Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації
Для ізотропного матеріалу побудовано точне локальне рівняння впливу тензора напружень на тензор магнетної проникності. Встановлено, що в загальному випадку такий вплив визначають магнетострикційні властивості матеріалу і менше – залежність його пружності від прикладеного магнетного поля. Головні осі...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136118 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації / І.Б. Прокопович, В.А. Осадчук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 78-83. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-136118 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1361182018-06-16T03:12:46Z Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації Прокопович, І.Б. Осадчук, В.А. Для ізотропного матеріалу побудовано точне локальне рівняння впливу тензора напружень на тензор магнетної проникності. Встановлено, що в загальному випадку такий вплив визначають магнетострикційні властивості матеріалу і менше – залежність його пружності від прикладеного магнетного поля. Головні осі тензора напружень також є головними осями тензора проникності, але й кульова частина тензора проникності залежить від орієнтації головних осей напружень відносно магнетного поля. В припущенні слабкої магнетної залежності пружних властивостей записано спрощені вирази для тривісного і плоского напруженого станів. Для изотропного материала построено точное локальное уравнение влияния тензора напряжений на тензор магнитной проницаемости. Установлено, что в общем случае такое влияние определяется магнитострикционными свойствами материала и в меньшей мере – зависимостью его упругости от приложенного магнитного поля. Главные оси тензора напряжений являются также главными осями тензора проницаемости, а шаровая часть тензора проницаемости зависит от ориентации главных осей напряжений относительно магнитного поля. В предположении слабой магнитной зависимости упругих свойств записаны упрощенные выражения для трехосного и плоского напряженного состояния. In an isotropic material, the accurate local equation is constructed for a stress tensor effect on magnetic permeability tensor. In general case the effect is determined by magnetostrictive properties mainly and in the less degree – by magnetic field effect on elastic properties. The principal axes of stresses are the principal axes of permeability too. The spherical part of the permeability tensor depends on the axes orientation in the magnetic field. In the assumption of weak magnetic effect on elasticity properties, the simplified expressions are written for three-axial and also plane stress state. 2010 Article Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації / І.Б. Прокопович, В.А. Осадчук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 78-83. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136118 539.30 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Для ізотропного матеріалу побудовано точне локальне рівняння впливу тензора напружень на тензор магнетної проникності. Встановлено, що в загальному випадку такий вплив визначають магнетострикційні властивості матеріалу і менше – залежність його пружності від прикладеного магнетного поля. Головні осі тензора напружень також є головними осями тензора проникності, але й кульова частина тензора проникності залежить від орієнтації головних осей напружень відносно магнетного поля. В припущенні слабкої магнетної залежності пружних властивостей записано спрощені вирази для тривісного і плоского напруженого станів. |
| format |
Article |
| author |
Прокопович, І.Б. Осадчук, В.А. |
| spellingShingle |
Прокопович, І.Б. Осадчук, В.А. Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Прокопович, І.Б. Осадчук, В.А. |
| author_sort |
Прокопович, І.Б. |
| title |
Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації |
| title_short |
Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації |
| title_full |
Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації |
| title_fullStr |
Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації |
| title_full_unstemmed |
Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації |
| title_sort |
побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136118 |
| citation_txt |
Побудова рівняння впливу напружень на магнетну проникність за допомогою методу вільної деформації / І.Б. Прокопович, В.А. Осадчук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 78-83. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT prokopovičíb pobudovarívnânnâvplivunapruženʹnamagnetnuproniknístʹzadopomogoûmetoduvílʹnoídeformacíí AT osadčukva pobudovarívnânnâvplivunapruženʹnamagnetnuproniknístʹzadopomogoûmetoduvílʹnoídeformacíí |
| first_indexed |
2025-07-10T00:40:21Z |
| last_indexed |
2025-07-10T00:40:21Z |
| _version_ |
1837218423201857536 |
| fulltext |
78
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 4. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.30
ПОБУДОВА РІВНЯННЯ ВПЛИВУ НАПРУЖЕНЬ НА МАГНЕТНУ
ПРОНИКНІСТЬ ЗА ДОПОМОГОЮ МЕТОДУ ВІЛЬНОЇ ДЕФОРМАЦІЇ
І. Б. ПРОКОПОВИЧ 1, В. А. ОСАДЧУК 2
1 Інcтитут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів;
2 Національний університет “Львівська політехніка”
Для ізотропного матеріалу побудовано точне локальне рівняння впливу тензора на-
пружень на тензор магнетної проникності. Встановлено, що в загальному випадку
такий вплив визначають магнетострикційні властивості матеріалу і менше – залеж-
ність його пружності від прикладеного магнетного поля. Головні осі тензора напру-
жень також є головними осями тензора проникності, але й кульова частина тензора
проникності залежить від орієнтації головних осей напружень відносно магнетного
поля. В припущенні слабкої магнетної залежності пружних властивостей записано
спрощені вирази для тривісного і плоского напруженого станів.
Ключові слова: магнетопружність, магнетна проникність, механічні напруження.
Магнетопружний неруйнівний контроль напружень у сталевих виробах
ґрунтується на їх електромагнетному впливі. Безпосереднє вимірювання напру-
жень тут можливе лише за їх однорідного розподілу [1, 2]. Проте поля залишко-
вих напружень неоднорідні, особливо поблизу зварних швів [3]. Для визначення
неоднорідного розподілу кожної компоненти тензора напружень необхідно фор-
мулювати відповідну задачу комп’ютерної томографії, розв’язувальними рівнян-
нями якої слугують рівняння локального впливу напружень на електромагнетне
поле, зокрема на магнетну проникність чи сприйнятливість. Магнетопружні ефек-
ти, включаючи вплив напружень на магнетне поле, відкриті ще в позаминулому
столітті. Їх досліджують й досі через широке застосування в техніці [2, 4–8].
Часткові співвідношення, що пов’язують ефекти впливу напружень на магнетну
проникність з магнетострикцією, будують на основі експериментальних даних,
застосовуючи мікрофізичні міркування для “обґрунтування”. Такий підхід не
строгий і не дає змоги оцінити всі чинники, що можуть впливати на точність
отриманих співвідношень. Більше того, встановлено, що оцінка магнетопружних
ефектів на основі атомарних уявлень призводить до помилкових результатів [9].
З іншого боку, континуальний підхід до побудови таких рівнянь у поліноміаль-
ному вигляді із використанням термодинамічних потенціалів також не дає на-
лежного результату, бо отримані вирази містять надто велику кількість невідо-
мих констант, які практично неможливо визначити експериментально. Оскільки
лінійні рівняння магнетопружності не враховують вплив напружень на проник-
ність, то за вихідні необхідно брати нелінійні рівняння стану. Проте ці рівняння
записані через тензор накопиченої повної деформації, неоднозначно пов’язаної з
напруженнями. Зокрема, для залишкових напружень таку деформацію встанови-
ти, як правило, неможливо. Нижче запропоновано метод вільної деформації, який
дає змогу обійти вказані труднощі і побудувати точне та фізично наочне рівняння
магнетного впливу напружень у загальному випадку з урахуванням природної та
наведеної анізотропії. Метод ґрунтується на відомому факті, що лежить в основі
Контактна особа: І. Б. ПРОКОПОВИЧ, e-mail: ihorprokopovych@yahoo.com
mailto:ihorprokopovych@yahoo.com
79
руйнівного контролю напружень: незалежно від історії утворення напружень їх
можна визначити за пов’язаною з ними пружною деформацією. Згідно з цим під-
ходом накопичену деформацію розбиваємо на дві частини – пружну, пов’язану з
напруженнями, та вільну, незалежну від них. Прикладами вільної деформації різ-
ного походження є залишкова, пластична, температурна, п’єзоелектрична та маг-
нетострикційна. В межах лінійної моделі метод вільної деформації застосовано у
розв’язуванні задач визначення залишкових напружень у світлопроникних мате-
ріалах, щоб досягти замкненої та коректної постанови оберненої задачі фото-
пружності в тонких оболонкових елементах конструкцій [10], змоделювати поля
залишкових напружень в оптичних волокнах [11] та зварних конструкціях [3, 12].
Нелінійну модель вжито для обґрунтування та побудови розв’язувальних рівнянь
задачі акустопружного визначення залишкових напружень [13, 14]. В обох ви-
падках використано кінематичну модель, яка не враховує природу вільної дефор-
мації. Тут же необхідно застосувати фізичну нелінійну модель [15–18], що врахо-
вує магнетну природу зондувального сигналу.
Нехай ( , )C H=W W – потенціал стану магнетопружного матеріалу, наприк-
лад питома магнетна ентальпія на одиницю маси. Тут вектор H – поточне зна-
чення напруженості магнетного поля, а тензор C – міра Коші накопиченої де-
формації з переходом тіла від початкового ненапруженого стану за відсутності
магнетного поля ( 0H = ) до змінного поточного. Крім того, потенціал стану може
залежати від поточних та початкових значень інших скалярних базисних пара-
метрів стану, наприклад, температури. Для виведення рівняння впливу напру-
жень на магнетну проникність це несуттєво. З потенціалу стану випливають такі
рівняння стану для тензора напружень T та вектора магнетної індукції B :
2 ( ) , ( ) (T F C F B H H= ρ ⋅ ∂ ∂ ⋅ = −ρ ∂ ∂ = −∂ ρ ∂W/ W/ W)/T . (1)
Тут ρ – поточна густина тіла. Несиметричний тензор другого рангу F – міра дис-
торсії (або правий тензор ґрадієнта деформації за поширеною термінологією
[19]), що пов’язує між собою лінійні елементи rd , 0rd відповідно за поточного і
початкового станів: 0r r F= ⋅d d . Індекс “ T ” означає транспонований тензор, а
крапка – однократну згортку тензорів (що є звичайним скалярним добутком пари
суміжних векторів з поліадного подання кожного з тензорів). Міра Коші накопи-
ченої повної деформації пов’язана з мірою дисторсії так: C F F= ⋅ T . Поточне зна-
чення густини 1
0
−ρ = ρ c , де det C≡c , а 0 constρ = – початкова густина.
Міра C не стосується дійсної деформації, накопиченої тілом під час виник-
нення напружень (наприклад, залишкової технологічної). Тут вона враховує
лише пружну деформацію разом з деформацією, викликаною магнетним полем
(магнетострикцією). Використовуючи підхід вільної деформації [15, 17, 18], пе-
рейдемо у співвідношенні (1) до міри пружної деформації Ĉ , пов’язаної з напру-
женнями співвідношенням пружності:
( ) 11ˆ ˆ −−= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅C F C F C F C F% % % %T T . (2)
Тут ( )F F H% %= – тензор вільної дисторсії, що характеризує зміну лінійних
елементів 0r r F= ⋅ %%d d вільного від напружень тіла внаслідок виникнення магнет-
ного поля. З формул (2) випливають вирази для частинних похідних від міри пов-
ної деформації:
1 1
2 2 2 2 2
ˆ ˆ/ : : / : ,s s s
− −∂ ∂ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ∂ ∂ = ⋅ ⋅C C F I F J J F I F C C F I F J% % % % % %
80
( ) ( )1
2 2
ˆ ˆ ˆ/ 2 , / 2 : : ,s s
−∂ ∂ = ⋅ ⋅ ∂ ∂ = − ⋅ ⋅C F J F C C F J C I F I% % % % (3)
Тут і далі двокрапка означає подвійну тензорну згортку між тензорами рангу не
нижче другого (така згортка є пара скалярних добутків між сусідніми базисними
векторами з поліадних подань кожного з тензорів-операндів). Тензори 2I та Js –
ізотропні тензори четвертого рангу [15], які у довільному ортонормованому бази-
сі ( 1, 2, 3)i =k k мають такий вигляд:
( )
3 3
2
, 1 , 1
1,
2
I i i i i J i i i i i i i i
= =
= = +∑ ∑k l k l s k l k l l k k l
k l k l
. (4)
Подвійна згортка довільного тензора другого рангу з цими тензорами відповідно
транспонує та симетризує перший, наприклад,
2 2: : , ( ) / 2 : :F F I I F F F F J J F= = + = =s s
T T .
Ці властивості використано під час виведення формул (4) і застосовано нижче.
Похідна тензора вільної дисторсії має вигляд
1/ ( ) /F H F Ω Ω H F F H−∂ ∂ = ⋅ ⇒ ≡ ⋅∂ ∂% %% % % % , (5)
де тензор третього рангу Ω% описує безмежно малу вільну дисторсію, викликану
збуренням магнетного поля. Його симетрична частина :Ω J Ω≡% %
sym s характери-
зує безмежно малу вільну деформацію.
Разом із заміною повної деформації на пружну у рівняннях стану перейдемо
від потенціалу стану до суми потенціалу вільного стану ( ) ( ( ), )H C H H≡% %W W та
потенціалу пружності ˆ ˆ( , ) ( , ) ( )Π ≡ ⋅ ⋅ −C H F C F H H%% % TW W [15, 17, 18], значення
якого дорівнює віднесеній до маси накопиченій енергії пружної деформації:
ˆ( ) ( , )= + ΠH C H%W W . (6)
Підставляючи цей вираз у рівняння (1) для напружень і враховуючи формули для
частинних похідних (4), отримаємо:
1ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ2 ( / ) , ( ) ( , )c−= ρ ⋅ ∂Π ∂ ⋅ = +T V C V B B H B C H% . (7)
Тут ˆˆˆ det detc = =V C – міра об’ємної накопиченої пружної деформації, V̂ –
міра накопиченої пружної деформації, така, що ˆ ˆ ˆ= ⋅C V V ;
[ ] ( )
(
C C H
B H H
=
= −ρ∂ ∂ = − ∂ ρ ∂ %
%% % W/ W)/ (8)
– індукція ненапруженого матеріалу, де
1
0( )
ˆ( ) c c−
=ρ = ρ = ρ = ρC C HH %% % (9)
– його густина. Тут det C= %%c – міра накопиченої об’ємної вільної деформації.
Другий доданок у виразі для індукції (7) характеризує п’єзоіндукцію, зумовлену
напруженнями та пружною деформацією. Згідно із виразами частинних похідних
(4) він має такий вигляд:
( ) ( )1
2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ/ ( / ) : ( / ) : : / : / .−= −ρ ∂Π ∂ + ∂Π ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ ⋅ − ρ ∂Π ∂B H C C F I F H V T V Ω H%% % (10)
Ця формула на відміну від конститутивного рівняння (1) не залежить від жодного
початкового стану. Її перший член явно залежить від тензора напружень. У ме-
жах точності теорії малих деформацій ˆ ≈V I , а тому перший член має перший
порядок малості відносно тензора накопиченої пружної деформації ˆ ˆ= −E V I .
Другий член характеризує залежність пружних властивостей матеріалу від маг-
нетного поля і має другий порядок малості відносно тензора Ê . Тому його мож-
81
на знехтувати за умови, що пружні властивості тіла слабо залежать від магнетно-
го поля. Тоді в наближеному вигляді п’єзоіндукція пропорційна до тензора на-
пружень:
ˆ : ( )≈B T Ω H% . (11)
Коефіцієнтом пропорційності слугує модуль безмежно малої магнетної деформа-
ції, що не залежить від напруженого стану. Для подальшого уточнення формул
(10) та (11) розпишемо залежність ( )Ω H% , спираючись на відповідні результати
для вільної деформації, зумовленої електричним чи магнетним полями [16]:
( ) ( )hF H I hh= λ + λ − λ% , (12)
де / | |h H H= – одиничний вектор у напрямку H . Коефіцієнти , 0hλ λ > – віднос-
ні довжини лінійних елементів відповідно вздовж та поперек напрямку вектора
магнетної напруженості. Вони задовольняють початкову умову 0, 1h H=λ λ = . З
рівняння (12) випливає такий вираз для оберненої вільної дисторсії:
1 1 1 1( ) ( )hF H I hh− − − −= λ + λ − λ% . (13)
Враховуючи, що ( )1( ) / 2 | |hh H H J h hhh−∂ ∂ = ⋅ −s , з рівняння вільної дисторсії
(12) отримаємо такий вираз для похідної по вектору магнетної напруженості:
[ ]1/ 2 ( )( ) ( )h hF H H J h hhh I hh h− ′ ′ ′∂ ∂ = λ − λ ⋅ − + λ + λ − λ%
s . (14)
Підставимо його разом з рівнянням оберненої дисторсії (13) у формулу (5):
1 1 1 1( / ) ( ) | | ( )( )h h hΩ F H h H I hh hh− − − − ′= λ ∂ ∂ + λ − λ λ − λ − + λ
% % . (15)
Цей вираз підставимо у формулу (11):
1 1 1 1: : ( / ) ( ) ( ) | | ( ) ,− − − − ′= λ ∂ ∂ + λ − λ λ − λ ⋅ − σ + λ σ h h h h hT Ω T F H H T h h% % (16)
де h h T hσ = ⋅ ⋅ – нормальне напруження в перерізі з нормаллю h . Розпишемо
перший доданок, застосовуючи вираз (14):
1
0: ( / ) 2( ) | | ( ) 3 ( )h h h hT F H H T h h− ′ ′ ′∂ ∂ = λ − λ ⋅ − σ + λ σ + λ − λ σ% , (17)
де 0 : / 3T Iσ = – всебічний розтяг, перший інваріант тензора напружень. Зводячи
подібні (однаково підкреслені) члени у формулах (16), (17), отримаємо вираз для
добутку напружень та модуля вільної деформації
0: (3 )hT Ω h T h= ασ + βσ + γ ⋅% , (18)
де скалярні коефіцієнти
( )
( )
1 1 1
1 1
(| |) ln , ( ) ( )( ),
(| |) ( ) ln / ( ).
h h
h h h
H
H
− − −
− −
′′α = λ λ = λ γ = λ + λ λ − λ
′′ ′ β = λ λ − λ λ − γ = λ λ − γ
h
h h
(19)
Якщо в межах точності 1hλ ≈ λ ≈ (мала магнетострикція), то вирази (19) спро-
щуються: , , 2( )h h′ ′ ′α ≈ λ β ≈ λ − λ − γ γ ≈ λ − λ . Запишемо праву частину виразу
для п’єзоіндукції (18) у вигляді добутку тензора п’єзосприйнятливості та вектора
напруженості:
ˆ ˆ( , )≈ ⋅B χ T H H . (20)
Тут χ̂ – симетричний тензор другого рангу, залежний від тензора напружень та
вектора напруженості:
[ ]0ˆ( , ) (3 ) / | |= ασ + βσ + γhχ T H I T H . (21)
82
Розіб’ємо це співвідношення на кульову та девіаторну частини:
[ ]0ˆ ˆ: (3 ) / | |, Dev Dev / | | .= α + γ σ + βσ = γhχ I H χ T H (22)
Як бачимо, головні напрямки п’єзосприйнятливості, а отже, і напрямки поляриза-
ції електромагнетної хвилі в ізотропному провіднику збігаються з головними на-
прямками тензора напружень. Власне на цьому факті ґрунтується визначення різ-
ниці між головними значеннями тензора напружень у сталевих виробах. Коефіці-
єнт пропорційності між девіаторами тензорів п’єзосприйнятливості та напружень
у свою чергу пропорційний до різниці між поздовжнім та поперечним ефектив-
ними модулями магнетострикції. Якщо обидва модулі однакові, то 0β = γ = і п’є-
зосприйнятливість – кульовий тензор.
Розглянемо випадок, коли вектор індукції спрямований вздовж головного
напрямку тензора напружень. Тоді компонента hσ є головне значення тензора
напружень і hT h h⋅ = σ . З формул (18) і (19) отримаємо:
[ ] ( ) ( ){ }0 0: 3 ( ) 3 ln ln /h h hT Ω h h′′ = ασ + β + γ σ = λ σ + λ λ σ
% .
Відповідно, замість співвідношення (20) матимемо:
0
ˆ ˆ ( , ,| |)≈ χ σ σhB H H , (23)
де
( ) ( ){ }1
0 0ˆ ( , ,| |) | | 3 ln ln /− ′′ χ σ σ = λ σ + λ λ σ h h hH H . (24)
– скалярна п’єзосприйнятливість.
За допомогою анізотропних магнетопружних перетворювачів вимірюють се-
редню різницю між головними значеннями тензора напружень за плоского напру-
женого стану. Тоді вектор магнетної напруженості орієнтують вздовж головних
напрямків тензора напружень. З формул (23), (24) виводимо вираз, що пов’язує
різницю між головними значеннями напружень з різницею між парою векторів
п’єзоіндукції, спрямованих вздовж відповідних головних напрямків тензора на-
пружень:
( )1
1 2 1 2
ˆ ˆ ln / ( )B B H − ′ − ≈ λ λ σ − σ h , (25)
де 1 2| | | |H H= =H – магнетне поле прикладеного вздовж головних напрямків тен-
зора напружень. Ця формула стосується тривісного напруженого стану, і зокре-
ма, плоского. Згідно з другим рівнянням (7), права частина (25) дорівнює різниці
між відповідними значеннями індукції загалом. Ця рівність стає точною, коли
пружні властивості матеріалу не залежать від прикладеного поля.
РЕЗЮМЕ. Для изотропного материала построено точное локальное уравнение влия-
ния тензора напряжений на тензор магнитной проницаемости. Установлено, что в общем
случае такое влияние определяется магнитострикционными свойствами материала и в
меньшей мере – зависимостью его упругости от приложенного магнитного поля. Главные
оси тензора напряжений являются также главными осями тензора проницаемости, а шаро-
вая часть тензора проницаемости зависит от ориентации главных осей напряжений отно-
сительно магнитного поля. В предположении слабой магнитной зависимости упругих
свойств записаны упрощенные выражения для трехосного и плоского напряженного со-
стояния.
SUMMARY. In an isotropic material, the accurate local equation is constructed for a stress
tensor effect on magnetic permeability tensor. In general case the effect is determined by
magnetostrictive properties mainly and in the less degree – by magnetic field effect on elastic
properties. The principal axes of stresses are the principal axes of permeability too. The
83
spherical part of the permeability tensor depends on the axes orientation in the magnetic field. In
the assumption of weak magnetic effect on elasticity properties, the simplified expressions are
written for three-axial and also plane stress state.
1. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений / Б. С. Касат-
кин, А. Б. Кудрин, Л. М. Лобанов и др. – К.: Наук. думка, 1981. – 584 с.
2. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. – М.: Мир, 1991. – 560 с.
3. Кир’ян В. І, Осадчук В. А., Николишин М. М. Механіка руйнування зварних з’єднань
металоконструкцій. – Львів: СПОЛОМ, 2007. – 320 с.
4. Тикадзуми С. Физика ферромагнетизма. Магнитные характеристики и практические
приложения. – М.: Мир, 1987. – 419 с.
5. The magnetoelastic Villari effect in Fe25Ni55Si10B10 amorphous alloy subjected to thermal
treatment / A. Bieńkowski, R. Szewczyk, J. Salach, and A. Kolano-Burian // Rev. Adv.
Matter. Sci. – 2008. – № 18. – P. 561–564.
6. Modern trends in magnetostriction study and application. Edited by M. R. J. Gibbs. Procee-
dings of the NATO Advanced Study Institute, Kyiv, Ukraine, 22 May–2 June 2000 / NATO
Science Series. II. Mathematics, Physics and Chemistry, Vol. 5. – Dordrecht, Netherlands:
Kluwer Academic Publishers. – 2001. – 349 p.
7. Tremolet de Lacheisserie, Etienne du. Magnetostriction: Theory and Applications of Magne-
toelasticity. – Boca Raton, FL: CRC Press, 1993. – 408 p.
8. Tremolet de Lacheisserie E., Gignoux D., and Schlenker M. Magnetism: Fundamentals.
– New York: Springer, 2005. – 507 p.
9. Magnetoelasticity of Fe: Possible failure of ab initio electron theory with the local-spin-den-
sity approximation and with the generalized-gradient approximation / M. Fähnle, M. Komelj,
R. Q. Wu, and G. Y. Guo // Phys. Rev. B. – 2002. – 65.14. – P. 144436-1–144436-5.
10. Подстригач Я. С., Осадчук В. А., Марголин А. М. Остаточные напряжения, длительная
прочность и надежность стеклоконструкций. – К.: Наук. думка, 1991. – 296 с.
11. Кушнір Р. М., Прокопович І. Б. Розрахунок температурних залишкових напружень в
оптичних волокнах // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1991. – № 34. – С. 79–83.
12. Дислокацiйне моделювання концентраторiв зварних залишкових напружень в тонко-
стiнних елементах конструкцій / В. А. Осадчук, І. Б. Прокопович, В. Ф. Чекурiн,
Л. М. Сеньків // Там же. – 2005. – 48, № 1. – С. 130–134.
13. Осадчук В. А., Прокопович І. Б., Кравчишин О. З. Лінеаризовані рівняння поширення
пружних збурень у тілі з вільними деформаціями // Там же. – 1997. – 40, № 2. – С. 76–82.
14. Прокопович І. Б. Нелінійний опис власних напружень, зумовлених вільними деформа-
ціями // Доп. НАН України, сер. Математика. – 1995. – № 12. – С. 49–51.
15. Прокопович І. Б. Загальнi вирази для опису впливу напружень на дiелектричну або
магнетну проникнiсть // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2005. – № 4. – С. 77–85.
(Prokopovych I. B. General Expressions for the Description of the Influence of Stresses on
Dielectric Permittivity or Magnetic Permeability // Materials Science. – 2005. – № 4.
– P. 520–530.)
16. Прокопович І. Б. Визначальне рiвняння електричної або магнетної деформацiї в iзо-
тропному матерiалi // Там же. – 2005. – № 6. – С. 37–41.
(Prokopovych I. B. Determining Equation of Electric or Magnetic Deformation in Isotropic
Materials // Materials Science. – 2005. – № 4. – P. 749–754.)
17. Прокопович І. Б. Вирази для ефективної діелектричної проникності напруженого ізо-
тропного матеріалу // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2006. – 49, № 4. – С. 113–118.
18. Прокопович І. Б. Принципи незалежності в рівняннях стану деформівного матеріалу
// Там же. – 2009. – 52, №3. – С. 53–64.
19. Truesdell C. and Noll W. The Non-linear Field Theories of Mechanics, 3rd edition. – Berlin
– Heidelberg: Springer, 2004. – 602 p.
Одержано 27.11.2009
|