Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень

З суто фізичних міркувань отримано зв’язок напружень у вершині дефекту із коефіцієнтами при кореневій особливості поля напружень – узагальненими коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН). Побудовано апроксимаційні формули для обчислення узагальнених КІН. Порівнянням результатів розрахунків конкре...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Пастернак, Я.М., Сулим, Г.Т.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України 2012
Назва видання:	Фізико-хімічна механіка матеріалів
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135803
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень / Я.М. Пастернак, Г.Т. Сулим // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 86-91. — Бібліогр.: 8 назв. — укp.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-135803
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1358032018-06-16T03:07:21Z Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень Пастернак, Я.М. Сулим, Г.Т. З суто фізичних міркувань отримано зв’язок напружень у вершині дефекту із коефіцієнтами при кореневій особливості поля напружень – узагальненими коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН). Побудовано апроксимаційні формули для обчислення узагальнених КІН. Порівнянням результатів розрахунків конкретних задач запропонованим та прямим підходами підтверджено ефективність використання розробленого методу. Исходя из чисто физических соображений, получено связь напряжений в вершине дефекта с коэффициентами при корневой особенности поля напряжений – обобщенными коэффициентами интенсивности напряжений (КИН). Построено аппроксимационные формулы определения обобщенных КИН. Путем сравнения результатов расчетов конкретных задач предложенным и прямым подходами доказана эффективность первого. Basing on the solely physical considerations the relationship between stresses at the defect tip with the factors near the square root singularity of the stress field – the generalized stress intensity factors – is obtained. The approximation formulas are adopted for determination of the generalized stress intensity factors. The comparison of results obtained for certain problems by the proposed and direct technique shows high efficiency of the proposed approach. 2012 Article Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень / Я.М. Пастернак, Г.Т. Сулим // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 86-91. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135803 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	З суто фізичних міркувань отримано зв’язок напружень у вершині дефекту із коефіцієнтами при кореневій особливості поля напружень – узагальненими коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН). Побудовано апроксимаційні формули для обчислення узагальнених КІН. Порівнянням результатів розрахунків конкретних задач запропонованим та прямим підходами підтверджено ефективність використання розробленого методу.
format	Article
author	Пастернак, Я.М. Сулим, Г.Т.
spellingShingle	Пастернак, Я.М. Сулим, Г.Т. Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень Фізико-хімічна механіка матеріалів
author_facet	Пастернак, Я.М. Сулим, Г.Т.
author_sort	Пастернак, Я.М.
title	Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень
title_short	Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень
title_full	Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень
title_fullStr	Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень
title_full_unstemmed	Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень
title_sort	розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. іі. аналіз концентрації та інтенсивності напружень
publisher	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135803
citation_txt	Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач антиплоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень / Я.М. Пастернак, Г.Т. Сулим // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 86-91. — Бібліогр.: 8 назв. — укp.
series	Фізико-хімічна механіка матеріалів
work_keys_str_mv	AT pasternakâm rozvâzuvannâmetodamiíntegralʹnihrívnânʹzadačantiploskogodeformuvannâtílíztonkimistríčkovimivklûčennâmiííanalízkoncentracíítaíntensivnostínapruženʹ AT sulimgt rozvâzuvannâmetodamiíntegralʹnihrívnânʹzadačantiploskogodeformuvannâtílíztonkimistríčkovimivklûčennâmiííanalízkoncentracíítaíntensivnostínapruženʹ
first_indexed	2025-07-10T00:09:01Z
last_indexed	2025-07-10T00:09:01Z
_version_	1837216452466180096
fulltext	86 Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2012. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials УДК 539.3 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ МЕТОДАМИ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ЗАДАЧ АНТИПЛОСКОГО ДЕФОРМУВАННЯ ТІЛ ІЗ ТОНКИМИ СТРІЧКОВИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ. ІІ. Аналіз концентрації та інтенсивності напружень Я. М. ПАСТЕРНАК 1, Г. Т. СУЛИМ 2 1 Луцький національний технічний університет; 2 Львівський національний університет ім. Івана Франка З суто фізичних міркувань отримано зв’язок напружень у вершині дефекту із коефі- цієнтами при кореневій особливості поля напружень – узагальненими коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН). Побудовано апроксимаційні формули для обчислен- ня узагальнених КІН. Порівнянням результатів розрахунків конкретних задач запро- понованим та прямим підходами підтверджено ефективність використання розроб- леного методу. Ключові слова: тонке стрічкове включення, узагальнені коефіцієнти інтенсивнос- ті напружень, концентрація напружень. Торцьові сталі 0 3τσ , 3 n τσ для моделі включення у вигляді лінії [1, 2] не завж- ди вдається зіставити із зусиллями, розподіленими на торцях включення реальної геометричної форми, через те, що поняття прикладеного до торця навантаження можна застосувати лише до включень з прямокутним чи трапецевидним профіля- ми торця. Внаслідок заміщення включення із замкнутою до того ж гладкою, зо- крема й на торці, поверхнею (кривою) деякою наділеною певними властивостями розімкнутою поверхнею (лінією), у відповідному розв’язку задачі поблизу країв цієї поверхні (лінії) виникає відома [2] коренева особливість поля напружень та крайових функцій jtΣ . У цьому випадку для обчислення концентрації напружень необхідно використовувати зв’язки між напруженнями та узагальненими коефі- цієнтами інтенсивності напружень (КІН), що враховують скінченну кривину тор- ця дефекту. Такі результати отримані, зокрема у праці [3], методами рядів для включень із заокругленими вершинами, близькими за формою до гострокінце- вих. Використаємо для отримання подібних співвідношень розроблену модель тонкого включення. Визначення концентрації напружень на торцях включення. Дослідимо рівновагу прилеглої до торця частини включення за припущення, що торець включення заокруглений (рис. 1). Рівняння статичної рівноваги уявно відсіченої частини включення з ураху- ванням принципу спряження та умов it tΣ = −Σ ідеального механічного контакту включення з середовищем має вигляд ( ) 13 2 2 ( ) 0 ( , ) ( ) h r r h r r x dx t r dr − σ = − Σ∫ ∫ . (1) Контактна особа: Я. М. ПАСТЕРНАК, e-mail: pasternak@ukrpost.ua 87 Рис. 1. Схема задачі про визначення концентрації напружень. Fig. 1. The scheme of the problem for determination of stress concentration. При 0r → півтовщина 2( ) 2 ( )h r r r O r= ρ − + , де ρ – радіус заокруглен- ня вершини включення, тому ліву частину (1) можна подати у вигляді ( ) 13 2 2 13 ( ) ( , ) 2 ( ) ( ) h r h r r x dx h r r − σ ≈ σ∫ . (2) З урахуванням (2) напруження 13 13 0( ) rr =σ = σ на торці включення, відпо- відно до рівняння (1) дорівнюють 0 0 13 0 0 0 ( ) ( ) 1lim lim lim ( ) 2 ( ) 2 2 2 r r r r r t r dr t r dr r t r h r r→ → → Σ Σ σ = − = − = − Σ ρ ρ ∫ ∫ . (3) Для знаходження границі (3) використано правило Лопіталя. Щоб визначити напруження 23σ в матриці у вершині тонкого пружного включення, обчислимо деформації останнього при 0r → . Оскільки [ ]23( ) ( ) 2 ( )r w r h rε ≈ ∆ , то 23 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( )lim lim lim 2 ( ) 2 2 8r r r w r w r w r h r r r r→ → → ∆ ∆ ∆ ε = = = ρ − ρ . (4) Відповідно до закону Гука для ізотропного тіла 23 23Gσ = ε , тому, врахову- ючи залежності (3) та (4), для напружень 23σ в матриці у вершині тонкого вклю- чення матимемо вираз 23 0 ( )lim 8 r G w r r→ ∆ σ = ρ . (5) Границі у виразах (3) та (5) означені [2] через узагальнені КІН K31 та K32 так: 32 0 2lim ( ) r r t r K → Σ = − π , 31 0 ( ) 8lim r w r K r G→ ∆ = π , (6) а тому із (3) та (5) отримаємо: 13 32Kσ = πρ , 23 31Kσ = πρ . (7) Вирази (7) повністю узгоджуються із відповідними залежностями, отрима- ними [3] для включень із тонкими заокругленими вершинами. 88 Відповідно до формул (6) поле напружень біля вершини дефекту має кореневу особливість, однак внаслідок використання лагранжевих базових функцій у роз- робленій числовій схемі цю особливість не враховано. Проте, наприклад, для до- слідження тріщин методом граничних елементів (МГЕ) [4] часто також не вико- ристовують спеціальних базових функцій, що моделюють особливість поля напру- жень у вершині дефекту, а КІН визначають методами екстраполяції чи J-інтеграла. Щоб визначити узагальнені КІН біля вершини включення також не викорис- товуватимемо спеціальних базових функцій, а застосовуватимемо підходи на ос- нові J-інтеграла [5] чи апроксимації поля напружень асимптотичним розв’язком [6]. Метод лінійчатого моделювання тонкої неоднорідності дає можливість за- пропонувати ще один спосіб обчислення узагальнених КІН на підставі екстрапо- ляції вузлових значень розриву переміщень та напружень на кінцевому гранич- ному елементі. Тоді, відповідно до виразу (6), крайові функції біля вершини дефекту можна подати у вигляді 31 8rw K G ∆ = π , 32 2t K r Σ = − π . (8) Щоб обчислити узагальнені КІН, використаємо значення функцій w∆ та tΣ у вузлах 3–3' та 2–2' (рис. 2). Апроксимуючи функціями (8) вузлові значення розри- вів переміщень w∆ та напружень tΣ , обчислені на основі розробленого числово- го підходу, за допомогою методу найменших квадратів отримаємо прості розра- хункові формули ( )2 2 ' 3 3' 31 3 15 16 2 G w w K J − −π ∆ + ∆ = , ( )2 2 ' 3 3' 32 2 5 15 16 J t t K − −π Σ + Σ = − . (9) Рис. 2. Система вузлів на кінцевому граничному елементі. Fig. 2. System of nodes at the end of the boundary element. Числовий аналіз задач. Прямолінійне включення. Щоб проілюструвати ефективність застосування розробленого підходу, розглянемо задачу про тонке прямолінійне пружне включення скінченної довжини у безмежній матриці за її всебічного зсуву сталими напруженнями τ . Відносну жорсткість включення ха- рактеризуватимемо параметром /i mk G G= , де Gm – модуль зсуву матеріалу мат- риці (схема задачі зображена на врізці до рис. 3b). Вважають, що товщина вклю- чення дорівнює 0,001 його довжини (h = 0,001a), а торцьові напруження – нульо- ві. Узагальнені КІН визначають методом (9). Дані, отримані розробленим підхо- дом, зіставлено із результатами прямого розрахунку тонкого прямокутного вклю- чення відповідних розмірів за допомогою регуляризаційного МГЕ [7] із визначен- ням узагальнених КІН з використанням апроксимаційного підходу [6]. Результати числового аналізу задачі (нормовані значення узагальнених КІН * 3 3 /( )i iK K a= τ π на правому торці включення та переміщення 0 0 * /( )w w G a= τ 89 лівого торця) за допомогою зазначених підходів зображено на рис. 3а, b. Суціль- ні лінії –запропонований метод на основі лінійчатої моделі тонкого включення, а штрихові – прямий розрахунок тонкого прямокутного включення за допомогою регуляризаційного МГЕ [7]. Для випадків, близьких до крайніх значень відносної жорсткості k включен- ня (нуль, безмежність), відхилення узагальнених КІН, обчислені запропонованим