Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами
Отримано інженерні формули для розрахунку напружень у циліндрі з неоднорідними багатошаровими покривами на основі підходу з використанням узагальнених граничних умов та підходу зі зведенням відповідної крайової задачі пружності до розв’язування інтегральних рівнянь. Порівняно і проаналізовано межі з...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137174 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами / В.А. Шевчук, Б.М. Калиняк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 35-41. — Бібліогр.: 16 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-137174 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1371742018-06-18T03:07:45Z Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами Шевчук, В.А. Калиняк, Б.М. Отримано інженерні формули для розрахунку напружень у циліндрі з неоднорідними багатошаровими покривами на основі підходу з використанням узагальнених граничних умов та підходу зі зведенням відповідної крайової задачі пружності до розв’язування інтегральних рівнянь. Порівняно і проаналізовано межі застосовності кожного з підходів. Получены инженерные формулы для расчета напряжений в цилиндре с неоднородными многослойными покрытиями на основе подхода с использованием обобщенных граничных условий и подхода со сведением к интегральным уравнениям. Сравнены и проанализированы пределы применимости каждого из подходов. The engineering formulas for calculation of stresses in a cylinder with inhomogeneous multilayer coatings based on the approach with the use of generalized boundary conditions and the approach with reduction to integral equations have been obtained. The scopes of applicability are compared and analyzed for each of approaches. 2010 Article Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами / В.А. Шевчук, Б.М. Калиняк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 35-41. — Бібліогр.: 16 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137174 539.3: 620.198 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано інженерні формули для розрахунку напружень у циліндрі з неоднорідними багатошаровими покривами на основі підходу з використанням узагальнених граничних умов та підходу зі зведенням відповідної крайової задачі пружності до розв’язування інтегральних рівнянь. Порівняно і проаналізовано межі застосовності кожного з підходів. |
| format |
Article |
| author |
Шевчук, В.А. Калиняк, Б.М. |
| spellingShingle |
Шевчук, В.А. Калиняк, Б.М. Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Шевчук, В.А. Калиняк, Б.М. |
| author_sort |
Шевчук, В.А. |
| title |
Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами |
| title_short |
Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами |
| title_full |
Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами |
| title_fullStr |
Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами |
| title_full_unstemmed |
Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами |
| title_sort |
напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137174 |
| citation_txt |
Напружений стан циліндричних тіл з багатошаровими неоднорідними покривами / В.А. Шевчук, Б.М. Калиняк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 6. — С. 35-41. — Бібліогр.: 16 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT ševčukva napruženijstancilíndričnihtílzbagatošarovimineodnorídnimipokrivami AT kalinâkbm napruženijstancilíndričnihtílzbagatošarovimineodnorídnimipokrivami |
| first_indexed |
2025-07-10T03:23:08Z |
| last_indexed |
2025-07-10T03:23:08Z |
| _version_ |
1837228665820151808 |
| fulltext |
35
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3: 620.198
НАПРУЖЕНИЙ СТАН ЦИЛІНДРИЧНИХ ТІЛ З БАГАТОШАРОВИМИ
НЕОДНОРІДНИМИ ПОКРИВАМИ
В. А. ШЕВЧУК, Б. М. КАЛИНЯК
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів
Отримано інженерні формули для розрахунку напружень у циліндрі з неоднорідни-
ми багатошаровими покривами на основі підходу з використанням узагальнених
граничних умов та підходу зі зведенням відповідної крайової задачі пружності до
розв’язування інтегральних рівнянь. Порівняно і проаналізовано межі застосовності
кожного з підходів.
Ключові слова: багатошарові покриви, неоднорідний циліндр, узагальнені граничні
умови, інтегральні рівняння.
Розробка методики інженерного розрахунку напружено-деформованого ста-
ну (НДС) покривів і тіл з покривами – актуальна проблема [1]. Тут важливо вра-
ховувати реальні властивості матеріалу покриву, зокрема неоднорідність, яка мо-
же бути наслідком специфічних особливостей технологічного процесу виготов-
лення або впливу температурних і фізичних полів.
Раніше [2–4] розв’язували задачі пружності для тіл з неоднорідними покри-
вами довільної товщини. У деяких підходах [5, 6] до визначення напруженого
стану в них використовували специфічну особливість таких систем – малу тов-
щину покриву порівняно з товщиною підкладки. Зокрема, підхід, пов’язаний з
моделюванням тонких покривів оболонками і формулюванням відповідних уза-
гальнених граничних умов (УГУ) [7, 8], дає можливість отримувати відносно
прості розв’язки практично важливих задач [9].
З іншого боку, підхід, який ґрунтується на зведенні вихідної задачі пружнос-
ті для неоднорідного циліндра до системи інтегральних рівнянь [10–14] дає мож-
ливість розв’язати відповідні задачі для тіл з неоднорідними покривами довільної
товщини [15] та розрахувати НДС у них. У деяких випадках вдається отримати
прості розрахункові формули [12].
Нижче на основі модифікації підходу з використанням узагальнених гранич-
них умов для неоднорідних покривів та адаптації підходу зі зведенням крайової
задачі пружності до інтегральних рівнянь для тонких покривів отримано відпо-
відні аналітичні вирази для розрахунку напружень у циліндрі, а також порівняно
ефективність цих підходів. Розглянемо суцільний однорідний довгий циліндр
радіуса R з нанесеним n-шаровим неоднорідним покривом загальної товщини
1
n
j
j
h h
=
= ∑ , де hj – товщина j-го шару. Визначимо радіальне ( )j
rrσ , колове ( )j
θθσ і
осьове ( )j
zzσ напруження як функції безрозмірної радіальної координати /r Rρ =
в j-му шарі 1,j j+⎡ ⎤ρ ρ⎣ ⎦ ( 0,j n= ; індекс 0 відповідає циліндру-основі), де 0 0,ρ =
1 1,ρ =
1
1
1 /
j
j k
k
h R
−
=
ρ = + ∑ , 2, 1j n= + .
Контактна особа: В. А. ШЕВЧУК, e-mail: shevchuk@iapmm.lviv.ua
36
Метод узагальнених граничних умов [7, 8] дає можливість визначити НДС
у тілах з тонкими багатошаровими покривами шляхом їх моделювання оболон-
ками. За такого підходу вплив покривів на механічний стан системи тіло–покрив
описують спеціальні граничні умови. Сформулюємо модифікований варіант УГУ
механічного спряження тіла з середовищем у циліндричній системі координат
для радіальної неоднорідності характеристик матеріалу покриву, які пов’язують
компоненти тензора напружень (0)
msσ на поверхні контакту тіло–покрив із зада-
ним зовнішнім навантаженням C
msσ . Нехтуючи деформації згину і закруту по-
верхні поділу тіло–покрив, запишемо [8]:
(0) (0)(0) (0) (0) C C
11 12 13 14 1
(0) (0) (0)(0) (0) C 1 C
21 22 23 24 2
(0) (0)(0) (0) C
33 31 32 34 1
,
,
(1 ) (1 ) ,
rz zz rr rz z rrz
zz rr r rrr z
rr zz rrz
p p p p C
p p p p C R
p p p p D
θθ θ
−
θ θθ θθ θ
θθ θ
⎧ σ + σ + σ + σ + σ = σ + ∂ σ
⎪⎪σ + σ + σ + σ + σ = σ + ∂ σ⎨
⎪
+ σ + σ + σ + σ = + ∆ σ⎪⎩
(1)
де диференціальні оператори pik у циліндричній системі координат
(0)
12 11
11 (0)
( ) ,z
G Gp
E
ν −
= ∂ 12 11p p= − ,
(0)
11 12
13 2(0)
( ) ,z
G Gp C
E
⎡ ⎤ν +
= − ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(0)
14 13(0)
2(1 ) ,p G
RE θ
+ ν
= − ∂
(0)
11 12
21 (0)
( ) ,G Gp
RE θ
ν −
= ∂ 22 21p p= − ,
(0)
1 11 12
23 2(0)
( ) ,G Gp R C
E
−
θ
⎡ ⎤ν +
= − ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(0)
24 13(0)
2(1 ) ,zp G
E
+ ν
= − ∂
(0)
2 2 222 21
31 (0) ( ),z
G Gp R
E
−
θ
ν −
= ∂ + ∂
(0)
2 2 221 22
32 (0) ( ),z
G Gp R
E
−
θ
ν −
= ∂ + ∂
(0) (0)
21 22 11 12
33 2(0) (0)
( ) ( ) ,G G G Gp D
E RE
⎛ ⎞ν + ν +
= − ∆ −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(0)
34 23(0)
4 1
zp G
R E θ
+ ν
= − ∂ ∂ ,
/α∂ = ∂ ∂α ( , zα = θ ), ( ) ( )( )1 1
z zR R R− −
θ θ∆ = ∂ ∂ + ∂ ∂ .
