Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні
У тривимірному формулюванні отримані умови, яким задовольняють компоненти вектора переміщень і тензора напружень у включенні із в’язкопружного матеріалу. Для тонкого включення на основі рівнянь лінійної теорії в’язкопружності одержані залежності зведено до співвідношень між стрибками переміщень і...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135797 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні / В.П. Силованюк, А.В. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 98-101. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-135797 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1357972018-06-16T03:06:40Z Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні Силованюк, В.П. Ревенко, А.В. У тривимірному формулюванні отримані умови, яким задовольняють компоненти вектора переміщень і тензора напружень у включенні із в’язкопружного матеріалу. Для тонкого включення на основі рівнянь лінійної теорії в’язкопружності одержані залежності зведено до співвідношень між стрибками переміщень і напружень на його серединній поверхні. В трехмерной постановке получены условия, которым удовлетворяют компоненты вектора смещений и тензора напряжений во включении из вязкоупругого материала. Для тонкого включения на основании уравнений линейной теории вязкоупругости полученные зависимости сведены к соотношениям на прыжки напряжений и перемещений на его срединной поверхности. The conditions which satisfy the components of the displacement vector and the stress tensor in the inclusion of a viscoelastic material are obtained in the three-dimensional formulation. For a thin inclusion, based on the equations of the linear theory of viscoelasticity, the dependences are reduced to relations for the jumps of stresses and displacement in its middle surface. 2012 Article Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні / В.П. Силованюк, А.В. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 98-101. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135797 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У тривимірному формулюванні отримані умови, яким задовольняють компоненти
вектора переміщень і тензора напружень у включенні із в’язкопружного матеріалу.
Для тонкого включення на основі рівнянь лінійної теорії в’язкопружності одержані
залежності зведено до співвідношень між стрибками переміщень і напружень на
його серединній поверхні. |
| format |
Article |
| author |
Силованюк, В.П. Ревенко, А.В. |
| spellingShingle |
Силованюк, В.П. Ревенко, А.В. Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Силованюк, В.П. Ревенко, А.В. |
| author_sort |
Силованюк, В.П. |
| title |
Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні |
| title_short |
Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні |
| title_full |
Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні |
| title_fullStr |
Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні |
| title_full_unstemmed |
Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні |
| title_sort |
умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135797 |
| citation_txt |
Умови стрибка напружень і переміщень на тонкому в’язкопружному включенні / В.П. Силованюк, А.В. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 98-101. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT silovanûkvp umovistribkanapruženʹíperemíŝenʹnatonkomuvâzkopružnomuvklûčenní AT revenkoav umovistribkanapruženʹíperemíŝenʹnatonkomuvâzkopružnomuvklûčenní |
| first_indexed |
2025-07-10T00:08:23Z |
| last_indexed |
2025-07-10T00:08:23Z |
| _version_ |
1837216411868463104 |
| fulltext |
98
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2012. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
УМОВИ СТРИБКА НАПРУЖЕНЬ І ПЕРЕМІЩЕНЬ
НА ТОНКОМУ В’ЯЗКОПРУЖНОМУ ВКЛЮЧЕННІ
В. П. СИЛОВАНЮК, А. В. РЕВЕНКО
Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів
У тривимірному формулюванні отримані умови, яким задовольняють компоненти
вектора переміщень і тензора напружень у включенні із в’язкопружного матеріалу.
Для тонкого включення на основі рівнянь лінійної теорії в’язкопружності одержані
залежності зведено до співвідношень між стрибками переміщень і напружень на
його серединній поверхні.
Ключові слова: включення, в’язкопружність, напруження, переміщення, релакса-
ція, умови стрибка.
Включення, один із характерних розмірів якого значно менший від двох ін-
ших, часто з різним наближенням моделюють поверхнею, за переходу через яку
напруження і (або) переміщення зазнають стрибків.
Першими в цьому напрямі були праці Я. С. Підстригача, які торкалися теп-
лопровідності тіл з тонкими прошарками [1, 2]. Пізніше цей підхід він поширив
на загальний напружено-деформований стан пружних тіл з тонкими пружними
включеннями [3]. Аналізуючи напружено-деформований стан тіл з тонкими
включеннями, застосовували інші, більш наближені, моделі тонких дефектів
однорідної структури [4–7], що дало можливість отримати ефективні розв’язки
задач про концентрацію напружень. Моделі пружних тонких включень, методи
розв’язування відповідних крайових задач та напружено-деформований стан про-
аналізовано в монографії [8].
У матеріалознавстві та інженерній практиці виникають проблеми, для роз-
в’язування яких недостатньо лише моделей пружних середовищ. Зокрема, це
пов’язано із розрахунком довготривалої міцності пошкоджених тріщинами еле-
ментів будівельних споруд тривалої експлуатації, що відновлені за ін’єкційними
технологіями. Як ін’єкційні матеріали найчастіше використовують полімери (по-
ліуретани, епоксидні смоли тощо), які володіють після тверднення в’язкопружни-
ми властивостями. Тому необхідні моделі, які б враховували зміну властивостей
матеріалів з часом, зокрема реологічні. Для прогнозування в часі ресурсу робото-
здатності елемента конструкції із заповненою ін’єкційним матеріалом тріщиною
слід застосовувати в’язкопружну модель тонкого включення.
Нижче отримано умови стрибка напружень і переміщень на тонкому вклю-
ченні із в’язкопружного матеріалу. Для дослідження напружено-деформованого
стану елементів конструкції із багатьох в’язкопружних матеріалів (в тому числі і
полімерів) застосовують лінійну теорію в’язкопружності, один із варіантів якої
базується на принципі Больцмана [9]. Основні її рівняння складаються із трьох
рівнянь рівноваги (інерційні члени в рівняннях руху не враховують)
0, 0, 0xy xy yy yz yzxx xz xz zz
x y z x y z x y z
∂σ ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ
+ + = + + = + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(1)
Контактна особа: А. В. РЕВЕНКО, e-mail: andrevenko@ukr.net
99
і шести реологічних рівнянь ізотропного в’язкопружного тіла
( ) xu2
x
y z
xx
u u
y z
∗ ∗ ∗ ∂⎛ ⎞∂ ∂
σ = Λ + Μ + Λ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
,
( ) yu
2
y
x z
yy
u u
x z
∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂⎛ ⎞σ = Λ + Μ + Λ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
,
( ) yu
2
y
x z
yy
u u
x z
∗ ∗ ∗∂ ∂ ∂⎛ ⎞σ = Λ + Μ + Λ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
,
( ) zu2
z
yx
zz
uu
x y
∗ ∗ ∗ ∂⎛ ⎞∂∂
σ = Λ + Μ + Λ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
,
x z
xz
u u
z x
∗ ∂ ∂⎛ ⎞σ = Μ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
, y z
yz
u u
z y
∗ ∂⎛ ⎞∂
σ = Μ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
, yx
xy
uu
y x
∗ ∂⎛ ⎞∂
σ = Μ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
, (2)
де ∗Λ і ∗Μ – інтегральні оператори
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
,
,
t
t
t
t
f t f t t f d
f t f t M t f d
∗
∗
⎛ ⎞
⎜ ⎟Λ = λ + Λ − τ τ τ
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟Μ = µ + − τ τ τ
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
(3)
Λ, Μ – ядра операторів. Тут вважаємо, що зовнішні навантаження починають дія-
ти з моменту часу 0t t= ; λ, µ – пружні сталі Ляме миттєвої деформації. Функції
Λ(t), Μ(t) описують релаксацію напружень з часом і коли t →∞ , асимптотично
прямують до нуля. Оскільки в них аргументом є різниця 0t − τ ≥ , то напруження,
встановлені на основі виразів (2), будуть інваріантні до зміни початку відліку
часу.
Нехай у пружному твердому тілі міститься тонке плоске включення товщи-
ною 2 ( , )h x y , напружено-деформований стан якого описує лінійна теорія в’язко-
пружності (співвідношення (1)–(3)). Систему прямокутних декартових координат
x, y, z вибираємо так, щоб площина x0y збігалася зі серединною площиною вклю-
чення. У співвідношеннях (1), (2) виключимо із розгляду компоненти тензора на-
пружень xxσ , yyσ , xyσ . Для визначення трьох компонент переміщень xu , yu ,
zu і трьох компонент напружень xzσ , yzσ , zzσ маємо шість рівнянь:
( )
2 22 22
2 22 0,y yx x xzzu uu uu
x y x z x y zx y
∗ ∗ ∗ ∗
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂σ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ + Μ + Λ + +Μ + + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
2 22 22
2 22 0,y y yzx xzu uu uu
x y y z x y zy x
∗ ∗ ∗ ∗
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂σ∂ ∂∂ ⎜ ⎟Λ + Μ + Λ + +Μ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0yzxz zz
x y z
∂σ∂σ ∂σ
+ + =
∂ ∂ ∂
, x z
xz
u u
z x
∗ ∂ ∂⎛ ⎞σ = Μ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
,
y z
yz
u u
z y
∗ ∂⎛ ⎞∂
σ = Μ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
, ( )2 yxz
zz
uuu
z x y
∗ ∗ ∗ ∂⎛ ⎞∂∂
σ = Λ + Μ + Λ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
. (4)
100
Застосувавши до рівнянь (4) операцію усереднення по товщині включення,
одержимо:
( )
2 22 2
2 2
( ) ( )( ) ( ) [ ][ ]2 0,y yx x xzzu uu uu
x y x h x y hx y
∗ ∗ ∗ ∗
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ σ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ + Μ + Λ + +Μ + + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
2 22 2
2 2
( ) ( ) [ ]( ) ( )[ ]2 0,y y yzx xzu uu uu
x y y h x y hy x
∗ ∗ ∗ ∗
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ σ∂ ∂∂ ⎜ ⎟Λ + Μ + Λ + +Μ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) [ ] 0yzxz zz
x y h
∂ σ∂ σ σ
+ + =
∂ ∂
,
( ) [ ] ( )
0x z
xz
u u
h x
∗ ⎛ ⎞∂
σ −Μ + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
,
( ) ( )
0y z
yz
u u
h y
∗
⎛ ⎞⎡ ⎤ ∂⎣ ⎦⎜ ⎟σ −Μ + =
∂⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
( ) ( ) [ ] ( ) ( )
2 0yxz
zz
uuu
h x y
∗ ∗ ∗
⎛ ⎞∂∂⎜ ⎟σ − Λ + Μ − Λ + =
∂ ∂⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (5)
де ( )f f f+ −= + ; [ ]f f f+ −= − . Знаки (+) і (–) відносяться до верхньої та ниж-
ньої (відносно серединної площини) поверхонь включення.
Отже, вплив в’язкопружного тонкого включення у тілі описують умови (5),
які виконуються на поверхні контакту матеріалів. Це дає можливість умовно ви-
лучити включення та замінити його дію напруженнями xz
±σ , yz
±σ , zz
±σ на поверх-
ні утвореної порожнини, які невідомі і зв’язані з переміщеннями поверхні порож-
нини xu , yu , zu співвідношеннями (5).
Із умов (5) легко отримати часткові граничні випадки. Зокрема, поклавши у
співвідношеннях (3) 0λ = , 0µ = із (5), отримаємо умови на вільній поверхні:
0xz xz
+ −σ = σ = ; 0yz yz
+ −σ = σ = ; 0zz zz
+ −σ = σ = .
Умови ідеального контакту (за відсутності включення) одержимо, якщо у
співвідношеннях (5) вважатимемо, що товщина включення 0h → :
, , ;xz xz yz yz zz zz
+ − + − + −σ = σ σ = σ σ = σ
, , .x x y y z zu u u u u u+ − + − + −= = =
Модель податливого в’язкопружного включення отримаємо, якщо знехтуємо
стрибки напружень та величини вищого порядку малості у співвідношеннях (5):
( ) [ ]x
xz
u
h
∗σ = Μ , ( ) y
yz
u
h
∗
⎡ ⎤⎣ ⎦σ = Μ , ( ) ( ) [ ]2 z
zz
u
h
∗ ∗σ = Λ + Μ . (6)
Зазначимо, що на основі співвідношень (6) розрахували [10] довготривалу
міцність тіла з еліптичною тріщиною, заповненою в’язкопружним матеріалом.
Якщо покласти у співвідношеннях (5) ядра релаксації Λ(t) і Μ(t) тотожно рівними
нулю, одержимо відповідні результати для лінійно-пружного включення.
101
ВИСНОВКИ
Повзучість в’язкопружного матеріалу включення суттєво впливає на напру-
жено-деформований стан у тілі, яке перебуває під дією довготривалих статичних
навантажень, через що під час дослідження релаксації напружень у включенні
слід застосувати теорію в’язкопружності. На основі рівнянь лінійної в’язкопруж-
ності розроблено математичний підхід, за яким вдається замінити крайову задачу
для тіла з тонким в’язкопружним включенням на задачу для тіла з розрізом, на
поверхнях якого виконуються певні умови стрибків переміщень і напружень, а
отже отримувати ефективні розв’язки складних крайових задач лінійної теорії
пружності та в’язкопружності.
РЕЗЮМЕ. В трехмерной постановке получены условия, которым удовлетворяют
компоненты вектора смещений и тензора напряжений во включении из вязкоупругого ма-
териала. Для тонкого включения на основании уравнений линейной теории вязкоупруго-
сти полученные зависимости сведены к соотношениям на прыжки напряжений и переме-
щений на его срединной поверхности.
SUMMARY. The conditions which satisfy the components of the displacement vector and
the stress tensor in the inclusion of a viscoelastic material are obtained in the three-dimensional
formulation. For a thin inclusion, based on the equations of the linear theory of viscoelasticity,
the dependences are reduced to relations for the jumps of stresses and displacement in its
middle surface.
1. Підстригач Я. С. Умови теплового контакту твердих тіл // Доп. АН УРСР. Сер. А.
– 1963. – № 7. – C. 872–874.
2. Подстригач Я. С. Температурные поля в системе твердых тел, сопряженных с помо-
щью тонкого промежуточного слоя // Инж.-физ. журн. – 1963. – 7, № 10. – С. 76–83.
3. Підстригач Я. С. Умови стрибка напружень і переміщень на тонкостінному включен-
ні в суцільному середовищі // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1982. – № 12. – C. 29–31.
4. Чабанян К. Р., Хачиканян А. С. Плоское деформированное состояние упругого тела с
тонкостенным гибким включением // Изв. АН Арм. ССР. – 1967. – № 6. – C. 19–29.
5. Сокилава О. В., Черепанов Г. П. Некоторые задачи однородной теории упругости
// Прикл. математика и механика. – 1975. – 38, № 3. – C. 537–550.
6. Сулим Г. Т. Термоупругие условия взаимодействия среды с тонкостенным включени-
ем // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1979. – № 15. – С. 83–92.
7. Панасюк В. В., Стадник М. М., Силованюк В. П. Концентрация напряжений в трехмер-
ных телах с тонкими включениями. – К.: Наук. думка, 1986. − 216 с.
8. Сулим Г. Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих
тіл з тонкими включеннями. – Львів: Досл.-вид. центр НТШ, 2007. − 716 с.
9. Boltzmann L. Zuz Teorie elastischen Nachuirkung Silzungsler // Bayer. acad. Wiss. math.-
naturuiss. – 1874. – 70, № 2. – S. 315–325.
10. Силованюк В. П., Ревенко А. В. Довготривала міцність пружного тіла з еліптичною
тріщиною, заповненою в’язкопружним матеріалом // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2012. – 48, № 1. – С. 33−38.
(Sylovanyuk V. P., Revenko A. V. Long-term strength of an elastic body with elliptic crack
filled with a viscoelastic material // Materials Science. – 2012. – 48, № 1. – P. 29–35.)
Одержано 13.07.2012
|