Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень

Модифікованим методом скінченних різниць за часом та методом рядів Фур’є за кутовою координатою розв’язано плоску динамічну задачу теорії пружності про дію неосесиметричних ударних зусиль на краю колового отвору у нескінченній площині. Розраховано концентрацію напружень на отворі залежно від часу за...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Онишко, Л.Й., Сенюк, М.М., Онишко, О.Є.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України 2014
Schriftenreihe:	Фізико-хімічна механіка матеріалів
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135878
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень / Л.Й. Онишко, М.М. Сенюк, О.Є. Онишко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 116-121. — Бібліогр.: 4 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-135878
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1358782018-06-17T03:07:45Z Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень Онишко, Л.Й. Сенюк, М.М. Онишко, О.Є. Модифікованим методом скінченних різниць за часом та методом рядів Фур’є за кутовою координатою розв’язано плоску динамічну задачу теорії пружності про дію неосесиметричних ударних зусиль на краю колового отвору у нескінченній площині. Розраховано концентрацію напружень на отворі залежно від часу за різних коефіцієнтів Пуассона та параметрів навантаження. Встановлено, що дію зосереджених сил на отворі можна змоделювати параболічно розподіленими за кутовою координатою зусиллями. Модифицированным методом конечных разностей по времени и методом рядов Фурье по угловой координате решена плоская задача теории упругости о действии неосесимметричных ударных усилий на краю кругового отверстия в бесконечной плоскости. Рассчитана концентрация напряжений на отверстии в зависимости от времени для различных коэффициентов Пуассона и геометрических параметров нагружения. Показано, что действие сосредоточенной силы можно смоделировать параболически распределенными усилиями. Using the modified finite difference method with respect to time and the Fourier series method with respect to angular variable the plane elastic theory problem on the action of nonaxisymmetrical impact forces at the circular hole boundary in an infinite plane is solved. The stress concentration at the hole depending on time for different Poisson’s ratios and geometrical parameters of the loading is calculated. The action of concentrated force can be simulated by parabolic distributed forces. 2014 Article Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень / Л.Й. Онишко, М.М. Сенюк, О.Є. Онишко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 116-121. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135878 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Модифікованим методом скінченних різниць за часом та методом рядів Фур’є за кутовою координатою розв’язано плоску динамічну задачу теорії пружності про дію неосесиметричних ударних зусиль на краю колового отвору у нескінченній площині. Розраховано концентрацію напружень на отворі залежно від часу за різних коефіцієнтів Пуассона та параметрів навантаження. Встановлено, що дію зосереджених сил на отворі можна змоделювати параболічно розподіленими за кутовою координатою зусиллями.
format	Article
author	Онишко, Л.Й. Сенюк, М.М. Онишко, О.Є.
spellingShingle	Онишко, Л.Й. Сенюк, М.М. Онишко, О.Є. Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень Фізико-хімічна механіка матеріалів
author_facet	Онишко, Л.Й. Сенюк, М.М. Онишко, О.Є.
author_sort	Онишко, Л.Й.
title	Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень
title_short	Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень
title_full	Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень
title_fullStr	Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень
title_full_unstemmed	Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень
title_sort	динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень
publisher	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/135878
citation_txt	Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень / Л.Й. Онишко, М.М. Сенюк, О.Є. Онишко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 116-121. — Бібліогр.: 4 назв. — укp.
