вони ґрунту- ються на тому, що обмежуючі функції лінійного функціонального інтер- валу функції лівої частини даного рівняння чи нерівності є кусково- лінійними функціями. Отже, розв’язування даної нерівності зводиться до послідовного розв’язування лінійних нерівностей того ж знаку, ліві час- тини яких є функції ii ii f k x m  , i i i if k x m  , ( 1, 2, ,i n  ). Розв’язування задач оптимізації. Нехай потрібно знайти arg max ( ) x X x f x   , (6) де X будь-який заданий закритий інтервал. Розв’язок цієї задачі отримуємо в результаті реалізації наступного алгоритму. Алгоритм 2. 1. На інтервалі X будуємо лінійний інтервальний обмежник ( )L X = ={ , ( ), ( )}X l x l x функції ( )f x . 2. У списку 1 1{ }n ii f   знаходимо найбільше значення 1, 1 max ii n f f    = = k f . 3. Покладемо 1k  , 1kx x  , 1k nx x  . 4. Якщо 1k n  , то перейти на п. 5 цього алгоритму. В протилеж- ному випадку послідовно при , 1, , 1i k k n   аналізуємо if . 4.1. Нехай при цьому всі if  f  , де , 1, ,i k k r   , а 1rf   f  . Тоді в інтервалі [ , ]rkx x  , де rx  ( ) /r rf m k  , (7) може бути розв’язок задачі (6) і тому його включаємо у список інтерва- лів, які потрібно ще додатково аналізувати за цим же алгоритмом. Покла- даємо kx = rx , 1k nx x  , 1k r  і переходимо на п. 4 цього алгоритму. 4.2. Якщо ж всі if  f  , де , 1, ,i k k r   , а 1rf   f  , то в інтер- валі ( , )rkx x  , де rx визначається за формулою (7), розв’язків за- дачі (6) немає. Покладаємо kx = rx , 1k nx x  , 1k r  і перехо- димо на п. 4 цього алгоритму. 5. Кінець алгоритму. Математичне та комп’ютерне моделювання 186 Зауваження 3. Якщо в задачі оптимізації (6) є ще і обмеження типу рівностей та нерівностей, то, реалізувавши черговий крок алго- ритму 2, знаходимо інтервали, які можуть містити розв’язок постав- леної задачі. Далі, звичним чином [1], у кожному так локалізованому інтервалі перевіряємо можливість наявності розв’язків цих рівностей та нерівностей. Якщо в якомусь локалізованому інтервалі розв’язків заданих рівностей та нерівностей немає, то цей інтервал відкидаємо і пошук розв’язку задачі продовжуємо в інтервалах. що залишилися. Зауваження 4. Алгоритми розв’язування задач мінімізації, зна- ходження локальних екстремумів у заданому інтервалі аналогічні алгоритму 2. Двостороння апроксимація функцій на заданому інтервалі нелінійними сплайнами. Нехай на проміжку [ , ]X a b невідома функція ( )f x один раз неперевнодиференційовна та відомий функ- ціональний обмежник 1 2{ , ( ), ( )}X f x f x першої похідної ( )f x цієї функції. Потрібно побудувати двосторонню апроксимацію шуканої функції, графік якої проходить через множину заданих точок 1{( , )}n i i ix y  , де ,ix X ( ), 1,i iy f x i n  . Методи двосторонніх апроксимацій функцій на заданому інтервалі нелінійними сплайнами засновані на висновках наступних двох теорем. Теорема 1. Нехай функція ( )y x один раз неперевно диференці- йовна у кожній точці x інтервалу [ , ]a b і функції ( )g x , ( )g x такі, що на цьому інтервалі виконується подвійна нерівність ( ) ( ) ( )g x y x g x  . (8) Тоді виконуються наступні нерівності: ( ) ( ) ( ) x x a a a a y g t dt y x y g t dt     , (9) ( ) ( ) ( ) b b b b x x y g t dt y x y g t dt     , (10) де ( )ay y a , ( )by y b . (11) Доведення. З властивостей означеного інтеграла випливає, що нерівність можна інтегрувати. Отже, для будь-яких c a та d b , з (8) отримуємо ( ) ( ) ( ) c c c a a a g t dt y t dt g t dt    , (12) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 187 ( ) ( ) ( ) b b b d d d g t dt y t dt g t dt    , (13) відповідно. Тому, розглядаючи означений інтеграл як функцію верх- ньої (нижньої) межі, з (12), (13) при c x , d x , врахувавши (11), отримуємо (9), (10), відповідно. Нехай визначені функції ( )g x k x m  , (14) ( )g x k x m  , (15) 2 2( ) 0.5 0.5 aa p x k x m x k a m a y     , (16) 2 2( ) 0.5 0.5a ap x k x m x k a m a y     , (17) 2 2( ) 0.5 0.5 bb p x k x m x k b m b y     , (18) 2 2( ) 0.5 0.5b bp x k x m x k b m b y     , (19) ( ) ( ) ( )a a a x p x p x   , (20) ( ) ( ) ( )b b b x p x p x   , (21) де ( )ay y a , ( )by y b , (22) , , ,k m k m — деякі константи. Тоді виконується наступна теорема. Теорема 2. Нехай в інтервалі [ , ]X a b функція ( )y x неперервно диференційовна і її похідна ( )y x задовольняє подвійну нерівність ( ) ( ) ( )g x y x g x  . (23) Тоді: ( ) ( ) ( )aa p x y x p x  , (24) ( ) ( ) ( )bb p x y x p x  ; (25) функція ( )a x монотонно зростаюча, а функція ( )b x монотонно спадна, і їх прирости співпадають з точністю до знака; для будь-якого [ , ]x X a b  ( ) ( ) 0a bx x C    , (26) де константа 2 20.5 ( ) ( ) ( ) ( )C k k b a m m b a      ; (27) якщо k k , то в інтервалі [ , ]a b рівнянь ( ) ( )a bp x p x , (28) Математичне та комп’ютерне моделювання 188 ( ) ( ) a b p x p x (29) мають розв’язки x , x , відповідно, і вони єдині; максимальна від- даль ydiam в інтервалі [ , ]a b вздовж осі OY між точками множини точок, обмежених параболами ( ), ( )a bp x p x , ( ), ( ) a b p x p x («парабо- лічного паралелограма»), задовольняє співвідношення min( 1, 2) 0.5ydiam Y Y C  , (30) де константи 2 2 2 0.5 ( ) ( ) a bY k b a m b a y y      , (31) 2 2 1 0.5 ( ) ( )b aY y y k b a m b a      . (32) Доведення. Оскільки виконуються умови теореми 1, то з (9), врахувавши (14)–(17), (22), (23), отримуємо нерівність (24); а з (10), врахувавши (14)–(15), (18), (19), (22) ), (23) — нерівність (25). Нехай точки 1 2,x x такі, що 1 2a x x b   . Тоді, враховуючи (16)–(21), отримуємо: 2 2 1 1 1( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( )a x k k x a m m x a       , 2 2 2 2 2( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( )a x k k x a m m x a       , 2 2 1 1 1( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( )b x k k x b m m x b       , 2 2 2 2 2( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( )b x k k x b m m x b       . Отже, 2 1( ) ( )a ax x  = 2 2 2 1 2 10.5 ( ) ( ) ( ) ( )k k x x m m x x     = = 2 1 20.5 ( ) ((( ) ( ))x x k k x m m    + 1(( ) ( ))k k x m m   ; 2 1( ) ( )b bx x  = 2 2 2 10.5 ( ) ( )k k x x   2 1( ) ( )m m x x  = 2 1 20.5 ( ) ((( ) ( ))x x k k x m m    + 1(( ) ( ))k k x m m   . Звідси, враховуючи (23) і те, що ( ), ( )g x g x — прямі лінії, ви- пливають нерівності 2 1( ) ( ) 0a ax x   та 2 1( ) ( ) 0b bx x   . Отже, функція ( )a x монотонно зростаюча, а функція ( )b x монотонно спадна і їх прирости співпадають з точністю до знака, тобто 2 1( ) ( )a ax x  = 2 1( ( ) ( ))b bx x   . Оскільки 2 2( ) 0.5 ( ) ( )a x k k x a    + ( ) ( )m m x a  , 2 2( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( )b x k k x b m m x b       , то, врахувавши попередній висновок і вибравши константу C у ви- гляді (27), отримуємо (26). Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 189 Квадратна парабола опукла функція. Тому з співвідношень (16)– (19), (26) випливає, що параболи ( ), ( )a bp x p x та ( ), ( ) a b p x p x пере- тинаються, відповідно, кожне рівняння (28), (29) має корінь в інтер- валі [ , ]a b і він єдиний (див рис. 1). Звідси випливає співвідношення (30), де константи 1 2,Y Y виби- раються у вигляді (31), (32), відповідно. Рис. 1. Геометрична інтерпретація «параболічного паралелограма» та співвідношень (28)–(32) На рис. 1:крива, що проходить через точки 1 1, , ,A D B C — гра- фік параболи ( )ap x ; крива, що проходить через точки 2 2, , ,A D B C — графік параболи ( ) a p x ; крива, що проходить через точки 1 2, , ,A D B C — графік параболи ( )bp x ; крива, що проходить через точки 2 1, , ,A D B C — графік параболи ( ) b p x ; точки: ( , )aA a y , ( , )bC b y ; 1 2,x x  — корені рівнянь (28), (29), відповідно; , , ,A D B C — «параболічний паралелограм»; 1 yh diam . З отриманих вище співвідношень та суті величин 1 2,Y Y випли- ває співвідношення (30). Зауваження 5. З суті «параболічного паралелограма» A B C D випливає, що в ньому містяться графіки всіх функції, які проходять через точки ,A C і для яких виконується умова (23). Зауваження 6. Якщо в (14), (15) замість функцій ( )g x , ( )g x вибрати нижні та верхні обмежуючі функції ( ), ( )l x l x лінійного фу- Математичне та комп’ютерне моделювання 190 нкціонального інтервалу ( )L X ={ , ( ), ( )}X l x l x похідної ( )y x функ- ції ( )y x , відповідно, то додавши в (16)–(19) зміщення, які виникають при переходах від ix до 1ix  ( 1, 1i n  ), отримаємо двосторонню апроксимацію функції ( )y x . Застосування нелінійної двосторонньої апроксимації функції для побудови методів розв’язування нелінійних рівнянь. Для зна- ходження розв’язку рівняння (1) часто використовують інтервальний метод Ньютона у формі Мура [1]:   1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( 0, 1, ...), k k k k k k k N x F X f x X N X k             (33) де ( )kx — середини інтервалів kX . Однак, використавши двосторон- ню апроксимацію функції ( )f x нелінійними сплайнами, запропоно- вану вище; ідею побудови методу (33) та модифікувавши відповід- ним чином алгоритм 1, отримуємо значно ефективніші методи розв’язування рівняння (1). Побудова та реалізація таких методів здійснюється за наступним алгоритмом. Алгоритм 3. 1. Будуємо в інтервалі X лінійний інтервальний обмежник ( )L X ={ , ( ), ( )}X l x l x похідної ( )f x функції ( )f x . 2. Визначаємо характерні точки [2] елементарних функцій, з яких ком- понується похідна ( )f x та формуємо розбиття 1{ }n i ix  інтервала X . 3. На основі обмежника ( )L X будуємо в інтервалі X двосторонню апроксимацію функції ( )f x вибраними нелінійними сплайнами. 4. Розв’язуємо рівняння (1) за допомогою алгоритму 1, знаходячи точки x , x з рівнянь ( ) 0p x  , ( ) 0p x  , відповідно. Результати обчислювальних експериментів. Оскільки для оцінки швидкості збіжності числової послідовності 1{ }i ix   у випадку 1nx x   , де lim n n x x    , не використовується поняття порядку збіжності, то в протилежному випадку скрізь далі використано по- няття коефіцієнта K стиску ширини інтервалу, де K 1( ) / ( )n nX X   , 1{ }i iX   — послідовність інтервіалів. При побу- дові потрібних функціональних інтервалів широко використовували- ся методи та відповідні результати з [2]. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 191 Експеримент 1. За допомогою алгоритму 1 в інтервалі [ 2; 5]X   здійснювався пошук з точністю 610 одночасно всіх дій- сних коренів рівняння 2 2 3( 8 7) sin(2 1) cos(5 1) 2 0xx x x x       . (34) Таблиця 1 Результати першого кроку алгоритму 1 знаходження коренів рівняння (34) Початковий інтервал [ -2; 5 ] Номер інтервалу Інтервал Ширина інтервалу Коефіцієнт стиску 1 [-1.07119, -1.07096] 0.00023586 29678.6 2 [0.521458, 0.56304] 0.0415815 168.344 3 [1.06837, 1.14649] 0.0781129 89.6139 4 [2.02955, 2.04163] 0.0120744 579.741 5 [2.91036, 3.01583] 0.105472 66.3685 6 [3.85183, 3.85777] 0.00593867 1178.72 7 [4.53618, 4.54038] 0.00419872 1667.18 Далі пошук коренів рівняння (34) продовжуємо за алгоритмом 1 окремо в кожному з цих інтервалів. Зокрема Таблиця 2 Результат знаходження коренів рівняння (34) в інтервалі [1.06837, 1.14649], за алгоритмом 1 Номер ітерації Інтервал Ширина ін- тервалу Коефіцієнт стиску Порядок збіжності 0 [1.06837, 1.146] 0.0781129 - - 1 [1.1018, 1.10203] 0.000227954 342.701 3.28929 2 [1.101932420586795, 1.1019324227153457] 2.12855·10-9 108055. 2.38099 Корені рівняння (34) містяться в інтервалах [-1.07109, -1.07109], [0.537691, 0.537691], [1.10193, 1.10193], [2.03466, 2.03466], [3.85552, 3.85552], [4.53766, 4.53766]. Експеримент 2. За допомогою алгоритму 2 в інтервалі [ 2; 5]X   реалізовано пошук максимального значення функції 2 2 3( ) ( 8 7) sin(2 1) cos(5 1) 2 xy x x x x x       (35) Таблиця 3 Результати першого кроку алгоритму 2 знаходження максимального значення функції (35) Номер ітерації Інтервал Ширина інтервалу Коефіцієнт стиску 0 [ -2; 5 ] 7 – 1 [4.14918, 4.32723] 0.178055 39.3136 Математичне та комп’ютерне моделювання 192 Експеримент 3. За допомогою алгоритму 3 в інтервалі [ 2; 5]X   здійснювався пошук з точністю 610 одночасно всіх дійсних коренів рів- няння (34). У алгоритмі використані всі характерні точки елементарних функцій, з яких компонується похідна ( )f x лівої частини рівняння (1). Таблиця 4 Результати першого кроку алгоритму 3 знаходження коренів рівняння (34) Номер інтервалу Інтервал Ширина інтервалу Коефіцієнт стиску 1 [-1.10536, -1.06351] 0.041852 167.256 2 [0.439269, 0.61347] 0.174201 40.1834 3 [1.08113, 1.13225] 0.0511241 136.922 4 [2.0024, 2.07009] 0.0676874 103.417 5 [2.95978, 3.05188] 0.0920969 76.0069 6 [3.8491, 3.86451] 0.0154095 454.266 7 [4.53172, 4.54348] 0.0117587 595.304 Таблиця 5 Результат знаходження коренів рівняння (34) в інтервалі [-1.10536, -1.06351] за алгоритмом 3 Номер ітерації Інтервал Ширина інтервалу Коефіцієнт стиску Порядок збіжності 0 [-1.10536, -1.06351] 0.041852 – – 1 [-1.0710922712230317, - 1.0710922579613023] 1.32617·10-8 3.1557·106 5.71537 2 1 1 2 3 4 5 X 40 20 20 40 Y Рис. 2. Двостороння апроксимація функції лівої частини рівняння (34) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 13 193 Висновки. Математика функціональних інтервалів дає можли- вість будувати і досліджувати ефективні методи розв’язування широ- кого кола задач та модифікації вже відомих методів. В цій роботі запропоновані алгоритми розв’язування алгебраїч- них та трасцендентних рівнянь і нерівностей, двосторонньої апрок- симації функцій на заданому інтервалі нелінійними сплайнами, задач оптимізації тощо. Характерно, що кожен запропонований алгоритм здійснює по- шук у вказаному інтервалі з заданою точністю одночасно всіх розв’язків поставленої задачі. Ці алгоритми не мають проблеми поча- ткового наближення. Їх можна застосовувати і для локалізації розв’язків поставленої задачі та вибору «хорошого» початкового на- ближення відповідних точкових ітераційних методів. Результати проведених числових експериментів підтверджують високу ефективність запропонованих алгоритмів. Список використаних джерел: 1. Алефельд Г. Введение в интервальные вычисления / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер. — М. : Мир, 1987. — 356 c. 2. Сеньо П. С. Арифметика лінійних функціональних інтервалів / П. С. Се- ньо // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. — 2014. — Вип. 21. — С. 38–57. 3. Сеньо П. С. Топологія простору лінійних функціональних інтервалів / П. С. Сеньо // Матем. та комп. моделювання. Серія: фізико-матем. нау- ки. — 2014. — Вип. 11. — С. 209–223. 4. Markov S. M. On the presentation of ranges of monotone functions using in- terval arithmetic / S. M. Markov // Interval Computations. — 1992. — № 4 (6). — P. 19–31. In the article there are suggested algorithms of solving algebraic and transcendental equations and inequalities. optimization problems. two- stage approximation of functions on the preset interval by nonlinear splines. It is proved the correctness of these applications as well as there are given the results of computing experiments. Key words: interval, functional interval, linear functional interval, in- terval width, quasilinear space, convergence, order of convergence. Отримано: 29.03.2016 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f0020006e00690065007a00610077006f0064006e00650067006f002000770079015b0077006900650074006c0061006e00690061002000690020006400720075006b006f00770061006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020006600690072006d006f0077007900630068002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge