Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла

Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла

Запропонована математична модель описує тепловий стан поверхні пластини в результаті дії рухомого джерела тепла із заданою, залежною від часу, інтенсивністю випромінювання. При побудові математичної моделі такого процесу розглядалась нелінійна задача теплопровідності. Розподіл поля температур знаход...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автори: Клименко, В.А., Білоус, Д.О.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133978
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла / В.А. Клименко, Д.О. Білоус // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 92-104. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133978
record_format dspace
spelling irk-123456789-1339782018-06-11T03:03:23Z Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла Клименко, В.А. Білоус, Д.О. Запропонована математична модель описує тепловий стан поверхні пластини в результаті дії рухомого джерела тепла із заданою, залежною від часу, інтенсивністю випромінювання. При побудові математичної моделі такого процесу розглядалась нелінійна задача теплопровідності. Розподіл поля температур знаходиться методом розділення змінних у рівнянні параболічного типу. Модель враховує перерозподіл температурного поля при виході теплового джерела за межі поверхні пластини. The mathematical model describes the thermal state of the plate as a result of moving heat source with a given depending on the time, the intensity of radiation. Distribution in temperature is a method of separation of variables in the equation of parabolic type. The model takes into account the redistribution of temperature fields in the output heat source outside of the plate. When building a mathematical model of the process considered nonlinear problem of heat conduction. 2017 Article Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла / В.А. Клименко, Д.О. Білоус // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 92-104. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133978 517.958 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Запропонована математична модель описує тепловий стан поверхні пластини в результаті дії рухомого джерела тепла із заданою, залежною від часу, інтенсивністю випромінювання. При побудові математичної моделі такого процесу розглядалась нелінійна задача теплопровідності. Розподіл поля температур знаходиться методом розділення змінних у рівнянні параболічного типу. Модель враховує перерозподіл температурного поля при виході теплового джерела за межі поверхні пластини.
format Article
author Клименко, В.А.
Білоус, Д.О.
spellingShingle Клименко, В.А.
Білоус, Д.О.
Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Клименко, В.А.
Білоус, Д.О.
author_sort Клименко, В.А.
title Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла
title_short Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла
title_full Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла
title_fullStr Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла
title_full_unstemmed Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла
title_sort моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2017
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133978
citation_txt Моделювання теплового поля пластини під впливом рухомого джерела тепла / В.А. Клименко, Д.О. Білоус // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 92-104. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT klimenkova modelûvannâteplovogopolâplastinipídvplivomruhomogodžerelatepla
AT bílousdo modelûvannâteplovogopolâplastinipídvplivomruhomogodžerelatepla
first_indexed 2025-07-09T20:00:19Z
last_indexed 2025-07-09T20:00:19Z
_version_ 1837200805442093056
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 92 17. Мансимов К. Б. Особые управления в системах с запаздыванием / К. Б. Мансимов. — Баку : ЭЛМ, 1999. — 176 с. 18. Габасов Р. К теории необходимых условий оптимальности для дискрет- ных систем / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова // Автоматика и телемехани- ка. — 1969. — № 12. — С. 31–47. In this paper consider the one optimal control problem described from Roesser type discrete system. Proof the necessary optimality conditions singular of the Pontryagin since control. Key words: Roesser type systems, Pontryagins maximum principle, singular control, increment formula. Отримано: 02.06.2016 УДК 517.958 В. А. Клименко, старший викладач, Д. О. Білоус, студент Сумський державний університет, м. Суми МОДЕЛЮВАННЯ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ ПЛАСТИНИ ПІД ВПЛИВОМ РУХОМОГО ДЖЕРЕЛА ТЕПЛА Запропонована математична модель описує тепловий стан по- верхні пластини в результаті дії рухомого джерела тепла із зада- ною, залежною від часу, інтенсивністю випромінювання. При по- будові математичної моделі такого процесу розглядалась неліній- на задача теплопровідності. Розподіл поля температур знаходить- ся методом розділення змінних у рівнянні параболічного типу. Модель враховує перерозподіл температурного поля при виході теплового джерела за межі поверхні пластини. Ключові слова: розподіл температурного поля, рухоме теплове джерело, нелінійна задача теплопровідності. Вступ. Швидкий розвиток сучасних новітніх технологій вимагає від науковців та дослідників приділяти значну увагу розробці і виготов- ленню елементів технічних систем та конструкцій з врахуванням висо- ких вимог до підвищеної надійності та довголіття, стійкості до наванта- жень різного типу. Особливий інтерес виникає до теплового впливу на поверхню деталі джерел тепла [1–4]. Він, як правило, відбувається при механічній, електродуговій, іонно-променевій обробці деталі і може при- звести до небажаних структурних та фазових перетворень матеріалу [5–7]. Отже, на сьогодні, існує значна кількість публікацій про дослі- дження температурного стану поверхонь. Так питання впливу тепло- ти, що виділяється при механічній обробці поверхні деталі розгляда- ється в роботі [8]. В ній автори запропонували метод дослідження © В. А. Клименко, Д. О. Білоус, 2017 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 93 температурного поля в поверхневому шарі заготовки при термофрик- ційному різанні. Показано, що характер розподілу температур має екстремальний характер з максимумом, що розташовується поблизу зони контакту леза диска із заготівлею. Автори роботи [9] відмічають, що нерівномірність нагрівання різних ділянок деталі, а також неможливість обліку неоднорідності температурного поля деталі при розробці режимів її обробки можуть призводити до дефектам деталі, пов'язаним зі структурними перетво- реннями і, як наслідок, псуванню виробів. Результатами моделюван- ня є просторово розподілені поля температур для заданого часу. Дослідження температурного стану об’єкта, з використанням непрямих методів граничних та приграничних елементів способом побудови чисельно-аналітичного розв’язку стаціонарної задачі теп- лопровідності з урахуванням умов складного теплообміну, представ- лено в роботі [10]. В роботі врахований вплив внутрішніх джерел теплової енергії та розподіл теплового поля у паралелепіпеді. Поряд з тим, слід відзначити, що у досліджених математичних структурах, при моделюванні процесу термічного нагрівання деталей, не врахована зміна розподілу температур поверхні під час відсутності температурного впливу. Цікавим залишається питання моделювання температурного стану поверхні під час комплексного впливу джерела тепла з врахуванням швидкості його переміщення вздовж встановле- ної траєкторії руху та за відсутності теплового навантаження протя- гом встановленого інтервалу часу в режимі циклічної обробки. Постановка задачі. 1. Температурне поле у пластині, викликане зосередженим рухомим джерелом тепла Будемо вважати, що по одній із сторін бруса, що обробляється (в напрямку осі Ох) (рис. 1) рухається точкове джерело тепла, що зале- жить від часу інтенсивністю q(t). Положивши, що всі сторони брусу теплоізольовані, а температурне поле не залежить від координати z, cформулюємо наступну задачу: Рис. 1. Схематичне зображення пластини, що обробляється Математичне та комп’ютерне моделювання 94      2 2 2 2 2 q t x t yu u u t cx y                   , (1)    0 0, , ,u x y t u x y , (2) 0 0 0 x x a y y b u u u u x x y y                , (3) де α — коефіцієнт теплопровідності; с — питома теплоємність мате- ріалу пластини; ρ — густина матеріалу; δ(x – Vt), δ(y) — дельта- функції Дірака; a — довжина пластини; b — її товщина. В силу лінійності поставленої задачі і на основі принципу супе- рпозиції задача (1)–(3) може бути розбита на дві задачі. Розглянемо кожну з них детальніше. 1. Знайти функцію  , ,v x y t , що задовольняє рівнянню: 2 2 2 2 2 v v v t x y             , (4) початковій умові    0 0, , ,v x y t v x y , (5) і крайовим умовам 0 0 0 x x a y y b v v v v x x y y                . (6) 2. Знайти функцію  , ,w x y t , що задовольняє рівнянню      2 2 2 2 2 q t x t yw w w t cx y                   , (7) початковій умові  0, , 0w x y t  , (8) і крайовим умовам 0 0 0 x x a y y b w w w w x x y y                . (9) Тоді розв’язком  , ,u x y t вихідної задачі є сума розв’язків двох останніх задач, тобто      , , , , , ,u x y t v x y t w x y t  . (10) Тут же зауважимо, що задача (4)–(6) відповідає випадку і описує температурне поле, коли рухоме джерело знаходиться поза пласти- ною, що обробляється, а задача (7)–(9) — випадку, коли джерело діє безпосередньо на пластину. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 95 2. Реалізація задачі 2.1. Розрахунок температурного поля за відсутністю джерела тепла в полі пластини Розв’язок задачі (4)–(6) будемо шукати у вигляді:        , ,v x y t X x Y y T t , (11)  2 2 2 1 n m T X Y const T X Y             . (12) Для отримання нетривіального розв’язку, а також розв’язку, що має фізичний зміст, константа «розділення» може бути тільки від’ємною. Із (12) отримаємо:      2 2 2 0nm n mT t T t     , (13)    2 0nX x X x   , (14)    2 0mY y Y y   . (15) Відомо, що розв’язок рівняння (14) має вигляд   1 2cos sinn nX x C x C x   , (16) де С1 і С2 — довільні сталі, n — власні числа. Для відшукання сталих, а також для відшукання власних функ- цій і власних значень, скористаємося граничними умовами: 0 0 x x a dX dX dx dx    . (17) Із (16) і (17) отримаємо: 2 1 2 0, sin cos 0. n n n n n C C a C a          (18) так як С2 = 0, то власні функції можна представити як:   1 cosn nX x C x a       , (19) а власні числа , 0,1, 2,...n n n a    Аналогічно отримаємо, що   3 cosm mY y C y b       , (20) де власні числа , 0,1,2,...m m m b    Розв’язок однорідного рівняння (13) має вигляд Математичне та комп’ютерне моделювання 96       2 2 2 22 2 2 0 0 t n m t n m t tdt a b nm nm nmT t C e C e                          . (21) В силу лінійності поставленої задачі вираз (11) функції  , ,v x y t може бути записаний наступним чином:     2 2 2 2 0 0 0 , , cos cos n m t t a b nm n m n mv x y t C e x y a b                                       . (22) Для знаходження сталих nmC скористаємося початковою умо- вою (5). При 0t t маємо  0 0 0 , cos cosnm n m n mv x y C x y a b         . Помножуючи праву і ліву частину останнього виразу на cos cos n mx y a b              та інтегруючи в межах 0 ≤ x ≤ a і 0 ≤ y ≤b, отримаємо:  0 0 0 2 2 , cos cos a b nm n m n mx y x y a b C                    , (23) де    cos , cosn m n mx x y y a b               . Детальніше 2 2 0 , 0, cos 2 , 0. a n a nn x dx a a n              (24) 2 2 0 , 0, cos 2 , 0. b m b mm y dy b b m              (25) Таким чином, розв’язок задачі (4)–(6) має вид   2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 ( , , ) cos cos ( , ) cos cos , n m t a b nm n m a b nx y t N e x ab a m n my v x y x y dydx b a b                                                         (26) де Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 97 1, при 0, 0, 0, 0, 2, при 0, 0, 4, при 0, 0. nm m n m n N m n m n             2.2. Розрахунок температурного поля при дії рухомого джерела тепла на пластину Як вже зазначалося, поставленій задачі відповідає задача (7)–(9). Розв’язок цієї задачі будемо шукати методом розкладання за власни- ми функціями, причому в якості їх будемо брати власні вектори сис- теми Штурма–Ліувілля, яка зустрічалася уже при розв’язанні відпо- відної однорідної задачі (4)–(6). Таким чином, шуканий розв’язок буде мати вид: 0 0 ( , , ) ( )cos cosnm n m n mw x y t T t x y a b                    . (27) Підставляючи (27) в (7) и розкладаючи функцію джерела за ти- ми ж власними функціями, отримаємо 0 0 2 2 2 2 0 0 ( )cos cos ( ) cos 1 cos ( ) cos cos . nm n m nm nm n m n mT t x y a b n m nT t x a b a m n my q t x y b c a b                                                                           (28) Із останнього співвідношення отримаємо 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) nm nm nm q tn mT t T t a b c                      . (29) Розв’язок отриманого лінійного неоднорідного рівняння має вид:     2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 ( ) ( ) , n m n mtt t t a b a b nm nm nm t T t C e e q d c                                                   (30) де 0( ) 0nm nmC T t  . Таким чином:   2 2 2 2 0 1 ( ) ( ) ( ) n mt t a b nm nm nm t T t q e q d c                          . (31) Математичне та комп’ютерне моделювання 98 Остаточний розв’язок задачі (7)–(9) має вигляд:   2 2 2 2 0 0 0 1 ( , , ) cos cos ( ) . nm n m n mt t a b nm t n mw x y t N x y abc a b q e d                                              (32) де ( )nmq  — коефіцієнти розвинення функції джерела за власними функціями. 2.3. Узагальнене температурне поле деталі при дискретній дії рухомого джерела тепла Як вже зазначалося, температурне поле пластини  , ,u x y t в цьому випадку є сумою двох полів:  , ,v x y t і  , ,w x y t . Запишемо цей вираз:     2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 ( , , ) cos cos ( ) ( ) 1 cos nm n m n mt t a b nm nm t n m t t a b nm n m n mu x y t N x y abc q e q d nN e x ab                                                                               0 0 0 cos ( , ) cos cos . a b m y n mv x y x y dydx                               (33) Оскільки функція джерела у нашому випадку має вигляд        , ,q x y t q t y x t    , то 2 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos . a b nm n n nq t q t x t y x a m y dydx b                       (34)                       0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , cos 1 , . nm nm t A t nm n m n m t a b A t t nm n m n m n m q nu x y t N X x Y y e s d abc a N e X x Y y v x y X x Y y dydx ab                               (35) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 99 3. Рекурентні співвідношення для обчислення температурного поля пластини Отриманий вираз (35) для розрахунку температурного поля пла- стини, не дивлячись на його простоту, призводить до значних труд- нощів при обчисленні інтегралів від швидкоосцилюючих функцій. У зв’язку з цим перетворимо його до більш простого, а також врахуємо наявність прямого і зворотного ходу джерела теплового випромінювання, поклавши, що при прямому ході джерела функція переміщення має вид  S t t , а при зворотному  S t a vt  . а) прямий хід:         0 2 2 sin cos cos nm nm A tt n n nm nA tп nm n nmt e B B A Bn vI e d a B A                , (36) де 2 2 2 2 ,nm n n m nA B a b a                    ; б) зворотній хід:           0 0 0 cos 1 cos 1 .nm nm t t n nA t A t n nm nm t t n a v n vI e d e d I a a                (37) Перейдемо до перетворення подвійного інтегралу в виразі (35). Го- ловним міркуванням, що дозволяє обчислити цей інтеграл, є припущен- ня, що розподіл температур задається тією температурою, яка отримана у деталі в конці активної ділянки і може бути обчислена аналітично. Отже, якщо припустити, що час проходження активної ділянки дорівнює at , тоді ( ) 0 0 0 0 ( ) 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) cos sin( ) cos( )( ) ( ) ( ) a nm a nm t A t nm n m n m t n n nm nA t nm n m n m n nm q t n sx y N X x Y y e d abc a B B A Bq t N X x Y y e abc B A                                  2 2 0 0 2 2 0 0 ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) . nm a nm a A tn nm nm n m n m n nm A tnnm nm n m n m n nm A eq t N X x Y y abc B A N Aq t X x Y y e abc B A                             (38) Для спрощення виразу (38) введемо позначення: ( 1) nm aA tn n nmK e   . (39) Тоді для руху теплового випромінювача у зворотному напрямку отримаємо: Математичне та комп’ютерне моделювання 100 0 ( 1) 1 ( 1) nm aA tn n n nm nmK K e     . (40) Підставимо отриманий вираз для 0 ( , )x y у подвійний інтеграл: 2 2 0 00 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 0, a b nnm nm n m nm j i n m n nm a b nm nm nm n m j i n m n nm ij ij j ij N Aq t X x Y y K X x Y y dxdy abc B A N A Kq t X x Y y X x Y y dxdy abc B A A Kq t i m j n c B A                                   , . i m j n       (41) Таким чином,   0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) . nmta nmta nmta nm n m nm n m A nm n m n m A nnm nm nm n m nm nm n mn nm An n nm n m nm n m q tu x y t N X x Y y I abc q t N e X x Y y abc A K q t N X x Y y I e I abcB A q t N X Y I e abc                                               (42) Щоб прослідити закономірність розповсюдження теплового по- ля, для отримання рекурентного співвідношення, досліджуємо вираз для температур (42) в ті моменти часу, коли відбувається перемикан- ня з прямого ходу на зворотний і навпаки. а) Час зміни від 0 0t  до 1 at t (прямий хід): 1 0 0 ( ) ( , , ) ( ) ( ) n nm n m nm n m q tu x y t N X x Y y I abc        , (43) де  2 2 1 nm a n A tn nm nm n nm A I e B A       б) Час зміни від 1 at t до 2 2 at t (зворотний хід):       2 0 0 0 0 0 0 , , .nm a n nm n m nm n m A t nm n m nm nm n m q t u x y t N X Y I abc q t N X Y I I e abc                      (44) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 101 в) 2 , 3a at t t   (прямий хід):         3 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 , , . nm a nm a nm a nm a n nm n m nm n m A t A t nm n m nm nm n m A t A tn nm n m nm nm nm n m q t u x y t N X Y I abc q t N X Y I I e e abc q t N X Y I I e I e abc                                    (45) 4. Результати дослідження та їх обговорення На основі отриманих рекурентних співвідношень проведено мо- делювання теплового поля плоскої пластини під час дії рухомого джерела тепла на деталь та в режимі виходу його за межі пластини. Розроблена комп’ютерна програма, яка дозволила провести роз- рахунок температури деталі в різних точках поверхні з врахуванням швидкості переміщення джерела теплової енергії. Результати розраху- нків представлені графічно на рисунках 2–4. Так розрахунки виконані для наступних даних: довжина деталі a = 10 см, ширина b = 1 см., h = 5 cм., коефіцієнт температуропровідності α = 0,037 см2/c, коефіці- єнт лінійного теплового розширення β = 0,0000152 1/К, об’ємна тепло- ємкість с = 0,5860 Дж/(cм3·К), питома густина матеріалу пластини ρ = 7,7 г/(cм3), потужність теплового джерела q = 301,4495 (Дж см2)/c, T = 20ºC — температура навколишнього середовища, швидкість пере- міщення джерела тепла v = 10 см/c. а) б) Рис. 2. Температурне поле пластини (прямий хід) t = 1 c Математичне та комп’ютерне моделювання 102 а) б) Рис. 3. Температурне поле пластини (вільний хід) t = 2 c а) б) Рис. 4. Температурне поле пластини (прямий хід) t = 5 c Аналіз рисунка 2а дає уявлення про розподіл температур в мо- мент, коли точкове джерело тепла знаходиться вкінці деталі, через одну секунду від початку свого руху, тобто безпосередньо в момент теплового опромінювання всієї довжини пластини. Лінії рівня (див. рис. 2б) показують відповідне температурне поле. Рисунок 3 дає можливість спостерігати розподіл температурного поля, коли вплив джерела відсутній (або діє режим вільного ходу). Можна бачити прогрів деталі через одну секунду від того як вийшов за межі деталі тепловий елемент. Рисунок 4 формує уявлення про поверхню розподілу температур через п’ять секунд від початку руху теплового джерела з двома про- міжними зупинками загальною тривалістю 2 секунди. Тобто відбувся Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 103 перехід точкового джерела енергії з координати положення х1=0 в положення х2=а, і, в зворотному напрямку, в положення х3=0. Про- грама дозволила змоделювати температурне поле деталі при цикліч- ній обробці поверхні протягом кількох циклів. Подальший розвиток моделі є актуальним, на думку авторів, в напрямку врахування впливу динамічного теплового навантаження з нерівномірним переміщенням джерела по поверхні деталі за заданою траєкторії. Актуальним залишається дослідження одночасного впли- ву кількох теплових джерел в різних точках поверхні деталі на тепло- ве поле пластини. Висновки. Запропонована математична модель описує нестаціона- рне температурне поле пластини яке сформоване в результаті впливу рухомого теплового джерела. Розроблено комп’ютерну програму для розрахунку полів температур, при обернено-поступовому руху інстру- мента з відповідними часовими інтервалами впливу. Модель враховує перерозподіл температурного поля в ті моменти часу, коли теплове на- вантаження знаходиться за межами деталі і його вплив на пластину від- сутній. Практичне застосування моделі є актуальним в технологічному процесі під час якого виконується контроль температури поверхні з ме- тою попередження можливих фазових перетворень матеріалу пластини або зміни електрофізичних та механічних характеристик об’єкту. Список використаних джерел: 1. Лыков А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. — М. : Высш. шк., 1967. — 600 с. 2. Берман Р. Теплопроводность твердых тел / Р. Берман. — М. : Мир, 1979. — 286 с. 3. Попович В. С. Про розв'язування задач теплопровідності термочутливих тіл / В. С. Попович, І. М. Махоркін // Мат. методи і фіз.-мех. поля. — 1997. — Т. 40, № 1. — С. 36–44. 4. Коздоба JI. A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности / JI. A. Коздоба. — М. : Наука, 1975. — 227 с. 5. Ляшенко Б. А. Распределение температур в пластине с однослойным покры- тием при интенсивном нагреве / Б. А. Ляшенко, В. А. Терлецкий, Я. А. Дол- гов, Е. Б. Сорока // Проблемы прочности. — 1998. — № 3. — С. 128–133. 6. Беляев Н. М. Математические методы теплопроводности / Н. М. Беляев, А. А. Рядно. — К. : Вища школа, 1993. — 415 с. 7. Самарский А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 784 с. 8. Плахотник В. А. Определение температурного поля в поверхностном слое заготовки при термофрикционном резании / В. А. Плахотник, А. А. Конская // Вісник Східноукраїнського національного університету ім. В. Даля. — 2013. — №4(193). — C. 150–152. 9. Чичко А. Н. Моделирование процессов нагрева и охлаждения деталей на основе трехмерного уравнения теплопроводности в САЕ «Протерм-1» / Математичне та комп’ютерне моделювання 104 А. Н. Чичко, Д. М. Кукуй, В. Ф. Соболев, С. Г. Лихоузов, О. А. Сачек // Литье и металургия. — 2012. — № 1 (64). — С. 65–70. 10. Журавчак Л. Математичне моделювання розподілу теплового поля у па- ралелепіпеді з урахуванням складного теплообміну на його межі та внут- рішніх джерел / Л. Журавчак, О. Крук // Вісник Національного універси- тету «Львівська політехніка». Комп’ютерні науки та інформаційні техно- логії. — 2013. — № 771. — С. 291–302. The mathematical model describes the thermal state of the plate as a result of moving heat source with a given depending on the time, the inten- sity of radiation. Distribution in temperature is a method of separation of variables in the equation of parabolic type. The model takes into account the redistribution of temperature fields in the output heat source outside of the plate. When building a mathematical model of the process considered nonlinear problem of heat conduction. Key words: distribution of temperature field, moving heat source, nonlinear heat conduction problems. Отримано: 18.05.2017 УДК 517.982.2 В. А. Літовченко, д-р фіз.-мат. наук, професор, Г. М. Унгурян, аспірант Чернівецький національний університет імені Ю. Федьковича, м. Чернівці ПРОСТОРИ ТИПУ S ЕЛЕМЕНТІВ ОБМЕЖЕНОЇ ГЛАДКОСТІ Шляхом розширення просторів S і /S Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. побудовано зліченно-нормовані простори основ- них і узагальнених функцій, елементи яких мають обмежений ступінь гладкості. Досліджено їх повноту, з’ясовано критерій збіжності та структуру розподілів. Ключові слова: простори типу S , узагальнені функції. Вступ. Простори типу S Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. скла- даються із визначених на n нескінченно диференційовних функцій, які разом із своїми похідними підпорядковані спеціальним умовам поведін- ки на нескінченності [1]. Ці простори слугують природним середовищем дослідження задачі Коші як для класичних систем рівнянь із частинними похідними, так і для еволюційних псевдо-диференціальних рівнянь і систем рівнянь із аналітичними степеневи-ми символами псевдодифере- нціювання. Використання цих просторів дозволило описати класи єди- ності та коректності задачі Коші для параболічних систем із гладкими © В. А. Літовченко, Г. М. Унгурян, 2017 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси