Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження
Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі теорії пружності для ортотропної площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за симетричного навантаження. На цій основі знайдено залежність між коефіцієнтом інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутов...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2016
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137160 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження / А. Казберук, M.П. Саврук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 61-68. — Бібліогр.: 21 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-137160 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1371602018-06-18T03:07:01Z Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження Казберук, А. Саврук, M.П. Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі теорії пружності для ортотропної площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за симетричного навантаження. На цій основі знайдено залежність між коефіцієнтом інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу та нормальним напруженням у вершині відповідного закругленого вирізу. Для обмежених тіл з кутовими вирізами отриманий розв’язок є асимптотичною залежністю для малих радіусів закруглення їх вершин. Таке співвідношення можна використовувати в граничних переходах для знаходження КІН у вершинах гострих вирізів з розв’язків для відповідних закруглених концентраторів напружень. Методом сингулярных интегральных уравнений получено решение плоской задачи теории упругости для ортотропной плоскости с полубесконечным угловым закругленным вырезом при симметричном нагружении. На этой основе найдена зависимость между коэффициентом интенсивности напряжений (КИН) в вершине острого углового выреза и нормальным напряжением в вершине соответствующего закругленного выреза. Для ограниченных тел с угловыми вырезами полученное решение является асимптотической зависимостью для малых радиусов закругления их вершин. Такое соотношение можно использовать в граничных переходах для получения КИН в вершинах острых вырезов на основе решений для соответствующих закругленных концентраторов напряжений. The solution of elastostatics problem for the plane with a semi-infinite rounded V-notch under symmetric loading was obtained by means of singular integral equation method. Based on this solution, the relationships between the stress intensity factor at the sharp V-notch vertex and normal stress at the vertex of the corresponding rounded notch were found. For finite bodies with V-notches a resulting solution is the asymptotic dependence for small rounded radii of the vertices. Presented relationship can be used for performing the limit transition to find the stress intensity factor at the vertices of sharp V-notches, based on the solutions for the corresponding rounded stress concentrators. 2016 Article Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження / А. Казберук, M.П. Саврук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 61-68. — Бібліогр.: 21 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137160 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі теорії пружності для ортотропної площини з напівнескінченним кутовим закругленим
вирізом за симетричного навантаження. На цій основі знайдено залежність між коефіцієнтом інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу та
нормальним напруженням у вершині відповідного закругленого вирізу. Для обмежених тіл з кутовими вирізами отриманий розв’язок є асимптотичною залежністю для
малих радіусів закруглення їх вершин. Таке співвідношення можна використовувати
в граничних переходах для знаходження КІН у вершинах гострих вирізів з розв’язків для відповідних закруглених концентраторів напружень. |
| format |
Article |
| author |
Казберук, А. Саврук, M.П. |
| spellingShingle |
Казберук, А. Саврук, M.П. Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Казберук, А. Саврук, M.П. |
| author_sort |
Казберук, А. |
| title |
Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження |
| title_short |
Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження |
| title_full |
Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження |
| title_fullStr |
Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження |
| title_full_unstemmed |
Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження |
| title_sort |
розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137160 |
| citation_txt |
Розподіл напружень біля кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного навантаження / А. Казберук, M.П. Саврук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 61-68. — Бібліогр.: 21 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT kazberuka rozpodílnapruženʹbílâkutovihvirízívvortotropníjploŝinízasimetričnogonavantažennâ AT savrukmp rozpodílnapruženʹbílâkutovihvirízívvortotropníjploŝinízasimetričnogonavantažennâ |
| first_indexed |
2025-07-10T03:21:32Z |
| last_indexed |
2025-07-10T03:21:32Z |
| _version_ |
1837228569246302208 |
| fulltext |
61
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2016. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
РОЗПОДІЛ НАПРУЖЕНЬ БІЛЯ КУТОВИХ ВИРІЗІВ В ОРТОТРОПНІЙ
ПЛОЩИНІ ЗА СИМЕТРИЧНОГО НАВАНТАЖЕННЯ
А. КАЗБЕРУК 1, M. П. САВРУК 1, 2
1
Білостоцька політехніка, Польща;
2
Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів
Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі тео-
рії пружності для ортотропної площини з напівнескінченним кутовим закругленим
вирізом за симетричного навантаження. На цій основі знайдено залежність між кое-
фіцієнтом інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу та
нормальним напруженням у вершині відповідного закругленого вирізу. Для обмеже-
них тіл з кутовими вирізами отриманий розв’язок є асимптотичною залежністю для
малих радіусів закруглення їх вершин. Таке співвідношення можна використовувати
в граничних переходах для знаходження КІН у вершинах гострих вирізів з розв’яз-
ків для відповідних закруглених концентраторів напружень.
