Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною
Досліджено залежність коефіцієнтів інтенсивності напружень у тілі з крайовою довільно орієнтованою тріщиною від радіуса закруглення R країв основи контртіла, яке втискають з однобічним тертям у пошкоджене тіло в околі гирла тріщини. Це тіло у межах двовимірної задачі змодельовано пружною півплощиною...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134432 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною / О.П. Дацишин, В.В. Панасюк, Р.Є. Пришляк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 7-17. — Бібліогр.: 20 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-134432 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1344322018-06-14T03:05:59Z Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною Дацишин, О.П. Панасюк, В.В. Пришляк, Р.Є. Досліджено залежність коефіцієнтів інтенсивності напружень у тілі з крайовою довільно орієнтованою тріщиною від радіуса закруглення R країв основи контртіла, яке втискають з однобічним тертям у пошкоджене тіло в околі гирла тріщини. Це тіло у межах двовимірної задачі змодельовано пружною півплощиною з крайовим розрізом, а дію контртіла – навантаженням, яке відображає розподіл тиску, установлений В. М. Александровим і Б. Л. Ромалісом, у зоні контакту двох пружних циліндрів з початковою смугою контакту. Числові результати отримано для однакових матеріалів контактних тіл для півдовжини початкової ділянки контакту b = [5; 10] mm і радіуса R = [0,1; 1,0; 10,0; 100,0] mm, а також кута нахилу крайової тріщини, відносного розміщення контртіла і тріщини та її довжини. Исследована зависимость коэффициентов интенсивности напряжений в теле с краевой произвольно ориентированной трещиной от радиуса закругления R краев основы контртела, вдавливаемого с трением в поврежденное тело в окрестности устья трещины. Это тело в рамках двумерной задачи смоделировано упругой полуплоскостью с краевым разрезом, а действие контртела – модельной нагрузкой, отображающей распределение давления, установленное В. М. Александровым и Б. Л. Ромалисом, в зоне контакта двух упругих цилиндров с начальной полосой контакта. Числовые результаты получены для одинаковых материалов контактирующих тел для значений полудлины начального участка контакта b = [5; 10] mm и радиуса R = [0,1; 1,0; 10,0; 100,0] mm, а также для угла наклона краевой трещины, относительного размещения контртела и трещины и ее длины. Dependence of the stress intensity factors in a body with an edge arbitrary oriented crack on the curvature radius R of the edges of counterbody base, pressed with unilateral friction into a cracked body near the crack mouth, is investigated. This body has been modeled within a two-dimensional problem as an elastic half-plane with an edge cut, and counterbody action – as a load modeling the pressure distribution, established by V. M. Aleksandrov & B. L. Romalis, in the contact zone of two elastic cylinders with initial contact strip. Numerical results were obtained for identical materials of contact solids for values of half-length of the initial contact area b = [5; 10] mm and radius R = [0.1; 1.0; 10.0; 100.0] mm, as well as inclination angle of an edge crack, relative position of a counterbody and crack and its length. 2014 Article Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною / О.П. Дацишин, В.В. Панасюк, Р.Є. Пришляк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 7-17. — Бібліогр.: 20 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134432 539.375 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Досліджено залежність коефіцієнтів інтенсивності напружень у тілі з крайовою довільно орієнтованою тріщиною від радіуса закруглення R країв основи контртіла, яке втискають з однобічним тертям у пошкоджене тіло в околі гирла тріщини. Це тіло у межах двовимірної задачі змодельовано пружною півплощиною з крайовим розрізом, а дію контртіла – навантаженням, яке відображає розподіл тиску, установлений В. М. Александровим і Б. Л. Ромалісом, у зоні контакту двох пружних циліндрів з початковою смугою контакту. Числові результати отримано для однакових матеріалів контактних тіл для півдовжини початкової ділянки контакту b = [5; 10] mm і радіуса R = [0,1; 1,0; 10,0; 100,0] mm, а також кута нахилу крайової тріщини, відносного розміщення контртіла і тріщини та її довжини. |
| format |
Article |
| author |
Дацишин, О.П. Панасюк, В.В. Пришляк, Р.Є. |
| spellingShingle |
Дацишин, О.П. Панасюк, В.В. Пришляк, Р.Є. Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Дацишин, О.П. Панасюк, В.В. Пришляк, Р.Є. |
| author_sort |
Дацишин, О.П. |
| title |
Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною |
| title_short |
Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною |
| title_full |
Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною |
| title_fullStr |
Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною |
| title_full_unstemmed |
Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною |
| title_sort |
вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/134432 |
| citation_txt |
Вплив закруглення країв основи контртіла на коефіцієнти інтенсивності напружень у тілі з крайовою тріщиною / О.П. Дацишин, В.В. Панасюк, Р.Є. Пришляк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 1. — С. 7-17. — Бібліогр.: 20 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT dacišinop vplivzakruglennâkraívosnovikontrtílanakoefícíêntiíntensivnostínapruženʹutílízkrajovoûtríŝinoû AT panasûkvv vplivzakruglennâkraívosnovikontrtílanakoefícíêntiíntensivnostínapruženʹutílízkrajovoûtríŝinoû AT prišlâkrê vplivzakruglennâkraívosnovikontrtílanakoefícíêntiíntensivnostínapruženʹutílízkrajovoûtríŝinoû |
| first_indexed |
2025-07-09T20:57:31Z |
| last_indexed |
2025-07-09T20:57:31Z |
| _version_ |
1837204404324794368 |
| fulltext |
7
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2014. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.375
ВПЛИВ ЗАКРУГЛЕННЯ КРАЇВ ОСНОВИ КОНТРТІЛА
НА КОЕФІЦІЄНТИ ІНТЕНСИВНОСТІ НАПРУЖЕНЬ
У ТІЛІ З КРАЙОВОЮ ТРІЩИНОЮ
О. П. ДАЦИШИН, В. В. ПАНАСЮК, Р. Є. ПРИШЛЯК
Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів
Досліджено залежність коефіцієнтів інтенсивності напружень у тілі з крайовою до-
вільно орієнтованою тріщиною від радіуса закруглення R країв основи контртіла,
яке втискають з однобічним тертям у пошкоджене тіло в околі гирла тріщини. Це ті-
ло у межах двовимірної задачі змодельовано пружною півплощиною з крайовим
розрізом, а дію контртіла – навантаженням, яке відображає розподіл тиску, установ-
лений В. М. Александровим і Б. Л. Ромалісом, у зоні контакту двох пружних цилінд-
рів з початковою смугою контакту. Числові результати отримано для однакових ма-
теріалів контактних тіл для півдовжини початкової ділянки контакту b = [5; 10] mm і
радіуса R = [0,1; 1,0; 10,0; 100,0] mm, а також кута нахилу крайової тріщини, віднос-
ного розміщення контртіла і тріщини та її довжини.
Ключові слова: контактна пара, тріщина, контактний тиск, коефіцієнти інтен-
сивності напружень, закруглення основи контртіла.
Профілі елементів багатьох номі-
нально нерухомих з’єднань є прямокут-
ними, і в зоні їхнього контакту під куто-
вими точками (ребрами) виникає значна
концентрація напружень. Саме там часто
зароджуються тріщини, які стають особ-
ливо небезпечними, коли з’єднання під-
дають експлуатаційним вібраціям, і його
елементи взаємодіють в умовах фретинг-
втоми [1]. Тому на практиці кутові точки
згладжують, закруглюючи краї основ
контактуючих тіл (рис. 1). Як залежить
концентрація напружень і, особливо, кое-
фіцієнти інтенсивності напружень (КІН)
у вершині тріщини, що є в тілі в зоні контакту, від радіуса R закруглення основи
контртіла – важливе і практичне, і теоретичне питання.
Щоб зрозуміти характер взаємодії тіл у з’єднанні, і, зокрема, руйнування в
зоні контакту, часто використовують модельні задачі, коли пошкоджене базове
тіло моделюють пружною півплощиною (циліндром необмеженого радіуса) з трі-
щинами, а дію контртіла – або пружним чи жорстким штампом (рис. 1), або кон-
тактним навантаженням (рис. 2). Задачі про тиск жорсткого штампа з основою
довільної форми на пружну півплощину, послаблену системою криволінійних
тріщин, розглянуто у працях [2–4], а для системи прямолінійних тріщин – асимп-
тотичними підходами в [5]. Зокрема, за втискання у півплощину жорсткого
прямокутного штампа отримано КІН для внутрішньої вертикальної тріщини [2],
Контактна особа: О. П. ДАЦИШИН, e-mail: datsyshy@ipm.lviv.ua
Рис. 1. Модельна схема контактної
взаємодії.
Fig. 1. Model scheme of contact interaction.
8
горизонтальної і вертикальної тріщин [3], а також нахиленої крайової [6] у пів-
площині. Ці задачі зведено до сингулярних інтегральних рівнянь. Хасебе та Квін
[7] розглядали півплощину з нахиленою крайовою тріщиною під дією штампа,
один із країв якого закруглений, а другий – гострий, використовуючи метод
конформних відображень. Перші розв’язки у цьому напрямі отримали Тоноян та
Мінасян [8] методом дуальних інтегральних рівнянь.
Серед досліджень, присвячених
впливу модельних контактних наванта-
жень на КІН, можна виокремити два на-
прямки: задачі про контактну взаємодію
кочення і взаємодію фретинг-втоми. У
першому випадку дію контртіла моделю-
ють або зосередженою силою, або еліп-
тичним (герцівським) розподілом зусиль,
які переміщуються вздовж краю півпло-
щини. Такі розвідки започаткували Кір і
Брайант [9] і розвинули багато науковців
[4, 10–13]. За контактної взаємодії фре-
тинг-втоми як модельне навантаження
найчастіше використовують рівномірно розподілений тиск, зосереджену силу,
еліптичний, лінійний, параболічний та інші розподіли. Тут зацікавлюють резуль-
тати Руке і Джонса [14] та Едвардса [15]. Однак у них основа контртіла є здебіль-
шого гладкою і випуклою або прямокутною без закруглень, і це закладено в моде-
лях контактних навантажень, тобто відсутня інформація про вплив радіуса закруг-
лення країв основи контртіла на КІН біля вершин тріщин, що є в зоні контакту.
Нижче, продовжуючи розпочаті дослідження [11], розв’язали задачу про на-
пружено-деформований стан в околі вершини крайової тріщини у пружній пів-
площині під дією на її краю модельного навантаження, яке відтворює розподіл
тиску, що виникає під час вдавлювання плоского пружного штампа з горизон-
тальною прямолінійною основою із закругленими краями з довільним радіусом
закруглення R (рис. 2). Такий розподіл установлено з розв’язку контактної задачі
про стискання двох пружних циліндрів уздовж початкової смуги контакту [16]. У
модельному навантаженні передбачено дотичну складову, яка засвідчує у контак-
ті між тілами проковзування з однобічним тертям. Задачу зведено до сингулярно-
го інтегрального рівняння (СІР) і розв’язано числово методом механічних квад-
ратур. Вивчено вплив радіуса закруглення країв штампа (контртіла), тертя між
штампом і півплощиною, розташування, довжини та орієнтації тріщини на КІН.
Розрахункова модель [11]. Нехай одне зі циліндричних тіл, що контакту-
ють, пошкоджене крайовою макротріщиною. Його моделюємо пружною півпло-
щиною з прямолінійним розрізом (тріщиною) (рис. 2), а контактний вплив іншо-
го тіла (контртіла) – дією нормального статичного тиску, розподіленого за пев-
ним законом p(x) на ділянці контакту завдовжки 2a, та однонапрямлених дотич-
них зусиль q(х), пов’язаних з ним за законом Амонтона через коефіцієнт тертя f:
q(x) = fp(x), тобто між тілами діють умови повного проковзування. Закон розпо-
ділу тиску p(x) знаходимо із розв’язку контактної задачі про стискання двох
пружних циліндрів з початковою смугою контакту завдовжки 2b [16].
Віднесемо півплощину до основної системи координат xOy, а контур розрізу
L – до локальної системи координат x1O1y1 (рис. 2). Системи x1O1y1 і xOy пов’язані
співвідношенням 0
1 1
iz z e z− α= + , де комплексна змінна 1 1 1z x iy= + ; α = –β − кут
нахилу осі O1x1 до осі Ox, 0
1z − комплексна координата точки O1 у системі xOy.
Форму контуру L у системі координат x1O1y1 описує параметричне рівняння
Рис. 2. Розрахункова схема задачі.
Fig. 2. Calculation mode of the problem.
9
1 1( ) ( ) ( ), , | | 1t x iy t L= ξ + ξ = ω ξ ∈ ξ ≤ . (1)
Для прямолінійної тріщини довжиною l маємо:
1 1( ) ( ) ( 1) / 2, 0 , | | 1t x l x l= ξ = ω ξ = ξ + ≤ ≤ ξ ≤ .
Сформулюємо крайові умови задачі. На ділянці краю півплощини довжиною
2a задано довільний нормальний тиск p(x), а також зсувні зусилля q (x) так, що
0( ) ( ) ( ) (1 ) , | | , 0y xyx i x p x if x x a yσ − τ = − + − ≤ = ;
0( ) ( ) 0, | | , 0y xyx i x x x a yσ − τ = − > = . (2)
Тут х0 − абсциса середини ділянки зовнішнього навантаження в системі xOy. Вва-
жаємо, що береги тріщини вільні від навантаження і не контактують.
Комплексні потенціали напружень Колосова–Мусхелішілі [17] задачі запи-
шемо у вигляді [18, 19]
02
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 ( )
i i
L
T Tz e g t dt e g t dt z
T z T z T z
α − α⎧ ⎫−⎪ ⎪⎡ ⎤ ′ ′Φ = − + + Φ⎨ ⎬⎢ ⎥π − −⎣ ⎦ −⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ ;
2 2
1 1 1 1 1( ) ( )
2 ( ) ( )
i
L
z Te g t dt
T z T zT z T z
α⎧⎡ ⎤⎪ ⎡′Ψ = − + − +⎢ ⎥⎨ ⎢π − −⎣− −⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎩
∫ (3)
03
( )( ) ( ) ( ) ;
( )
iT T T z e g t dt z
T z
− α ⎫⎤− + ⎪′+ + Ψ⎥ ⎬
− ⎥ ⎪⎦ ⎭
0
1
iT te zα= + ;
тут g′(t) − невідома густина потенціалів, що виражає похідну від розриву перемі-
щень уздовж контуру тріщини; функції Φ0(z) і Ψ0(z) визначають напружений стан
півплощини без розрізу під дією навантаження (2) на краю півплощини і можли-
вого номінального навантаження на нескінченності (розтяг, згин тощо).
Задовольняючи з допомогою потенціалів (3) крайові умови (2), приходимо до
СІР [11] для визначення функції g′(t), яке в нормалізованій формі запишемо так:
1
1
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) , | | 1R S d P
−
⎡ ⎤ξ η ϕ ξ + ξ η ϕ ξ ξ = π η η <⎣ ⎦∫ , (4)
де 2
2
( ) ( ) 1 ( , )( , ) Re ( ) ( )
( ) ( ) ( , ) 2 ( , )
iWR e
W W
α⎡ ⎤′ ′ω η ω η ξ ξ ⎡ ′ ′ξ η = + + ω η + ω η +⎢ ⎥ ⎣ω ξ −ω η ξ η ξ η⎣ ⎦
2 ( ) ( )2 ( )
( , )
ie
W
α ⎤ω ξ −ω η′+ ω η ⎥ξ η ⎦
; (5)
1 ( ) ( )( , )
2 ( ) ( )
S ∂ ω ξ −ω η
ξ η = − +
∂η ω ξ −ω η
1 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( , )( , )
2 ( )( , ) ( , )
i WW e
W W
− − α
⎤⎡′ ′ω η ω ξ −ω η ω η ξ ξ ⎥+ ξ η + +⎢ ′ω η ⎥ξ η⎢ ξ η⎣ ⎦
; (6)
2 0
1( , ) ( ) ( ) 2 Im ; ( ) ( ) ( ) ;i iW e ie z g tα α ′ ′ξ η = ω η −ω ξ − ϕ ξ = ω ξ
[ ]10 0 1
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
P P P p t p t
dtp t t t t t t dt
′η = + η = + ω η
⎡ ⎤′= −Φ −Φ − Φ + Ψ⎣ ⎦
(7)
10
Надалі вважатимемо, що центри O і O1 збігаються, тому 0
1 0z = . Оскільки
прийнято, що береги тріщини не навантажені, то функція p1(t)=0. Інтегральне рів-
няння (4) розв’язуватимемо числово методом механічних квадратур Ґаусса–Чеби-
шова [18, 19]. Для цього шукану функцію подамо у вигляді
2
( )( )
1
u η
ϕ η =
− η
. (8)
Тут u(η) − неперервна на відрізку [–1;1] функція, яка задовольняє додаткову
умову
( 1) 0u − = , (9)
що забезпечує обмеженість розв’язку в точці η = –1 на краю півплощини. Засто-
совуючи квадратурні формули Ґаусса до рівняння (4) і зображаючи функцію
( )u η як інтерполяційний поліном Лаґранжа у вузлах Чебишова, від рівняння (4) і
умови (9) приходимо до системи М лінійних алгебричних рівнянь відносно М не-
відомих ( )ku ξ :
, ,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, 1) ,
M
k m k k m k m
k
R u S u MP m M
=
⎡ ⎤ξ η ξ + ξ η ξ = η = −⎣ ⎦∑
1
2 1( 1) tg ( ) 0
4
M
k
k
k
k u
M=
⎡ ⎤−⎛ ⎞− π ξ =⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ; (10)
тут [ ]cos (2 1) /(2 ) , cos [ / ]k mk M m Mξ = − π η = π − нулі поліномів Чебишова відпо-
відно першого і другого роду. З розв’язку системи (10) знаходимо [19] КІН KI і KII
у вершині тріщини:
I II
1
| (1) |1 2 1( 1) ctg ( )
(1) 4
M
k
k
k
kK iK u
M M=
′π ω ⎡ ⎤−⎛ ⎞− = − π ξ⎢ ⎥⎜ ⎟′ω ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ . (11)
Запишемо тепер комплексні потенціали 0 ( )zΦ і 0 ( )zΨ та знайдемо праву
частину P(η) СІР (4) для розподілу контактних зусиль, поданих на рис. 2. Оскіль-
ки тріщина вільна від навантаження і зусилля на нескінченності також відсутні,
то 0( )= ( )P Pη η . На основі відомого розв’язку [16] отримуємо такий розподіл кон-
тактного тиску [11] для співвідношення (2) сформульованої задачі:
0
0
0
sin( )(1 )( ) ( 2 )cos sin ln
( ) sin( )
Pp x
b F
⎡ φ + φ+ δ
= π − φ φ + φ +⎢
π δ φ − φ⎢⎣
0 0
0sin ln tg tg ( )
2 2
p x
⎤φ + φ φ − φ ′+ φ =⎥
⎦
, (12)
0
0 0,
1arcsin , arcsin , ( ) / ,
1
x x a b b x x x
a
− ′φ = φ = δ = − = −
+ δ
,
0
02
0
2
( ) ctg
2sin
F
π − φ
δ = − φ
φ
. (13)
Тут P – головний вектор нормальних зусиль контактного навантаження на контр-
тіло (рис. 1); 2b – довжина початкової лінії контакту; 2a – повна її довжина, що
зросла внаслідок контактування тіл. При цьому параметр δ характеризує приріст
довжини лінії контакту і пов’язаний з радіусом R формулою
11
2
2
