Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень

Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень

У роботі вивчається асимптотична поведінка неавтономної коливної системи, яка описується диференціальним рівнянням третього порядку з малими нелінійними періодичними зовнішніми збуреннями типу багатовимірного «білого» шуму, центрованого і нецентрованого Пуассонівських шумів. Розглянуто нерезонансний...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2016
1. Verfasser: Борисенко, О.В.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133907
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень / О.В. Борисенко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 14. — С. 10-22. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133907
record_format dspace
spelling irk-123456789-1339072018-06-10T03:03:19Z Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень Борисенко, О.В. У роботі вивчається асимптотична поведінка неавтономної коливної системи, яка описується диференціальним рівнянням третього порядку з малими нелінійними періодичними зовнішніми збуреннями типу багатовимірного «білого» шуму, центрованого і нецентрованого Пуассонівських шумів. Розглянуто нерезонансний випадок. The asymptotic behavior of non-autonomous oscillator system given by third order differential equation with small non-linear periodical external disturbances of multidimensional white noise type, centered and non-centered Poisson noises types is studied. The non-resonance case is considered. 2016 Article Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень / О.В. Борисенко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 14. — С. 10-22. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133907 519.21 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У роботі вивчається асимптотична поведінка неавтономної коливної системи, яка описується диференціальним рівнянням третього порядку з малими нелінійними періодичними зовнішніми збуреннями типу багатовимірного «білого» шуму, центрованого і нецентрованого Пуассонівських шумів. Розглянуто нерезонансний випадок.
format Article
author Борисенко, О.В.
spellingShingle Борисенко, О.В.
Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Борисенко, О.В.
author_sort Борисенко, О.В.
title Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень
title_short Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень
title_full Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень
title_fullStr Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень
title_full_unstemmed Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень
title_sort дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2016
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133907
citation_txt Дослідження асимптотичної поведінки коливної системи третього порядку під дією малих випадкових нелінійних періодичних збурень / О.В. Борисенко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 14. — С. 10-22. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT borisenkoov doslídžennâasimptotičnoípovedínkikolivnoísistemitretʹogoporâdkupíddíêûmalihvipadkovihnelíníjnihperíodičnihzburenʹ
first_indexed 2025-07-09T19:51:15Z
last_indexed 2025-07-09T19:51:15Z
_version_ 1837200234123362304
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 10 3. Embrechts P. Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims / P. Embrechts, N. Veraverbeke // Insurance: Math. Econ. — 1982. — Vol. 1. — № 1. — P. 55–72. 4. Зінченко Н. М. Математичні методи в теорії ризику : навчальний посібник / Н. М. Зінченко. — К. : ВПЦ «Київський університет», 2008. — 224 с. 5. Леоненко М. М. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економе- триці та фінансовій математиці / М. М. Леоненко, Ю. С. Мішура, В. М. Пархоменко, М. Й. Ядренко. — К. : Інформтехніка, 1995. — 380 с. 6. Білинський А. Я. Ймовірність банкрутства для випадку субекспоненцій- них роз-поділів витрат / А. Я. Білинський, О. М. Кінаш // Сборник науч- них трудов SWorld. — Иваново : Маркова А. Д., 2015. — Вип. 1 (38). — Т. 21. — С. 95–100. The asymptotic behavior of the probability of bankruptcy for large payments. Key words: the probability of bankruptcy, «heavy tails», subexponen- tial distributions. Отримано: 21.07.2016 УДК 519.21 О. В. Борисенко, канд. фіз.-мат. наук Національний технічний університет України «КПІ», м. Київ ДОСЛІДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНОЇ ПОВЕДІНКИ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ ПІД ДІЄЮ МАЛИХ ВИПАДКОВИХ НЕЛІНІЙНИХ ПЕРІОДИЧНИХ ЗБУРЕНЬ У роботі вивчається асимптотична поведінка неавтономної коливної системи, яка описується диференціальним рівнянням третього порядку з малими нелінійними періодичними зовніш- німи збуреннями типу багатовимірного «білого» шуму, центрованого і нецентрованого Пуассонівських шумів. Розг- лянуто нерезонансний випадок. Ключові слова: асимптотична поведінка, неавтономна коливна система, стохастичне диференціальне рівняння, центрована і нецентрована Пуассонівські міри. Вступ. Вивчення коливних процесів є дуже важливим у різно- манітних галузях механіки, фізики, техніки і економіки. Як приклади коливних систем можна розглядати вібрацію конструкцій і механіз- мів, електро-магнітні коливання у радіотехніці і оптиці, автоколиван- ня у системах керування, звукові та ультразвукові коливання. © О. В. Борисенко, 2016 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 11 Метод усереднення, запропонований М. М. Криловим і М. М. Боголюбовим [1], є одним з основних інструментів при вивченні коливних систем під дією малих нелінійних зовнішніх збурень. У роботі М. М. Боголюбова і Ю. О. Митропольського [2] принцип усереднення обґрунтовано, зокрема для неавтономної коливної системи, яка опису- ється диференціальним рівнянням другого порядку, під дією малих де- термінованих нелінійних періодичних збурень. У роботі І. І. Гіхмана і А. В. Скорохода [3, с. 286] розглядалась автономна коливна система дру- гого порядку під дією зовнішніх малих випадкових збурень типу «білого шуму» і доведено слабку збіжність амплітуди і фази коливань до грани- чних значень, які задовольняють усереднену систему стохастичних ди- ференціальних рівнянь. Асимптотична поведінка випадкового процесу на виході нелінійного пристрою, близького до лінійного осцилятора, на вхід якого надходить малий періодичний сигнал та малий випадковий стаціонарний у широкому сенсі процес, і який у процесі роботи зазнає випадкового імпульсного впливу вивчалась у роботі А. М. Самойленка і О. М. Станжицького [4, с. 274]. Автономні і неавтономні коливні систе- ми другого порядку під дією нелінійних малих зовнішніх збурень типу «білого шуму» і центрованого Пуассонівського шуму вивчались у робо- тах О. В. Борисенко [5; 6]. Вивчення впливу на коливну неавтономну систему третього порядку малих зовнішніх випадкових періодичних збурень типу багатовимірного «білого шуму», центрованого та нецент- рованого Пуассонівських шумів є актуальною задачею. Основні результати. У роботі розглянемо поведінку, при 0  , неавтономної коливної системи третього порядку, яка опису- ється стохастичним диференціальним рівнянням виду                      0 2 2 0 0 , , , , , ,k x t ax t b x t ab x t f t x t x t x t f t x t x t x t              (1) з невипадковими початковими умовами    0 00 , 0 ' ,x x x x   0 0 ''x x , де 0  — це малий параметр,  , , ,f t x x x   — це ви- падкова функція, така що                         1 0 1 1 0 0 1 1 , , , , , , , , , , , i m t m k i i i i k mR m t t f s x s x s x s ds f s x s x s x s dw s f s x s x s x s z ds dz                                  2 2 20 2, , , , , ,mk m m t R f s x s x s x s z ds dz         Математичне та комп’ютерне моделювання 12 0ik  , 0, 2i m  ; if — це невипадкові функції, періодичні по , 0, 2it i m   з періодом 2 ;   , 1,iw t i m — це незалежні одно- вимірні вінерові процеси;      1 1 1, ,dt dz dt dz dz dt   ,  1 ,dt dz і  2 ,dt dz — це незалежні міри