Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій
На основі методу кінцевих інтегральних перетворень з використанням теорії узагальнених функцій запропоновано спосіб розв’язання задачі термопружності для круглої пластини, яка нагрівається джерелами тепла, розподіленими вздовж кривої лінії. Проаналізовано числові результати....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136122 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій / Б.С. Хапко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 84-91. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-136122 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1361222018-06-16T03:12:08Z Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій Хапко, Б.С. На основі методу кінцевих інтегральних перетворень з використанням теорії узагальнених функцій запропоновано спосіб розв’язання задачі термопружності для круглої пластини, яка нагрівається джерелами тепла, розподіленими вздовж кривої лінії. Проаналізовано числові результати. На основании метода конечных интегральных преобразований с использованием теории обобщенных функций предложен способ решения задачи термоупругости для круглой пластины, которая нагревается источниками тепла, распределенными по кривой линии. Дан анализ численных результатов. The approach, based on the method of finite integral transforms and generalized functions technique, is proposed for solution of thermoelastic problems for circular plates with heat sources distributed along curve line. The analysis of numerical results is given. 2010 Article Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій / Б.С. Хапко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 84-91. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136122 539.377 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
На основі методу кінцевих інтегральних перетворень з використанням теорії узагальнених функцій запропоновано спосіб розв’язання задачі термопружності для круглої пластини, яка нагрівається джерелами тепла, розподіленими вздовж кривої лінії. Проаналізовано числові результати. |
| format |
Article |
| author |
Хапко, Б.С. |
| spellingShingle |
Хапко, Б.С. Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Хапко, Б.С. |
| author_sort |
Хапко, Б.С. |
| title |
Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій |
| title_short |
Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій |
| title_full |
Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій |
| title_fullStr |
Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій |
| title_full_unstemmed |
Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій |
| title_sort |
прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136122 |
| citation_txt |
Прогин круглої пластини джерелами тепла, розподіленими по кривій / Б.С. Хапко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 4. — С. 84-91. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT hapkobs proginkrugloíplastinidžerelamiteplarozpodílenimipokrivíj |
| first_indexed |
2025-07-10T00:40:48Z |
| last_indexed |
2025-07-10T00:40:48Z |
| _version_ |
1837218449856659456 |
| fulltext |
84
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 4. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.377
ПРОГИН КРУГЛОЇ ПЛАСТИНИ ДЖЕРЕЛАМИ ТЕПЛА,
РОЗПОДІЛЕНИМИ ПО КРИВІЙ
Б. С. ХАПКО
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів
На основі методу кінцевих інтегральних перетворень з використанням теорії уза-
гальнених функцій запропоновано спосіб розв’язання задачі термопружності для
круглої пластини, яка нагрівається джерелами тепла, розподіленими вздовж кривої
лінії. Проаналізовано числові результати.
Ключові слова: температурний момент, джерела тепла, функція Дірака, кінцеве
інтегральне перетворення, прогин, згинні моменти.
Під час виготовлення і експлуатації вузли виробів та елементи конструкцій
пластинчатої форми часто піддаються дії концентрованих потоків теплової енер-
гії. Тому необхідно визначити температурні поля і напруження у таких елементах
за дії локалізованих джерел тепла, які можуть істотно впливати на деформатив-
ність і міцність тонкостінних елементів конструкцій.
Теплові напруження в круглій пружній пластині, які зумовлені джерелами
тепла, рівномірно розподіленими на дузі кола чи вздовж радіуса, досліджено ра-
ніше [1]. Отримано [2] замкнуті формули, які характеризують розподіл напружень
у круглій пластині, лицеві поверхні якої теплоізольовані, і на їх основі встановле-
но закон зміни напружень на межі пластини під дією джерел тепла, розподілених
вздовж координатних ліній. За нагріву джерелом тепла по кільцю теплові напру-
ження розглядали в праці [3]. Розв’язано [4] задачі теплопровідності за дії миттє-
вих та неперервних точкових джерел тепла, які записані в бесселевих функціях.
Треба відзначити, що в цих працях розглядали плосконапружений стан пластин.
У квазістатичній поставі досліджували [5–7] прогини тонких пружних плас-
тин, спричинені нерівномірним температурним полем. Вплив конвективного теп-
лообміну на осесиметричний прогин круглої пластини проаналізовано в праці
[8]. Вивчали [9–11] розтяг і згин тонких круглих пластин, які обумовлені неста-
ціонарним температурним полем. Однак задача про визначення прогину в круг-
лій пластині, яка нагрівається джерелами тепла, довільно розподіленими на кри-
вій лінії або на довільній обмеженій області, досліджена ще недостатньо.
Нижче запропоновано поставу та аналітичний розв’язок квазістатичної кра-
йової задачі термопружності для круглої пластини, що перебуває під дією зосе-
реджених джерел тепла на довільній кривій лінії, з розробкою алгоритму попе-
реднього визначення температурного моменту Т2 [11], який спричиняє прогин та
згинні моменти в пластині.
Визначення температурного моменту. Розглянемо тонку круглу пластину
радіуса R, товщини 2h, яка знаходиться під дією джерел тепла, довільно розподі-
лених та зосереджених на кривій лінії {( , ), ( ), 0 ( ) }C f f ′= ρ ϕ ρ = ϕ ≤ ϕ < ∞ , що не
збігається з координатними лініями ρ, ϕ (рис. 1). Між боковою (ρ = R) і лицевими
(z = ±h) поверхнями пластини та довкіллям відбувається теплообмін за законом
Ньютона [11]. Відносні коефіцієнти теплообміну з лицевих (z = ±h) однакові µ+=µ–.
Контактна особа: Б. С. ХАПКО, e-mail: labmtd@iapmm.lviv.ua
mailto:labmtd@iapmm.lviv.ua
85
Рівняння для визначення нестаціонарного температурного моменту в безрозмір-
них координатах ,rh = ρ 2h atτ = , ϕ = ϕ має вигляд
2
2 2
22 2
2
1 2 2
( , , ) ( , , )1 1 ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
T r T rr T r
r r r r
T r t r W r
∂ ϕ τ ∂ ϕ τ∂ + − κ ϕ τ − ∂ ∂ ∂ϕ
∂ ϕ τ − = −κ ϕ τ − ε ϕ τ∂τ
(1)
за крайових умов
2 ( , , )T r ϕ τ < ∞ , якщо 0r = ;
2
2
( , , )
( ( , , ) ( , )) 0c
T r b T r T
r
∂ ϕ τ
+ ϕ τ − ϕ τ =
∂
, якщо r l= ;
2 2( , , ) ( , 2 , )T r T rϕ τ = ϕ + π τ ; (2)
2 0( , , ) ( , )T r T rϕ τ = ϕ , якщо 0τ = . (3)
Тут узагальнена функція 2
2 ( , , ) ( )W r D R′ϕ τ ∈ описує довільний розподіл джерел теп-
ла, зосереджених на відрізку кривої { , : ( ),0 ( ) }С r r g g ′= ϕ = ϕ ≤ ϕ < ∞ , та має вигляд
0
1 2
2 12
( , , )
( ( ))[ ( ) ( )], якщо ( ),
( )( , , )
0, якщо ( );
W r r g S S r g
rW r
r g
− +
ϕ τ δ − ϕ ϕ − ϕ − ϕ − ϕ = ϕ ϕ − ϕϕ τ =
≠ ϕ
(4)
13(1 )κ = + µ ; 1 13κ = µ ; 2 hλε = ; 12µ =
( )h + −= µ + µ ; 2 ( ) / 2c ct t t+ −= − ; lb hλ = µ ;
lh R= ; lµ – коефіцієнт теплообміну з
бокової поверхні r l= ; t – час; ,aλ –
коефіцієнти тепло- та температуропро-
відності; ,c ct t+ − – значення температури
зовнішнього середовища на лицевих по-
верхнях z h= ± відповідно; 1( )S− ϕ − ϕ і
2( )S+ ϕ − ϕ – асиметричні функції Геві-
сайда [5]; ( )rδ – функція Дірака; 2( )D R′
– простір узагальнених функцій [12, 13];
2 20 21 22( , , ) ( , ) ( , , )t r t t r t rϕ τ = + ϕ + ϕ τ ;
0 00 01 02( , , ) ( , ) ( , , )W r W W r W rϕ τ = + ϕ + ϕ τ –
задана функція розподілу густини дже-
рел тепла вздовж кривої С ; 0 1 2( , ) ( ) ( , )c c c cT T T Tϕ τ = + ϕ + ϕ τ – задані значення
температури довкілля на поверхні r l= ; 0 ( , )T r ϕ – невідома функція, яку знахо-
димо з окремої стаціонарної задачі теплопровідності, сформульованої нижче.
