Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями

Досліджені проблемні задачі, пов'язані з оцінкою похибок у розв’язках зашумлених систем, мінімізацією похибок обчислень при гауссових перетвореннях, прискоренням швидкості збіжності ітераційних методів....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Абрамчук, В.С., Абрамчук, І.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133970
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями / В.С. Абрамчук, І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 5-21. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133970
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1339702018-06-11T03:03:27Z Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В. Досліджені проблемні задачі, пов'язані з оцінкою похибок у розв’язках зашумлених систем, мінімізацією похибок обчислень при гауссових перетвореннях, прискоренням швидкості збіжності ітераційних методів. The problems, that investigates, was related with estimation of errors in the solutions of noised systems and minimizations errors of calculations that arise in Gaussian transformations and acceleration of convergence of the iterative methods. 2017 Article Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями / В.С. Абрамчук, І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 5-21. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133970 519.612 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Досліджені проблемні задачі, пов'язані з оцінкою похибок у розв’язках зашумлених систем, мінімізацією похибок обчислень при гауссових перетвореннях, прискоренням швидкості збіжності ітераційних методів.
format	Article
author	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В.
spellingShingle	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В. Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В.
author_sort	Абрамчук, В.С.
title	Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями
title_short	Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями
title_full	Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями
title_fullStr	Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями
title_full_unstemmed	Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями
title_sort	оптимізаційні методи розв’язування систем ax=b з погано зумовленими матрицями
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133970
citation_txt	Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями / В.С. Абрамчук, І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 5-21. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT abramčukvs optimízacíjnímetodirozvâzuvannâsistemaxbzpoganozumovlenimimatricâmi AT abramčukív optimízacíjnímetodirozvâzuvannâsistemaxbzpoganozumovlenimimatricâmi
first_indexed	2025-07-09T19:59:16Z
last_indexed	2025-07-09T19:59:16Z
_version_	1837200738284994560
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 5 УДК 519.612 В. С. Абрамчук, канд. фіз.-мат. наук, І. В. Абрамчук, старший викладач Вінницький державний педагогічний університет імені М. Коцюбинського, м. Вінниця, **Вінницький національний технічний університет, м. Вінниця ОПТИМІЗАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ Ax b   З ПОГАНО ЗУМОВЛЕНИМИ МАТРИЦЯМИ Досліджені проблемні задачі, пов'язані з оцінкою похибок у розв’язках зашумлених систем, мінімізацією похибок обчис- лень при гауссових перетвореннях, прискоренням швидкості збіжності ітераційних методів. Ключові слова: оцінка похибок розв’язку, багатошаровий метод гауссового виключення, локальний базис методу напрям- леного пошуку, відношення Релея. Вступ. СЛАР з погано зумовленими матрицями необхідно розв’я- зувати у багатьох задачах практики: в задачах математичної обробки і прогнозування експериментів, в задачах оптимального управління і оп- тимального прогнозування технічних систем, при дослідженні природ- них явищ і катаклізмів [1–10, 13]. Одним з підходів до розв'язування та- ких задач є різницеві рівняння і метод скінченних елементів. При цьому матриці таких систем є розрідженими, великих порядків і погано зумов- леними. Для створення ефективних методів розв'язування систем з пога- но зумовленими матрицями необхідно вияснити причини, що перешко- джають збіжності ітераційних методів та розробити нові принципи при- скорення їх збіжності та мінімізації похибок обчислень при гауссових перетвореннях матриці. Основою таких досліджень є роботи [11, 12]. Постановка проблеми. Нехай необхідно розв’язати систему ліній- них алгебричних рівнянь (СЛАР), яка має вид Ax b   ,  n nA M   , nb    ,з матрицею A довільної структури, погано зумовленою, велико- го порядку. Нерозв’язаними або недостатньо дослідженими є проблемні задачі: 1) вплив похибок на розв’язок СЛАР  , , ,x A b E b   :    A E x x b b       , E , b  ― похибки даних і обчислень; 2) при- чини, що не дозволяють існуючим методам бути ефективними при розв’язуванні таких СЛАР; 3) стратегія розробки стійких алгоритмів розв’язування СЛАР в умовах похибок обчислень. Аналіз актуальних досліджень. СЛАР з погано зумовленими мат- рицями необхідно розв’язувати у багатьох задачах практики: в задачах © В. С. Абрамчук, І. В. Абрамчук, 2017 Математичне та комп’ютерне моделювання 6 математичної обробки і прогнозування експериментів, в задачах опти- мального управління і оптимального прогнозування технічних систем, при дослідженні природних явищ і катаклізмів [1–10]. При розв’язувані СЛАР з погано зумовленими матрицями, в літературі не існує єдиного підходу: з однієї сторони, обґрунтовується, що необхідно відмовитися від розв’язання систем з матрицями типу матриці Гільберта, оскільки число зумовленості таких матриць наближається до 3.5ne [3]; з другої сторони матриці Гільберта широко застосовуються у регресійному ана- лізі, тощо, тому необхідно розробляти методи розв’язування таких сис- тем [2; 8]; по-третє, існує цілий клас методів спряжених напрямів, засно- ваних на погано зумовленому базисі Крилова, які ефективно використо- вуються для розв’язування різницевих рівнянь [2; 4]. Причиною таких протиріч є недостатній аналіз факторів, які впливають на ефективність методів розв’язування систем з погано зумовленими матрицями. Мета статті. 1. Виконати аналіз впливу похибок обчислень на похибку розв’язку СЛАР. 2. Розробити багатошаровий метод гауссо- вих перетворень, що мінімізує похибку обчислень. 3. Розробити стра- тегію побудови ітераційних методів розв’язування СЛАР на основі системи повних базисів Крилова. Основна частина. 1. Аналіз похибок у розв’язках зашумлених систем. Однією з основних проблем теорії лінійних алгебраїчних систем є аналіз впливу похибок заокруглення і похибок початкових даних (по- хибок невизначеності) на розв’язок, обчислений на ЕОМ у скінчено- розрядній арифметиці [2–4; 10]. На основі оберненого аналізу, на місце розв’язку системи Ax b   ,  n nA M   , rank A n , b im A  , дослід- жується точний розв’язок зашумленої системи   A E x x b b         , де ,E b  ― похибки. Якщо  1 1A E   , то матриця A E має обер- нену і можна оцінити відносну похибку розв’язку зашумленої системи через число зумовленості матриці [2; 3; 10]. Ця оцінка є апріорною, оскі- льки в неї не входить ні обчислений розв’язок x x x      , ні розв’язок системи Ax b   [10]. Вона не дає способу, як керувати обчислювальним процесом, щоб зменшити похибку розв’язку. Допустимо, що похибки коефіцієнтів матриці є неперервними параметрами, тоді квадратну матрицю A E можна вважати лінійним оператором деякої системи лінійних диференціальних рівнянь. Зада- ча дослідження поведінки матриці і розв’язків системи рівнянь зве- деться до структурної стійкості матриці при збуренні параметрів (те- орія канонічних форм Жордана-Арнольді [9]). Проте цей підхід та- кож не дає способу мінімізації похибки розв’язку. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 7 У роботі [12] пропонується розв’язок «зашумленої» системи до- сліджувати як дробово-раціональну функцію похибок на основі фор- мул Крамера. Скористаємось тим, що визначник матриці є лінійною функцією вектор-стовпців (рядків) матриці [4]. Запишемо розв’язки систем Ax b   ,   A E x x b b         че- рез визначники: 0i ix D D ,    0 0i i i ix x D D D D      . Тоді похибки компонент розв’язку    0 0 0i i ix D x D D D       . Не втрачаючи загальності, запишемо зашумлену систему другого порядку у матрично-векторній формі  1. 1. 2. 2. .A E A E x x b b            Тоді в силу лінійності визначників відносно вектор-стовпців матриці, матимемо       0 0 1. 1. 2. 2. 1. 2. 1. 2. 2 1. 2. 1. 2. 0 0 0 det det det det det , D D A E A E A A A E E A E E D L E K E                                   1 1 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 1 1 2. 1 2. det det det det det , , , D D b b A E b A b A b E b E D L b E K b E                                           (1) аналогічно    2 2 2 2 2 1. 2 1., ,D D D L b E K b E        . Тут позначено: 1. 2.det c c     ― визначник матриці, складеної з двох вектор-стовпців 1.c , 2.c ; L ― лінійна форма похибок; mK ― похибки вищих порядків. Компоненти похибок розв’язку зашумленої системи другого по- рядку      2 2 2 0 0 0 0 0 , 1, 2.i i i i ix L x L K x K D L K i               Для довільної зашумленої системи n -го порядку похибки ком- понент розв’язку  1:i n  матимуть вид:  1 1 0 0 00 02 2 , n nj jj i i i i ij jx L x L K x K D L K                     (2) де 0L ― лінійна форма похибок матриці, 0L ― сума n визначників матриць  . .