( )
4 (1 )
b EFR
P
δ
=
− ν
, (14)
де E, ν – пружні сталі матеріалів (розглядаємо випадок, коли матеріали контакт-
них тіл однакові). Параметр δ, а відтак і довжину ділянки контакту 2a для задано-
го радіуса R закруглення країв штампа, довжини початкової лінії контакту 2b та
сили притискання P на основі співвідношень (13) і (14) визначаємо із трансцен-
дентного рівняння
2
0
02 2
0
2 4 (1 )ctg
2sin
PR
b E
π − φ − ν
− φ =
φ
. (15)
Обчислюючи комплексні потенціали 0 ( )zΦ і 0 ( )zΨ , користуємося їхніми
зображеннями [17–19] в першій основній задачі теорії пружності для півплощини
без тріщини:
0
0
0
1 ( )( )
2
x a
x a
if p xt dx
i x t
+
−
+
Φ =
π −∫ ;
0
0
0 2
1 (1 ) ( ) (1 ) ( )( )
2 ( )
x a
x a
if p x if xp xt dx
i x t x t
+
−
⎡ ⎤− +
Ψ = −⎢ ⎥
π − −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ , (16)
де p(x) визначає співвідношення (12). На основі формул (7) і (16) запишемо праву
частину СІР (4) в інтегральній формі. Під час числового розв’язування задачі у
цьому разі застосуємо квадратурну формулу Сімпсона.
Аналіз числових результатів. Спочатку знайдемо розподіл контактного
тиску ( ) ( )p x p x′ = (12) під штампом і довжину 2a ділянки контакту залежно від
радіуса R закруглення країв основи штампа за умови його гладкого контакту
(f = 0, q = 0) з краєм півплощини вздовж початкової лінії завдовжки 2b під дією
стискальної сили P (рис. 1). Для цього використаємо співвідношення (12)–(15).
Зокрема, обчислення довжини ділянки контакту зводимо до розв’язування транс-
цендентного рівняння (15), а далі розподіл контактного тиску знаходимо за спів-
відношенням (12). Обираємо такі значення радіуса закруглення країв основи контр-
тіла: R = [0,1; 1,0; 10,0; 100,0] mm. Сила втискання штампа P = [0,1; 0,5; 1,0; 2,0;
3,0; 4,0] MN/m. Обчислюємо для початкової півдовжини ділянки (півширини
смуги) контакту b = [5; 10] mm. Зауважимо, що такі значення сили P та ширини
початкової смуги ділянки контакту 2b обрали, враховуючи типові величини тис-
ку контактних накладок на основу (елемент конструкції) під час експерименталь-
них досліджень контактної взаємодії фретинг-втоми, а також результати інженер-
ної практики [1, 20].
Побудовано (рис. 3) графіки розподілу нормованого контактного тиску за-
лежно від радіуса закруглення R. Форма кривих аналогічна відомим з літератури
[16]. Результати (рис. 3 і таблиця) свідчать, що зі зменшенням на порядок радіуса
R різко зростають (приблизно удвічі) максимальні значення maxp контактного тис-
ку у півплощині біля країв контртіла, а зі збільшенням − площа ділянки контакту
(особливо для R = 100 mm). Як і очікували, тиск у центрі ділянки контакту (0)p
мало змінюється з варіюванням параметра R для заданої сили P і суттєво – її за
модифікації. У діапазоні 0,1...4,0 MN/m тиск (0)p змінюється в межах 20 ÷ 200 MPa
(див. таблицю).
12
Рис. 3. Криві розподілу нормованого тиску
1 ( ) /p p x b P′= π в околі лівого краю ділянки
контакту (P = 2,0 MN/m; b = 5 mm;
ν1 = ν2 = ν = 0,3; Е1 = Е2 = Е = 210 GPа):
1 – R = 0,1 mm; 2 – 1,0; 3 – 10,0; 4 – 100,0 mm.
Fig. 3. Distribution of normalized pressure
1 ( ) /p p x b P′= π near the left end of contact area
(P = 2.0 MN/m; b = 5 mm; ν1 = ν2 = ν = 0.3;
Е1 = Е2 = Е = 210 GPa): 1 – R = 0.1 mm;
2 – 1.0; 3 – 10.0; 4 – 100.0 mm.
