Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці

Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці

Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці. Одержано результат про існування стоячих хвиль для таких рівнянь....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автор: Бак, С.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133971
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці / С.М. Бак // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 21-29. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133971
record_format dspace
spelling irk-123456789-1339712018-06-11T03:03:12Z Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці Бак, С.М. Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці. Одержано результат про існування стоячих хвиль для таких рівнянь. The article deals with discrete nonlinear Schrödinger equation with cubic nonlinearity on 2D-lattice. It is obtained result on existence of standing waves. 2017 Article Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці / С.М. Бак // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 21-29. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133971 517.97 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці. Одержано результат про існування стоячих хвиль для таких рівнянь.
format Article
author Бак, С.М.
spellingShingle Бак, С.М.
Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Бак, С.М.
author_sort Бак, С.М.
title Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_short Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_full Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_fullStr Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_full_unstemmed Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці
title_sort існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2017
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133971
citation_txt Існування стоячих хвиль в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці / С.М. Бак // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 21-29. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT baksm ísnuvannâstoâčihhvilʹvdiskretnomunelíníjnomurívnânníšredíngerazkubíčnoûnelíníjnístûnadvovimírníjgratcí
first_indexed 2025-07-09T19:59:24Z
last_indexed 2025-07-09T19:59:24Z
_version_ 1837200746385244160
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 21 8. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М. : Наука, 1974. — 223 с. 9. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. — М. : Мир, 1984. — 350 с. (кн.1), 282 с. (кн.2). 10. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон ; пер. с англ. — М. : Мир, 1989. — 655 с. 11. Абрамчук В. С. Итерационные методы направленного поиска решения систем Ax = fс сингулярно-естественным упорядочением переменных / В. С. Абрамчук // Доп. НАН Украины. — 1996. — № 8. — С. 4–8. 12. Абрамчук В. С. Проблеми, методи, алгоритми розв’язування систем лінійних рівнянь з погано зумовленими матрицями / В. С. Абрамчук, І. В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні нау- ки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський на- ціональний університет імені Івана Огієнка, 2016. — Вип. 13. — С. 5–16. 13. Ильин В. П. Методы би-сопряженных направлений в подпространствах Кры- лова / В. П. Ильин // СибЖИМ. — 2008. — Т. 11, № 4 (36). — С. 47–60. The problems, that investigates, was related with estimation of errors in the solutions of noised systems and minimizations errors of calculations that arise in Gaussian transformations and acceleration of convergence of the iterative methods. Key words: the estimation of solution’s error, multilayer method of Gaussian elimination, the local basis of the direct search method, Rayleigh–Ritz quotient. Отримано: 23.03.2017 УДК 517.97 С. М. Бак, канд. фіз.