\ i iA A E , де кожен i -й стовпчик .iA заміщується векто- ром похибок .iE ; iL ― лінійні форми похибок матриць ., \ ib E E     , в яких на місце вектора .iE ставиться вектор b  (є сумами відповідних визначників). Математичне та комп’ютерне моделювання 8 Теорема 1. Для того, щоб зашумлена система   A E x x     b b    була стійкою до похибок  ,E x  , необхідно, щоб допущені похибки задовольняли нерівність 1 0 0 0 02 sgn 1 n j jD L K D     , (3) необхідно і достатньо, щоб виконувалась нерівність (3) і [1: ]k n  нерівності kx   , що еквівалентно нерівностям  1 1 0 0 0 0 02 2 n nj j j k k k kj jL x L K x K D L K            , (4) (  — абсолютна величина). Доведення теореми 1 випливає з вищенаведених формул (1), (2). Висновок. Зростом розмірності матриці похибки у розв’язках зростають, оскільки похибки матриці і правої частини належать про- стору 2n n (у той час, як розв’язок належить простору n ). На основі проведеного аналізу побудуємо метод гауссового пе- ретворення матриці, що мінімізує похибку обчислень. 2. Багатошаровий алгоритм гауссового перетворення (виклю- чення). При розв’язуванні систем Ax b   , ( )n nA M   , rank A n , b im A  , з допомогою машинної арифметики методом гауссового ви- ключення (або іншим прямим методом) необхідно досліджувати дві проблемні задачі, пов’язані з запобіганням: 1) катастрофічної втрати точності (втрати старших розрядів [2]) у компонентах перетвореної мат- риці або, навпаки, у непомірному зростанні значень компонент [3]; 2) зростання числа зумовленості при перетвореннях матриці (наближен- ня матриці до виродженої). Ці проблеми тісно пов’язані між собою і ви- магають оцінки наближених розв’язків [2–4; 10]. Із загальної теорії збурень випливає, що повністю усунути похибки обчислень при лінійних перетвореннях неможливо [2–10], їх можна ли- ше зменшити за рахунок оптимізації методу перетворень системи. У ро- боті [11] доведено, що метод гауссового виключення на кожному i -му кроці, [1: 1]i n  , є процесом ортогоналізації вектор-рядків .kA [ 1: ]k i n   до одиничного вектора ie . Тому для розв’язання першої проблемної задачі, необхідно на кожному i -му кроці знаходити розв’я- зуючий вектор-рядок 0.iA , що утворює найменший кут з вектором ie [11]. Похибка обчислень при перетвореннях  . , 0k iA e     . . , ,, 0 0k k i i k i k i iA A e A A        буде найменшою для всіх Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 9  1:k i n  , якщо абсолютне значення ,i iA найбільше (такий елемент ,i iA називають головним [2; 3]). Оскільки головний елемент повинен належати розв’язуючому вектор-рядку, то задача його визначення екві- валентна задачі [11]: обчислити індекси 0i , 0j для яких досягається          . , . 2: 1: : 1: max max cos , max maxk i k j kj i n k n j i n k n A e A A       . Отже, задача зменшення похибки обчислень на i -му кроці в ме- тоді гауссового виключення (який назвемо одношаровим) полягає у знаходженні як розв’язуючого вектор-рядка 0.iA так і розв’язуючого вектор-стовпця 0 .jA , на перетині яких знаходиться головний елемент 0 0,i jA (який обмінюється з елементом ,i iA шляхом перестановки век- тор-рядків, вектор-стовпців). Щоб одночасно розв’язати обидві про- блемні задачі, побудуємо багатошаровий метод гауссового перетво- рення шляхом одночасного обнулення піддіагональних елементів у стовпцях .iA ,…,  1 .i mA   , m n . Виконаємо обернений аналіз для 2m  , тоді для  2 :k i n   :  . , 0k iA e   ,  . 1, 0k iA e    , (5)  . . . . 1:k k k i k iA A A A      , , , 1 , 1 1, 1, 1 0, 0. k i k i i k i i k i k i i k i i A A A A A A                 Мінімізація похибки обчислень при розв’язуванні сукупності сис- тем (5)  2 :k i n   досягається тоді і лише тоді, якщо головний визначник  2 , 1, 1 1, , 10 i i i i i i i iD A A A A     приймає найбільше абсолют- не значення. Отже необхідно знайти нову пару розв’язуючих векторів 1.iA , 1 .jA з умови     , , , , 1: 1: max max i i k j k i i jk i n j i n A A A A      , що реалізується простою алгоритмічною процедурою. Якщо уже виконане упорядкування матриці  1: , 1:A i n i n  шляхом перестановки вектор-рідків  . 1iA  , 1.iA , вектор-стовпців  1 .iA  , 1 .jA , то наступна тришарова процедура гауссового виключен- ня:  3 :k i n   ,  . , 0k iA e   ,  . 1, 0k iA e    ,  . 2, 0k iA e    ,    . . . . 1 . 2:k k k i k ki iA A A A A       , (6) Математичне та комп’ютерне моделювання 10 зведеться до пошуку нової пари розв’язуючих векторів 2.iA , 2 .jA шля- хом максимізації абсолютного значення визначника третього порядку системи (6). Оскільки процедура введення нових розв’язуючих векторів . tiA , .tiA ,  1: 1t m  є вкладеною (рекурентною) (без перетворень матриці), то алгоритм m -шарового, 2m  , гауссового перетворення легко здійснюється для довільних щільно заповнених матриць. Парамет- ри m -шарових гауссових перетворень після визначення розв’язуючих векторів можна знайти методом Крамера, оскільки головні визначники обчислені. З використанням, наприклад, тришарового процесу (6) одно- часно обнуляються піддіагональні елементи в трьох вектор-стовпцях .iA ,  1 .iA  ,  2 .iA  для  3 :k i n   без попереднього використання одно- шарових і двошарових процедур. Після завершення тришарового проце- су для  3 :k i n  перетворюється рядок  . 2iA  двошаровою процеду- рою, і нарешті  . 1iA  ― одношаровою. Теорема 2. m -шаровий процес гауссового виключення корект- ний: мінімізує похибку обчислень, однозначно визначає параметри перетворень матриці, не приводить до виродження системи. Доведення теореми 2. Оскільки за умовою матриця A не виро- джена, то для неї існують відмінні від нуля визначники всіх порядків 2 m n  . Їх найбільше абсолютне значення гарантується скінченим числом переборів по  , :k j i t n  ,  1: 1t m  (тобто простою дво- циклічною програмною реалізацією). Процес обчислень економний, оскільки використовує лінійні векторні перетворення типу (6). Мінімі- зація похибки обчислень гарантується вибором розв’язуючих векторів. 3. Модифікований алгоритм гауссового виключення для щільно заповнених погано зумовлених матриць. Для того, щоб процес гауссового виключення був стійким при машинній реалізації, пропонується масштабування матриці  ,A b  [2; 3]. Запропонований в п. 2 алгоритм гауссового виключення дозво- ляє модифікувати обчислювальний процес в залежності від типу мат- риці. Нехай розв’язується система з матрицею типу матриці Гільбер- та    , 1 1 1 n i j H i j     , яка виникає у багатьох практичних дослі- дженнях (поліноміальна регресія [2, 3, 10]) і є погано зумовленою (число зумовленості асимптотично наближається до cne , 3.5c  [10], наприклад, похибки в даних поліноміальної регресії 10-го порядку зростають на множник, більший, ніж 123 10 [3]. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 11 Виникає питання, у чому причина сильного зростання похибок у розв’язках систем з погано зумовленими матрицями. Очевидна від- повідь, що матриця типу матриці Гільберта є погано зумовленою — одностороння. Більш глибока причина полягає у тому, що не дивля- чись на частковий або повний вибір головного елемента, гауссове перетворення матриці Гільберта приводить до зростання числа зумо- вленості перетворюваних векторів і не зростання значень визначників у перетворених матрицях  : , :A i n i n ,  1: 1i n  (наближення мат- риці  : , :A i n i n до виродженої ― до структурної нестійкості). Побудуємо алгоритм гауссового виключення для матриць типу матриці Гільберта або матриці Коші [2], що мінімізує похибку обчис- лень. Нехай на кожному i -му кроці перетворень матрицю можна ма- сштабувати, наприклад, за умовою , 1k iA  ,  :k i n . Тоді, на основі п.2, розв’язуючим вектор-рядком є той, для якого досягається , 1max k iA  ,  :k i n . Для матриці Гільберта порядку 2n  , розв’язуючим вектором для 1i  є не .1A (що визначається стандарт- ним методом гауссового виключення [2], а вектор . . ,1:n n nA A A . Всі наступні перетворення з умовою масштабування , 1k iA  ,  :k i n , для матриці Гільберта є стійкими. Нехай матриця A не може бути задовільно масштабована умовою , 1k iA  ,  :k i n (частковий вибір), або , 1k jA  ,  , :k j i n (повний вибір) [3]. На початковому кроці розширимо матрицю  ,A b  , n nA M  до матриці  1, 1A b  ,    1 11 n nA M    введенням першого стовпця з оди- ничних елементів ,11 1kA  ,  1: 1k n  , першого рядка з елементів одиничного вектора .1 11A e  ,  , 2 : 1i j n   , , 1, 11i j i jA A   ; з елеме- нтами правих частин: 1 1b  ,  2 : 1i n   , 11 1i ib b   . Алгоритм. Сформувати матрицю  1, 1A b  . Для  1: 1i n  вибрати пару розв’язуючих векторів a , c з ве- ктор-рядків .kA ,  : 1k i n  таких, що для всіх векторів     . 1 . 1,...,i nd A A   , d a c     виконуються умови: :d d a c        ,  , 0id e    ,  1, 1id e     , де  1    ,    1 1 1 11 i i i id a c a        . Математичне та комп’ютерне моделювання 12 Розв’язуючі вектори a , c вибираються з умови   1 1 : max i ij i n c a       , 1 , 1 , : 1 max 1 1k i j ik j i n A A      (частковий вибір), або   , , , : 1 max 1 1k t j tk j i n A A    (повний вибір для всіх стовпчиків  1: 1t i n   ),  1: 1 max 0t tt i n c a      існує (у протилежному випадку матриця 1A вироджена). 4. Конус minK . При розв’язуванні систем Ax b   ітераційними методами основна увага приділена асимптотичній швидкості збіжно- сті, з розрахунку що буде досягнута на деякому кроці задана точність r   . Ця теоретична оцінка лежить, як правило, в основі порівнян- ня методів на ефективність. Але в дійсності оцінка не виконується, особливо при розв’язуванні систем з погано зумовленими матрицями. На перешкоді стає конус minK . Простір n розбивається гіперпло- щинами .i iA x b   ,  1,...,i n , на 2n конусів з вершиною у точці 1x A b   . Пару конусів, що містять сингулярну пряму minx x t      , min  ― власний вектор матриці TA A , що відповідає  min TA A , назвемо конусом minK (конусом мінімальних нев’язок). Щоб пояснити деталі, розглянемо приклад у просторі 2 . Приклад. Проаналізувати систему Ax b   , 1 1 1 0.9999 A        , 0 0.01 b         , 100 100 x        . Обчислимо основні характеристики:    max min 12648.79453cond T TA A A A A   , det 0.0001A   ,  max 3.99980075TA A  ,  min 0.000000025TA A  , 1 min 2 100 0.999950012 , : 100 ; x t S x t       1 max 2 100 1.000967 , : 100 ; x t S x t       t , minS , maxS , ― сингулярні прямі, що визначаються власними векторами min  , max  матриці TA A . Малість нев’язки в області minK не дозволяє оцінити реальний розв’язок, оскільки норма нев’язки може стати малою величиною, а норма похибки залишатись великою величиною. Будь-який ітерацій- ний процес, що заснований на мінімізації норми вектора нев’язки або Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 13 норми вектора похибки, швидко приводить наближення в область minK . Дійсно, виберемо дві початкові точки  (1) min150;50 Tx K   , (1) 2 158x x    ,  (2) min0;0 Tx K   , (2) 2 14x x    . Застосуємо один і той же ітераційний процес ( ) ( ) ( )k k T k kx x A r     , 2 2( ) ( ) 2 2 k T k k r A r     , що мінімізує норму вектора похибки, діста- немо  (1) 49.999 49.996 Tx     ;  (2) 0.0050005 0.005 Tx    ; (1) (2) min,x x K     , (обчислення проведені на 10-розрядному калькуляторі). Незалежно від того, що (1) minx K  , (2) minx K  , ітераційний процес за один крок привів нові наближення в область minK (точніше, точка (1)x , яка не належить minK і знаходилась на великій відстані від розв’язку, пе- рейшла в ближчу точку (1) minx K   , ніж точка (2)x , що знаходилась в minK на меншій відстані від розв’язку, яка майже не змінила своє положення). Обчислені нев’язки (1)r   , (2)r   не вносять ніякого роз’яснення в дану ситуацію. 5. Ітераційні методи розв’язування систем Ax b   великих порядків. Щоб обґрунтувати можливу ефективність довільного ме- тоду розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь з невиро- дженими погано зумовленими матрицями великих порядків, необхід- но виконати аналіз впливу похибок заокруглення на результат обчис- лювального процесу реалізації алгоритму методу у машинній ариф- метиці (в умовах скінчено-розрядної сітки). Оскільки прямі методи пов’язані з накопиченням похибок при перетвореннях матриці, то вони відносяться до неефективних методів розв’язування систем з погано зумовленими матрицями великих порядків. Нерозв’язаною проблемою є: «чи існує стратегія побудови іте- раційних методів розв’язування таких систем, яка забезпечує як тео- ретичну збіжність, так і її практичну алгоритмічну реалізацію у скін- чено-розрядній арифметиці при економній кількості обчислень». Іс- нують дві принципово різні стратегії побудови ітераційних методів. Перша — ітераційний процес задається у формі 0,1,...k  ( 1) ( ) ( )k k k kx x c      (або у більш загальній формі ( 1)kx    ( ) ( ) ( )k k k kB x w    ), де ( )kB , ( )kc , ( )kw , задаються в залежності від класу методів, як функції матриці A , правої частини b  , наближення до 1A , можуть враховувати структуру матриці та попередні наближення Математичне та комп’ютерне моделювання 14 за t кроків [2; 4]. Збіжність цих процесів заснована на мінімізації векто- ра похибки ( 1) ( 1)k kx x        або вектора нев’язки ( 1) ( 1)k kr A x b     , або на іншій процедурі, наприклад, на побудові спряжених, бі- спряжених напрямів, тощо. Проте всі ці процедури, за умови збіжності, приводять в область minK , де процес збіжності сповільнюється і може стати, в силу похибок обчислень, неконтрольованим відносно монотон- ності процесу. Більш глибокі результати у розв’язуванні систем з погано зумовленими матрицями засновані на принципі регуляризації ― побу- дові псевдорозв’язку з мінімальною нормою 2  [8]. Але, якщо шукати нормальний розв’язок відносно 1x A b   , то знову виникне проблемна задача впливу похибок заокруглення на збіжність методу (оскільки аб- солютний нуль у машинній арифметиці відсутній). Запропонуємо двоциклічну стратегію розв’язування цієї про- блеми на основі методу напрямленого пошуку [12]: ( , ) ( ) ( , ) , k j j k j k jx x c     , 0,1,...,k m , 21,...,j m , (7) де у внутрішньому циклі по  0,1,...,k m наближення ( )jx , нев’язки ( ) ( )j jr A x b    не змінюються і а) наближення ( 1)jx  ,  20,1,...,j m (зовнішній цикл) оптимізується у внутрішньому циклі за рахунок напрямного вектора ( , )k j mc K  ,  ( , ) ( ), 0k j jc r    , шляхом мінімізації норми 2  вектора похибки ( , ) ( , )k j k jx x      , але вектор ( , )k jx не обчислюється); б) нев’язка ( 1)kr  оптимізується у внутрішньому цик- лі за рахунок вектора-поправки ( , )k j mc K  ,  ( , ) ( ), 0k j jAc r    шляхом мінімізації норми 2  вектора нев’язки ( , ) ( , )k j k jr A x b    , але век- тори ( , )k jx , ( , )k jr не обчислюються. Ітераційні процеси а), б) форма- льно ідентичні з точки зору організації обчислень, проте мають різ- ний геометричний зміст. Побудуємо алгоритм процедури б) (для п. а будується аналогіч- но), який складається з двох етапів: 1) обчислення початкового век- тора (0)x ; 2) уточнення розкладу вектора b  . Алгоритм обчислення початкового вектора (0)x . Вектор x , розв’язок системи Ax b   , визначає розклад вектора b  по неортого- нальному базису  . 1 n i i i A Ae    . На місце фактичного розкладу, вико- наємо ортогональні проекції b  на вектори .iA , дістанемо наближені Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 15 значення компонент   2(0) 2 ,i i ix b Ae Ae    розкладу. Вектор (0) .1 n i iib A x      за напрямом і евклідовою довжиною не збігається з вектором b  . Масштабуємо вектор b  за умови 2 2 b b      2 2 b b    . Масштабований вектор (0) (0)y x   приймемо за початковий розв’язок системи Ax b   . Побудуємо алгоритм уточнення розв’язку системи Ax b   (з ма- трицею – чорний ящик) на основі базисних векторів mKr     (0) (0) 1 (0) 0 1 1, ,..., , ,...,m mr Ar A r u u u         підпростору Крилова і системи повних базисів   1 n i iKe  . Базисні вектори підпростору Кри- лова є сильнозумовленими, тому їх ортогоналізація методом Грама- Шмідта (Арнольді або Ланцоша) приводить до швидкої розортогона- лізації в силу похибок обчислень [2; 4], отже m n . Систему повних базисів найпростіше формувати на основі одиничного базису   1 n i ie   у формі криловських базисів  1, ,..., m i i i iKe e Ae A e    ,  1:i n . Роз- мірністьm криловських базисів  1, ,..., m mK p A p A p    вибиратиме- мо в залежності від зумовленості матриці A , за правилом: 0,1,..., 2j t m    виконується  1cos , 1 10j j sA p A p     і  1cos , 1 10m m sA p A p     ( 1s  ― ціле додатне число, що вибира- ється в залежності від машинної точності. Базис    (0) (0) 1 (0) 0 1 1, ,..., , ,...,m m mKr r Ar A r u u u         , m n як не повний базис, використаємо для побудови початкового вектора (0)c . Методом Грама-Шмідта з векторів системи   1 0 m i iu    побудуємо A -орто- гональну систему   1 0 m i i u     ,  , 0i jAu Au      , i j . Вектор (0)c , що опти- мізує норму 2  вектора нев’язки 1 0 0 m i iir r Au       запишемо у формі 1 0 0 m i iic u      ,   2(0) 2 ,i i ir Au Au       . (8) Результатом є вектор (0)c , що забезпечує монотонність процесу: (0) (0)x x c     ,   2(0) (0) (0) 2 ,r c Ac      . Дійсно 2 2(0) 22 r r    Математичне та комп’ютерне моделювання 16  2 2 2(0) (0) (0) (0) 2 2 ,r Ac Ac r      Оптимальні параметри i розра- ховані теоретично в абсолютній арифметиці. Чим менше похибка розортогоналізації, тим ближче реально обчислений вектор (0)c до оптимального. Уточнимо вектор (0)c , якщо  2 (0) (0)cos , 1 10 sr Ac      на ос- нові системи повних базисів iKe у формі ( ) ( ) ( , ) ,:i i k i k ic c s      ,  (0)i I r  ,  0,1,..., 1k m  , де  (0)I r ― множина індексів  1,...,i n упорядкована за неспаданням послідовності 2(0) 2 , i ir Ae Ae   . Вектори ( , )k is формуються з векторів  ( ) ( ) 0 1,...,i i i mKe w w    послідовно за прави- лом: ( )(0, ) ( ) 0 ii is c w     ,  (0, ) ( ), 0i iAs Ac       2( ) ( ) ( ) 0 2 ,i i iAw Ac Ac      ;  , 1: 1k j m   ,  1( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 , , 0, kk i i j i k k i i jjs c s w As Ac               ( , ) ( , )1: 1 , 0k i j ij m As As      , k j , (9)    2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 2 , , ,k i i k j i j i jAw Ac Ac Aw As As            . Оскільки  0,1,..., 1k m   система векторів  ( , )k iAs ортого- нальна і  ( , ) ( ), 0k i iA s Ac    , то 1( ) ( , ) 0 mi k i kks s     при k    2(0) ( , ) ( , ) 2 , k i k ir As As     мінімізує норму 2  вектора нев’язки. Внутрішній цикл по k завершено. Оскільки вектор ( )is A -орто- гональний до вектора ( )ic , тому вектор ( ) ( ) ( ):i i ic c s      на i -му кроці зовнішнього циклу мінімізує норму вектора нев’язки: ( ) (0) ( ) ( ) ,i i i i ir r Ac As          2(0) ( ) ( ) 2 , i i i r Ac Ac      ,   2(0) ( ) ( ) 2 , i i i r As A s      (10) (це забезпечує строгу монотонність процесу обчисленьі згладжує похибку обчислень). Якщо  2 (0) ( )cos , 1 10i sr Ac     , то продовжити процес для  1:i n . Після завершення циклу по i вектор (1)x задаємо у формі (1) (0) ( )tx x c     , (1) (0) ( )tr r Ac     , (11) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 17 де t — значення з множини  1: n після завершення процесу. Параметр  знайдемо з умови мінімізації вектора нев’язки:     2(0) ( ) ( ) 2 , t tr Ac Ac     . Якщо  2 (1)cos , 1 10 sb b     , (1) (1) .1 n i iib A x     , то замінивши (0) (1):x x   процес повторити для нового наближення (1)x , нев’язки (1) (1)r A x b    . Алгоритм побудований для матриць типу «чорний ящик». Якщо змінні системи упорядковані так, що матриця розбивається на укрупнені підсистеми ортогональних векторів-рядків (векторів-стовпців), то метод напрямленого пошуку стає економним і прискорюється швидкість збіж- ності та зменшується вплив похибок заокруглення на швидкість збіжно- сті. Такими системами є різницеві еліптичні рівняння [5; 6; 12]. Теорема 3. Алгоритм оптимізації напрямного вектора (методом мінімізації норми вектора похибок або нев’язок) коректний: збігаєть- ся, визначає параметри однозначно, мінімізує похибку обчислень (похибку розортогоналізації базисних векторів). Доведення теореми випливає з формул (7)–(11). 6. Прискорення збіжності ітераційних процесів розв’язуван- ня систем Ax b   на основі мінімізації відношення Релея  ,TA A x x    . Нехай minx K  ― наближений розв’язок системи Ax b   . Якщо вектор похибки y x      є власним вектором матриці TA A , то обчислений вектор    T Tp A r A A y x y x            є напрямним вектором і розв’язок системи здійсниться за один крок. Побудуємо алгоритм мінімізації відношення Релея  ,TA A x x     22 2 2 r x x     на сфері 22 2 2 x x x x       на основі підпросто- ру Крилова  2 3 4 , , ,spanKr r Ar A r A r           1 2 3 4, , ,u u u u    span , r Ax b       . Вектор x , що мінімізує відношення Релея, шукатимемо у формі T Tx x A p A s        T Tr r AA p AA s       , де 1 2s u u       3 4tu u    , 1p u   , параметри ,  знайдемо з умов  , 0T TA s A p    ,  , 0T TAA s AA p    . (12) Розкриємо вирази 2 2 x x   , 2 2 r , матимемо    2 222 2 2 2 22 2 2 , 2 ,T T T Tr r r AA p r AA s AA p AA s                    . Математичне та комп’ютерне моделювання 18 Рівняння сфери 22 2 2 x x x x       еквівалентне заданню еліпса відносно параметрів ,  :     222 2 1 2 2 : 2 , 2 , 0T TL r p r s A p A s              . (13) Оскільки визначник системи (12) відносно параметрів ,  відмінний від нуля:    2 2 0 1 1 2 1 1 2 2 2 , , 0T T T T T TD A u AA u AA u AA u A u A u         (для векторів підпростору Крилова), то вектор визначиться з системи (12) у формі 0 1s s t s     . Дві неперервні замкнуті опуклі лінії — лінія рівня 2L функції 2 2 r        222 2 2 2 2 : 2 , 2 , 0T T T TL r AA p r AA s AA p AA s              і еліпс 1L , що мають спільну точку    0 0, 0,0   , де 0 1s s t s     , t , або перетинаються, або дотикаються. Якщо лінії перетинаються, то існує найближча точка  1 1 1, L   , в якій опукла функція  прий- має найменше значення:    1 1 0 0, ,      . Щоб довести перетин ліній 1L , 2L , допустимо протилежне. Нехай  0,0 є точкою дотику, тоді вектори u , v з спільним початком у точці  0,0 і кінцями у центрах ліній 1L , 2L повинні бути ортогональними:  2cos , 0u v    . Дослідимо функцію       2cos ,w t u t v t   по параметру t , де        2 2 2 2 , , T T Tu r p A p r s t A s t             ,        2 2 2 2 , , T T T T Tv r AA p AA p r AA s t AA s t             . Оскільки функція  w t , визначена, неперервна і не є сталою, то існує принаймні одна точка 0t , для якої 0( ) 0w t  (отже лінії 1L , 2L перетинаються). Пошук точок на еліпсі з найменшим (найбільшим) значенням опуклої функції легко здійснити методами умовного екстремуму. Існування мінімального значення відношення Релея в області, що є перетином конуса minK і сфери 2 2 x x x x       випливає з умови, що область minK містить сингулярну пряму minS . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 19 7. Критерій зупинки ітерацій і прийняття наближеного рі- шення системи Ax b   . При розв’язуванні систем Ax b   з погано зумовленими матрицями в умовах машинної арифметики критерії зупинки ітерацій: ( 1) ( )k kx x      або ( 1)kr    , або на основі те- оретичного розрахунку числа ітерацій, що забезпечують асимптотич- ну збіжність з похибкою ( )kr   втрачають зміст. Область minK і похибки обчислень стають на перешкоді застосуванню критерія при- йняття нормального рішення [8]: 22 2 2 min nx Ax b x x                . За критерій зупинки ітерацій і прийняття рішення приймемо умову: якщо для деякого наближення ( )k nx    виконується нерів- ність   2 ( )cos , 1 10k tc x b     , 1t  — пов’язане з машинною точні- стю,  ( ) ( ) .1 nk k i iic x A x      , то ітераційний процес зупинити і ( )kx ― наближене рішення системи. Теорема 4. Функціонал   2cos ,c x b   стійкий до похибок збурень. Доведення теореми. Нехай x x x         .1 n i i iic x A x x      ,  c x b w         2 2 22 2 2 cos , ,c b b w b b b w                   22 21 1 2        , де   2 2 ,w b b    , 2 2 w b   . Максимальне значення функція  приймає тоді і лише тоді, якщо 0   . Отже, похибка 2 0w   , що можливо лише за умови  1:i n  0ix  . 8. Бі-спряжені базиси. Якщо матриця A системи Ax b   близька до виродженої ( det A — мале додатне число, cond A — велике число), або A , b  взяті з експерименту (задані з наближенням), то наближений розв’язок (квазірозв’язок) такої системи можна отримати шляхом мінімі- зації функціоналу 22 (0) 2 2 Ax b x y         ( — параметр регуля- ризації [8]). Побудуємо у внутрішньому циклі процесу (7) із базису iKe ,  1:i n бі-спряжену систему векторів з матрицями TA та TAA [13]: Математичне та комп’ютерне моделювання 20  ( , ) ( , ), 0T t j T p jAA c AA c    ,  ( , ) ( , ), 0T t j T p jA c A c    ,  0,1,..., 1t p m    . Тоді мінімум  існує і єдиний, оптимальні параметри ,k j визначають- ся за формулами ,k j     2 2( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 2 2 , ,j T k j T k j j k j T k jr AA c AA c c A c        , де ( ) ( ) (0)j jAx Ay      , (0) ny    — вектор відносно якого шукаємо нормальний розв’язок. Якщо (0)y x   , то ( ) ( )j jr    . Висновки. У роботі розв’язані проблемні задачі теорії лінійних си- стем: 1) встановлена залежність похибок зашумленої системи від похиб- ки матриці, похибки правої частини, від розв’язку, порядку та величини визначника матриці; 2) побудований багатошаровий алгоритм гауссово- го виключення, що одночасно обнулює піддіагональні елементи в m стовпцях і мінімізує похибку обчислень та модифікований метод для погано зумовлених матриць типу матриці Гільберта та матриць, що не можуть задовільно масштабуватись; 3) показано, що перепоною для ві- дшукання з високою точністю наближених розв’язків у системах з пога- но зумовленими матрицями стають області minK , що містять сингулярні прямі з найменшими власними значеннями; 4) запропонований двоцик- лічний ітераційний метод напрямленого пошуку для розв’язування сис- тем з матрицями великих порядків на основі системи повних базисів криловського типу, що мінімізує похибку обчислень за рахунок вибору оптимальних параметрів у підпросторах Крилова малих розмірностей і проведення обчислень поза областю minK ; 5) запропонований алгоритм прискорення збіжності на основі мінімізації відношення Релея на сфері. Список використаних джерел: 1. Хейгеман Л. Прикладные итерационные методы / Л. Хейгеман, Д. Янг ; пер. с англ. — М. : Мир, 1986. — 448 с. 2. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра / Дж. Деммель. — М. : Мир, 2001. — 429 с. 3. Райс. Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение / Дж. Райс ; пер. с англ. — М. : Мир, 1984. — 264 с. 4. Воеводин В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А Кузне- цов. — М. : Наука, 1984. — 320 с. 5. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 125 с. 6. Зверев В. Г. Модифицированный полилинейный метод решения разност- ных эллиптических уравнений / В. Г. Зверев // ЖВМ и МФ. — 1998. — Т. 38. — № 9. — С. 1553–1562. 7. Зенкевич О.Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Мор- ган. — М. : Мир, 1986. — 318 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 21 8. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М. : Наука, 1974. — 223 с. 9. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. — М. : Мир, 1984. — 350 с. (кн.1), 282 с. (кн.2). 10. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон ; пер. с англ. — М. : Мир, 1989. — 655 с. 11. Абрамчук В. С. Итерационные методы направленного поиска решения систем Ax = fс сингулярно-естественным упорядочением переменных / В. С. Абрамчук // Доп. НАН Украины. — 1996. — № 8. — С. 4–8. 12. Абрамчук В. С. Проблеми, методи, алгоритми розв’язування систем лінійних рівнянь з погано зумовленими матрицями / В. С. Абрамчук, І. В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні нау- ки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський на- ціональний університет імені Івана Огієнка, 2016. — Вип. 13. — С. 5–16. 13. Ильин В. П. Методы би-сопряженных направлений в подпространствах Кры- лова / В. П. Ильин // СибЖИМ. — 2008. — Т. 11, № 4 (36). — С. 47–60. The problems, that investigates, was related with estimation of errors in the solutions of noised systems and minimizations errors of calculations that arise in Gaussian transformations and acceleration of convergence of the iterative methods. Key words: the estimation of solution’s error, multilayer method of Gaussian elimination, the local basis of the direct search method, Rayleigh–Ritz quotient. Отримано: 23.03.2017 УДК 517.97 С. М. Бак, канд. фіз.-мат. наук, доцент Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, м. Вінниця ІСНУВАННЯ СТОЯЧИХ ХВИЛЬ В ДИСКРЕТНОМУ НЕЛІНІЙНОМУ РІВНЯННІ ШРЕДІНГЕРА З КУБІЧНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ НА ДВОВИМІРНІЙ ҐРАТЦІ Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рів- няння типу Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимір- ній ґратці. Одержано результат про існування стоячих хвиль для таких рівнянь. Ключові слова: дискретне нелінійне рівняння Шредінгера, двовимірна ґратка, стоячі хвилі, критичні точки, теорема про зачеплення. Вступ. Останнім часом значну увагу приділяють моделям, дис- кретним за просторовою змінною. Серед рівнянь, які описують такі моделі, найбільш відомими є рівняння ланцюгів осциляторів, дискре- © С. М. Бак, 2017 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <FEFF00410020006800690076006100740061006c006f007300200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0020006d00650067006200ed007a00680061007400f30020006d0065006700740065006b0069006e007400e9007300e900720065002000e900730020006e0079006f006d00740061007400e1007300e10072006100200073007a00e1006e0074002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c00200068006f007a006800610074006a00610020006c00e9007400720065002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043d0430043404560439043d043e0433043e0020043f0435044004350433043b044f043404430020044204300020043404400443043a0443002004340456043b043e04320438044500200434043e043a0443043c0435043d044204560432002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Оптимізаційні методи розв’язування систем Ax=b з погано зумовленими матрицями

Репозитарії

Схожі ресурси