Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра
Шляхом відокремлення кутової змінної дослідження тривимірного напружено-деформованого стану скінченного товстостінного двошарового циліндра зведено до розв’язання одновимірних крайових задач. Компоненти вектора переміщень і тензора напружень подано у вигляді рядів, які визначають побудовані власні ф...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2014
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136101 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра / В.П. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 53-58. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-136101 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1361012018-06-16T03:06:01Z Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра Ревенко, В.П. Шляхом відокремлення кутової змінної дослідження тривимірного напружено-деформованого стану скінченного товстостінного двошарового циліндра зведено до розв’язання одновимірних крайових задач. Компоненти вектора переміщень і тензора напружень подано у вигляді рядів, які визначають побудовані власні функції. Розроблено метод аналітично-числового розв’язання крайових задач для двошарового циліндра. Вперше теоретично встановлено числові критерії збіжності методу і показано, що точність задоволення крайових умов оцінює одне число – мінімум квадратичної форми. Рассмотрено трехмерное напряженно-деформированное состояние конечного толстостенного двухслойного цилиндра, исследования которого путем разделения переменных сведено к решению одномерных краевых задач. Компоненты вектора перемещений и тензора напряжений представлены в виде рядов, которые определяются построенными собственными функциями. Разработан метод аналитико-числового решения краевых задач для двухслойного цилиндра. Впервые теоретически установлены числовые критерии сходимости метода и показано, что точность удовлетворения краевых условий определяет одно число – минимум квадратичной формы. The three-dimensional stress state of the finite two-layer thick-walled cylinder; which was investigated by separating the angular variable, is reduced to solving the onedimensional boundary value problems. Components of displacement vectors and the stress tensors are given as a series defined by eigenfunctions. The method of analytical and numerical solution of th boundary value problems for two-layer cylinder is developed. Numerical criteria for convergence of the method are theoretically established for the first time and it is show that the accuracy of satisfaction of the boundary conditions is assessed by a single number – the minimum of a quadratic form. 2014 Article Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра / В.П. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 53-58. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136101 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Шляхом відокремлення кутової змінної дослідження тривимірного напружено-деформованого стану скінченного товстостінного двошарового циліндра зведено до розв’язання одновимірних крайових задач. Компоненти вектора переміщень і тензора напружень подано у вигляді рядів, які визначають побудовані власні функції. Розроблено метод аналітично-числового розв’язання крайових задач для двошарового циліндра. Вперше теоретично встановлено числові критерії збіжності методу і показано, що точність задоволення крайових умов оцінює одне число – мінімум квадратичної форми. |
| format |
Article |
| author |
Ревенко, В.П. |
| spellingShingle |
Ревенко, В.П. Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Ревенко, В.П. |
| author_sort |
Ревенко, В.П. |
| title |
Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра |
| title_short |
Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра |
| title_full |
Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра |
| title_fullStr |
Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра |
| title_full_unstemmed |
Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра |
| title_sort |
визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136101 |
| citation_txt |
Визначення тривимірного напружено-деформованого стану товстостінного двошарового циліндра / В.П. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 53-58. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT revenkovp viznačennâtrivimírnogonapruženodeformovanogostanutovstostínnogodvošarovogocilíndra |
| first_indexed |
2025-07-10T00:38:30Z |
| last_indexed |
2025-07-10T00:38:30Z |
| _version_ |
1837218306337013760 |
| fulltext |
53
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2014. – ¹ 3. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ВИЗНАЧЕННЯ ТРИВИМІРНОГО НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО
СТАНУ ТОВСТОСТІННОГО ДВОШАРОВОГО ЦИЛІНДРА
В. П. РЕВЕНКО
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів
Шляхом відокремлення кутової змінної дослідження тривимірного напружено-де-
формованого стану скінченного товстостінного двошарового циліндра зведено до
розв’язання одновимірних крайових задач. Компоненти вектора переміщень і тензо-
ра напружень подано у вигляді рядів, які визначають побудовані власні функції.
Розроблено метод аналітично-числового розв’язання крайових задач для двошаро-
вого циліндра. Вперше теоретично встановлено числові критерії збіжності методу і
показано, що точність задоволення крайових умов оцінює одне число – мінімум
квадратичної форми.