Враховуючи подання довільного теплового навантаження 2 ( , , )t r ϕ τ , 0 ( , , )W r ϕ τ
і ( , )cT ϕ τ , наведеного вище, розв’язок задачі (1)–(3) шукатимемо у вигляді [14]
2 0( , , ) ( , ) ( , , )exp( ) ( , )cT r T r r Tϕ τ = ϕ + θ ϕ τ −κτ + ϕ τ , (5)
де ( , , )rθ ϕ τ – невідома функція. Підставляючи подання функції 2 ( , , )T r ϕ τ у рів-
няння (1) і крайові умови (2), (3), одержуємо для визначення стаціонарної її ком-
Рис. 1. Схема пластини.
Fig. 1. Scheme of a plate.
86
поненти 0 ( , )T r ϕ крайову задачу
( ) ( )
2
0 0
0 1 20 20 0 12 2
( , ) ( , )1 1 ( , ) ( , ) ( )c c
T r T r
r T r t t r T T
r r r r
∂ ϕ ∂ ϕ∂
+ − κ ϕ = −κ + ϕ + κ + ϕ − ∂ ∂ ∂ϕ
2
1 00 01
1 22 2
2 1
( ) ( , )1 ( ( ))[ ( ) ( )] ;
( )
cT W W r
r g S S
rr − +
∂ ϕ + ϕ
− − ε δ − ϕ ϕ − ϕ − ϕ − ϕ
ϕ − ϕ∂ϕ
(6)
0 ( , )T r ϕ < ∞ , якщо 0r = ;
0
0
( , )
( , ) 0
T r bT r
r
∂ ϕ
+ ϕ =
∂
, якщо r l= ;
0 0( , ) ( , 2 )T r T rϕ = ϕ + π . (7)
Відповідно для знаходження нестаціонарної компоненти ( , , )rθ ϕ τ в поданні
(5) функції 2 ( , , )T r ϕ τ одержуємо таку крайову задачу:
22
2 2
2 2 2 2
( , , ) ( , , )1 ( , , ) 1 ( , , ) ( , , ) 1c cT r T rr r rr
r r r r r
∂ ϕ τ ∂ ϕ τ∂ ∂θ ϕ τ ∂ θ ϕ τ ∂θ ϕ τ + − = − − ∂ ∂ ∂τ ∂τ ∂ϕ ∂ϕ
02
1 2 1 22
2 1
( , , )
( ( ))[ ( ) ( )] ( , , )
( )
W r r g S S t r
r − +
ϕ τ
−ε δ − ϕ ϕ − ϕ − ϕ − ϕ − κ ϕ τ +
ϕ − ϕ
}2 ( , ) exp( )cT+κ ϕ τ κτ ; (8)
( , , )rθ ϕ τ < ∞ , якщо 0r = ;
( , , ) ( , , ) 0r b r
r
∂θ ϕ τ
+ θ ϕ τ =
∂
, якщо r l= ;
( , , ) ( , 2 , )r rθ ϕ τ = θ ϕ + π τ ;
( , , ) ( ,0)cr Tθ ϕ τ = − ϕ , якщо 0τ = . (9)
Задачі (6)–(9) за координатою ϕ розв’язуватимемо методом кінцевого інте-
грального перетворення [15, 16] з урахуванням періодичності функцій 0 ( , )T r ϕ та
( , , )rθ ϕ τ за цією координатою та наперед визначеною функцією ядра перетво-
рення з відповідної задачі Штурма–Ліувілля [16]. Розв’язуючи крайову задачу
(6), (7) відносно змінної r з оберненням по координаті ϕ, одержимо стаціонарну
компоненту 0 ( , )T r ϕ температурного моменту 2 ( , , )T r ϕ τ (початковий розподіл
температури (3)). У подальшому до задачі (8), (9) застосуємо кінцеве інтегральне
перетворення Ганкеля [17] за координатою r і, розв’язавши одержане диферен-
ціальне рівняння першого порядку відносно часу τ та виконавши обернені пере-
творення, знайдемо нестаціонарну компоненту ( , , )rθ ϕ τ температурного момен-
ту. Підставивши одержані стаціонарну та нестаціонарну компоненти температур-
ного моменту в рівність (5), одержимо розв’язок 2 ( , , )T r ϕ τ вихідної крайової
задачі (1)–(3):
( ) ( )( ) ( )2 0,2 2
0 1
( , , ) 1 ( ) ( , ) exp cosm m mk m mk mk
m k
T r T r J r c m
∞ ∞
= =
ϕ τ = π + θ λ τ λ −κτ ϕ +
∑ ∑
( )( ) ( )0,2 1 2 1
1
( ) ( , ) exp sin ( , )m m mk m mk mk c
k
T r J r c m T
∞
− −
=
+ + θ λ τ λ −κτ ϕ + ϕ τ
∑ . (10)
87
Тут
2
0
0,20
0
( , )
2
T rT d
π ϕ
= ϕ∫ ; 0,
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( )
j j r l
j m j
m m m
b l r r
T r I r r
I l I l bI l
=
− +
Φ + ∂Φ ∂
= − α + Φ
α α + α + α
;
[ ]
0
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r
j j m m m mr x t x I x K r I r K x dxΦ = α α − α α∫ ;
1 20 21,( ) (2 ( ))j jt r t t r= −κ π + −
( ) ( ) ( )
2
1
2 200 00
1,
2 1
( , )
( ) ,
( ) j c j
W W r r g П m d m r T
r
ϕ
ϕ
+ ϕ
−ε δ − ϕ ϕ ϕ + + κ
ϕ − ϕ∫ ; 2
mk mkσ = λ + κ ;
( ) ( )2 *
,
0 0
( , ) exp (0) ( , ) ( ) exp
l
j mk mk c j j m mk mk mkT t r rJ r dr d c
τ
θ λ τ = −λ τ − − ξ λ σ ξ ξ
∫ ∫ ;
{ } { }
2
0, 21, 1, 0 21 1
0
( ); ( ); ( ) ( , ); ( , ); ( , )j j c j c jT r t r T r T r t r T r П d
π
= ϕ ϕ ϕ ϕ∫ ;
*
1 22,( , ) ( , )j jt r t rτ = −κ τ −
( )
( ) ( )( )
2
1
22
2,02 2
2,2 2
2 1 0
( ), , ( , )1 ( )c jc
j j c j
TW r Tr g П d П d T
r r
ϕ π
ϕ
∂ τϕ τ ∂ ϕ τ
−ε δ − ϕ ϕ − ϕ + + κ τ
ϕ − ϕ ∂τ∂ϕ
∫ ∫ ;
{ } { }
2
22, 2, , 22 2
0
( , ); ( , ); ( ); (0) ( , , ), ( , , ); ( , ); ( ,0)j j c j c j j c c jr t r T T r t r T T П d
π
θ τ τ τ = θ ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ∫ ;
{ } { } ( ), ,
0
1( , ), (0) ( , ), (0)
l
j mk c j j c j m mk
mk
T r T rJ r dr
c
θ λ τ = θ τ λ∫ ;
2 ,
2 1;
m
j
m
= −
, mkc =
( ) 2 2 2 2 2 2 2m mk mk mkJ l l b l m= λ λ + − λ ; ( ) 2 2
0 0 0 02 1k k kc l J l b= λ λ + ;
α = κ ;
cos , якщо 2 ,
sin , якщо 2 1;j
m j m
П
m j m
ϕ =
= ϕ = −
0,1,2,...m = ; ( )m mkJ rλ – функція Бессе-
ля першого роду; Im(αr) і Km(αr) – модифіковані функції Бесселя; λmk – додатні
корені трансцендентного рівняння 1( / ) ( ) ( ) 0m mk mk m mkb m l J l J l++ λ − λ λ = .
Якщо початковий розподіл температури 0 ( , )T r ϕ та довкілля ct
+ , ct
− , ( , )cT ϕ τ
нульові, то температурний момент, спричинений джерелами тепла, що рівномір-
но розподілені зі сталою інтенсивністю 0 ( )W qS−= τ (q = const) та зосереджені на
половині дуги кола 02 cosr R= ϕ ( )1 20, / 2ϕ = ϕ = π з центром у точці 0( ,0)M R
(рис. 2), знайдемо з виразу (10):
]
2
1
2
1
2 1 1
2 0 0 0 0 0
1
2 2
0 0 0 0
1 1 2 2
0 0
1
( ) ( 2 cos )
1 4 sin ( )[ 1 exp( )]
2 ( 2 cos ) 1 4 sin
cos ( ) [ 1 exp( )] ( ) .
k k k
k
k k
mk mk m mk
m
mk m mk
T q S c J R
R d J r
c J R R
m d J r
ϕ∞
− − −
−
= ϕ
ϕ∞
− −
= ϕ
= ε π τ σ λ ξ ×
× + ϕ ξ λ − + −σ τ +
+ σ λ ξ + ϕ ×
× ϕ − ξ ξ − + −σ τ λ
∑ ∫
∑ ∫
88
Рис. 2. Схема нагріву пластини
джерелами тепла по половині дуги
кола r = 2R0cosϕ (ϕ1 = 0, ϕ2 = π/2)
з центром у точці M(R0, 0).
Fig. 2. Scheme to the plate heating
by heat sources distributed over the half-
circle, r = 2R0cosϕ (ϕ1 = 0, ϕ2 = π/2)
with a centre at the point M(R0, 0).
Прогин пластини, зумовлений температурним моментом (10), знаходимо з
рівняння [7, 11]
( ) 21tw h T∆∆ = −α + ν ∆ , (11)
де αt, ν – коефіцієнти теплового лінійного розширення та Пуассона. Загальний
розв’язок рівняння (11) подаємо у вигляді w = w0 + w1. Тут функція 0w =
( ) ( )2 2
2 3 2 3
0
cos sinm m m m
m m m m
m
C r C r m C r C r m
∞
+ +
=
′ ′= + ϕ + + ϕ ∑ задовольняє бігар-
монічне рівняння 0 0w∆∆ = .
Функція
( )1 2 2 12
0 1
(1 )
( , ) cos ( , )sin exp( ) ( )t
m mk m mk m mk
m k mk mk
hw m m J r
c
∞ ∞
−
= =
α + ν
= θ λ τ ϕ + θ λ τ ϕ −κτ λ
λ π
∑ ∑
– частковий розв’язок рівняння 1 2(1 )tw T∆ = −α + ν за нульових початкового
розподілу температури та температури довкілля.
Відповідно прогин у круглій пластині за наведеного нагріву за формулою
(10) знаходимо у вигляді
2 2
2 3 2
0 1
(1 ) ( , ) exp( ) ( ) cosm m t m mk
m m m mk
m k mk mk
w C r C r J r m
c
∞ ∞
+
= =
α + ν θ λ τ
= + + −κτ λ ϕ + π λ
∑ ∑
' ' 2 2 1
2 3 2
1
(1 ) ( , )
exp( ) ( ) sin ,m m t m mk
m m m mk
k mk mk
C r C r J r m
c
∞
+ −
=
α + ν θ λ τ
+ + + −κτ λ ϕ π λ
∑
де невідомі сталі величини 2 3 2 3, , ,m m m mC C C C′ ′ визначимо з механічних крайових
умов для пластини.
Для жорсткого закріплення краю пластини (w = dw/dr = 0, коли r = 1) маємо:
2 2 1
2
0 1
2
1 1
2
(1 ) ( , ) ( , ) ( )cos sin
( ) ( ) ( ) exp( ) .
2
t m mk m mk m mk
mk mkm k mk
m m m
m mk m mk m mk
mkmk
J rw m m
c c
J r J r J r
∞ ∞
−
= =
+
+ +
α + ν θ λ τ θ λ τ λ
= ϕ + ϕ − π λ
λ λ − λ
− + −κτ
λλ
∑ ∑
89
Відповідно для опертого краю (
2 2
22 2 20, 2 (1 )t
w w ww T
r rr r
∂ ν ∂ ν ∂
= + + = − α + ν
∂∂ ∂ϕ
, якщо
r = 1) прогин пластини описує функція
2 2 1
2
0 1
(1 ) ( , ) ( , ) ( )
cos sint m mk m mk m mk
mk mkm k mk
J rw m m
c c
∞ ∞
−
= =
α + ν θ λ τ θ λ τ λ
= ϕ + ϕ −
π λ
∑ ∑
2 2
1
2
( ) (1 ) ( )( ) ( )( )
exp( )
2 (2 1) 2(2 1)
m m m m m
m mk m mk m mk
mkmk
J r J r r J r r
m m
+ +
+
λ − ν λ + λ −
− + + −κτ
λ + ν + + ν +λ
.
Числовий приклад. Розглянемо круглу пластину, що перебуває під дією
миттєвого джерела тепла інтенсивності q, зосередженого на відрізку дуги
1 2ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ радіуса r = r1, яке одержимо, поклавши в формулі (4) 0 ( )W q −= δ τ ,
g(ϕ) = r1. На контурі пластини r =1 відбувається конвективний теплообмін з дов-
кіллям нульової температури. Початковий розподіл температури нульовий. Плас-
тина вільно оперта і вільна від зовнішнього силового навантаження. Температур-
ний момент 2 ( , , )T r ϕ τ у ній описує, згідно з поданням (10), формула
{
{ }
1 2 2 2 1 2
2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1
2
1
1 2 2 2 2 2
1 2 1
( ) ( ) ( ) exp( )[ ] ( )
2 ( ) ( ) exp( )sin[ ( )] sin[ ( )] ,
( )[ ] ( )
k k k k k k
k
mk m mk m mk mk
m mk m mk
T q S J r J r b J
J r J rm m
m b m J
∞
− − −
−
=
∞
=
= ε π τ λ λ λ −σ τ λ + λ +
λ λ λ −σ τ + ϕ − ϕ − ϕ − ϕ
ϕ − ϕ λ + − λ
∑
∑
а для прогину
[
2
20 0 1 0 0 0 0
0 02 2 2
1 0 0 0
2
0 0 0 1 0
1
21
(1 ) ( ) ( )exp( ) ( )( ) (1 )
2(1 )[ ] ( )
(1 )( ) ( )( 1) 2 ( ) 2 ( )
2(1 )
(1 ) ( ) (
2 1
t k k k k
k
k k k
m
k k k m mk m mk
m
m mmk m mk
q h J r S Jw J r r
b J
J J r J r J l r
J r r
m
∞
−
=
∞
=
++
ε α + ν λ τ −σ τ λ λ= λ + − −π + νλ + λ
− ν
− λ + λ λ + + λ − λ ++ ν
− ν λ λ
+ +
+ + ν
∑
∑
{
}
2
2
1
1
2 2 2 2 2
2 1
( )) ( ) sin[ ( )]
2 1
( ) ( ) exp( )sin[ ( )] .
( ) [ ] ( )
m mmk m mk
m mk mk
mk m mk
J r r m
m
J r Sm
m b m J
+
−
λ λ
+ − ϕ − ϕ −
+ + ν
λ τ −σ τ − ϕ − ϕ
ϕ − ϕ λ + − λ
Відповідно моменти згину круглої пластини набувають вигляду, як у праці [11].
Числові розрахунки (рис. 3–6) виконували за таких загальних значень пара-
метрів: r1 = 0,5; µ1 = 0,5; b = 1. Розподіл нормованого температурного моменту
2 2 /T T q= ε% для різних довжин дуги нагріву (ϕ0 = ϕ2 – ϕ1 = 195° – 165° = 30°, ϕ0 =
= 270° – 90° = 180°, ϕ0 = 330° – 30° = 300°) за однакової тепловіддачі з поверхонь
пластини (µ+ = µ–) для часу τ = 0,1 ілюструє рис. 3. Розрахунки на рис. 4–6 здійсню-
вали за дуги нагріву 0 270 90 180ϕ = ° − ° = ° . На рис. 4 зображено розподіл темпера-
турного моменту 2T% , прогину / tw w q= α ε% , моментів 2/r rM M D=% і 2/M M Dϕ ϕ=%
вздовж діаметра пластини для часу τ = 0,1. На рис. 5 – прогин вздовж радіуса пла-
стини в різні моменти часу, а на рис. 6 побудовано графіки поведінки темпера-
турного моменту 2T% , прогину w% та згинних моментів rM% і Mϕ
% залежно від часу.
90
Рис. 3. Fig. 3. Рис. 4. Fig. 4.
Рис. 3. Розподіл нормованого температурного моменту 2T% для таких довжин лінії нагріву:
ϕ0 = 195° – 165° = 30°; 270° – 90° = 180°; 330° – 30° = 300°, якщо r1 = 0,5; b = 1;
µ1 = 0,5; τ = 0,1.
Fig. 3. Normalized temperature moment, 2T% , distribution for such lengths of heating lines
ϕ0 = 195° – 165° = 30°; 270° – 90° = 180°; 330° – 30° = 300°, when r1 = 0.5; b = 1; µ1 = 0.5; τ = 0.1.
Рис. 4. Розподіл нормованих температурного моменту 2T% , моментів rM% і Mϕ
% та прогину
w% вздовж діаметра ϕ = 0° за µ1 = 0,5; b = 1; τ = 0,1; r1 = 0,5; ϕ0 = 270° – 90° = 180°.
Fig. 4. Distributions of normalized temperature moment, 2T% , stress couples, rM% , Mϕ
% , and def-
lection, w% , along diameter ϕ = 0° when µ1 = 0.5; b = 1; τ = 0.1; r1 = 0.5; ϕ0 = 270° – 90° = 180°.
Рис. 5. Fig. 5. Рис. 6. Fig. 6.
Рис. 5. Розподіл нормованого прогину w% по радіусу r за часом τ = 0,5; 0,05; 0,005; 0,0005,
якщо µ1 = 0,5; ϕ0 = 270° – 90° = 180°; r1 = 0,5; b = 1.
Fig. 5. Normalized deflection, w% , distribution along radius, r , with respect to time τ = 0.5;
0.05; 0.005; 0.0005, when µ1 = 0.5; ϕ0 = 270° – 90° = 180°; r1 = 0.5; b = 1.
Рис. 6. Розподіл нормованих моментів rM% , Mϕ
% , температурного 2T% та прогину w%
за часом τ у точці r = 0,1; ϕ = 0°, якщо µ1 = 0,5; b = 1; r1 = 0,5; ϕ0 = 270° – 90° = 180°.
Fig. 6. Distribution of normalized temperature moment, 2
~T , stress couples rM% , Mϕ
%
and deflection, w% , with respect to time, τ, at the point r = 0.1; ϕ = 0°,
when µ1 = 0.5; b = 1; r1 = 0.5; ϕ0 = 270° – 90° = 180°.
ВИСНОВКИ
Досліджено прогин і згинні моменти круглої пластини, зумовлені дією зосе-
реджених джерел тепла на довільній кривій лінії. Для цього розроблено алгоритм
знаходження температурного моменту з урахуванням наперед визначеного його
початкового розподілу. Показано, що значення температурного моменту зменшу-
ється зі збільшенням відрізка дуги нагріву, що обумовлено сталою кількістю теп-
91
ла, яку виділяє миттєве джерело, а максимальне значення прогину вздовж радіуса
з часом зміщується до центра пластини внаслідок її прогріву. За миттєвого дже-
рела тепла прогин і згинні моменти досягають спочатку максимальних значень та
заникають з часом.
РЕЗЮМЕ. На основании метода конечных интегральных преобразований с исполь-
зованием теории обобщенных функций предложен способ решения задачи термоупругос-
ти для круглой пластины, которая нагревается источниками тепла, распределенными по
кривой линии. Дан анализ численных результатов.
SUMMARY. The approach, based on the method of finite integral transforms and genera-
lized functions technique, is proposed for solution of thermoelastic problems for circular plates
with heat sources distributed along curve line. The analysis of numerical results is given.
1. Takeuti B. Y. Thermal Stresses in Circular Disc due to Instantaneous Line Heat Source
// ZAMM. – 1965. – № 4. – C. 177–184.
2. Уздалев А. И., Брюханова Е. Н. Распределение напряжений в круглой пластинке, на-
греваемой источниками тепла // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1977. – Вып. 6.
– С. 86–89.
3. Семерак Ф. В., Глек Р. Р. Термонапряженное состояние круглой пластинки, нагревае-
мой кольцевым источником тепла // Там же. – 1990. – Вып. 31. – С. 58–60.
4. Коренев Б. Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. – М.: Наука, 1980.
– 400 с.
5. Коляно Ю. М., Кулик А. Н. Температурные напряжения от объемных источников. – К.:
Наук. думка, 1983. – 288 с.
6. Заболотный В. П., Хапко Б. С. Тепловые напряжения в изгибаемой пластинке, обус-
ловленные источниками тепла в форме линий // Мат. методы в термомеханике. – К.:
Наук. думка, 1978. – С. 182–189.
7. Хапко Б. С. Решение задачи теплопроводности для круглой пластинки с источниками
тепла // Материалы 11-й конф. молодых ученых Ин-та прикл. проблем механики и
математики АН УССР. – Львов, 1985. – Ч. 2. – С. 84–87. – Деп. в ВИНИТИ 17.02.87,
№ 1089-В87.
8. Khobragade N. L. and Deshmukh K. C. Thermoelastic problem of a thin circular plate
subject to a distributed heat supply // J. Thermal Stresses. – 2005. – 28, № 2. – Р. 171–184.
9. Boley B. A. and Weiner J. H. Theory of Thermal Stresses. – New York: Wiley, 1960. – 585 p.
10. Коваленко А. Д. Основи термоупругости. – К.: Наук. думка, 1970. – 304 с.
11. Подстригач Я. С., Швец Р. Н. Термоупругость тонких оболочек. – К.: Наук. думка,
1978. – 344 с.
12. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979.
– 320 с.
13. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в
технике. – М.: Мир, 1978. – 518 с.
14. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964. – 487 с.
15. Кошляков Н. С., Глинер Є. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения
математической физики. – М.: Высш. шк., 1970. – 710 с.
16. Хапко Б. С. Про розв’язок крайової задачі для диференціальних рівнянь з частинних
похідних з імпульсними коефіцієнтами // Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 2006. – 49,
№ 3. – С. 47–55.
17. Галицин А. С., Жуковський А. Н. Интегральные преобразования и специальные функ-
ции в задачах теплопроводности. – К.: Наук. думка, 1976. – 282 с.
Одержано 27.03.2009
|