Пуассона незалежні від   , 1,iw t i m ;    , , 1,2i iE dt dz dz dt i    ,   , 1, 2i A i  — це скі- нченні міри на борелевих множинах A R ; 0, 0.a b  Будемо ви- вчати нерезонансний випадок , 0, 2,i i i p b i m q     де ip і iq — це взаємно прості цілі числа. Рівняння (1) будемо розуміти як систему стохастичних дифере- нціальних рівнянь                                                 0 2 1 2 2 2 0 0 2 2 2 1 1 1 1 , , [ , , , ( , , , , ) ] ( , , , ) ( , , , , ) , m i m m k k m mR m k i i ii k m k R m dx t x t dt dx t x t dt dx t ax t b x t ab x t f t x t x t x t f t x t x t x t z dz dt f t x t x t x t dw t f t x t x t x t z dt dz                                                            2 2 2( , , , , ) , ,m mR f t x t x t x t z dt dz     (2)     ' 0 00 , 0x x x x  ,  '' '' 0 0x x . У подальшому будемо використовувати константу 0K  для позначення різних сталих, які не залежать від  . Із [7], застосувавши у доведенні очевидні модифікації, одержи- мо такі результати: Лема. Нехай для кожного dx R існує   0 1 lim , T T f t x dt T   .f x Функція  f x є обмеженою і неперервною, функція  ,f t x є обмеженою і неперервною по x рівномірно відносно  ,t x у кожній області   0; , t x K   , випадкові процеси    , dt R t R   є непе- рервними, тоді        0 00 lim , t ts f s s ds f s ds             майже напе- вне для  0; .t T  Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 13 Зауваження. Нехай функція  , ,f t x z обмежена і рівномірно не- перервна по x відносно  0;t  і z R у кожній компактній множині , .dx K x R  Нехай    — це скінченна міра на  — алгебрі боре- левих множин в R i нехай     0 1 lim , , , T T f t x z dt f x z T  для кожного dx R , z R , де функція  ,f x z обмежена, рівномірно неперервна по x відносно z R у кожній компактній множині .x K Тоді для непе- рервних випадкових процесів    , dt R t R   маємо       00 lim , , t R s f s s z dz ds                  0 , t R f s z dz ds   , майже напевне для  0;t T  Розглянемо наступне представлення процесів      , , x t x t x t  :                                           1 2 1 2 2 2 2 1 2 cos sin , sin cos , cos sin , exp . at at at x t C t e A t bt A t bt x t aC t e bA t bt bA t bt x t a C t e b A t bt b A t bt N t C t at                  Тоді      2 2 2 b x t x t N t a b    ,            1 2 sin sinsin cos cos , btbt A t bt x t x t x t b b                     2 2 sin coscos cos sin , btbt A t bt x t x t x t b b          де  arctg / .b a  Застосуємо формулу Іто [8] до випадкового процесу  t        1 2, ,N t A t A t і одержимо для  t систему стохастичних диференціальних рівнянь                   2 2 1 22 2 1 , sin sin sin cos , , dN t aN t dt dH t a b bt bt dA t dH t dA t dH t b b              (3) Математичне та комп’ютерне моделювання 14     2 '' 2 '' 0 0 0 0 12 2 2 2 0 , 0 , b x x a x x N A a b a b             '' 2 2 ' 2 0 0 0 2 2 2 0 ax a b x ab x A b a b      , де                                              0 2 1 2 0 0 1 2 2 2 1 2 2 1 21 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 [ , , , , , , , , , ] , , , , , , , , , , , , , , , , , , m i m m k k m mR m k i i ii R k m mR k m mR i i dH t f t N t A t A t t f t N t A t A t t z dz dt f t N t A t A t t dw t f t N t A t A t t z dt dz f t N t A t A t t z dt dz f t                                                   1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 , , , ( , cos sin , sin cos , cos sin ), 0, , , , , , , ( , cos sin , sin cos , cos sin , ), 1, 2. i i i i i i N A A t f t N A bt A bt aN bA bt bA bt a N b A bt b A bt i m f t N A A t z f t N A bt A bt aN bA bt bA bt a N b A bt b bt z i m m                           Теорема. Нехай   0, 1, 2, 0; ,i R i t t       0 1 1 2min( , 2 , , 2 , ).m mk k k k k   Припустимо, що функції if , 0, 2,i m  обмежені і задовольняють умову Ліпшиця відносно , ,x x x  . Якщо задана нижче матриця  2 1 2,A A є невід’ємно визначеною, тоді: 1. При 0 22 , 1, 1i mk k k i m    випадковий процес    kt t   слабко збігається, при 0  , до