підходом, що використовує лінійчату модель включення, від аналітичних роз- в’язків для тріщини [8] є менші за 2,3%, а для абсолютно жорсткого включення [2] – за 0,5%. Узагальнені КІН, отримані регуляризаційним МГЕ [7] для дуже по- датного та дуже жорсткого включення, відрізняються від аналітичних розв’язків [2, 8] для тріщини та жорсткого включення менше ніж на 0,5%. Похибка у 2,3% запропонованого методу, хоча і незначна, пояснюється використанням лагранже- вих базових функцій для моделювання кінця лінійчатого включення. Розбіжність у значеннях узагальнених КІН, отриманих регуляризаційним МГЕ і пропонованим підходом, для податних (k < 1) включень незначна, а для жорстких включень (k > 1) – практично непомітна. Отримані двома методами значення пе- реміщень лівого торця включення фактично збігаються. Під час обчислення пе- реміщень вважалося, що центр включення при k = 1 не переміщується. Перевагою використання запропонованого підходу на основі лінійчатої мо- делі включення є значне зменшення кількості граничних елементів (61 проти 311 за повного моделювання геометрії включення), використаних під час розв’язу- вання задачі. Крім того, запропонованим методом можна досліджувати задачі для тіл із включеннями нульової (наприклад, тріщина) чи близької до нуля товщини без будь-яких застережень, тоді як прямий метод має обмежене застосування до дуже тонких включень навіть за процедур регуляризації. Включення уздовж дуги кола. Дослідимо зсув безмежної матриці з тонким вигнутим уздовж дуги півкола стрічковим включенням прямим підходом та за допомогою розробленого методу (схема задачі зображена на врізці до рис. 3d). Пружні сталі та умови такі ж, як і в попередній задачі. Нормовані значення уза- гальнених КІН на правому торці А включення та переміщення лівого торця В, от- римані за допомогою рівнянь пропонованого (суцільні криві) та прямого підходів [7] із використанням для визначення узагальнених КІН методу [6] (штрихові кри- ві), зображено на рис. 3c, d. Під час визначення переміщень вважалося, що для точки О однорідної (без включення) матриці вони дорівнюють нулю. Отримані обома методами результати для узагальнених КІН та переміщень торця включення практично збігаються і відмінності на графіках майже непоміт- ні. Найбільше відхилення, отримане для дуже податних включень узагальнених КІН від відповідних величин для тріщини [8], менше за 3,4%. Для дуже жорстко- го включення ця похибка значно менша і не перевищує 0,5%. Похибка визначен- ня переміщень торця практично нульова. Внаслідок асиметрії відносно осі абс- цис ці переміщення для абсолютно жорсткого стрічкового включення не дорів- нюють нулю, а мають для кожної точки включення стале значення. Тобто неси- метричне жорстке включення зміщується відносно кожної точки матриці як єди- не ціле. Під час обчислень запропонованим підходом використано 193 граничні еле- менти, а для прямого регуляризаційного МГЕ [7] – 511. Зважаючи на те, що для формування системи рівнянь необхідно порядку O(N2) операцій, а для її розв’я- зування – O(N3) операцій, то перевага запропонованого підходу дослідження ан- типлоскої деформації тіл із використанням лінійчатої моделі тонкого стрічкового включення очевидна. 90 Рис. 3. Нормовані узагальнені КІН * 3 3 /( )i iK K a= τ π (a, c) та переміщення 0 0 * ( )w w G a= τ (b, d) лівого торця прямолінійного включення (a, b) і тонкого включення вздовж дуги кола (c, d). Fig. 3. Normalized generalized SIF * 3 3 /( )i iK K a= τ π (a, c) and displacement 0 0 * ( )w w G a= τ (b, d) of the left tip of a rectilinear inclusion (a, b) and of a thin circular arc inclusion (c, d). ВИСНОВКИ Побудований на основі принципу спряження континуумів різної вимірності числовий підхід моделювання тонких пружних включень засвідчив свою корект- ність з огляду на добру узгодженість отриманих із його допомогою даних із ре- зультатами застосування прямого регуляризаційного методу граничних елемен- тів. Перевага розробленого підходу – істотне зменшення кількості використаних елементів розбиття, що значно скорочує час та зменшує обсяг машинної пам’яті, які необхідні для розрахунків, а отже, дає можливість досліджувати задачі біль- шої складності. Отримані на основі моделі тонкого пружного включення зв’язки між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації напружень дають можливість оцінити граничне навантаження композиції з тонкими включеннями довільної конфігурації на основі розрахованих значень узагальнених КІН та міцнісних ха- рактеристик матеріалу матриці. 91 РЕЗЮМЕ. Исходя из чисто физических соображений, получено связь напряжений в вершине дефекта с коэффициентами при корневой особенности поля напряжений – обоб- щенными коэффициентами интенсивности напряжений (КИН). Построено аппроксимаци- онные формулы определения обобщенных КИН. Путем сравнения результатов расчетов конкретных задач предложенным и прямым подходами доказана эффективность первого. SUMMARY. Basing on the solely physical considerations the relationship between stresses at the defect tip with the factors near the square root singularity of the stress field – the genera- lized stress intensity factors – is obtained. The approximation formulas are adopted for determi- nation of the generalized stress intensity factors. The comparison of results obtained for certain problems by the proposed and direct technique shows high efficiency of the proposed approach. 1. Пастернак Я. М., Сулим Г. Т. Розв’язування методами інтегральних рівнянь задач ан- типлоского деформування тіл із тонкими стрічковими включеннями. І. Загальні спів- відношення // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2011. – 47, № 1. – С. 37–43. (Pasternak Ya. M., Sulym H. T. Solution of the problems of antiplane deformation of bodies with thin ribbonlike inclusions by the methods of integral equations. І. General relations // Materials Science. – 2011. – 47, № 1. – P. 36-44.) 2. Сулим Г. Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих тіл з тонкими включеннями. – Львів: Дослідно-видавничий центр НТШ, 2007. – 716 с. 3. Бережницький Л. Т., Качур П. С., Мазурак Л. П. До теорії концентраторів напружень із заокругленими вершинами // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1989. – 25, № 5. – С. 28–41. (Berezhnitskii L. T., Kachur P. S., Mazurak L. P. The theory of stress concentrations with round vertices // Materials Science. – 1989 – 25, № 5. – P. 465–476.) 4. Portela A., Aliabadi M. H., Rooke D. P. The dual boundary element method: Effective imp- lementation for crack problems // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 1992. – 33. – P. 1269–1287. 5. Сулим Г. Т., Пастернак Я. М. Використання J-інтеграла для дослідження поздовжньо- го зсуву анізотропних тіл із тонкостінними стрічковими включеннями // Вісн. Донецьк. ун-ту. Сер. А: Прир. науки. – 2008. – Вип. 1. – С. 88–92. 6. Сулим Г. Т., Пастернак Я. М. Вплив розмірів анізотропних тіл зі стрічковими пружни- ми включеннями на параметри граничного стану за антиплоскої деформації // Методи розв’язування прикладних задач механіки деформівного твердого тіла. – 2009. – Вип. 10. – С. 263–269. 7. Сулим Г. Т. Пастернак Я. М. Застосування методу граничних елементів до аналізу ан- типлоскої деформації анізотропних тіл із тонкостінними структурами // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2008. – 51, № 4. – С. 136–144. (Sulym H. T., Pasternak Ia. M. Application of the boundary element method for analysis of the antiplane shear of anisotropic bodies containing thin-walled structures // J. of Mathema- tical Sciences. – 2010. – 167, № 2. – P. 162–172.) 8. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2-х томах / Под ред. Ю. Мураками. – М.: Мир, 1990. – 1016 с. Одержано 06.04.2010

Репозитарії

Схожі ресурси