Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування
Отримано аналітичний розв’язок нестаціонарної теплової задачі тертя для двох півпросторів з узагальненими крайовими умовами Дж. Барбера за сталої питомої потужності тертя. На його основі за допомогою формули Дюамеля побудовано розв’язок теплової задачі тертя під час гальмування зі сталим сповільненн...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2012
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134245 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування / О. Євтушенко, М. Куцєй, Ол. Євтушенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 27-33. — Бібліогр.: 17 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-134245 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1342452018-06-14T03:03:18Z Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування Євтушенко, О. Куцєй, М. Євтушенко, Ол. Отримано аналітичний розв’язок нестаціонарної теплової задачі тертя для двох півпросторів з узагальненими крайовими умовами Дж. Барбера за сталої питомої потужності тертя. На його основі за допомогою формули Дюамеля побудовано розв’язок теплової задачі тертя під час гальмування зі сталим сповільненням. Для фрикційної пари чавун–металокераміка досліджено вплив коефіцієнтів термічної провідності контакту та розподілу теплових потоків на температурне поле трибосистеми. Получено аналитическое решение нестационарной тепловой задачи трения для двух полупространств с обобщенными граничными условиями Дж. Барбера при постоянной удельной мощности трения. На его основании с помощью формулы Дюамеля построено решение тепловой задачи трения при торможении с постоянным замедлением. Для фрикционной пары чугун–металокерамика исследовано влияние коэффициентов термической проводимости контакта и распределения тепловых потоков на температурное поле трибосистемы. The analytical solution of a non-stationary thermal problem of friction for two semi-spaces with J. Barber generalized boundary conditions at the constant value of the specific capacity of friction was obtained. On the basis of this solution by means of Duhamel formula the corresponding solution of a thermal friction problem during braking with constant retardation was constructed. For a friction couple cast iron-metal ceramic the influence of the coefficients of thermal conductivity of the contact and distribution of the heat fluxes on the temperature field in tribosystem was investigated. 2012 Article Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування / О. Євтушенко, М. Куцєй, Ол. Євтушенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 27-33. — Бібліогр.: 17 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134245 536.12:621.891:539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано аналітичний розв’язок нестаціонарної теплової задачі тертя для двох півпросторів з узагальненими крайовими умовами Дж. Барбера за сталої питомої потужності тертя. На його основі за допомогою формули Дюамеля побудовано розв’язок теплової задачі тертя під час гальмування зі сталим сповільненням. Для фрикційної пари чавун–металокераміка досліджено вплив коефіцієнтів термічної провідності контакту та розподілу теплових потоків на температурне поле трибосистеми. |
| format |
Article |
| author |
Євтушенко, О. Куцєй, М. Євтушенко, Ол. |
| spellingShingle |
Євтушенко, О. Куцєй, М. Євтушенко, Ол. Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Євтушенко, О. Куцєй, М. Євтушенко, Ол. |
| author_sort |
Євтушенко, О. |
| title |
Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування |
| title_short |
Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування |
| title_full |
Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування |
| title_fullStr |
Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування |
| title_full_unstemmed |
Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування |
| title_sort |
моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134245 |
| citation_txt |
Моделювання фрикційного нагрівання під час гальмування / О. Євтушенко, М. Куцєй, Ол. Євтушенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 5. — С. 27-33. — Бібліогр.: 17 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT êvtušenkoo modelûvannâfrikcíjnogonagrívannâpídčasgalʹmuvannâ AT kucêjm modelûvannâfrikcíjnogonagrívannâpídčasgalʹmuvannâ AT êvtušenkool modelûvannâfrikcíjnogonagrívannâpídčasgalʹmuvannâ |
| first_indexed |
2025-07-09T20:36:40Z |
| last_indexed |
2025-07-09T20:36:40Z |
| _version_ |
1837203092956774400 |
| fulltext |
27
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2012. – ¹ 5. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 536.12:621.891:539.3
МОДЕЛЮВАННЯ ФРИКЦІЙНОГО НАГРІВАННЯ
ПІД ЧАС ГАЛЬМУВАННЯ
О. ЄВТУШЕНКО, М. КУЦЄЙ, Ол. ЄВТУШЕНКО
Білостоцька політехніка, Польща
Отримано аналітичний розв’язок нестаціонарної теплової задачі тертя для двох пів-
просторів з узагальненими крайовими умовами Дж. Барбера за сталої питомої по-
тужності тертя. На його основі за допомогою формули Дюамеля побудовано розв’я-
зок теплової задачі тертя під час гальмування зі сталим сповільненням. Для фрик-
ційної пари чавун–металокераміка досліджено вплив коефіцієнтів термічної провід-
ності контакту та розподілу теплових потоків на температурне поле трибосистеми.
Ключові слова: фрикційне нагрівання, температура, гальмування, тепловий контакт.
Побудова розв’язків теплових за-
дач тертя є однією з найактуальніших
проблем трибології і триботехніки [1].
Точність визначення температурних
полів у співдотичних тілах під час їх-
нього відносного ковзання прямо за-
лежить від коректного формулювання
цих задач [2]. Основним недоліком
формулювання теплової задачі тертя є
те, що теплові процеси у співдотичних
тілах найчастіше досліджували
окремо, а розподіл теплової енергії
між ними задавали апріорі [3]. Мета
роботи – порівняти температури, зна-
йдені за допомогою розв’язків тепло-
вої задачі тертя для двох півпросторів
із різними варіантами крайових умов
на поверхні контакту.
Формулювання задачі. Розглянемо два різнорідні півпростори, що стиска-
ються на безмежності зусиллями сталої інтенсивності p, прикладеними паралель-
но до осі Oz (рис. 1). У початковий момент часу t = 0 один із півпросторів почи-
нає рухатись зі сталою швидкістю V по поверхні іншого у додатному напрямку
осі Oy. Внаслідок тертя на поверхні контакту z = 0 генерується тепло і співдотич-
ні тіла нагріваються. Сума інтенсивностей теплових потоків, напрямлених вздовж
нормалі від поверхні контакту всередину кожного півпростору, дорівнює питомій
потужності тертя q0 = fVp, де f – коефіцієнт тертя. Усі величини та параметри, що
відносяться до верхнього та нижнього півпросторів, надалі позначатимемо нижні-
ми індексами 1 та 2, відповідно.
Нестаціонарні температурні поля Ti(z, t), i = 1, 2 знайдемо із розв’язку
крайової задачі теплопровідності:
Контактна особа: О. ЄВТУШЕНКО, e-mail: a.yevtushenko@pb.edu.pl
Рис. 1. Схема задачі:
1 – верхній півпростір; 2 – нижній.
Fig. 1. Scheme of the problem:
1 – top semi-space; 2 – bottom.
28
2
1 1
2
1
( , ) ( , )1 , 0, 0,T T
k
∗ ∗
∗
∂ ζ τ ∂ ζ τ
= ζ > τ >
∂τ∂ζ
(1)
2
2 2
2
( , ) ( , ) , 0, 0,T T∗ ∗∂ ζ τ ∂ ζ τ
= ζ < τ >
∂τ∂ζ
(2)
1
1 1 2
0
( , ) Bi [ (0 , ) (0 , )], 0,TK T T
+
∗
∗ ∗ + ∗ −
ζ=
∂ ζ τ
− = γ − τ − τ τ >
∂ζ
(3)
2
1 2
0
( , ) 1 Bi [ (0 , ) (0 , )], 0,T T T
−
∗
∗ + ∗ −
ζ=
∂ ζ τ
= − γ + τ − τ τ >
∂ζ
(4)
( , ) 0, , 0, 1,2iT i∗ ζ τ → ζ →∞ τ > = , (5)
( ,0) 0, , 1,2iT i∗ ζ = ζ < ∞ = (6)
де
,z
a
ζ = 2
2 ,k t
a
τ = 1
2
,KK
K
∗ = 1
2
,kk
k
∗ =
2
Bi ha
K
= , 2
0
,i
i
T K
T
q a
∗ = 1,2i = , (7)
21,73 sa k t= – ефективна глибина прогрівання нижнього півпростору за час
st t= [1]; γ – коефіцієнт розподілу тепла між тілами [4]; h , K , k – коефіцієнти
термічної провідності контакту, тепло- і температуропровідності, відповідно.
Крайові умови (3), (4) неповного теплового контакту двох тіл із урахуванням
теплоутворення від тертя запропонував Барбер [5]. З крайових умов (3) і (4)
отримаємо іншу частіше уживану форму запису крайових умов Барбера:
1 2
0 0
( , ) ( , ) 1, 0,T TK
+ −
∗ ∗
∗
ζ= ζ=
∂ ζ τ ∂ ζ τ
− + = τ >
∂ζ ∂ζ
(8)
1 2
1 2
0 0
( , ) ( , ) 1 2 2Bi[ (0 , ) (0 , )], 0T TK T T
+ −
∗ ∗
∗ ∗ + ∗ −
ζ= ζ=
∂ ζ τ ∂ ζ τ
+ = − γ + τ − τ τ >
∂ζ ∂ζ
. (9)
За 0,5γ = з умови (9) випливає:
1 2
1 2
0 0
( , ) ( , ) 2Bi [ (0 , ) (0 , )], 0T TK T T
+ −
∗ ∗
∗ ∗ + ∗ −
ζ= ζ=
∂ ζ τ ∂ ζ τ
+ = τ − τ τ >
∂ζ ∂ζ
. (10)
Систему крайових умов неповного теплового контакту (8), (10) вперше от-
римав Я. С. Підстригач [6, 7], а застосував до формулювання та розв’язування
теплових задач тертя Д. В. Гриліцький [8–11]. Зокрема, розв’язок теплової задачі
тертя для двох різнорідних півпросторів із крайовими умовами (8), (10) побудо-
вано у монографії [11].
Перейшовши в крайових умовах (9) чи (10) до границі Bi →∞ , отримаємо
умову рівності температур співдотичних тіл на поверхні контакту:
1 2(0 , ) (0 , ), 0T T∗ + ∗ −τ = τ τ > , (11)
яка разом з умовою (8) утворює систему крайових умов повного теплового кон-
такту під час фрикційного нагрівання Ф. Лінга [12]. Розв’язок теплової задачі
тертя для двох півпросторів із крайовими умовами (8), (11) та нульовими почат-
ковими (6) має вигляд [13]
29
1
1
1
2
( , ) 2 (1 ) ierfc(0,5 / ) , 0, 0,
( , ) 2 (1 ) ierfc(-0,5 / ) , 0, 0,
T k
T
∗ − ∗
∗ −
ζ τ = τ + ε ζ τ ζ ≥ τ ≥
ζ τ = τ + ε ζ τ ζ ≤ τ ≥
(12)
де /K k∗ ∗ε = – коефіцієнт теплової активності матеріалів фрикційної пари,
1/ 2 2ierfc( ) exp( ) erfc( )x x x x−= π − − , erfc( ) 1 erf ( )x x= − , erf ( )x – функція помилок
Ґаусса [14].
Спрямувавши Bi 0→ , із крайових умов Барбера (3), (4) або (8), (9) отримує-
мо звичайні теплові крайові умови 2-го роду на поверхні півпросторів:
1
0
( , )TK
+
∗
∗
ζ=
∂ ζ τ
− = γ
∂ζ
, 2
0
( , ) 1 , 0T
−
∗
ζ=
∂ ζ τ
= − γ τ >
∂ζ
. (13)
Розв’язок задачі теплопровідності для півпросторів, що нагріваються на поверхні
тепловими потоками сталої інтенсивності (13) за нульових початкових умов (6),
відомий [15]:
1
1
2
( , ) 2 ierfc(0,5 / ), 0, 0,
( , ) 2 (1 )ierfc( 0,5 / ), 0, 0.
T k
T
∗ − ∗
∗
ζ τ = τ γ ε ζ τ ζ ≥ τ ≥
ζ τ = τ − γ − ζ τ ζ ≥ τ ≥
(14)
Зазначимо, що перехід до границі Bi→0 у крайових умовах Підстригача–Гри-
ліцького (8), (10) також приводить до двох задач теплопровідності для півпрос-
торів, що нагріваються тепловими потоками однакової інтенсивності (13) за γ = 0,5.
Розв’язок задачі для сталої потужності тертя. Застосувавши до крайової за-
дачі (1)–(6) пряме та обернене інтегральне перетворення Лапласа за числом Фур’є
τ (7), знаходимо безрозмірні нестаціонарні температурні поля у півпросторах:
2
1
2( , ) ierfc
(1 ) 2
erfc erfc , 0, 0,
2 2
k
T
k
e
k k
∗
∗
∗
ζ
β τ+β
∗ ∗
⎛ ⎞τ ζ
ζ τ = −⎜ ⎟
⎜ ⎟+ ε τ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞α ζ ζ⎢ ⎥− β τ + − ζ ≥ τ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟β τ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
(15)
2
2
2( , ) ierfc
(1 ) 2
erfc erfc , 0, 0,
2 2
T
e
∗
β τ−βζ
⎛ ⎞τ ζ
ζ τ = − +⎜ ⎟+ ε τ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞αε ζ ζ
+ β τ − − − ζ ≤ τ ≥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟β τ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(16)
/ 1/(1 ), Bi(1 )/α = γ ε − + ε β = + ε ε . (17)
Із формул (15) і (16) отримуємо температури робочих поверхонь:
2
1
2(0 , ) [ erfc( ) 1], 0,
(1 )
T e∗ + β ττ α
τ = − β τ − τ ≥
+ ε π β
(18)
2
2
2(0 , ) [ erfc( ) 1], 0
(1 )
T e∗ − β ττ α
τ = + β τ − τ ≥
+ ε π β
(19)
та безрозмірні інтенсивності теплових потоків на них:
21
1
0
( , )(0 , ) erfc( ), 0,
1
Tq K e
+
∗
∗ + ∗ β τ
ζ=
∂ ζ τ ε
τ ≡ − = + αε β τ τ ≥
∂ζ + ε
(20)
30
2
2
0
( , ) 1(0 , ) erfc( ), 0.
1
sT
q e
−
∗
∗ − β τ
ζ=
∂ ζ τ
τ ≡ = − αε β τ τ ≥
∂ζ + ε
(21)
Підставивши співвідношення (18)–(21) до крайових умов (3) і (4), отримуємо то-
тожності. Під час числового аналізу за формулами (15)–(21) можна скористатись
наближенням [14]
2
erfc( ) 1/( )eβ τ β τ ≈ β πτ , 1τ >> .
Перейшовши у формулах (15)–(17) до границь Bi →∞ та Bi 0→ , отримує-
мо розв’язки (12) та (14), відповідно.
Розв’язок задачі зі змінною з часом потужністю тертя. Розв’язок теплової
задачі тертя (1)–(6) з питомою потужністю тертя, що зменшується лінійно із ча-
сом (гальмування зі сталим сповільненням впродовж часу t = ts),
0( ) ( )q q q∗τ = τ , 1( ) 1 sq∗ −τ = − ττ , 0 s≤ τ ≤ τ , 2
2 / ,s sk t aτ = (22)
знайдемо за допомогою формули Дюамеля [12]:
(0)
0
( , ) ( ) ( , ) , 0 ,i siT q s T s ds
τ
∗∗ ∗ ∂
ζ τ = ζ τ − ≤ τ ≤ τ
∂τ∫
(23)
де безрозмірні температури (0) ( , ), 1,2iT i∗ ζ τ = мають вигляд (15)–(17). Підставив-
ши під знак інтеграла у формулі (23) функції ( )q τ (22) та (0) ( , ), 1,2iT i∗ ζ τ = (15)–
(17), після інтегрування отримуємо:
(0) (1)1( , ) ( , ) ( , ), 0i s si iT T T∗ ∗∗ −ζ τ = ζ τ − τ ζ τ ≤ τ ≤ τ , 1, 2i = , (24)
2
2
2
(1) 4
1
3
2
2 1( , ) 1 ierfc
(1 ) 36 2
erfc erfc 2 ierfc
2 2 2
ierfc erfc
2 2
k
k
T e
k k
e
k k k
k k k
∗
∗
ζ
−
∗ τ
∗ ∗
ζ
β τ+β
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞τ τ ζ ζ⎢ ⎥ζ τ = + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+ ε πτ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞α ζ ζ ζ⎪− β τ + − + β τ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟β τ τ τ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ζ ζ ζ
+β τ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ τ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, 0,
⎫⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ ζ ≥⎬
⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎭
(25)
2
2
2
(1) 4
2
3
2
2 1( , ) 1 ierfc
(1 ) 6 2 3
erfc erfc 2 ierfc
2 2 2
ierfc erfc , 0.
2 2
T e
e
ζ
−∗ τ
β τ−βζ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ τ ζ ζ⎢ ⎥ζ τ = + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥+ ε τ τ π⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞αε ζ ζ ζ
+ β τ − − − + β τ − −⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ τ τβ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ζ ζ ζ ⎪−β τ − + − ζ ≤⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ τ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦⎭
(26)
За досконалого теплового контакту півпросторів (Bi→∞) із формул (25) і
(26) для ζ = 0 знаходимо:
(1) (1)
1 2
4(0, ) (0, )
3(1 )
T T∗ ∗ τ τ
τ = τ =
+ ε π
. (27)
31
Підставивши розв’язки (12) (при ζ = 0) та (27) у співвідношення (24), при-
ходимо до відомої формули Фазекаша [16]:
1 2
2 2(0, ) (0, ) 1 , 0 .
(1 ) 3 s
s
T T∗ ∗ ⎛ ⎞τ τ
τ = τ = − ≤ τ ≤ τ⎜ ⎟
+ ε π τ⎝ ⎠
Перейшовши у формулах (25) і (26) до границі, коли Bi→0, отримаємо:
2
(1)
1
4( , ) 1 ierfc erfc , 0,
3 4 2 4 2
T
k k k k
∗
∗ ∗ ∗ ∗
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞γτ τ ζ ζ ζ ζ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ζ τ = + − ζ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε ⎢ ⎥τ τ τ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(28)
2
(1)
2
4( , ) (1 ) 1 ierfc erfc , 0
3 4 2 4 2
T∗ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ζ ζ ζ ζ
ζ τ = − γ τ τ + − + − ζ ≤⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟τ τ τ τ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
. (29)
При 0±ζ = із формул (14), (24), (28) та (29) одержимо:
1
2 2(0 , ) 1
3 s
T∗ + ⎛ ⎞γ τ τ
τ = −⎜ ⎟
ε π τ⎝ ⎠
, 2
2(0 , ) 2(1 ) 1 , 0
3 s
s
T∗ − ⎛ ⎞τ τ
τ = − γ − ≤ τ ≤ τ⎜ ⎟
π τ⎝ ⎠
.
Числовий аналіз. Обчислення виконано для фрикційної пари чавун ЧМНХ
(K1 = 51 W/(mK), 1k = 14 ⋅ 10–6 m2/s) і металокераміка ФМК-11 (K2 = 34,3 W/(mK),
k2 = 15,2 ⋅ 10–6 m2/s) [1]. Безрозмірні вхідні параметри задачі такі: просторова
змінна ζ, час (число Фур’є) τ, час гальмування τs та число Біо Bi . Температури
співдотичних тіл на безмежності однакові, тому коефіцієнт розподілу теплових
потоків обчислювали за формулою Шаррона 1(1 )−γ = + ε [4]. Для вибраної фрик-
ційної пари ε = 1,549, а γ = 0,392. Криві, побудовані для температур, знайдених із
розв’язку теплової задачі тертя для двох різнорідних півпросторів із крайовими
умовами Підстригача–Гриліцького (8), (10), на рис. рис. 2, 3 позначено додатково
міткою γ = 0,5.
Рис. 2. Еволюція безрозмірної температури на поверхнях півпросторів за сталої по-
тужності тертя (a) і під час гальмування зі сталим сповільненням (b).
Верхній півпростір – суцільні криві; нижній – штрихові.
Fig. 2. Evolution of the dimensionless temperature on the surface of semi-spaces for a constant
value of the friction power (a) and during braking with constant retardation (b).
The top semi-space – solid curves; the bottom– dashed.
32
Рис. 3. Залежність безрозмірної темпе-
ратури на поверхнях півпросторів від
числа Біо за сталої потужності тертя
і τ = 1. Верхній півпростір – суцільні
криві; нижній – штрихові.
Fig. 3. Dependence of the dimensionless
temperature on the s urface of semi-spaces
on the Biot number for a constant value
of the friction power and τ = 1.
The top semi-space – solid curves;
the bottom– dashed.
Врахування термоопору поверхні
контакту в крайових умовах Барбера (3), (4) призводить до появи на ній стрибка
температур поверхонь півпросторів (див. рис. 1). Найбільша різниця температур
співдотичних тіл для Bi→0, коли термоопір поверхні контакту є настільки
значний, що дає змогу розглядати задачу про фрикційне нагрівання кожного
півпростору окремо. Зі зменшенням термоопору (збільшенням термічної
провідності контакту – числа Біо) температури поверхонь півпросторів вирівню-
ються.
Температура, обчислена за припущення про розподіл тепла між співдотич-
ними тілами в рівних частинах (γ = 0,5), суттєво різниться від температури, знай-
деної за точного значення γ = 0,392, для значень числа Біо 0 ≤ Bi ≤ 10 (рис. 3).
Еволюцію температури для змінної з часом потужності тертя (гальмування
зі сталим сповільненням) можна умовно поділити на три періоди (рис. 2b). Пер-
ший (0 ≤ τ/τs ≤ 0,2) характеризується великою швидкістю ковзання та низькою
температурою робочих поверхонь. Впродовж другого періоду 0,2 ≤ τ/τs ≤ 0,7
швидкість ковзання ще значна, а температура співдотичних поверхонь швидко
підвищується і приблизно посередині гальмівного шляху досягає максимального
значення та починає знижуватись. При 0,7 ≤ τ/τs ≤ 1 швидкість ковзання близька
до нуля, а температура знижується. Якісний вплив числа Біо та коефіцієнта розпо-
ділу теплових потоків на температуру такий же, як і за сталої потужності тертя.
ВИСНОВКИ
Найзагальнiшими крайовими умовами неповного теплового контакту на по-
верхні тертя на сьогодні є умови Барбера (3), (4) або (8), (9). Вони допускають
безпосередні граничні переходи як до повного теплового контакту тіл, що труть-
ся (h → ∞), так і до повного їхнього відокремлення і розгляду теплових задач
тертя окремо для кожного елемента фрикційної пари (h → 0). Теплові крайові
умови Підстригача–Гриліцького (8), (10) отримуємо, поклавши γ = 0,5 в умовах
Барбера (8), (9), тобто нав’язавши трибосистемі однакову кількість тепла, що по-
глинається кожним зі співдотичних тіл. Однак таке припущення є правомірне,
якщо теплофізичні властивості цих тіл однакові чи незначно різняться, або ро-
бочі поверхні тіл є достатньо гладенькі, щоб знехтувати контактним термоопором.
Слабким місцем теплових крайових умов Барбера є додатковий вхідний па-
раметр – коефіцієнт розподілу теплових потоків γ. Тільки за фрикційного кон-
такту півпросторів із однаковими температурами на безмежності вищенаведена
формула Шаррона для знаходження γ є точна. Більшість інших формул для ви-
значення γ отримані на підставі експериментальних даних. Чітких рекомендацій
щодо вибору тієї чи іншої формули практично немає, а їх вплив на температуру
може бути значним [17].
33
У формулюванні теплової задачі тертя із крайовими умовами Підстригача–
Гриліцького коефіцієнт розподілу теплових потоків є вихідним параметром – йо-
го знаходять з умов рівності знайдених попередньо середніх або максимальних
температур на поверхні контакту. Недоліком цього варіанту крайових умов є не-
точність в обчисленні відповідної температури для малих значень коефіцієнта
термічної провідності.
РЕЗЮМЕ. Получено аналитическое решение нестационарной тепловой задачи тре-
ния для двух полупространств с обобщенными граничными условиями Дж. Барбера при
постоянной удельной мощности трения. На его основании с помощью формулы Дюамеля
построено решение тепловой задачи трения при торможении с постоянным замедлением.
Для фрикционной пары чугун–металокерамика исследовано влияние коэффициентов тер-
мической проводимости контакта и распределения тепловых потоков на температурное
поле трибосистемы.
SUMMARY. The analytical solution of a non-stationary thermal problem of friction for two
semi-spaces with J. Barber generalized boundary conditions at the constant value of the specific
capacity of friction was obtained. On the basis of this solution by means of Duhamel formula the
corresponding solution of a thermal friction problem during braking with constant retardation
was constructed. For a friction couple cast iron-metal ceramic the influence of the coefficients of
thermal conductivity of the contact and distribution of the heat fluxes on the temperature field in
tribosystem was investigated.
Роботу виконано в межах гранту № 2011/01/B/ST8/07446 Національного
Центру Науки Республіки Польща.
1. Расчет, испытание и подбор фрикционных пар / А. В. Чичинадзе, Э. Д. Браун, А. Г. Гинз-
бург, З. В. Игнатьева. – М.: Наука, 1979. – 268 с.
2. Yevtushenko A. A. and Kuciej M. One-dimensional thermal problem of friction during
braking: The history of development and actual state // Int. J. Heat Mass Transfer. – 2012.
– 55, № 15–16. – P. 4148–4153.
3. Беляков Н. С., Носко А. П. Неидеальный тепловой контакт тел при трении. – М.: Книж-
ный дом “ЛИБРОКОМ”, 2010. – 104 с.
4. Переверзева О. В., Балакин В. А. Распределение теплоты между трущимися телами // Тре-
ние и износ. – 1992. – 13, № 3. – С. 507–516.
5. Barber J. R. The conduction of heat from sliding solids // Int. J. Heat. Mass Tran. – 1970.
– 13, № 5. – P. 857–869.
6. Підстригач Я. С. Умови теплового контакту тіл // Доп. АН УССР. – 1963. – № 7. – С. 872–874.
7. Подстригач Я. С. Температурное поле в системе твердых тел, сопряженных с помощью
тонкого промежуточного слоя // Инж.-физ. журнал. – 1963. – 1, № 10. – С. 129–136.
8. Гриліцький Д. В. Система сингулярних інтегральних рівнянь для плоскої контактної за-
дачі термопружності при стаціонарному тепловиділенні на площадці контакту // Віс-
ник Львівського ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1984. – Вип. 22. – С. 29–34.
9. Гриліцький Д. В., Баран В. П. Про постановку контактних задач термопружності при не-
ідеальному тепловому контакті тіл // Там же. – 1987. – Вип. 27. – С. 10–13.
10. Гриліцький Д. В., Євтушенко О. О. Контактні задачі термопружності з врахуванням
теплоутворення // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1992. – Вип. 35. – С. 93–100.
11. Гриліцький Д. В. Термопружні контактні задачі в трибології. – К.: Ін-т змісту і методів
навчання Міністерства освіти України, 1996. – 204 с.
12. Ling F. F. A quasi-iterative method for computing interface temperature distribution
// Z. Angew. Math. Phys. – 1959. – 10, № 5. – С. 461–475.
13. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964. – 488 с.
14. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. – М.: Наука, 1979. – 830 с.
15. Лыков А. В. Теория теплопроводности. – М.: Высш. шк., 1967. – 599 с.
16. Fazekas G. A. G. Temperature gradient and heat stresses in brakes drums // SAE. Trans.
– 1953. – 61, № 1. – P. 279–284.
17. Yevtushenko A. and Grzes P. Finite element analysis of heat partition in a pad/disc brake
system // Numerical Heat Transfer, Part A. – 2011. – 59, № 7. – P. 521–542.
Одержано 13.07.2012
|