випадкового проце- су       1 20, ,t A t A t  , де       1 2,A t A t A t — це розв’язок системи стохастичних диференціальних рівнянь                 1 2 , 0 0 , 0 , dA t A t dt A t dw t A A A     (4) де           1 2 1 2 1 2, , , A A A A A   , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 15       1 1 2 2 2 2 1 , 4 A A b a b          2 2 1 210 0 , , , ( sin cos ) ,f A A t a b dtd                2 1 2 2 2 2 1 , 4 A A b a b         2 2 1 210 0 , , , ( cos sin ) ,f A A t a b dtd               1 2 1 2 1 2, ,A A B A A           1 2 2 2 1 222 0 02 2 2 2 1 , , , , 4 f A A t B d dt b a b                           211, , 1,2 , sin co ,sijB B i j B a b              12 21 sin cos cos sin ,B B a b a b             222 cos sinB a b    ,    1 21 , , ,f A A t       0 1 2 2 1 2 2,0, , , ,0, , , ,mR f A A t f A A t z dz     ,    1 22 , , ,f A A t        2 2 1 2 1 1 2 11 ,0, , , ,0, , , , m i mi R f A A t f A A t z dz       ,     , 1, 2 ,iw t w t i    , 1, 2iw t i  — це незалежні вінерові процеси. 2. Якщо 0k k , тоді в усередненій системі (4) треба покласти 0 0f  ; якщо 2 jk k для деякого 1 j m  , тоді в усередненій сис- темі (4) треба покласти 0jf  для всіх таких j ; якщо 12 mk k  , тоді в усередненій системі (4) треба покласти 1 0mf   ; якщо 2mk k  , тоді в усередненій системі (4) треба покласти 2 0mf   . Доведення. Зробимо заміну / kt t  у системі (3) і одержимо для процесу                1 2 1 2, , , ,k k kt N t A t A t N t A t A t        систему стохастичних диференціальних рівнянь Математичне та комп’ютерне моделювання 16                   2 2 1 2 2 2 1 , sin sin / , sin cos / , k k k a dN t N t dt dH t a b bt dA t dH t b bt dA t dH t b                        (5)         0 0 0 1 2[ / , , , , /k k k kdH t f t N t A t A t t                2 2 2 1 2 2/ , , , , / ,mk k k k m mR f t N t A t A t t z dz                    /2 1 21 / , , , , /i m k k k k i i ii f t N t A t A t t dw t                   1 1 1 1 2 1/ , , , , / , ,mk k k m mR f t N t A t A t t z dt dz                     2 2 2 1 2 2/ ,, , , , / , ,mk k k R m mf t N t A t A t t z dt dz                2 , 1,k k i iw t w t i m    ,      , , ,k k j j jt A t A A t     1, 2j  , де A — це борелева множина у R . Для довільного 0  процеси   , 1,iw t i m  — це незалежні од- новимірні вінерові процеси, а  , , 1,2j t A j  — це незалежні центровані міри Пуассона, незалежні від   , 1,iw t i m  . Оскільки ми маємо співвідношення      exp k kN t at C t    і процес    kC t C t  задовольняє стохастичне диференціальне рів- няння        2 20 exp 0 , k t as C t C dH s a b       де   2 '' 0 0 2 2 0 , b x x C a b    ми можемо одержати оцінку    2 2 2[ 1 k kat k atE N t K e e             0 2 22 2 2 1 ]m i mk k k k k k i t           . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 17 Тому   2 0 lim 0E N t  , і нам достатньо вивчати поведінку, при 0  , розв’язку системи стохастичних диференціальних рівнянь             1 2 2 2 sin sin , sin cos / k k bt dA t dH t b bt dA t dH t b                  (6) з початковими умовами        1 1 2 20 0 , 0 0A A A A   , де                             0 2 1 2 0 0 1 2 2 2 1 2 2 /2 1 21 1 1 1 2 1 2 2 [ / , , , / / , , , / , ] / , , , / / , , , / , , / , m i m m k k k k k k k k m mR m k k k k i i ii k k k m mR k k m m dH t f t A t A t t f t A t A t t z dz dt f t A t A t t dw t f t A t A t t z dt dz f t                                                                      1 2 2, , / , , ,k R A t A t t z dt dz        1 2 1 2, , , ,0, , , , 0,j jf A A t f A A t j m   ,    1 2 1 2, , , , ,0, , , ,i if A A t z f A A t z    , 1, 2i m m   . Позначимо       1 2,A t A t A t    . Використавши умови на кое- фіцієнти рівняння (6) і властивості стохастичних інтегралів, одержи- мо оцінки       0 2 2 22 2 22 1 1 m i mk k k k k k i E A t K t t               ,         0 2 2 22 2 2 2 1 [ ].m i mk k k k k k i E A t A s K t s t s                Аналогічно для процесу       1 2,t t t     , де      1 20 sin sin k t bs t dM s b          ,      