Тут відомі вирази [8] для коефіцієнтів жорсткості узагальнюють для радіально
неоднорідного покриву:
1
1 2
0 1
h
i
i
EG d−= γ γ
− ν∫ , 1
2 2
0 1
h
j
i
EG d−ν
= γ γ
− ν∫ , 1
3
0 1
h
i
i
EG d−= γ γ
+ ν∫ , 1, 2;i =
2 3
1 2 3
0
3 2
1
h
C d
h h
⎛ ⎞ν γ γ
= − γ⎜ ⎟⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠
∫ , 2 1
0 1
h
C d Cν
= γ −
− ν∫ ,
3 4
1 2 3
0
3 2
1
h
D d
h h
⎛ ⎞ν γ γ
= − γ⎜ ⎟⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠
∫ , 2 1
0 1
h
D d Dν
= γ γ −
− ν∫ ,
де E і ν – модуль Юнґа і коефіцієнт Пуассона. Пiсля знаходження НДС тiла на ос-
новi рiвнянь тривимiрної теорiї пружностi i використання умов (1) напруження в
покриві визначають через граничні значення компонент тензора напружень на межі
тіло–покрив і задане поверхневе навантаження [8]. Для неоднорідного покриву
2(0) (0)
( ) 1 ( 1) ( 1)( ) 1 2 3 1 2
2 2 2
C C
j rr rr rr rr
rr
R R
h h
⎛ ⎞σ + σ ρ − ρ − σ − σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟σ ρ = − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
,
37
( ) ( ) ( )
( )
( ) (0)( ) (0) ( ) (0) (0) (0) ( ) (0)1
(0)
( )
( )
( )
( )
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
( ) ( ),
1 ( )
j
j j j j
zz rr
j
j
rrj
E
Eθθ θθ
ρ ⎡ ⎤σ ρ = − ν ρ ν σ + ν ρ − ν σ − ν + ν ρ σ +
⎣ ⎦
ν ρ
+ σ ρ
− ν ρ
( ) ( ) ( )
( )
(0)( ) ( ) (0) (0) ( ) (0) (0) ( ) (0)1
(0)
( )
( )
( )
( )
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
( ) ( ),
1 ( )
j
j j j j
zz zz rr
j
j
rrj
E
E θθ
ρ ⎡ ⎤σ ρ = − ν ρ ν σ + ν ρ − ν σ − ν + ν ρ σ +
⎣ ⎦
ν ρ
+ σ ρ
− ν ρ
( )
( ) (0)
( ) (0)
(0) ( )
( )(1 ) ,
1 ( )
j
j
z zj
E
Eθ θ
ρ + ν
σ = σ
+ ν ρ
1,j n= , (2)
де ( )2( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) 1 ( )j j jE E ⎛ ⎞ρ = ρ − ν ρ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Метод зведення до інтегральних рівнянь. Для визначення напружень у не-
однорідних товстих циліндрах запропоновано [10–14] підхід, який дає можливість
звести відповідну граничну задачу термопружності у напруженнях до сукупності
інтегральних рівнянь Вольтера другого роду та інтегральних умов. Застосуємо
його для знаходження напружень у циліндрі з багатошаровим неоднорідним по-
кривом. Тоді систему рівнянь рівноваги, зв’язку між тензорами деформацій і на-
пружень, рівнянь суцільності, граничних умов на бічних поверхнях і торцях ци-
ліндра, умов ідеального механічного контакту між шарами зведемо до розв’язу-
