Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач
Запропоновано нову теорію згину товстої пластини, коли її напружений стан не описують гіпотези Кірхгофа–Лява або Тимошенка. Тривимірний напружено-деформований стан пластини розділено на симетричні згин і стиск. Для опису симетричного згину використано три гармонічних функції. Інтегруванням по товщи...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136240 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач / В.П. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 34-39. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-136240 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1362402018-06-17T03:13:34Z Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач Ревенко, В.П. Запропоновано нову теорію згину товстої пластини, коли її напружений стан не описують гіпотези Кірхгофа–Лява або Тимошенка. Тривимірний напружено-деформований стан пластини розділено на симетричні згин і стиск. Для опису симетричного згину використано три гармонічних функції. Інтегруванням по товщині пластини виражено згинальні, крутні моменти і поперечні сили через дві двовимірні функції. Задоволені співвідношення тривимірної теорії пружності і побудовано замкнуту систему рівнянь у часткових похідних шостого порядку на введені функції без використання гіпотез про геометричний характер деформування пластини. Запропоновано аналітично-числовий метод їх розв’язання. Предложена новая теория изгиба толстой пластины, когда ее напряженное состояние не описывают гипотезы Кирхгофа–Лява или Тимошенко. Трехмерное напряженно-деформированное состояние пластины разделено на симметричный изгиб и сжатие. Для описания симметричного изгиба использованы три гармоничные функции. Путем интегрирования по толщине пластины изгибные, крутящие моменты и поперечные усилия выражены через две двумерные функции. Удовлетворены соотношения теории упругости и без использования гипотез о геометрическом характере деформирования пластины построена замкнутая система уравнений в частных производных шестого порядка. Предложен аналитико-численный метод их решения. A new theory of a thick plate bending, when its stress state is not deseribed by the hypothesis of Kirchhoff–Love or Tymoshenko, is proposed. To describe its symmetric bending three harmonic functions are proposed. For the description of its symmetric bending three harmonious functions are proposed. The components of the stress tensor are integrated over the thickness of the plate. Bending and torsional moments and also shear forces in two-dimensional functions are expressed. The ratios of the elasticity theory are satisfied without the use of the hypotheses on the geometric character of the plate deformation. A closed system of partial differential equations of the sixth order is constructed. The analytical and numerical methods for their solution are proposed. 2015 Article Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач / В.П. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 34-39. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136240 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано нову теорію згину товстої пластини, коли її напружений стан не описують гіпотези Кірхгофа–Лява або Тимошенка. Тривимірний напружено-деформований стан пластини розділено на симетричні згин і стиск. Для опису симетричного
згину використано три гармонічних функції. Інтегруванням по товщині пластини
виражено згинальні, крутні моменти і поперечні сили через дві двовимірні функції.
Задоволені співвідношення тривимірної теорії пружності і побудовано замкнуту
систему рівнянь у часткових похідних шостого порядку на введені функції без використання гіпотез про геометричний характер деформування пластини. Запропоновано аналітично-числовий метод їх розв’язання. |
| format |
Article |
| author |
Ревенко, В.П. |
| spellingShingle |
Ревенко, В.П. Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Ревенко, В.П. |
| author_sort |
Ревенко, В.П. |
| title |
Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач |
| title_short |
Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач |
| title_full |
Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач |
| title_fullStr |
Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач |
| title_full_unstemmed |
Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач |
| title_sort |
зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136240 |
| citation_txt |
Зведення тривимірної задачі теорії згину товстих пластин до розв’язання двох двовимірних задач / В.П. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 34-39. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT revenkovp zvedennâtrivimírnoízadačíteoríízginutovstihplastindorozvâzannâdvohdvovimírnihzadač |
| first_indexed |
2025-07-10T00:57:55Z |
| last_indexed |
2025-07-10T00:57:55Z |
| _version_ |
1837219556194516992 |
| fulltext |
34
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2015. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ЗВЕДЕННЯ ТРИВИМІРНОЇ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ЗГИНУ ТОВСТИХ
ПЛАСТИН ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ ДВОХ ДВОВИМІРНИХ ЗАДАЧ
В. П. РЕВЕНКО
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів
Запропоновано нову теорію згину товстої пластини, коли її напружений стан не опи-
сують гіпотези Кірхгофа–Лява або Тимошенка. Тривимірний напружено-деформо-
ваний стан пластини розділено на симетричні згин і стиск. Для опису симетричного
згину використано три гармонічних функції. Інтегруванням по товщині пластини
виражено згинальні, крутні моменти і поперечні сили через дві двовимірні функції.