Півдовжина а реальної (прирощеної) ділянки контакту, тиск (0)p в її центрі
і максимальне його значення maxp під краями контртіла залежно
від навантаження силою P і параметрів геометрії основи штампа
b = 5 mm b = 10 mm R,
mm a, mm (0)p , MPa maxp , GPa a, mm (0)p , MPa maxp , GPa
Р = 0,1 MN/m
0,1 5,0012 6,37 0,44 10,0010 3,18 0,35
1,0 5,0055 6,36 0,20 10,0044 3,18 0,16
10,0 5,0256 6,35 0,11 10,0204 3,18 0,09
100,0 5,1185 6,28 0,05 10,0943 3,17 0,04
Р = 0,5 MN/m
0,1 5,0035 31,82 1,28 10,0028 15,91 1,02
1,0 5,0162 31,77 0,63 10,0128 15,90 0,47
10,0 5,0748 31,55 0,33 10,0595 15,86 0,26
100,0 5,3429 30,58 0,15 10,2747 15,66 0,12
Р = 1,0 MN/m
0,1 5,0055 63,62 2,03 10,0044 31,82 1,61
1,0 5,0256 63,47 1,12 10,0204 31,79 0,86
10,0 5,1185 62,77 0,52 10,0943 31,65 0,41
100,0 5,5396 59,81 0,24 10,4345 31,02 0,19
Р = 2,0 MN/m
0,1 5,0088 127,19 3,22 10,0070 63,64 2,56
1,0 5,0407 126,71 1,79 10,0323 63,54 1,42
10,0 5,1875 124,53 0,83 10,1496 63,10 0,66
100,0 5,8455 115,68 0,38 10,6858 61,15 0,31
Р = 3,0 MN/m
0,1 5,0115 190,72 5,06 10,0091 95,44 4,02
1,0 5,0533 189,77 2,35 10,0423 95,25 1,87
10,0 5,2450 185,54 1,09 10,1958 94,39 0,87
100,0 6,0966 168,96 0,48 10,8945 90,65 0,40
Р = 4,0 MN/m
0,1 5,0139 254,22 6,13 10,0111 127,24 4,87
1,0 5,0645 252,69 2,85 10,0513 126,93 2,26
10,0 5,2961 245,93 1,31 10,2369 125,54 1,05
100,0 6,3169 220,24 0,57 11,0793 119,62 0,48
Додамо, що довжина початкової лінії контакту слабко впливає на динаміку
зміни контактного тиску біля країв штампа і остаточні довжини ділянки контакту
13
за варіювання радіуса закруглення країв штампа. Однак для менших значень b
(для однакових Р і R) отримуємо більші прирости довжини ділянки контакту δ і
значення maxp .
Тепер з розв’язку системи алгебричних рівнянь (10), що є аналогом СІР (4),
та формули (11) встановлюємо КІН у вершині тріщини. Отримали (рис. 4) залеж-
ності нормованих КІН I,II I,II /F K b P= π (криві 1–4) від відносної віддалі λ = х0/b
середини ділянки контакту до гирла тріщини для таких значень параметрів, влас-
тивих фретинг-втомі: кут нахилу тріщини до краю півплощини β = [π/4; π/3; 2π/3];
відношення довжини тріщини до півдовжини початкової ділянки контакту
ε = l/b = [0,1; 0,5]; коефіцієнт тертя між контактуючими тілами f = 0,5. Відношен-
ня радіуса закруглення основи штампа до півдовжини початкової ділянки контак-
ту r = R/b = [0,02; 0,20; 2,00; 20,00]. Модельне контактне навантаження визначають
співвідношення (2) і (12)–(15). Для порівняння наведено також КІН, коли на краю
півплощини з тріщиною на ділянці 2b діють рівномірно розподілений тиск р і до-
тичні зусилля q= fp (криві 5); 2рb = Р.
14
Рис. 4. Залежність нормованих КІН I,II I,II /F K b P= π від віддалі середини ділянки
контакту до гирла тріщини λ для кута її нахилу β = π/3 (а–d), π/4 (e–h) та 2π/3 (i–l);
коефіцієнта тертя між контактуючими тілами f = 0,5 і певних значень відношення
довжини тріщини до півдовжини початкової ділянки контакту ε:
1 – r = R/b = 0,02; 2 – 0,20; 3 – 2,00; 4 – 20,00; 5 – рівномірно розподілений тиск;
a, b, e, f, i, j – ε = l/b = 0,1; c, d, g, h, k, l – 0,5.
Fig. 4. Dependence of normalized stress intensity factors I,II I,II /F K b P= π on distance
between the center of contact area and crack mouth λ for its inclination angle β = π/3 (а–d),
π/4 (e–h) and 2π/3 (i–l); friction coefficient between contacting bodies f = 0.5
and certain values of the ratio of crack length to semi-length of the initial contact area ε:
1 – r = R/b = 0.02; 2 – r = 0.20; 3 – r = 2.00; 4 – r = 20.00; 5 – evenly distributed pressure;
a, b, e, f, i, j – ε = l/b = 0.1; c, d, g, h, k, l – 0.5.
Зі суттєвим (на три порядки) зменшенням радіуса R закруглення країв ос-
нови контртіла незначно (до 10%) збільшуються максимальні значення КІН KI
(рис. 4a, c, e, g, i, k) і майже удвічі – максимальні КІН | KII |, особливо для гострих
15
кутів β (β = π/3 і π/4) і коротких тріщин (ε = 0,1) (рис. 4b, d, f, h, j, l). Однак макси-
мальні значення | KII | реалізуються переважно тоді, коли KІ < 0. Тому така кіль-
кісна оцінка наближена, а для точнішої слід розв’язати задачу, враховуючи кон-
такт берегів тріщини.
Залежності FI(λ) і FII(λ) (криві 5) для модельного навантаження рівномірно
розподіленим тиском якісно, а часто й кількісно збігаються з кривими 1–3 для
малих закруглень країв контртіла (малих R). Отже, цим розподілом можна корис-
туватися, щоб моделювати контактну взаємодію фретинг-втоми. Як і очікували,
максимуми KI і | KII | на кривій 4 для великого радіуса закруглення реалізуються
для більших λ, ніж для інших випадків (криві 1–3, 5), тобто коли навантаження
перебуває далі від гирла тріщини.
Вплив закруглення швидко зникає із віддаленням контактного навантаження
від гирла тріщини незалежно від кута її орієнтації. Уже для λ = x0/b > 1,8 різниця між
КІН на кривих 1–4 (рис. 4) не перевищує 1÷5%. Зі збільшенням відносної довжи-
ни тріщини ε від 0,1 до 0,5 загалом максимуми | KII | зростають, а KI зменшуються
(див. також [11]) і реалізуються для більших λ, а вплив радіуса R слабшає. Для
інших значень коефіцієнта тертя (f = 0,3 i 0,7) його вплив на КІН KI також не-
значний.
Цікаво порівняти наші результати з одержаними раніше [6] для плоского пря-
мокутного жорсткого штампа, який з тертям втискають у півплощину, послаблену
тріщиною. Як випливає з рис. 5, вони для KII близькі, а для KI практично збігають-
ся, починаючи з λ = 15; суттєво відрізняються для λ ≤ 2, коли край штампа чи на-
вантаження є близько до гирла тріщини. Подібне також спостерігаємо в праці [15].
Причина розходжень у тому, що криві типу 1 отримано на основі розв’язків, в яких
наперед закладено кореневу особливість напружень під краями штампа. Натомість,
модельні зусилля р(х) (12) там скінченні.
Рис. 5. Залежність нормованих КІН I,II I,II /F K b P= π від віддалі середини ділянки
контакту до гирла тріщини; β = 3π/4; f = 0,3; ε = 1,0;
криві 1 – за результатами праці [6], 2 – отримані нами.
Fig. 5. Dependence of normalized stress intensity factors I,II I,II /F K b P= π
on distance between the center of contact area and crack mouth;
β = 3π/4; f = 0.3; ε = 1.0; curves 1 – according to [6]; 2 – our data.
ВИСНОВКИ
Установлено, що зі зменшенням закруглення країв контртіла (від 100 до
0,1 mm) незначно (до 10%) підвищуються максимальні значення КІН KI і суттєво
(інколи вдвічі) – максимальні значення КІН | KII | у вершині крайової тріщини в
16
базовому тілі пари тертя. Цей вплив найвідчутніший за малих відносних довжин
крайових тріщин (ε = l/b = 0,1; (рис. 2)) і спадає зі збільшенням їхньої довжини та
віддаленням контртіла від гирла тріщини (ростом λ = х0/b). Залежності KI,,II(λ)
для модельного контактного навантаження, яке враховує закруглення країв контр-
тіла, і рівномірно розподіленим тиском якісно подібні і близькі кількісно. Це
теоретично підтверджує правомірність використання простішого рівномірного
розподілу як модельного навантаження.
РЕЗЮМЕ. Исследована зависимость коэффициентов интенсивности напряжений в
теле с краевой произвольно ориентированной трещиной от радиуса закругления R краев
основы контртела, вдавливаемого с трением в поврежденное тело в окрестности устья
трещины. Это тело в рамках двумерной задачи смоделировано упругой полуплоскостью с
краевым разрезом, а действие контртела – модельной нагрузкой, отображающей распре-
деление давления, установленное В. М. Александровым и Б. Л. Ромалисом, в зоне кон-
такта двух упругих цилиндров с начальной полосой контакта. Числовые результаты полу-
чены для одинаковых материалов контактирующих тел для значений полудлины началь-
ного участка контакта b = [5; 10] mm и радиуса R = [0,1; 1,0; 10,0; 100,0] mm, а также для
угла наклона краевой трещины, относительного размещения контртела и трещины и ее
длины.
SUMMARY. Dependence of the stress intensity factors in a body with an edge arbitrary
oriented crack on the curvature radius R of the edges of counterbody base, pressed with unila-
teral friction into a cracked body near the crack mouth, is investigated. This body has been mo-
deled within a two-dimensional problem as an elastic half-plane with an edge cut, and counter-
body action – as a load modeling the pressure distribution, established by V. M. Aleksandrov &
B. L. Romalis, in the contact zone of two elastic cylinders with initial contact strip. Numerical
results were obtained for identical materials of contact solids for values of half-length of the ini-
tial contact area b = [5; 10] mm and radius R = [0.1; 1.0; 10.0; 100.0] mm, as well as inclination
angle of an edge crack, relative position of a counterbody and crack and its length.
1. Уотерхауз Р. Б. Фреттинг-коррозия. – Л.: Машиностроение, 1976. – 270 с.
2. Панасюк В. В., Дацишин О. П., Марченко Г. П. Контактна задача про дію штампа на
границю півплощини, послабленої системою криволінійних тріщин // Фіз.-хім. меха-
ніка матеріалів. – 1995. – 31, № 6. – С. 7–16.
(Panasyuk V. V., Datsyshyn O. P., and Marchenko H. P. Contact problem for a half plane
with cracks subjected to the action of a rigid punch on its boundary // Materials Science.
– 1995. – 31, № 6. – P. 667–678.)
3. Panasyuk V. V., Datsyshyn O. P., and Marchenko H. P. Stress state of a half-plane with
cracks under rigid punch action // Int. J. of Fract. – 2000. – 101, № 4. – P. 347–363.
4. Саврук М. П., Томчик А. Тиск з тертям абсолютно жорсткого штампа на пружний
півпростір з тріщинами // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2010. – 46, № 3. – С. 5–15.
(Savruk M. P. and Tomczyk A. Pressure with friction of a perfectly rigid die upon an elastic
half space with cracks // Materials Science. – 2010. – 46, № 3. – P. 283–296.)
5. Кудиш И. И. Контактная задача теории упругости для тел с трещинами // Прикл. мате-
матика и механика. − 1986. − 50, №6. − С. 1020–1034.
6. Savruk M., Tomczyk A., Yevtushenko A. Płaskie kontaktowe zagadnienie z uwzględnieniem tarcia
dla półprzestrzeni ze szczeliną // Acta Mechanica et Automatica. – 2007. – № 2. – S. 41–44.
7. Hasebe N. and Qian J. Circular rigid punch with one smooth and another sharp ends on a
half-plane with edge crack // J. App. Mechanics. – 1997. – 64. – P. 73–79.
8. Тоноян В. С., Минасян А. Ф. Несимметричная контактная задача для полуплоскости с
вертикальным конечным разрезом // Докл. АН АрмССР. − 1975. − 61, № 5. − С. 289–297.
9. Keer L. M. and Bryant M. D. A pitting model for rolling contact fatigue // Trans. ASME: J.
Lubric. Technol. – 1983. – 105, № 2. – P. 198–205.
10. Panasyuk V. V., Datsyshyn O. P., and Marchenko H. P. To crack propagation theory under
rolling contact // Engng. Fract. Mechanics. – 1995. – 52, № 1. – P. 179–191.
17
11. Вплив форми модельного контактного навантаження на коефіцієнти інтенсивності
напружень для крайової тріщини / О. П. Дацишин, Р. Є. Пришляк, С. В. Приходська,
Р. Б. Щур, А. Б. Терлецький // Проблеми трибології. – 1998. – № 3. – С. 3–16.
12. Дацишин О. П., Марченко Г. П. Напружений стан півплощини з крайовою пологою
тріщиною під герцівським навантаженням. (Огляд) // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2008. – 44, № 1. – С. 23–34.
(Datsyshyn O. P. and Marchenko H. P. Stressed state of a half plane with shallow edge
crack under Hertzian loading. (A survey) // Materials Science. – 2008. – 44, № 1. –
P. 22–34.)
13. Дацишин О. П. Моделювання утворення контактно-втомних пошкоджень і оцінювання
довговічності елементів трибоспряжень // Там же. – 2011. – 47, № 2. – С. 67–78.
(Datsyshyn O. P. Modeling of the initiation of contact fatigue damages and estimation of the
durability of elements of tribological conjunctions // Materials Science. – 2011. – 47, № 2.
– P. 188–200.)
14. Rooke D. P. and Jones D. A. Stress intensity factors in fretting fatigue // J. Strain Anal.
– 1979. – 14, № 1. – Р. 1–6.
15. Edwards P. R. The application of fracture mechanics to predicting fretting fatigue / Ed.:
R. B. Waterhouse // Fretting Fatigue. – London: Elsevier Appl. Science, 1981. – P. 67–99.
16. Александров В. М., Ромалис Б. Л. Контактные задачи в машиностоении – М.: Машино-
строение, 1986. – 176 с.
17. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.
– М.: Наука, 1996. – 708 с.
18. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин
в пластинах и оболочках. – К.: Наук. думка, 1976. – 444 с.
19. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка,
1981. – 324 с.
20. Шевеля В. В., Калда Г. С. Фреттинг-усталость металлов. – Хмельницкий: Поділля,
1998. – 300 с.
Одержано 20.05.2013
|