Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину
Розглянуто задачу про контактну взаємодію берегів колінеарних тріщин за згину пологої ортотропної оболонки довільної кривини. Задачу сформульовано у двовимірній постановці на основі моделі контакту вздовж лінії на одній з лицьових поверхонь оболонки. Розв’язки крайових задач побудовано за допомогою...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2013
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134144 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину / К.М. Довбня, Н.А. Шевцова // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 36-40. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-134144 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1341442018-06-13T03:04:59Z Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину Довбня, К.М. Шевцова, Н.А. Розглянуто задачу про контактну взаємодію берегів колінеарних тріщин за згину пологої ортотропної оболонки довільної кривини. Задачу сформульовано у двовимірній постановці на основі моделі контакту вздовж лінії на одній з лицьових поверхонь оболонки. Розв’язки крайових задач побудовано за допомогою методів сингулярних інтегральних рівнянь та механічних квадратур. Досліджено вплив кривини оболонки, взаємного розміщення колінеарних тріщин, механічних властивостей матеріалу в околі вершин тріщин на коефіцієнти інтенсивності моментів. Рассмотрена задача о контактном взаимодействии берегов коллинеарных трещин при изгибе пологой ортотропной оболочки произвольной кривизны. Задача сформулирована в двумерной постановке на основе модели контакта вдоль линии на одной из лицевых поверхностей оболочки. Решения краевых задач построены с помощью метода сингулярных интегральных уравнений и числовой процедуры метода механических квадратур. Исследовано влияние кривизны оболочки, взаимного размещения коллинеарных трещин, механических свойств материала в окрестности вершин трещин на коєффициенты интенсивности моментов. The problem of contact interaction of a shallow orthotropic shell of arbitrary curvature with two collinear cracks is considered. The problem is formulated in a two-dimensional statement by means of the contact model along a line in one of the facial surfaces of the shell. The boundary value problems solutions were constructed using the method of singular integral equations and numerical procedure of the method of mechanical quadratures. The influence of the shell curvature, mutual location of collinear cracks, mechanical properties of the material in the vicinity of the crack tip on the moments intensity factors is also investigated. 2013 Article Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину / К.М. Довбня, Н.А. Шевцова // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 36-40. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134144 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто задачу про контактну взаємодію берегів колінеарних тріщин за згину пологої ортотропної оболонки довільної кривини. Задачу сформульовано у двовимірній постановці на основі моделі контакту вздовж лінії на одній з лицьових поверхонь оболонки. Розв’язки крайових задач побудовано за допомогою методів сингулярних інтегральних рівнянь та механічних квадратур. Досліджено вплив кривини оболонки, взаємного розміщення колінеарних тріщин, механічних властивостей матеріалу в околі вершин тріщин на коефіцієнти інтенсивності моментів. |
| format |
Article |
| author |
Довбня, К.М. Шевцова, Н.А. |
| spellingShingle |
Довбня, К.М. Шевцова, Н.А. Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Довбня, К.М. Шевцова, Н.А. |
| author_sort |
Довбня, К.М. |
| title |
Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину |
| title_short |
Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину |
| title_full |
Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину |
| title_fullStr |
Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину |
| title_full_unstemmed |
Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину |
| title_sort |
дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134144 |
| citation_txt |
Дві колінеарні тріщини з контактуючими берегами в ортотропній оболонці довільної кривини за умов згину / К.М. Довбня, Н.А. Шевцова // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 36-40. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT dovbnâkm dvíkolínearnítríŝinizkontaktuûčimiberegamivortotropníjoboloncídovílʹnoíkrivinizaumovzginu AT ševcovana dvíkolínearnítríŝinizkontaktuûčimiberegamivortotropníjoboloncídovílʹnoíkrivinizaumovzginu |
| first_indexed |
2025-07-09T20:23:50Z |
| last_indexed |
2025-07-09T20:23:50Z |
| _version_ |
1837202283447713792 |
| fulltext |
36
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2013. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ДВІ КОЛІНЕАРНІ ТРІЩИНИ З КОНТАКТУЮЧИМИ БЕРЕГАМИ
В ОРТОТРОПНІЙ ОБОЛОНЦІ ДОВІЛЬНОЇ КРИВИНИ ЗА УМОВ ЗГИНУ
К. М. ДОВБНЯ, Н. А. ШЕВЦОВА
Донецький національний університет
Розглянуто задачу про контактну взаємодію берегів колінеарних тріщин за згину по-
логої ортотропної оболонки довільної кривини. Задачу сформульовано у двовимір-
ній постановці на основі моделі контакту вздовж лінії на одній з лицьових повер-
хонь оболонки. Розв’язки крайових задач побудовано за допомогою методів сингу-
лярних інтегральних рівнянь та механічних квадратур. Досліджено вплив кривини
оболонки, взаємного розміщення колінеарних тріщин, механічних властивостей ма-
теріалу в околі вершин тріщин на коефіцієнти інтенсивності моментів.
Ключові слова: коефіцієнти інтенсивності, колінеарні тріщини, згин, контакт бе-
регів, ортотропна оболонка
Конструкції з тонкостінними оболонками інтенсивно використовують в авіа-
ційній та космічній техніці, суднобудуванні, промисловому, цивільному будів-
ництві та інших галузях сучасного машинобудування. Їх довговічність здебіль-
шого зумовлена наявністю в них концентраторів напружень типу тріщин, тому
визначення міцності таких конструкцій є однією з найважливіших задач механіки
руйнування. Переважна більшість подібних задач для пластин та оболонок роз-
в’язані за умови, що береги тріщин під час деформування не контактують. Ура-
хування контакту берегів тріщин в ізотропних пластинах та оболонках дослідже-
но в працях [1–6]. Ця робота присвячена дослідженню напруженого стану орто-
тропної оболонки з двома наскрізними колінеарними тріщинами, береги яких
контактують під час згинального навантаження.
Формулювання задачі. Розгляне-
мо ортотропну оболонку довільної кри-
вини сталої товщини h з двома наскріз-
ними колінеарними тріщинами довжи-
ною 2l вздовж осі Ox (рис. 1). Оболонка
знаходиться під дією згинального на-
вантаження, симетричного відносно лі-
нії тріщини. Поверхні оболонки вільні
від напружень. У межах двовимірної
теорії оболонок тріщину моделюють як
математичний розріз серединної по-
верхні оболонки. Напружений стан в
оболонці подаємо у вигляді суми напру-
женого стану без тріщини за заданого
зовнішнього навантаження, яке вважає-
мо відомим (величини із зірочкою), та
шуканого додаткового напруженого стану, викликаного тріщиною.
Контактна особа: Н. А. ШЕВЦОВА, e-mail: nadya.shevtsova@gmail.com
Рис. 1. Оболонка з колінеарними
тріщинами.
Fig. 1. A shell with two collinear cracks.
37
Неповний по висоті контакт берегів розрізу інтерпретуємо як змикання його
гострих країв в одній із лицьових поверхонь оболонки z = h/2 чи z = –h/2. Внаслі-
док симетрії задачі відносно осі Ox крайові умови контакту на лінії розрізу [3]
мають такий вигляд:
[ ] [ ]2( )( ) 0
2
xhv x ≥= θ , [ ]2 2 2 2( ) ( )* sgn
2
x xhM M T= − − θ ,
[ ]2( ) ,0, 0,x l lT y x −≤ = ∈ . (1)
Тут [ ]v – розкриття тріщини в серединній поверхні оболонки, [ ]2θ – розрив кута
повороту нормалі ( 2
w
y
∂θ = −
∂
); *
2M – зовнішнє навантаження, яке у розглядува-
ній задачі є стале; T2 – мембранне зусилля, M2 – згинальний момент.
Інтегральні рівняння. Поставлену задачу розв’язуємо методом інтеграль-
них сингулярних рівнянь. Запишемо інтегральні подання зусилля T2 та моменту
M2 через похідні від стрибків переміщення та кута повороту нормалі [7]:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1
2 11 1 13 31
12
2 2 31 1 33 31
,0 2 ,
,0 2 ,
T l K t t K t t dt
c R M l K t t K t t dt
−
−
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
−π τ + γ = − τ ψ − − τ + γ ψ∫
−π τ + γ = − τ ψ − − τ + γ ψ∫
(2)
де ( ) [ ]
1 2 1
4
d vEht
dtl a
ψ = −µ
χ
; ( ) ( ) [ ]22 2
3 2
1 3 2
( )
4
D v v d
t R c
dtl a
− + − µ θ
ψ =
χ
;
( )
3
212 1
EhD
v
=
−
;
( )24 12 1 v
c
Rh
−
= ; ( )1 2min ,R R R= , де R1, R2 – радіуси головних
кривин серединної поверхні оболонки вздовж осі Ox та Oy; 2
2
va −µ +µ= ;
4 1
2
E
E
χ = . Тут 1 2E E E= , E1, E2 – модулі Юнґа; 1 2v v v= , 1v , 2v – коефіцієнти
Пуассона; ( )12 1
1 2
G v
E
+
µ = − , де G12 – модуль зсуву для площин, паралельних
серединній поверхні оболонки; γ = d/l, де 2d – відстань між центрами тріщин.
Ядра ( )ij xK для наскрізної тріщини за відсутності контакту берегів наведені в
праці [7].
Щоб визначити стрибок повороту нормалі, підставимо вирази (2) у крайові
умови (1), враховуючи, що [ ] *
2 2sgn sgn Mθ = . Отримаємо сингулярне інтегральне
рівняння:
( ) ( ) ( )( )(
1
*
2 11 112
1
1 3 1 2
4
DM v K t K t
l a −
π = −µ + − τ − − τ + γ +
χ
∫
( ) ( ) ( )( )* 2
2 31 312sgn 1 3 1 2M v K t K t+ −µ − − τ − − τ + γ +
( ) ( ) ( ) ( )( )) [ ]2
33 331 3 2 2 .
d
v v K t K t dt
dt
θ
+ − + − µ − τ − − τ + γ (3)
На кінцях розрізу розв’язок рівняння (3) повинен задовольняти додаткові
умови:
38
[ ]( )2 1 0θ ± = . (4)
Інтегральне рівняння (3) зі заданими умовами (4) розв’язано методом меха-
нічних квадратур [8, 9].
Аналіз результатів. Коефіцієнти інтенсивності моментів та напружень у
вершинах тріщини обчислюють за формулами:
( ) ( ) [ ]( )22
2 1
lim ;1 3 2 1
4M
ta
d tDK v v t
dt
±
→±
θ
= ± − + − µ −
χ
[ ]2
2 1
lim
( )1 1
4T
t
d v tEhK t
a dt
±
→±
−µ= ± −
χ
.
Розрахунки виконано для пластин і оболонок, виготовлених з таких матеріа-
лів: М0 (ізотропний, 0,3v = ); МІ (композит на епоксидній основі, армований пря-
молінійними графітними волокнами), для якого E1 = 4,9⋅104 MPa; E2 = 0,6⋅104 MPa;
G12 = 0,4⋅104 MPa; 1 0,31v = ; МІІ (односпрямований волокнистий намотувальний
склопластик) зі сталими E1 = 5,7⋅104 MPa; E2 = 1,4⋅104 MPa; G12 = 0,575⋅104 MPa;
1 0,277v = ;
Для ізотропної пластини та оболонки отримані тут результати узгоджуються
з наведеними в праці [3].
Залежності безрозмірних коефіцієнтів інтенсивності моментів */M MK K M l=
від взаємного розташування тріщин ρ = 1/γ будували для фіксованих параметрів
24 (12(1 ))l
Rh
− ν
β = , ( )1 2min ,R R R= . Коли * 0M > , береги змикаються у внут-
рішній лицьовій поверхні оболонки, при * 0M < – у зовнішній.
Показано (рис. 2) залежність коефіцієнтів інтенсивності моментів MK від
відстані між розрізами в пластині (β = 0). Тут і далі суцільні лінії – результати
для внутрішніх вершин розрізів, а штрихові – для зовнішніх. Найбільші коефіці-
єнти інтенсивності моментів у пластині з ортотропного матеріалу МІ, а найменші
– у пластині з ізотропного матеріалу М0.
Рис. 2. Вплив зближення розрізів
на коефіцієнти інтенсивності моментів MK
в пластині: 1 – матеріал M0; 2 – MI; 3 – MII.
Fig. 2. The influence of the distance between
cracks on the moments intensity factors MK
in the plate: 1 – material M0; 2 – MI; 3 – MII.
Наведені (рис. 3) залежності коефіцієнтів інтенсивності моментів від взаєм-
ного розташування розрізів у сферичній (λ = 1), циліндричній з повздовжньою
орієнтацією тріщин (λ = 0) та псевдосферичній (λ = –1) оболонках при β = 1. По-
рівняно з аналогічними результатами [3] залежність коефіцієнтів інтенсивності
від параметра взаємного розташування ρ посилюється, якщо береги змикаються у
внутрішній лицьовій поверхні оболонки ( * 0M > ) і послаблюється, якщо береги
змикаються у зовнішній лицьовій поверхні. За значного зближення тріщин (ρ → 1)
39
коефіцієнти інтенсивності на внутрішніх кінцях тріщин різко збільшуються, а на
зовнішніх наближаються до коефіцієнтів інтенсивності, що відповідають одній
тріщині подвійної довжини. При ρ → 0 тріщини перестають впливати одна на
одну і коефіцієнти інтенсивності наближаються до значень для однієї тріщини. Зі
зростанням параметра χ коефіцієнти інтенсивності через взаємний вплив тріщин
зі зменшенням відстані між ними знижуються швидше.
Рис. 3. Вплив зближення розрізів
на коефіцієнти інтенсивності моментів MK
при β = 1 у сферичній (а), циліндричній
з поздовжньою орієнтацією тріщин (b)
та псевдосферичній (с) оболонках:
1 – матеріал MI при χ > 1; 2 – χ < 1;
● – береги тріщини змикаються
у внутрішній (М* > 0) лицьовій поверхні
оболонки; ○ – у зовнішній (М* < 0).
Fig. 3. The influence of the distance between cracks on the moments intensity factors MK
with β = 1 in the spherical (a), cylindrical with longitudinal crack (b) and pseudo spherical (c)
shells: 1 – material MI when χ > 1; 2 – χ < 1; ● – crack edges joint in the internal
(М* > 0) face surface of the shell; ○ – in the external (М* < 0).
Зображена (рис. 4) залежність коефіцієнтів інтенсивності моментів MK від
параметра β для матеріалу MI (графітопластика).
Рис. 4. Залежність коефіцієнтів
інтенсивності моментів MK
від параметра β при ρ = 0,3
для матеріалу M1 при χ > 1:
1 – сферична оболонка;
2 – псевдосферична;
3 – циліндрична з поздовжньою
орієнтацією тріщин.
Fig. 4. Dependence of the moments intensity factors MK on the parameter β
when ρ = 0.3 for material M1 when χ > 1: 1 – spherical shell; 2 – pseudo spherical;
3 – cylindrical with longitudinal cracks.
Вплив ортотропії матеріалу на коефіцієнти інтенсивності моментів посилю-
ється зі збільшенням кривини оболонки та розмірів тріщин.
40
РЕЗЮМЕ. Рассмотрена задача о контактном взаимодействии берегов коллинеарных
трещин при изгибе пологой ортотропной оболочки произвольной кривизны. Задача сфор-
мулирована в двумерной постановке на основе модели контакта вдоль линии на одной из
лицевых поверхностей оболочки. Решения краевых задач построены с помощью метода
сингулярных интегральных уравнений и числовой процедуры метода механических квад-
ратур. Исследовано влияние кривизны оболочки, взаимного размещения коллинеарных
трещин, механических свойств материала в окрестности вершин трещин на коєффициен-
ты интенсивности моментов.
SUMMARY. The problem of contact interaction of a shallow orthotropic shell of arbitrary
curvature with two collinear cracks is considered. The problem is formulated in a two-dimensio-
nal statement by means of the contact model along a line in one of the facial surfaces of the
shell. The boundary value problems solutions were constructed using the method of singular
integral equations and numerical procedure of the method of mechanical quadratures. The in-
fluence of the shell curvature, mutual location of collinear cracks, mechanical properties of the
material in the vicinity of the crack tip on the moments intensity factors is also investigated.
1. Шацький І. П. Інтегральні рівняння задачі згину пологої оболонки, ослабленої розрі-
зом з контактуючими кромками // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1991. – № 2. – С. 26–29.
2. Young M. J. and Sun T. C. Influence of crack on the stress intensity factor in bending plates
– A classical plate solusion // Int. J. Fract. – 1992. – 55. – P. 81–91.
3. Шацький І. П., Маковійчук М. В. Рівновага сферичної пологої оболонки з урахуванням
закриття колінеарних тріщин за згину // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні техно-
логії. – 2010. – Вип. 12. – С. 189–195.
4. Опанасович В. К., Новосад В. П., Сільвестров Р. Г. Врахування контакту берегів трі-
щини під час згину трансверсально-ізотропної пластини // Механіка і фізика руйну-
вання будівельних матеріалів та конструкцій: Зб. наук. праць / За заг. ред. О. Є. Анд-
рейківа, Й. Й. Лучка, В. В. Божидарника. – Львів: Каменяр, 2002. – 5. – С. 148–153.
5. Determination of stress intensity factors for a cracked shell under bending with improved
shell theories / R. Liu, T. Zhang, X. J. Wu, C. H. Wang // J. of Aerospace Engng. – 2006.
– 19. – P. 21–28.
6. Довбня К. М., Григорчук Ю. В. Напружений стан оболонки двоякої кривини з тріщи-
ною при згинальному навантаженні // Проблеми обчислювальної механіки і міцності
конструкцій. – 2012. – Вип. 19. – С. 112–116.
7. Механика композитов: в 12-ти т. / Под. общей ред. А. Н. Гузя. – Т. 7: Концентрация
напряжений / А. Н. Гузь, А. С. Космодамианский, В. П. Шевченко и др. – К.: А.С.К.,
1998. – 387 с.
8. Корнейчук А. А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // Численные
методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные фор-
мулы. – М.: Наука, 1964. – С. 64–74.
9. Саврук М. П., Осив П. Н., Прокопчук И. В. Численный анализ в плоских задачах тео-
рии трещин. – К.: Наук. думка, 1989. – 248 с.
Одержано 27.06.2013
|