Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей

Побудовано інтегральні рівняння антиплоскої деформації анізотропних тіл із періодичними системами тонких включень. За допомогою модифікованого методу граничних елементів отримано числові розв’язки конкретних задач. Розраховано коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) для анізотропного тіла з одним,...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Пастернак, Я.М., Сулим, Г.Т., Оліярник, Н.Р.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України 2013
Назва видання:	Фізико-хімічна механіка матеріалів
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136848
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей / Я.М. Пастернак, Г.Т. Сулим, Н.Р. Оліярник // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 42-50. — Бібліогр.: 18 назв. — укp.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-136848
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1368482018-06-17T03:12:52Z Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей Пастернак, Я.М. Сулим, Г.Т. Оліярник, Н.Р. Побудовано інтегральні рівняння антиплоскої деформації анізотропних тіл із періодичними системами тонких включень. За допомогою модифікованого методу граничних елементів отримано числові розв’язки конкретних задач. Розраховано коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) для анізотропного тіла з одним, двома та трьома стовпцями паралельних дефектів. Порівнянням із окремими аналітичними розв’язками для тріщин і абсолютно жорстких включень підтверджено достовірність отриманих результатів. Також досліджено вплив міри анізотропії (ортотропії) матеріалу на напружено-деформований стан тіла та КІН в околі вершин тонких неоднорідностей. Построены интегральные уравнения задачи антиплоской деформации анизотропных тел с периодическими системами тонких включений. С помощью модифицированного метода граничных элементов получено численные решения конкретных примеров. Проведены расчеты коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для анизотропного тела с одним, двумя и тремя столбиками параллельных дефектов. Сравнением с отдельными аналитическими решениями для трещин и абсолютно жестких включений подтверждена достоверность полученных результатов. Также исследовано влияние меры анизотропии (ортотропии) материала на напряженно-деформированное состояние тела и КИН в окрестности вершин тонких неоднородностей. The integral equations of the antiplane shear deformation of anisotropic solids with periodic sets of thin ribbon-like inclusions are constructed. Using the modified boundary element method the numerical solutions of specific examples are obtained. The calculations of the stress intensity factors for anisotropic material with one, two and three columns of parallel defects are obtained. Comparison with the analytical solutions confirms the validity of the obtained results. The paper also studies the effect of changes in the degree of anisotropy (orthotropy) of the material on the stress-strain state of the solid and on the stress intensity factors in the vicinity of tips of thin inhomogeneities. 2013 Article Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей / Я.М. Пастернак, Г.Т. Сулим, Н.Р. Оліярник // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 42-50. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136848 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Побудовано інтегральні рівняння антиплоскої деформації анізотропних тіл із періодичними системами тонких включень. За допомогою модифікованого методу граничних елементів отримано числові розв’язки конкретних задач. Розраховано коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) для анізотропного тіла з одним, двома та трьома стовпцями паралельних дефектів. Порівнянням із окремими аналітичними розв’язками для тріщин і абсолютно жорстких включень підтверджено достовірність отриманих результатів. Також досліджено вплив міри анізотропії (ортотропії) матеріалу на напружено-деформований стан тіла та КІН в околі вершин тонких неоднорідностей.
format	Article
author	Пастернак, Я.М. Сулим, Г.Т. Оліярник, Н.Р.
spellingShingle	Пастернак, Я.М. Сулим, Г.Т. Оліярник, Н.Р. Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей Фізико-хімічна механіка матеріалів
author_facet	Пастернак, Я.М. Сулим, Г.Т. Оліярник, Н.Р.
author_sort	Пастернак, Я.М.
title	Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей
title_short	Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей
title_full	Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей
title_fullStr	Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей
title_full_unstemmed	Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей
title_sort	антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей
publisher	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
publishDate	2013
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/136848
citation_txt	Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей / Я.М. Пастернак, Г.Т. Сулим, Н.Р. Оліярник // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 42-50. — Бібліогр.: 18 назв. — укp.
series	Фізико-хімічна механіка матеріалів
work_keys_str_mv	AT pasternakâm antiploskadeformacíâanízotropnihtílzperíodičnimisistemamitonkihneodnorídnostej AT sulimgt antiploskadeformacíâanízotropnihtílzperíodičnimisistemamitonkihneodnorídnostej AT olíârniknr antiploskadeformacíâanízotropnihtílzperíodičnimisistemamitonkihneodnorídnostej
first_indexed	2025-07-10T02:59:46Z
last_indexed	2025-07-10T02:59:46Z
_version_	1837227193152831488
fulltext	42 Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2013. – ¹ 5. – Physicochemical Mechanics of Materials УДК 539.3 АНТИПЛОСКА ДЕФОРМАЦІЯ АНІЗОТРОПНИХ ТІЛ З ПЕРІОДИЧНИМИ СИСТЕМАМИ ТОНКИХ НЕОДНОРІДНОСТЕЙ Я. М. ПАСТЕРНАК 1, Г. Т. СУЛИМ 2, Н. Р. ОЛІЯРНИК 2 1 Луцький національний технічний університет; 2 Львівський національний університет ім. Івана Франка Побудовано інтегральні рівняння антиплоскої деформації анізотропних тіл із періо- дичними системами тонких включень. За допомогою модифікованого методу гра- ничних елементів отримано числові розв’язки конкретних задач. Розраховано коефі- цієнти інтенсивності напружень (КІН) для анізотропного тіла з одним, двома та трьома стовпцями паралельних дефектів. Порівнянням із окремими аналітичними розв’язками для тріщин і абсолютно жорстких включень підтверджено достовір- ність отриманих результатів. Також досліджено вплив міри анізотропії (ортотропії) матеріалу на напружено-деформований стан тіла та КІН в околі вершин тонких не- однорідностей. Ключові слова: системи тонких дефектів, лінійна періодичність, анізотропія, ан- типлоска деформація. Відомо, що умисне впровадження в однорідний матеріал різного роду неод- норідностей (включень різної жорсткості, накладок тощо) може значно поліпшу- вати його фізико-механічні властивості. Однак при цьому внаслідок формування значної концентрації напружень існує також небезпека передчасного руйнуван- ня. У зв’язку з цим під час проектування та дослідження таких неоднорідних матеріалів виникають задачі вивчення напружено-деформованого стану тіл як із поодинокими включеннями, так і системами, у тому числі й регулярно розташо- ваних неоднорідностей. Зокрема, останні необхідно враховувати під час моделю- вання композитних матеріалів та шаруватих гірських порід. Періодичні системи дефектів в умовах поздовжнього зсуву розглянуто у мо- нографіях [1, 2] та численній кількості статей [3, 4–7], зокрема у працях [4, 8], коли періодичну структуру утворюють одна та дві тріщини. Значно складнішими щодо побудови аналітичного розв’язку є задачі про тіла зі скінченними система- ми тріщин. Антиплоска деформація системи з п’яти включень вивчена раніше [2, 9], також досліджено [10, 11] системи тонких тріщин та включень. У більшості цих праць розглядаються періодичні системи неоднорідностей у тілах з ізотроп- ного матеріалу. Анізотропія властивостей матеріалу є одним із чинників, поряд із параметрами розташування дефектів, котрі безпосередньо впливають на напру- жено-деформований стан тіла. Тому важливою є задача антиплоского деформу- вання анізотропних тіл зі системами тонких дефектів чи армувальних елементів, яка на сьогодні практично не досліджена. Мета цієї роботи – побудова загального підходу, який дав би можливість розглядати періодичні системи тонких неоднорідностей в анізотропних тілах за їхнього антиплоского деформування. Для розв’язку задачі використано підхід безпосереднього підсумовування ядер інтегральних рівнянь [2, 12] та запису на їхній основі загальних співвідношень періодичної задачі. Ефективність відповід- Контактна особа: Н. Р. ОЛІЯРНИК, e-mail: nazaroliyarnyk13@gmail.com 43 ного підходу для задачі плоскої деформації тіл із лінійно періодичними система- ми включень підтверджено [12]. Формулювання задачі. Розглянемо антиплоску деформацію безмежного пружного анізотропного тіла (моноклінна структура) зі системою ідентичних одне одному тонких пружних стрічкових включень однакової жорсткості. При цьому для задовольняння умов поздовжнього зсуву вважають, що площина пружної симетрії матеріалів тіла і включень перпендикулярна до твірних стріч- кових неоднорідностей. На спільній межі тіла та включень виконуються умови ідеального механічного контакту. Згідно з принципом спряження континуумів різної вимірності [2], кожне вклю- чення моделюємо лінією sΓ ( s∈ ) розривів полів напружень , ,s s st t t+ −Σ = + та переміщень , ,s s sw w w+ −∆ = − (тут ,sw± і ,st± – контактні переміщення та напру- ження, що виникатимуть на берегах s ±Γ включення). Тоді, відповідно до форму- ли Сомільяни, інтегральні рівняння задачі для тіла з лініями стрибків sΓ ( s∈ ) набудуть вигляду 1 ( ) RPV ( , ) ( ) ( ) CPV ( , ) ( ) ( ) ( ), 2 y x y x x x y x x y s s s s s s w W t d T w d w + + ∞ Γ Γ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥Σ = Σ Γ − ∆ Γ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ 3 1 ( ) ( ) 2 CPV ( , ) ( ) ( ) HPV ( , ) ( ) ( ) , y y x y x x x y x x s s s j s s j j j s t n D t d S w d + + + ∞ Γ Γ ∆ = × ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥× σ + Σ Γ − ∆ Γ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ (1) де y k∈Γ ( )k∈ – точка колокації; w, t – ненульові компоненти векторів перемі- щень та напружень (0; 0; w) та (0; 0; t), відповідно; t t t+ −∆ = − , w w w+ −Σ = + ; 3 j jt n± ± ±= σ ( jn± – компоненти векторів нормалей n± до поверхонь s ±Γ ); знаками “+” та “–” позначено величини, що стосуються поверхонь s +Γ та s −Γ , утворених розрізом sΓ ; 3 j ∞σ , ( )yw∞ – задані на безмежності навантаження та відповідне йому поле переміщень у суцільному бездефектному матеріалі. Індекси у позна- ченнях відповідають проекціям векторів на осі глобальної системи координат 1 2Ox x . У формулах прийняте правило Айнштайна підсумовування за індексом, що повторюється. Ядра інтегральних рівнянь для антиплоскої задачі теорії пруж- ності анізотропного тіла відповідно до залежностей формалізму Stroh [13] мають такий вигляд [14]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1, Im ln , , Im , 1, Im , 1 ( ), Im . x y x y x y x y x y x y x y x y j jk j j k j jk j j k ABW A Z T n n p Z W ABD C p y Z T B n n pS C p y Z ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦π π −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤∂ = = − δ − δ⎢ ⎥∂ π −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤∂ −⎢ ⎥= = δ − δ ⎢ ⎥∂ π ⎡ ⎤−⎣ ⎦⎣ ⎦ (2) Тут ( ) 1 2 1 2( )x yZ x px y py− = + − + : A, B та p – комплексні сталі, що залежать від механічних властивостей матеріалу тіла [14]. 