series	Фізико-хімічна механіка матеріалів
work_keys_str_mv	AT oniškolj dinamíčníkoefícíêntikoncentracíínapruženʹuploŝinízkolovimotvoromzadííudarnihneosesimetričnihnavantaženʹ AT senûkmm dinamíčníkoefícíêntikoncentracíínapruženʹuploŝinízkolovimotvoromzadííudarnihneosesimetričnihnavantaženʹ AT oniškooê dinamíčníkoefícíêntikoncentracíínapruženʹuploŝinízkolovimotvoromzadííudarnihneosesimetričnihnavantaženʹ
first_indexed	2025-07-10T00:17:42Z
last_indexed	2025-07-10T00:17:42Z
_version_	1837217008143302656
fulltext	116 Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2014. – ¹ 5. – Physicochemical Mechanics of Materials УДК 539.3 ДИНАМІЧНІ КОЕФІЦІЄНТИ КОНЦЕНТРАЦІЇ НАПРУЖЕНЬ У ПЛОЩИНІ З КОЛОВИМ ОТВОРОМ ЗА ДІЇ УДАРНИХ НЕОСЕСИМЕТРИЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ Л. Й. ОНИШКО 1, М. М. СЕНЮК 1, О. Є. ОНИШКО 2 1 Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів; 2 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів Модифікованим методом скінченних різниць за часом та методом рядів Фур’є за ку- товою координатою розв’язано плоску динамічну задачу теорії пружності про дію неосесиметричних ударних зусиль на краю колового отвору у нескінченній площи- ні. Розраховано концентрацію напружень на отворі залежно від часу за різних коефі- цієнтів Пуассона та параметрів навантаження. Встановлено, що дію зосереджених сил на отворі можна змоделювати параболічно розподіленими за кутовою координа- тою зусиллями. Ключові слова: динамічна плоска задача, нескінченна пластина, коловий отвір, скінченні різниці, ряди Фур’є, неосесиметричне ударне навантаження, зосереджена сила. Методами скінченних різниць за часом та рядів Фур’є за кутовою змінною розв’язана задача про дію довільних неосесиметрично розподілених зусиль на краю колового отвору у нескінченній пружній площині [1]. Цей підхід дає змогу розв’язати низку нових динамічних задач. Відзначимо, що раніше спроби розв’я- зати задачу вищезгаданими методами про дію ударних зосереджених сил (з вико- ристанням дельта-функції за кутовою координатою) на краю колового отвору призвели до неоднозначних розв’язків через погану збіжність рядів Фур’є, у які було розвинено дельта-функції Дірака. Нижче показано, що в результаті звужен- ня ділянок параболічно розподіленого навантаження можна змоделювати дію зосереджених зусиль на краю отвору. Постава задачі та метод розв’язування. Нехай у нескінченній пружній площині міститься коловий отвір радіуса R. Систему полярних координат ( ,r  ) вибрано з початком у центрі кола (рис. 1). На краю отвору прикладене ударне динамічне навантаження  , ( ) ( )p t N H t   , де ( )H t – функція Хевісайда, а ( )N  – параболічний розподіл нормальних напружень за кутом  (рис. 1):   2 0, 0 / 2 , / 2 , , / 2 / 2 , 3 / 2 3 / 2 , N a b c                                       (1) де 2 – кут розхилу навантажень, які охоплюють коловий отвір; a, b, c – константи. Задачу розв’язано за нульових початкових умов на напруження та їхніх по- хідних за часом 0 0 0 ( , , ) 0, ( , , ) 0, ( , , ) 0,rr rt t t r t r t r t            (2) Контактна особа: Л. Й. ОНИШКО, e-mail: sen_lm@ipm.lviv.ua 117 0 0 0 ( , , ) 0, ( , , ) 0, ( , , ) 0,rr r t t t d d d r t r t r t dt dt dt             (3) і крайових умов:  ,rr r R p t   , 0r r R   . (4) Рис. 1. Параболічний розподіл ударних зусиль на краю колового отвору. Fig. 1. Parabolic distribution of impact forces at the circular hole boundary. Невідомі коефіцієнти (a, b, c) параболіч- ної функції ( )N  (1) знаходимо за трьома точ- ками (  / 2 0,N      / 2N q  ) зі системи трьох рівнянь: 2 2 2 ( / 2 ) ( / 2 ) 0, ( / 2 ) ( / 2 ) 0, ( / 2) / 2 . a b c a b c a b c q                           (5) Тоді функція зміни зовнішнього наванта- ження (1) від полярного кута  для різних кутів розхилу параболи  (рис. 1) матиме вигляд   2 2 2 2 0, 0 / 2 , / 2 , / (1/ ) ( / 4) , / 2 / 2 , 3 / 2 3 / 2 . N q                                               (6) Параметр q знаходимо з умови рівності константі головного вектора Y зов- нішніх зусиль 2 2 4 sin ( )sin (cos ) const q Y N d                 . Використаємо формули розподілу напружень для загального випадку неосе- симетрично навантаженого колового отвору динамічними зусиллями у нескінчен- ній пружній площині [1] та знайдемо для навантаження (6) розподіл відносних напружень 0( , , ) /R t   на контурі отвору за такими співвідношеннями: 0 ( , , )r t           4 2 5 1 1 3 1 6 2 2 1 20 1 ( , , ) cos ( , ) mj n n m n m m n m n m m jm n m mn m p L s L s s L s L s s w n L s s                  , (7) де          1 2 4 2 1 1 2 2 3 1,n m m n m n m n m n mL s s L s L s L s L s    , 118   2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 12 , 2 ( ) ( ) ( )n m m n m m n m m n m R R L s s K s s K s s n K s r r                 ,     1 1 1 1 1 1 1, m m n m n m m s s L s L s s     ,   2 2 2 2 2 2 22 , 2 ( ) ( )n m m n m m n m R R L s s n K s s K s r r            ,     2 2 2 2 2 2 2, m m n m n m m s s L s L s s     , (8)   2 3 1 1 1 1 12 , 2 ( ) ( )n m m n m m n m R R L s s n K s s K s r r             ,     1 1 3 1 3 1 1, m m n m n m m s s L s L s s     ,   2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 22 , ( ) ( ) ( )n m m n m m n m m n m R R L s s K s s K s s n K s r r         ,     2 2 4 2 4 2 2, m m n m n m m s s L s L s s     ,   1 2 2 2 5 1 1 1 1 1 12 , ( ) 2 ( ) 2 ( ) mn m m n m m n m n m R R L s s K s s s K s n K s r r                        ,     1 1 5 1 5 1 1, m m n m n m m s s L s L s s     ,   2 6 2 2 2 2 22 , 2 ( ) ( )n m m n m n m m R R L s s n K s K s s rr            ,     2 2 6 2 6 2 2, m m n m n m m s s L s L s s     ,    1( ) ,n km n km n km km n K s K s K s s           km km n km n km s s K s K s      ,      1 2 ( ) , ( ) n km n km n km n km km km n n K s K s K s K s s s                km km n km n km s s K s K s      . Тут 1 2 1( )m ms c c  , 2 1m ms   , 1 2 1( )m ms c r R c  , 2 ( )m ms r R  , kc – швидкості поздовжніх (k = 1) та поперечних (k = 2) хвиль, 2 /m mc t R   – без- розмірні скінченні різниці за часом [2], 0 – статичні колові напруження (у точ- ках 0,   ) для нескінченної пружної площини з коловим отвором, яка розтягу- ється двома зосередженими силами, прикладеними в точках колового контуру / 2   , , ,n n nK K K  – функції Макдональда n-го порядку та їхні похідні; ,  – сталі Ляме, 2 (1 2 )      ( – коефіцієнт Пуассона). Коефіцієнти jmw визначаємо за відомими рекурентними співвідношеннями [2]: , 1 1 11; /( ), 2, 3, ...;jj j j j j jw w j         2 , 1, 2,2 2 1 1 1 ;j n j j j j n j j n j j n j jj n j w w w                          3, 4, ...; 2, 3, ..., 1.j n j   Для знаходження невідомих коефіцієнтів m np  розкладемо навантаження (6) у ряд Фур’є 119   0 cosn n N p n      та знайдемо його коефіцієнти так [3]: 2 0 1 8cos( / 2) sin ( )cos cosn n n p N n d q n nn                 . (9) Використовуючи формули (9), коефіцієнти np  визначаємо за рекурентними співвідношеннями [2]: 1 0 0 1 / / m m m n l n n ml n l p p w p        , ( m n np p ). (10) Числові результати. Виконали числові розрахунки розподілу напружень (7) залежно від безрозмірного часу 2 /c t R  на коловому отворі, який навантаже- ний розподіленими за параболічним законом (6) ударними зусиллями (рис. 2). Для різних кутів розхилу параболи  (див. рис. 1) максимальні відносні напру- ження 0  отримали для точки θ = 0° ( 0,3  ) (рис. 2а). Для малих кутів 1 <  < 15 та великих часів ( 10  ) відносні колові напруження прямують до одиниці, тобто значення динамічних напружень наближаються до відповідних для статичної задачі за дії двох зосереджених сил, прикладених у протилежних точках контуру [4]. Отже, дію зосереджених сил можна моделювати параболіч- ним розподілом ударних зусиль (6) для кутів 1 <  < 15. Рис. 2. Залежність напружень  /0 на краю колового отвору від часу для різних кутів  в точці  = 0 (а) та  = 45 (b). Fig. 2. Time dependence of stresses  /0 at the circular hole boundary for various angles  at point  = 0 (а),  = 45 (b). У точці  = 45 змінюється якісна картина залежності напружень 0  від часу у всьому діапазоні значень кута  (рис. 2b). У початковий момент часу спостерігали динамічний ефект – наявні ненульо- ві стискальні напруження 0  для точок контуру, які знаходяться в зоні дії навантаження (45 <  < 90). Максимальні напруження досягаються у точках контуру, які розташовані на вільній від навантаження поверхні (1 <  < 45). Коефіцієнт Пуассона матеріалу площини  суттєво впливає на зміну напру- жень 0  в часі (рис. 3). Розглянули випадки, коли контур отвору навантаже- ний по всій поверхні ( = 90) (рис. 3а) та вздовж малих ділянок ( = 15) (рис. 3b). Для великих часів ( > 10) напруження 0  прямують до свого статичного значення і не залежать від коефіцієнта Пуассона. 120 Рис. 3. Вплив коефіцієнта Пуассона на відносні напруження  /0 на краю отвору ( = 0) для кутів  = 15 (а) та  = 90 (b). Fig. 3. The influence of Poisson’s ratio on relative stresses  /0 at the circular hole boundary ( = 0) for  = 15 (а),  = 90 (b). Вплив коефіцієнта Пуассона на динамічні напруження 0  у точці пере- ходу від вільного краю отвору до навантаженого ( = 75 = 90 – ) найвідчутні- ший для малих часів 0 <  < 2 (рис. 4). Динамічний ефект у початковий момент часу посилюється зі збільшенням коефіцієнта Пуассона, а для великих часів отримано відомий статичний розв’язок задачі про дію зосереджених сил [4]. Рис. 4. Fig. 4. Рис. 5. Fig. 5. Рис. 4. Залежність напружень  /0 на краю колового отвору від часу за різних коефіцієнтів Пуассона в точці  = 75 для кута  = 15. Fig. 4. Time dependence of stresses  /0 at the circular hole boundary for various Poisson’s ratio values at point  = 75 for  = 15. Рис. 5. Часова залежність напружень  /0 на краю колового отвору для різних кутів  ( = 5,  = 0,3). Fig. 5. Time dependence of stresses  /0 at the circular hole boundary for various angles  ( = 5,  = 0.3). Для вузьких ділянок навантаженого отвору ( = 5) швидкість зростання на- пружень 0  у часі суттєво залежить від кутової координати  (0 <  < 85) (рис. 5). Для точок контуру   85, що знаходяться під навантаженням, залеж- ність напружень від часу якісно змінюється і для цієї ділянки контуру отримані результати вже не моделюють дію зосередженої сили. ВИСНОВКИ Розв’язано динамічну плоску задачу для нескінченної площини з коловим отвором за дії на його краю неосесиметричних зусиль, розподілених згідно з па- раболічним законом за кутовою координатою. Запропоновано підхід до розв’язу- 121 вання задачі про дію двох симетрично розташованих на краю колового отвору у нескінченній пружній площині ударних зосереджених сил. Встановлено парамет- ри задачі, за яких дію зосереджених сил на краю колового отвору можна змоде- лювати параболічно розподіленим ударним зусиллям. Досліджено поведінку ди- намічних колових напружень на краю отвору для різних коефіцієнтів Пуассона та кутових розхилів ділянок навантаження. РЕЗЮМЕ. Модифицированным методом конечных разностей по времени и методом рядов Фурье по угловой координате решена плоская задача теории упругости о действии неосесимметричных ударных усилий на краю кругового отверстия в бесконечной плос- кости. Рассчитана концентрация напряжений на отверстии в зависимости от времени для различных коэффициентов Пуассона и геометрических параметров нагружения. Показа- но, что действие сосредоточенной силы можно смоделировать параболически распреде- ленными усилиями. SUMMARY. Using the modified finite difference method with respect to time and the Fourier series method with respect to angular variable the plane elastic theory problem on the action of nonaxisymmetrical impact forces at the circular hole boundary in an infinite plane is solved. The stress concentration at the hole depending on time for different Poisson’s ratios and geometrical parameters of the loading is calculated. The action of concentrated force can be simulated by parabolic distributed forces. 1. Онишко Л. Й., Сенюк М. М., Біда Н. М. Дія неосесиметричного динамічного наванта- ження на коловий отвір у пружній нескінченній площині // Фіз.-хім. механіка матеріа- лів. – 2014. – № 2. – С. 55–61. 2. Саврук М. П. Новий метод розв’язування динамічних задач теорії пружності та меха- ніки руйнування // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2003. – 39, № 4. – С. 194–198. (Savruk M. P. New Method for the solution of dynamic problems of the theory of elasticity and fracture mechanics // Materials Science. – 2003. – 39, № 4. – P. 465–471.) 3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и уча- щихся втузов. – М.: Наука, 1981. – 720 с. 4. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. – К.: Наук. думка, 1976. – 444 с. Одержано 10.07.2014

Динамічні коефіцієнти концентрації напружень у площині з коловим отвором за дії ударних неосесиметричних навантажень

Institution

Ähnliche Einträge