Ключові слова: власні функції, товстостінний двошаровий циліндр, тривимірний
напружений стан, тензор напружень.
Багатошарові пружні циліндри,
особливо двошарові – поширені еле-
менти будівельних та інженерних кон-
струкцій. Наведено [1–3] огляд праць з
розв’язування осесиметричних задач
для багатошарових циліндрів, напру-
жено-деформований стан (НДС) яких
залежить тільки від однієї просторової
змінної, а також з урахуванням дина-
мічних ефектів [4–6]. Під час розра-
хунку статичного напруженого стану
двошарових циліндричних тіл широко
використовують спрощені двовимірні
моделі циліндричних оболонок [7, 8].
Формулювання задачі і її роз-
в’язок. Знайдемо тривимірний НДС
двошарового товстостінного циліндра,
який знаходиться в стані статичної рів-
новаги і має два шари: 1= {( , , ) ([ , ] [0,2 ] [ , ])}j j jD r z R R h h−ϕ ∈ × π × − з характерис-
тиками матеріалу jE , jν , 1,2j = (див. рисунок). До його бічних поверхонь
1 0=r R , 2 2=r R прикладені навантаження
1 1 2( , , ) = ( , ), ( , , ) = ( , ), ( , , ) = ( , )j j j
r j rz j r jr z z r z z r z zϕσ ϕ σ ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ , (1)
де 1,2j = , 1 1 2, ,j j jσ τ τ – відомі функції. Торці циліндра ненавантажені:
( , , ) = 0, ( , , ) = 0, ( , , ) = 0z rz zr h r h r hϕσ ϕ ± τ ϕ ± τ ϕ ± . (2)
Контактна особа: В. П. РЕВЕНКО, e-mail: victorrev@ukr.net
Багатошаровий циліндр.
A multi-layer cylinder.
54
На поверхні з’єднання шарів виконуються умови ідеального контакту:
2 1
r ru u= , 2 1u uϕ ϕ= , 2 1
z zu u= , 1r R= , (3)
2 1
r rσ = σ , 2 1
r rϕ ϕτ = τ , 2 1
rz rzτ = τ , 1r R= . (4)
Для визначення пружних переміщень , ,j j j
r zu u uϕ в j-му шарі застосуємо за-
гальний розв’язок рівнянь Ляме [9]:
1 , 4(1 )j j jj j
r z j j
P Q P
u u
r r z
∂ ∂ ∂
= + = − − ν Φ
∂ ∂ϕ ∂
, 1 j jj P Q
u
r rϕ
∂ ∂
= −
∂ϕ ∂
, (5)
де j j jP z= Φ + Ψ , а jΦ , jΨ , jQ – незалежні гармонічні функції переміщень.
Використавши переміщення (5) і закон Гука [10], знайдемо нормальні
2 2
2 2= 2 2 , = 2 2(2 )j j j j jj j
r j j z j j
P Q P
G G
z r r zr z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂Φ ∂ ∂ ∂Φ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ − ν + σ − − ν
∂ ∂ ∂ϕ ∂∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
,
2
2
2 1= 2j j j j jj
j
G P P Q
r r
r r r z r rϕ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂Φ ∂∂⎢ ⎥σ + − ν −
∂ ∂ ∂ ∂ϕ∂ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦
(6)
та дотичні напруження
2 21= 2 j j jj
rz j j
P Q
G
z r r r z
⎡ ⎤∂ ∂Φ ∂
⎢ ⎥τ − κ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦
,
2 22= j j j jj
z j
P Q
G
r z r r zϕ
⎡ ⎤∂ κ ∂Φ ∂
⎢ ⎥τ − −
∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
,
2 2
2 2 2
2 2 1 1= j j j jj
r j
P P Q Q
G r
r r r r rr rϕ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂∂⎢ ⎥τ − − +
∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦
, 1,2j = , (7)
де 4(1 )j jκ = − ν ; jG – модулі зсуву.
Розкладемо функції переміщень у ряди Фур’є:
, ,
=0 =0
( , , ) = ( , )cos , ( , , ) = ( , )cosj j n j j n
n n
r z r z n r z r z n
∞ ∞
Φ ϕ Φ ϕ Ψ ϕ Ψ ϕ∑ ∑ ,
, ,
=0 =1
( , , ) = ( , )cos , ( , , ) = ( , )sinj j n j j n
n n
P r z P r z n Q r z Q r z n
∞ ∞
ϕ ϕ ϕ ϕ∑ ∑ , (8)
де 1,2j = ; , , ,, ,j n j n j nQΦ Ψ , , , ,j n j n j nP z= Φ + Ψ – коефіцієнти розкладу. Підстави-
мо в крайові умови (1) розклади (8) і одержимо для фіксованої гармоніки 0n ≥
умови для визначення відповідних коефіцієнтів розкладу:
2
, , , 1,
2
( )
2 =
2
j
j n j n j n n
j
j
zP Q
n
z r r Gr
σ∂ ∂Φ ∂
− ν +
∂ ∂∂
,
, , 1,
,
( )
=
2 2 2
j
j n j j n n
j n
j
zP Qn
r z r z G
⎡ ⎤ τ∂ κ ∂∂ ⎢ ⎥− Φ +
∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
, (9)
2
, 2,
, ,2
( )1 1[ ] =
2 22
j
j n n
j n j n
j
zQn r nP Q
r r r r r r Gr
τ∂∂ ∂
− − −
∂ ∂ ∂
, 1,2j = ,
55
де індексу j відповідає радіус jr : ,1, ( ), ( )j j
m nn z zσ τ , 1,2m = – коефіцієнти розкла-
ду навантажень у ряди Фур’є.
Врахувавши залежності (5)–(8), розкладемо в ряди Фур’є умови (3), (4) і від-
повідно запишемо співвідношення (3)
2, 1,
2, 1,( )n n
n n
P Pn Q Q
r r r
∂ ∂
+ − =
∂ ∂
, 2, 1,
2, 1,( ) n n
n n
Q Qn P P
r r r
∂ ∂
− + =
∂ ∂
,
2, 1,
2 2, 1 1,=n n
n n
P P
z z
∂ ∂
− κ Φ − κ Φ
∂ ∂
, 1r R= (10)
та умови (4)
2 2
2, 2, 2, 1, 1, 1,
2 1 12 22 2n n n n n nP Q P Q
n k n
z r r z r rr r
⎡ ⎤∂ ∂Φ ∂ ∂Φ∂ ∂
− ν + = − ν +⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
,
2, 2, 1, 1,2 1
2, 1 1,2 2 2 2
n n n n
n n
P Q P Qn nk
r z r z r z r z
⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ κ ∂ κ⎪ ⎪− Φ + = − Φ +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
, (11)
2 2
2, 1,
2, 2, 1 1, 1,2 2
1 1 1 1[ ] [ ]
2 22 2
n n
n n n n
Q Qn r n n r nP Q k P Q
r r r r r r r r r r r rr r
⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
− − − = − − −⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
,
де 1r R= , 1 1 2/k G G= . Отже, визначення тривимірного НДС циліндра зведено до
знаходження коефіцієнтів , , ,, ,j n j n j nQΦ Ψ , 1,2j = , які повинні задовольнити
умови (2), (9)–(11).
Наведено [9, 11, 12] алгоритм спрощення умов (2) для суцільного циліндра і
побудови власних функцій, які задовольняють умови відсутності навантажень на
його торцях. Використавши цей алгоритм, знайдемо коефіцієнти розкладу функ-
цій переміщень, які описуються першими N ненульовими і всіма нульовими влас-
ними значеннями та тотожно задовольняють умови (2):
2
, , ,
=1
= Re{ ( , )[ ( ) ( )]cos( )}
N
j jn
j N k j n k n k kn k n k
k
h a I r b K rΨ δ µ ν β + β µ γ +∑
1
,1 ,3 ,2 ,4( ) (1 )[ ( , ) ( , )],j j j jn
n j n nn n n nd r d r d r z d r z+ + ψ + − ν ϕ + ψ
, , ,
=1
= Re{[ ( ) ( )]sin( )}
N
j jn
j N n k n k kn k n k
k
h a I r b K rΦ β + β µ γ +∑
,2 ,4( ), 0,j jn n
n nz d r d r n−+ + ≥ (12)
2
, , ,
=1
= [ ( ) ( )]cos( )j jn
j N n k n kn k n k
k
Q h g I r s K r k
∞
λ + λ πγ +∑
,4 ,22[ ( , ) ( , )], 1,j j
n nn nd r z d r z n+ ψ − ϕ ≥
де ,
j
n ka , ,
j
n kb – комплексні, а ,
j
n kg , ,
j
n ks , ,
j
n md – дійсні коефіцієнти; ( )nI r , ( )nK r
– функції Бесселя і Макдональда [13]; = /k k hλ π , /k k hβ = µ ; kµ , Re( ) > 0kµ –
комплексні корені рівняння ( ) ( )sin 2 2 = 0F + µ ≡ µ + µ ; ( , ) = 2(1 )/ tg( )j jδ µ ν − −ν µ− µ ;
2 1 2( , ) n n
n nr z z r r +ϕ = + χ , 0n ≥ ; 2 1
1( , ) lnr z z r r r−ψ = − , 2 2 2( , ) n n
n nr z z r r− −ψ = + χ ,
56
1n > ; 1
2 2( 1)
m
n m n
−
χ =
− −
, 1,2m = ; 1 ( ) n
n r r−ψ = , коли 0n > , 1
0( ) lnr rψ = ; ,0 = 0jQ ;
0,1 0,4 1,1 0j j jd d d= = = .
Підставимо функції (8), (12) у співвідношення (5) і виразимо коефіцієнти
переміщень у вигляді рядів за власними функціями для ненульових
2
, , ,
=0
= {Re{ ( , , )[ ( ) ( )]}
N
j jj
r n k j n k n kn k n k
k
u h a I r b K r′ ′χ µ ν γ β + β +∑
, ,[ ( ) ( )]cos( )}j j
n k n kn k n k
n g I r s K r k
r
+ λ + λ πγ ,
2
, , ,
=1
= { Re{ ( , , )[ ( ) ( )]}
N
j jj
n k j n k n kn k n k
k
nu h a I r b K r
rϕ − χ µ ν γ β + β −∑ (13)
, ,[ ( ) ( )]cos( )j j
n k n kn k n kg I r s K r k′ ′− λ + λ πγ ,
, , ,
=1
= Re{ ( , , )[ ( ) ( )]}
N
j jj
z n k j n k n kn k n k
k
u h a I r b K rϕ µ ν γ β + β∑
і нульових власних значень, які не мають
1 2 1 1 1
, ,1 ,2= [ [2(1 ) (1 )]j jj n n n
r n j j j nn nu nd r d n z r n r− − ++ −ν + − ν − + ν χ ,
1 2 1 1 1
, ,1 ,2= { [4 ( 1)]} ]j jj n n n
n j j nn nu nd r d n z r n r− − +
ϕ − + ν + + ν + χ , 0n > , (14)
, ,2= 2 jj n
z n j nu zd rν , 0n ≥ , ,0 0,2= (1 )j j
jru d r− − ν
і мають особливість у нулі ( 0r = ):
1 2 1 2 1
, 2,3 ,4= [ [2(1 ) (1 )] ], 1,j jj n n n
r n j j nn nu nd r d n z r n r n− − − − − +− + ν + − ν + + ν χ >
2 2 2
,1 1,4 1,3 ,0 0,3
1= [ (3 ) ln 1 ] , = ,j j j j j
j j jr ru d z r r d r u d
r
− −ν − − ν − + ν −
1 2 1 2 1
, ,3 ,4= [ [ ( 1) 4] ], 1,j jj n n n
n j j nn nu nd r d n z r n r n− − − − − +
ϕ + ν + ν + − χ > (15)
2 2 2
,1 1,3= [ (3 ) ln 2] ,j j
j ju z r r d r− −
ϕ ν + − ν + +
,4
=1
= 2 cosjj n
z j n
n
u z d r n
∞
−ν ϕ∑ ,
де
0,( , , ) = sin( ) ( , )cos( ), = 0,k j k k j k kcχ µ ν γ γ µ γ + δ µ ν µ γ
( , , ) = cos( ) [ ( , ) 3 4 ]sin( )]k j k k k k j j kϕ µ ν γ µ γ µ γ − µ δ µ ν + − ν µ γ .
Внесемо функції (12) у співвідношення (8), (6), (7) та знайдемо коефіцієнти
розкладу компонент тензора напружень як суми ряду. Підставимо для заданого
0n > компоненти вектора переміщень (13)–(15) і знайденого тензора напружень
у крайові умови (9)–(11) та одержимо систему рівнянь
, ,
=1
( ) = ( ), =1,12
M
n n
n k m k m
k
c A P mγ γ∑ , (16)
57
де 6( 1) (6 5) (6 4) (6 3), , , ,= R ; = I ; = R ; = I ;j j j jn n n n
k j N k j N k j N k j Nn k n k n k n kc ea c ma c eb c mb+ − + − + − + −
(6 2) (6 1), ,= ; = , =1, ;j jn n
k j N k j Nn k n kc g c s k N+ − + − 12 4 4 ,=n j
N j m n mc d+ − + , = 1,4m ;
12 8M N= + ; 1, 1, 2,
9 8 9 7 9 6= ; = ; =
2 2 2
j j j
n n nn n n
j j j
j j j
P P P
G G G− − −
σ τ τ
, = 1,2j ; 3 = 0n
mP + , 1,6m = .
Використаємо розроблену раніше [9, 11] аналітико-числову методику і роз-
в’язання системи рівнянь (16) зведемо до пошуку мінімуму такої узагальненої
квадратичної форми:
{ }
212
2
1 , ,
=1 =1 , =1 =1
,... = ( ) ( ) = 2
M M M
n n n n n n n
N M n k m k m k j kj k k
m k k j k
c c c A P c c W c V PΩ γ − γ − +∑ ∑ ∑ ∑ , (17)
де =kj jkW W ,
1 12
, ,
=11
= ( ) ( ) ,n n
kj m k m j
m
W A A d
−
γ γ γ∑∫
1 12
,
=11
= ( ) ( ) , , = 1,n n
k m k m
m
V A P d k j M
−
γ γ γ∑∫ ,
1 2
1
( ) = ( )f f d
−
γ γ γ∫ − норма у метриці 2[ 1,1]L − . Мінімум форми (17) позначи-
мо ( )F N , а змінні, на яких він досягається, як N
kc . За відомими змінними N
kc ,
=1,k M , визначимо функції переміщень (12).
Лема. Функція ( )F N невід’ємна і не зростає.
Теорема. Якщо для заданого 0n > і довільного > 0ε існує таке N, що
2( ) < / 4F N ε , то межі послідовностей коефіцієнтів розкладу (12)
, , , , , ,= lim , = lim , = limn n n
j n j N j n j N j n j N
N N N
Q Q
→∞ →∞ →∞
Φ Φ Ψ Ψ , 1,2j = ,
точно задовольняють крайові умови (16) у метриці 2[ 1,1]L − .
Доведення леми і теореми подібне, як у праці [11].
Відзначимо, що мінімум квадратичної форми (17) має вигляд
212
,
=1 =1
( ) = ( ) ( )
M
N n n
k m k m
m k
F N c A Pγ − γ∑ ∑
і дає оцінку точності задоволення всіх крайових умов.
Розв’язок осесиметричної задачі описують функції переміщень (12) та пере-
міщення (13)–(15), якщо покласти 0n = . Система рівнянь (16) матиме вісім рів-
нянь з 8 4M N= + невідомими.
ВИСНОВКИ
Вперше встановлено, що тривимірний напружений стан товстостінного дво-
шарового циліндра з ненавантаженими торцями описують власні функції, які ви-
значаються нульовими та ненульовими власними значеннями. Розроблена мето-
дика апроксимації умов ідеального контакту прилеглих шарів і крайових умов
скінченною кількістю власних функцій. Знаходження тривимірного НДС цилін-
дра зведено до розв’язання послідовності одновимірних крайових задач, а роз-
в’язання дванадцяти одержаних рівнянь – до обчислення мінімуму узагальненої
квадратичної форми. Встановлено, що числове значення мінімуму визначає по-
хибку задоволення всіх крайових умов.
РЕЗЮМЕ. Рассмотрено трехмерное напряженно-деформированное состояние конеч-
ного толстостенного двухслойного цилиндра, исследования которого путем разделения
переменных сведено к решению одномерных краевых задач. Компоненты вектора переме-
58
щений и тензора напряжений представлены в виде рядов, которые определяются постро-
енными собственными функциями. Разработан метод аналитико-числового решения
краевых задач для двухслойного цилиндра. Впервые теоретически установлены числовые
критерии сходимости метода и показано, что точность удовлетворения краевых условий
определяет одно число – минимум квадратичной формы.
SUMMARY. The three-dimensional stress state of the finite two-layer thick-walled cylin-
der; which was investigated by separating the angular variable, is reduced to solving the one-
dimensional boundary value problems. Components of displacement vectors and the stress
tensors are given as a series defined by eigenfunctions. The method of analytical and numerical
solution of th boundary value problems for two-layer cylinder is developed. Numerical criteria
for convergence of the method are theoretically established for the first time and it is show that
the accuracy of satisfaction of the boundary conditions is assessed by a single number – the mi-
nimum of a quadratic form.
1. Shokrolahi-Zadeh B. and Shodja H. M. Spectral equivalent inclusion method: anisotropic
cylindrical multi-inhomogeneities // J. Mech. Phys. Solids. – 2008. – 56. – P. 3565–3575.
2. Tarn J.-Q. and Wang, Y.-M. Laminated composite tubes under extension, torsion, bending,
shearing and pressuring: a state space approach // Int. J. Solids Struct. – 2001. – 38.
– P. 9053–9075.
3. Tsukrov I. and Drach B. Elastic deformation of composite cylinders with cylindrically ortho-
tropic layers // Ibid. – 2010. – 47. – P. 25–33.
4. Саврук М. П., Онишко Л. Й., Сенюк М. М. Плоска динамічна осесиметрична задача для
порожнистого циліндра // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2008. – 44, № 1. – С. 7–14.
(Savruk M. P., Onyshko L. I., and Senyuk M. M. A plane dynamic axisymmetric problem for
a hollow cylinder // Materials Science. – 2008. – 44, № 1. – P. 1–9.)
5. Yin X. C. and L. Wang G. The effect of multiple impacts on the dynamics of an impact sys-
tem // J. Sound and Vibr. – 1999. – 228. – P. 995–1015.
6. Yin X. C. and Yue Z. Q. Transient plane-strain response of multilayered elastic cylinders to
axisymmetric impulse // J. Appl. Mech. – 2002. – 69, № 6. – Р. 825–835.
7. Liu S. and Soldatos K. P. Extension of a newapproach towards accurate stress analysis of la-
minates subjected to thermomechanical loading // J. Eng. Math. – 2008. – 61. – P. 185–200.
8. Soldatos K. P. General solutions for the statics of anisotropic, transversely inhomogeneous
elastic plates in terms of complex functions // Math. Mech. Solids. – 2006. – 11. – P. 596–628.
9. Ревенко В. П. О решении трехмерных уравнений линейной теории упругости // Прикл.
механика. – 2009. – 45, № 7. – С. 52–65. (Int. Appl. Mech. – 2009. – 45. – P. 730–741.)
10. Лурье А. И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с.
11. Ревенко В. П. Дослідження напруженого стану навантаженого скінченного циліндра
з використанням власних функцій // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2009.
– Вип. 7. – С. 183–190.
12. Ревенко В. П. Дослідження тривимірного напруженого стану в пружній пластині з
круговим отвором // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2009. – 45, № 5. – С. 71–76.
(Revenko V. P. Investigation of the three-dimensional stressed state in elastic plates with
circular holes // Materials Science. – 2009. – 45, № 5. – P. 688–695.)
13. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.
Определения, теоремы, формулы. – М.: Наука, 1974. – 830 с.
Одержано 10.12.2013
|