44 Рис. 1. Схема задачі. Fig. 1. Scheme of the problem. Періодична система включень формується шляхом нескінченної кількості почергових поступальних переміщень однієї неоднорідності на сталу відстань ω , що породжує систему ідентичних одне одному тонких включень. Тоді внаслідок трансляційної симетрії за такого навантажування структури розриви напружень stΣ та переміщень sw∆ є однаковими для кожного включення (рис. 1). Тобто рівняння (1) запишемо у вигляді 0 0 0 01 ( ) RPV ( , ) ( ) ( ) CPV ( , ) ( ) ( ) ( ), 2 y x y x x x y x x y s p pw W t d T w d w + + ∞ Γ Γ Σ = Σ Γ − ∆ Γ +∫ ∫ (3) 0 0 0 0 0 3 1 ( ) ( ) CPV ( , ) ( ) ( ) HPV ( , ) ( ) ( ) , 2 y y x y x x x y x xp p j j j jt n D t d S w d + + + ∞ Γ Γ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥∆ = σ + Σ Γ − ∆ Γ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ де ядра , , ,K p pp p p j jW T D S⎡ ⎤= ⎣ ⎦ мають такий загальний вигляд: ( ) ( ), ,K x y K x yωp s s ∞ =−∞ = +∑ . (4) Тут ( )1 2 ,ω x x= ω ω – вектор періоду. Тобто у рівнянні (3), відповідно до виразів (2) та (4), необхідно обчислити суми: ( ) [ ] 1 2 1 2 3 2 1 1ln , , , p p p p p s s s dS dS S u s S S u s du duu s ∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞ =−∞ = + ω = = = = − + ω + ω ∑ ∑ ∑ (5) де ( )x yu Z= − , ( )ωZω= . Оскільки сума 1 pS розходиться в звичайному сенсі, то подамо її у вигляді головної частини та деякої безмежної сталої pC∞ . Тобто матимемо: 2 1 1 ln 1p p s u uS C s ∞ ∞ = ⎡ ⎤⎛ ⎞π ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ∏ , (6) де ( ) \0 ln lnp s C s∞ ∈ ω⎛ ⎞= + ω⎜ ⎟π⎝ ⎠ ∑ . Відповідно до формули (4.22.1) довідника [15] 45 2 1 sin 1 s zz z s ∞ = ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟π⎝ ⎠⎝ ⎠ ∏ , отже, вираз (6) можна записати так: 1 lnsinp puS C∞ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟ω⎝ ⎠ . (7) Диференціюючи (7) двічі за змінною u, отримаємо: 2 ctgp uS π π⎛ ⎞= ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ , 2 2 3 cosecp uS π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (8) Таким чином, для розв’язування задач із лінійно періодичними системами тонких включень в ядрах (2) інтегральних рівнянь (3) необхідно зробити такі заміни: ( ) 1ln x y pZ S− → , ( ) 1 2x y pZ S − ⎡ ⎤− →⎣ ⎦ , ( ) 2 3x y pZ S − ⎡ ⎤− →⎣ ⎦ . За умови 0 s st d+Γ Σ Γ =∫ рівноважного навантаження кожного з розрізів sΓ (фактично рівноваги кожного окремого включення) відповідно до рівнянь (3) ста- ла pC∞ не впливатиме на розв’язок задачі, тому її можна відкинути. Для розв’язування сформульованої задачі інтегральних рівнянь (3) недостат- ньо. Повну систему рівнянь отримаємо, долучивши до них співвідношення мате- матичної моделі тонкого включення [14], що пов’язує між собою стрибки і серед- ні значення компонент векторів переміщень і напружень на берегах включення (розрізу) ( ) ( )0 , ,y yww F w tΣ = ∆ Σ , ( ) ( )0 , ,y ytt F w t∆ = ∆ Σ . (9) Розв’язування задачі. Систему крайових інтегральних рівнянь (3), (9) роз- в’язуватимемо модифікованим методом граничних елементів (МГЕ) [16, 17]. Для цього криву 0Γ апроксимуємо за допомогою n тривузлових граничних елемен- тів. Крайові функції 0tΣ та 0w∆ апроксимуємо на елементі за їхніми вузловими значеннями. Базові функції для елементів, що не прилягають до торців неодно- рідності, виберемо у формі поліномів Лагранжа [18] для системи вузлів [ ]2 / 3; 0; 2 / 3pξ = − тривузлового розривного граничного елемента: 1 9 3 8 4 ⎛ ⎞φ = ξ ξ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 2 3 31 1 2 2 ⎛ ⎞⎛ ⎞φ = − ξ + ξ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ , 3 9 3 8 4 ⎛ ⎞φ = ξ ξ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (10) Для елементів, що моделюють приторцеві ділянки включення, використаємо спеціальні функції u p ∆φ та t p Σφ [16, 17], які враховують кореневу особливість на- пружень у вершині неоднорідності і дають можливість визначати узагальнені ко- ефіцієнти інтенсивності напружень (УКІН) з високою точністю. Останні обчис- люємо за формулами: 31 32 0 0 lim ( ), lim ( ), 8 2s s sK L w s K t s s→ → π π = ∆ = − Σ (11) де 22 1L B= − − – дійсне число, що відповідає тензору Барнета–Лоте L [13] за плоскої анізотропії. Числові результати. Приклад 1. Для верифікації запропонованого підходу результати числового розрахунку КІН для паралельних та співвісних систем трі- 46 щин або абсолютно жорстких включень (АЖВ) в ізотропному середовищі порів- няно із точним аналітичним розв’язком (АР) відповідних задач. У всіх прикладах для розбиття осі неоднорідності у МГЕ брався 21 граничний елемент. Періодичні системи паралельних та співвісних тріщин. Для системи па- ралельних тріщин (рис. 2а) значення УКІН III 31K K= за навантаження xz ∞σ = τ , yz ∞σ = τ , згідно з працею [2], задаємо формулою * 31 31K K a= τ π , * 31 thd aK a d π = π , (12) де 2a – довжина тріщини; d – період, що дорівнює відстані між центрами тріщин. Результати обчислення нормованих УКІН за АР та запропонованим підхо- дом з використанням математичної моделі (9) у вигляді [14] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 * * 0, y y y y y y y y y y y y i i Q P P t w w w w ds h T h +⎡ ⎤∆ = − ∆ + ∆ Σ = +⎣ ⎦ ∫ (13) подані в табл. 1. Таблиця 1. Нормовані УКІН * 31K для системи паралельних тріщин d/а 100/3 8/3 4/3 8/9 4/9 АР, (12) 0,9985 0,8377 0,6456 0,5314 0,3761 МГЕ 0,9988 0,8382 0,6463 0,5323 0,3777 δ, % 0,03 0,06 0,11 0,17 0,43 Дані в табл. 1 показують добру узгодженість результатів розрахунку УКІН тріщини запропонованим підходом, оскільки відносна похибка обчислень δ за невеликої кількості граничних елементів (21 граничний елемент) не перевищує 0,5%. Також очевидним є зменшення значень КІН за зближення тріщин між со- бою, тобто зменшення періоду d (екранувальний ефект тріщин). Рис. 2. Схема задачі для системи паралельних (а) та співвісних (b) тріщин у безмежному середовищі. Fig. 2. Scheme of the problem for аn infinite solid containing sets of parallel (a) аnd coaxial (b) cracks. 47 Для системи співвісних тріщин (рис. 2b) за навантаження xz ∞σ = τ , yz ∞σ = τ УКІН визначають за формулою [2] * 31 31K K a= τ π , * 31 tgd aK a d π = π . (14) Таблиця 2. Нормовані УКІН * 31K для системи співвісних тріщин d/а 100/3 20/3 10/3 8/3 7/3 АР, (14) 1,0015 1,0398 1,2084 1,4326 1,8039 МГЕ 1,0018 1,0401 1,2089 1,4315 1,8089 δ, % 0,03 0,03 0,04 0,08 0,28 В табл. 2 подані результати обчислення нормованих УКІН за аналітичним розв’язком та запропонованим підходом для системи співвісних тріщи. Відхилен- ня результатів від АР менше 0,3%, що свідчить про достовірність отриманих да- них. Внаслідок зближення тріщин між собою УКІН зростають, а для великих від- станей 20 / 3d ≥ вони практично збігаються з АР для однієї ізольованої тріщини в безмежному середовищі. Періодичні системи паралельних та співвісних абсолютно жорстких включень. Використовуючи такі ж як і для тріщин схеми геометричного розта- шування дефектів та навантаження, розрахували ненульові нормовані УКІН для систем паралельних ( * 32 pK , рис. 2а) та співвісних ( * 32 cK , рис. 2b) абсолютно жор- стких включень за формулами * 32 thp d aK a d π = π ; (15а) * 32 tgc d aK a d π = π . (15b) Узагальнені КІН, згідно з АР, для систем паралельних АЖВ задаються фор- мулою (15а), для співвісних – (15b). Результати обчислень нормованих УКІН за- пропонованим підходом з використанням математичної моделі (9) у вигляді (13) та за аналітичним розв’язком подані в табл. 3. Таблиця 3. Нормовані УКІН для системи паралельних ( * 32 pK ) та співвісних ( * 32 cK ) АЖВ * 32 pK * 32 cK d/а 100/3 8/3 4/3 8/9 4/9 100/3 20/3 10/3 8/3 7/3 АР, (15) 0,9985 0,8377 0,6456 0,5314 0,3761 1,0015 1,0398 1,2084 1,4326 1,8039 МГЕ 0,9986 0,838 0,6463 0,5325 0,3792 1,0015 1,0399 1,2089 1,4338 1,8144 δ, % 0,01 0,04 0,11 0,21 0,82 – 0,01 0,04 0,16 0,58 Дані у табл. 3 свідчать про достовірність отриманих результатів та можли- вість використання запропонованого підходу для вивчення тіл також і зі система- ми абсолютно жорстких включень. Відносна похибка для паралельних АЖВ не 48 перевищує 0,9%, для співвісних – менше 0,6%. Зміна відношення d/а впливає на УКІН так: для великих d/а УКІН практично збігаються із аналітичним розв’яз- ком, далі зі зближенням паралельних включень УКІН спадають, зменшення пе- ріоду для співвісних АЖВ, навпаки, спричиняє зростання УКІН. Приклад 2. Розглянемо безмежне анізотропне тіло з двома стовпчиками па- ралельних тонких неоднорідностей. Довжина включення – 2a, відстань між цен- трами двох неоднорідностей, розміщених у сусідніх стовпчиках, дорівнює 2b. Товщина включення h = 0,001a, a/b = 0,75. Межа тіла навантажена зусиллями τ так, що воно перебуває в умовах всебічного зсуву (рис. 3а). Під час граничноеле- ментного моделювання використали по 21 елементу рівномірно розподілених по серединних поверхнях двох базових неоднорідностей представницького елемен- та. Щоб описати включення, конкретизували математичну модель (9) у вигляді (13). Не зменшуючи загальності, вважаємо, що характеристика анізотропії мате- ріалу визначається співвідношенням 44 55/c c c= та 45 0c = , тобто розглядаємо ортотропне тіло. Рис. 3. Залежність нормованих УКІН * 31K та * 32K від відносної жорсткості включень k для двох (а: 1 – d/a = 100/3; 2 – 8/3; 3 – 4/3; 4 – 8/9; 5 – 4/9) та трьох (b: 1 – d/a = 20/3; 2 – 8/3; 3 – 4/9) стовпців дефектів. Fig. 3. Dependence of normalized generalized SIF * 31K and * 32K on the relative rigidity of inclusions k for two (а: 1 – d/a = 100/3; 2 – 8/3; 3 – 4/3; 4 – 8/9; 5 – 4/9) and three (b: 1 – d/a = 20/3; 2 – 8/3; 3 – 4/9) columns of defects. 49 Розрахували залежності нормованих УКІН * 31 31K K a= τ π , * 32K = 32K a= τ π біля вістря А дефекту від відносної жорсткості включень 55 ik G c= для різних значень періоду d (рис. 3а). Виявили, що за фіксованої відстані 2b між стовпцями неоднорідностей, зменшення відстані між рядами знижує узагальнені КІН * 31K та * 32K (екранувальний ефект). У результаті взаємодії стовпців неодно- рідностей між собою у внутрішніх щодо центра тіла вершинах завжди виникають дещо більші УКІН, аніж на зовнішніх торцях. Досліджено також вплив міри анізотропії с на УКІН. Суцільні лінії на рис. 3а відповідають ізотропному матеріалу (c = 1), штрихові – c = 0,1, штрихпунктирні – c = 10. Для двох стовпців тріщин спостерігають зменшення УКІН зі зростанням c і, навпаки, їхнє зростання у разі спадання c. Для двох стовпців включень за по- силення анізотропії матеріалу граничні значення УКІН * 32K збільшуються. Для ізотропного тіла отримані результати збігаються із графіками, поданими у моно- графії [2] (враховуючи описку щодо періоду d/4a замість d/a). У граничних випад- ках параметра k (k → 0, ∞) отримують значення, властиві системам тріщин і АЖВ. Приклад 3. Розглянемо періодичну задачу за наявності в тілі трьох стовпців паралельних неоднорідностей. Позначення та механічні характеристики тіла такі ж, як у попередньому прикладі. Обчислення залежності нормованих КІН біля вістря А дефекту від відносної жорсткості включення здійснено для різних відно- шень d/a (рис. 3b). Так само досліджено вплив анізотропії матеріалу на УКІН. У граничних випадках жорсткості неоднорідності закономірності зміни УКІН * 31K та * 32K у разі c < 1 та c > 1 для трьох стовпців дефектів такі ж, як і для двох, проте збіль- шення кількості стовпців сприяє зростанню УКІН. Як свідчать розрахунки, най- менша інтенсивність напружень виникає у крайніх вершинах тріщин чи АЖВ, що знаходяться у крайніх стовпцях, а найбільша – у неоднорідностях централь- них стовпчиків. Зі зближенням стовпчиків ці тенденції посилюються. Зменшення відстані між рядами тріщин чи АЖВ, навпаки, знижує УКІН, що свідчить про універсальність характеру екранувального ефекту. ВИСНОВКИ Побудовано аналітично-числовий підхід для розв’язування задачі антиплос- кого деформування анізотропного тіла із лінійно періодичними системами тон- ких неоднорідностей. Обчислено узагальнені КІН за наявності в тілі одного, двох та трьох стовпців паралельних дефектів типу тріщина або абсолютно жорстке чи пружне включення. Верифіковано отримані результати шляхом зіставлення із аналітичним розв’язком для ізотропного тіла. Виявлено, що зі зближенням стовп- ців неоднорідностей УКІН зростають, натомість за фіксованої відстані між стовп- цями, зі зменшенням періоду повторюваності тріщин КІН зменшуються – спра- цьовує екранувальний ефект. Крім того, досліджено вплив міри анізотропії мате- ріалу на КІН, розраховано для слабкої c < 1 та сильної c > 1 ортотропії, побудова- но графічні залежності. Результати можуть бути використані під час дослідження стрічкових композитів, періодичних систем дефектів у гірських породах, регу- лярних систем дефектів конструкційних елементів із анізотропних матеріалів. РЕЗЮМЕ. Построены интегральные уравнения задачи антиплоской деформации анизотропных тел с периодическими системами тонких включений. С помощью модифи- цированного метода граничных элементов получено численные решения конкретных при- меров. Проведены расчеты коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для ани- зотропного тела с одним, двумя и тремя столбиками параллельных дефектов. Сравнением с отдельными аналитическими решениями для трещин и абсолютно жестких включений 50 подтверждена достоверность полученных результатов. Также исследовано влияние меры анизотропии (ортотропии) материала на напряженно-деформированное состояние тела и КИН в окрестности вершин тонких неоднородностей. SUMMARY. The integral equations of the antiplane shear deformation of anisotropic solids with periodic sets of thin ribbon-like inclusions are constructed. Using the modified boundary element method the numerical solutions of specific examples are obtained. The calculations of the stress intensity factors for anisotropic material with one, two and three columns of parallel defects are obtained. Comparison with the analytical solutions confirms the validity of the obtai- ned results. The paper also studies the effect of changes in the degree of anisotropy (orthotropy) of the material on the stress-strain state of the solid and on the stress intensity factors in the vicinity of tips of thin inhomogeneities. 1. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1981. – 324 с. 2. Сулим Г. Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих тіл з тонкими включеннями. – Львів: Дослідно-видавничий центр НТШ, 2007. – 716 с. 3. Kondo T. The interaction between two or periodic parallel cracks in an anisotropic medium under longitudinal shear // Res. Repts. Nagaoka Techn. Coll. – 1986. – 22, № 4. – P. 179–187. 4. Пастернак Я. М. Плоска задача теорії пружності анізотропного тіла з періодичними системами тонких неоднорідностей // Вісн. Дон. нац. ун-ту, Сер. А: Природничі нау- ки. – 2012. – № 1. – С. 83–90. 5. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. – К.: Наук. думка, 1976. – 444 с. 6. Сулим Г. Т. Періодична задача для системи компланарних тонких стрічок в умовах по- здовжного зсуву // Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 1997. – 40, Вип. 2. – С. 91–99. 7. BEM approach for the antiplane shear of anisotropic solids containing thin inhomogeneities / V. Bozhydarnyk, Ia. Pasternak, H. Sulym, and N. Oliyarnyk // Acta mechanica et automatica. – 2011. – 5, № 4. – P. 11–16. 8. Божидарник В. В., Сулим Г. Т. Концентрація напружень на пружних стрічках при по- здовжному зсуві ізотропного масиву // Вiсн. Львiв. полiтехн. iн-ту. – 1990. – Вип. 246. – С. 11–14. 9. Сулим Г. Т., Божидарник В. В. Продольный сдвиг изотропной среды с системой тун- нельных разрезов // Вестн. Львов. политехн. ин-та. – 1990. – № 243. – С. 10–12. 10. Pasternak Ia. Coupled 2D electric and mechanical fields in piezoelectric solids containing cracks and thin inhomogeneities // Eng. Analysis with Boundary Elements. – 2011. – 35, № 4. – P. 678–690. 11. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О равновесии и распространении трещин в анизо- тропной среде // Прикладная математика и механика. – 1961. – 25, № 1. – С. 46–55. 12. Новиков В. Г., Тулинов Б. М. Напряженное состояние плоскости с периодической сис- темой параллельных пар трещин продольного сдвига // Прикладная математика и ме- ханика. – 1984. – 48, № 5. – С. 877–880. 13. Pasternak Ia. M. and Sulym H. T. Thin inclusions theory integral equations numerical solu- tion using the boundary element method procedure // Proc. Int. Conf. “Integral Equations– 2010” (Lviv, August, 25–27, 2010). – Lviv: PAIS, 2010. – P. 104. 14. Ting T. C. T. Anisotropic elasticity: theory and applications. – New York: Oxford University Press, 1996. – 567 p. 15. NIST Handbook of Mathematical Functions / F. W. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark. – New York: Cambridge University Press, 2010. – 951 p. 16. Portela A., Aliabadi M. H., and Rooke D. P. The dual boundary element method: Effective im- plementation for crack problems // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 1992. – 33. – P. 1269–1287. 17. Опанасович В. К., Драган М. С. Антиплоска деформація тіла з системою тонких пруж- них включень // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1984. – Вип. 22. – С. 71–77. 18. Стадник М. М., Горбачевский И. Я. Определение напряженно-деформированного сос- тояния в теле с системой тонких туннельных включений. – Львов, 1986. – 52 с. (Пре- принт / АН УССР. Физ.-мех. ин-т; № 110). Одержано 04.12.2012

Антиплоска деформація анізотропних тіл з періодичними системами тонких неоднорідностей

Репозитарії

Схожі ресурси