Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною

У статті встановлено критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Гудима, У.В., Гнатюк, В.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133975
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 59-72. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133975
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1339752018-06-11T03:03:22Z Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. У статті встановлено критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору. The criterias of the extremal sequence for the problem of the best at sense of the convex function of the approximation of a fixed element of a linear normed space from a convex set of this space are proved in the article. 2017 Article Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 59-72. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133975 517.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті встановлено критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору.
format	Article
author	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
spellingShingle	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
author_sort	Гудима, У.В.
title	Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною
title_short	Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною
title_full	Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною
title_fullStr	Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною
title_full_unstemmed	Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною
title_sort	критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133975
citation_txt	Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 59-72. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT gudimauv kriterííekstremalʹnoíposlídovnostídlâzadačínajkraŝogourozumínníopukloífunkcíínabližennâfíksovanogoelementaopukloûmnožinoû AT gnatûkvo kriterííekstremalʹnoíposlídovnostídlâzadačínajkraŝogourozumínníopukloífunkcíínabližennâfíksovanogoelementaopukloûmnožinoû
first_indexed	2025-07-09T19:59:56Z
last_indexed	2025-07-09T19:59:56Z
_version_	1837200781992787968
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 59 17. Shilov G. Mathematical analysis. Second special course / G. Shilov. — Mos- cow : Nauka, 1965. 18. Gelfand I. Some questions in the theory of differential equations / I. Gelfand, G. Shilov. — Мoscow : Fizmatgiz, 1958. Методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у по- єднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано інтегральне зображення єдиного точного аналітичного розв'язку гіперболічної крайової задачі математичної фі- зики для напівобмеженого кусково-однорідного суцільного циліндра. Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умо- ви, умови спряження, інтегральні перетворення, головні розв’язки. Отримано: 31.05.2017 УДК 517.5 У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук, В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський КРИТЕРІЇ ЕКСТРЕМАЛЬНОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ ДЛЯ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОГО У РОЗУМІННІ ОПУКЛОЇ ФУНКЦІЇ НАБЛИЖЕННЯ ФІКСОВАНОГО ЕЛЕМЕНТА ОПУКЛОЮ МНОЖИНОЮ У статті встановлено критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближен- ня фіксованого елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору. Ключові слова: опукла функція, опукла множина, задача найкращого наближення, екстремальна послідовність, крите- рій екстремальної послідовності. Вступ. У статті для задачі найкращого у розумінні опуклої фун- кції наближення фіксованого елемента лінійного нормованого прос- тору опуклою множиною цього простору встановлено критерії екст- ремальної послідовності, окремі з яких узагальнюють критерії екст- ремального елемента для цієї задачі, встановлені у праці [1]. Постановка задачі. Нехай X — дійсний лінійний нормований простір, F — опукла множина простору X , p — опукла та непере- рвна на X функція, x — елемент простору X . Задачею найкращого у розумінні функції p наближення елеме- нта x множиною F будемо називати задачу відшукання величини © У. В. Гудима, В. О. Гнатюк, 2017 Математичне та комп’ютерне моделювання 60    inf u F E x p x u    . (1) Величину  E x будемо називати найкращим у розумінні функ- ції p наближенням елемента x множиною F . Якщо для x X існує елемент 0u F такий, що    0E x p x u  , то його будемо називати елементом найкращого у розумінні функції p наближення елемента x множиною F або просто екстремальним елементом для величини (1). Послідовність   1k ku   елементів ku F , для якої    lim kk p x u E x    , будемо називати послідовністю найкращого у розумінні функції p наближення елемента x множиною F або про- сто екстремальною послідовністю для величини (1). Актуальність теми. Відомо, що необхідність наближення скла- дних математичних об’єктів більш простими і зручними у користу- ванні виникає у різних розділах математичної науки, особливо прик- ладних напрямів. Теорія наближення бере свій початок у роботах П. Л. Чебишова, який ще у 50-х роках ХІХ століття поставив задачу про рівномірне (чебишовське) наближення неперервної на сегменті дійснозначної функції множиною алгебраїчних поліномів степеня, що не перевищує деякого натурального числа. Згодом було досліджено велику кількість задач подібного роду, ко- ли окремі функції наближались алгебраїчними, тригонометричними по- ліномами, раціональними функціями в метриках різних просторів. Внаслідок цих досліджень була сформульована більш загальна задача наближення фіксованого елемента x X опуклою множиною F X , тобто задача відшукання величини inf u F x u   . (2) Величина (2) вивчалась багатьма авторами. Основні результати цих досліджень підсумовані, зокрема, у монографіях Н. І. Ахієзера [2], В. К. Дзядика [3], М. П. Корнєйчука [4], П.-Ж. Лорана [5], О. І. Степанця [6,7], В. М. Тихомирова [8] та ін. Як відомо, виникають задачі наближення в яких міра відхилення між фіксованим елементом x простору X та елементами u F є, так званою, «викривленою метрикою»: переднормою, функцією Мінковсь- кого, сублінійною функцією, функцією повільного зростання. Всі ці за- дачі вкладаються у схему постановки задачі відшукання величини (1). Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 61 Результати загального характеру, отримані при дослідженні ве- личини (1), становлять самостійний інтерес, а також слугуватимуть відправним пунктом отримання відповідних результатів для конкрет- них задач, що включаються у схему її постановки, зіграють важливу роль при побудові та обґрунтуванні збіжності чисельних методів розв’язання цих задач. У праці [1] встановлено, зокрема, критерії екстремального еле- мента для величини (1). Проте часто екстремальний елемент для величини (1) не існує (осо- бливо у випадках, коли X є нескінченновимірним простором), тоді коли існування екстремальної послідовності для цієї величини гарантовано. Тому актуальною є проблема встановлення критеріїв екстрема- льності не лише елементів множини F , а й послідовностей ku , 1, 2,...,k  елементів цієї множини таких, що існує  lim kk p x u   . Встановлення критеріїв екстремальної послідовності для вели- чини (1) дозволить для цієї величини розширити можливості застосу- вань результатів дослідження цієї величини. Мета роботи. Встановити критерії екстремальної послідовності для задачі відшукання величини (1). Критерії екстремальної послідовності для величини (1), осно- вані на співвідношенні двоїстості для цієї величини. Будемо познача- ти через X — простір, спряжений з X , а через p — функцію, спря- жену з p , тобто функцією, задану на X , яка задається рівністю        sup x X p f f x p x    , f X (див., наприклад, [9, с. 183]). Множина    * :domp f X p f    називається ефектив- ною множиною функції p (див., наприклад, [9, с. 57]). Згідно з теоремою Фенхеля-Моро (див., наприклад, [9, с. 186]) має місце співвідношення             * * sup sup f X f domp p x f x p f f x p f       , x X . (3) Позначимо через   : sup u F M f domp f u          . Теорема 1 [1]. Для того щоб функція E приймала скінченні значення на X , необхідно і достатньо, щоб M   . З метою виключення із розгляду випадку, коли  E x   , x X , будемо припускати, що M   . Математичне та комп’ютерне моделювання 62 Теорема 2 [2]. Для довільного x X справедливе співвідно- шення двоїстості          inf max sup u F f M u F E x p x u f x p f f u             . Теорема 3. Нехай ku F , 1, 2,...k  , існує  lim kk p x u   . Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послідовністю для величини (1), необхідно і достатньо існування функціонала 0f X такого, що: 1) 0f M , 2)       * 0 0lim limk kk k f x u p f p x u       , 3)    0 0lim supkk u F f u f u    . Доведення. Необхідність. Нехай   1k ku   є екстремальною пос- лідовністю для величини (1). Згідно з теоремою 2 існує функціонал * 0f X такий, що 0f M та               * * 0 0 0 inf max sup sup . u F f M u F u F p x u f x p f f u f x p f f u                 (4) Оскільки   1k ku   є екстремальною послідовністю для величини (1), то внаслідок (3), (4)          * 0 0 0lim inf supkk u F u F p x u p x u f x p f f u                   * * 0 0 0 0inf ku F f x u p f f x u p f         (5)        * sup k k f X f x u p f p x u       , 1, 2,...k  . Внаслідок (5)        0 0lim limk kk k f x u p f p x u       ,    0 0lim supkk u F f u f u    . Тому співвідношення 1)–3) мають місце. Необхідність доведено. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 63 Достатність. Нехай для послідовності   1k ku   , ku F , 1, 2,...k  , існує  lim kk p x u   та функціонал * 0f X , який задово- льняє умови 1)–3). Доведемо, що   1k ku   є екстремальною послідов- ністю для величини (1). Згідно з умовою 3)    0 0lim ,kk f u f u u F    . Тому, врахувавши співвідношення (3) та 2), можна записати, що             * * 0 0 0 0 00 lim limk kk k f u u f x u p f f x u p f               lim ,kk p x u p x u u F       . Звідси випливає, що для всіх u F      lim infkk u F p x u p x u p x u        . Тому      inf lim infku F k u F p x u p x u p x u         . Отже,    lim infkk u F p x u p x u      . Це й означає, що   1k ku   є екстремальною послідовністю для величини (1). Достатність доведено. Теорему доведено. Наслідок 1. Нехай F — конус простору X з вершиною в точці 0, тобто для всіх u F , 0t  має місце співвідношення tu F , ku F , 1, 2,...k  , існує  lim kk p x u   . Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послі- довністю для величини (1) в цьому випадку, необхідно і достатньо існування функціонала * 0f X такого, що: 1)      * 0 0 lim kk f x p f p x u     , 2)  0sup 0 u F f u   . Доведення. Необхідність. Нехай послідовність   1k ku   є екст- ремальною послідовністю для величини (1). Згідно з теоремою 3 іс- нує функціонал * 0f X , який задовольняє умови 1)–3) цієї теореми. Математичне та комп’ютерне моделювання 64 Оскільки 0f M , то  0sup u F f u R   . Переконаємося, що  0sup 0 u F f u   . Дійсно, якщо припустити, що  0sup 0 u F f u   , то для деякого 0u F  0 0 0f u  . Тоді       0 0 0 0 0sup sup sup u F t R t R f u f tu tf u        , що суперечить співвідношенню  0sup u F f u R   . Отже,  0sup 0 u F f u   . Тому  0 0f u  для всіх u F . Нехай 0u F . Тоді  0 0 0f u  ,       0 0 0 0 0 0 0 0 sup sup sup 0 u F t t f u f tu tf u        . Звідси випливає, що  0sup 0 u F f u   . Відповідно до умов 3) теореми 3 тоді  0lim 0kk f u   . З ураху- ванням цієї рівності та співвідношень 2), 3) теореми 3 робимо висно- вок, що функціонал 0f задовольняє умови 1), 2) наслідку. Необхідність доведено. Достатність. Нехай існує функціонал * 0f X з властивостями 1), 2). Згідно з (3)            * * * 0 0supk k k f X p x u f x u p f f x u p f         , 1, 2,...k  . З урахуванням цих співвідношень та 2) отримаємо, що          * 0 0 0 0sup 0 ,k k u F f u f u f x p f p x u        1, 2,...k  . Оскільки за умовою має місце співвідношення 1), то    0 0lim 0 supkk u F f u f u     . Отже, функціонал 0f задовольняє умови 1)-3) теореми 3. Згідно з цією теоремою послідовність   1k ku   є екстремальною послідовніс- тю для величини (1). Достатність доведено. Наслідок доведено. Наслідок 2. Нехай F — підпростір простору X , ku F , 1, 2,...k  , існує  lim kk p x u   . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 65 Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послі- довністю для величини (1) в цьому випадку, необхідно і достатньо існування функціонала * 0f X такого, що: 1)      * 0 0 lim kk f x p f p x u     , 2)  0 0f u  , u F . Доведення. Необхідність. Нехай послідовність   1k ku   є екстре- мальною послідовністю для величини (1). Оскільки F — підпростір простору X , то F є конусом цього простору з вершиною в точці 0. Внаслідок наслідку 1 існує функціонал * 0f X , який задоволь- няє умови 1), 2) цього наслідку. Тому  0sup 0 u F f u   . Звідси випливає, що  0 0f u  , u F . Дійсно, якщо припустити, що  0 0 0f u  для деякої точки 0u F , то тоді одержимо, що       0 0 0 0 0sup sup sup u F t R t R f u f tu tf u        . Отже, 0f задовольняє умови 1), 2) наслідку 2. Необхідність доведено. Достатність. Нехай * 0f X і мають місце співвідношення 1), 2). Тоді  0sup 0 u F f u   . Отже, функціонал 0f задовольняє умови 1), 2) нас- лідку 1. Оскільки F є конусом з вершиною в точці 0, то згідно з наслід- ком 1   1k ku   є екстремальною послідовністю для величини (1). Достатність доведено. Наслідок доведено. Наслідок 3. Нехай 1,..., nx x — фіксовані елементи простору X , 1 : , , 1, n i i i i F u u x R i n              — скінченновимірний підпростір простору X , породжений елементами 1,..., nx x , ku F , 1, 2,...k  , існує  lim kk p x u   . Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послі- довністю для величини (1) в цьому випадку, необхідно і достатньо існування функціонала * 0f X такого, що: Математичне та комп’ютерне моделювання 66 1)      * 0 0 lim kk f x p f p x u     , 2)  0 0if x  , 1,i n . Справедливість цього наслідку випливає з наслідку 2, якщо вра- хувати, що для * 0f X рівність  0 0f u  , u F , в розглядуваному випадку справедлива тоді і тільки тоді, коли  0 0if x  , 1,i n . Твердження 1. Якщо h — додатно однорідна функція, задана на X , тобто    h tx th x для всіх x X та всіх 0t  , то   * * : , 0domh f f X h f   . (6) Доведення. Нехай h — додатно однорідна функція, задана на X , f domh . Переконаємося, що  * 0h f  . Дійсно, оскільки f domh , то        sup x X h f f x h x      . Звідси випливає, що     ,f x h x x X . В протилежному випадку існує 1x X , що    1 1f x h x . Тоді                 * 1 1 1 1 0 0 sup sup sup , x X t t h f f x h x f tx h tx f x h x t            що суперечить співвідношенню f domh . Отже, для f domh     ,f x h x x X . Звідси випливає, що для f domh           0 0 0 sup 0 x X f h f x h x h f        . Отже,  * 0h f  . Тому   * * : , 0domh f f X h f   . Зрозу- міло, що має місце і протилежне включення. Тому співвідношення (6) має місце. Твердження доведено. Наслідок 4. Нехай в задачі відшукання величини (1) p є опук- лою, неперервною та додатно однорідною функцією, заданою на X , ku F , 1, 2,...k  , існує  lim kk p x u   . Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послі- довністю для величини (1) в цьому випадку, необхідно і достатньо існування функціонала 0f X такого, що: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 67 1)    0 ,f x p x x X , 2)    0lim limk kk k f x u p x u      , 3)    0 0lim supkk u F f u f u    . Справедливість цього наслідку випливає з теореми 3 та твер- дження 1. Наслідок 5 [1]. Для того щоб елемент 0u F був екстремаль- ним елементом для величини (1), необхідно і достатньо існування функціонала * 0f X такого, що 1) 0f M , 2)      * 0 0 0 0f x u p f p x u    , 3)    0 0 0sup u F f u f u   . Справедливість наслідку безпосередньо випливає з теореми 3, якщо врахувати, що елемент 0u F буде екстремальним елементом для ве- личини (1) тоді і тільки тоді, коли стаціонарна послідовність 0 ,ku u 1, 2,...k  , буде екстремальною послідовністю для цієї величини. Наслідок 6 [10, с. 241]. Нехай ku F , 1,2,...k  , існує lim kk x u   . Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послі- довністю для величини (2), необхідно і достатньо існування функціо- нала * 0f X такого, що: 1) 0 1f  , 2)  0lim limk kk k f x u x u      , 3)    0 0lim supkk u F f u f u    . Справедливість цього наслідку безпосередньо випливає з нас- лідку 4, якщо врахувати, що функція  p x x , x X , є опуклою, неперервною та додатно однорідною функцією, заданою на X , і, крім того, в цьому випадку для f X    * 0, якщо 1, , якщо 1 f p f f f        (7) Математичне та комп’ютерне моделювання 68 (див., наприклад, [11, с. 227]). Наслідок 7 [8, с. 150]. Для того щоб елемент 0u F був екстре- мальним елементом для величини (2), необхідно і достатньо існуван- ня функціонала * 0f X такого, що 1) 0 1f  , 2)  0 0 0f x u x u   , 3)    0 0 0sup u F f u f u   . Критерії колмогоровського типу екстремальної послідовності для величини (1). Розглянемо далі деякі критерії колмогоровського ти- пу екстремальності послідовності для задачі відшукання величини (1). Теорема 4. Нехай ku F , 1, 2,...k  , існує  lim kk p x u   . Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послідов- ністю для величини (1), необхідно і достатньо, щоб для кожного елемен- та u F існувала послідовність   1 u k k f   , u kf X , 1,2,...k  , така, що: 1) u kf M , 1, 2,...k  , 2)       lim limu u k k k kk k f x u p f p x u       , 3)  lim 0u k kk f u u    . Доведення. Достатність. Нехай для кожного u F існує послідо- вність u kf , 1, 2,...k  , для якої виконуються умови 1) – 3) цієї теореми. Тоді існує підпослідовність   1l u k l f   послідовності   1 u k k f   така, що       lim lim l l l u u k k k kl k f x u p f p x u       . (8) Внаслідок 3)  lim 0 l l u k kl f u u    . (9) Маємо, що для u F             * l l l l l l l u u u u u k k k k k k kf u u f x u p f f x u p f             * l l l u u k k kf x u p f p x u     (див. співвідношення (3)). Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 69 З урахуванням (8), (9) звідси одержимо, що              0 lim lim lim . l l l l l u u u k k k k kl l kk f u u f x u p f p x u p x u p x u                Тому для u F      lim infkk u F p x u p x u p x u        . Звідки      inf lim infku F k u F p x u p x u p x u         . Отже,    lim infkk u F p x u p x u      . Це й означає, що   1k ku   є екстремальною послідовністю для величини (1). Достатність доведено. Необхідність. Нехай послідовність   1k ku   є екстремальною по- слідовністю для величини (1). Переконаємося, що для будь-якого u F існує послідовність   1 u k k f   , u kf X , 1,2,...k  , для якої виконуються умови 1)–3) теореми. Згідно з теоремою 3 існує функціонал * 0f X , який задоволь- няє умови 1)–3) цієї теореми. Для u F покладемо 0 u kf f , 1,2,...k  . Тоді внаслідок умов 1)–3) теореми 3 маємо, що u kf M , 1,2,...k  ,            * lim lim lim ,u u u u k k k k k k kk k k f x u p f f x u p f p x u                  0lim supu u u k k k kk z F f u f z f u f u      . З останнього співвідношення випливає, що  lim 0u k kk f u u    . Отже, послідовність   1 u k k f   функціоналів 0 u kf f X  , 1, 2,...k  , задовольняє умови 1)–3) теореми. Необхідність доведено. Теорему доведено. Наслідок 8. Нехай ku F , 1, 2,...k  , існує  lim kk p x u   . Математичне та комп’ютерне моделювання 70 Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послі- довністю для величини (1), необхідно і достатньо, щоб для кожного елемента u F існував функціонал uf X такий, що: 1) uf M , 2)       lim limu u k kk k f x u p f p x u       , 3)  lim 0u kk f u u    . Доведення. Достатність. Нехай для u F існує функціонал uf X та виконуються умови 1)–3) цього наслідку. Тоді для послі- довності   1 u k k f   , де u u kf f , 1,2,...k  , виконуються умови 1)–3) теореми 4. Згідно з цією теоремою послідовність   1k ku   є екстрема- льною послідовністю для величини (1). Достатність доведено. Необхідність. Нехай   1k ku   є екстремальною послідовністю для величини (1). Згідно з теоремою 3 існує функціонал 0f X , який задовольняє умови 1)–3) цієї теореми. Для u F покладемо 0 uf f . Легко переконатися, що функці- онал uf задовольняє умови 1)–3) наслідку 8. Необхідність доведено. Наслідок доведено. Наслідок 9. Нехай ku F , 1, 2,...k  , існує  lim kk p x u   . Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послі- довністю для величини (1), необхідно і достатньо існування функціо- налу * 0f X такого, що: 1) 0f M , 2)       * 0 0lim limk kk k f x u p f p x u       , 3)  0lim 0kk f u u    для всіх u F . Наслідок 10. Нехай ku F , 1,2,...k  , існує lim kk x u   . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 71 Для того щоб послідовність   1k ku   була екстремальною послі- довністю для величини (2), необхідно і достатньо існування функціо- налу * 0f X такого, що: 1) 0 1f  , 2)  0lim limk kk k f x u x u      , 3)  0lim 0kk f u u    , u F . Справедливість цього наслідку випливає із співвідношення (7) та наслідку 9. Зрозуміло, що з розглянутих вище теорем та наслідків можна отримати й інші критерії екстремальності послідовності та елемента для величин (1) та (2). Висновки. Для задачі найкращого у розумінні опуклої та непе- рервної функції наближення фіксованого елемента лінійного нормо- ваного простору опуклою множиною цього простору встановлено критерії екстремальної послідовності, основані на співвідношенні двоїстості, а також критерії колмогоровського типу. Список використаних джерел: 1. Гнатюк В. А. Общие свойства наилучшего приближения по выпуклой непрерывной функции / В. А. Гнатюк, В. С. Щирба // Укр. мат. журн. — 1982. — Вып. 34, № 5. — С. 608–613. 2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. — М. : Наука, 1965. — 407 с. 3. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций / В. К. Дзядык. — М. : Наука, 1977. — 510 с. 4. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения / Н. П. Кор- нейчук. — М. : Наука, 1976. — 320 с. 5. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с. 6. Степанец А. И. Методы теории приближений / А. И. Степанец. — К. : Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. І. — 427 с. 7. Степанец А. И. Методы теории приближений / А. И. Степанец. — К. : Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. ІІ. — 468 с. 8. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений / В. М. Тихо- миров. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1976. — 307 с. 9. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иофе, В. М. Тихоми- ров. — М. : Наука, 1974. — 408 с. 10. Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программиро- вании и ее приложения / Е. Г. Гольштейн. — М. : Наука, 1971. — 352 с. 11. Алексеев В. М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Тихо- миров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1979. — 429 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 72 The criterias of the extremal sequence for the problem of the best at sense of the convex function of the approximation of a fixed element of a linear normed space from a convex set of this space are proved in the article. Key words: the convex function, the convex set, the problem of the best approximation, the extremal sequence, the criteria of the extremal sequence. Отримано: 20.09.2017 UDC 519.21 Ya. I. Yeleyko, Doctor of Science, N. V. Buhrii, Ph. D. Ivan Franko Lviv National University, Lviv, **Lviv Polytechnic National University, Lviv THE CONVERGENCE RATE OF THE THIRD AND THE FOURTH MOMENTS The perturbation  of the random environment  is considered. There is proved that as 0  the perturbed third and the perturbed fourth moments differ from the third and the fourth moments respectively very little. The convergence rate of the perturbed third and the perturbed fourth moments to the unperturbed ones is investigated. Key words: earnings per share, risk, third and fourth moments, perturbation of an environment, convergence rate. Introduction. A problem about finding of the expected profit and risk is sufficiently important. In particular, Sharpe in [1; 2] was calculating the average expected returns and risks of individual securities and whole their portfolios. In articles [3; 4] the average expected earnings per share and risk of share are investigated. There is showed that the convergence rate of the perturbed profit and the perturbed risk to the unperturbed ones is linear. The necessary and sufficient conditions at which the convergence rate of the perturbed profit to unperturbed one has order k  are established. The similar problem for the perturbed risk is considered. For studying such characteristics of statistical distributions as asymmetric function and excess are used the third and the fourth moments respectively. It is vital to note that these characteristics are quite important in the formation of the portfolio. So investigation of the behavior of the third and the fourth moments in the perturbed environment is actual at this time. In this paper we will consider the third and the fourth moments of earnings per share. We will clear up the matter about the change of these quantities at the perturbation of an environment. We will also investigate the convergence rate of the perturbed third and the perturbed fourth moments of earnings per share to the unperturbed ones. © Ya. I. Yeleyko, N. V. Buhrii, 2017 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Критерії екстремальної послідовності для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення фіксованого елемента опуклою множиною

Репозитарії

Схожі ресурси