Задоволені співвідношення тривимірної теорії пружності і побудовано замкнуту
систему рівнянь у часткових похідних шостого порядку на введені функції без вико-
ристання гіпотез про геометричний характер деформування пластини. Запропонова-
но аналітично-числовий метод їх розв’язання.
Ключові слова: власні функції, товстостінний двошаровий циліндр, тривимірний
напружений стан, тензор напружень.
Пластини, до яких прикладені згинальні навантаження, широко використо-
вують у будівельних та інженерних конструкціях [1–7]. Відомо [1–3], що згин
товстих пластин потрібно розглядати як тривимірну задачу теорії пружності. У
праці [8] нову теорію завантажених товстих пластин подали на основі теорії Кірх-
гофа–Лява з урахуванням градієнта згинального моменту, вважаючи, що прогини
серединної поверхні суттєві. Виявили [9], що за згинання товстої пластини попе-
речною силою (у межах тривимірної теорії пружності) нормалі до недеформова-
ної серединної поверхні значно відхиляються від нормалі до деформованої, а та-
кож викривляються. Відомі теорії згину пластин [1–8] постулюють характер де-
формації нормалі до серединної поверхні пластини і прямо не враховують крут-
ний момент, прикладений до контуру пластини.
Нижче використано тривимірні подання напружень, а моменти та поперечні
зусилля виражено через дві двовимірні функції, які визначено із рівнянь у част-
кових похідних.
Формулювання задачі і подання розв’язку. Розглянемо тривимірну ста-
тичну задачу теорії пружності для товстої пластини сталої товщини h, серединна
поверхня якої займає область S і збігається з площиною Oxy декартової системи
координат x1 = x, x2 = y, x3 = z. До обох поверхонь пластини (z = hj, h1 = h/2, h2 =
=–h/2) прикладені нормальні ( , )jq x y , 1,2i = навантаження, а дотичні – відсутні.
Тривимірну теорію так навантаженої пластини розділимо на дві задачі: симет-
ричні згин
( , , ) ( , , )i iu x y z u x y z− = − , 1,2i = , 3 3( , , ) ( , , )u x y z u x y z− = (1)
і стиск
( , , ) ( , , )i iu x y z u x y z− = , 1,2i = , 3 3( , , ) ( , , )u x y z u x y z− = − ,
Контактна особа: В. П. РЕВЕНКО, e-mail: victorrev@ukr.net
35
де ui – переміщення у напрямку осей декартової системи координат. Для першої
задачі нормальні навантаження поверхонь пластини рівні і направлені в одному
напрямку:
1( , , ) ( , )z x y h g x y+σ = , 2( , , ) ( , )z x y h g x y+σ = − , (2)
а для другої – протилежно:
, , ( , ), , , ( , )
2 2z z
h h
x y p x y x y p x y+ + σ = σ − =
,
де 1 2
1
( )
2
g q q+ = + ; 1 2
1
( )
2
p q q+ = − ; знаки “+”, “–“ описують відповідно функції
на верхній 1z h= і нижній 1z h= − поверхнях пластини.
Знайдений раніше [10] загальний вираз розв’язку рівнянь Ляме можна пода-
ти у такому вигляді:
= ,x
P Q
u
x y
∂ ∂+
∂ ∂
=y
P Q
u
y x
∂ ∂−
∂ ∂
, = 4(1 )z
P
u
z
∂ − − ν Φ
∂
, (3)
де P z= Φ + Ψ ; Φ , Ψ , Q – тривимірні гармонічні функції переміщень; ν – кое-
фіцієнт Пуассона. Функція P задовольняє рівняння
2
2
2P P
zz
∂ ∂∆ + = Φ
∂∂
, (4)
де
2 2
2 2x y
∂ ∂∆ = +
∂ ∂
– двовимірний оператор Лапласа. Запишемо загальний вираз
для нормальних
2 2
2
3 1 2
2 2 ( 1)j
j
j
P Q
G
x x xx
∂ ∂Φ ∂
σ = − ν − −
∂ ∂ ∂∂
,
2
3 2
33
2 2(2 )
P
G
xx
∂ ∂Φσ = − − ν ∂∂
(5)
та дотичних
2 2 2
12 2 2
1 2 2 1
2
P Q Q
G
x x x x
∂ ∂ ∂τ = + − ∂ ∂ ∂ ∂
,
2
3
3 3 3
2 4(1 ) ( 1)jj
j j
P Q
G
x x x x−
∂ ∂ ∂τ = − − ν Φ − − ∂ ∂ ∂ ∂
, 1,2j = (6)
напружень, де / 2(1 )G E= + ν , E – модулі зсуву і Юнґа.
Детально розглянемо симетричний згин пластини. Тоді, як випливає зі спів-
відношень (1), (3), функції P, Ψ, Q будуть непарні відносно змінної z, а функція
Φ – парна. Спочатку розглянемо випадок, коли другі похідні за змінною z від
функцій переміщень не дорівнюють нулю.
Із умов симетричності введених функцій маємо умови:
P P
z z
+ −∂ ∂=
∂ ∂
,
z z
+ −∂Ψ ∂Ψ=
∂ ∂
,
Q Q
z z
+ −∂ ∂=
∂ ∂
, − +Φ = Φ . (7)
Використаємо тривимірну теорію пружності і побудуємо двовимірну теорію
згину товстої пластини. Для цього підставимо у відомі вирази [1, 2, 4] моментів і
поперечних зусиль тривимірні напруження (5), (6):
36
1
1
2 2
1 1
2
1 2
2 2 ( 1)
h
j
j j
jh
P Q
M z dz G
x xx−
∂ ∂
= σ = − νψ − −
∂ ∂∂
∫ ,
1
1
2 2 2
1 1 1
12 2 2
1 2 2 1
2
h
h
P Q Q
H z dz G
x x x x−
∂ ∂ ∂= τ = + − ∂ ∂ ∂ ∂
∫ , (8)
2 2 [ (1 ) ] ( 1) j
j
j j
Q
N G P
x x
+
+ ∂ ∂= − − ν Φ − −
∂ ∂
ɶ , 1,2j = ,
де введено інтегральні функції
1
1
1
h
h
P zPdz
−
= ∫ ,
1
1
1
h
h
Q zQdz
−
= ∫ ,
1
1
h
h
dz
−
Φ = Φ∫ɶ ,
1
1
h
h
z dz h
z
+
−
∂ψ = Φ = Φ − Φ
∂∫ ɶ . (9)
Наведемо рівняння рівноваги пластини [1, 2]:
1
1
1 2
M H
N
x x
∂ ∂= +
∂ ∂
, 2
2
2 1
M H
N
x x
∂ ∂= +
∂ ∂
,
1 2
1 2
2 0
N N
g
x x
+∂ ∂+ + =
∂ ∂
. (10)
Поперечні сили визначимо також із рівнянь (10):
1 1
1
2 [ 2 ] ( 1)
2
j
j
j j
N G P Q
x x
∂ ∂ = ∆ − νψ − − ∆ ∂ ∂
, 1,2j = . (11)
Врахувавши рівняння на введені функції P1, Q1 і порівнюючи поперечні зу-
силля (8), (11), знайдемо:
1 2[ (1 ) ]P P+∆ = + νψ − − ν Φɶ , 1 2Q Q+∆ = . (12)
Використавши формули (5), (6), виразимо крайові умови (2) і умови відсут-
ності дотичних навантажень на бічних поверхнях пластини так:
2
3 2
33
( , ) 2 2(2 )
P
g x y G
xx
+ +
+ ∂ ∂Φσ = = − − ν ∂∂
,
2
3 3 3
2 4(1 ) ( 1) 0j
j j
P Q
x x x x
+ +
+
−
∂ ∂ ∂− − ν Φ − − = ∂ ∂ ∂ ∂
, 1,2j = . (13)
Із двох останніх рівнянь (13) і другого (12) після деяких перетворень одержимо:
3
2(1 ) 0
P
x
+
+∂ − − ν Φ =
∂
,
3
0
Q
x
+∂ =
∂
. (14)
Для визначення функції ψ знайдемо нормальне переміщення верхньої по-
верхні пластини 4(1 )z
P
u
z
+
+ +∂= − − ν Φ
∂
, яке після врахування першого співвідно-
шення (14) набуде вигляду
2(1 )zu+ += − − ν Φ . (15)
37
Розрахуємо середнє переміщення uz уздовж нормалі до серединної поверхні
пластини:
1
1
1 1
(2 4(1 ) )
h
z z
h
u u dz P
h h
+
−
= = − − ν Φ∫ ɶɶ . (16)
Зі співвідношень (15), (16) одержимо 2(1 ) (1 )P h+ += − ν Φ − − ν Φɶ , або після
врахування співвідношення (9)
(1 )( )P+ = − ν Φ − ψɶ . (17)
Використаємо умови (14), (17), візьмемо до уваги перше рівняння (12) та знайдемо:
1
1
2(1 2 )
Pψ = − ∆
− ν
. (18)
Після врахування виразу (18) згинні моменти (8) і поперечні зусилля (11)
відповідно набудуть вигляду
1
1
2 2
1 1
12
1 2
2 ( 1)
(1 2 )
h
j
j j
jh
P Q
M z dz G P
x xx−
∂ ν ∂
= σ = + ∆ − −
− ν ∂ ∂∂
∫ ,
1 1
3
1
2 ( 1)
1 2
j
j
j j
N G P Q
x x −
− ν ∂ ∂= ∆ − − ∆
− ν ∂ ∂
, 1,2j = . (19)
Підставимо зусилля (19) в останнє співвідношення (10) і знайдемо визна-
чальне рівняння для функції P1:
2
1
1 2
( , )
(1 )
P g x y
G
+− ν∆ = −
− ν
. (20)
Отже, моменти і поперечні зусилля виразили через функцію P1, яка задо-
вольняє бігармонічне рівняння (20), і функцію Q1, що задовольняє друге рівняння
(12) з невідомою правою частиною.
Побудуємо розв’язок другого рівняння (12), де права частина задовольняє
другу умову (14). Для цього функції Q, Q1, Q
+ задамо у вигляді скінченних рядів
відносно змінної z:
2 1
1
( , )
N
k
k
k
Q z f x y−
=
= ∑ , 1
1
( , )
N
k k
k
Q I f x y
=
= ∑ , 2 1
1
1
( , )
N
k
k
k
Q h f x y+ −
=
= ∑ , (21)
де N – задане натуральне число;
1
1
2 2 1
1
2
2 1
h
k k
k
h
I z dz h
k
+
−
= =
+∫ ; ( , )kf x y – невідомі
функції. З другої умови (14) випливає:
1
1
( , ) ( , )
N
N k k
k
f x y a f x y
−
=
= ∑ , (22)
де 2 2
1
2 1
2 1
k N
k
k
a h
N
−−= −
−
. Підставимо гармонічну функцію Q, яку задає перший
розклад (21), у тривимірне рівняння Лапласа, прирівняємо коефіцієнти за однако-
вих степенів змінної z та одержимо систему рекурентних рівнянь:
12 (2 1)k kf k k f +∆ = − + , 1, 1k N= − . (23)
38
Підставимо другу і третю суму ряду (21) у друге рівняння (12) і, використо-
вуючи співвідношення (23) та математичні перетворення, позбудемось функції
( , )Nf x y , тобто запишемо аналог рівняння (22) для N – 1:
2
1
1 1
1
( , ) ( , )
N
N k k
N k
f x y b f x y
b
−
−
− =
= − ∑ , (24)
де
1 1
2 1 2 1
1 1 1 1
2( 1)(2 1)( )
( 1)(2 1)( ) 2( ) .
k k k N
k N
N N N k k
b k k I a I
N N I a I a h h a
− −
− −
− −
= − − + +
+ − − + − +
Якщо замість співвідношення (22) використати залежності (24) і виконати
аналогічні обчислення, то визначимо функцію fN–2(x, y). Таким чином, можна ре-
дукувати подання розв’язку вихідного рівняння. Покажемо, як працює цей алго-
ритм. Покладемо N = 3 і з формули (24) одержимо:
1
2 1
2
( , ) ( , )
b
f x y f x y
b
= − ,
де функція f1(x, y) задовольняє рівняння (23), коли k = 1. Звідси
1
1 1
2
6 ( , )
b
f f x y
b
∆ = . (25)
Розв’язавши рівняння (20), (25), подамо функції P1, Q1 як суму рядів.
Підставимо знайдені розподілені моменти і поперечні зусилля у відомі кра-
йові умови [1] та одержимо крайові умови на контурі пластини L:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2 2 1
1
[ 2 ]sin 2 2[2 ]cos2 |g L
P P Q P Q Q
H
x x x x Gy x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − θ − + − θ =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
,
2 2 2
2 21 1 1
12 2
sin cos2 cos
(1 2 )
P Q P
P
x xyx y
∂ ν ∂ ∂θ + ∆ − θ + θ +
− ν ∂ ∂∂ ∂
2 2 2
1 1 1
2 2
1 1
[2 ]sin 2 |
2 2 g L
P Q Q
M
x y Gy x
∂ ∂ ∂+ + − θ =
∂ ∂ ∂ ∂
, (26)
1 1 1 1
1 1 1
[2 ]cos [2 ]sin |
1 2 1 2 g LP Q P Q N
x y y x G
− ν ∂ ∂ − ν ∂ ∂∆ + ∆ θ + ∆ − ∆ θ =
− ν ∂ ∂ − ν ∂ ∂
,
де Hg, Mg – зовнішні крутний і згинний моменти; Ng – поперечне зусилля; θ – кут
між віссю Oy і нормаллю до контуру пластини L.
Вважатимемо, що крайова задача (20), (25), (26) розв’язана і знайдено розпо-
ділені моменти та поперечні зусилля, через які визначають напруження на по-
верхні пластини. Визначимо тепер переміщення на її поверхнях.
Розглянемо випадок, коди другі похідні за змінною z від введених функцій
дорівнюють нулю, тоді шукані функції
0( , )x yΦ = Φ , 0( , )z x yΨ = Ψ , 0( , )Q zQ x y= , 0P zP= , (27)
де 0 0 0P z= Φ + Ψ , 0 0∆Φ = , 0 0∆Ψ = . Врахувавши залежності (27), знайдемо мо-
менти
2 2
0 0
1 2
1 2
2 ( 1) j
j
j
P Q
M GI
x xx
∂ ∂
= − −
∂ ∂ ∂
,
2 2 2
0 0 0
1 2 2
1 2 2 1
2
P Q Q
H GI
x x x x
∂ ∂ ∂
= + −
∂ ∂ ∂ ∂
. (28)
39
З умов (14) випливає g+ = 0, Nj = 0, 1,2j = , а введені функції зв’язані залеж-
ностями
0 0 0
3
2 [ (1 ) ] ( 1) j
j j
P Q
x x −
∂ ∂− − ν Φ = −
∂ ∂
, 1,2j = .
Знайдені за формулами (28) розподілені моменти повинні задовольняти на
контурі пластини перші дві крайові умови (26).
ВИСНОВКИ
Встановлено, що на основі тривимірної теорії пружності можна побудувати,
не використовуючи гіпотез про розподіл переміщень і напружень, двовимірну
теорію симетричного згину товстої пластини. Моменти і поперечні зусилля вира-
жено через дві функції: перша задовольняє бігармонічне рівняння, а друга – дво-
вимірне гармонічне з невідомою правою частиною. Крутні моменти виражено
через введені функції. Побудовано рекурентні формули і розроблено методику
знаходження у вигляді скінченного ряду розв’язку другого рівняння. Вперше по-
будовано теорію згину товстих пластин, яка явно враховує крутний момент, і за-
довольняє задані вздовж криволінійного контуру пластини згинальні і крутні мо-
менти та поперечні зусилля.
РЕЗЮМЕ. Предложена новая теория изгиба толстой пластины, когда ее напряженное
состояние не описывают гипотезы Кирхгофа–Лява или Тимошенко. Трехмерное напря-
женно-деформированное состояние пластины разделено на симметричный изгиб и сжа-
тие. Для описания симметричного изгиба использованы три гармоничные функции. Пу-
тем интегрирования по толщине пластины изгибные, крутящие моменты и поперечные уси-
лия выражены через две двумерные функции. Удовлетворены соотношения теории упру-
гости и без использования гипотез о геометрическом характере деформирования пласти-
ны построена замкнутая система уравнений в частных производных шестого порядка.
Предложен аналитико-численный метод их решения.
SUMMARY. A new theory of a thick plate bending, when its stress state is not deseribed by
the hypothesis of Kirchhoff–Love or Tymoshenko, is proposed. To describe its symmetric ben-
ding three harmonic functions are proposed. For the description of its symmetric bending three
harmonious functions are proposed. The components of the stress tensor are integrated over the
thickness of the plate. Bending and torsional moments and also shear forces in two-dimensional
functions are expressed. The ratios of the elasticity theory are satisfied without the use of the
hypotheses on the geometric character of the plate deformation. A closed system of partial
differential equations of the sixth order is constructed. The analytical and numerical methods for
their solution are proposed.
1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. – М.: Наука, 1987. – 360 с.
2. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Физматгиз,
1966. – 636 с.
3. Космодамианский А. С., Шалдырван В. А. Толстые многосвязные пластины. – К.:
Наук. думка, 1978. – 240 с.
4. Доннелл Л. Г. Балки, пластины и оболочки. – М.: Наука, 1982. – 568 с.
5. Lukasiewicz S. Local Loads in Plates and Shells. Monographs and Textbooks on Mechanics
of Solids and Fluids // Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, 1979. – 570 p.
6. Noor A. K. Bibliography of Monographs and Surveys on Shells // Appl. Mech. Rev. – 1990.
– 43, № 9. – P. 223–234.
7. Kobayashi H. A Survey of Books and Monographs on Plates // Mem. Fac. Eng., Osaka City
Univ. – 1997. – 38. – P. 73–98.
8. Lebée A. and Sab K. A. bending gradient model for thick plates. Part I: Theory // Int. J. of
Solids and Struct. – 2010. – 48, № 20. – P. 2878–2888.
9. Ревенко В. П. О решении трехмерных уравнений линейной теории упругости // Прикл.
механика. – 2009. – 45, № 7. – С. 52–65. (Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, № 7 – P. 730–741.)
Одержано 11.02.2015
|