вання системи інтегральних рівнянь
( ) 2
( )( )
2 2
( ) 1( ) ( )
j
j
rr j j jj
rr d
ρ
ρ
σ ρ ρ
σ ρ = + ησ η η
ρ ρ ∫ , 0,j n= ; (3)
( ) ( ) (0) ( )
1
( 1) ( ) ( 1)
1 0
( ) ( ) ( )
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j j j
z
j
k k k
rr k k k rr
k
E A e
S j d
ρ
− −
−
=
⎧⎪σ ρ = ρ + ν ρ +⎨
⎪⎩
⎫⎪⎡ ⎤ ′+ − σ ρ ϕ ρ − ϕ ρ + σ η ϕ η η⎬⎣ ⎦ ⎪⎭
∑ ∫
(4)
за виконання інтегральної умови рівноваги
1
2
1
0
( )
n
nd P
+ρ
+ησ η η= ρ∫ (5)
(отриманої безпосереднім інтегруванням рівняння рівноваги з використанням
граничної умови ( )
1( )j
rr n P+σ ρ = ) та інтегральної умови на осьові напруження
( )
1
2
1
0
n
zz nd Q
+ρ
−
+ησ η η= ρ∫ , (6)
коли задане навантаження на торцях, або умови для осьової деформації 0ze = ,
якщо торці жорстко защемлені. У формулах (3)–(6) і надалі ( ) ( )( )j jj
rr θθσ = σ + σ –
сумарне напруження; ( ) ( ) ( )( ) (1 ( )) / ( );j j jEϕ ρ = + ν ρ ρ ( ) 1, 0
0, 0
x
S x
x−
≥⎧
= ⎨ <⎩
– асимет-
рична одинична функція; P і Q – навантаження на поверхні циліндра і торцях.
Розв’язуючи цю систему методом квадратурних формул [16] з використанням
38
формули трапецій [12], можна отримати такі вирази для сумарних і радіальних
напружень:
( ) (0) ( ) ( ) ( )
11 12 0( ) ( ) ( ) ( )j j j j
zA eσ ρ = δ ρ + δ ρ + δ ρ ,
(0) ( ) ( ) ( )( )
11 12 0( ) ( ) ( ) ( )j j jj
rr zA eσ ρ = γ ρ + γ ρ + γ ρ , 0,j n= ,
(0)
(0) (0)(0)
2rr
σ
σ = , (7)
де (0) (0)
11 1( ) Eδ ρ = ; (0) (0) (0)
12 1( ) Eδ ρ = ν ; (0)
0 ( ) 0δ ρ = ; ( )
(0)
(0) 1
11 ( ) 2
4
E
γ ρ = +ρ ;
(0) (0) (0)
12 11( ) ( )γ ρ = ν γ ρ ; (0)
0 ( ) 0γ ρ = ;
( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )
11 11 11( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( )j j j j j j
jX Y−⎡ ⎤δ ρ = ξ ρ + χ + ρ + γ ρ ρ⎣ ⎦ ;
{
( ) }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
( ) ( ) ( ) ( 1) ( )
11 12
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ;
j j j j j
j
j j j j j
j j
X
X Y−
δ ρ = ξ ρ ν ρ − ν ρ ρ +
⎡ ⎤+ ν ρ + χ + ρ + γ ρ ρ⎣ ⎦
{ }( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )
0 0 0( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )j j j j j j
jX Y−⎡ ⎤δ ρ = ξ ρ χ + ρ + γ ρ ρ⎣ ⎦ ;
( ) ( )2( ) ( )
1( )
2
( ) ( )
( )
4
j j
j j jj
E
X
′ρ ρ −ρ ρ ϕ ρ
ρ =
ρ
;
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
2( ) ( ) ( )
2 j
jj j j
j
Y ρ=ρ
⎡ ⎤ρ −ρ ρ′ ′⎢ ⎥ρ = ϕ ρ + ϕ ρ
ρ⎢ ⎥⎣ ⎦
;
( )
11 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0
( ) ( ) ( )
k
k
j j
j k k k k
kml ml ml
k k
d
+ρ− −
+
= = ρ
′χ = γ ρ β + γ η ϕ η η∑ ∑ ∫ , 11, 12, 0ml = ;
2
( ) ( 1) ( )
1 1 12 2
1( ) ( ) ( ) ,
j
jj j j
jk k k d
ρ
−
ρ
ρ
γ ρ = γ ρ + ηδ η η
ρ ρ ∫ 1, 2k = ;
2
( ) ( 1) ( )
0 0 02 2
1( ) ( ) ( )
j
jj j j
j d
ρ
−
ρ
ρ
γ ρ = γ ρ + ηδ η η
ρ ρ ∫ ;
( )
1
( ) ( ) ( ) ( )2
11 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (4 )j j j j
jE E
−
−
⎡ ⎤′ξ ρ = ρ − ρ −ρ ρ ϕ ρ ρ⎢ ⎥
⎣ ⎦
;
( ) ( 1) ( )
1 1( ) ( )j j j
j j
+
+ +β = ϕ ρ − ϕ ρ , 1,j n= ;
(0) 22 1 12 2
11 22 21 12
d c d cA
d d d d
−
=
−
, 11 2 21 1
11 22 21 12
z
d c d ce
d d d d
−
=
−
.
Якщо 0ze = , (0)
1 11/A c d= . Тут 2
1 1nc P+= ρ , 2
2 1nc Q−
+= ρ ,
1
1 1
0
( ) ,
n
k kd d
+ρ
= ηδ η η∫
1, 2;k =
1
21 11
0
( ) ( )
n
d d
+ρ
= ην η δ η η∫ , ( )
1
22 12
0
( ) ( ) ( )
n
d E d
+ρ
= η η + ν η δ η η∫ . Колове на-
пруження ( )j
θθσ визначають з означення сумарного напруження ( ) ( )( )j jj
rr θθσ = σ + σ ,
а осьове ( )j
zzσ – з відповідного співвідношення закону Гука.
39
Приклад. Розглянемо задачу про визначення напружень у суцільному цилін-
дрі з багатошаровим покривом під дією рівномірно розподіленого тиску P по по-
верхні. Вважаємо, що модулі пружності у кожному шарі покриву мають степеневу
залежність від радіальної змінної ( ) ( )
0( ) jmj jE Eρ = ρ ( ( )
0
jE – задані сталі, mj ≠ 1, 2),
а коефіцієнти Пуассона ν(j) – сталі у кожному шарі. Тоді третя узагальнена гра-
нична умова (1) при r = R набуде вигляду (перші дві задовольняються тотожно)
(0) (0) (0)
(0)(0) (0)11 12 12 11 11 12
(0) (0) (0)
( )1 rr zz
G G G G G G P
RE RE RE θθ
⎛ ⎞ν + − ν − ν
− σ + σ + σ =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Розв’язуючи задачу для циліндра [8], закріпленого на торцях від осьових пе-
реміщень, та використовуючи формули відновлення (2), остаточно отримуємо:
2(0) (0)
( ) 1 ( 1) ( 1)( ) 1 2 3 1 2
2 2 2
j rr rr
rr
P R R P
h h
⎛ ⎞+ σ ρ − ρ − − σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟σ ρ = − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
,
( )2( ) (0) (0)
( )1
( ) (0) ( )
(0) ( )
( ) 1
( ) ( )
1
j
j
j j
rr rrj
E
Eθθ
⎛ ⎞ρ − ν − ν⎜ ⎟ ν⎝ ⎠σ ρ = σ + σ ρ
− ν
, 1,j n= , (8)
(0)(0) 1
rr P −
θθσ = σ = δ ,
( )2(0)(0)
11
(0)
1 2
1
G
RE
⎛ ⎞− ν − ν⎜ ⎟
⎝ ⎠δ = + , 11 2
( )
1 ( )
R h
R
E rG dr
r
+
=
− ν∫ .
Точний розв’язок цієї задачі має вигляд
( ) ( )
1 2( ) ( )( )
1 2
j jj jj
rr C Cλ λσ = ρ + ρ , ( ) ( )( ) ( )
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 22 2
j jj j j j jC Cλ λσ = λ + ρ + λ + ρ , (9)
де
( )
2
( )
( )
1,2
1 2
( 2) ( 2) 4
1
2
j
j j j j
j
m m m
− ν
− ± − +
− ν
λ = , а константи ( )
1
jC і ( )
2
jC визнача-
ють зі системи алгебричних рівнянь, отриманої з граничних умов, які враховують
ідеальний механічний контакт між шарами та зовнішні навантаження.
Досліджено залежності колових безрозмірних напружень у розмірностях P (зі
значком “~”) на межі шарів у циліндрі з 10-шаровим покривом від товщини покри-
ву h (h = {0,002; 0,02; 0,5}) та показника mj (mj = {0; 3; 5} характеризує неоднорід-
ність покриву) за однакових товщин шарів і значень ( )
0
jE та ( )jν
j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
( )
0
jE 4,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,0 1,6 1,2 0,8
( )jν 0,3 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
за точними ( )ex
θθσ ρ (9) та наближеними ( )IE
θθσ ρ (7) і ( )sh
θθσ ρ (8) формулами.
Результати обчислень (див. таблицю) вказують на необхідність урахування
неоднорідності покриву, особливо зі збільшенням товщини. Наприклад, якщо
брати до уваги неоднорідність кожного шару покриву (mj = 5) при h = 0,5, то це,
порівняно з кусково-однорідним (mj = 0), призводить до зміни колових напру-
жень на поверхні покрив–тіло на 22%, а в останньому шарі – на 128%. Ці напру-
ження можуть суттєво змінюватись залежно від властивостей матеріалу кожного
шару покриву, їх товщин, неоднорідності матеріалу.
Розподіл напружень у шарах суттєво залежить як від товщини покриву, так і
від неоднорідності і фізико-механічних властивостей кожного шару. Зокрема,
40
при mj = 0 колові напруження у шостому шарі за товщини покриву h = 0,5 на 86%
перевищують напруження у цьому ж шарі, якщо h = 0,002, а напруження зміню-
ються на 51% в останньому шарі і на 13% – на межі покрив–циліндр. Порівняння
цих самих величини при mj = 5 дає відповідно 207; 243 і 12%.
Слід зауважити, що для кусково-однорідного покриву (mj = 0) за підходом
інтегральних рівнянь нема похибки обчислень, оскільки тоді інтегральні рівнян-
ня вироджуються у систему лінійних алгебричних рівнянь. За малих товщин ме-
тод, побудований на використанні інтегральних рівнянь, дає результати з точніс-
тю мінімум чотири значущих цифри, в той же час похибка обчислень для підходу
на основі теорії оболонок не перевищує 6%. Однак за наявності товстого покриву
метод на основі інтегральних рівнянь дає задовільну точність з різницею не біль-
ше 2,2%, а метод, що ґрунтується на теорії оболонок, не може дати правильних
результатів.
h = 0,002 h = 0,02 h = 0,5
mj ρ ( )ex
θθσ ρ ( )IE
θθσ ρ ( )sh
θθσ ρ ( )ex
θθσ ρ ( )IE
θθσ ρ ( )sh
θθσ ρ ( )ex
θθσ ρ ( )IE
θθσ ρ ( )sh
θθσ ρ
1,00 0,3045 0,3045 0,3045 0,3075 0,3075 0,3075 0,3451 0,3451 0,3740
1+0,1h 0,3590 0,3590 0,3587 0,3654 0,3654 0,3622 0,4891 0,4891 0,4390
1+0,2h 0,4137 0,4137 0,4129 0,4240 0,4240 0,4168 0,6406 0,6406 0,5013
1+0,3h 0,4683 0,4683 0,4671 0,4829 0,4829 0,4713 0,7905 0,7905 0,5615
1+0,4h 0,5230 0,5230 0,5213 0,5421 0,5421 0,5256 0,9364 0,9364 0,6203
1+0,5h 0,5777 0,5777 0,5755 0,6014 0,6014 0,5800 1,0768 1,0768 0,6784
1+0,6h 0,5231 0,5231 0,5212 0,5436 0,5436 0,5248 0,9394 0,9394 0,6033
1+0,7h 0,4686 0,4686 0,4670 0,4858 0,4858 0,4697 0,8062 0,8062 0,5288
1+0,8h 0,4140 0,4140 0,4127 0,4278 0,4278 0,4146 0,6749 0,6749 0,4558
0
1+0,9h 0,3595 0,3595 0,3585 0,3694 0,3694 0,3596 0,5425 0,5425 0,3848
1,00 0,3045 0,3045 0,3045 0,3074 0,3074 0,3050 0,3057 0,3065 0,3449
1+0,1h 0,3591 0,3591 0,3588 0,3660 0,3660 0,3595 0,4562 0,4553 0,4247
1+0,2h 0,4139 0,4139 0,4130 0,4260 0,4260 0,4138 0,6497 0,6467 0,4933
1+0,3h 0,4687 0,4687 0,4673 0,4870 0,4870 0,4681 0,8833 0,8778 0,5606
1+0,4h 0,5236 0,5236 0,5215 0,5489 0,5489 0,5224 1,1565 1,1482 0,6271
1+0,5h 0,5786 0,5786 0,5757 0,6116 0,6116 0,5767 1,4705 1,4590 0,6933
1+0,6h 0,5241 0,5241 0,5214 0,5540 0,5540 0,5222 1,3741 1,3635 0,6172
1+0,7h 0,4695 0,4695 0,4671 0,4955 0,4955 0,4677 1,2426 1,2332 0,5416
1+0,8h 0,4148 0,4148 0,4128 0,4361 0,4361 0,4133 1,0717 1,0640 0,4668
3
1+0,9h 0,3600 0,3600 0,3585 0,3756 0,3757 0,3588 0,8562 0,8569 0,3931
1,00 0,3045 0,3045 0,3045 0,3074 0,3074 0,3075 0,2678 0,2711 0,3122
1+0,1h 0,3592 0,3592 0,3588 0,3664 0,3664 0,3633 0,4146 0,4134 0,3983
1+0,2h 0,4140 0,4140 0,4131 0,4273 0,4273 0,4184 0,6286 0,6213 0,4688
1+0,3h 0,4690 0,4690 0,4673 0,4897 0,4897 0,4734 0,9188 0,9034 0,5390
1+0,4h 0,5241 0,5241 0,5716 0,5535 0,5535 0,5283 1,2974 1,2718 0,6091
1+0,5h 0,5793 0,5793 0,5758 0,6187 0,6187 0,5832 1,7790 1,7405 0,6791
1+0,6h 0,5797 0,5797 0,5715 0,5611 0,5611 0,5275 1,7640 1,7256 0,6071
1+0,7h 0,4701 0,4701 0,4672 0,5022 0,5022 0,4718 1,6804 1,6439 0,5353
1+0,8h 0,4154 0,4154 0,4129 0,4419 0,4419 0,4162 1,5111 1,4787 0,4636
5
1+0,9h 0,3604 0,3604 0,3586 0,3800 0,3800 0,3607 1,2355 1,2263 0,3921
41
ВИСНОВКИ
Запропоновані аналітичні вирази розрахунку напружень у циліндрі з неодно-
рідними багатошаровими покривами на основі підходу з використанням узагаль-
нених граничних умов та підходу зі зведенням до інтегральних рівнянь. Виявле-
но, що підхід на основі теорії оболонок ефективніший для покривів зі сумарно
малою товщиною. Однак лише підхід, що базується на зведенні до інтегральних
рівнянь, дає задовільні результати для сумарно товстих покривів, які складають-
ся з великої кількості тонких неоднорідних шарів.
РЕЗЮМЕ. Получены инженерные формулы для расчета напряжений в цилиндре с
неоднородными многослойными покрытиями на основе подхода с использованием обоб-
щенных граничных условий и подхода со сведением к интегральным уравнениям. Срав-
нены и проанализированы пределы применимости каждого из подходов.
SUMMARY. The engineering formulas for calculation of stresses in a cylinder with inho-
mogeneous multilayer coatings based on the approach with the use of generalized boundary con-
ditions and the approach with reduction to integral equations have been obtained. The scopes of
applicability are compared and analyzed for each of approaches.
1. Писаренко Г. С. Некоторые актуальные нерешенные проблемы механики деформируе-
мого твердого тела // Проблемы прочности. – 1998. – № 6. – С. 5–8.
2. Плевако В. Напружений стан неоднорідних покриттів // Машинознавство. – 2001.
– № 3 (45). – С. 24–28.
3. Kroupa F., Knesl Z., and Valach J. Residual stresses in graded thick coatings // Acta Techn.
CSAV. – 1993. – 38. – Р. 29–74.
4. Teixeira V. Numerical analysis of the influence of coating porosity and substrate elastic pro-
perties on the residual stresses in high temperature graded coatings // Surface and Coatings
Technology – 2001. – 146–147. – P. 79–84.
5. Пелех Б. Л., Флейшман Ф. Н. Приближенный метод решения задач теории упругости
для тел с тонкими криволинейными покрытиями // Изв. АН СССР. Механика твердого
тела. – 1988. – № 5. – С. 36–41.
6. Савула Я., Винницька Л. Числовий аналіз напружено-деформованого стану порожнис-
того циліндра з тонким включенням // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології.
– 2007. – Вип. 6. – C. 54–65.
7. Подстригач Я. С., Шевчук П. Р. Температурные поля и напряжения в телах с тонкими
покрытиями // Тепловые напряжения в элементах конструкций. – 1967. – Вып. 7.
– С. 227–233.
8. Шевчук В. А. Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покры-
тиями // Проблемы прочности. – 2000. – № 1. – С. 136–150.
9. Shevchuk V. A. and Silberschmidt V. V. Semi-analytical analysis of thermally induced da-
mage in thin ceramic coatings // Int. J. of Solids and Structures. – 2005. – 42. – P. 4738–4757.
10. Вігак В. М. Розв’язки задач пружності та термопружності в напруженнях // Інтегральні
перетворення та їх застосування до крайових задач. – К.: Вид-во Ін-ту математики
НАН України, 1995. – 9. – С. 34–131.
11. Калиняк Б. М., Попович В. С. Напружений стан шаруватого термочутливого циліндра в
умовах асимптотичного теплового режиму // Машинознавство. – 2005. – № 2. – С. 161–178.
12. Калиняк Б. М. Аналітичні вирази для напружень у довгому порожнистому неоднорідному
термочутливому циліндрі // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 2. – С. 79–86.
13. Вігак В. М., Калиняк Б. М. Зведення одновимірних задач пружності та термопружності
для неоднорідних та термочутливих тіл до інтегральних рівнянь другого роду // ДАН
України. – 1998. – 48, № 2. – С. 60–67.
14. Tokovyy Yu. V. and Ma Chieng-Ching. Analysis of 2D non-axisymmetric elasticity and ther-
moelasticity problems for radially inhomogeneous hollow cylinders // J. Eng. Math. – 2008.
– 6. – P. 171–178.
15. Shevchuk V. A. and Silberschmidt V. V. Analysis of damage evolution in thick ceramic
coatings // Materials Sci. and Eng. A. – 2006. – 426. – P. 121–127.
16. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, програм-
мы: Справ. пос. – К.: Наук. думка, 1986. – 543 с.
Одержано 10.07.2009
|