Ключові слова: механіка руйнування, коефіцієнт інтенсивності напружень, куто-
вий виріз, ламана тріщина, метод сингулярних інтегральних рівнянь.
В останні роки активно розвивається механіка руйнування твердих тіл з
вирізами, що є узагальненням механіки руйнування тіл з тріщинами. Цей напрям
охоплює визначення розподілу напружень біля вершин вирізів та формулювання
критеріїв руйнування тіл з такими концентраторами напружень, причому основ-
на увага зосереджена на ізотропних тілах [1–3]. Значно менше досліджень кон-
центрації напружень біля вирізів в анізотропних середовищах [4–6]. Нижче роз-
роблений єдиний підхід до розв’язування задач про концентрацію напружень в
ізотропних тілах з гострими та закругленими кутовими вирізами [1, 7–10] поши-
рено на відповідні задачі для ортотропних середовищ. Отримано зв’язок між кое-
фіцієнтами інтенсивності та концентрації напружень для гострих та відповідних
закруглених кутових вирізів в ортотропній площині за симетричного розподілу
напружень.
Формулювання задачі та її зведення до сингулярного інтегрального рів-
няння. Нехай пружна ортотропна площина містить гострий кутовий виріз з вер-
шиною у початку координат xOy і кутом розхилу 2 (0 )β ≤ β < π . Вважатимемо,
що цей пружний клин перебуває під дією симетричного відносно осі Ox наван-
таження і займає область {( , ); 0, }S r r= θ ≥ − α ≤ θ ≤ α , де ; ,rα = π − β θ – поляр-
ні координати з полюсом у вершині клина і полярною віссю вздовж його бісек-
триси. Декартові координатні осі Ox і Oy вибрано вздовж осей симетрії орто-
тропного пружного середовища (рис. 1).
Компоненти напружень у плоскій задачі теорії пружності для ортотропної
області виражено через комплексні потенціали 0
1 1( )zΦ і 0
2 2( )zΦ [11]:
0 2 0 2 0 0 0 0
1 1 1 2 2 2 1 1 2 22 Re{ ( ) ( )}, 2 Re{ ( ) ( )},x yz z z zσ = − γ Φ + γ Φ σ = Φ + Φ
0 0 0
1 1 1 2 2 22 Im{ ( ) ( )},xy z zτ = γ Φ + γ Φ (1)
Контактна особа: М. П. САВРУК, e-mail: savruk@ipm.lviv.ua
62
де ( 1,2);k kz x i y k= + γ = 1 2,γ γ – пружні характеристики, які можна подати через
технічні сталі матеріалу (плоский напружений стан):
1 2 1 2
1,2
1
2 2 2 2
2
x x x x
xy xy
y y
E E E E
G E G E
γ = − ν + ± − ν −
.
Тут верхній знак відповідає параметру 1γ , а нижній – 2γ ; xE і yE – модулі
пружності вздовж осей x і y; ( )xy yx xy y xE Eν ν = ν і G – коефіцієнт Пуассона і
модуль зсуву.
Рис. 1. Пружний ортотропний клин
з кутом розхилу 2α.
Fig. 1. An elastic orthotropic wedge
with apex angle 2α.
Розподіл сингулярних напружень
у клині з вільними від навантажень
гранями за симетричного навантажен-
ня описують потенціали [4]
I I
V V
0 02 I 1 I
1 1 2 2
2 1 2 11 2
( ) ( )
( ) , ( ) .
