Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці

Узагальнено досвід застосування стохастичних оптимізаційних моделей протягом останнього десятиліття для дослідження перехідної економіки та підтримки прийняття управлінських рішень. Розглянуто моделі фіскальної політики, формування інвестиційних пріоритетів та експортно-імпортної діяльності. Показан...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автори:	Сергієнко, І.В., Михалевич, М.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2004
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133990
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці / І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 4. — С. 7-29. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133990
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1339902018-06-11T03:04:06Z Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці Сергієнко, І.В. Михалевич, М.В. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Узагальнено досвід застосування стохастичних оптимізаційних моделей протягом останнього десятиліття для дослідження перехідної економіки та підтримки прийняття управлінських рішень. Розглянуто моделі фіскальної політики, формування інвестиційних пріоритетів та експортно-імпортної діяльності. Показано, як існуючі методи стохастичної оптимізації можна використовувати для розрахунків за цими моделями при різних припущеннях щодо природи ризику та невизначеності. Обобщен опыт применения стохастических оптимизационных моделей на протяжении последнего десятилетия для исследования переходной экономики и поддержки управленческих решений. Рассмотрены модели фискальной политики, формирования инвестиционных приоритетов и экспортно-импортной деятельности. Показано, как существующие методы стохастической оптимизации можно использовать для расчетов по этим моделям при различных предположениях о природе риска и неопределенности. The last decade experience of stochastic optimization models application for transition economy analysis and for decision support is generalized in the paper. Among them models of fiscal policy, investment priorities formation and export-import trade are considered. It is shown how the existing methods of stochastic optimization can be used in model calculations under the different assumptions about the nature of risk and uncertainty. 2004 Article Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці / І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 4. — С. 7-29. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133990 519.8 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
spellingShingle	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Сергієнко, І.В. Михалевич, М.В. Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці Системні дослідження та інформаційні технології
description	Узагальнено досвід застосування стохастичних оптимізаційних моделей протягом останнього десятиліття для дослідження перехідної економіки та підтримки прийняття управлінських рішень. Розглянуто моделі фіскальної політики, формування інвестиційних пріоритетів та експортно-імпортної діяльності. Показано, як існуючі методи стохастичної оптимізації можна використовувати для розрахунків за цими моделями при різних припущеннях щодо природи ризику та невизначеності.
format	Article
author	Сергієнко, І.В. Михалевич, М.В.
author_facet	Сергієнко, І.В. Михалевич, М.В.
author_sort	Сергієнко, І.В.
title	Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці
title_short	Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці
title_full	Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці
title_fullStr	Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці
title_full_unstemmed	Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці
title_sort	застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133990
citation_txt	Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці / І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 4. — С. 7-29. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT sergíênkoív zastosuvannâmetodívstohastičnoíoptimízacíídlâdoslídžennâtransformacíjnihprocesívvekonomící AT mihalevičmv zastosuvannâmetodívstohastičnoíoptimízacíídlâdoslídžennâtransformacíjnihprocesívvekonomící
first_indexed	2025-07-09T20:02:01Z
last_indexed	2025-07-09T20:02:01Z
_version_	1837200910502068224
fulltext	© І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич, 2004 Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 7 TIДC МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР УДК 519.8 ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДІВ СТОХАСТИЧНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ТРАНСФОРМАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ В ЕКОНОМІЦІ І.В. СЕРГІЄНКО, М.В. МИХАЛЕВИЧ Узагальнено досвід застосування стохастичних оптимізаційних моделей про- тягом останнього десятиліття для дослідження перехідної економіки та під- тримки прийняття управлінських рішень. Розглянуто моделі фіскальної політи- ки, формування інвестиційних пріоритетів та експортно-імпортної діяльності. Показано, як існуючі методи стохастичної оптимізації можна використовувати для розрахунків за цими моделями при різних припущеннях щодо природи ри- зику та невизначеності. ВСТУП Процеси трансформації економіки від централізовано керованої до ринкової призвели до появи численних явищ, раніше невідомих або недостатньо ви- вчених економічною наукою. Аналіз цих явищ доцільно здійснювати на ос- нові системного підходу, що потребує застосування різноманітних кількіс- них та якісних методів, у тому числі математичного моделювання. При цьому потрібно враховувати вплив випадкових чинників, які суттєво впли- вають на перебіг процесів та явищ. Зокрема, це зміни зовнішньоекономічної кон’юнктури (для більшості країн з перехідною економікою частка експорту у ВВП становить 45–65%, отже, навіть невеликі його зміни суттєво вплива- тимуть на всю економіку), можливість реалізації довгострокових інвести- ційних проектів, необхідність додаткових бюджетних витрат, що обумовле- на виникненням непередбачуваних ситуацій. Таким чином, моделі трансформаційних процесів в економіці є типовою сферою застосування ймовірнісних методів, наприклад, стохастичної оптимізації. Як показав до- свід моделювання, остання може використовуватись у двох напрямках: 1) проведення розрахунків за оптимізаційними моделями, в яких вра- ховано дію випадкових чинників; 2) аналіз динамічних моделей неоптимізаційного характеру, які, подіб- но до алгоритмів стохастичної оптимізації, є системами різницевих рівнянь із випадковими параметрами. Використовуючи методику дослідження збіжності алгоритмів стохас- тичної оптимізації, можна одержати висновки щодо асимптотичних власти- востей зазначених моделей. Певні можливості для аналізу дає інтерпретація І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 8 граничних точок одержаних послідовностей як точок екстремуму деякої функції. Далі будуть наведені результати, одержані в обох цих напрямках. УРАХУВАННЯ РИЗИКУ В ЗАДАЧАХ БЮДЖЕТНОГО ПРОГНОЗУВАННЯ Підвищення обґрунтованості прогнозів щодо наповнення та виконання бюджету держави за умов перехідної економіки набуває великого значення для формування раціональної фіскальної політики. Бюджет є типовим при- кладом складної системи із сформованою ієрархічною структурою та чис- ленними горизонтальним та вертикальними зв’язками між окремими скла- довими системи. Це обумовлює складність задач бюджетного прогнозування за будь-яких економічних відносин. Проте у перехідної економіки є свої особливості, які додатково ускладнюють розв’язання цієї задачі. Традиційно розробка бюджету спирається на короткострокові макро- економічні прогнози щодо динаміки ВВП, змін рівнів виробництва, доходів та витрат окремих груп суб’єктів господарювання тощо. Одним із визначаль- них чинників економічної динаміки є попит на товари кінцевого (невироб- ничого) споживання. За умов перехідної економіки значна частина цього попиту (до 40 – 50 %) забезпечується державою як безпосередньо через державні витрати та закупки, так і опосередковано, у вигляді оплати праці робітників і службовців, зайнятих у бюджетній сфері. Крім того, за цих умов держава є головним інвестором. Прямі та непрямі (у вигляді податко- вих пільг) бюджетні субсидії суттєво впливають на ціни та обсяги виробни- цтва на тих підприємствах, які їх одержують. Таким чином, на короткостро- ковому проміжку часу структура витрат бюджету визначатиме економічну динаміку. Як наслідок, результати макроекономічного прогнозування зале- жатимуть від прийнятого бюджету, який має формуватися за цими результа- тами. Отже, задачі макроекономічного та бюджетного прогнозування мають вирішуватись у рамках однієї моделі. Враховуючи це, в роботі [1] була за- пропонована імітаційна модель виконання державного бюджету. Від анало- гічних моделей, створених у Польщі [2] та країнах Скандинавії [3], вона від- різняється урахуванням впливу чинників ризику та невизначеності, моделюванням дії різних механізмів ціноутворення та можливістю прове- дення оптимізаційних розрахунків для вдосконалення податкових ставок. Розглянемо цю модель більш детально. У моделі враховуються n галузей матеріального виробництва, невироб- ничий сектор, m груп споживачів, виділених за джерелами, величиною до- ходів та іншими ознаками, а також державний бюджет. Джерелами наповнен- ня бюджету є надходження від сплати податків підприємствами визначених галузей та споживачами, а також інші (неподаткові) надходження. У моделі враховані такі види податків: 1) податок на додану вартість (ПДВ), який характеризується ставкою )1(q з її можливою галузевою дифе- ренціацією (таким чином враховується можливість пільг, для деяких видів продукції значення q(1) може бути нульовим); 2) прибутковий податок зі ставкою q(2), що також припускає диференціацію; 3) податки з продажу та (або) акцизи на окремі види продукції (утворюють частину )3(q у ціні продукції); 4) непрямі податки та соціальні відрахування від фонду оплати Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 9 праці зі ставкою )4(q ; 5) прибутковий податок (сплачують споживачі за се- редньою ставкою )5(q , яка може набувати окремих значень для різних груп); 6) фіксовані платежі, які сплачують до бюджету окремі виробники та споживачі (рентні платежі, земельний податок тощо); 7) інші доходи. Вели- чина таких платежів та доходів вважається наперед відомою. Серед витрат бюджету окремо розглядаються: 1) витрати на державні закупки (залежать від цін на продукцію, що купується); 2) платежі з бюдже- ту споживачам (можуть змінюватись у залежності від зміни цін, якщо мова йде, наприклад, про оплату праці), або лишатися незмінними, наприклад, відшкодування раніше виниклої заборгованості; 3) державні інвестиції; 4) субсидії для окремих галузей (можуть залежати від обсягів виробництва у цих галузях); 5) інші витрати. У моделі передбачено три стратегії державного регулювання цін: 1) фік- совані ціни (продукція продається за наперед визначеною ціною, а різниця між такою ціною та витратами виробника покривається у певних межах з бюджету); 2) контрольовані ціни (з бюджету сплачується частина витрат); 3) вільні ціни (за відсутності субсидіювання). Позначимо множину галузей з фіксованими цінами 1Ω , керованими — 2Ω , вільними — 3Ω . Для опису дії окремих механізмів ціноутворення ви- користовуються економетричні моделі, які містять показники собівартості продукції, попиту та пропозиції, а також індикатори монетарної політики. Розглянута модель є динамічною, час у моделі змінюється дискретно, на проміжку ];0[ T з кроком t∆ . Вхідною інформацією моделі є: • матриця }{ ijaA = коефіцієнтів прямих витрат міжгалузевого балансу для розглянутих галузей; • частка фонду оплати праці у ціні продукції кожної галузі j , яка по- значається jq ; • мінімально прийнятна частка прибутку в ціні продукції галузі j , що позначається jq̂ ; • + jq — частка інших складових доданої вартості в ціні такої продук- ції; • прогнозовані обсяги виробництва продукції галузі j у момент часу t , які позначаються )(tx j ; цю величину слід розглядати як верхню межу для обсягів реалізації продукції зазначеної галузі; • величина питомих витрат )(tB j на виробництво продукції галузі j у момент часу t , які не залежать безпосередньо від внутрішніх цін; • )(tW j — нижня прогнозна оцінка прибутку, що одержують підпри- ємства галузі j у момент часу t ; • )(tW j , 2Ω∈j — питома величина субсидій для галузей з керовани- ми цінами у момент часу t ; • )(tH — доходи бюджету від сплати фіксованих платежів у момент часу t ; І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 10 • )(ˆ tH — інші доходи бюджету в момент часу t ; • )(tp j — фіксовані ціни на продукцію галузі j у момент часу t ( 1Ω∈j , ],0[ Tt∈ ); • jg — частка продукції галузі j , яка йде на споживання ( nj ,1= ); • jkβ — частка продукції галузі j в обсязі індивідуального спожи- вання споживачів групи k ( nj ,1= , mk ,1= ) ; • )()1( tQk — заплановані платежі з бюджету споживачам k -ї групи, які можуть змінюватись відповідно до зміни цін; • )()2( tQk — заплановані платежі з бюджету споживачам групи k , які не змінюватимуться у разі зміни цін; • )(tGj — обсяги державних закупівель продукції галузі j (у сталих цінах) в момент часу t ; • )(tG — інші витрати бюджету в момент часу t ; • jkc — частка доходів споживачів групи k у фонді оплати праці га- лузі j ( nj ,1= , mk ,1= ); • )0(kD — грошові заощадження споживачів групи k на початок пе- ріоду моделювання; • )(tM — прогнозована маса грошей в обігу в момент часу t за умов відсутності бюджетного дефіциту, який покривається емісійним шляхом; • γ — частка бюджетного дефіциту, яка покривається за рахунок емі- сій. Змінними моделі є: • )(tp j — ціна продукції галузі j у момент часу t ( 32 QQj ∪∈ , ],0[ Tt∈ ; • )(~ tp j — собівартість продукції галузі j ( nj ,1= ); • )(ty j — обсяги пропозиції продукції галузі j у момент часу t для невиробничого споживання; • )(tz j — обсяги реалізації продукції галузі j у момент часу t ; • )(tjΠ — прибуток підприємств галузі j у момент часу t ; • )(tjΠ — дохід, одержаний споживачами усіх груп від підприємств галузі j ; • )(ˆ tp — зважений індекс цін (дефлятор ВВП) на момент часу t ; • k jS — попит споживачів групи k на продукцію групи j ; • )(tM — маса грошей в обігу на момент часу t (з урахуванням гро- шової емісії, що має за мету покриття бюджетного дефіциту); • )(tDk — збереження споживачів групи k на момент часу t ; • )(0 tA та )(0 tB — відповідно доходи та витрати бюджету на момент часу t . Модель утворено такими співвідношеннями. Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 11 Спочатку обчислюються нормативи частки доданої вартості jq у про- дукції галузі j та коефіцієнти цінового впливу ija за формулами ,,1, )1)(1(1 )3( )2()1()1( njq qq q q qq q j jj j j jj j =+ −− + − + = + , 1 j ij ij q a a − = .,1, nji = Також обчислюються коефіцієнти повних витрат ijâ як елементи мат- риці, оберненої до )( AE − , де E — одинична матриця. Далі для кожного з моментів часу 0=t , t∆ , …t∆2 здійснюються такі обчислення. 1. Визначаються ціни на продукцію галузей. +∆+++=∆+ ∑∑ Ω∪Ω∈Ω∈ )()()()(~ 321 ttBtpatpattp i jiij i iijj ,),()( 1 )1(1 32)1( )1()2( Ω∪Ω∈∆+−∆+ − −− + jttvttW q qq jj j jj де ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∈∆+ =∆+ ,якщо,0 ,якщо),()( 3 2 j jttWttv j j ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −++−∆+=∆+ ∆− − γγ α )(ln))(ln)((lnexp),(~max)( 1 tMetMtpttpttp t jjj , .32 Ω∪Ω∈j 2. Обчислюється потреба в субсидіях для галузей з фіксованими ціна- ми. +∆+++=∆+ ∑∑ Ω∪Ω∈Ω∈ )()()()( 321 ttBtpatpattW i jiij i iijj .),()( 1 )1(1 1)1( )1()2( Ω∈∆+−∆+ − −− + jttpttW q qq jj j jj 3. Визначається пропозиція товарів кінцевого споживання nigttxattxtty i n j jijii ,1,))()(()( 1 =∆+−∆+=∆+ ∑ = та попит на ці товари .,1,,1, )( )( )( mknj ttp tD ttS j jkkk j == ∆+ =∆+ β І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 12 4. Визначаються обсяги реалізації продукції. +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆++⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆+∆+=∆+ ∑∑ == )(~)(),(min)( 11 ttzttyttSattz j m k j k j n j iji ,,1),( nittGi =∆++ де )(~ ttz j ∆+ — обсяги інвестиційного споживання продукції галузі j . 5. Обчислюється дефлятор ВВП. . )( )()()()( )( 1 1 32 ∑ ∑ ∑ = Ω∈ Ω∪Ω∈ ∆+ ∆+∆++∆+∆+ =∆+ n j j j j jjjj ttz ttzttpttzttp ttp 6. Оцінюються прибутки виробників та доходи споживачів. =∆+Π )( ttj −∆+∆+ )()( ttzttp jj ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × − −− +∆+++− ∑∑ Ω∪Ω∈Ω∈ )1( )1()2( 1 )1(1 )()()( 321 j jj i jiij i iij q qq ttBtpatpa ,),()()( 32 Ω∪Ω∈∆+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ∆+−∆+× jttxttvttW jjj ,),()()( 1Ω∈∆+∆+=∆+Π jttpttzqtt jjjj ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∪Ω∈∆+∆+ Ω∈∆+∆+ =∆+Π .),()( ),()( )( 32 ,1 jttzqttp jttzqttp tt jjj jjj j 7. Формуються баланси витрат та доходів споживачів. −∆++∆+∆++∆+Π+=∆+ ∑ = )()()()()()( 1 )2()1( ttQttQttpttctDttD n j kkjjkkk − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆+ ∆+ ∆+∆+− ∑ ∑ = Ω∈ m i i j k j j k j j j ttS ttS ttyttSp 1 )( )( )(),(min 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆+ ∆+ ∆+∆+∆+− ∑ ∑ = Ω∪Ω∈ m i i j k j j k j j j ttS ttS ttyttSttp 1 )( )( )(),(min)( 32 . Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 13 8. Визначаються доходи бюджету: а) від ПДВ ∑ Ω∈ +∆+∆+=∆+ 1 )()()( )1()1( j jjjj ttzttpqqtth ∑ Ω∪Ω∈ ∆+∆++ 32 );()()1( j jjjj ttzttpqq б) від податку на прибуток );()( 1 )2()2( ttqtth j n j j ∆+Π=∆+ ∑ = в) від податку з продажу та акцизів ∑ ∑ Ω∈ Ω∪Ω∈ ∆+∆++∆+∆+=∆+ 1 32 );()()()()( )3()3()3( j j jjjjjj ttzttpqttzttpqtth г) від непрямих податків та соціальних відрахувань від фонду оплати праці ∑ ∑ Ω∈ Ω∪Ω∈ ∆+Π+∆+Π= 1 32 )()( )4()4()4( j j jjjj ttqttqh ; д) від прибуткового податку з фізичних осіб ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆++∆+∆++∆+Π= ∑∑ == n j kkjjk m k k ttQttQttpttcqh 1 )2()1( 1 )5()5( )()()()( . 9. Обчислюється величина надходжень до бюджету. ).()()()( 5 1 )(0 ttHttHtthttB l l ∆++∆++∆+=∆+ ∑ = 10. Визначається потреба у субсидіях. ).()()( 21 ttxttWttW j j j ∆+∆+=∆+ ∑ Ω∪Ω∈ 11. Оцінюються бюджетні витрати. ∑ = +∆++∆+∆++∆+=∆+ m k kk ttQttQttpttWttA 1 )2()1(0 ))()()(()()( ∑ ∑ Ω∈ Ω∪Ω∈ ∆+∆++∆+∆++∆++ 1 32 )()()()()( j j jjjj ttGttpttGttpttG . 12. Визначається зміна грошової маси )).()(())()(()()( 00 ttBttAtMttMtMttM ∆+−∆++−∆++=∆+ γ І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 14 Змінні моделі у момент часу 0=t визначаються таким чином. Значення )0(kD , 132 ),0(,),0(,,1 Ω∈Ω∪Ω∈= jWjpmk jj вважаються наперед ві- домими. Значення )0(),0(),0( j k ji Sy Π обчислюються за формулами ,,1,)0()0()0( 1 nigxaxy i n j jijij = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑ = ,,,1, )0( )0( )0( 32 Ω∪Ω∈== jmk p D S j jkkk j β 1, )0( )0( )0( Ω∈= j p D S j jkkk j β , ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++−=Π ∑ ∑ Ω∈ Ω∪Ω∈1 32 )0()0()0()0()0( i i iijiijjjj papazp )0()0()0( 1 )1(1 )0( )1( )1()2( jjj j jj j xvW q qq B ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − −− ++ , .32 Ω∪Ω∈j Інші змінні визначаються за раніше наведеними формулами, де вважа- ється .0=∆+ tt У розглянутій моделі є дві групи керованих змінних та параметрів, що слід розглядати як випадкові. До першої належать, насамперед, ставки опо- даткування )5()1( ,..., jj qq , галузеві субсидії )(tW j та фіксовані ціни )(tp j . До другої групи — величини позаекономічних витрат )(tG та інших доходів )(tH , які іноді важко точно оцінити, а також зміни грошової маси )(tM , на що впливає ситуація на світових валютних ринках, та початкові заощаджен- ня )0(kD . Тому становить інтерес розгляд оптимізаційного варіанта такої моделі з метою обґрунтування нормативів фіскальної (бюджетної та подат- кової) політики. Як видно з наведених співвідношень, модель утворена сис- темою кінцево-різницевих рівнянь, отже її оптимізаційний варіант можна розглядати як задачу оптимального управління випадковим процесом з не- лінійними рівняннями переходу. Для розв’язання такої задачі можна застосувати аналог методу стохас- тичних квазіградієнтів [4]. Деякі проблеми виникають внаслідок того, що функції переходу є недиференційованими, оскільки для їхнього визначення застосовувались операції )(min ⋅ та )(max ⋅ . При вирішенняі цих проблем такі функції замінюються виразами виду )( wxMf + , де )(⋅f — функція пе- реходу; x — її змінні; w — випадковий вектор з незалежними, рівномірно розподіленими на ];[ αα− компонентами, величина α є достатньо малою. Для розв’язання одержаної задачі можна застосувати вищезазначений алго- ритм. При цьому виникає проблема вибору критерію оптимальності. Врахо- вуючи цілі бюджетної політики, такими функціями можуть бути: • математичне очікування величини бюджетного дефіциту min)()( 1 0 1 0 1 →⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑∑ == T t T t tBtAMF Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 15 (зауважимо, що з урахуванням можливої випадковості параметрів моделі усі її змінні будуть випадковими величинами); • математичне очікування величини бюджетного дефіциту в деякі важливі моменти часу min,))()(( 00 2 →−= tBtAMF t ℑ∈t ; • середні обсяги виробництва та середні темпи зростання на період планування ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ = = T t n i i tZMF 1 1 3 )( , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ = = n i i n i i Z TZ MF 1 1 4 )1( )( ; • середні темпи інфляції min )1( )( 5 →= p TpF . Жоден з цих критеріїв не здатний замінити інші, тому всі вони мають враховуватись одночасно. Отже, виникає задача багатокритеріальної опти- мізації. Для її розв’язання здійснювалось «згортання» векторного критерію до скалярної форми методом порядкової регресії, який формулюється таким чином. Розглянемо векторний критерій ( )KFFF ,...,1= , де K — кількість критеріїв задачі (у нашому випадку 5=K ). Скалярна «згортка» цих критеріїв матиме вигляд ( ) ∑ == +−= K k kkkkk Kk FFFU 1,1 min)( γβα , де kkk γβα ,, — невідомі коефіцієнти. Функція )(FU дозволяє враховувати зміни відносної корисності окре- мих критеріїв, які можуть зростати або зменшуватись. Оскільки тут викори- стовується кусково-лінійна форма, така функція може бути зростаючою за малих значень якогось з критеріїв та спадною — за великих його значень (або навпаки). Поряд з цим зміна одного з критеріїв може бути компенсова- на за рахунок іншого, у якого коефіцієнт у лінійному доданку функції )(FU не дорівнює нулю. Це забезпечує достатню гнучкість такої форми при відо- браженні різних переваг щодо окремих критеріїв. Невідомі коефіцієнти kkk γβα ,, визначаються таким чином. Спочатку добираються декілька альтернатив NFF ,...,)1( щодо значень векторного І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 16 критерію. Потім експертним шляхом встановлюються переваги типу «не гірше» (відношення ) між цими альтернативами. Коефіцієнти визначають- ся як розв’язок системи нерівностей )()( )()( ji FUFU ≥ для альтернатив ji, таких, що )()( ji FF . Цю систему можна розв’язати за допомогою чисельних методів неди- ференційованої оптимізації, наприклад, r -алгоритмом. Після побудови функції )(FU розв’язується задача її максимізації за обмежень, утворених співвідношеннями раніше розглянутої моделі, для чо- го застосовується вищезазначений аналог методу стохастичних квазіграді- єнтів. За цією схемою здійснювались модельні розрахунки з метою визначен- ня раціональних ставок оподаткування. Результати розрахунків детально аналізувались у роботі [5]. Зупинимося на головних висновках, що випли- вають з них. За умов перехідної економіки доцільним є застосування ставок ПДВ, диференційованих за галузевою ознакою (або за ознакою великих товарних груп). Ці ставки мають змінюватись від 5–7% для продукції ПЕК до 22–25% для сфери послуг. Доцільним також є застосування окремих ставок ПДВ у зовнішньоекономічних операціях. Ставка податку на прибуток підприємств має бути знижена до 23–27%, потрібне подальше скорочення ставок відра- хувань від фонду оплати праці з існуючої сукупної ставки у 37,5% до 31– 32%. Одночасно слід ширше застосовувати фіксовані платежі (у тому числі земельний та майновий податки), забезпечивши покриття ними 30–35% бюджетних витрат. Вищенаведені рекомендації увійшли до аналітичних до- кументів Міністерства економіки України. МОДЕЛЬ ВПЛИВУ РИЗИКУ ТА НЕВИЗНАЧЕНОСТІ НА ДИНАМІКУ НАД- ХОДЖЕННЯ ІНВЕСТИЦІЙ Залучення іноземних інвестицій є одним із найбільш важливих напрямків зовнішньоекономічної політики держави. Від ефективного вирішення про- блем, що виникають при цьому, суттєво залежить конкурентоспроможність вітчизняної продукції на світових ринках, технічне оновлення виробництва, наповнення кредитно-фінансових ресурсів банківської системи, а також оборотних коштів підприємства, і, зрештою, місце держави у світовому роз- поділі праці. Особливого значення набуває підвищення інвестиційної при- вабливості за умов перехідної економіки, якій притаманна фінансова неста- більність, хронічний дефіцит коштів у суб’єктів господарювання, швидка зміна форм власності та власників підприємств. Обсяги залучених інвести- цій за цих умов будуть визначати швидкість подолання кризи та гальмуван- ня розвитку тих негативних процесів, що її супроводжують. Разом з цим вказані особливості перехідної економіки сукупно із не- стабільністю нормативно-правової системи, політичними та іншими нееко- номічними факторами, змінами у ринковій кон’юнктурі створюють неви- Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 17 значеність відносно рівня доходності інвестицій, а іноді і самої можливості одержання прибутку. Це підсилює інвестиційний ризик, що негативно впли- ває на надходження інвестицій. Компенсувати інвестиційний ризик можна шляхом підвищення при- бутковості інвестування і прийняття тих заходів, які повинні підсилити впевненість інвестора в отриманні прибутку. Для аналізу їх дієвості необ- хідне вивчення поведінки інвестора, його мотивацій до інвестування. Ця задача багатопланова, її вирішення потребує проведення економічних, пси- хологічних, соціологічних, політологічних та інших досліджень, а також застосування сучасних методів обробки їхніх результатів, у тому числі сис- темного аналізу та математичного моделювання. Розглянемо модель формування пріоритетів інвестування вільного ка- піталу, наведену та досліджену у роботах [6, 7]. Нехай у інвестора головна мета інвестування — одержання максималь- ного прибутку у ВКВ на капітал, що інвестується. В умовах невизначеності відносно результатів інвестування він змушений діяти методом спроб та помилок, вкладаючи свій капітал у ті країни та напрямки інвестування, де він одержував найбільший прибуток, і зменшуючи інвестування там, де прибуток був найменшим. Мета запропонованої моделі — відобразити ди- наміку такої зміни пріоритетів. Позначимо N число країн, де інвестор здійснює інвестування (можли- ва також деталізація за напрямками інвестування та окремими інвестицій- ними проектами). Нехай t iα — коефіцієнти пріоритетності i -ї країни для інвестора у момент часу t , згідно з якими він розподіляє інвестиції. У кожний момент часу ці коефіцієнти повинні задовольняти умови ,1 1 ≤∑ = n i t iα ,0≥t iα ni ,1= . (1) Виконання умови 1 1 <∑ = n i t iα означає, що в момент часу t частина віль- ного капіталу в розмірі ∑ = − n i t i 1 1 α не використовується для інвестування. Нехай t змінюється дискретно, приймаючи значення ...,2,1,0=t . Позначимо iI доходність інвестування в i-у країну за умови одержання прибутку в її національній валюті, iP — курс обміну національної валюти i -ї країни на ВКВ. Ці величини залежать від факторів невизначеності, які позначимо θ . Таким чином, будемо вважати, що в момент часу t маємо ),( tt iii II θα= та ),( tt iii PP θα= , де tθ — значення фактора θ у даний момент часу. У загальному випадку θ можна вважати випадковою величиною, а tθ — спостереження над її реалізаціями. Враховуючи, що при інших однакових обставинах вищий ін- вестиційний пріоритет країни укріплює національну валюту і сприяє підви- І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 18 щенню ефективності виробництва, але вплив змін у пріоритетах на вказані процеси обмежений, можна припустити, що ),( θαiiI та ),( θα iiP при фік- сованому θ будуть неперервними неспадними функціями від iα . Припускаємо, що пріоритетність для інвестора зростає, якщо питомий доход у ВКВ, отриманий від інвестування у цю країну, більше питомого до- ходу I , отриманого альтернативним шляхом, і зменшується, якщо дохід від інвестування менший. Конкретні масштаби змін у пріоритетності будуть визначатися випадковими коефіцієнтами )(θik , які можуть відображати деякі суб’єктивні смаки інвестора, та коефіцієнтом tρ , що відображує за- гальну тенденцію до змін його пріоритетів у часі. Якщо нові коефіцієнти пріоритетності не задовольняють умови (1), логічно припустити, що інвес- тор буде шукати ті значення, які задовольняють ці умови і будуть якомога ближчими до одержаних. Внаслідок зроблених припущень та враховуючи, що питомий до- хід від інвестування в i -у країну в момент часу t дорівнює ×),( tt iiP θα )),(1( tt iiI θα+× , зміна значень коефіцієнтів пріоритетності визначається рі- вняннями ))))(1)(,()(((1 IIPk t ii tt ii t it t iD t i −++=+ αθαθραπα , (2) ,,1 ni = ,...,2,1,0=t де (.)Dπ — операція проектування n -вимірного вектора на множину ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =≥≤= ∑ = niD i n i i ,1,0,1: 1 ααα ; tρ — детерміновані величини. Зазначимо, що послідовність { }tα , де ),...,( 1 t n tt ααα = , буде випадко- вою. Вивчимо її збіжність за деяких припущень відносно зміни множни- ка tρ . Для цього розглянемо оптимізаційну задачу ( )( ) max),(),()( 1 →−+=∑ = n i iiiiii IHGkMF αθαθαα (3) за умов nii n i i ,1,0,1 1 =≥≤∑ = αα , де )(⋅M — операція знаходження матема- тичного очікування випадкової величини; τθτθα α dPG i iii ),(),( 0 ∫= ; Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 19 .),(),(),( 0 τθτθτθα α dIPH iiii i ∫= На базі зроблених раніше припущень відповідні інтеграли існують, функції диференційовні по iα для кожного θ . Справедливі такі твердження, доведені у роботі [6]. Теорема 1. Нехай ∞<≤≤< CPC ii ),(0 θα та ( ) ∞<≤≤≤ CIC ii θα ,0 , ni ,1= для любих iα , θ , а також виконується ...,1,0,0 =≥ ttρ , , 0 ∞=∑ ∞ =t tρ ∞<∑ ∞ =0 2 t tρ . Тоді всі граничні точки послідовності { }tα з ймовірністю 1 будуть на- лежати множині { },0))((: =∇−−=∗ ααπαα FX D де )(αF∇ — градієнт функції )(αF . Використовуючи умови теореми Куна-Таккера у диференційній формі, вивчимо властивості X у випадку, коли ),1( niki = є детермінованими ве- личинами. Теорема 2. Нехай ),...,( * 1 * nααα = — довільний елемент із X . Позна- чимо )( αJ множину його ненульових компонент. Тоді для любих )(, αJji ∈ повинна виконуватись нерівність ( )( ) ( )( )=+ ∗∗∗ )),(,(, θαθαθα iiiiiii IPMPMk ( )( ) ( ) ( )( )( )θαθαθα ,,, ∗∗∗ += jjjjjjj IPMPMk ; (4) якщо ж ( )αJi ∈ , а ( )αIj∈ , тоді ( )( ) ( ) ( )( )( ) ≤+ θθθ ,0,0,0 iiii IPMPMk ( )( ) ( ) ( )( )( )θαθαθα ,,, ∗∗∗ +≤ jjjjjjj IPMPMk . (5) Дамо тепер економічну інтерпретацію співвідношенням (4) , (5). Пріо- ритетність об’єкта інвестування в умовах ризику буде визначатися, згідно (4), середнім значенням курсу обміну на ВКВ національної валюти тієї краї- ни, яка залучає інвестиції, та коефіцієнтом коваріації між курсом обміну та доходністю інвестування. Середнє значення останньої не впливає безпосе- редньо на інвестиційну привабливість. Рівень доходів Î від альтернативно- го використання капіталу впливає лише на рішення потенційного інвестора про саму можливість інвестування, але не на його інвестиційні пріоритети. І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 20 Збільшення цього рівня може призвести до відмови інвестора вкладати гроші (при тому, що раніше він робив інвестиції). Суму середнього курсу обміну національної валюти на ВКВ та коефіцієнта коваріації курсу і доход- ності, помножену на коефіцієнт ik , можна розглядати як показник приваб- ливості країни для інвестицій (так званий показник інвестиційної привабли- вості). При цьому ненульові інвестиційні пріоритети отримають тільки ті країни, де цей показник буде більшим. Значення таких пріоритетів можуть бути знайдені із системи рівнянь (4). Для того щоб досягти позитивного пріоритету, а саме, перейти від виконання нерівності (5) до рівності (4), необхідно або збільшити середнє значення курсу обміну, тобто підсилити національну валюту, або підвищити доходність інвестицій, узгоджуючи останній показник з валютним курсом. При цьому важливо, щоб у тих ви- падках, коли проходило зниження курсу обміну, це компенсувалось збіль- шенням доходності інвестицій та навпаки. Таким чином, проведення сві- домої курсової політики є чи не найважливішим фактором залучення іноземних інвестицій за умов ризику. ДВОХЕТАПНА СТОХАСТИЧНА МОДЕЛЬ ВДОСКОНАЛЕННЯ СТРУКТУРИ ЕКСПОРТУ ТА КРИТИЧНОГО ІМПОРТУ Критичний імпорт є окремою складовою зовнішньоторговельного обороту із специфічними механізмами формування його обсягів та структури. До скла- ду критичного імпорту входять ті види товарів та послуг, споживання яких конче необхідне для функціонування національної економіки, але обсяги їх виробництва всередині країни недостатні або ж вони взагалі не виробля- ються внаслідок відсутності потрібних для цього ресурсів (сировини, ви- робничих потужностей, know-how тощо). До складу критичного імпорту здебільшого входять товари проміжного споживання — енергоресурси, конструкційні матеріали, вузли та комплектуючі. Це обумовлює особливості у змінах обсягів критичного імпорту внаслідок змін у валютній, тарифно- митній та ціновій політиці держави. Попит на товари критичного імпорту слабко залежить від змін у цінах на них, але подорожчання цих товарів в умовах перехідної економіки передається за технологічним ланцюгом ін- шим товарам, у процесі виробництва яких використовується критичний ім- порт. Зазначений процес може стати важливим чинником інфляції витрат, типової для ранніх стадій перехідної економіки. З іншого боку, суттєві зміни обсягів виробництва товарів кінцевого споживання, навіть за умов стабіль- них цін, можуть істотно вплинути на попит на товари критичного імпорту. Є певні відмінності також у цілях та методах державного регулювання щодо критичного імпорту. Крім диверсифікації джерел надходження таких товарів, що має унеможливити прояви монополізму, важливою метою регу- лювання є пошук джерел компенсації витрат на їх придбання. Отже, зрос- тання обсягів критичного імпорту у довгостроковій перспективі має супро- воджуватися адекватним збільшенням обсягів експорту та перерозподілом кінцевого продукту, зокрема, у формі зменшення питомої ваги внутрішньо- го споживання продукції експортноорієнтованих галузей. Все це можна вра- Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 21 хувати, застосувавши методи міжгалузевого балансу. Розглянемо деякі з моделей, побудованих на цій основі. Нехай економічна система складається з N галузей матеріального ви- робництва. Позначимо ija прямі питомі витрати продукції i -ї галузі на ви- робництво продукції j -ї галузі ( Nji ,1, = ); ix — валову продукцію (у ста- лих внутрішніх цінах) i -ї галузі; iх — наявні виробничі потужності у цій галузі. (Під потужностями будемо розуміти максимально можливий за на- явних ресурсів та інших виробничих чинників обсяг виробництва продукції цієї ж галузі.) Обсяг імпорту (критичного) продукції i -ї галузі позначимо iI , а обсяг експорту — iE . Питому вагу продукції i -ї галузі у кінцевому споживанні всередині країни позначимо iα , а Z — рівень цього споживан- ня по відношенню до існуючого, яке ми умовно вважаємо одиничним. Задача полягає у визначенні таких обсягів внутрішнього виробництва ix , експорту iE та імпорту iI продукції кожної з N галузей, за яких буде досягнута збалансованість між виробництвом, споживанням, експортом, ім- портом та наявними потужностями, рівень споживання всередині країни буде не меншим, ніж його припустиме значення Z , та матиме місце макси- мальна збалансованість між надходженнями експорту та витратами на ім- порт. Цю задачу можна сформулювати у вигляді оптимізаційної моделі ∑ = ++=+ N j iijijіі ZExaІх 1 α , Ni ,1= , (6) (умова збалансованості виробництва, імпорту, виробничого і невироб- ничого (кінцевого) споживання та експорту продукції кожної з галузей); Nixx ii ,1, =≤ (7) (обмеження за наявними виробничими потужностями); NiIExZZ iii ,1,0,0,0, =≥≥≥≥ (8) (обмеження за гранично припустимим рівнем споживання та умови не- від’ємності змінних); max 11 1 →−= ∑∑ == N i ii N i ii IpEpF (9) (умова максимального перевищення надходжень від експорту над витратами на імпорт). Тут ip — середня ціна, за якою реалізується на зовнішніх ринках про- дукція і-ї галузі, вироблена всередині країни; ip — середня ціна закупки імпортованої продукції i -ї галузі. Задача (6) – (9) є задачею лінійного програмування, яка може бути розв’язана відомими методами. І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 22 Становить інтерес розгляд багатокритеріального варіанта цієї задачі, у якому, крім функції мети (9), розглядатиметься ціль для досягнення макси- мально можливого рівня внутрішнього споживання max2 →=ZF . (10) Для розв’язання такої задачі можливе застосування методу «згорток», коли замість критеріїв 1F або 2F розглядатиметься критерій ( ) ( ) max11 1 1 21 →−+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=−+= ∑ ∑ = = ZIpEpFFG N i i N i iii ββββ . (11) У (11) β — це деякий сталий параметр, значення якого належать про- міжку (0;1). Для його уточнення можливе застосування відомих методів ба- гатокритеріальної оптимізації, про які йшлося у зв'язку з бюджетною мо- деллю. Базовою інформацією для цих методів є експертні оцінки більшої чи меншої прийнятності варіантів (альтернатив) з різними значеннями критері- їв 1F та 2F . При використанні запропонованих моделей для довгострокового про- гнозування виникає певна невизначеність, обумовлена неможливістю точ- ного прогнозування цін на експортовану продукцію та імпорт і структури внутрішнього споживання. При цьому набуває важливого значення прогно- зування змін у наявних виробничих потужностях та активне керування та- кими змінними. За цих умов значення параметрів ),1(,, Nipp iii =α можна вважати випадковими з визначеним законом їхнього розподілу, а задачу пошуку потрібних змін у існуючих технологічних потужностях можна роз- глядати як двохетапну стохастичну задачу [4], першим етапом якої буде безпосереднє визначення таких змін з урахуванням пов’язаних з цим витрат, а другим — розв’язання задачі виду (6) – (9), або (6) – (8), (11). Позначимо −+ ∆∆ ii xx , відповідно прогнозовані збільшення та змен- шення виробничих потужностей i -ї галузі. Нехай ці зміни пов’язані з витра- чанням ресурсів k видів (такими ресурсами можуть бути інвестиційні, тру- дові, природні тощо). Позначимо )( ++ ∆ iki xg залежність між збільшенням потужності i -ї галузі та необхідними для цього витратами k -го ресурсу, Kk ,1= ; )( −− ∆ iki xg — залежність між зменшенням потужності i -ї га- лузі та необхідними для цього витратами k -го ресурсу (якщо 0)( >∆ −− iki xg ) або кількістю додатково одержаного внаслідок цього k -го ресурсу (коли 0)( <∆ −− iki xg ). Нехай kR — наявна кількість ресурсу. Позначимо )( ++ ∆ ii xf загальні витрати (у грошовому вимірі), пов’язані зі збільшенням потужності i -ї галузі на + ∆ ix , а )( −− ∆ ii xf — загальні витрати (якщо ця величина додатня) або прибуток (якщо вона від’ємна), пов’язані зі зменшенням потужностей i -ї галузі. Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 23 Тоді задача першого етапу може бути визначена таким чином. Треба знайти значення + ∆ ix , − ∆ ix ( )Ni ,1= , які б мінімізували вели- чину загальних витрат ( ) min, 11 →∆+⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛∆+⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛∆ ∑∑ = −− = ++ θxMFxfxf N i ii n i ii (12) за обмежень ∑ ∑ = − = −++ ≤⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛∆+⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛∆ N i ki N i kiiki Rxgxg 1 1 , Kk ,1= (13) (обмеження за наявними ресурсами) та 0≥∆ + ix , 0≥∆ − ix (14) (умова невід’ємності змінних). Тут ( )θ,xF ∆ — оптимальне значення функції мети задачі лінійного програмування, подібної до (6) – (9). ( ) ( ) min 11 →−= ∑∑ == N i ii N i ii EpIpF θθ (15) за умов ( )∑ = =++=+ N j iijijii NiZExaIx 1 ,1,θα , (16) Nixxxx iiii ,1, =∆−∆+≤ −+ , (17) 0,0,0, ≥≥≥≥ iii IExZZ . (18) Запис ( ) ( ) ( )θαθθ iii pp ,, означає, що ці параметри вважаються випадко- вими з відомим законом розподілу. Для розв'язання двохетапної задачі (12) – (18) при проведенні модель- них розрахунків використовувалися два підходи. По-перше, це застосування методу стохастичних квазіградієнтів. Нелі- нійні обмеження (13) у задачі першого етапу враховувались шляхом побу- дови штрафної функції ∑ ∑ = = −−++ −∆+∆+∆=∆ N i N i iiii xMFxfxfxG 1 1 ),()()()( θ ∑ ∑ ∑ = − = −−++ −∆+∆− K k N i N i kikiiki Rxgxg 1 1 1 ))()(,0(maxλ , де λ — штрафний множник. З результатів, наведених у роботі [8] випливає, що для достатньо великих значень λ задача мінімізації функції )( xG ∆ за обмежень (14) буде еквівалентною до попередньо розглянутої. Стохастич- І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 24 ний квазіградієнт функції ),( θxMF ∆ може обчислюватись будь-яким з ме- тодів, описаних у [8]. По-друге, за умов, коли випадкові змінні розподілені за дискретним за- коном, розглядався також декомпозиційний алгоритм розв'язання таких за- дач [9]. Цей випадок є досить типовим для даної задачі, оскільки у ній неви- значеність параметрів найчастіше враховується шляхом розробки окремих сценаріїв щодо їхніх значень, настання яких можливе з певними ймовірнос- тями. Розрахунки, проведені за моделлю, показали необхідність структурних змін щодо експорту та імпорту. Зокрема, питома вага у експорті таких галу- зей, як машинобудування, хімічна та нафтохімічна промисловість, має бути збільшена, а чорної металургії — зменшена. ВПЛИВ ВИПАДКОВИХ ЗМІН У ЕКСПОРТНОМУ ПОПИТІ НА ЕКОНОМІЧНУ ДИНАМІКУ У роботі [10] досліджувався вплив недосконалої конкуренції на ринку праці на процеси економічного зростання або спаду. Аналізуючи поведінку моно- поліста-роботодавця за припущень, що він намагається максимізувати свій прибуток на обмеженому проміжку часу, було показано, що у цьому випад- ку оплата праці, яку він встановлюватиме, визначатиметься співвідношен- ням ( ) ( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= −−− 111 ,min HlSV l SW α , (19) де W — величина оплати праці; l — продуктивність праці; a — рента- бельність виробництва; V — попит на продукцію, яку виготовляє роботода- вець; )(1 ⋅−S — функція, обернена до функції пропозиції праці; 1)( −′S — функція, обернена до похідної функції пропозиції праці; hH +=1 , h — до- даткові витрати роботодавця при придбанні ним одиниці праці (непрямі по- датки на фонд оплати праці, соціально-страхові відрахування тощо). Зміни у часі величини оплати праці впливатимуть на попит. Крім того, роботодавець, приймаючи рішення щодо встановлення оплати праці, орієн- тується на попит не у поточний момент часу (цей попит йому невідомий, більш того, він залежатиме від прийнятого ним рішення), а на відому вели- чину попиту у попередній момент часу. Крім оплати праці, на попит (особ- ливо на такі його складові, як експортний та інвестиційний попит) вплива- тимуть інші важкопрогнозовані чинники: зміни цін на світових товарних ринках та обмінних курсів основних світових валют, коливання котирувань акцій тощо. Ці чинники можна вважати випадковими. Усі зазначені аспекти враховувалися у такій динамічній моделі. Нехай час t змінюється дискретно, з кроком, що дорівнює 1. Позначи- мо tV величину попиту у момент часу t , а tW — величину оплати праці у цей момент часу. Тоді, з раніше зроблених зауважень та (19) випливає, що Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 25 ( ) ( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= −− − − 11 1 1 ,min lHSV l SW t t α . (20) При цьому припускається незмінність у часі решти параметрів моделі. Якщо вважати, що попит у момент часу t лінійно залежатиме від оплати праці у цей час, від попиту у попередній момент часу та від дії випадкових чинників, одержимо співвідношення tt tt WVV ξρρ ++−= −1)1( , (21) де 10 << ρ — деякий коефіцієнт; tξ — сукупна величина випадкових впли- вів на попит у момент часу t . Припустимо, що випадкова величина tξ вимірюється відносно Ω - алгебри, породженої ),...,( 10 −tVV , та обмежена з ймовірністю 1. Оскільки 0≥tV для будь-якого моменту часу t , то з ймовірністю 1 має виконуватись t t t WV ρρξ −−≥ −1)1( . Дослідження асимптотичних властивостей послідовності }{ tV є досить складною задачею. Проте, розглянувши співвідношення (21) як аналог алго- ритму стохастичної апроксимації зі сталим кроком ρ і скориставшись мето- дикою аналізу збіжності таких алгоритмів, можна довести твердження. Теорема 3. Нехай для будь-якого t з ймовірністю 1 виконується 110 4/1),...,/( −− −≤ t t t t VWVVM ρξ , ( ) −≤− t t t WVVM (4/1,...,/)( 2 10 2 ρξ 2 1)−− tV . Нехай також 1)2( −< Lρ , де 11 LL += , 1L — константа Ліпшиця для функції пропозиції праці )(⋅S . Тоді для послідовності },{ t t WV , визначе- ної у відповідності до (20), (21), та для будь-якого 0>ε буде виконуватись 0}){( 2 1 ⎯⎯ →⎯>− ∞→− tt t VWP ε . Умови теореми 3 означають, що сукупні випадкові впливи у будь-який момент часу повинні мати обмежені математичне очікування та дисперсію. Такі припущення є цілком прийнятними для реальних економічних ситуа- цій. У більшості досліджень ринку праці вважається, що функція )(⋅S є об- меженою, диференційованою та опуклою догори, а її похідна у нулі також обмежена. Тоді ця функція задовольнятиме умову Ліпшиця. Отже, припу- щення теореми слід розглядати як реалістичні. З теореми 3 випливає, що послідовність }{ tV збігатиметься за ймовірні- стю до множини точок }{ V , які є розв’язками рівняння ( ) ( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= −−− 111 ',min lHSV l SV α . І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 26 У роботі [10] також було дано змістовну інтерпретацію цих точок як станів рівноваги для узагальнення відомої макроекономічної кейнсіанської моделі («кейнсіанський хрест»). Використовуючи цю інтерпретацію, до- сліджувався вплив різних альтернатив макроекономічної політики на проце- си зростання та спаду в економіці з недосконалою конкуренцією на ринку праці та зроблені висновки про непридатність у цій ситуації деяких тради- ційних стабілізаційних рекомендацій. Натомість були окреслені заходи, зда- тні забезпечити перехід від спаду до зростання за цих умов. У [10] також розглядався багатовимірний аналог моделі (20), (21), у якого tV та tW є век- торами, а не скалярними величинами. Доведено твердження, подібне до теореми 3, та подана економічна інтерпретація цих результатів. ЗАСТОСУВАННЯ ЙМОВІРНІСНИХ МЕТОДІВ ДЛЯ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛЕЙ Дія випадкових чинників враховується в економіко-математичному моде- люванні безпосередньо у вигляді стохастичних моделей та опосередковано шляхом статистичної обробки даних, які містять випадкові похибки. Типо- вим прикладом алгоритму, що базується на припущенні про існування таких похибок, є метод найменших квадратів. Він застосовувався під час до- сліджень з перехідної економіки для розв'язання таких задач. 1. Ідентифікація параметрів моделі інфляційних процесів Значна інфляція на початку 90-х років справляла вкрай негативний вплив на усі основні економічні процеси. Проте не менш негативні наслідки мали спроби зупинити інфляцію шляхом різкого стискання реальної грошової ма- си. У монетарній політиці слід було шукати оптимум, компроміс між поси- ленням інфляції та поглибленням спаду, а для цього оцінювати інфляційні наслідки грошових емісій. З цією метою у роботі [1] запропонована модифі- кація моделі Кейгана γδα += p p Mln , де M — грошова маса в обігу; p — рівень цін; pδ — темпи зростання цін; α та γ — параметри моделі. Ідентифікація цих параметрів здійснювалась ме- тодом найменших квадратів за щомісячними даними 1990–1993 років. 2. Економетричне моделювання обсягів експорту чорних металів Чорна металургія є однією з найважливіших складових експортного потен- ціалу України. Її частка у загальному експорті товарів на середину 90-х років перевищувала 30%. За наявності власних родовищ високоякісної си- ровини, дешевої робочої сили та ліберального природоохоронного законо- давства Україна може увійти до міжнародного розподілу праці саме з ви- робництвом такої продукції. Це визначає актуальність поглибленого економічного аналізу процесів, які відбуваються у галузі, з метою більш точної оцінки її можливостей. Складовою цього аналізу є моделювання об- Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 27 сягів експорту, що дозволить визначити чинники, які впливають на ці про- цеси, та встановити особливості їх перебігу. Побудова прогнозних моделей здійснювалась за окремими товарними групами, такими, як пласький прокат, напівфабрикати з заліза та сталі, фе- росплави тощо. Специфіка розглянутої продукції обумовлює застосування передусім методів цінової конкуренції для її просування на зовнішні ринки, отже, у моделях мають враховуватися насамперед цінові чинники. З огляду на це, доцільно застосування моделей олігопольного ціноутворення. Розглянемо ситуацію, коли деякий товар, що експортується з однієї країни до іншої, вступає у конкуренцію з товаром, виробленим у цій країні. Для опису такої конкуренції часто застосовується модель олігопольного ці- ноутворення, у якій припускається, що обсяги реалізації конкуруючих това- рів знаходяться у зворотній залежності від цін на них. Розглянемо цю мо- дель. Позначимо p середню ціну реалізації товару, що експортується з Украї- ни, на внутрішньому ринку країни, до якої він експортується, p — середню ціну реалізації аналогічного товару, що виробляється всередині цієї країни (або експортується з інших країн), z — обсяги експорту товару з України до зазначеної країни, z — обсяги реалізації на внутрішньому ринку продукції, виробленої всередині країни. Вважається, що обсяги реалізації продукції, що експортується, та продукції, яка конкурує з нею, пов’язані з цінами на ці види продукції співвідношенням α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= z zk p p , (22) де 0>α , 0>k — деякі коефіцієнти. Слід зазначити, що одержання інформації щодо обсягів реалізації про- дукції, яка конкурує з експортною, іноді пов’язане з певними труднощами. Тому цей показник можна оцінити опосередковано через загальний плато- спроможний попит Φ на цю продукцію. Вважаючи, що цей попит повністю задовольняється сукупністю експортованої та іншої продукції, можна запи- сати Φ=+ zpzp . Звідси p zpz −Φ = . Підставивши одержаний вираз для z у (22) та розв’язавши нове рів- няння відносно z , маємо ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Φ = α/1 1 pk pp z . (23) У більшості випадків, оцінити напряму величину Φ також досить складно. Тому для її визначення можна скористатися емпіричною залежніс- тю між невідомим попитом та найважливішими макроекономічними показ- І.В. Сергієнко, М.В. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 28 никами, які впливають на нього. Зокрема, пропонується використати залеж- ність ( )4321 1 aWaIaVa p +++=Φ δ , (24) де pδ — середньорічні темпи інфляції у країні, до якої здійснюється екс- порт; V — величина реального ВВП у цій країні; I — реальні чисті інвес- тиції; W — середня реальна заробітна платня у цій країні; 41 aa − — кое- фіцієнти. Співвідношення (23), (24) утворюють запропоновану модель. Для проведення розрахунків за нею необхідно визначити (ідентифіку- вати) значення її параметрів, якими є k , α , 41 aa − . Для цього використо- вувалась така статистична інформація: • дані за ряд років щодо обсягів експорту певного товару до певної країни (позначимо їх tz , Tt ,1= , де ];1[ T — період спостережень); • дані за ті ж роки щодо середніх цін, за якими реалізується цей товар на внутрішньому ринку (позначимо їх tp , Tt ,1= ); • макроекономічні показники країни, до якої експортується зазначе- ний товар, за ті ж роки: а) величина реального ВВП tV , б) чисті інвестиції tI , в) середня реальна заробітна плата tW , г) річні темпи інфляції tpδ . Ідентифікація параметрів моделі здійснювалася на основі цих даних нелінійним аналогом методу найменших квадратів. Згідно з останнім, пара- метри визначалися як розв’язок оптимізаційної задачі ( ) ( ) min 1 )( ,,,,, 2 1 /1 4321 1 4321 → ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +++ −=∑ = −T t t t t ttt t t pk p p aWaIaVap ZaaaakF α δ α за обмежень 0>k , 0>α . Останні доцільно замінити на ε≥k , εα ≥ , де ε — деяке мале число. Ця задача була розв'язана чисельними методами градієнтного типу. Слід зазначити, що даний підхід до ідентифікації параметрів нелінійних регресійних моделей розглядався ще у 70-х роках ХХ століття [4]. Його застосування для розв’язання цієї задачі дозволило побудувати прогнозні моделі та одержати на їх основі оцінки, які були використані при розроб- ці аналітичних документів Міністерства економіки України, пов'язаних з підготовкою експерименту в чорній металургії. Застосування методів стохастичної оптимізації ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 29 ВИСНОВКИ 1. Застосування моделей та методів стохастичної оптимізації дозволяє врахувати дію чинників ризику та невизначеності, які властиві трансформа- ційним процесам у країнах з перехідною економікою. 2. Стохастичні моделі можуть використовуватись як для дослідження перебігу деяких процесів, так і як засіб підтримки прийняття управлінських рішень. В останньому випадку стохастичне моделювання може поєднувати- ся зі сценарним прогнозуванням. 3. Дослідження, проведені протягом останнього десятиліття з викорис- танням стохастичних моделей, дозволили не тільки визначити деякі пробле- мні аспекти трансформаційних процесів в Україні, але й сформулювати ре- комендації щодо покращення стану справ у цій сфері. ЛІТЕРАТУРА 1. Михалевич В.С., Михалевич М.В. Динамические макромодели процессов це- нообразования в переходной экономике // Кибернетика и системный ана- лиз. — 1995. — № 3. — C. 116–130. 2. Gadomski J., Woroniecka I. Dynamic model of the Polish economy during the transi- tion period // Macromodels on Integration and Development. Proceeding of the Conference. — Lodz. — 1996. — 1. — P. 23–45. 3. Hetermaki M., Kaski E.-L. KESSU IV: An Econometric Model of the Finish Economy. Ministry of Finance. — Helsinki, 1992. — 472 p. 4. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. — М.: Наука, 1976. — 324 с. 5. Koshlai L.B., Mikhalevich M.V. Decision Support Multifunctional System «Ukrainian Budget» // Construction and Applying Objective Functions: Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems (510). — 2001. — P. 349–366. 6. Кошлай Л.Б., Михалевич М.В., Сергиенко И.В. Моделирование внешнеэконо- мической деятельности в условиях переходной экономики // Кибернетика и системный анализ. — 2001. — № 4. — C. 61–84. 7. Кошлай Л.Б., Михалевич М.В. Моделювання інвестиційних пріоритетів в умо- вах ризику // Ризикологія в економіці та підприємництві. — Київ: КНЕУ, 2001. — С. 270–271. 8. Мирзоахмедов Ф., Михалевич М.В. Прикладные аспекты стохастического про- граммирования. — Душанбе: Маориф, 1989. — 342 с. 9. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их прило- жения. — Киев: Наук. думка, 1978. — 420 с. 10. Кошлай Л.Б., Михалевич М.В., Сергиенко И.В. Моделирование процессов заня- тости и роста в переходной экономике // Кибернетика и системный ана- лиз. — 1999. — № 3. — С. 58–75. Надійшла 04.06.2004

Застосування методів стохастичної оптимізації для дослідження трансформаційних процесів в економіці

Репозитарії

Схожі ресурси