Простори типу S елементів обмеженої гладкості

Простори типу S елементів обмеженої гладкості

Шляхом розширення просторів Sα і Sα' Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. побудовано зліченно-нормовані простори основних і узагальнених функцій, елементи яких мають обмежений ступінь гладкості. Досліджено їх повноту, з’ясовано критерій збіжності та структуру розподілів....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2017
Hauptverfasser: Літовченко, В.А., Унгурян, Г.М.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133979
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Простори типу S елементів обмеженої гладкості / В.А. Літовченко, Г.М. Унгурян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 104-120. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133979
record_format dspace
spelling irk-123456789-1339792018-06-11T03:03:29Z Простори типу S елементів обмеженої гладкості Літовченко, В.А. Унгурян, Г.М. Шляхом розширення просторів Sα і Sα' Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. побудовано зліченно-нормовані простори основних і узагальнених функцій, елементи яких мають обмежений ступінь гладкості. Досліджено їх повноту, з’ясовано критерій збіжності та структуру розподілів. We have constructed countably-normed spaces of main and generalized functions by expanding spaces of Gelfand I. M. and Shilov G. Ye. Elements of this spaces have limited degree of smoothness. We have investigated completeness of spaces and found the convergence criterion, and the structure of distributions. 2017 Article Простори типу S елементів обмеженої гладкості / В.А. Літовченко, Г.М. Унгурян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 104-120. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133979 517.982.2 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Шляхом розширення просторів Sα і Sα' Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. побудовано зліченно-нормовані простори основних і узагальнених функцій, елементи яких мають обмежений ступінь гладкості. Досліджено їх повноту, з’ясовано критерій збіжності та структуру розподілів.
format Article
author Літовченко, В.А.
Унгурян, Г.М.
spellingShingle Літовченко, В.А.
Унгурян, Г.М.
Простори типу S елементів обмеженої гладкості
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Літовченко, В.А.
Унгурян, Г.М.
author_sort Літовченко, В.А.
title Простори типу S елементів обмеженої гладкості
title_short Простори типу S елементів обмеженої гладкості
title_full Простори типу S елементів обмеженої гладкості
title_fullStr Простори типу S елементів обмеженої гладкості
title_full_unstemmed Простори типу S елементів обмеженої гладкості
title_sort простори типу s елементів обмеженої гладкості
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2017
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133979
citation_txt Простори типу S елементів обмеженої гладкості / В.А. Літовченко, Г.М. Унгурян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2017. — Вип. 16. — С. 104-120. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT lítovčenkova prostoritipuselementívobmeženoígladkostí
AT ungurângm prostoritipuselementívobmeženoígladkostí
first_indexed 2025-07-09T20:00:28Z
last_indexed 2025-07-09T20:00:28Z
_version_ 1837200815355330560
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 104 А. Н. Чичко, Д. М. Кукуй, В. Ф. Соболев, С. Г. Лихоузов, О. А. Сачек // Литье и металургия. — 2012. — № 1 (64). — С. 65–70. 10. Журавчак Л. Математичне моделювання розподілу теплового поля у па- ралелепіпеді з урахуванням складного теплообміну на його межі та внут- рішніх джерел / Л. Журавчак, О. Крук // Вісник Національного універси- тету «Львівська політехніка». Комп’ютерні науки та інформаційні техно- логії. — 2013. — № 771. — С. 291–302. The mathematical model describes the thermal state of the plate as a result of moving heat source with a given depending on the time, the inten- sity of radiation. Distribution in temperature is a method of separation of variables in the equation of parabolic type. The model takes into account the redistribution of temperature fields in the output heat source outside of the plate. When building a mathematical model of the process considered nonlinear problem of heat conduction. Key words: distribution of temperature field, moving heat source, nonlinear heat conduction problems. Отримано: 18.05.2017 УДК 517.982.2 В. А. Літовченко, д-р фіз.-мат. наук, професор, Г. М. Унгурян, аспірант Чернівецький національний університет імені Ю. Федьковича, м. Чернівці ПРОСТОРИ ТИПУ S ЕЛЕМЕНТІВ ОБМЕЖЕНОЇ ГЛАДКОСТІ Шляхом розширення просторів S і /S Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. побудовано зліченно-нормовані простори основ- них і узагальнених функцій, елементи яких мають обмежений ступінь гладкості. Досліджено їх повноту, з’ясовано критерій збіжності та структуру розподілів. Ключові слова: простори типу S , узагальнені функції. Вступ. Простори типу S Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. скла- даються із визначених на n нескінченно диференційовних функцій, які разом із своїми похідними підпорядковані спеціальним умовам поведін- ки на нескінченності [1]. Ці простори слугують природним середовищем дослідження задачі Коші як для класичних систем рівнянь із частинними похідними, так і для еволюційних псевдо-диференціальних рівнянь і систем рівнянь із аналітичними степеневи-ми символами псевдодифере- нціювання. Використання цих просторів дозволило описати класи єди- ності та коректності задачі Коші для параболічних систем із гладкими © В. А. Літовченко, Г. М. Унгурян, 2017 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 105 коефіцієнтами [2, 3] істотно розширити клас узагальнених початкових даних, з якими ця задача має гладкі класичні розв’язки, описати макси- мальні класи розв’язків таких систем із характерними для їх фундамен- тального розв’язку властивостями, дослідити властивості локалізації та стабілізації цих розв’язків, довести теорему типу Ліувілля тощо [4–12]. Проте однією із необхідних умов для застосування цих просторів у тео- рії задачі Коші є нескінченна диференційовність стосовно просторової змінної коефіцієнтів системи та символів псевдодиференціювання. Тому, для одержання подібних результатів як для класичних, так і для еволю- ційних систем рівнянь із коефіцієнтами або символами псевдодифе- ренціювання обмеженого ступеня гладкості важливим є розширення просторів типу S шляхом доповнення їх відповідними елементами скі- нченної гладкості. У роботі побудовано зліченно-нормовані простори основних і узагальнених функцій, елементи яких мають обмежену гладкість. Доведено їх повноту, сформульовано критерій збіжності та з’ясовано загальний вигляд лінійних неперервних функціоналів. Також, уста- новлено зв'язок цих просторів із відповідними просторами S і /S Гельфанда Г. М. і Шилова Г. Є. [1]. 1. Означення, допоміжні твердження. Нехай ,n n — відпо- відно дійсний і комплексний n — вимірні простори,  – множина нату- ральних чисел, n  – сукупність усіх n -вимірних мультиіндексів; 1: ... ,nq q q     1( ,..., ) ,n nq q q   ( , )  – скалярний добуток у ,n 1/2: ( , ) ,x x x 1: ... ,nx x x      0,  1( ,..., ) ,n nx x x  1 : ;x x   ( )m n  — клас усіх визначених на n неперервно диферен- ційовних до m порядку включно функцій,  — довільно фіксована компактна множина із ;n покладемо , , ( ) : , , p p k p k k p k     { , } .p k   Зафіксуємо довільно 0,  0a  та m і покладемо   1/ 1 : 1 ,pM x exp a x p             \{1},p .nx Позначимо суку- пність усіх елементів ( )  із ( )m n  через , : , :( ) ,n a m a mS S  для яких вирази ( ) ( ),q pM x x ,q m   \{1},p обмежені на .n У , :a mS уведемо зліченну систему норм за правилом Математичне та комп’ютерне моделювання 106       : : sup .q x pp m q p m M x x      (1) Оскільки 1( ) ( ),p pM x M x ,nx 1,p  то маємо, що при :p m     : sup q x pp m q p M x x                1 1 1: 1 sup sup ;q q x p x p p m q p q p M x x M x x                при :p m          1: 1: sup sup ;q q x m x pm m m m q m q m M x x M x x               при :p m          1: 1: sup sup .q q x p x pp m p m q m q m M x x M x x               Отже, система норм у просторі , :a mS є неспадною: : 1:p m p m    ( \{1}).p  Далі, позначимо через :p mФ сукупність усіх функцій ( ),  які мають неперервні похідні до порядку ( )p m включно, для яких вира- зи     ,q pM x x ( ),q p m   є обмеженими на .n Очевидно, що :p mФ є лінійним простором із нормою (1) причо- му : , : 2 .p m a m p Ф S    Нехай { ( ), 1}   — послідовність елементів із :p mФ така, що самі функції ( )  і їх похідні ( ),q   ( ),q p m   на кожній скін- ченній області із n рівномірно збігаються до деяких граничних фу- нкцій. Якщо 0lim ( ) ( ),x x     то згідно із теоремою про диферен- ціювання рівномірно збіжної послідовності, гранична функція 0 ( )x має також похідні до порядку ( )p m включно, причому    0 lim ,qx x       ( ).q p m   Нехай тепер  : { , 1}p mФ     — фундаментальна послідов- ність за нормою (1). Тоді, згідно із відомим критерієм Коші, ця послідо- вність збігається рівномірно на кожній обмеженій області із n разом із Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 107 своїми похідними до порядку ( )p m включно. Покажемо, що гранична функція 0 ( )  цієї послідовності належить до : ,p mФ причому 0 : 0.p m      Для цього сформулюємо допоміжні твердження. Лема 1. Границя 0 ( )  послідовності :{ ( ), 1} ,p mФ    яка збігається при   рівномірно на кожній обмеженій області із n разом із своїми похідними до порядку ( )p m включно і є обмеженою за нормою (1) сталою ,c належить простору :p mФ і 0 : .p m c  Доведення. Як уже зазначалося, така функція 0 ( )  має всі по- хідні на n до порядку ( )p m включно. Зафіксуємо довільно точку 0 ;nx  оскільки функція ( )pM  — неперервна на ,n то для кож- ного 0  знайдеться 0( )x —  -окіл точки 0x такий, що    0 , 2p pM x M x    0( ).x x І, оскільки    0( ) 0 ,x xq qx x       ( ),q p m   (тут йдеться про рівномірну збіжність стосовно змінної x у замикан- ні  -околу  0x точки 0x ), то знайдеться такий номер 0 , що для всіх 0  і 0( )x x                0 sup . q q p p q x p q p m M x x M x x M x x c                     Урахувавши тепер довільність точки 0x та 0,  маємо 0 : .p m c  Лема доведена. Лема 2. Кожна фундаментальна за нормою (1) послідовність :{ ( ), 1} ,p mФ    яка збігається до нуля поточково на ,n збігає- ться до функції 0 ( ) 0x  і за нормою : .p m Доведення. Оскільки { ( ), 1}   — фундаментальна, то згідно із раніше зазначеним, існує функція ( ) 0 ( ) ( )p m n    така, що 0( ) ( ), nxq qx x      ( ).q p m   Однак послідовність ( )  збігається до нуля поточково на ,n тому 0 ( ) 0.x  Математичне та комп’ютерне моделювання 108 Для заданого 0  зафіксуємо 0 ( )  так, щоб :p m     при 0 ( )   і 0 ( ).   Послідовність ( ) : ( ) ( )         при   збігається до функції ( )  рівномірно на кожній обмеженій об- ласті із n разом з усіма своїми похідними до порядку ( )p m включно, тому згідно із лемою 1, :p m  для всіх 0 ( ).   Лема доведена. Теорема 1. Простір :p mФ повний відносно норми : .p m Доведення. Нехай :{ ( ), 1} p mФ    — фундаментальна пос- лідовність за : .p m Ця послідовність, як уже зазначалося, збігається при    рівномірно разом із усіма своїми похідними до порядку ( )p m включно на кожній обмеженій області із n до деякої функції 0 ( ).  Оскільки норми :p m обмежені, то згідно із лемою 1, :0 ( ) .p mФ   Різниця 0{ , 1}    — фундаментальна і збігається поточково на n до нуля, тому згідно із лемою 2, 0 : 0.p m      Теорема доведена. Оскільки поповнення метричного простору, ізоморфного части- ні /M повного простору ,M ізометричне замиканню /M у M [13], то безпосередньо із теореми 1, одержуємо такий наслідок. Наслідок 1. Поповнення :p mФ простору , :a mS за нормою :p m є підпростором простору : .p mФ Отже, виконується рівність: , : : 2 .a m p m p S Ф     Правильне наступне допоміжне твердження. Лема 3. У просторі , :a mS норми       11 1 : sup ,q x pp m q p m M x x            22 2 : sup q x pp m q p m M x x      — взаємно узгоджені. Доведення. Нехай послідовність , :{ ( ), 1} a mS     — фунда- ментальна за кожною із норм 1: ,p m 2 :p m і за однією із них, нехай за Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 109 1: ,p m прямує до нуля:     11 1 : sup ( ) 0.q x pp m q p m M x x          Звідси, зокрема, випливає, що ( )  поточково на n збігається до нуля. Тоді, згідно із лемою 2, стосовно норми 2 :p m одержуємо, що 2 : 0.p m    Лему доведено. Таким чином, згідно із загальною теоремою про повноту злічен- но-нормованих просторів [1], встановлено наступне твердження. Теорема 2. Простір , :a mS є повним зліченно-нормованим. На завершення цього пункту дамо таке означення. Означення. Послідовність функцій { ( ), 1}   визначених на n є m -збіжною до функції 0 ( ),  якщо { ( ), 0} ( ),m n       і 0( ) ( )xq qx x      ( ,n   ( )).q p m   2. Критерій збіжності у просторі , : .a mS Очевидно, що для ко- жного \{1}p виконується граничне співвідношення 1 ( ) lim 0 ( ) p px M x M x   тобто 0  0  ,nx  :x   1( ) ( ).p pM x M x  (2) З умови (2), зокрема, випливає, що усі вирази ( ) ( ),q pM x x ( ),q p m   не тільки обмежені на ,n але і прямують до нуля при .x   Дійсно, бо інакше знайдеться для деяких індексів q і ,p   ,q p m   { , 1} nx     — нескінченно велика послідовність елементів, для якої ( ) ( ) 0.q pM x x c    Тоді згідно з умовою (2), для нескінченно малої послідовності { 0, 1}j j   існує така підпос- лідовність { , 1} { , 1}, j x j x     що 1( ) ( ). j jp j pM x M x   Звідси приходимо до співвідношення 1 ( ) ( ) , j j q p j j cM x x       Математичне та комп’ютерне моделювання 110 яке суперечить належності ( )  до простору , : .a mS Правильне таке допоміжне твердження. Лема 4. Послідовність , :{ ( ), 1} ,a mS     яка є обмеженою за кожною із норм :p m і m – збіжною до нуля, збігається за цими нормами. Доведення. Оскільки послідовність { ( ), 1}   обмежена за кожною із норм : ,p m то \{1}p  0c  1:    1: . p m x c   Зважаючи на умову (2), для заданого 0  виберемо 0  так, щоб для всіх nx таких, що x   виконувалась нерівність 1( ) ( ).p pM x M x c   Тоді для зазначених x і довільного ,nq  ( ),q p m   1 1: ( ) ( ) ( ) ( ) .q q p p p mM x x M x x c c              Решта x із n утворюють компактну множину, тому для них, зважаючи на m — збіжність до нуля послідовності ( ),  можна вка- зати таке 0 ,  що при 0  і всіх ,nq  ( ),q p m   ( ) ( ) .q pM x x   Таким чином, 0  0  0 :    : ( ) sup ( ) ( ) .q x pp m q p m M x x         Лема доведена. Наслідок 2. Якщо послідовність , :{ ( ), 1} a mS     обмежена за кожною із норм :p m і при    є m — збіжною до деякої фу- нкції 0 ( ),  то 0 , :( ) a mS   і 0 ( )  є границею послідовності ( )  за топологією простору , : .a mS Доведення. Згідно з лемою 1 функція 0 ( )  належить до кожно- го простору : ,p mФ а отже і до простору :, : 1 .p ma m p S Ф     Різниця 0{ , 1}    обмежена за кожною із норм :p m і є m – збіжною до Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 111 нуля, тому згідно із лемою 4, одержуємо, що 0 : 0p m      для кожного \{1}.p Наслідок доведено. Правильне зворотнє твердження: якщо послідовність , :{ ( ), 1} a mS     збігається за топологією простору , :a mS до еле- мента 0 ( )  цього простору, то тоді ця послідовність обмежена за кожною із норм :p m і є m -збіжною до 0 ( ).  Дійсно, із збіжності послідовності ( )  за топологією , :a mS до 0 ( )  випливає обмеженість різниці 0{ , 1}    за кожною із норм : .p m Тоді урахувавши належність 0 ( )  до , : ,a mS для кожно- го \{1}p знаходимо, що : 0 0 0: : :p m pp m p m p m c                ( 1).  Тобто одержуємо обмеженість { ( ), 1}   за кожною із : .p m Те, що послідовність { ( ), 1}   є m -збіжною до елемента 0 ( )  випливає безпосередньо із співвідношення   : 0 0 ( ) sup ( ) ( ( ) ( )) 0, p m q x p q p m M x x x              2.p  Таким чином, доведено наступне твердження. Теорема 3 (критерій збіжності). Для того, щоб послідовність , :{ ( ), 1} a mS     була збіжною у просторі , :a mS до елемента 0 ( )  цього простору, необхідно і достатньо, щоб вона була: 1) обмежена у просторі , : ;a mS 2) m -збіжною до елемента 0 ( ).  3. Співвідношення між просторами , :a mS і , : 1.a mS  Нехай , : 1( ) ,a mS   тоді     : 1 :( 1) ( ) sup ( ) ( ) sup ( ) ( ) . p m p m q q x p x p q p m q p m M x x M x x               (3) Отже, правильне таке вкладення: : 1 :p m p mФ Ф  ( \{1}).p  (4) Лема 5. Із кожної обмеженої у просторі : 1p mФ  послідовності його елементів можна виділити ( )p m — збіжну на n підпослідовність. Математичне та комп’ютерне моделювання 112 Доведення. Розглянемо довільну обмежену послідовність { ( ), 1}   із : 1.p mФ  Оскільки система норм : , p m  2,p  неспадна, то із обмеженості { ( ), 1}   за нормою : 1p m  випливає її обмеже- ність за кожною із норм : 1 , l m  .l p Згідно із обмеженістю 1: 1 , m   сама послідовність { ( ), 1},   а також, { ( ), 1}    є рівномірно обмеженими на кожному компакті  із .n Тоді { ( ), 1}   — рівностепенно неперервна на кожному .n   Зафіксувавши дові- льно компакт 0 n   і скориставшись теоремою Арцела, дістанемо підпослідовність 00 0{ ( ), 1} { ( ), 1}         таку, що 0 0 0 0 0( ) ( )xx x     (тут 0 ( )  – деяка неперервна функція на 0 ). Зазначимо, що 00 0{ ( ), 1}   на кожній компактній множині 01 0   також є рівномірно обмеженою і рівностепенно неперервною, тому, на підставі тієї ж теореми Арцела з неї можна виокремити підпос- лідовність 1 00 1 0 0{ ( ), 1} { ( ), 1},         рівномірно збіжну на 01 до деякої неперервної на цьому компакті функції 01( ).  Оскільки 0 01( ) ( ),x x  0 ,x і 01( )x — неперервна на 01, то 01 — не- перервне продовження функції 0 ( )  на компакт 01. У зв’язку з цим, функцію 01( ),x 01,x надалі позначатимемо через 0 ( ).  Продовжуючи цей процес за індукцією, прийдемо до існування підпослідовності 0{ ( ), 1} { ( ), 1}         та неперервної функції 0 ( )  на n таких, що 0 0( ) ( )xx x     ( ).n   Далі, із обмеженості : 1r m  випливає, що послідовності 0{ ( ), 1}    і 2 0{ ( ), 1}    є рівномірно обмеженими на кожно- му компакті ,n   тоді, на довільно фіксованому компакті 1 для 0{ ( ), 1}    виконуються всі умови теореми Арцела, тому розмір- ковуючи із послідовністю 0{ ( ), 1},    як у випадку { ( ), 1},   маємо існування підпослідовності 1 0{ ( ), 1} { ( ), 1}           та неперервної на n функції 1( )  таких, що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 113    1 1 xx x       .n   Урахувавши тепер відому теорему, про диференціювання рівно- мірно збіжної послідовності, приходимо до рівності 1 0( ) ( ),x x   .nx Продовжуючи аналогічні міркування, використовуючи при цьо- му обмеженість вихідної послідовності { ( ), 1}   за решта норма- ми : 1 ,l m  одержимо існування у { ( ), 1},   підпослідовності * *{ ( ), 1},   яка є ( )p m — збіжною у .n Лема доведена. Оскільки кожен елемент ( )  простору , : 1a mS  належить також і до простору , : ,a mS то правильне вкладення , : 1 , : .a m a mS S   (5) Теорема 4. Вкладення (5) компактне. Доведення. Необхідно показати, що з кожної обмеженої у , : 1a mS  послідовності { ( ), 1}   можна виділити збіжну у просто- рі , :a mS підпослідовність. Зазначимо, що обмеженість у , : 1a mS  по- слідовності { ( ), 1}   означає її обмеженість за кожною нормою p: 1 ,m  2.p  Тоді, згідно з лемою 5, з цієї послідовності можна виділити m — збіжну на n підпослідовність * *{ ( ), 1},   яка та- кож є обмеженою за кожною нормою p: 1 ,m  2,p  а отже, і за но- рмами p: ,m 2p  (див. співвід. (3)). Урахувавши тепер наслідок 2, дістанемо твердження вихідної теореми. Теорема доведена. 4. Альтернативний опис простору , : .a mS Елементи простору , :a mS можна охарактеризувати по-іншому. Оскільки, , :( ) ,a mS   це означає, що ,nq   q m   0qc  (0; )a  :nx    1/ ( ) a xq qx c e       (6) Звідси, скориставшись оцінками [1]   1/ 1/ ,e ee ce           ,  (7) де c — деяка додатна стала, а   : inf , l ll l             знаходимо, що Математичне та комп’ютерне моделювання 114       1/1/ 1 1 .j n na xa x j j j e a e e x                           Тоді для кожного nk  і nx виконується оцінка     1/ . k k a x kx e k e a                 (8) Нехай тепер ,A ea       а  0  таке, що    ,A e a            тобто  1 . aA a             Очевидно, що при 0 a  множиною значень величини  є інтервал (0, ). Урахувавши це та оцінку (8), із (6) одержуємо, що, якщо , :( ) ,a mS   то ,nq   q m   0qc   0  nk   :nx      . kk q k qx x c A k     (9) Покажемо тепер, що кожна функція ( ) ( ),m n    яка задово- льняє умову (9), є елементом простору , : .a mS Із (7) та (9) випливає, що     1/ 1/ 1 . ( ) n jq q q j x x c cc exp x A e A                                Ура- хувавши з цього, що при  1/ 1 Aa A              виконується рівність  1/ , ( ) a e A        і якщо   0, ,   то  0;a — множина значень величини , приходимо до умови (6). Отже, умови (6) і (9) еквівалентні. Інколи зручно розглядати у просторі , :a mS іншу систему норм, пов’язану із умовою (9). А саме, покладемо    , : , : sup , 1 / k q q l m k kx k x x A l k             ,nq  ,q m   .l (10) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 115 Покажемо, що ця система норм еквівалентна системі (1). Якщо в (10) спочатку знайти sup за індексом ,nk  то одержимо:     1 1 1 1/ 1 sup inf . 1/ 1/ j j jj k kk n j k nk k kk jj j j A l kx xA l k x A l                                      Згідно із (7), маємо 1/ * 1 1/ 1 ( ), 1/ xn j e A l p j x e M x A l                    де       1/ * 1/ / : 2, / ae l p ae l                  а   — ціла частина числа. Отже, для кожних фіксованих ,nq  ,q m   і ,l існує * \{1}p  таке, що      *, : : sup .q x pq l m p mM x x     (11) Тепер зафіксуємо довільно \{1}p і урахувавши рівність ,A ea       а також оцінки (7), знайдемо:     1/1 11 1 1 * ( ) 1 1/ sup , 1/ j n n na x p p j j j k k kk eaM x e p x x A l k                                         де *l — найменше із тих ,l з якими виконується нерівність 1 / . 1 pA A l p        Звідси та з означення (1) норми :p m приходимо до існування мультиіндекса * nq  такого, що виконується умова * ( )q p m   і справджується оцінка Математичне та комп’ютерне моделювання 116       * * *: , : , * ( ) sup ( ) ( ) sup . 1/ qk q x pp m q l mk kk xq p m x x M x x A l k                   (12) Установлені оцінки (11) і (12) характеризують еквівалентність систем норм :p m і , :q l m у просторі , : .a mS 5. Простір : ,mS зв'язок із .S При 0a b  простір , :a mS є ча- стиною простору , :b mS і кожна послідовність { ( ), 1},   яка збіга- ється у просторі , : ,a mS збігається також і в , : :b mS , : , : .a m b mS S  Покладемо за означенням : , : 0 : .m a m a S S     (13) Таким чином, простір :mS складається з усіх елементів ( )  класу ( )m n  таких, що 0a  ,nq   q m   0qc  :nx    1/ ,a xq qx c e      або, що те ж саме, що 0A  ,nq   q m   0qc  nk   :nx    kk q k qx x c A k    (тут константи ,a A і ,qc можуть залежати від функції ( ),  причо- му a і A пов’язані рівністю .A ea          Збіжність послідовності елементів :{ ( ), 1} mS     до нуля у просторі : ,mS позначатиме- мо : 0,mS     означає, що ця послідовність належить до деякого простору , : ,a mS у якому вона збігається до нуля. Згідно з теоремою 4 мають місце такі компактні вкладення: : 1 :m mS S   ( ).m  Очевидно також, що : : ,m mS S  ,  причому це вкладення є неперервним. На завершення зазначимо, що при m   простір , :aS  збіга- ється із відповідним простором ,aS із [1], тому, згідно із (13), справ- джується топологічна рівність : ,S S   у якій S — відомий прос- тір типу S Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. [1]. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 117 6. Топологічно спряжені простори. Символом /Ф позначимо простір, топологічно спряжений із простором Ф основних функцій. Згідно із загальною теорією спряжених просторів із зліченно- нормованими [1], знаходимо, що / / , : : 2 ,a m p m p S Ф     (14) причому / , :a mS — повний простір стосовно слабкої збіжності. Отже, якщо / , : ,a mf S то існує хоча б одне p таке, що / : .p mf Ф Най- менше із цих p називається порядком узагальненої функції ,f при цьому виконується оцінка : : , p m p mf f  :( )p mФ  (тут кутовими дужками , позначено дію узагальненої функції на основну, а :p mf — норма функціонала f у просторі / : .p mФ Очевидно, що лінійний функціонал f порядку p є обмеженим на кулях 1: 1,p m   2: 1,...,p m   тому цей функціонал належить до просторів / 1: ,p mФ  / 2: ,....p mФ  Отже, справджуються наступні вкла- дення: / / / / 2: 3: p:... ... .m m mФ Ф Ф Ф     Функціонал f порядку ,p як елемент нормованих просторів / : ,p mФ / 1: ,...,p mФ  має у цих просторах відповідні норми : p: 1 : sup , , p m m f      1: p 1: 1 : sup , ,... p m m f        . Очевидно, що : 1: ...p m p mf f    . З’ясуємо загальний вигляд лінійних неперервних функціоналів над простором , : .a mS Згідно з рівністю (14), досить знайти загальний вигляд функціонала над нормованим простором : .p mФ Однак простір :p mФ є замкнутим підпростором простору : ,p mФ тому застосовуючи теорему Хана-Банаха про продовження лінійного функціонала, мож- на продовжити кожний функціонал / :p mf Ф на простір : .p mФ Отже, досить описати функціонали над простором : .p mФ Покладемо у відповідність кожній функції :( ) p mФ   сукуп- ність усіх функцій Математичне та комп’ютерне моделювання 118 ( ) : ( ) ( ),q q px M x x   ( ),q p m   .nx Одержимо відображення простору :p mФ у пряму суму :p m скінчен- ного числа просторів неперервних функцій ( ),q  ( ).q p m   Оче- видно, що відображення ( ) { ( ), ( )}q q p m       взаємно одноз- начне. Визнаючи норму елемента { ( ), ( )}q q p m    як ( ) sup { ( )},x q q p m x   одержимо збереження норми при цьому відображен- ні. У зв’язку з цим, можна вважати, що :p mФ є замкнутим підпросто- ром простору :p m і, скориставшись ще раз теоремою Хана-Банаха, продовжити функціонал / :p mf Ф на увесь простір : .p m Після цьо- го, згідно з теоремою Ріса-Радона [13], одержуємо загальний вигляд цього функціонала: ( ) , ( ) ( ) ( ), n q p q q p m f M x x d x         (15) де ( )q  — міра у просторі ,n зосереджена на .n Норма цього функціонала, як функціонала над простором : ,p mψ дорівнює сумі варіацій функцій ( ).q  Зазначимо, що функції ( ),q  взагалі кажучи, не визначаються однозначно значеннями функціона- ла f на просторі : .p mФ Але, оскільки теорема Хана-Банаха дозволяє розширити функціонал із збереженням норми, то сума варіацій цих функцій дорівнює нормі функціонала f на : .p mФ Отже, правильне твердження. Теорема 5. Дія ,f  узагальненої функції / , :a mf S на основ- ну функцію ( )  із , :a mS може бути зображена у вигляді (15) при цьому норма функціонала f (продовженого на нормований простір : )p m дорівнює повній варіації функції ( ).q  Зазначимо, що найменше із можливих p з рівності (15) є поря- док функціонала .f Нехай Ф — один із просторів , :a mS або : .mS Означимо похі- дну порядку ,nq  ,q m   узагальненої функції /f Ф рівністю Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 16 119 , ( ) ( 1) , ( ) qq qf x f x     ( ( ) ).Ф   Таким чином, гладкість елементів простору Ф основних функцій визна- чає гладкість елементів відповідного простору /Ф узагальнених функцій. Висновок. Побудовані простори , :a mS і :mS та їх відповідні топологічно спряжені простори, є розширенням відомих просторів , ,aS ,S / ,aS і /S Гельфанда І. М. і Шилова Г. Є. Ці простори міс- тять елементи скінченної гладкості, які мають типову поведінку в околі нескінченно віддалених точок, що й елементи зазначених прос- торів типу .S Вони придатні для дослідження задачі Коші для пара- болічних систем рівнянь із коефіцієнтами та символами диференцію- вання обмеженої гладкості. Список використаних джерел: 1. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 307 с. 2. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравне- ний / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 274 с. 3. Litovchenko V. A. Caushy problem for a class parabolic systems of Shilov type with variable coefficients / V. A. Litovchenko, I. M. Dovzhytska // Cent. Eur. J. Math. — 2012. — Vol. 10, №3. — P. 1084–1102. 4. Літовченко В. А. Цілковита розв’язність задачі Коші у просторах типу S для рівнянь, параболічних за Петровським / В. А. Літовченко // Укр. ма- тем. журн. — 2002. — Т. 54, № 11. — С. 1467–1479. 5. Літовченко В. А. Коректна розв’язність задачі Коші для одного рівняння інтегрального вигляду / В. А. Літовченко // Укр. матем. журн. — 2004. — Т. 56, № 2. — С. 185–197. 6. Литовченко В. А. Задача Коши для параболических по Шилову уравнений / В. А. Литовченко // Сиб. матем. журн. — 2004. — Т. 45, № 4. — С. 809–821. 7. Івасишен С. Д. Задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з додатним родом / С. Д. Івасишен, В. А. Літо- вченко // Укр. матем. журн. — 2009. — Т. 61, № 8. — С. 1066–1087. 8. Івасишен С. Д. Задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з недодатним родом / С. Д. Івасишен, В. А. Лі- товченко // Укр. матем. журн. — 2010. — Т. 62, № 10. — С. 1330–1350. 9. Літовченко В. А. Принцип локалізації розв’язків задачі Коші для одного кла- су вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова / В. А. Літовченко, О. В. Стрибко // Укр. матем. журн. — 2010. — Т. 62, № 11. — С. 1473–1489. 10. Литовченко В. А. Вырожденные параболические системы уравнений типа Колмогорова векторного порядка / В. А. Литовченко, Е. Б. Настасий // Сиб. матем. журн. — 2012. — Т. 53, № 1. — С. 148–164. 11. Литовченко В. А. Стабилизация решений параболических типа Шилова систем с неотрицательным родом / В. А. Литовченко, И. М. Довжицкая // Сиб. матем. журн. — 2014. — Т. 55, № 2. — С. 341–349. 12. Литовченко В. А. Задача Коши для выродженых параболических систем уравнений типа Колмогорова векторного порядка с обобщенными на- Математичне та комп’ютерне моделювання 120 чальными данными / В. А. Литовченко, Е. Б. Васько // Дифф. уравн. — 2014. — Т. 50, № 12. — С. 1598–1606. 13. Литовченко В. А. Задача Коши для одного класса параболических псев- додифференциальных систем с негладкими символами / В. А. Литовчен- ко // Сиб. матем. журн. — 2008. — Т. 49, № 2. — С. 375–39 14. Litovchenko V. A. Cauchy problem for  ,p h   – parabolic equations with time- dependent coefficients / V. A. Litovchenko // Math. Notes. — 2005. — Vol. 77, № 3–4. — P. 364–379. 15. Березанский Ю. М. Функциональный анализ. Курс лекций : учеб. пособие / Ю. М. Березанский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель. — К. : Выща шк., 1990. — 600 с. We have constructed countably-normed spaces of main and general- ized functions by expanding spaces of Gelfand I. M. and Shilov G. Ye. Elements of this spaces have limited degree of smoothness. We have inves- tigated completeness of spaces and found the convergence criterion, and the structure of distributions. Key words: S -type spaces, generalized functions. Отримано:16.03.2017 УДК 517.977.56 К. Б. Мансимов*,**, д-р физ.-мат. наук, профессор, Г. Ш. Рамазанова*, научный сотрудник *Институт Систем Управления НАН Азербайджана, г. Баку, Азербайджан, ** Бакинский Государственный Университет, г. Баку, Азербайджан ЛИНЕАРИЗОВАННОГО ТИПА НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ ТИПА ФОРНАЗИНИ–МАРКЕЗИНИ Рассматривается одна задача оптимального управления, описываемая системой Форназини–Маркезини. Получено не- обходимое условие оптимальности в терминах производных по направлениям. Отдельно рассмотрен случай квазидиффе- ренцируемого функционала. Ключевые слова: дискретная двухпараметрическая сис- тема, 2-D дискретная система, необходимое условие опти- мальности, условие Липшица, производная по направлению, квазидифференцируемый функционал. Введение. Основной результат теории необходимых условий оптимальности, принцип максимума Понтрягина (см. напр. 1–3), сначала был доказан для задач оптимального управления, описывае- мых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Далее он © К. М. Мансимов, Г. Ш. Рамазанова, 2017 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <FEFF05d405e905ea05de05e905d5002005d105d405d205d305e805d505ea002005d005dc05d4002005db05d305d9002005dc05d905e605d505e8002005de05e105de05db05d9002000410064006f006200650020005000440046002005e205d105d505e8002005d405e605d205d4002005d505d405d305e405e105d4002005d005de05d905e005d4002005e905dc002005de05e105de05db05d905dd002005e205e105e705d905d905dd002e002005de05e105de05db05d90020005000440046002005e905e005d505e605e805d5002005e005d905ea05e005d905dd002005dc05e405ea05d905d705d4002005d105d005de05e605e205d505ea0020004100630072006f006200610074002005d5002d00410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002005d505d205e805e105d005d505ea002005de05ea05e705d305de05d505ea002005d905d505ea05e8002e> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <FEFF005400690063006100720069002000620065006c00670065006c006500720069006e0020006700fc00760065006e0069006c0069007200200062006900720020015f0065006b0069006c006400650020006700f6007200fc006e007400fc006c0065006e006d006500730069002000760065002000790061007a0064013100720131006c006d006100730131006e006100200075007900670075006e002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002e> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043d0430043404560439043d043e0433043e0020043f0435044004350433043b044f043404430020044204300020043404400443043a0443002004340456043b043e04320438044500200434043e043a0443043c0435043d044204560432002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge