Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною

Методом сингулярних інтегральних рівнянь розв’язано осесиметричну задачу кручення пружного простору з гладкою порожниною. Отримано розподіли напружень та їхні максимальні значення на краях порожнин різних форм. Обчислено коефіцієнти концентрації напружень на поверхнях осесиметричних порожнин у всьо...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Кравець, В.С., Васюта, Р.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України 2012
Schriftenreihe:	Фізико-хімічна механіка матеріалів
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135805
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною / В.С. Кравець, Р.В. Васюта // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 102-109. — Бібліогр.: 11 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-135805
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1358052018-06-16T03:07:26Z Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною Кравець, В.С. Васюта, Р.В. Методом сингулярних інтегральних рівнянь розв’язано осесиметричну задачу кручення пружного простору з гладкою порожниною. Отримано розподіли напружень та їхні максимальні значення на краях порожнин різних форм. Обчислено коефіцієнти концентрації напружень на поверхнях осесиметричних порожнин у всьому діапазоні зміни радіуса закруглення їх вершин за умов кручення пружного тіла. Числові результати одержано для порожнин різної конфігурації. Методом сингулярных интегральных уравнений решена осесимметричная задача кручения упругого пространства с гладкой полостью. Получены распределения напряжений и их максимальные значения на краях полостей различных форм. Вычислены коэффициенты концентрации напряжений на поверхностях осесимметричных полостей во всем диапазоне изменения радиуса закругления их вершин в условиях кручения упругого тела. Числовые результаты получены для полостей различной конфигурации. Solution of an axisymmetric torsion problem for an elastic space with a smooth cavity is obtained by the singular integral equation method. The distributions of stresses and their maximum values at the edges of the cavities of various shapes are determinated. The stress concentration factors on the surface of axisymmetric cavities in the whole range of the curvature radius of vertices are calculated for elastic body torsion. Numerical results are obtained for cavities of different configurations. 2012 Article Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною / В.С. Кравець, Р.В. Васюта // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 102-109. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135805 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Методом сингулярних інтегральних рівнянь розв’язано осесиметричну задачу кручення пружного простору з гладкою порожниною. Отримано розподіли напружень та їхні максимальні значення на краях порожнин різних форм. Обчислено коефіцієнти концентрації напружень на поверхнях осесиметричних порожнин у всьому діапазоні зміни радіуса закруглення їх вершин за умов кручення пружного тіла. Числові результати одержано для порожнин різної конфігурації.
format	Article
author	Кравець, В.С. Васюта, Р.В.
spellingShingle	Кравець, В.С. Васюта, Р.В. Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною Фізико-хімічна механіка матеріалів
author_facet	Кравець, В.С. Васюта, Р.В.
author_sort	Кравець, В.С.
title	Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною
title_short	Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною
title_full	Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною
title_fullStr	Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною
title_full_unstemmed	Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною
title_sort	кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною
publisher	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135805
citation_txt	Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною / В.С. Кравець, Р.В. Васюта // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 6. — С. 102-109. — Бібліогр.: 11 назв. — укp.
series	Фізико-хімічна механіка матеріалів
work_keys_str_mv	AT kravecʹvs kručennâpružnogoprostoruzosesimetričnoûvuzʹkoûporožninoû AT vasûtarv kručennâpružnogoprostoruzosesimetričnoûvuzʹkoûporožninoû
first_indexed	2025-07-10T00:09:15Z
last_indexed	2025-07-10T00:09:15Z
_version_	1837216466322063360
fulltext	102 Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2012. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials УДК 539.3 КРУЧЕННЯ ПРУЖНОГО ПРОСТОРУ З ОСЕСИМЕТРИЧНОЮ ВУЗЬКОЮ ПОРОЖНИНОЮ В. С. КРАВЕЦЬ, Р. В. ВАСЮТА Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів Методом сингулярних інтегральних рівнянь розв’язано осесиметричну задачу кру- чення пружного простору з гладкою порожниною. Отримано розподіли напружень та їхні максимальні значення на краях порожнин різних форм. Обчислено коефіцієн- ти концентрації напружень на поверхнях осесиметричних порожнин у всьому діапа- зоні зміни радіуса закруглення їх вершин за умов кручення пружного тіла. Числові результати одержано для порожнин різної конфігурації. Ключові слова: механіка руйнування, коефіцієнт концентрації напружень, осеси- метрична порожнина, кручення, метод сингулярних інтегральних рівнянь. Єдиний підхід до розв’язування плоских [1] та антиплоских [2,3] задач теорії пружності та механіки руйнування тіл з гострими та закругленими кутовими ви- різами поширено на відповідні задачі кручення нескінченних пружних областей з осесиметричними порожнинами. За цим підходом розв’язки крайових задач для пружних тіл, послаблених тріщинами та отворами різних конфігурацій, отримано методом сингулярних інтегральних рівнянь [4]. Метод дає можливість досить точно знаходити розподіли напружень уздовж довільних гладких контурів отво- рів, зокрема, на ділянках контурів, закруглених дугою кола малого відносного радіуса [1, 3]. Особливу увагу приділено визначенню напружено-деформованого стану за- крученого простору з вузькою осесиметричною фізичною щілиною, яка (з пряму- ванням радіуса закруглення у вершині щілини до нуля) найкраще моделює реаль- ну дископодібну тріщину у пружному тілі. Отримані розв’язки для еліпсоїдних порожнин звірено з відомими [5]. Співвідношення між коефіцієнтами концентрації напружень у гладких вер- шинах вирізів та коефіцієнтами інтенсивності напружень у відповідних гострих вершинах залежать не тільки від радіусів кривини у вершинах гладких вирізів, а й від конфігурації вирізів біля їхніх вершин [1–3]. На основі побудованої залеж- ності між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації напружень у гострій та за- кругленій вершинах кутового вирізу за умов антиплоскої деформації [2, 3] задачу кручення пружного простору з осесиметричною порожниною розв’язано для всього діапазону зміни радіуса закруглення у вершині порожнини. Формулювання задачі. Нескінченний пружний простір з осесиметричною порожниною віднесемо до циліндричної системи координат (rzϕ) з початком у центрі порожнини (рис. 1). Для осесиметричної задачі кручення навантаження у тілі розподілені симетрично відносно осі кручення Oz і спрямовані перпендику- лярно до площини ϕ = const, а відмінні від нуля компоненти напружень ,r zϕ ϕτ τ та переміщення v у тангенціальному (відносно кута ϕ) напрямі не залежать від кутової координати ϕ. Рівняння рівноваги у переміщеннях має вигляд [6] Контактна особа: В. С. КРАВЕЦЬ, e-mail: vlad@ipm.lviv.ua 103 2 2 2 2 2 1 0v v v v r rr r z ∂ ∂ ∂ + − + = ∂∂ ∂ , ( ),v v r iz S= ς ς = + ∈ , (1) а компоненти напружень виражено через переміщення v: ( )r vGr r rϕ ∂ ⎛ ⎞τ ς = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ , ( )z vG zϕ ∂ τ ς = ∂ , (2) де G – модуль зсуву. Розглянемо осесиметричну задачу кручення пружного простору S, послабле- ного вільною від навантажень криволінійною порожниною з гладким замкненим контуром у площині rOz: * ( ) 0,n t t Lϕτ = ∈ . (3) Пружний простір закручується на сталий кут Ω на одиницю довжини вздовж осі кручення Oz. Напружено- деформований стан у суцільному про- сторі визначають компоненти напру- жень 0 00,r z G rϕ ϕτ = τ = Ω та переміщень 0v rz= Ω . Враховуючи відсутність напру- жень на осі кручення Oz [6] та на по- верхні осесиметричної порожнини, зведемо задачу до визначення збуре- ного напруженого стану пружного тіла з розрізом L ACB= (кінці якого виходять на вісь кручення (рис. 1)), на берегах якого задані самозрівноважені напруження [7] ( ) ( )n s s± ϕτ = τ , (4) а на нескінченності збурені напруження і поворот відсутні. Тут верхні індекси вказують на граничні значення на контурі L відповідних величин за підходу до нього зліва (+) або справа (–), n – зовнішня нормаль до контуру L, ( )s s t= – дуго- ва абсциса точки t r iz L= + ∈ , 0 0( ) ( ) ( / )( / )ns s r a dr dsϕτ = −τ = −τ , 0 G aτ = Ω . Для самозрівноважених навантажень на берегах тріщини (4) на основі побу- дованих інтегральних зображень загальних розв’язків осесиметричних задач тео- рії пружності за кручення пружних тіл з тріщинами по поверхнях обертання [8] загальний розв’язок рівняння (1) візьмемо у вигляді 2 0 2( ) ( ) ( ) L vv v s r ds G n r ∗⎛ ⎞∂′ ′ ′ς = ς + γ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′∂ ⎝ ⎠ ∫ , ' '( '); ' ' 's s t t r iz L= = + ∈ , r iz Sς = + ∈ , (5) де 0( )v rzς = Ω – переміщення у тілі без тріщини, ( ) ( ) ( ) / 2s G v s v s+ −⎡ ⎤γ = −⎣ ⎦ – (6) стрибок переміщень на контурі тріщини L, * * 2( , ') 2 ( ) (2 ) ( ) (2 )v v t E k k K k k rr⎡ ⎤ ′= ς = − − π⎣ ⎦ – (7) фундаментальний розв’язок диференційного рівняння (1), Рис. 1. Кручення простору з осесиметричною порожниною. Fig. 1. Torsion of space with an axisymmetric cavity. 104 2 22 ; ( ) ( )k rr z z r r′ ′ ′= δ δ = − + + , (8) K(k) і E(k) – повні еліптичні інтеграли першого і другого родів. Інтегральне рівняння задачі. Використовуючи залежності (2), за допомо- гою подання для переміщень (5) задовольнимо крайову умову (4) на контурі трі- щини ( t Lς→ ∈ ). Отже, задачу звели до сингулярного інтегрального рівняння [9] ( ) ( ) ( )1 Γ ', ' L s J s s ds s′ = τ π ∫ (9) відносно невідомої функції ( ) { }( ) , ( ),s s r s s s t t r iz LΓ = ∂ γ ∂ = = + ∈ , ядро якого визначає співвідношення [7] ( ) ( ) 1 2 / 2 ( ') ( ')', , , ', ' 4 r r r dr z z dz r r drJ s s J r z r z D D k r ds r ds r ds ′ ′ ⎫− +⎧= = + +⎨ ⎬ ⎩ ⎭ , (10) де 2 2 2 1 (8 3 ) ( ) (7 8) ( ) (1 )D k K k k E k k= − + − − ; 2 4 2 2 2 8( 2) ( ) ( 16 16) ( ) (1 )D k K k k k E k k= − + − + − . (11) Сингулярне інтегральне рівняння (9) має єдиний розв’язок у класі функцій з інтегровною особливістю на кінцях контуру інтегрування за умови однозначності переміщень за обходу контуру тріщини L [4]: ( )Γ 0 L s ds =∫ . (12) Напружений стан простору з порожниною. Збурені напруження у внут- рішніх точках тіла ( r iz Sς = + ∈ ) визначені за формулами [8] 3 2 2( , ) ( )r L r z s r ds zr ∗ ϕ ∂Φ′ ′ ′τ = Γ ∂∫ , 3 2 2( , ) ( )z L r z s r ds rr ∗ ϕ ∂Φ′ ′ ′τ = − Γ ∂∫ , (13) де ( )* 2 2 2 2 3( , ') 8(2 ) ( ) (4 )(4 3 ) ( ) 6 't r k E k k k K k r k rr⎡ ⎤ ′Φ ς = − − − − π⎣ ⎦ , параметр k знаходимо з виразу (8), ' ' 't r iz L= + ∈ . Повні тангенціальні напруження * ( )s sϕτ на краю порожнини визначають че- рез граничні напруження (13) на правому березі розрізу L та відповідні напру- ження у тілі без порожнини: * 0( ) ( ) ( ), ( ),s s ss s s s s t t r iz L− ϕ ϕ ϕτ = τ + τ = = + ∈ . (14) Тут 0 0( ) ( / )( )s s r a dz dsϕτ = τ – відомі дотичні напруження у точці t L∈ суцільного пружного тіла, що відповідають заданому куту Ω його закручування; 0 G aτ = Ω . Граничне значення напружень 0 1( ) ( ) ( ) ( , ')s L s s r s P s s ds− ϕ ′ ′τ = −Γ ⋅ + Γ π ∫ (15) знайдено за допомогою залежності ( ) ( )( ) ( ) ( )s r zs s dr ds s dz dsϕ ϕ ϕτ = τ + τ , співвід- ношень (13) та формул Сохоцького–Племеля для граничних значень інтегралів типу Коші [10]. Тут 105 0 1 2 2 ' ( ') ( ')( , ') 8 r dz z z dr r r dzP s s D D r r ds r ds r ds ⎧ ⎫δ − + = − + −⎨ ⎬ ⎩ ⎭ , (16) а величини 1 2, ,D Dδ визначені співвідношеннями (8) і (11). Схема числового розв’язування задачі. Записавши параметричне рівняння контуру L у вигляді ( ), 1 1t r iz a= + = ω η − ≤ η≤ ; ( ' ' ' ( ), 1 1t r iz a= + = ω ξ − ≤ ξ ≤ ), (17) подамо сингулярне інтегральне рівняння (9) та додаткову умову (12) у канонічній безрозмірній формі: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Γ , ( ), 1 1, Γ 0,J d d − − ξ ξ η ξ = τ η − ≤ η≤ ξ ξ = π π∫ ∫ (18) де 1( , ) ( '( ), ( ))J aJ s sξ η = ξ η , 1 0( ) ( '( )) '( ) /sΓ ξ = Γ ξ ω ξ τ , 1 0( ) ( ( )) /sτ η = τ η τ , '( ), ( )s sξ η – дугові абсциси точок ',t t L∈ . Невідому дійсну функцію 1( )Γ ξ шука- тимемо у класі функцій, що мають інтегровну особливість на кінцях проміжку інтегрування 2 1( ) ( ) 1uΓ ξ = ξ − ξ . Щоб поліпшити точність числового розв’язування задачі для малих віднос- них радіусів закруглень вершин вирізів ( / 0aε = ρ → ), використовують різні не- лінійні перетворення, які згущують точки квадратурних вузлів біля цих вершин. Для розгляду досить вузьких порожнин використаємо перетворення [1] ( ) sh( ), arsh(1/ ), constGξ = τ = ν µτ µ = ν ν = , (19) яке відображає інтервал [ 1; 1]τ∈ − в інтервал [ 1; 1]ξ∈ − і згущує вузли квадратур- них формул в околі точки 0ξ = . Сталу ν у заміні (19) вибирали за результатами числових експериментів залежно від форми контуру L та радіуса закруглення у вершині (для фізичної щілини взято / aν = ρ ). Увівши позначення для нової невідомої функції 2 2 1 1( ) 1 '( ) ( ) 1 ( ) '( )u G u Gτ − τ = τ ξ − ξ = Γ ξ τ , (20) рівняння (18) звели до вигляду ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 12 21 1 1 1, ( ), 0, 1 1 u u J d d − − τ τ ξ η τ = τ η τ = π π− τ − τ ∫ ∫ (21) де ( ) sh( )Gη= θ = ν µθ , 1 1( ) ( ( ))Gτ η = τ θ . Скориставшись для числового розв’язування інтегрального рівняння (21) квадратурним методом [4], прийдемо до системи N лінійних алгебричних рівнянь 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( , ) ( ), 1, 1; ( ) 0 N N k k m m k k k u J m N u N N= = τ ξ η = τ η = − τ =∑ ∑ (22) відносно N вузлових значень 1( )ku τ неперервної на проміжку [–1; 1] невідомої функції 1( )u τ (20). Тут ( )k kGξ = τ ; ( )m mGη = θ ; ( )cos (2 1) /(2 ) ; 1,k k N k Nτ = π − = ; ( )cos ; 1, 1m m N m Nθ = π = − – (23) нулі поліномів Чебишова першого та другого родів. 106 Дотичні напруження на поверхні порожнини знаходимо зі співвідношень (14)–(16). Застосувавши до інтеграла у виразі (15) відповідні квадратурні форму- ли [4], на основі отриманих розв’язків 1( )ku τ системи лінійних алгебричних рів- нянь (22) дістанемо: * 0 1 1 12 1 ( ) Re[ ( )] 1( ) ( ) ( , ) '( )'( ) 1 N m m s m k k m m km m u u P NG ϕ = τ θ ω η τ η = − + τ ξ η + ω ηθ − θ ∑ + 0 Re[ ( )]Im[ '( )] '( ) m m ma τ ω η ω η ω η , 1, 1m N= − , (24) де 1 0( , ) ( ( ), ( ))P P a aξ η = ω ξ ω η . З інтерполяційної формули [4] маємо: { }2 1 1 1 1( ) ( 1) 1 ( ) ( ) N m k m k k m k k u u N + = θ = − − τ τ − θ τ∑ . Числові результати. Розраховано розподіли напружень (14) на різних по- верхнях осесиметричних порожнин за кручення пружного простору на сталий кут Ω. Розглянуто три форми симетричних відносно осі Or розімкнених контурів L ACB= з однаковими радіусами закруглення у вершинах С (рис. 2). Парамет- ричне рівняння (17) для півеліптичного контуру (схема на рис. 2а) взято у вигляді { }2 2 1( ) (1 ) 2 / /(1 ), 1 1t a a i b= ω η = − η + ηρ + η − ≤ η≤ , 2 /b aρ = . (25) Відповідний контур по дузі параболи (схема на рис. 2b) визначено співвідношен- ням { }2 2 2( ) (1 ) 2 / , 1 1, /(2 )t a a i b b a= ω η = − η + ηρ − ≤ η≤ ρ = . (26) Розглянуто також U-подібні контури із закругленими вершинами (половинки контурів фізичних щілин – вузьких отворів, контури яких складаються з двох па- ралельних відрізків, гладко з’єднаних на кінцях двома півколами радіуса ρ) (схе- ма на рис. 2c). Параметричне рівняння таких контурів подамо у вигляді ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 /(2 ) , 1 , , exp /(2 ) , , 2 /(2 ) , 1, i t a i i ⎧π η + η η − − ≤ η< −η ⎪πθε ⎪= ω η ω η = + ε πη η − η ≤ η≤ η⎨ ⎪π η − η η + η < η≤⎪⎩ (27) де aε = ρ ; 0 1 (1 )η = + θ – значення параметра η, що відповідає точці переходу прямолінійної ділянки контуру в криволінійну, θ – відношення довжини прямо- лінійних ділянок контурів до довжини колових; 2 (1 )l = ρπ + θ – повна дугова дов- жина U-подібного контуру L ACB= (рис. 1). Обчислено відносні напруження (24) * 0( ) ( ) /s sϕτ θ = τ η τ вздовж півеліптично- го, параболічного та U-подібного контурів ( arg( ),t a t Lθ = − +ρ ∈ ) із фіксовани- ми відносними радіусами кривини у вершинах ( ,0)C a {0,1; 0,01; 0,001}aε = ρ ∈ (рис. 2). Числові результати для фізичної щілини (криві 3) суттєво відрізняються від результатів для півеліптичного та параболічного контурів (криві 1, 2). Зокре- ма, відносні різниці максимальних напружень у вершинах U-подібних та півеліп- тичних контурів перевищують 5,5% для ε = 0,1; 18% – для ε = 0,01 і 28% – для ε = 0,001. Зі зменшенням параметра ε розподіли напружень в околах вершин ( ,0)C a півеліптичних та параболічних контурів збігаються (криві 1, 2, рис. 2b, c). 107 Рис. 2. Розподіл напружень * 0( ) /s sϕτ θ = τ τ уздовж півеліптичних (криві 1), параболічних (криві 2) та U-подібних (криві 3) контурів для ε = 0,1 (a); 0,01 (b); 0,001 (c). Fig. 2. Distribution of stress * 0( ) /s sϕτ θ = τ τ along half-elliptic (curves 1), parabolic (curves 2), and U-shaped (curves 3) contours for ε = 0.1 (a); 0.01 (b); 0.001 (c). Рис. 3. Залежність коефіцієнта концентрації напружень * 0(0) /C sk ϕ= τ τ для півеліптичного (крива 1) та U-подібного (крива 2) контурів від параметра ε. Fig. 3. Dependence of the stress concentration factor * 0(0) /C sk ϕ= τ τ for half-elliptic (curve 1) and U-shaped (curve 2) contours on parameter ε. Вплив радіуса закруглення контуру L у вершині С на коефіцієнт концентра- ції напружень * 0(0) /C sk ϕ= τ τ є різним для півеліптичного (25) та U-подібного (27) контурів (рис. 3). Тут відносна різниця коефіцієнтів концентрації напружень (за однакових радіусів закруглення у їх вершинах) зростає зі зменшенням пара- метра ε і перевищує 33% для 0,00001ε ≤ , однак монотонно спадає до нуля, коли 1ε→ (форма отвору наближається до колової). Обчислені коефіцієнти концен- трації напружень для еліпсоїдних порожнин за різних радіусів кривини у їх вер- шинах збігаються (відносна похибка не перевищує 0,12%) з відомими, знайдени- ми, зокрема, за формулою Нойбера [5]: 108 2 2 max 0/ 2(1/ 1) /(3 / 5/ 2), arctg 1/ 1 1/ 1c cτ τ = ε − ε − ε + = ε − ε − . На основі отриманих числових результатів для коефіцієнтів концентрації напружень побудовано залежності добутків max 0/τ ε τ від параметра / aε = ρ (рис. 4). Коли 0ε→ , ці результати узгоджуються з відомим значенням коефіці- єнта інтенсивності напружень для дископодібної тріщини у пружному просторі за умов кручення [11]: III 0(4 / 3) /K a= τ π ( III III 0/( ) 4 /(3 ) 0,4244F K a= τ π = π ≈ ). Рис. 4. Залежність добутку max 0/τ ε τ від параметра ε у вершині С півеліптичного (крива 1) та U-подібного (крива 2) контурів. Fig. 4. Dependence of the product max 0/τ ε τ on parameter ε at the vertex C of half-elliptic (curve 1) and U-shaped (curve 2) contours. Тут використано відомі залежності між коефіцієнтами інтенсивності на- пружень у вершинах гострих кутових вирізів та концентрації напружень у за- круглених вершинах за антиплоскої деформації [3], які для U-подібного контуру мають вигляд { }III max III 0 lim 2 /K R ρ→ = τ πρ , де IIIR – коефіцієнт впливу закруглен- ня на напруження у вершині вирізу (для U-подібного контуру III 1,901R = [2]). На основі обчислених величин max 0/τ ε τ побудовано апроксимувальну формулу для визначення максимальних напружень у вершині дископодібної фі- зичної щілини за умов кручення пружного простору: max 0 0,5705 0,4717 ⎧ ⎫ε⎪ ⎪τ = τ +⎨ ⎬ ε ε +⎪ ⎪⎩ ⎭ , / aε = ρ . (28) Числові коефіцієнти тут отримано з умов max 0 III III/ / 2 0,5705F Rτ ε τ → ≈ , коли 0ε→ , та max 01,25τ = τ для 1ε = . Максимальна відносна похибка формули (28) не перевищує 0,7% для всього діапазону розглядуваних значень параметра [0,00001;1]ε∈ . ВИСНОВКИ Осесиметричну задачу кручення нескінченного пружного тіла з порожни- ною зведено до розв’язування сингулярного інтегрального рівняння на розімкне- ному контурі, вершини якого виходять на вісь кручення. Квадратурним методом одержано числові розв’язки цього рівняння і на їх основі досліджено концентра- цію напружень біля криволінійних порожнин із закругленими вершинами. За цим підходом обчислені коефіцієнти концентрації напружень на поверхнях осесимет- ричних порожнин у всьому діапазоні зміни радіуса закруглення у вершинах по- рожнин і побудовано апроксимувальну формулу для визначення максимальних напружень у вершині дископодібної фізичної щілини. У граничному випадку, ко- 109 ли радіус закруглення у вершині дископодібної фізичної щілини прямує до нуля, отримані результати узгоджуються з відомими значеннями коефіцієнта інтенсив- ності напружень у вершинах дископодібної тріщини за умов кручення. Порівнян- ня одержаних результатів для еліпсоїдних порожнин з відомими розв’язками під- твердили високу точність та ефективність цього підходу. РЕЗЮМЕ. Методом сингулярных интегральных уравнений решена осесимметричная задача кручения упругого пространства с гладкой полостью. Получены распределения напряжений и их максимальные значения на краях полостей различных форм. Вычислены коэффициенты концентрации напряжений на поверхностях осесимметричных полостей во всем диапазоне изменения радиуса закругления их вершин в условиях кручения упру- гого тела. Числовые результаты получены для полостей различной конфигурации. SUMMARY. Solution of an axisymmetric torsion problem for an elastic space with a smooth cavity is obtained by the singular integral equation method. The distributions of stresses and their maximum values at the edges of the cavities of various shapes are determinated. The stress concentration factors on the surface of axisymmetric cavities in the whole range of the curvature radius of vertices are calculated for elastic body torsion. Numerical results are ob- tained for cavities of different configurations. 1. Саврук М. П., Казберук А. Единый подход к решению задач о концентрации напряже- ний около острых и закругленных угловых вырезов // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 2. – С. 70–87. 2. Саврук М. П., Казберук А., Тарасюк Г. Розподіл напружень на контурі кутового закру- гленого вирізу за антиплоскої деформації // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2011. – 47, № 6. – С. 7–14. (Savruk M. P., Kazberuk A., and Tarasyuk G. Distribution of stresses over the contour of a rounded V-shaped notch under antiplane deformation // Materials Science. – 2011. – 47, № 6. – P. 717–725.) 3. Саврук М. П., Казберук А.,Тарасюк Г. Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації // Там же. – 2012. – 48, № 4. – С. 5–13. 4. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1981. – 324 с. 5. Neuber H. Kerbspannungslehre: Theorie der Spannungskonzetration Genaue Berechnung der Festigkeit. – Berlin: Springer-Verlag, 1985. – 326 s. 6. Арутюнян Н. Х., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. – М.: Физматлит, 1963. – 688 с. 7. Кравець В. С., Саврук М. П. Напружений стан простору з осесиметричною тріщиною по поверхні обертання // 10-ий Міжнар. симп. укр. інженерів-механіків у Львові. – Львів: КІНПАТРІ ЛТД, 2011. – С. 102–104. 8. Саврук М. П. Інтегральні рівняння осесиметричних задач кручення пружних тіл з трі- щинами // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1989. – 25, № 6. – С. 37–44. (Savruk M. P. Integral equations for axisymmetric torsion in an elastic body containing cracks // Materials Science. – 1989. – 25, № 6. – P. 584–592.) 9. Саврук М. П., Байдак С. Д., Шабайкович В. О. Кручення пружного простору з тріщи- ною по поверхні обертання // Там же. – 1993. – 29, № 6. – С. 87–93. (Savruk M. P., Baidak S. D., and Shabaikovych V. O., Torsion of an elastic space with a crack on the surface of revolution // Materials Science. – 1993. – 29, № 6. – P. 649–656.) 10. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 708 с. 11. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: в 2-х т. / Под ред. Ю. Му- раками. – М.: Мир, 1990. – Т. 2. – 1016 с. Одержано 26.11.2012

Кручення пружного простору з осесиметричною вузькою порожниною

Institution

Ähnliche Einträge