2[ ( ) ( )] 2[ ( ) ( )](2 ) (2 )
R K R K
z z
R R R Rz zλ λ
α αΦ = Φ = −
α − α α − απ π
ɶ ɶ
(2)
Тут V
IKɶ – коефіцієнт інтенсивності напружень (КІН) у вершині клина; функції
1 2( ), ( )R Rα α визначають співвідношення
I1 22 2 2
I( ) (cos sin ) cos(2 ) ( ),
( ) arctg( tg ), 1,2;
k k k
k k
R
k
−λα = α + γ α − λ β α
β α = π + γ α =
показник особливості напружень Iλ – найменший дійсний корінь характеристич-
ного рівняння
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1( ) tg (1 tg ) tg[(2 ) ( )] (1 tg ) tg[(2 ) ( )] 0.γ − γ α − γ + γ α − λ β α + γ + γ α − λ β α = (3)
Тепер в ортотропному клині розглянемо кутовий виріз, закруглений у вер-
шині по дузі кола радіуса ρ (такого ж кута розхилу) з вільним від напружень
контуром L (рис. 2a).
Рис. 2. Закруглений кутовий виріз з контуром L (a)
і нескінченний розріз уздовж контуру L (b) в ортотропній площині.
Fig. 2. A rounded V-notch with contour L (a) and an infinite cut along contour L (b)
in an orthotropic plane.
63
Нехай на нескінченності заданий асимптотичний розподіл поля напружень,
який визначають потенціали 0 0
1 1 2 2( ), ( )z zΦ Φ . Крайову задачу для такої області роз-
в’язуватимемо методом суперпозиції, шукаючи комплексні потенціали у вигляді
0 0
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )z z z z z zΦ = Φ + Φ Φ = Φ + Φɶ ɶ , (4)
де другі доданки
1 2
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 ( ) 1 ( )
( ) , ( )
2 2L L
z d z d
i z i z
′ ′φ τ φ τΦ = τ Φ = τ
π τ − π τ −∫ ∫ (5)
описують збурений напружений стан, викликаний закругленим кутовим вирізом.
Тут 1 2,L L – контури у допоміжних комплексних площинах k kz x i y= + γ
( 1, 2)k = , які відповідають контуру L у площині z x iy= + .
Для знаходження збуреного напруженого стану необхідно розв’язати крайо-
ву задачу для пружної площини, що містить закруглений кутовий виріз, на кон-
турі L якого виконується крайова умова
( ) ,n nsi p t t Lσ + τ = ∈ ,
а на нескінченності напруження відсутні. Тут
2 0 2 0
1 1 1 2 2 2
2 0 2 0 0 0
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
( ) Re (1 ) ( ) (1 ) ( )
Re (1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 Im ( ) ( ) ,
p t t t
dt dt
t t i t t
dt dt
= − − γ Φ + − γ Φ −
− + γ Φ + + γ Φ + γ Φ + γ Φ
(6)
де [ ](1 ) (1 ) 2, 1,2k k kt t t k= + γ + − γ = .
Оскільки напруження на нескінченності зникають, то такий збурений напру-
жений стан можна отримати також в ортотропній площині з гладким симетрич-
ним криволінійним розрізом L (рис. 2b), береги розрізу якого завантажені само-
зрівноваженими нормальними (σn) і дотичними (τns) напруженнями
( ), ,n ns n nsi i p t t L+ + − −σ + τ = σ + τ = ∈ (7)
де верхні індекси вказують на граничні значення на контурі L відповідних вели-
чин за підходу до нього зліва або справа. Саме таким способом і знайдемо розв’я-
зок поставленої задачі.
Задовольняючи за допомогою потенціалів (4) крайові умови (7), приходимо
до інтегрального рівняння [12, 13]
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
[ ( , ) ( ) ( , ) ( ) ] ( ),
L
K t d L t d P t t L′ ′τ φ τ τ + τ φ τ τ = ∈
π ∫
, (8)
яке треба розв’язати за додаткової умови
1
1 1 1( ) 0
L
d′φ τ τ =∫ . (9)
Ядра і права частина рівняння (8) визначають формули
1 2 1 2
1 1 1
1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) 1 1
( , ) ,
2
( ) 1 1
( , ) ,
2
1
( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) ,
2
i dt dt
K t
t dt t dt
i dt dt
L t
t dt t dt
dt
P t P t p t p t
dt
γ − γτ = + τ − τ −
γ + γτ = − τ − τ −
= = + γ − − γ
де ( )p t – відома функція (6). Невідому густину потенціалу 2 2( )zΦ (5) знайдемо
зі співвідношення [12]
64
2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t dt t dt t dt′ ′ ′γ φ = − γ + γ φ + γ − γ φ . (10)
Параметричне рівняння контуру закругленого кутового вирізу L візьмемо у
вигляді
[ ]
[ ]
sin ( )cos cos ( )sin ,
( ) cos si
,
,n ,
sin ( )cos cos ( )sin , ,
B B B
B B
B B B
i
t i
i
β + ζ + ζ β − β − ζ + ζ β − ∞ < ζ < −ζ
= ω ξ = ρ ζ + ζ − ζ ≤ ζ ≤ ζ
β − ζ − ζ β + β + ζ − ζ β ζ < ζ < ∞
де 2/(1 ) , 1 1c −ζ = ξ − < ξ <ξ ; / 2Bζ = π − β – кутова координата кінця дуги кола,
с – довільне додатне число, вибране експериментально з умови найкращої збіж-
ності числового розв’язку (тут c = 3/2).
Розглянемо також гіперболічний виріз в ортотропній площині з кутом роз-
хилу 2β і таким самим радіусом закруглення у вершині. Параметричне рівняння
контуру цього вирізу LH запишемо у вигляді [14]
2cos 1 1
( ) exp( ) cot , , 1 1.
cos cos( ) 2 2 2
t i
α α= ω ξ = ρ ξα + + α = π − β − < ξ < α − ξα
Параметричні рівняння контурів Lk (у допоміжних площинах zk) подамо так:
1
( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) , 1 1, 1,2.
2k k k kt k = ω ξ = + γ ω ξ + − γ ω ξ − < ξ < =
Після заміни змінних
( ) , ( ); ( ), ( );k k k kt tτ = ω ξ = ω η τ = ω ξ = ω η 2
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1t u′ ′ ′φ ω η = φ η = η − η (11)
інтегральне рівняння (8) і додаткову умову (9) зведемо до канонічної безрозмір-
ної форми. Отримавши його числовий розв’язок квадратурним методом [15, 16],
компоненти напружень на берегах розрізу L знайдемо за формулами
0 2 2 0
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
0
1 1 1 2 2 2
2 Re ( ) ( ) , 2 Re ( ) ( ) ,
2 Im ( ) ( ) ,
x x y y
xy xy
t t t t
t t
± ± ± ± ± ±
± ± ±
σ = σ − γ Φ + γ Φ σ = σ + Φ + Φ
τ = τ + γ Φ + γ Φ
ɶ ɶ
ɶ
де напруження 0 0 0, ,yx xyσ σ τ на контурі L визначають вирази (1) для 1 1 2 2,z t z t= = ,
а граничні значення потенціалів ( )k kzΦ (5) – формули Сохоцького–Племеля [17]
( )1 1
( ) ( ) , , 1,2.
2 2
k
k k
k k k k k k k
k kL
t t d t L k
i t
± ′φ τ′Φ = ± φ + τ ∈ =
π τ −∫
Таким чином, використавши квадратурні формули [16], маємо:
2
2 1
( )( ) 1
( ( )) ,
2 2 ( ) ( )(
1
) 1
n
k jk m
k k m
k j k mjk m
uu
ni
±
=
ξηΦ ω η = ± +
ω ξ − ω η ′ω η − η
∑
де
(2 1)
cos , 1, ,2 1; cos , 1, ,2 .
2 4m j
m j
m n j n
n n
π π −η = = … − ξ = = …
Значення 1( )ju ξ – розв’язок лінійної системи алгебричних рівнянь, яку
отримали з інтегрального рівняння (8) з урахуванням умови симетрії задачі
1 1( ) ( )u u−ξ = − ξ .
Значення 2( )ju ξ знайдемо з рівняння
2 1 2 1 1 2 1
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
u u u ξ = − γ + γ ξ − γ − γ ξ γ
,
65
яке випливає зі співвідношень (10) і (11), якщо взяти до уваги залежності
2
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 1t u′ ′ ′φ ω η = φ η = η − η .
Оскільки край вирізу вільний від навантажень ( 0n nsσ = τ =ɶ ɶ ) і сума нормаль-
них напружень є інваріантом ( n s x yσ + σ = σ + σɶ ɶ ɶ ɶ ), для нормального напруження
вздовж контуру вирізу отримаємо:
I V
I I( ) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( ),s s x y K R−λ− − −σ η = σ η = σ η + σ η = πρ ηɶɶ ɶ ɶ ɶ
де I ( )R η – безрозмірне нормальне напруження.
У вершині закругленого вирізу ( 0η = )
I V
I I(0) (2 )s K R−λσ = πρ ɶɶ , (12)
де I I (0)R R= – коефіцієнт впливу закруглення кутового вирізу на напруження у
його вершині [7, 14], який залежить від кута розхилу вирізу, його форми в певно-
му околі вершини, а також від пружних сталих анізотропного матеріалу. Співвід-
ношення (12) для обмежених тіл має асимптотичний характер і тим точніше, що
менший відносний радіус закруглення вершини вирізу. Його можна використову-
вати не тільки для оцінювання нормального напруження у вершині вирізу, а й
для знаходження КІН у вершині гострого кутового вирізу зі співвідношення
IV
I
0I
1
[lim 2 ) 0)]( (sK
R
λ
ρ→
= πρ σɶ ɶ , (13)
що є аналогом відповідної залежності для ізотропного матеріалу [1].
Числові результати. Розрахунки зроблено для ортотропної пластини за
плоского напруженого стану для чотирьох матеріалів (див. табл. 1). Розглянуто
дві орієнтації кутового вирізу, коли модулі пружності Ex = E1 і E2. Показник
особливості напружень у вершині гострого вирізу λI, який знайдено з рівняння
(3) для різних кутів розхилу 2β, наведено в табл. 2.
Таблиця 1. Механічні характеристики ортотропних матеріалів
Ex = E1 Ex = E2
Матеріал E2/E1 G/E1 ν12
γ1 γ2 γ1 γ2
M0 1,0 0,375 0,33 1,0 1,0 1,0 1,0
M1 0,082 0,081 0,45 3,2033 1,0902 0,9173 0,3122
M2 0,074 0,041 0,31 4,8240 0,7642 1,3085 0,2073
M3 0,284 0,110 0,29 2,8355 0,6623 1,5099 0,3527
Примітка: M0 – ізотропний матеріал; M1 – деревина (червоний дуб) [18]; M2 – графіто-
епоксид AS4/3502 [19]; M3 – склоепоксид SP-250/Ep [19].
Побудовано залежності коефіцієнта впливу закруглення кутового вирізу IR
від кута розхилу 2β для закругленого кутового та гіперболічного вирізів, орієн-
тованих уздовж ( 1xE E= ) або впоперек ( 2xE E= ) волокон (рис. 3). Для вибраних
значень кута 2β ці результати для закругленого кутового вирізу наведено також
у табл. 2, оскільки вони потрібні для обчислення КІН у вершині гострого кутово-
го вирізу за формулою (13).
Для гіперболічного вирізу з малим кутом розхилу ( 2 1β = ° ) обчислені зна-
чення коефіцієнта впливу закруглення кутового вирізу HR добре узгоджуються
(відносна різниця менша за 0,1%) з аналітичним розв’язком
66
1 2
1 2
2HR
γ + γ=
γ γ
,
отриманим для параболічного вирізу [20]. Відносні різниці між безрозмірними
коефіцієнтами концентрації напружень у вершинах гіперболічного та кутового
закругленого вирізів досягають 10% і залежать від орієнтації вирізу та його кута
розхилу.
Таблиця 2. Показник особливості напружень λλλλI та коефіцієнт RI
для кутового вирізу в ортотропній пластині (матеріали M1, M2 і M3),
коли модулі пружності Ex = E1 (чисельник) і Ex = E2 (знаменник)
M1 M2 M3 2β,
grad λI RI λI RI λI RI
1
0,5000
0,5000
1,956
6,201
0,5000
0,5000
2,390
8,051
0,5000
0,5000
2,845
5,110
5
0,5000
0,5000
1,959
6,202
0,4999
0,5000
2,393
8,052
0,5000
0,4999
2,847
5,111
15
0,4987
0,5000
1,966
6,203
0,4984
0,5000
2,403
8,054
0,4994
0,4999
2,853
5,113
30
0,4914
0,4997
1,974
6,205
0,4907
0,4997
2,412
8,056
0,4960
0,4993
2,859
5,117
45
0,4758
0,4991
1,973
6,205
0,4768
0,4990
2,407
8,056
0,4882
0,4976
2,855
5,115
60
0,4527
0,4976
1,961
6,199
0,4579
0,4975
2,389
8,047
0,4757
0,4943
2,838
5,104
90
0,3863
0,4898
1,901
6,140
0,4048
0,4904
2,306
7,977
0,4341
0,4795
2,746
5,020
120
0,2942
0,4647
1,778
5,868
0,3243
0,4707
2,126
7,688
0,3611
0,4422
2,522
4,720
150
0,1709
0,3761
1,540
4,708
0,1996
0,4032
1,767
6,409
0,2326
0,3389
2,037
3,721
Рис. 3. Залежність коефіцієнта RI від кута розхилу вирізу 2β для ортотропних матеріалів
з кутовим закругленим (суцільні криві) та гіперболічним (штрихові) вирізами,
орієнтованими вздовж (a) або впоперек (b) волокон.
Fig. 3. Dependence of factor RI on the notch opening angle 2β for orthotropic materials
with rounded V-shaped (solid lines) and hyperbolic (dashed lines) notches
oriented along (a) or across (b) fibers.
67
Отриманий коефіцієнт RI для ортотропного матеріалу порівняно (рис. 4) з
таким самим коефіцієнтом IR для ізотропного залежно від кута розхилу кутового
закругленого та гіперболічного вирізів. Числові результати для ізотропного мате-
ріалу M0 одержано для параметрів γ1 = 1,001, γ2 = 0,999. Значення коефіцієнта IR
ідентичні до визначених раніше [7, 21].
Рис. 4. Залежність відношення ( I 1R − )/( I 1R − ) від кута розхилу 2β
для кутового закругленого (суцільні криві) та гіперболічного (штрихові) вирізів,
орієнтованих уздовж (a) або впоперек (b) волокон.
Fig. 4. Dependence of relation (I 1R − )/( I 1R − ) on the notch opening angle 2β for rounded V-
shaped (solid lines) and hyperbolic (dashed lines) notches oriented along (a) or across (b) fibers.
ВИСНОВКИ
Розроблено єдиний підхід до розв’язування двовимірних задач про концен-
трацію напружень біля гострих та закруглених кутових вирізів у пружному орто-
тропному тілі за симетричного навантаження. Методом сингулярних інтеграль-
них рівнянь отримано залежності між коефіцієнтом концентрації напружень у
вершині напівнескінченного кутового закругленого та гіперболічного вирізів та
КІН для відповідного гострого вирізу. Ці залежності можна інтерпретувати як
асимптотичні розв’язки для скінченних тіл з вирізами малого радіуса закруглення.
РЕЗЮМЕ. Методом сингулярных интегральных уравнений получено решение плос-
кой задачи теории упругости для ортотропной плоскости с полубесконечным угловым
закругленным вырезом при симметричном нагружении. На этой основе найдена зависи-
мость между коэффициентом интенсивности напряжений (КИН) в вершине острого угло-
вого выреза и нормальным напряжением в вершине соответствующего закругленного вы-
реза. Для ограниченных тел с угловыми вырезами полученное решение является асимпто-
тической зависимостью для малых радиусов закругления их вершин. Такое соотношение
можно использовать в граничных переходах для получения КИН в вершинах острых вы-
резов на основе решений для соответствующих закругленных концентраторов напряжений.
SUMMARY. The solution of elastostatics problem for the plane with a semi-infinite
rounded V-notch under symmetric loading was obtained by means of singular integral equation
method. Based on this solution, the relationships between the stress intensity factor at the sharp
V-notch vertex and normal stress at the vertex of the corresponding rounded notch were found.
For finite bodies with V-notches a resulting solution is the asymptotic dependence for small
rounded radii of the vertices. Presented relationship can be used for performing the limit transi-
tion to find the stress intensity factor at the vertices of sharp V-notches, based on the solutions
for the corresponding rounded stress concentrators.
Робота виконана за проектом № 2011/03/B/ST8/06456, що фінансується
Національним центром науки (Польща).
1. Саврук М. П., Казберук А. Концентрація напружень у твердих тілах з вирізами // Меха-
ніка руйнування та міцність матеріалів: Довідн. пос. / За заг. ред. В. В. Панасюка.
– Львів: Сполом, 2012. – Т. 14. – 384 с.
68
2. Berto F. and Lazzarin P. Recent developments in brittle and quasi-brittle failure assessment
of engineering materials by means of local approaches // Mater. Sci. Eng. R. – 2014. – 75,
№ 1. – P. 1–48.
3. Radaj D. State-of-the-art review on extended stress intensity factor concepts // Fat. Fract.
Eng. Mater. Struct. – 2014. – 37, № 1. – P. 1–28.
4. Саврук М. П., Казберук А. Плоскі задачі теорії пружності на власні значення для орто-
тропного та квазіортотропного клинів // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2014. – 50,
№ 6. – С. 7–14.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Plane eigenvalue problems of the elasticity theory for ortho-
tropic and quasi-orthotropic wedges // Materials Science. – 2015. – 50, № 6. – P. 771–781.)
5. Zappalorto M. and Carraro P. A. An engineering formula for the stress concentration factor
of orthotropic composite plates // Composites. – 2015. – B68. – P. 51–58.
6. Zappalorto M. and Carraro P. A. Stress distributions for blunt cracks and radiused slits in ani-
sotropic plates under in-plane loadings // Int. J. Solids Struct. – 2015. – 56–57. – P. 136–141.
7. Саврук М. П., Казберук А. Зв’язок між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації
напружень для гострих і закруглених кутових вирізів // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2006. – 42, № 6. – С. 17–26.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Relationship between the stress intensity and stress concen-
tration factors for sharp and rounded notches // Materials Science. – 2006. – 42, № 6.
– P. 725–738.)
8. Саврук М. П., Казберук А. Единый подход к решению задач о концентрации напряже-
ний около острых и закругленных угловых вырезов // Прикл. механика. – 2007. – 43,
№ 2. – С. 70–87.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. A unified approach to problems of stress concentration near
V-shaped notches with sharp and rounded tip // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, № 2.
– P. 182–196.)
9. Саврук М. П., Казберук А. Единый подход к решению задач о распределении напряже-
ний около острых и закругленных угловых вырезов // Актуальные проблемы механики
сплошной среды. – Ереван: Ереванск. гос. ун-т архитектуры и строительства, 2007.
– С. 359–363.
10. Kazberuk A. Dwuwymiarowe zagadnienia mechaniki pękania ciał z karbami. – Białystok:
Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockej, 2010. – 242 s.
11. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. – М.: Гостехиздат, 1957. – 464 с.
12. Ioakimidis N. I. and Theocaris P. S. The problem of the simple smooth crack in an infinite
anisotropic elastic medium // Int. J. Solids Struct. – 1977. – 13, № 4. – P. 269–278.
13. Саврук М. П., Казберук А. Криволінійні тріщини в анізотропній площині та граничний
перехід до виродженого матеріалу // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2014. – 50, № 2.
– С. 32–40.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Curvilinear cracks in anisotropic plane and limit passage to
the degenerate material // Materials Science. – 2014. – 50, № 2. – P. 189–200.)
14. Benthem J. P. Stresses in the region of rounded corners // Int. J. Solids Struct. – 1987. – 23,
№ 2. – P. 239–252.
15. Erdogan F., Gupta G. D., and Cook T. S. Numerical solutions of singular integral equations
// Methods of analysis and solutions of crack problems. – Leyden: Noordhoff Intern. Publ.,
1973. – P. 368–425.
16. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка,
1981. – 324 с.
17. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 512 с.
18. Kretschmann D. E. Mechanical properties of wood // Wood Handbook: Wood as an Engi-
neering Material, USDA – Madison: Forest Service, 2010. – P. 5.1–5.46.
19. Tan S. C. Stress Concentrations in Laminated Composites. – Lancaster: Technomic, 1994.
– 482 p.
20. Саврук М. П., Казберук А., Онишко Л. Й. Вплив анізотропії матеріалу на розподіл
напружень біля параболічного вирізу // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2015. – 51,
№ 6. – С. 24–33 .
21. Savruk M. P. and Kazberuk A. Two-dimensional fracture mechanics problems for solids with
sharp and rounded V-notches // Int. J. Fract. – 2010. – 161, № 1. – P. 79–95.
Одержано 20.10.2015
|