Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере

Проведен анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере. Предложен модифицированный алгоритм решения системы линейных уравнений большой размерности с разреженной матрицей коэффициентов, полученной на основе использования схемы упорядочения узлов дискретной сетки D4, значительно упроща...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2004
1. Verfasser:	Заводник, В.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2004
Schriftenreihe:	Системні дослідження та інформаційні технології
Schlagworte:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133997
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере / В.В. Заводник // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 4. — С. 110-123. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133997
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1339972018-06-11T03:04:02Z Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере Заводник, В.В. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Проведен анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере. Предложен модифицированный алгоритм решения системы линейных уравнений большой размерности с разреженной матрицей коэффициентов, полученной на основе использования схемы упорядочения узлов дискретной сетки D4, значительно упрощающей процедуру решения численного аналога редуцированных моделей этих процессов, описанных дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа. Проведено аналіз процесів розповсюдження шкідливих домішок в атмосфері. Запропоновано модифікований алгоритм розв’язання системи лінійних рівнянь великої розмірності з розрідженою матрицею коефіцієнтів, отриманої на основі використання схеми упорядкування вузлів дискретної сітки D4, яка значно спрощує процедуру розв’язання численного аналогу редукованих моделей цих процесів, які описані диференційними рівняннями у часткових похідних параболічного типу. This article is dedicated to analysis of distributed processes of damage impurities in the atmosphere. The modificated algorithm of solution of linear equation system of large dimension with sparse matrix of coefficients, which is obtained usaging discrete grid knots D4 ordering scheme, is proposed. Due to this scheme the solution of the procedure of numerical analog of the reduced models of these processes, which are described by differential equations in parabolic type partial derivatives, is simplified. 2004 Article Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере / В.В. Заводник // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 4. — С. 110-123. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133997 504.06:303.732.4:512.643:519.612 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Заводник, В.В. Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере Системні дослідження та інформаційні технології
description	Проведен анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере. Предложен модифицированный алгоритм решения системы линейных уравнений большой размерности с разреженной матрицей коэффициентов, полученной на основе использования схемы упорядочения узлов дискретной сетки D4, значительно упрощающей процедуру решения численного аналога редуцированных моделей этих процессов, описанных дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа.
format	Article
author	Заводник, В.В.
author_facet	Заводник, В.В.
author_sort	Заводник, В.В.
title	Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере
title_short	Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере
title_full	Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере
title_fullStr	Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере
title_full_unstemmed	Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере
title_sort	системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133997
citation_txt	Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере / В.В. Заводник // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 4. — С. 110-123. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT zavodnikvv sistemnyjanalizprocessovrasprostraneniâvrednyhprimesejvatmosfere
first_indexed	2025-07-09T20:03:00Z
last_indexed	2025-07-09T20:03:00Z
_version_	1837200975935307776
fulltext	© В.В. Заводник, 2004 110 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 УДК 504.06:303.732.4:512.643:519.612 СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ В АТМОСФЕРЕ В.В. ЗАВОДНИК Проведен анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере. Предложен модифицированный алгоритм решения системы линейных уравне- ний большой размерности с разреженной матрицей коэффициентов, получен- ной на основе использования схемы упорядочения узлов дискретной сетки D4, значительно упрощающей процедуру решения численного аналога редуциро- ванных моделей этих процессов, описанных дифференциальными уравнения- ми в частных производных параболического типа. Сокращение вредных выбросов химической, металлургической, нефтепере- рабатывающей, газовой и других отраслей производства — одна из важ- нейших проблем цивилизации, практическая необходимость решения кото- рой обоснована в Киотском протоколе. Масштабность распространения и многофакторность воздействия вы- бросов на биосферу, ноосферу и климат Земли определяют необходимость системного исследования многих глобальных процессов. Среди них особое место занимают процессы загрязнения окружающей среды как основы жиз- ни и деятельности населения планеты. Системные исследования воздейст- вия вредных выбросов на качество окружающей среды и экологическую об- становку выполняют во многих странах как в масштабе отдельной страны, так и в мировом масштабе в соответствии с решениями ООН [1,2] Цель настоящей работы — предложить новый подход к исследованию процессов распространения вредных выбросов в виде примесей в атмосферу. Исходной информацией для исследования задаются типовые данные системы атмосферного мониторинга и прогнозирования состояния воздуш- ного бассейна, на основе которых создаются математические модели рас- пространения вредных примесей в атмосфере, описываемые детерминиро- ванными дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа, отражающими процессы диффузии, переноса, дисси- пации и фотохимических реакций. Одним из главных элементов анализа является формирование дискретного аналога модели, полученного в резуль- тате ее редукции и представленного матричным уравнением состояния. При решении реальных задач отличительная черта аналога — это большой поря- док рассматриваемых векторно-матричных соотношений, обусловленный 3-мерной сеткой дискретизации по пространственным координатам и значи- тельной разреженностью матрицы коэффициентов (количество нулевых элементов составляет не более 0,3% общего числа). Поэтому применение типовых подходов к таким задачам без учета структуры матрицы коэффи- циентов приводит к неприемлемым с практической точки зрения затратам оперативной памяти вычислительной системы. Предлагаемый подход осно- ван на методе реализации матричного уравнения, который базируется на Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 111 модифицированном алгоритме его решения с применением схемы упорядо- чения неизвестных с чередующимися диагональными плоскостями, впервые предложенной Прайсом и Коатсом [3]. Это позволяет повысить быстродей- ствие вычислительной системы обработки исходной информации о состоя- нии воздушного бассейна. Перейдем к математической формализации уравнений и разработке ал- горитма их решения. Процесс распространения вредных газообразных при- месей в атмосфере будем рассматривать в 3-мерной области Ω с боковой поверхностью Ω∂ и поверхностями нижнего и верхнего основания соответ- ственно нΩ∂ ( 03 =z ) и вΩ∂ ( hz =3 ), динамику процесса опишем диффе- ренциальным уравнением в частных производных вида [4] с соответствую- щими граничными и начальными условиями. ),(),(),()()),(grad,(),( 3 1 zzzzuz tftq z tqt z tq t tq i z i i i =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ −+ ∂ ∂ ∑ = σµ . (1) Начальные и граничные условия имеют вид 0)(,,0),(,0)(,0),( в в <Ω∂∈=>= ∂ ∂ Ω∂∈ nuzznu n z ,, z tqtq , 0),(,)0,(),( B 03 3 == ∂ ∂ = htqtq z tq z α z , (2) )(),( навне qqtq −= ∂ ∂ λ n z на боковой границе Ω∂ , 0),(),( 0 == tqtq zz . (3) Функция источников (типа «заводская труба») описана следующим об- разом: )()(),( 1 i m i i tUtf zzz −=∑ = δ , где ),( ztq — концентрация вредного ингредиента в точке пространства; Ω∈= ),,( zyxz ; ),,( ωυu=u — вектор скорости ветра, подчиняющийся ус- ловию неразрывности; µ — коэффициент турбулентной диффузии; σ — коэффициент поглощения примеси; m — общее количество источников за- грязнения со своими координатами; Bα — коэффициент взаимодействия с подстилающей поверхностью; )(tUi — интенсивность выбросов i -го ис- точника (по количеству ингредиента), расположенного в точке iz ; n — нормаль к границе слоя; внеq и наq — концентрации ингредиента соответ- ственно за границей слоя и на его границе; ),( izzδ — дельта-функция Ди- рака, определяющая точку расположения источника. Редуцировав модель, описанную уравнениями (1)–(3), применяя метод конечных разностей второго порядка по 7-точечному шаблону (рис. 1) и В.В. Заводник ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 112 схему Кранка-Николсона [5], получаем конечномерную численную модель исходного аналога. +++++ +−+− kpnkpnkpnkpnkpn XEXDXCXBXA ,1,,1,,,1,,,,1 kpnkpnkpn FXHXG ,,1,,1,, =++ +− . (4) Уравнение (4) для всех X можно привести к матричному виду BXA = . (5) Одним из наиболее эффективных методов реализации матричных мо- делей (5) распределенных процессов (1)–(3) является схема упорядочения узлов сетки дискретизации D4 [6]. Это прямой метод решения систем ли- нейных уравнений большой размерности. Его отличительная черта — спе- циальный порядок нумерации узлов дискретизации, что приводит к преоб- разованию матричной модели (5) в блочную структуру. Блочная система линейных уравнений поддается упрощению, после чего может быть решена независимо для нижней и верхней частей. Последнее обстоятельство обу- словливает значительную эффективность метода. Сформулируем матричное уравнение состояния (5) на основе схемы упорядочения D4 к конечномерной модели рассматриваемых процессов (1)–(3). Для схемы D4 наблюдается зависимость номера узла l сетки дискрети- зации от текущих значений ее координат pn, и k (см. таблицу) ),,(4 kpnfl d= . В таблице 2 NPKV = , pkmkmm + −−−− = 2 )2)(1(1 , 6 )54)(1()(2 ++ = xxxxf , 6 )14)(1()(1 −+ = xxxxf , kpnX ,,1− kpnX ,1, + kpnX ,, kpnX ,,1+ kpnX ,1, − 1,, +kpnX 1,, −kpnX x y z Рис. 1. Схема 7- точечного шаблона дискретизации Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 113 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−≤−−− −−− −−> = 2,yxz ),2( 2 1zyx ,2yxz ,0 ),,(1 zyx zyxl Соотношения для расчета номера узла ),,(4 kpnfl d= в схеме D4 по теку- щим значениям координат pnkpnm ,,++= и k m — четное m — нечетное 2+≤ Km 1)(2 mMfV ++ 1+≤ Km 1)(1 mLf + ≤<+ mK 2 2+≤ N −++ 1)(2 mMfV )1(2 Mf− ≤<+ mK 1 1+≤ N )1(11)(1 LfmLf −+ ≤<+ mN 2 2+≤ P −++ 1)(2 mMfV −−− )2(2)1(2 MfMf ),,(1 kNml− ≤<+ mN 1 1+≤ P −−+ )1(11)(1 LfmLf ),,(1)2(1 kNmlLf −− ≤<+ mP 2 3++≤ NK −++ 1)(2 mMfV −−− )2(2)1(2 MfMf −−− )3(2),,(1 MfkNml ),,(2 kPml− ≤<+ mP 1 2++≤ NK −−+ )1(11)(1 LfmLf −−− ),,(1)2(1 kNmlLf ),,(2)3(1 kPmlLf −− ≤<++ mNK 3 3++≤ PK −++ 1)(2 mMfV −−− )2(2)1(2 MfMf −−− )3(2),,(1 MfkNml ++− )4(2),,(2 MfkPml 1i+ ≤<++ mNK 2 2++≤ PK −−+ )1(11)(1 LfmLf −−− ),,(1)2(1 kNmlLf +−− ),,(2)3(1 kPmlLf 1)4(1 iLf ++ ≤<++ mPK 3 3++≤ PN −++ 1)(2 mMfV −−− )2(2)1(2 MfMf −−− )3(2),,(1 MfkNml ++− )4(2),,(2 MfkPml 2)5(21 iMfi +++ ≤<++ mPK 2 2++≤ PN −−+ )1(11)(1 LfmLf −−− ),,(1)2(1 kNmlLf +−− ),,(2)3(1 kPmlLf +++ 1)4(1 iLf 2)5(1 iLf ++ 3++> PNm −++ 1)(2 mMfV −−− )2(2)1(2 MfMf −−− )3(2),,(1 MfkNml ++− )4(2),,(2 MfkPml +++ )5(21 Mfi )6(22 Mfi ++ 2++> PNm −−+ )1(11)(1 LfmLf −−− ),,(1)2(1 kNmlLf +−− ),,(2)3(1 kPmlLf +++ 1)4(1 iLf +++ 2)5(1 iLf )6(1 Lf+ В.В. Заводник ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 114 2 )2)(1(1 −−−−−− = KNmKNmi , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−≤−−− −− −−> = 2,yxz ),1( 2 zyx ,2yxz ,0 ),,(2 zyx zyxl 2 )2)(1(2 −−−−−− = KPmKPmi , 2 3− = mL , 2 11 −− = KmL , 2 32 −− = NmL , 2 33 −− = PmL , 2 34 −−− = KNmL , 2 35 −−− = KPmL , 2 36 −−− = PNmL , 2 4− = mM , 2 21 −− = KmM , 2 42 −− = NmM , 2 43 −− = PmM , 2 44 −−− = KNmM , 2 45 −−− = KPmM , 2 46 −−− = PNmM . Рассчитав на основании соотношений, приведенных в таблице, номера узлов l для всех Nn ,1= ; Pp ,1= и Kk ,1= , заполним ими 3-мерный массив с номерами узлов сетки дискретизации. Таким образом, для определения номера узла l, имеющего координаты pn, и k , необходимо осуществить операцию выборки элемента 3-мерного массива по координатам ),,(4 kpnfl d= (рис. 2). Записав уравнение (1) для всех Nn ,1= ; Pp ,1= и Kk ,1= и упорядо- чив неизвестные kpnx ,,1− ; kpnx ,,1+ ; kpnx ,, ; kpnx ,1, − ; kpnx ,1, + ; 1,, −kpnx ; 1,, +kpnx по схеме D4, получаем матричное уравнение (5). Матрица коэффициентов A этого уравнения имеет блочную структуру, поэтому представим (5) в блочном виде ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 2 1 43 21 B B X X AA AA . (6) Детализируем структуру матриц 4321 ,,, AAAA и вектор-столбцов 1B и 2B , размерность которых соответственно равна 2/2/ KPNKPN × и 2/1 KPN× . Матрица 2A — 6-диагональная ленточного типа (рис. 3) — однозначно определена при задании совокупности выражений для расчета ее элементов и их индексов i (по вертикальному направлению) и j (горизонтальному). На каждой строке i матрицы 2A расположены ее элементы DijD , AijA , CijC , EijE , GijG , HijH . Эти элементы определены в процедуре дискретиза- Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 115 ции уравнений (1)–(3) и содержат результат арифметических операций над их коэффициентами. Индексы HGECAD jjjjjj ,,,,, этих элементов матрицы 2A зависят от pn, и k . Аналогично определяется матрица 3A . Рис. 2. Схема нумерации узлов дискретной сетки по схеме D4 ( 6=K , 10=N , 14=P ) В.В. Заводник ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 116 Матрицы 1A и 4A — диагональные. Их элементы ijB определены так же, как и элементы DijD , AijA , CijC , EijE , GijG , HijH . Векторы-столбцы 1B и 2B являются подвекторами вектора-столбца B . В результате применения схемы упорядочения к сеточному уравнению (1) получено матричное уравнение (5), имеющее блочную структуру (6). Для его решения применим подход, предложенный в работе [6] для решения систем линейных уравнений блочного вида. Решим уравнение (6). Учитывая его блочную структуру, представим вектор ре- шений в виде совокупности подвекторов. Процедура расчета на основе стандарт- ной схемы [6]: 1. Вектор неизвестных определяем в два этапа. 1.1. Производим исключение неизвест- ных на нижней половине уравнения (6), по- сле чего оно принимает вид ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ' 1 2 1 ' 4 21 0 F B X X A AA . (7) 1.2. Решаем систему линейных уравнений FXA ′=′ 24 * . (8) 2. Определяем вектор 1X , решив матричное уравнение 22 1 11 1 11 *** XAABAX −− −= . (9) 3. Ищем вектор X в виде совокупности векторов 1X и 2X . Для выполнения рассмотренного алгоритма применяется: • процедура исключения Гаусса на нижней половине матричного уравнения (6), которая заключается в определении матрицы 4A′ и вектора F′ ; • эффективные алгоритмы [7], учитывающие переменную длину лен- ты 4A′ для решения системы линейных уравнений ленточного типа (8); • процедура решения матричного уравнения (8), реализуемая таким образом, чтобы исключить затраты памяти на хранение нулевых элементов матриц и действий с ними. Порядок определения и хранения ненулевых элементов разреженной матрицы и вектора-столбца приведены в (10), (13), (14). Анализ схемы упорядочения с точки зрения запросов не только основ- ной, но и дополнительной памяти вычислительной системы показал, что на долю последней приходится значительная часть общей памяти. Поэтому Рис.3. Схема структуры матриц коэффициентов A2 и A3 Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 117 модификация данной схемы, направленная на сокращение затрат дополни- тельной памяти, является актуальной задачей [7, 8]. Разработка модифицированного варианта алгоритма решения системы алгебраических линейных уравнений (6) с использованием схемы упо- рядочения D4 Произведем модификацию алгоритма решения СЛАУ на основе схемы упо- рядочения D4 с целью сокращения запросов памяти вычислительной систе- мы на ее реализацию за счет снижения затрат дополнительной памяти, не- обходимой для расчета и хранения элементов матрицы и вектора-столбца (7). Для 2-мерной задачи модифицированный алгоритм приведен в работах [9, 10]. Для задачи в 3-мерной постановке разработаем процедуру расчета и запоминания координат ненулевых элементов матрицы и вектора, которая требовала бы меньших затрат памяти вычислительной системы по сравне- нию с аналогичной при стандартной схеме. Сформулируем свойство размещения ненулевых элементов разрежен- ной матрицы схемы упорядочения: в каждой строке ненулевые элементы расположены в позициях, номера которых определены в массиве номеров узлов сетки дискретизации ),,( kpnζ . KkPpNnkpnjQ ≤≤−≤≤≤≤∀+= 1,21,1),,2,(1 ζ , 11,11,1),1,1,(2 −≤≤−≤≤≤≤∀++= KkPpNnkpnjQ ζ , KkPpNnkpnjQ ≤≤−≤≤−≤≤∀++= 1,11,11),,1,1(3 ζ , KkPpNnkpnjL ≤≤−≤≤≤≤∀+−= 1,11,2),,1,1(1 ζ , KkPpNnkpnjL ≤≤−≤≤≤≤∀−+= 2,11,1),1,1,(2 ζ , KkPpNnkpnjR ≤≤≤≤≤≤∀−= 1,1,3),,,2(1 ζ , KkPpNnkpnjR ≤≤≤≤≤≤∀−−= 2,1,2),1,,1(2 ζ , KkPpNnkpnjR ≤≤≤≤≤≤∀−= 3,1,1),2,,(3 ζ , 11,1,2),1,,1(3 −≤≤≤≤≤≤∀+−= KkPpNnkpnjL ζ , KkPpNnkpnjI ≤≤≤≤≤≤∀= 1,1,1),,,(ζ , KkPpNnkpnjL ≤≤≤≤−≤≤∀−+= 2,1,11),1,,1(4 ζ , 21,1,1),2,,(4 −≤≤≤≤≤≤∀+= KkPpNnkpnjQ ζ , 11,1,11),1,,1(5 −≤≤≤≤−≤≤∀++= KkPpNnkpnjQ ζ , (10) KkPpNnkpnjQ ≤≤≤≤−≤≤∀+= 1,1,21),,,2(6 ζ , KkPpNnkpnjR ≤≤≤≤≤≤∀−−= 1,2,2),,1,1(4 ζ , KkPpNnkpnjR ≤≤≤≤≤≤∀−−= 2,2,1),1,1,(5 ζ , В.В. Заводник ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 118 11,2,1),1,1,(5 −≤≤≤≤≤≤∀+−= KkPpNnkpnjL ζ , KkPpNnkpnjL ≤≤≤≤−≤≤∀−+= 1,2,11),,1,1(6 ζ , KkPpNnkpnjR ≤≤≤≤≤≤∀−= 1,3,1),,2,(6 ζ . Сформулированное свойство имеет следующую геометрическую ин- терпретацию. Если на сетке дискретизации, узлы которой упорядочены по схеме 4D , выбрать узел, где номер строки матрицы образовался в результа- те процедуры исключения Гаусса на нижней половине системы (6), то для каждой строки номера позиций ненулевых элементов 1Rj , 2Rj , 3Rj , 4Rj , 65432165 ,,,,,,,, LLLLLLIRR jjjjjjjjj , 654321 ,,,,, QQQQQQ jjjjjj совпадают с номерами узлов сетки дискретизации, находящимися в верши- нах на гранях и в точке пересечения диагоналей 8-гранника, вершины кото- рого находятся в узлах сетки дискретизации с индексами ).2,,(4),2,,(3 ),,,2(6),,,2(1 ),,2,(1),,2,(6 +=−= +=−= +=−= kpnQkpnR kpnQkpnR kpnQkpnR ζζ ζζ ζζ (11) Пример (рис. 4). Восстановить номера позиций ненулевых элементов разреженной матрицы, расположенных в i -й строке ( 620=i ). Опишем во- круг узла с номером 6201 == i 8-гранник. Вершины его опираются на узлы сетки дискретизации, номера которых заданы соотношениями (11). Тогда номера индексов ненулевых элементов 1Rj , 2Rj , 3Rj , 4Rj , 5Rj 6Rj , 4321 ,,,, LLLLI jjjjj , 65 , LL jj , 654321 ,,,,, QQQQQQ jjjjjj , располо- женных в строке 620=i разреженной матрицы, равны номерам узлов сетки дискретизации, помеченных 6,5,4,3,2,1 RRRRRR , I , 4,3,2,1 LLLL , 6,5 LL , 2,1 QQ , 6,5,4,3 QQQQ (см. соотношения (10)). Из изложенного выше следует, что для запоминания информации об индексах ненулевых элементов разреженной матрицы достаточно хранить массив целых чисел с номерами узлов сетки дискретизации по схеме D4. Выполним процедуру исключения Гаусса на нижней половине системы линейных уравнений, представленной в матричной форме вида (6). Тогда для Nn ,1= ; Ph ,1= и Kk ,1= , учитывая ),,,1(),,1,( kpnijkpnij AADD −==−== ζζ ),,1( kpnij CC +== ζ , ),,1,( kpnij EE +== ζ )1,,( +== kpnij HH ζ , (12) ),1,,( −== kpnij GG ζ ),,( kpnij BB ζ== , получаем соотношения, определяющие ненулевые элементы матрицы 4A′ (19-диагональной, лукообразной (рис. 5)) и вектора-столбца F′ . KkPpNn B E EQ i i iji ER ≤≤−≤≤≤≤∀−= 1,21,1,1 3, , Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 119 11,11,1,2 2, −≤≤−≤≤≤≤∀−−= KkPpNn B H E B E HQ H H E EQ i i i i i iji , KkPpNn B E C B C EQ E E C CQ i i i i i iji ≤≤−≤≤−≤≤∀−−= 1,11,11,3 3, , KkPpNn B E A B A EL E E A AL i i i i i iji ≤≤−≤≤≤≤∀−−= 1,11,2,1 1, , KkPpNn B G E B E GL G G E EL i i i i i iji ≤≤−≤≤≤≤∀−−= 2,11,1,2 2, , Рис. 4. Схема фрагмента сетки дискретизации В.В. Заводник ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 120 KkPpNn B A AR A AR i i iji ≤≤≤≤≤≤∀−= 1,1,3,1 3, , KkPpNn B G A B A GR G G A AR i i i i i iji ≤≤≤≤≤≤∀−−= 2,1,2,2 2, , KkPpNn B G GR G GR i i iji ≤≤≤≤≤≤∀−= 3,1,1,3 3, , 11,1,2,3 3, −≤≤≤≤≤≤∀−−= KkPpNn B H A B A HL H H A AL i i i i i iji , (13) −−−−= C C AD DI i i i i i iA i i iijI B C A B A C B D EBI , H H G G E E i i i i i i i i i B H G B G H B E D −−− , 12,12,12 −≤≤−≤≤−≤≤∀ KkPpNn , KkPpNn B G C B C GL G G C CL i i i i i iji ≤≤≤≤−≤≤∀−−= 2,1,11,4 4, , 21,1,1,4 3, −≤≤≤≤≤≤∀−= KkPpNn B H HQ H HR i i iji , 11,1,11,5 5, −≤≤≤≤−≤≤∀−−= KkPpNn B H C B C HQ H H C CQ i i i i i iji , KkPpNn B C CQ C CR i i iji ≤≤≤≤−≤≤∀−= 1,1,21,6 3, , KkPpNn B A D B D AR A A D DR i i i i i iji ≤≤≤≤≤≤∀−−= 1,2,2,4 4, , Рис. 5. Схема структуры матриц коэффициентов 4A′ Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 121 KkPpNn B G D B D GR G G D DR i i i i i iji ≤≤≤≤≤≤∀−−= 2,2,1,5 5, , 11,2,1,5 5, −≤≤≤≤≤≤∀−−= KkPpNn B H D B D HL H H D DL i i i i i iji , KkPpNn B C D B D CL C C D DL i i i i i iji ≤≤≤≤−≤≤∀−−= 1,2,11,6 6, , KkPpNn B D DR D DR i i iji ≤≤≤≤≤≤∀−= 1,3,1,6 6, , −−−−= C C A A D D i i i i i i i i iii B C B B A B B D BBF 1112 ' , H H G G E E i i i i i i i i i B H B B G B B E B 111 −−− 12,12,12 −≤≤−≤≤−≤≤∀ KkPpNn . (14) В узлах, лежащих на гранях параллелепипеда в формулах (13), (14) от- сутствуют слагаемые соответственно для IjiI , и iF ′ (см. рис. 1). 1,, 1 =∀ p B D B B D E D D D D i i i i i i , 1,, 1 =∀n B A B B A C A A A A i i i i i i , Nn B C B B C A C C C C i i i i i i =∀,, 1 , Pp B E B B E D E E E E i i i i i i =∀,, 1 , 1,, 1 =∀k B G B B G H G G G G i i i i i i , Kk B H B B H G H H H H i i i i i i =∀,, 1 , где 654321 ,,,,,, 6,5,4,3,2,1 RRRRRR jijijijijiji RRRRRR 1,1 jiI , 21 ,, 2,1 LL jiji LL 6543 ,,,, 6,5,4,3 LLLL jijijiji LLLL , 54321 ,,,,, 5,4,3,2,1 QQQQQ jijijijiji QQQQQ , 6,6 QjiQ — ненулевые элементы разреженной матрицы 4A′ , расположенные в позициях 654321 ,,,,, RRRRRR jjjjjj , 654321 ,,,,, LLLLLL jjjjjj , 21, QQ jj 6543 ,,, QQQQ jjjj (см. соотношения (10)) i -й строки; DCBA iiii AAAA ,,, , HGE iii AAA ,, HGEDCBA iiiiiii BBBBBBB ,,,,,, , GEDCBA iiiiii CCCCCC ,,,,, , HiC , HGEDCBA iiiiiii DDDDDDD ,,,,,, , HGEDCBA iiiiiii EEEEEEE ,,,,,, , HGEDCBA iiiiiii GGGGGGG ,,,,,, , HGEDCBA iiiiiii HHHHHHH ,,,,,, — ненулевые элементы исходной разреженной матрицы коэффициентов A (13) векторов-столбцов коэффициентов HGEDCBA ,,,,,, (4); iF ′ — элементы вектора-столбца F′ , расположенные в i -позиции (строке) (12); В.В. Заводник ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 122 HGEDCBA iiiiiii FFFFFFF ,,,,,, — элементы вектора-столбца правой части системы, расположенные в позициях HGEDCBA iiiiiii ,,,,,, , (12). Количество элементов в ленте NKNKKNKPN )1()12( 2 +−+ . Количество ненулевых элементов в ленте +++− )(6 2 19 NKPNPKNPK )(2 KNP +++ . Максимальная ширина ленты 12 +KN . Заметим, что модифицированный вариант алгоритма по схеме D4, ба- зирующийся на соотношениях (10)–(14), требует для запоминания индексов ненулевых элементов разреженной матрицы коэффициентов 4A′ ’ и вектора- столбца F′ (хранения массива номеров узлов ),,( kpnζ ). Из этого следует, что накладные запросы памяти вычислительной системы на реализацию мо- дифицированного варианта алгоритма по схемы D4 равны NPK . Теперь сформулируем алгоритм решения исходной системы (1)–(3), представленной в матричном виде соотношением (6) на основе применения модифицированного варианта алгоритма с использованием схемы упоря- дочения D4 по шагам. 1. Задание исходных значений: 0=m , 0 ,, kpnX , kpnu ,, , kpn ,,µ , kpn ,,σ , zyxttUKPN kj ∆∆∆∆ ,,,,,,,, для Nn ,1= , Pp ,1= , Kk ,1= . 2. Нумерация узлов и определение позиций ненулевых элементов раз- реженной матрицы: нумерация узлов сетки дискретизации согласно схеме упорядочения D4 (см. таблицу) и формирование массива номеров узлов ),,( kpnζ= . Определение позиций HGEDCBA iiiiiii ,,,,,, (12) ненулевых элементов матрицы коэффициентов A и вектора-столбца B с учетом огра- ничений на kpn ,, . Определение позиций 1Rj , 2Rj , 3Rj , 4Rj , 5Rj , 6543216 ,,,,,,, LLLLLLIR jjjjjjjj , 654321 ,,,,, QQQQQQ jjjjjj ненуле- вых элементов матрицы 4A′ (10). 3. Расчет элементов iB1 ( 2/1 NPKI ≤≤ ) и iB2 ( NPKiNPK ≤≤+12/ ). Формирование векторов-столбцов 1B и 2B . 4. Расчет элементов iF ′ ( NPKiNPK ≤≤+12/ ) (14). Формирование вектора-столбца F′ . 5. Расчет ненулевых элементов матрицы A . Заполнение векторов- столбцов HGEDCBA ,,,,,, . 6. Расчет элементов 654321 ,,,,,, 6,5,4,3,2,1 RRRRRR jijijijijiji RRRRRR , 1,1 jiI , 654321 ,,,,,, 6,5,4,3,2,1 LLLLLL jijijijijiji LLLLLL , 21 ,, 2,1 QQ jiji QQ , 6543 ,,,, 6,5,4,3 QQQQ jijijiji QQQQ (13). Формирование матрицы 4A′ . 7. Решение системы линейных уравнений (8). Определение вектора- столбца решений 1 2 +mX . Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 123 8. Решение системы линейных уравнений (9). Определение вектора- столбца решений 1 1 +mX . 9. Формирование вектора-столбца решений 1+mX из 1 1 +mX и 1 2 +mX . 10. Переупорядочение вектора-столбца 1+mX в массив 1 ,, +m kpnX для Nn ,1= , Pp ,1= , Kk ,1= и сохранение его в памяти. 11. Если ktm < , то 1+= mm и переход к 3, иначе переход к 12. 12. Окончание алгоритма. Для реализации представленного алгоритма требуется применение про- грамм, реализующих методы решения системы линейных уравнений боль- шой размерности с матрицей коэффициентов ленточного типа. Такие мето- ды рассмотрены в работах [8, 11]. Предложенный подход и реализованный алгоритм обработки исходной информации системы атмосферного мониторинга и прогнозирования со- стояния воздушного бассейна позволяет существенно сократить время за- паздывания поступления информации для лиц, принимающих решения, и, как следствие, обеспечить принятие и реализацию решений в динамике воз- можного отклонения технологических и других производственных процес- сов от штатных режимов. ЛИТЕРАТУРА 1. Марчук Г.И., Кондратьев К.Я. Приоритеты глобальной экологии. — М.: Наука, 1992. — 261с. 2. Примак А.В., Кафаров В.В., Качиашвили К.И. Системный анализ контроля и управления качеством воздуха и воды. — Киев: Наук. думка, 1991. — 360 с. 3. Price H.S. and Coats K.H. Direct methods in reservoir simulation // Trans. SPE of AIME. — 1974. — 14, № 3. — P. 295–308. 4. Ажогин В.В., Згуровский М.З., Корбич Ю. Методы фильтрации и управления стохастическими процессами с распределенными параметрами. — Киев: Выща шк., 1988. — 448 с. 5. Фарлоу Стенли Дж. Уравнения с частными производными для научных ра- ботников и инженеров. — М.: Мир, 1985. — 383 с. 6. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. — М.: Недра, 1982. — 407 с. 7. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем урав- нений. — М.: Мир, 1984. — 333с. 8. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. — М.: Мир, 1988. — 410 с. 9. Згуровский М.З., Новиков А.Н. Системный анализ стохастических распределен- ных процессов. — Киев: КПИ, 1988. — 204 с. 10. Згуровский М.З., Новиков А.Н. Анализ и управление односторонними физиче- скими процессами. — Киев: Наук. думка, 1996. — 328 с. 11. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с. Поступила 03.02.2004

Системный анализ процессов распространения вредных примесей в атмосфере

Institution

Ähnliche Einträge