-мат. наук, доцент Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, м. Вінниця ІСНУВАННЯ СТОЯЧИХ ХВИЛЬ В ДИСКРЕТНОМУ НЕЛІНІЙНОМУ РІВНЯННІ ШРЕДІНГЕРА З КУБІЧНОЮ НЕЛІНІЙНІСТЮ НА ДВОВИМІРНІЙ ҐРАТЦІ Стаття присвячена вивченню дискретного нелінійного рів- няння типу Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимір- ній ґратці. Одержано результат про існування стоячих хвиль для таких рівнянь. Ключові слова: дискретне нелінійне рівняння Шредінгера, двовимірна ґратка, стоячі хвилі, критичні точки, теорема про зачеплення. Вступ. Останнім часом значну увагу приділяють моделям, дис- кретним за просторовою змінною. Серед рівнянь, які описують такі моделі, найбільш відомими є рівняння ланцюгів осциляторів, дискре- © С. М. Бак, 2017 Математичне та комп’ютерне моделювання 22 тне рівняння sin-Ґордона, система Фермі–Пасти–Улама, дискретне нелінійне рівняння Шредінгера. Серед розв’язків таких систем особливої уваги заслуговують бі- жучі хвилі. Досить детальні результати про біжучі хвилі в ланцюгах Фермі-Пасти-Улама можна знайти в працях О. Панкова, зокрема, в [20] найбільш повний огляд результатів. У статті [4] одержано умови існування періодичних біжучих хвиль в ланцюгах Фермі–Пасти– Улама на двовимірній ґратці. В той же час для ланцюгів осциляторів відомі декілька праць [1; 12; 15], в яких отримано умови існування періодичних та відокремлених біжучих хвиль. В статтях [2; 13; 14] вивчались біжучі хвилі для систем лінійно зв’язаних нелінійних ос- циляторів, розміщених на двовимірних ґратках. В статті [6] одержано результат про існування періодичних біжучих хвиль для дискретного рівняння sin-Ґордона на двовимірній ґратці. В статтях [7; 8] одержано результати про існування дозвукових і надзвукових періодичних бі- жучих хвиль для нескінченної системи нелінійно зв’язаних неліній- них осциляторів, розміщених на двовимірній ґратці. А в статті [3] одержано результат про існування відокремлених біжучих хвиль для таких систем. В статтях [16; 17] вивчались біжучі хвилі для дискрет- ного рівняння sin-Ґордона на одновимірній ґратці, а в статтях [6; 9; 11] — на двовимірній ґратці. В статтях [5; 19; 20] досліджено питання існування стоячих хвиль для одновимірного рівняння Шредінгера. Метою статті є одержання умов існування періодичних і лока- лізованих стоячих хвиль для рівняння Шредінгера з кубічною нелі- нійністю на двовимірній ґратці. Постановка задачі. У цій статті вивчається дискретне нелінійне рівняння Шредінгера на плоскій цілочисловій ґратці з кубічною нелі- нійністю          2 2 , , , , , , , ,n m n m n m n m n mi t t x t t n m        (1) де  ,n m t — хвильова функція  ,n m -ї частинки, а   ,n m  1, 1, , 1 , 1 ,4n m n m n m n m n m            — двовимірний дискретний оператор Лапласа. Зауважимо, що в статті [10] вивчались двовимірні солітони в таких системах при , 2n mx  . Припускається, що послідовність  ,n mx   є N -періодичною, тобто , , ,n N m n m N n mx x x   . Стоячі хвилі в цьому випадку мають вигляд    , , expn m n mt u i t   , (2) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 23 де  ,n mu   називається амплітудою стоячої хвилі, а  — час- тотою. Такі розв’язки іноді називають бризерами або лакунарними солітонами. Будемо вивчати стоячі хвилі двох видів: з N -періодичною амп- літудою та амплітудою, яка збігається до нуля (локалізовані хвилі), тобто відповідно , , ,n N m n m N n mu u u   , (3) , , lim 0n mn m u   . (4) Підставляючи стоячу хвилю (2) в рівняння (1) і враховуючи, що  exp 1i t  , одержимо рівняння 2 , , , , ,n m n m n m n m n mu u x u u   . (5) Позначимо , 1, 1, 1, , , 1 , 1 , 1 , ,n m n m n m n m n m n m n m n m n m n mL a u a u b u b u c u          і розглянемо більш загальне рівняння 2 , , , , ,n m n m n m n m n mLu u x u u  , (6) де , , ,n N m n m N n ma a a   , , , ,n N m n m N n mb b b   і , , ,n N m n m N n mc c c   . Зауважимо, що оператор L є обмеженим і самоспряженим у просторі 2l . Його спектр ( )L має групову структуру, тобто ( )L є об’єднанням скінченного числа відрізків (див., [22]). Доповнення \ ( )L складається зі скінченного числа інтервалів, які називають- ся спектральними проміжками. Два з них напівскінченні. Якщо 1N  , то скінченні проміжки не існують. Однак, в загальному випа- дку скінченні проміжки існують і найбільш цікавий випадок, коли частота  належить скінченному проміжку. Зафіксуємо довільний спектральний проміжок оператора L і позначимо його через  ;a b . Варіаційне формулювання задачі. З рівнянням (6) пов’язуєть- ся функціонал     4 , , , 1 1 , , 2 4 n m n m n m J u Lu u u x u       (7) визначений на гільбертовому просторі 2:E l зі скалярним добутком   , , , , n m n m n m u v u v     та нормою 1 22 , , .n m n m u u            Зазначимо, Математичне та комп’ютерне моделювання 24 що кожний елемент 2l автоматично задовольняє умову (4). Іноді ми будемо розглядати pl -норму 1 , , , 1 .p pp n ml n m u u p               Нага- даємо, що q pl lu u при 1 p q    . Зафіксуємо k  і позначимо через kE простір всіх kN - періодичних послідовностей. Це є kN -вимірний гільбертів простір зі скалярним добутком   , , , , k n m n mk n m Q u v u v    та нормою ku  1 22 , , , k n m n m Q u           де : 1 , 2 2k kN kNQ n n kN                     і [ ]x — ціла частина .x На просторі kE розглянемо функціонал     4 , , , 1 1 , , 2 4 k k k n m n m n m Q J u L u u u x u      (8) де kL — оператор L , який діє в просторі kE . Безпосереднім обчис- ленням одержуємо: Лема 1. Похідні Гато функціоналів J та kJ визначаються за формулами     3 , , , , , , n m n m n m n m J u h Lu u h x u h        , ,u h E ,     3 , , , , , , k k k n m n m n mk n m Q J u h L u u h x u h       , , ku h E , а їх критичні точки є розв’язками рівняння (6) відповідно з просторів E та kE . Допоміжні леми. Зі спектральної теорії диференціальних опера- торів (див. [22]) маємо, що    kL L  і, отже, .kL L Нехай kE (відповідно kE ) — додатний (відповідно від’ємний) спектраль- ний підпростір оператора kL  в .kE Аналогічно введемо додатний та від’ємний спектральні підпростори E E  і E E  для опера- тора .L  Позначимо через P і kP ортогональні проектори на E і kE , відповідно. Нехай min ,a b       відстань від  до спектру  L . Тоді Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 25 2 ( , ) , ,Lu u u u u E      (9) 2 ( , ) , .k k kkL u u u u u E      (10) Наступна лема дає умови неіснування нетривіальних критичних точок. Лема 2. Нехай , 0n mx  та .b   Тоді 0u E  (відповідно 0 ku E  ) єдина критична точка функціоналу J (відповідно kJ ). Доведення. Нехай u E нетривіальна критична точка функціо- налу J . Тоді      4 , , , 0 , , , .n m n m n m J u u Lu u u x u Lu u u          Оскільки b   , то  0E  і згідно (9) 2 0 u  . А це означає, що 0u  . Доведення у випадку функціоналу kJ аналогічне. □ Наступні дві леми, які дають оцінки для критичних точок і від- повідних критичних значень (див. [19]). Лема 3. Для будь-яких нетривіальних критичних точок u E та ( )k ku E відповідно функціоналів J та kJ з критичними значення- ми  c J u і  ( ) ( )k k kc J u правильні нерівності: 3 3 1 4 44u mm c  і   3 3 ( ) 1 ( )4 44k k k u mm c  , де ,max{ }n mm x і ,min{ }n mm x . Лема 4. За умов леми 3 правильні нерівності: 1 2 122 ,u m   3 2 22 ,c m m  і 1 2( ) 122 ,k k u m   ( ) 3 2 22 .kc m m  Основний результат. Для одержання основного результату нам знадобиться теорема про зачеплення ([21, 23]). Нехай H — гільбер- тів простір, H Y Z  . Нехай також 0r   і :z Z z r  . Поз- начимо  : , , 0M u y z y Y u        і  0 : , 0, або i 0M u y z y Y u i u            , тобто 0M — межа  M M . Нехай  : :N u Z u r   . Розглянемо функціонал  на H і припустимо, що     0 : inf : sup u N u M u u         . В такому випадку говорять, що функ- ціонал  задовольняє геометрії зачеплення. Математичне та комп’ютерне моделювання 26 Теорема 1 (про зачеплення). Нехай  — функціонал класу 1C на гільбертовому просторі H , що задовольняє геометрії зачеплення та умові Пале-Смейла: (РS) якщо послідовність nu H така, що   0nu  і  nu обмежена, то вона містить збіжну підпослідовність. Нехай   : inf sup u M b u       , де   0: ; :C M H id на M     . Тоді b — критичне значення  і  sup u M b u     . Зауважимо, що послідовність  nu точок гільбертового просто- ру H називається послідовністю Пале-Смейла функціоналу  рівня b , якщо  nu b  і   0nu  при n  . Далі нам знадобляться наступні дві леми (див. [19]). Лема 5. Функціонал kJ задовольняє умову Пале-Смейла, тобто будь-яка послідовність Пале-Смейла містить збіжну підпослідовність. Також функціонал kJ задовольняє геометрії зачеплення з kY E та kZ E . Нагадаємо, що функціонал kJ має нетривіальні критичні точки у випадку, коли b   , а отже,  0kE  . Лема 6. Для достатньо великого 0  :   00, ,kJ u u M  а при 2 1r m  :   2 , . 4kJ u r u N   Більше того, існує константа 0C  , незалежна від k і така, що   , .kJ u C u M  Основними результатами цієї роботи є наступні дві теореми. Наступна теорема дає існування нетривіальних періодичних розв’язків рівняння (6). Теорема 2. Нехай , 0n mx  ,  ;a b та b   . Тоді для будь- якого 1k  рівняння (6) має нетривіальний kN -періодичний розв’язок  k ku E . Більше того, існує константа 0C  , незалежна від k і така, що  k k u C ,   k kJ u C . Доведення. З лем 5 та 6 випливає, що для функціоналу kJ вико- нуються всі умови теореми про зачеплення, а отже, він має нетривіальну критичну точку  k ku E . Більше того, за цією ж теоремою відповідне критичне значення задовольняє нерівність     supk k k u M J u J u   . Крім Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 27 того, верхні межі для критичної точки і відповідного критичного значен- ня випливають відповідно з лем 3 та 6. □ Тепер за допомогою методу періодичних апроксимацій можна до- вести існування нетривіальних локалізованих розв’язків рівняння (6). За лемою 1 ці розв’язки є критичними точками функціоналу J . Однак цей функціонал не задовольняє умову Пале-Смейла і тому скористатися в даному випадку теоремою про зачеплення не вийде. Проте критичні то- чки функціоналу J можна побудувати за допомогою переходу до гра- ниці при k  в критичних точках функціоналу kJ . Теорема 3. Нехай , 0n mx  і  ;a b . Тоді якщо b   , то рівняння (6) має нетривіальний розв’язок u E . Якщо ж b   , то рівняння (6) нетривіальних розв’язків не має. Доведення. Нехай     , k k n m ku u E  нетривіальний kN -періо- дичний розв’язок рівняння (6), який існує за теоремою 2. Для початку відмітимо, що існують 0 0  та   2,k kn m  такі, що   0,k k k n mu  (11) Справді, у протилежному випадку   0ku  в l , а отже,     0k k kv R u  в l . За теоремою 2     2 k k l k v u обмежена. Далі оскільки 2 2 2 ,p p p l l lv v v  2p  , то   0kv  в pl для всіх 2p  . А це означає, що   0 p k k l u  для всіх 2p  . Тоді, як на початку доведен- ня леми 3, для відповідного критичного значення   kk kc J u маємо      4 44 , , , 1 0 0, 4 4 kk k kk n m n m ln m Q mc x u u      що суперечить лемі 4. В силу періодичності коефіцієнтів послідовність   , k n N m Nu   є та- кож розв’язком рівняння (6). Тому можна вважати, що 0 ,kn 1km N  . Однак, таких значень скінченне число, тому, переходячи до підпослідовності (по k ), можемо вважати, що всі ці номери співпада- ють, тобто 0kn n і 0km m . В силу обмеженості  ku , переходячи до підпослідовності, яку як і раніше будемо позначати  ku , маємо   , , k n m n mu u при k  Математичне та комп’ютерне моделювання 28 (для всіх ,n m ). Крім того, за нерівністю (11) 0 0, 0n mu  , а отже,  ,n mu u ненульова послідовність. Використовуючи граничний пе- рехід, неважко показати, що  ,n mu u є розв’язком рівняння (6). Покажемо, що   2 ,n mu u l  . Справді, оскільки для будь-яких фік- сованих ,a b і достатньо великого k :    2 2 2 , , a b k k n m kn a m b u u C      то переходячи до границі при k  , одержуємо 2 2 , a b n m n a m b u C     . В силу довільності a і b , маємо, що 2u l . Якщо ж b   , то за лемою 2 рівняння (6) має тільки тривіаль- ний розв’язок. □ Висновки. Таким чином, у цій статті одержано результат про існування періодичних і локалізованих стоячих хвиль для рівняння Шредінгера з кубічною нелінійністю на двовимірній ґратці. Список використаних джерел: 1. Бак С. М. Бiжучi хвилi в ланцюгах осциляторів / С. М. Бак // Математичні студії. — 2006. — Т. 26, № 2. — С. 140–153. 2. Бак С. Н. Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решет- ках / С. Н. Бак, А. А. Панков // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, №2. — С. 154–175. 3. Бак С. М. Існування відокремлених біжучих хвиль для системи нелінійно зв’язаних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Український математичний журнал. — 2017. — Т. 69, №4. — С. 435–444. 4. Бак С. М. Існування періодичних бiжучих хвиль в системі Фермі–Пасти– Улама на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичні студії. — 2012. — Т. 37, № 1. — С. 76–88. 5. Бак С. М. Існування стоячих хвиль для дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера із насичуванню нелінійністю / С. М. Бак // Математичні студії. — 2010. — Т. 33, № 1. — С. 78–84. 6. Бак С. М. Періодичні біжучі хвилі в дискретному рівнянні sin-Ґордона на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделю- вання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. праць. — Кам’янець- Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2013. — Вип. 9. — С. 5–10. 7. Бак С. М. Існування дозвукових періодичних біжучих хвилі в системі нелі- нійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні нау- ки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський на- ціональний університет імені Івана Огієнка, 2014. — Вип. 10. — С. 17–23. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 29 8. Бак С. М. Існування надзвукових періодичних біжучих хвилі в системі нелі- нійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні нау- ки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський на- ціональний університет імені Івана Огієнка, 2015. — Вип. 12. — С. 5–12. 9. Бак С. М. Існування гетероклінічних біжучих хвиль у системі осциляторів на двовимірній ґратці / С. М. Бак // Математичні методи та фізико- механічні поля. — 2014. — Т. 57, №3. — С. 45–52. 10. Двумерные солитоны в дискретных системах / В. К. Мезенцев, С. Л. Му- шер, И. В. Рыженкова, С. К. Турицын // Письма в ЖЭТФ. — 1994. — Т. 60. — Вып. 11. — С. 815–821. 11. Bak S. M. Existence of heteroclinic traveling waves in a system of oscillators on a two-dimensional lattice / S. M. Bak // Journal of Mathematical Sciences. — 2016. — Vol. 217, №2 (August). — P. 187–197. 12. Bak S. M. Peridoc traveling waves in chains of oscillators / S. M. Bak // Com- munications in Mathematical Analysis. — 2007. — Vol. 3, № 1. — Р. 19–26. 13. Feckan M. Traveling waves in Hamiltonian systems on 2D lattices with nearest neighbour interactions / M. Feckan, V. Rothos // Nonlinearity. — 2007. — № 20. — P. 319–341. 14. Friesecke G. Geometric solitary waves in a 2D math-spring lattice / G. Friesecke, K. Matthies // Discrete and continuous dynamical systems. — 2003. — Vol. 3, №1 (February). — P. 105–114. 15. Ioos G. Traveling waves in a chain of coupled nonlinear oscillators / G. Ioos, K. Kirchgassner // Commun. Math. Phys. — 2000. — № 211. — P. 439–464. 16. Kreiner C.-F. Heteroclinic travelling waves for the lattice sine-Gordon equa- tion with linear pair interaction / C.-F. Kreiner, J. Zimmer // Discrete and con- tinuous dynamical systems. — 2009. — Vol. 25, № 3 (November). — P. 1–17. 17. Kreiner C.-F. Travelling wave solutions for the discrete sine-Gordon equation with nonlinear pair interaction / C.-F. Kreiner, J. Zimmer // Nonlin. Analysis: Theory Methods and Appl. — 2009. — Vol. 70. — P. 3146–3158. 18. Pankov A. Traveling Waves and Periodic Oscillations in Fermi-Pasta-Ulam Lat- tices / A. Pankov. — London ; Singapore : Imperial College Press, 2005. — 196 p. 19. Pankov A. Gap solitons in periodic discrete NLS equations / A. Pankov // Nonlinearity. — 2006. — № 19. — P. 27–40. 20. Pankov A. Periodic and decaying solutions in DNLS with saturable nonlinearity / A. Pankov, V. Rothos // Proc. Royal Society A. — 2008. — 464. — P. 3219–3236. 21. Rabinowitz P. Minimax methods in criticls point theory with applications to differen- tial equations / P. Rabinowitz. — Providence : Amer. Math. Soc., 1986. — 100 p. 22. Teschl G. Jacobi operators and completely integrable nonlinear lattices / G. Teschl. — Providence : Amer. Math. Soc., 2000. — 251 p. 23. Willem M. Minimax theorems / M. Willem. — Boston : Birkhäuser, 1996. — 162 p. The article deals with discrete nonlinear Schrödinger equation with cubic nonlinearity on 2D-lattice. It is obtained result on existence of standing waves. Key words: discrete nonlinear Schrödinger equation, 2D-lattice, standing waves, critical points, linking theorem. Отримано: 21.06.2017 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003b103be03b903cc03c003b903c303c403b7002003c003c103bf03b203bf03bb03ae002003ba03b103b9002003b503ba03c403cd03c003c903c303b7002003b503c003b903c703b503b903c103b703bc03b103c403b903ba03ce03bd002003b503b303b303c103ac03c603c903bd002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси