Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів
Запропоновано підхід до дослідження термомеханічних станів у шаруватих пластично деформівних термочутливих тілах довільної геометричної форми з довільною орієнтацією поверхонь розмежування шарів. Він базується на формулюванні задачі нестаціонарної теплопровідності, задачі теорії пластичного неізотер...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2014
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134428 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів / В.С. Михайлишин // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 32-38. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-134428 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1344282018-06-14T03:05:43Z Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів Михайлишин, В.С. Запропоновано підхід до дослідження термомеханічних станів у шаруватих пластично деформівних термочутливих тілах довільної геометричної форми з довільною орієнтацією поверхонь розмежування шарів. Він базується на формулюванні задачі нестаціонарної теплопровідності, задачі теорії пластичного неізотермічного течіння, розрахункових схемах методу скінченних елементів та відповідному програмному забезпеченні. Вивчено термомеханічну поведінку двошарової сфери за швидкого охолодження від початкової однорідної температури. Предложен подход к исследованию термомеханических состояний в слоистых пластически деформируемых термочувствительных телах произвольной геометрической конфигурации с произвольной ориентацией поверхностей разграничения слоев. Он базируется на формулировании задачи нестационарной теплопроводности, задачи теории пластического неизотермического течения, расчетных схемах метода конечных элементов и соответствующем программном обеспечении. Изучено термомеханическое поведение двухслойной сферы при быстром охлаждении от начальной однородной температуры. The approach to investigation of the thermomechanical states in the layered plastic deformable thermal sensitive solids with arbitrary geometric configuration and arbitrary orientation of the layers delimiting surfaces is proposed. The approach is based on the formulation of the nonstationary heat conductivity problem, the problem of plastic non-isothermal yielding, computation finite element schemes and suitable software. The thermomechanical behaviour of the two-layer sphere under quick cooling from the initial temperature is investigated. 2014 Article Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів / В.С. Михайлишин // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 32-38. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134428 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано підхід до дослідження термомеханічних станів у шаруватих пластично деформівних термочутливих тілах довільної геометричної форми з довільною орієнтацією поверхонь розмежування шарів. Він базується на формулюванні задачі нестаціонарної теплопровідності, задачі теорії пластичного неізотермічного течіння, розрахункових схемах методу скінченних елементів та відповідному програмному забезпеченні. Вивчено термомеханічну поведінку двошарової сфери за швидкого охолодження від початкової однорідної температури. |
| format |
Article |
| author |
Михайлишин, В.С. |
| spellingShingle |
Михайлишин, В.С. Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Михайлишин, В.С. |
| author_sort |
Михайлишин, В.С. |
| title |
Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів |
| title_short |
Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів |
| title_full |
Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів |
| title_fullStr |
Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів |
| title_full_unstemmed |
Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів |
| title_sort |
розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134428 |
| citation_txt |
Розв’язання задачі термопластичності для шаруватої сфери методом скінченних елементів / В.С. Михайлишин // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 32-38. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT mihajlišinvs rozvâzannâzadačítermoplastičnostídlâšaruvatoísferimetodomskínčennihelementív |
| first_indexed |
2025-07-09T21:26:08Z |
| last_indexed |
2025-07-09T21:26:08Z |
| _version_ |
1837206204665823232 |
| fulltext |
32
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2014. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТІ ДЛЯ ШАРУВАТОЇ
СФЕРИ МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ
В. С. МИХАЙЛИШИН
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів
Запропоновано підхід до дослідження термомеханічних станів у шаруватих пластич-
но деформівних термочутливих тілах довільної геометричної форми з довільною
орієнтацією поверхонь розмежування шарів. Він базується на формулюванні задачі
нестаціонарної теплопровідності, задачі теорії пластичного неізотермічного течіння,
розрахункових схемах методу скінченних елементів та відповідному програмному
забезпеченні. Вивчено термомеханічну поведінку двошарової сфери за швидкого
охолодження від початкової однорідної температури.
Ключові слова: шаруваті тіла, температура, напруження, деформації, пластичне
деформування, термочутливість, зміцнення, метод скінченних елементів.
Питання про визначення нестаціонарних температурних полів на основі тео-
рії теплопровідності з урахуванням можливості пластичного деформування про-
сторово неоднорідних тіл, в т. ч. шаруватих, термочутливості і зміцнюваності ма-
теріалів залишаються поза увагою. Проаналізовані [1–3] різні аспекти досліджен-
ня термомеханічних процесів у шаруватих тілах. Запропонований підхід дає
можливість вивчати ці явища у неоднорідних, в т. ч. шаруватих, тілах складної
геометричної форми за нестаціонарного теплового режиму, довільної орієнтації
поверхонь розмежування шарів, урахування зміцнювальних факторів під час
пластичного деформування, не функціонально заданого характеру температурної
залежності термомеханічних характеристик матеріалу, сумісної дії силового та
температурного навантажень.
Постава задачі. Розглядувані процеси вважали квазістатичними та геомет-
рично лінійними за можливих великих переміщень. Тіла термочутливі в досліджу-
ваних температурних діапазонах і зміцнювані під час пластичного деформуван-
ня. Впливом масових сил нехтували. Формулюючи задачі механіки для шарува-
тих тіл, припускають [4], що поверхня, яка обмежує тіло, і поверхні розмежуван-
ня суміжних шарів паралельні до координатних поверхонь. Тут такі обмеження
відсутні. Термомеханічні стани вивчали в зайнятій тілом початковій недеформо-
ваній області 0Ω з межею 0Γ відносно декартової системи координат (x1, x2, x3).
Тіло складається з N шарів, розділених поверхнями kη= η (k = 1, 2, …, N–1).
Припускали ідеальний тепловий контакт між шарами і під час деформування ви-
ключали відрив між шарами та їх проковзування. Нестаціонарний тепловий про-
цес, спричинений охолодженням від початкової температури { }( )0T x внаслідок
конвективного теплообміну зі середовищем, описує рівняння теплопровідності
[5] з відповідними початковою та крайовою умовами. За припущення теплового
контакту між шарами маємо неперервність температур на розмежувальних по-
верхнях kη= η та рівність теплових потоків [4] крізь них.
Контактна особа: В. С. МИХАЙЛИШИН, e-mail: vira.mykhailyshyn@gmail.com
33
Задачу про напружено-деформований стан закріпленого на частині 0 0uΓ ⊂ Γ
шаруватого тіла, що виникає через неоднорідність температурного поля Т і (або)
механічних зусиль, прикладених до частини 0 0σΓ ⊂ Γ ( 0 0 0u σΓ Γ = Γ∪ ,
0 0u σΓ Γ =∅∩ , { }u – вектор переміщень), формулюємо в змінних Лаґранжа як
систему рівнянь, яка охоплює рівняння рівноваги [6], геометричне лінійне спів-
відношення [6], рівняння стану теорії пластичного неізотермічного течіння з ізо-
тропно-кінематичним зміцненням [7]
{ } [ ]( )
( )
[ ]( ) { } { } [ ]( )
( ) ( ) { } { }( )2
9
34
t tk t dt k t dt
k t dt T
k t k t dtt
i
D s s D
d D d d
H G
+ +
+
+
⎛ ⎞′
⎜ ⎟
⎜ ⎟σ = − ⋅ ε − ε +
⎜ ⎟+σ⎜ ⎟
⎝ ⎠
[ ]( )
( )
[ ]( ) { } { } [ ]( )
( ) ( ) { } { } { }2
9
34
t tk t dt k
t ttk p T
k t k t dtt
i
D s s dD
dD
H G
+
+
⎛ ⎞′
⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ⋅ ε − ε − ε +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠+σ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1)
[ ]( ) { }
( ) ( )
3
32
ttk t dt i
t k t k t dt
i
D s
T dT
H G
+
+
∂σ
∂+ ⋅
+σ
з крайовими умовами для заданого статичного механічного навантаження за кон-
кретних умов його закріплення. Крім крайових умов на поверхні 0Γ , яка обме-
жує тіло, задані умови спряження шарів на поверхнях kη= η . Для жорстко зв’я-
заних шарів, коли виключаємо їх відрив і проковзування, ці умови записані в
праці [4]. У формулі (1) використані позначення { }ε , { }pε , { }Tε для векторів
повної, пластичної та температурної деформацій Гріна [6]; { }σ – для вектора
напружень Піоли–Кірхгофа другого роду [6]; { }s – для вектора девіаторних ком-
понент тензора напружень, віднесених до центра поверхні текучості у просторі
напружень [7]; iσ – для інтенсивності напружень Коші; { } { }3
2
i s s
′
σ = – для ін-
тенсивності напружень { }s . Матриці [D] і [dD] – матриці пружних сталих та їх
приростів, пов’язаних зі зміною температури; H – поточне значення тангенса
кута нахилу кривої деформування матеріалу; G – модуль пружності за зсуву. У
векторних поданнях тензорних величин для деформацій компоненти тензора
розміщені подібно, як у векторі { } { }11 22 33 12 13 23, , , 2 , 2 , 2 ′ε = ε ε ε ε ε ε ; у векторних
поданнях для напружень – як у векторі { } { }11 22 33 12 13 23, , , , , ′σ = σ σ σ σ σ σ , де
“штрих” означає операцію транспонування. Верхні індекси t, t + dt і (k) відно-
сяться до величин для k-го шару в моменти деформування t, t + dt відповідно.
Рівняння стану (1) [7] розвинули, використовуючи відомі результати [8],
шляхом конкретизації похідних від лівої частини умови текучості. Нижче вико-
ристовуємо модифіковану для ізотропно-кінематичного зміцнення умову текучо-
сті Мізеса [7], записану єдиним виразом у праці [9]:
{ } { } ( )3
2
mt t p t
T is s b∗
′
= σ +β ε , 0 1∗≤ β ≤ , (2)
34
{ } { } { } 01,1,1, 0, 0, 0 ,
t t ts ′= σ − σ { } { } { } ,
t t tσ = σ − γ
{ } { } { }( )0
1 1,1,1, 0, 0, 0
3
t t tσ = σ − γ .
Тут β*, b, m – параметри ізотропного зміцнення матеріалу; { } { }2
3
pt p p
i
′
ε = ε ε –
інтенсивність пластичних деформацій; {γ} – центр поверхні текучості, яку опи-
сує співвідношення (2) і яка обмежує в просторі напружень область пружного
деформування. Зміщення центра {γ} поверхні текучості є параметром кінематич-
ного зміцнення матеріалу і змінюється за правилом Ціглера [10]:
{ } { } { }( )t td dγ = µ σ − γ . (3)
Явний вигляд множника dµ, отриманий раніше [9] для критерію текучості (2),
є аналогом відомого співвідношення [8], записаного в неявній формі. За певних
властивих матеріалу значень параметрів β*, b, m і змінних згідно з формулою (3)
значень {γ} прогнозовані результати достатньо добре узгоджуються з експеримен-
тальною кривою деформування матеріалу [7]. Тому таке ізотропно-кінематичне
наближення зміцнювальних властивостей матеріалу ({γ} ≠ 0 (t > 0), 0 < β* ≤ 1)
фізично обґрунтоване.
Сформульована задача описує нестаціонарні теплові процеси і їхній вплив
та (або) вплив статичних механічних навантажень на механічні процеси у шару-
ватих пластично деформівних термочутливих зміцнюваних тілах зі сталими за
фіксованої температури та в межах кожного шару тепломеханічними характери-
стиками.
Методика розв’язування задач. Запропонований наближений підхід до
розв’язування задач базується на методі скінченних елементів (МСЕ). Програмне
забезпечення для розв’язування двовимірних задач про напружено-деформова-
ний стан ґрунтується на принципі віртуальної праці [6].
МСЕ для фізично нелінійної задачі про визначення напружено-деформова-
ного стану реалізується для апроксимованої за методом “кроків” лінеаризованої
задачі [11]. Деякі принципові аспекти організації обчислювального процесу, зо-
крема формування послідовності апроксимованих за методом “кроків” задач, лі-
неаризація рівняння стану за методом змінних параметрів пружності або методом
додаткових навантажень, конструювання лінеаризувального ітераційного проце-
су, отримання ключових рівнянь МСЕ відповідно до рівняння стану (1) висвіт-
лені раніше [11, 12].
Термомеханічні процеси у двошаровій сфері за охолодження. Вивчали
термомеханічний процес у порожнистій двошаровій сфері з теплоізольованою
внутрішньою поверхнею радіуса R1 та зовнішньою радіуса R2 (рис. 1). Сфера охо-
лоджується від початкової однорідної температури T0 шляхом конвективного
теплообміну зі середовищем через зовнішню поверхню.
Досліджували в сферичній системі координат ( ), ,r θ ϕ . Поверхня 1 1rη = =
( )1 2 / 2R R= + розмежовує перший зовнішній та другий внутрішній шари. Через
симетричність геометричної конфігурації та умов навантаження розраховували в
області 0Ω , яка є четвертою частиною діаметрального перерізу сфери (рис. 1).
Розв’язували задачу теплопровідності за початкової умови 0 0tT T= = . За
термоізоляції внутрішньої поверхні, конвективного теплообміну через зовнішню
35
межу 2r R= і відсутності теплових потоків крізь межі 01Γ та 02Γ області 0Ω
крайові умови задачі теплопровідності мають вигляд
( )
2
1 ( )q A
r R
T T T
r =
∂
−λ = β −
∂
,
0
0T
θ=
∂
=
∂θ
,
/ 2
0T
θ=π
∂
=
∂θ
,
де ( )1
qλ – коефіцієнт теплопровідності матеріалу зовнішнього шару; β – коефіці-
єнт тепловіддачі; TA – температура середовища. За ідеального теплового контакту
неперервність температур при 1r r= та рівність теплових потоків через межу
1r r= описують співвідношення
( ) ( )
1 1
1 2
r r r rT T= == ,
( )
( )
( )
( )
1 1
1 2
1 2
q q
r r r r
T T
r r= =
∂ ∂
λ = λ
∂ ∂
,
де ( )2
qλ – коефіцієнт теплопровідності
внутрішнього шару; Т(1), Т(2) – темпера-
тури у зовнішньому та внутрішньому
шарах.
Для задачі про температурні на-
пруження, спричинені цим тепловим
процесом, крайові умови на перерізах
01Γ , 02Γ (рис. 1) мають вигляд
0 0uθ θ= = , / 2 0uθ θ=π = ,
а якщо 1r R= та 2r R= , тоді
1
0r r R=σ = ,
2
0r r R=σ = ,
що означає відсутність механічних на-
вантажень на внутрішню та зовнішню
поверхні сфери. Припускаючи, що шари
жорстко зв’язані, умови на розмежу-
вальній поверхні 1r r= запишемо так:
{ }( ) { }( )
1 1
1 2
r r r ru u= == , ( ) ( )
1 1
1 2
r r r r r r= =σ = σ , ( ) ( )
1 1
1 2
r r r rr r= =θ θσ = σ ,
де індекси (1) та (2) стосуються переміщень та напружень у зовнішньому та внут-
рішньому шарах відповідно.
Розраховували термомеханічні стани для сфери із внутрішнім радіусом R1 =
= 0,05 m, зовнішнім R2 = 0,1 m. Зовнішній шар виготовлений зі сталі 0Х13, внут-
рішній – зі сплаву ТС-5. Температура середовища TA = 20°C. На термочутливість
цих матеріалів вказують відомі довідкові дані [13, 14]. Для сталі температурна
залежність межі текучості σT проявляється у її лінійному пониженні від 96 MPa
при 20°C [7] до 1 MPa при 1000°C. Сталими є питома об’ємна теплоємність
C = 3592,44 kJ·m–3·K–1 та коефіцієнт лінійного температурного розширення αT =
= 11,0·10–6·K. Параметри ізотропного зміцнення, що входять у праву частину
умови текучості (2) [9], такі: β* = 0,515; b = 2208 MPa, m = 0,435 [7]. Параметр кі-
нематичного зміцнення { } 0tγ ≠ ( 0t > ) визначає формула (3). Для сплаву питома
Рис. 1. Розрахункова область та
скінченноелементна дискретизація.
Fig. 1. Calculated domain
and finite element discretization.
36
об’ємна теплоємність стала і дорівнює 2401 kJ·m–3·K–1 [14]. Через відсутність до-
відкових даних сплав змодельовано як ідеальний пружно-пластичний.
t = 3 s, NSSS = 30 t = 420 s, NSSS = 63
Рис. 2. Розподіл за радіальною координатою r температури (а) та напружень
у двошаровій сфері зі сталі 0Х13 за моделювання матеріалу ідеальним (b), кінематично (с)
та ізотропно-кінематично (d) зміцнюваним: 1, 2 – напруження σr і σϕ ≈ σθ;
3 – інтенсивність напружень σi; β = 56 kW⋅m–2⋅K–1.
Fig. 2. Distribution by the radial coordinate r of temperature (а) and stresses in a two-layer
sphere of 0Х13 steel for modelling the material by ideal (b), kinematic (c)
and isotropic-kinematic (d) hardened: 1 – stresses σr and σϕ ≈ σθ;
3 – stress intensity σi; β = 56 kW⋅m–2⋅K–1.
37
Розв’язували задачі за дискретизації області 0Ω сіткою зі 150 скінченних
елементів (див. рис. 1). Сітка утворена перетином концентричних дуг радіальни-
ми прямими за рівномірного поділу відрізка [ ]1 2,R R на 10 відрізків і рівномірно-
го поділу кута [ ]0, / 2π на 15 кутів. Для температури T0 = 400°C проаналізовано
результати впливу на напружено-деформований стан нестаціонарного режиму
охолодження сфери через поверхню 2r R= з коефіцієнтом тепловіддачі β =
= 56 kW·m–2·K–1. Розглянуті випадки модельного наближення матеріалу ідеаль-
ним пружно-пластичним, кінематично та ізотропно-кінематично зміцнюваним
(рис. 2).
У результаті розв’язування задачі теплопровідності з початковим кроком за
часом (∆t)0 = 1 s і укрупненими часовими кроками в подальших обчисленнях от-
римали за дискретизації на NT = 680 кроків нестаціонарне віднесене до вузлів
скінченноелементної сітки температурне поле. Тривалість теплового процесу
t* = 7 min. Наприкінці реалізується практично рівномірний розподіл температури
T ≈ 20°C. Укрупнення інтервалів часу зі зменшенням градієнтності температур-
ного поля пов’язане із недоцільністю більшої кількості розрахунків зі збережен-
ням приблизно такої ж точності. Результати розрахунку температурного поля
проілюстровані для моменту t = 3 s та кінцевого 420 s. Інформація про тепловий
режим у вигляді розподілів температури для дискретних моментів часу є вхідною
для задачі про напруження.
Задачу теплопровідності і задачу визначення напружено-деформованого ста-
ну розв’язували за різної дискретизації часу охолодження. Розрахункові темпера-
турні напруження отримані впродовж NSSS = 63 кроків, для яких прирости часу є
більші, ніж для задачі теплопровідності. Укрупнювали проміжки часу, щоб забез-
печити вищу швидкість обчислень за збереження точності. Отримали розподіл
напружень у сфері, поданий на рис. 2, вздовж перерізу А (рис. 1), який перетинає
точки інтегрування скінченних елементів.
Встановлено, що за цих умов охолодження пластичне деформування матері-
алу починається на початкових кроках і спричинене високими градієнтами тем-
ператур в околі поверхні 2r R= . Суттєві напруження локалізовані в цій зоні як
для ідеальних матеріалів, так і для модельованих наближень зміцнювальних вла-
стивостей. Однак для ідеальних матеріалів вони є найменшими, а для ізотропно-
кінематично зміцнюваного – найбільшими (рис. 2). Результати на основі моделі
ізотропно-кінематичного зміцнення фізично обґрунтованіші, оскільки узгоджу-
ються з експериментальними кривими деформування матеріалів. В околі поверх-
ні розмежування 1r r= характер поведінки напруженого стану помітно змінюєть-
ся, і суттєвіше – для залишкових напружень, набутих внаслідок повного охоло-
дження. Однак максимальні залишкові напруження, локалізовані поблизу зов-
нішньої поверхні, є стискальні і тому менш небезпечні, ніж розтягальні залишко-
ві в зоні контакту шарів (рис. 2).
ВИСНОВКИ
Сформульовано задачу термомеханіки для неоднорідних, у т. ч. шаруватих,
пластично деформівних термочутливих зміцнюваних тіл. Розроблено наближену
методику її розв’язання та відповідне програмне забезпечення. Встановлено зако-
номірності виникнення напруженого стану у двошаровій сфері за швидкого охо-
лодження через зовнішню поверхню від початкової температури 400°C до темпе-
ратури середовища. Ці закономірності полягають у помітній зміні напружень в
околі поверхні розмежування 1r r= та формуванні значних стискальних напру-
жень поблизу поверхні 2r R= з інтенсивною віддачею тепла.
38
РЕЗЮМЕ. Предложен подход к исследованию термомеханических состояний в сло-
истых пластически деформируемых термочувствительных телах произвольной геометри-
ческой конфигурации с произвольной ориентацией поверхностей разграничения слоев.
Он базируется на формулировании задачи нестационарной теплопроводности, задачи тео-
рии пластического неизотермического течения, расчетных схемах метода конечных элемен-
тов и соответствующем программном обеспечении. Изучено термомеханическое поведе-
ние двухслойной сферы при быстром охлаждении от начальной однородной температуры.
SUMMARY. The approach to investigation of the thermomechanical states in the layered
plastic deformable thermal sensitive solids with arbitrary geometric configuration and arbitrary
orientation of the layers delimiting surfaces is proposed. The approach is based on the formula-
tion of the nonstationary heat conductivity problem, the problem of plastic non-isothermal
yielding, computation finite element schemes and suitable software. The thermomechanical be-
haviour of the two-layer sphere under quick cooling from the initial temperature is investigated.
Дослідження виконано за часткової фінансової підтримки Державного фон-
ду фундаментальних досліджень (проект № Ф41.2/001).
1. Fiolka M. and Matzenmiller A. On the resolution of transverse stresses in solid-shells with a
multi-layer formulation // Communications in Numerical Methods in Engnng. – 2007. – 23,
№ 4. – P. 313–326.
2. Григоренко Я. М., Будак В. Д., Григоренко О. Я. Розв’язання задач теорії оболонок на
основі дискретно-континуальних методів: Навч. пос. – Миколаїв: Іліон, 2010. – 294 с.
3. Феденко В. И. Неупругая деформация многослойного материала при растяжении
вдоль его слоев // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. Зб.
наук. пр. Дніпропетр. нац. ун-ту. – Дніпропетровськ, 2011. – Вип. 17. – С. 254–260.
4. Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Панкратова Н. Д. Задачи теории упругости неодно-
родных тел / Отв. ред. В. Г. Карнаухов. – К.: Наук. думка, 1991. – 216 с.
5. Коваленко А. Д. Термоупругость. – К.: Вищ. шк., 1975. – 216 с.
6. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / Пер. с англ.
– М.: Мир, 1987. – 542 с.
7. Морозов Е. М., Никишков Г. П., Черныш Т. А. Неизотермическая модель упругоплас-
тического тела с комбинированным законом упрочнения и ее применение для МКЭ-
расчета тел с трещинами // Аналитические и численные методы решения краевых
задач пластичности и вязкоупругости. – Свердловск: Уральск. науч. центр АН СССР,
1986. – С. 87–94.
8. Allen D. H. and Haisler W. E. A theory for analysis of thermoplastic materials // Comput. &
Struct. – 1981. – 13, № 1. – P. 129–135.
9. Гачкевич О. Р., Михайлишин В. С. Математичне моделювання і дослідження напруже-
ного стану тіл у процесі охолодження при високотемпературному відпалі // Мат. мето-
ди та фіз.-мех. поля. – 2004. – 47, № 3. – С. 186–198.
10. Ziegler H. A modification of Prager’s hardening rule // Quart. Appl. Math. – 1959. – 17.
– P. 55–65.
11. Михайлишин В. С. Ітераційні процедури для задач неізотермічної пружно-пластичнос-
ті з ізотропно-кінематичним зміцненням // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1999. – 35,
№ 4. – С. 102–112.
(Mykhailyshyn V. S. Iterative procedures for problems of nonisothermal elastoplasticity with
isotropic kinematic hardening // Materials Science. – 1999. – 35, № 4. – P. 561–571.)
12. Гачкевич О., Михайлишин В., Равська-Скотнічна А. Числова методика розв’язування
задач термомеханіки тіл у разі охолодження в процесі високотемпературного відпалю-
вання // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика. – 2007. – Вип. 12.
– С. 78–92.
13. Францевич И. Н., Воронов Ф. Ф., Бакута С. А. Упругие постоянные и модули упругос-
ти металлов и неметаллов: Справ. / Под ред. И. Н. Францевича. – К.: Наук. думка,
1982. – 288 с.
14. Лившиц Б. Г., Крапошин В. С., Липецкий Я. Л. Физические свойства металлов и спла-
вов. – М.: Металлургия, 1980. – 320 с.
Одержано 18.12.2012
|