2 20 sin cos , k t bs t dM s b                  /2 1 2 1 / , , , /i m k k k k i i i i dM t f t A t A t t dw t            Математичне та комп’ютерне моделювання 18       1 1 1 1 2 1/ , , , / , ,mk k k m mR f t A t A t t z dt dz                  2 2 2 1 2 2/ , , , / , ,mk k k m mR f t A t A t t z dt dz            , одержимо оцінки   2 2 2 1 i m k k i E t K t      ,     2 E t s    K t s 2 2 1 i m k k i    . Тому для випадкового процесу       ,t A t t    викону- ються умови [9, с. 13–17]      0 0 lim lim sup 0 h t s h P t s            для довільного  0, , 0,t s T   , і      0 0, lim lim sup 0. N t T P t N       Отже для довільної послідовності 0, 1,2,n n    існує під- послідовність   0, 1, 2,l n l l     , імовірнісний простір і визна- чені на ньому випадкові процеси       1 2,l l l A t A t A t    ,   l t ,       1 2,A t A t A t ,  t такі, що     l A t A t  ,     l t t  за ймовірністю, при 0l  , і скінченновимірні розподіли процесів   l A t ,   l t співпадають із скінченновимірними розподілами про- цесів   l A t ,   l t . Оскільки ми цікавимось граничною поведінкою розподілів, то будемо розглядати процеси   l A t ,   l t замість про- цесів   l A t ,   l t . Із (6) одержимо рівняння          0 0 , , l l l l t A t A s A s ds t       (7)       1 20 0 , 0 ,A A A де           1 2 1 2 1 2, , , , , ,s A t A A t A A     ,          1 1 2 1 212 sin sin , , , , k k bt t A A f t A A b            ,          2 1 2 1 212 sin cos , , , , k k bt t A A f t A A b           , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 19       0 2 1 2 0 0 1 21 2 2 1 2 2 , , ( , , , ) ( , , , , ) .m k k k k m mR f t A A f t A A t f t A A t z dz                 Зауважимо, що процес  t є векторно-значним квадратично інтегровним мартингалом із матричною характеристикою                    , , 1 2 1 21 0 , , , , , tml n l j n j j t s A s A s s A s A s ds                              1 2 1 2 10 1 , , , , , , t l n k R s A s A s z s A s A s z dz ds                           1 2 1 20 2 1 , , , , , , , t l n k R s A s A s z s A s A s z dz ds           , 1, 2,l n  де      1, 2 1 2 1 22 sin sin , , , , , , j kk k jj j k k bs s s s A A f A A b                           2, 2 1 2 1 22 sin cos , , , , , , j kk k jj j k k bs s s s A A f A A b                         1 1 1 1 2 1 1 22 sin sin , , , , , , , ,m k k m m k k bs s s s A A z f A A z b                           1 1 1 2 2 2 1 1 2 sin cos , , , , , , , ,m k k m m k k bs s s s A A z f A A z b                          2 1 2 1 2 2 1 22 sin sin , , , , , , , ,m k k m m k k bs s s s A A z f A A z b                           2 2 1 2 2 2 2 1 2 sin cos , , , , , , , .m k k m m k k bs s s s A A z f A A z b                      Для процесів  A t і  t мають місце наступні оцінки             0 2 4 44 4 4[ ],mk k k k E A t A s K t s E t s                (8) Математичне та комп’ютерне моделювання 20     1 1 2 2 24 2 3/ 24 2 4 3 /2 1 3/ 24 4 3 /2 4 j m m m m m k k k k j k k k k k k E t s t s t s t s t s t s                                 (9)         8 8 , .E A t A s K E t s K        (10) Оскільки     l A t A t  ,     l t t  за ймовірністю, при 0l  , то, використавши (10), із (8) і (9), одержимо оцінки     4 4 2 )( ,E A t A s K t s t s         4 2 E t s K t s    . Таким чином, процеси  A t і  t задовольняють умову непе- рервності Колмогорова [10, с. 235]. Розглянемо випадок 0 22 , 1, 1j mk k k j m    . При цій умові маємо для , 1, 2l n                                    1 2 1 200 , , 1 2 1 2100 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ln 1 22 1 lim , , , , 1 lim [ , , , , 1 , , , ( , , , ) 1 , , , ( , , , ) , , t l l t m l j n j j l n k R l n k R s A A ds A A t s A A s A A t s A A z s A A z dz s A A z s A A z dz B A A                               (11) де функції    1 2,i A A і     1 2 1 2, , , , 1,2ijB A A B A A i j  визначені в умовах теореми. Так як процеси  A t і  t є неперервними, то із Леми і співвідношень (7), (11) маємо           1 20 0 , , t A t A A s A s ds t    (12) де  t — це неперервний векторно-значний мартингал з матрич- ною характеристикою           1 20 , , , , 1, 2. ti j ijt B A s A s ds i j    Тому [3, с. 114] існує вінерів процес     , 1,2iw t w t i  такий, що         1 20 , t t A s A s dw s   (13) де    1 2 1 2 1 2, ,A A B A A  . Співвідношення (12), (13) означають, що процес  A t задовольняє стохастичне диференціальне рівняння (4). При виконанні умов теореми рівняння (4) має єдиний розв’язок. Тому Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 14 21 процес  A t не залежить від вибору підпослідовності 0l  , і скін- ченновимірні розподіли процесу ( ) l A t збігаються до скінченновимір- них розподілів процесу  A t . Оскільки процеси ( ) l A t і  A t є проце- сами Маркова, то використавши умови слабкої збіжності процесів Ма- ркова [10, c. 508], одержимо доведення першого твердження теореми. Розглянемо випадки 0k k або 2mk k  . Тоді відповідні члени у коефіцієнтах    1 2, , , 1,2i t A A i  рівняння (7) прямують до нуля, при 0  . У випадку 2 jk k для деяких 1,j m , в (11) маємо для таких j          2, , 1 2 1 2, , , , , , 1, 2.jk kl j n jt A A t A A O l n      Якщо 12 mk k  , тоді у (11) одержимо          12 1 2 1 2 1 1 , , , ( , , , ) .m l n k k k R s A A z s A A z dz O        Зауважимо, що у всіх випадках 22 mk k  , тому        1 2 1 2 0 2 1 lim , , , ( , , , ) 0.l n k R s A A z s A A z dz       Повторивши з відповідними змінами доведення першого твер- дження теореми, одержимо доведення твердження 2). Висновки. У роботі ми одержали явний вигляд коефіцієнтів усе- редненої системи у нерезонансному випадку для коливної системи тре- тього порядку. При цьому було проведено дослідження впливу кожно- го типу випадкового збурення на вигляд коефіцієнтів в залежності від порядку малості цих збурень. Запропонований метод дослідження в подальшому буде використано для дослідження резонансного випадку і вивчення граничної поведінки коливних систем вищих порядків. Список використаних джерел: 1. Крилов Н. М. Введение в нелинейную механику / Н. М. Крылов, М. М. Боголюбов. — К. : Изд. АН УССР, 1937. — 366 с. 2. Боголюбов М. М. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / М. М. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М. : Наука, 1974. — 408 с. 3. Гихман И. И. Теория случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скоро- ход. — М. : Наука, 1973. — Т. 3. — 496 с. 4. Самойленко А. М. Якісний та асимптотичний аналіз диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями / А. М. Самойленко, О. М. Станжиць- кий. — К. : Наукова думка, 2009. — 336 с. 5. Борисенко О. В. Малые случайные возмущения в колебательных систе- мах второго порядка / О. В. Борисенко // Украинский математический журнал. — 1992. — Т. 44, № 1. — С. 11–17. 6. Борисенко О. В. Поведение неавтономной колебательной системы под действием малых случайных возмущений в резонансном случае / Математичне та комп’ютерне моделювання 22 О. В. Борисенко // Украинский математический журнал. — 1992. — Т. 44, № 12. — С. 1645–1651. 7. Borysenko O. D. The limit behavior of integral functional of the solution of stochastic differential equation depending on small parameter / O. D. Bory- senko, I. G. Malyshev // Theory of Stochastic Processes. — 2001. — Vol. 7(23), № 1–2. — P. 30–36. 8. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гих- ман, А. В. Скороход. — К. : Наукова думка, 1968. — 356 с. 9. Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов / А. В. Скороход. — К. : Изд. Киевского университета, 1961. — 216 с. 10. Гихман И. И. Теория случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скоро- ход. — М. : Наука, 1975. — Т. 1. — 664 с. The asymptotic behavior of non-autonomous oscillator system given by third order differential equation with small non-linear periodical external dis- turbances of multidimensional white noise type, centered and non-centered Poisson noises types is studied. The non-resonance case is considered. Key words: asymptotic behavior, non-autonomous oscillator system, sto- chastic differential equation, centered and non-centered Poisson measures. Отримано: 23.08.2016 УДК 517.5 У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук, В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський ЗАДАЧА НАЙКРАЩОЇ У РОЗУМІННІ ЗВАЖЕНОЇ ХАУСДОРФОВОЇ ВІДСТАНІ РІВНОМІРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ У МНОЖИНІ НЕПЕРЕРВНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ З КОМПАКТНИМИ ОПУКЛИМИ ОБРАЗАМИ У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні зваженої хаусдорфової відстані рівномірної апроксимації фік- сованого відображення з множини неперервних відображень з компактними опуклими образами підмножиною цієї множини. Отримано низку допоміжних результатів, які становлять і самостійний інтерес. Ключові слова: найкраща у розумінні зваженої хаусдор- фової відстані рівномірна апроксимація, відображення з опук- лими образами, необхідні, достатні умови, критерій екстре- мальності елемента. Вступ. У статті для задачі найкращої у розумінні зваженої хаус- дорфової відстані рівномірної апроксимації фіксованого відображен- ня з множини неперервних відображень з компактними опуклими © У. В. Гудима, В. О. Гнатюк, 2016 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description << /ARA <FEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064506390020064506420627064A064A0633002006390631063600200648063706280627063906290020062706440648062B0627062606420020062706440645062A062F062706480644062900200641064A00200645062C062706440627062A002006270644062306390645062706440020062706440645062E062A064406410629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E> /BGR <FEFF04180437043f043e043b043704320430043904420435002004420435043704380020043d0430044104420440043e0439043a0438002c00200437043000200434043000200441044a0437043404300432043004420435002000410064006f00620065002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d04420438002c0020043f043e04340445043e0434044f044904380020043704300020043d043004340435043604340435043d0020043f044004350433043b04350434002004380020043f04350447043004420020043d04300020043104380437043d0435044100200434043e043a0443043c0435043d04420438002e002000200421044a04370434043004340435043d043804420435002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d044204380020043c043e0433043004420020043404300020044104350020043e0442043204300440044f0442002004410020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200441043b0435043404320430044904380020043204350440044104380438002e> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <FEFF00410020006800690076006100740061006c006f007300200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0020006d00650067006200ed007a00680061007400f30020006d0065006700740065006b0069006e007400e9007300e900720065002000e900730020006e0079006f006d00740061007400e1007300e10072006100200073007a00e1006e0074002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c00200068006f007a006800610074006a00610020006c00e9007400720065002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <FEFF004e006100750064006f006b0069007400650020016100690075006f007300200070006100720061006d006500740072007500730020006e006f0072011700640061006d00690020006b0075007200740069002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b0075007200690065002000740069006e006b006100200070006100740069006b0069006d006100690020007000650072017e0069016b007201170074006900200069007200200073007000610075007300640069006e0074006900200076006500720073006c006f00200064006f006b0075006d0065006e007400750073002e0020002000530075006b0075007200740069002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400610069002000670061006c006900200062016b007400690020006100740069006400610072006f006d00690020004100630072006f006200610074002000690072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610072002000760117006c00650073006e0117006d00690073002000760065007200730069006a006f006d00690073002e> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge