Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини
Методом граничних елементів розв’язано задачу моделювання напружено-деформованого стану в безмежному пружному ізотропному тілі, що містить тріщину та газонаповнену порожнину довільної форми. Отримано систему шести граничних інтегральних рівнянь для визначення компонент переміщень на поверхні порожни...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2013
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134142 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини / Б.М. Стасюк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 28-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-134142 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1341422018-06-13T03:04:37Z Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини Стасюк, Б.М. Методом граничних елементів розв’язано задачу моделювання напружено-деформованого стану в безмежному пружному ізотропному тілі, що містить тріщину та газонаповнену порожнину довільної форми. Отримано систему шести граничних інтегральних рівнянь для визначення компонент переміщень на поверхні порожнини та стрибків переміщень на поверхні тріщини. Обчислено коефіцієнти інтенсивності напружень на контурі круглої плоскої тріщини залежно від її розташування відносно порожнини, від форми порожнини та внутрішнього тиску в ній. Методом граничных элементов решена задача моделирования напряженно-деформированного состояния в безграничном упругом изотропном теле, содержащем трещину и газонаполненную полость произвольной формы. Получена система шести граничных интегральных уравнений относительно компонент перемещений на поверхности полости и скачков перемещений на поверхности трещины. Вычислены значения коэффициентов интенсивности напряжений на контуре круглой плоской трещины в зависимости от расстояния к полости, ее формы и внутреннего давления в ней. The problem of modeling the stress-strain state in an elastic isotropic solid which contains a crack and a gas-filled cavity of any shape is solved by the boundary element method. A system of six boundary integral equations with respect to displacement components on the surface of a cavity and displacements jumps on the crack surface is obtained. The stress intensity factors on the contour of a penny-shaped crack depending on its location relative to the cavity, its shape, and internal pressure in the cavity are calculated. 2013 Article Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини / Б.М. Стасюк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 28-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134142 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом граничних елементів розв’язано задачу моделювання напружено-деформованого стану в безмежному пружному ізотропному тілі, що містить тріщину та газонаповнену порожнину довільної форми. Отримано систему шести граничних інтегральних рівнянь для визначення компонент переміщень на поверхні порожнини та стрибків переміщень на поверхні тріщини. Обчислено коефіцієнти інтенсивності напружень на контурі круглої плоскої тріщини залежно від її розташування відносно порожнини, від форми порожнини та внутрішнього тиску в ній. |
| format |
Article |
| author |
Стасюк, Б.М. |
| spellingShingle |
Стасюк, Б.М. Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Стасюк, Б.М. |
| author_sort |
Стасюк, Б.М. |
| title |
Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини |
| title_short |
Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини |
| title_full |
Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини |
| title_fullStr |
Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини |
| title_full_unstemmed |
Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини |
| title_sort |
вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134142 |
| citation_txt |
Вплив газонаповненої порожнини складної форми на напруження в околі сусідньої тріщини / Б.М. Стасюк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 28-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT stasûkbm vplivgazonapovnenoíporožniniskladnoíforminanapružennâvokolísusídnʹoítríŝini |
| first_indexed |
2025-07-09T20:23:37Z |
| last_indexed |
2025-07-09T20:23:37Z |
| _version_ |
1837202269996580864 |
| fulltext |
28
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2013. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ВПЛИВ ГАЗОНАПОВНЕНОЇ ПОРОЖНИНИ СКЛАДНОЇ ФОРМИ
НА НАПРУЖЕННЯ В ОКОЛІ СУСІДНЬОЇ ТРІЩИНИ
Б. М. СТАСЮК
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів
Методом граничних елементів розв’язано задачу моделювання напружено-деформо-
ваного стану в безмежному пружному ізотропному тілі, що містить тріщину та газо-
наповнену порожнину довільної форми. Отримано систему шести граничних інте-
гральних рівнянь для визначення компонент переміщень на поверхні порожнини та
стрибків переміщень на поверхні тріщини. Обчислено коефіцієнти інтенсивності на-
пружень на контурі круглої плоскої тріщини залежно від її розташування відносно
порожнини, від форми порожнини та внутрішнього тиску в ній.
Ключові слова: тріщина, газонаповнена порожнина, метод граничних елементів,
метод граничних інтегральних рівнянь, сланцевий газ.
Видобування нетрадиційних видів газу (сланцевий, метан вугільних родо-
вищ) – важлива частина розв’язання проблеми енергетичної залежності України.
Найпоширенішою сьогодні технологією видобування такого газу є розтріскуван-
ня пористої газоносної породи методом гідравлічного удару. У зв’язку із еколо-
гічними загрозами від застосування гідророзривів важливо детально вивчити
механізми руйнування крихких та квазікрихких пористих матеріалів газоносної
породи, зокрема, проаналізувати взаємодіючі концентратори напружень типу трі-
щин та газонаповнених порожнин.
Дослідження граничної рівноваги тріщини в околі газонаповненої порожни-
ни складної форми пов’язане зі значними математичними труднощами визначен-
ня коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) у точках контуру тріщини. Відомі
[1] розв’язки відповідних задач у двовимірній поставі. Проте, як зауважено в пра-
ці [2], деформований стан навіть в околі тонких включень чи порожнин може від-
різнятися на 30%, коли використовувати плоскі та просторові моделі постави за-
дач. Аналітичні методи розв’язування просторових задач теорії пружності для тіл
з тріщинами та порожнинами ефективні тільки за розташування тріщини поблизу
порожнини канонічної форми [3, 4]. Якщо тріщина має невеликий розмір порів-
няно з радіусами кривини поверхні порожнини, то допускається ідеалізація тіла з
тріщиною до рівня півпростору [5, 6]. Такі спрощення неприйнятні, щоб виявити
особливості впливу від’ємної та додатної кривин поверхні порожнини на концен-
трацію напружень біля вершини тріщини та внутрішнього тиску в газонаповне-
ній порожнині на напружено-деформований стан (НДС) тіла з тріщиною. Таким
чином, для розв’язування просторових задач теорії пружності для тіл з дефекта-
ми складної форми доцільний числовий метод, який знімає всі обмеження на то-
пологію концентраторів напружень. Нижче для розв’язування задачі про безмеж-
не пружне ізотропне тіло, що містить плоску тріщину та газонаповнену порожни-
ну довільної форми, вибрано метод граничних елементів.
Формулювання задачі. Розглянемо безмежне пружне ізотропне тіло Ω, що
містить газонаповнену порожнину довільної форми, яка обмежена гладкою по-
Контактна особа: Б. М. СТАСЮК, e-mail: stasyuk.bohdan.m@gmail.com
29
верхнею SP із зовнішньою нормаллю ( )1 2 3, ,n n n n . Нехай поблизу порожнини
розташована плоска тріщина довільної форми. Область ST, яку займає тріщина,
обмежена гладким контуром L (рис. 1). Механічні властивості тіла визначають
модуль зсуву G і коефіцієнт Пуассона ν. Тіло знаходиться під дією статичного
навантаження, яке створює за відсутності неоднорідностей відоме первинне поле
переміщень ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 00
1 2 3, ,u u u u і пов’язане з ним законом Гука поле напружень
( ) ( )0 , 1,3ij i jσ = . Крім того, поверхня SP
навантажена тиском p газу, що пере-
буває в порожнині. Поверхні тріщини
вільні від навантажень.
У центрі тріщини виберемо систе-
му координат 1 2 3TO x x x так, щоб вісь
3TO x була перпендикулярною до по-
верхні тріщини. Іншу систему коорди-
нат 1 2 3PO y y y виберемо в центрі по-
рожнини. Взаємне розташування де-
фектів та орієнтацію тріщини відносно
порожнини у тілі характеризуватиме-
мо такими величинами: d – віддаллю
між центрами обох концентраторів на-
пружень, напрямними косинусами je
та *
je ( )1,3j = вектора d у системах
координат 1 2 3PO y y y та 1 2 3TO x x x
відповідно, а також косинусами
( )cos ,ij T i jPl O x O y= ( ), 1,3i j = кутів
між координатними осями.
Компоненти тензора напружень та вектора переміщень точок тіла за прин-
ципом суперпозиції подамо так:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0= +x x x xP T
ij ij ijijσ σ σ + σ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0= +x x x xP T
i i iiu u u u+ , x∈Ω , , 1,3i j = , (1)
де ( )xP
ijσ , ( )xP
iu – напруження та переміщення у пружному просторі, викликані
порожниною, поверхня якої знаходиться під внутрішнім тиском p; ( )xT
ijσ ,
( )xT
iu – відповідні характеристики НДС пружного простору, зумовленого роз-
криттям тріщини.
Пряме формулювання методу граничних елементів ґрунтується на інтеграль-
них поданнях Сомільяно в переміщеннях [7]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
1 1
, , ,ξ ξy y ξ ξ y ξ ξ
P P
P
i ij j ij j
j jS S
u U t d S T u d S
= =
= − +∑ ∑∫∫ ∫∫
y∈Ω , 1,3i = , (2)
Рис. 1. Схема розташування
газонаповненої порожнини та тріщини
в тілі з покриттям їх поверхонь сіткою
граничних елементів.
Fig. 1. Scheme of location of a gas-filled
cavity and a crack in a body
with the boundary elements mesh
on their surfaces.
30
де ( )ξju , ( )ξjt ( )ξ PS∈ – значення компонент векторів переміщень та зусиль у
точках поверхні порожнини з боку нормалі n; ijU та ijT – відомі ядра типу нью-
тонівського потенціалу з порядком особливості 1y ξ −− та 2y ξ −− відповідно за
наближення точки y до точки інтегрування ξ .
Диференціюючи інтегральні подання переміщень (2) та підставляючи отри-
мані співвідношення в закон Гука, отримуємо відповідні зображення для компо-
нент тензора напружень [7]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1
, , ,ξ ξy y ξ ξ y ξ ξ
P P
P
ij ijm m ijm m
m S S
D p n d S L u d S
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥σ = −
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∫∫ ∫∫
y∈Ω , , 1,3i j = . (3)
Ядра ijmD та ijmL з порядками особливості 2y ξ −− та 3y ξ −− залежать від ме-
ханічних характеристик матеріалу тіла та напрямку нормалі до поверхні SP у точ-
ці інтегрування ξ [7].
Аналогічні інтегральні подання параметрів НДС, зумовлені розкриттям трі-
щини, отримані раніше [8]. Переміщення точок тіла в напрямку осей системи ко-
ординат 1 2 3TO x x x , спричинені розкриттям тріщини, запишемо в явному вигляді:
( ) ( ) ( )
3
1
ξx x ξ ξ
T
T
i ij j
j S
u d S
=
= Φ α∑ ∫∫ , , , 1,3i j = , (4)
де ( )
( )
( )23
3 2
3
1 2
2 1 x ξ x ξ
i i
ii
xx ⎛ ⎞− ξ⎜ ⎟Φ ξ = − − ν +
⎜ ⎟− ν − −⎝ ⎠
x, ;
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 31 1 2
3
3 33 2
31 2
2 1 x ξ x ξ
i j
i i i i
ij j i
x x x
−δ −δ ⎛ ⎞− ξ − ξ
⎜ ⎟Φ ξ = − − ν δ − δ +
⎜ ⎟− ν − −⎝ ⎠
x, , ( i j≠ );
ijδ – символ Кронекера; функції ( )ξjα є функціями розкриття тріщини у напря-
мі осей OT jx , тобто ( ) ( ) ( )( )+= u u 4ξ ξ ξj j j
−α − π .
Компоненти тензора напружень подамо так:
( ) ( ) ( )
3
1
, , 1,3,
1 ξx x ξ ξ
Т
T
ij ijm m
m S
G K d S j
=
σ = α =
− ν ∑ ∫∫ (5)
де ( ) ( ) ( )
3 5 7
b , ,
, = +
x ξ x ξ
x ξ
x ξ x ξ x ξ
ijm ijm ijm
ijm
a c
K − −
− − −
; ( ) ( )2 2 2
1 1 2 2 3= ξ + ξ +x ξ x x x− − − ;
коефіцієнти ijma , ( ),x ξijmb , ( ),x ξijmc отримані в явному вигляді раніше [9].
Крайові умови на поверхні порожнини в локальній системі координат
1 2 3PO y y y набудуть вигляду
( ) ( ) , 1,3,
y
y y
P
nj jS
p n j
∈
σ = = (6)
а на поверхні тріщини, що перебуває в безмежному однорідному тілі, в системі
координат 1 2 3TO x x x будуть:
31
( )3 0, 1,3
x
x
T
j S
j
∈
σ = = . (7)
Виведення системи граничних інтегральних рівнянь (ГІР). Здійснимо
граничний перехід у другому рівнянні системи (1) до точки y на поверхні порож-
нини в системі координат 1 2 3PO y y y з урахуванням подань (2), (4), крайових
умов (6) на поверхні тріщини та відомих граничних властивостей пружних по-
тенціалів простого і подвійного шарів [7]. Як результат матимемо систему трьох
сингулярних інтегральних рівнянь відносно компонент вектора переміщень то-
чок поверхні порожнини ( 1,3i = ):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 0*
1 1
, ξ ξy y ξ ξ y y ξ ξ y
P T
i ij j i ij ij j i
j jS S
u T u u d S l d S u
= =
⎡ ⎤− − − Φ α = −⎣ ⎦∑ ∑∫∫ ∫∫ ,
( ) ( )
3
*
1
, , , , 1,3.ξy ξ ξ y y
P
ij j P
j S
p U n d S S i
=
− ∈ =∑ ∫∫ (8)
Тут і надалі індексом “*” позначатимемо координати точки, яка лежить на по-
верхні одного дефекту, записані в локальній системі координат, прив’язаній до
іншого дефекту. Перетворення координат точки поверхні порожнини за переходу
від однієї системи координат до іншої задає вираз
3
*
1
i i si s
s
y e d l y
=
= + ∑ , 1,3i = .
Граничним переходом у першому рівнянні системи (1) до точки x на поверх-
ні тріщини в системі координат 1 2 3TO x x x з урахуванням інтегральних подань
(3), (5) та крайових умов (7) отримуємо систему гіперсингулярних інтегральних
рівнянь типу ньютонівського потенціалу:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
*
3 3s
1 1 1 1
, ,
1 ξ ξx ξ ξ x ξ ξ
Т P
i m m sjm ji m
m s j mS S
G K d S L l l u d S
= = = =
α + =
− ν ∑ ∑∑ ∑∫∫ ∫∫
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 30 * *
3 3s
1 1 1 1 1
, , , , 1,3.ξx ξ ξ x x
P
m ji sjm ji m Tim
i m s j m S
l l p D l l n d S S i
= = = = =
= σ + ∈ =∑ ∑ ∑∑ ∑ ∫∫ (9)
Координати точки *x на поверхні тріщини запишемо в системі координат
1 2 3TO x x x :
2
* *
1
i i is s
s
x e d l x
=
= + ∑ .
Таким чином, отримано замкнуту систему шести сингулярних та гіперсингу-
лярних ГІР (8), (9) відносно невідомих компонент вектора переміщень точок по-
верхні порожнини та функцій розкриття тріщини.
Метод граничних елементів розв’язування системи ГІР. Апроксимуємо
поверхні SP та ST неперервною сукупністю чотирикутних (восьмивузлових) і три-
кутних (шестивузлових) криволінійних граничних елементів (рис. 1). Дискрети-
зуємо системи ГІР (8), (9), розкладаючи інтеграл по кожній області на суму інте-
гралів по відповідних граничних елементах та подаючи невідомі функції і ядра
інтегральних рівнянь через їх значення у вузлах граничних елементів. При цьому,
зважаючи на різний ступінь особливості інтегральних ядер у рівняннях (8) та (9),
застосовуватимемо комбінацію супер- та ізопараметричних граничних елементів.
Суперпараметричні граничні елементи використовуватимемо для дискрети-
зації області SP поверхні порожнини. За числового інтегрування по граничному
елементу qS відобразимо його внутрішність на плоску область *
qS (квадратної
форми для восьмивузлового граничного елемента і трикутної – для шестивузло-
32
вого), використовуючи апроксимацію по всіх вузлах граничного елемента. При
цьому координати точки інтегрування виразимо через координати вузлів гранич-
ного елемента та його функції форми, а компоненти вектора переміщень точок
поверхні порожнини білінійно інтерполюємо через їх значення в кутових (непар-
них) вузлах елемента [7].
Якщо точка y не належить до області граничного елемента, за яким інтегру-
ють, то інтеграли в рівняннях (8) регулярні і їх можна обчислити з допомогою
формули Гауса–Лежандра. Числовий експеримент виявив задовільну точність об-
числень вже за другого порядку квадратур.
Для знаходження сингулярних інтегралів, перш ніж застосувати формули
Гауса–Лежандра, необхідно виконати числову регуляризацію. Одним з найефек-
тивніших методів такої регуляризації слабо сингулярних двовимірних інтегралів
є метод регуляризувальних відображень [7], який полягає у розбитті області інте-
грування на трикутні підобласті та застосуванні до них відображень, якобіан
яких перетворюється в нуль у сингулярних точках.
Ізопараметричні граничні елементи використовуватимемо для дискретизації
області ST поверхні тріщини. Для моделювання функцій розкриття тріщини за-
стосуємо квадратичну інтерполяцію, попередньо виділивши в окремий множник
степеневу функцію рівняння контуру тріщини, що забезпечить рівність нулю роз-
криття тріщини на її контурі. Інтерполяційні функції розкриття тріщини будуть
одночасно і функціями форми граничного елемента [7].
Гіперсингулярні інтеграли, що є частиною системи рівнянь (9), пропонуємо
регуляризовувати шляхом виділення та числово-аналітичного обчислення скінчен-
ної частини інтеграла (в сенсі Адамара) в околі сингулярної точки. Для цього роз-
кладаємо в ряд в околі сингулярної точки ярда гіперсингулярних інтегралів та не-
відомі функції розкриття тріщини. Оскільки порядок сингулярності таких інтегра-
лів залежатиме від положення вузла, в якому обчислюємо інтеграл, то і процедура
регуляризації дещо відрізнятиметься для крайових та внутрішніх сингулярних точок.
Інтеграли за ізопараметричним граничним елементом Sq у точці x , яка збі-
гається з вузлом, що знаходиться всередині області тріщини (рис. 1), мають ядра
з особливістю порядку 3| |x ξ −− , тому для їх регуляризації потрібно виділяти
члени аж до другого порядку похідних невідомих функцій розкриття. Виділені
окремо сингулярні інтеграли аналітично зводимо до регулярних одновимірних
інтегралів, які визначаємо числово. Якщо інтеграл такого типу потрібно обчис-
лити в точці контуру тріщини 0x L∈ (рис. 1), то ступінь сингулярності знижуєть-
ся на одиницю внаслідок рівності нулю функції розкриття тріщини в точці 0x .
Похідні від невідомих функцій подамо методом скінченних різниць через їх
значення у вузлах граничного елемента. Зауважимо, що для інтерполяції похід-
них другого порядку від функцій розкриття тріщини слід використати їх значен-
ня як мінімум у трьох вузлах по одній із сторін граничного елемента. Саме цим
продиктована необхідність ізопараметричних граничних елементів для моделю-
вання розкриття тріщин.
Застосовуючи описану процедуру числового інтегрування та регуляризації
сингулярних інтегралів, отримаємо дискретний аналог системи ГІР (8), (9) – сис-
тему лінійних рівнянь відносно значень компонент вектора переміщень у куто-
вих вузлах граничних елементів поверхні SP та значень функцій розкриття тріщи-
ни у вузлах граничних елементів поверхні ST. Компоненти тензора напружень і
вектора переміщень у тілі знаходимо з формул (1), враховуючи інтегральні по-
дання (2)–(5). КІН на контурі тріщини довільної форми обчислюватимемо через
функції їх розкриття за виразами, отриманими раніше [10].
33
Числові результати. Обчислимо КІН для кругової тріщини з радіусом a, що
знаходиться неподалік від порожнини, яка має вигляд викривленого циліндра із
закругленими кінцями та діаметром основи 2a (рис. 2). Нехай на безмежності до
тіла прикладені навантаження σ0, перпендикулярні до поверхонь тріщини. Згідно
з експериментальними даними, отриманими раніше [11], пружні характеристики
тіла задаватимемо такими, що відповідають піщанистому сланцю: модуль зсуву
G = 1,04⋅104 MPa; коефіцієнт Пуассона ν = 0,31.
Рис. 2. Схеми перерізу тіла з тріщиною та газонаповненою порожниною
в площині x3 = y3 = 0 за радіуса кривини осі порожнини: а – ρ = 6a; b – ρ = –6a.
Fig. 2. Scheme of the cross-section of a body with a crack and a gas-filled cavity
in the plane x3 = y3 = 0 for the curvature radius of the cavity axis: а – ρ = 6a; b – ρ = –6a.
Рис. 3. Fig. 3. Рис. 4. Fig. 4.
Рис. 3. Залежність приведеного КІН від кутової координати точки контуру тріщини
в околі газонаповненої порожнини (див. схему рис. 2а):
1 – d = 2,1a; 2 – 2,3a; 3 – 2,4a; 4 – 2,6a; 5 – 2,8a; 6 – 3a.
Fig. 3. Dependence of normalized SIF on the angular coordinates of the crack contour
in the neighborhood of the gas-filled cavity (see chart in Fig. 2а):
1 – d = 2.1a; 2 – 2.3a; 3 – 2.4a; 4 – 2.6a; 5 – 2.8a; 6 – 3a.
Рис. 4. Залежність максимального значення приведеного КІН на контурі тріщини
від відстані між центрами тріщини та порожнини: 1 – ρ = 6a; 2 – ∞; 3 – –6a.
Fig. 4. Dependence of the maximum value of normalized SIF on the crack contour
on the distance between the centers of cracks and cavities: 1 – ρ = 6a; 2 – ∞; 3 – –6a.
34
Подано (рис. 3–5) приведене зна-
чення КІН *
1 1 1̂/K K k= , де 1 0
ˆ 2k a= σ π
– КІН для ізольованої кругової тріщи-
ни, що перебуває в безмежному тілі
під дією аналогічного навантаження.
Наведені результати (рис. 3 і 4), коли
на поверхні порожнини внутрішній
тиск відсутній для різних відстаней
між центрами порожнин та для різних
радіусів кривини осі порожнини.
Рис. 5 ілюструє залежність КІН на
контурі тріщини в точці, найбільш
наближеній до поверхні порожнини,
від приведеного внутрішнього тиску
p/σ0 у ній для двох випадків розташу-
вання тріщини (d = 2,1a та 2,3a).
Вважаємо, що радіус кривини осі
порожнини ρ в 6 разів перевищує ра-
діус її основи. Кут розхилу осі порож-
нини приймемо 60°. Розташування
тріщини визначають величини: 1 0e = ;
2 1e = ; 3 0e = ; *
1 0e = ; *
2 1e = − ; *
3 0e = .
Орієнтацію тріщини відносно порожнини задають напрямні косинуси ij ijl = δ .
ВИСНОВКИ
Числове дослідження зміни густини сітки граничних елементів свідчить, що
точність запропонованого методу забезпечується в межах 1% вже за викори-
стання 64 ізопараметричних граничних елементів на поверхні тріщини та 96 су-
перпараметричних на поверхні порожнини. Точність визначення напружено-
деформованого стану в околі газонаповненої порожнини за відсутності тріщини
перевірено також методом скінченних елементів за допомогою програмного
комплексу FEMAP-NASTRAN NX, наданого фірмою Siemens Software Industry.
Ймовірний напрямок поширення тріщини в околі газонаповненої порожни-
ни залежить від внутрішнього тиску в ній та розташування тріщини відносно неї.
Зі зменшенням радіуса кривини осі порожнини з безмежності до 6а максимальне
значення КІН на контурі тріщини зростає на 5%. За відсутності внутрішнього
тиску в порожнині КІН досягає найбільшого значення в точці контуру тріщини,
яка найбільш наближена до поверхні порожнини. Зі збільшенням співвідношення
p/σ0 КІН у цій точці зменшується за лінійним законом і за досягнення внутрішнім
тиском певного значення (при d/a = 2,1 – p/σ0 = 1,6, а при d/a = 2,3 – p/σ0 = 1,3)
напрямок імовірного поширення тріщини змінюється на протилежний. Таким чи-
ном, для прориву сланцевої породи потрібно забезпечити розривне навантаження
на берегах тріщин не менше ніж 80% від прогнозованого тиску газу в порожнинах.
РЕЗЮМЕ. Методом граничных элементов решена задача моделирования напряжен-
но-деформированного состояния в безграничном упругом изотропном теле, содержащем
трещину и газонаполненную полость произвольной формы. Получена система шести гра-
ничных интегральных уравнений относительно компонент перемещений на поверхности
полости и скачков перемещений на поверхности трещины. Вычислены значения коэффи-
циентов интенсивности напряжений на контуре круглой плоской трещины в зависимости
от расстояния к полости, ее формы и внутреннего давления в ней.
Рис. 5. Залежність приведеного КІН
у найбільш наближеній до порожнини
точці контуру тріщини від внутрішнього
тиску в порожнині: 1 – d = 2,1a; 2 – 2,3a.
Fig. 5. Dependence of normalized SIF
at the point of crack contour closest
to the cavity on the internal pressure values
in the cavity: 1 – d = 2.1a; 2 – 2.3a.
35
SUMMARY. The problem of modeling the stress-strain state in an elastic isotropic solid
which contains a crack and a gas-filled cavity of any shape is solved by the boundary element
method. A system of six boundary integral equations with respect to displacement components
on the surface of a cavity and displacements jumps on the crack surface is obtained. The stress
intensity factors on the contour of a penny-shaped crack depending on its location relative to the
cavity, its shape, and internal pressure in the cavity are calculated.
Робота виконана за часткової підтримки НАН України – НТЦУ (проект
№ 5726).
1. Калоеров C. A., Горянская E. C., Шаповалова Ю. Б. Двумерное напряженное состояние
анизотропного тела с отверстиями, упругими включениями и трещинами // Теорет. и
прикл. механика. – 1999. – Вып. 29. – С. 63–70.
2. Силованюк В. П., Юхим Р. Я., Горбач П. В. Деформація та руйнування матеріалів в
околі сфероїдальних включень // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2010. – 46, № 6.
– С. 42–46.
(Sylovanyuk V. P., Yukhym R. Ya., and Horbach P. V. Deformation and Fracture of Materials
near Spheroidal Inclusions // Materials Science. – 2010. – 46, № 6. – P. 757–762.)
3. Кирилюк В. С. О напряженном состоянии упругой среды с эллиптической трещиной и
двумя эллипсоидальными полостями // Прикл. механика. – 2003. – 39, № 7. – С. 94–105.
4. Lee H. K. and Tran X. H. Onstressanalysisfor a penny-shaped crack interacting with inclu-
sions and voids // Int. J. of Solids and Structures. – 2010. – 47, Issue 5.– P. 549–558.
5. Lo K. K. Three-dimensional crack in the interior of a half-space // J. Elast. – 1979. – 9, № 4.
– P. 435–439.
6. Андрейкив А. Е. Пространственные задачи теории трещин. – К.: Наук. думка, 1982.
– 348 с.
7. Balas J., Sladek J., and Sladek V. Stress Analysis by Boundary Element Methods. – Amster-
dam: Elsevier, 1989. – 686 p.
8. Кит Г. С., Хай М. В. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с
трещинами. – К.: Наук. думка,1989. – 283 с.
9. Стасюк Б. М. Метод ефективного поля напружень в тривимірних задачах про взаємо-
дію плоских тріщин // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2009. – 45, № 1. – С. 33–42.
(Stasyuk B. M. Method of effective stress field in three-dimensional problems of interaction
of plane cracks // Materials Science. – 2009. – 45, № 1. – P. 28–40.)
10. Хай М. В., Станкевич В. З., Стасюк Б. М. До теорії механіки руйнування // Машино-
знавтво. – 2002. – № 11. – С. 3–19.
11. Жданова О. О., Самедов А. М. Пружні характеристики сланцевих гірських порід // Віс-
ник Житомир. держ. техн. ун-ту. Сер.: Технічні науки. – 2012. – № 1 (60). – С. 109–116.
Одержано 08.04.2013
|