Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням
За узагальненими функціями отримано рівняння теплопровідності з розривними та сингулярними коефіцієнтами для ізотропного шару з чужорідним включенням циліндричної форми, що виділяє тепло. За допомогою кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях включення та інтегрального перетворе...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137189 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням / В І. Гавриш, Д.В. Федасюк, А.І. Косач // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 5. — С. 115-120. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-137189 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1371892018-06-18T03:07:35Z Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням Гавриш, В.І. Федасюк, Д.Б. Косач, А.І. За узагальненими функціями отримано рівняння теплопровідності з розривними та сингулярними коефіцієнтами для ізотропного шару з чужорідним включенням циліндричної форми, що виділяє тепло. За допомогою кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях включення та інтегрального перетворення Ганкеля побудовано аналітичний розв’язок граничної задачі теплопровідності з тепловіддачею. Виконано числовий аналіз для розглядуваної системи. С использованием обобщенных функций получено уравнение теплопроводности с разрывными и сингулярными коэффициентами для изотропного слоя с инородным тепловыделяющим включением цилиндрической формы. С помощью кусочнолинейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях включения и интегрального преобразования Ханкеля построено аналитическое решение граничной задачи теплопроводности с теплоотдачей. Выполнен численный анализ для рассматриваемой системы. The heat equation with discontinuous and singular coefficients for an isotropic layer with a foreign heat dissipating cylindrical inclusion has been obtained using general functions. The analytical solution of thermal conduction boundary problem with heat emission has been conducted by means of piecewise-linear approximation of temperature on the inclusion limiting surfaces and integral Hankel transform. Numerical analysis for the system under consideration has been conducted. 2010 Article Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням / В І. Гавриш, Д.В. Федасюк, А.І. Косач // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 5. — С. 115-120. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137189 536.24 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
За узагальненими функціями отримано рівняння теплопровідності з розривними та сингулярними коефіцієнтами для ізотропного шару з чужорідним включенням циліндричної форми, що виділяє тепло. За допомогою кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях включення та інтегрального перетворення Ганкеля побудовано аналітичний розв’язок граничної задачі теплопровідності з тепловіддачею. Виконано числовий аналіз для розглядуваної системи. |
| format |
Article |
| author |
Гавриш, В.І. Федасюк, Д.Б. Косач, А.І. |
| spellingShingle |
Гавриш, В.І. Федасюк, Д.Б. Косач, А.І. Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Гавриш, В.І. Федасюк, Д.Б. Косач, А.І. |
| author_sort |
Гавриш, В.І. |
| title |
Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням |
| title_short |
Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням |
| title_full |
Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням |
| title_fullStr |
Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням |
| title_full_unstemmed |
Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням |
| title_sort |
гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137189 |
| citation_txt |
Гранична задача теплопровідності для шару з чужорідним циліндричним включенням / В І. Гавриш, Д.В. Федасюк, А.І. Косач // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 5. — С. 115-120. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT gavrišví graničnazadačateploprovídnostídlâšaruzčužorídnimcilíndričnimvklûčennâm AT fedasûkdb graničnazadačateploprovídnostídlâšaruzčužorídnimcilíndričnimvklûčennâm AT kosačaí graničnazadačateploprovídnostídlâšaruzčužorídnimcilíndričnimvklûčennâm |
| first_indexed |
2025-07-10T03:24:47Z |
| last_indexed |
2025-07-10T03:24:47Z |
| _version_ |
1837228770263564288 |
| fulltext |
115
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 5. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 536.24
ГРАНИЧНА ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ ДЛЯ ШАРУ
З ЧУЖОРІДНИМ ЦИЛІНДРИЧНИМ ВКЛЮЧЕННЯМ
В. І. ГАВРИШ, Д. В. ФЕДАСЮК, А. І. КОСАЧ
Національний університет “Львівська політехніка”
За узагальненими функціями отримано рівняння теплопровідності з розривними та
сингулярними коефіцієнтами для ізотропного шару з чужорідним включенням ци-
ліндричної форми, що виділяє тепло. За допомогою кусково-лінійної апроксимації
температури на межових поверхнях включення та інтегрального перетворення Ган-
келя побудовано аналітичний розв’язок граничної задачі теплопровідності з тепло-
віддачею. Виконано числовий аналіз для розглядуваної системи.
Ключові слова: ізотропний шар, теплопровідність, тепловіддача, чужорідне
включення, конвективний теплообмін, ідеальний тепловий контакт, надлишкова
температура.
Під час проектування окремих вузлів та елементів конструкцій мікроелек-
тронної апаратури необхідно математично моделювати теплові процеси в струк-
турах із чужорідними включеннями, що є одним із важливих етапів сучасних ін-
женерних досліджень. Для побудови та вивчення таких моделей потрібно розро-
бити нові ефективні методи розв’язування крайових задач математичної фізики.
Чужорідні включення в структурах значно ускладнюють математичні моде-
лі, однак з їх урахуванням підвищується точність результатів дослідження, а це
вимагає побудови нових алгоритмів та розробки відповідних програмних засобів
для аналізу температурних режимів в окремих вузлах та конструктивних елемен-
тах мікроелектронних пристроїв.
Деякі дослідження теплопровідності тіл одновимірної кусково-однорідної
структури виконано раніше [1]. Розглянуто [2] плоскі задачі теплопровідності
для кусково-однорідних тіл з тріщинами, які зведено до розв’язування сингуляр-
них інтегральних рівнянь методом механічних квадратур.
Нижче сформульовано граничну осесиметричну стаціонарну задачу тепло-
провідності та побудовано аналітичний розв’язок для ізотропного шару з чужо-
рідним включенням циліндричної форми та тепловіддачею. Наближений аналі-
тичний розв’язок для півпростору з таким включенням, розміри якого є малі, от-
римано в праці [3]. Наведено [4, 5] загальні рівняння теплопровідності для куско-
во-однорідних тіл.
Формулювання задачі. Розглянемо ізотропний шар товщиною 2l + h + d, в
якому знаходиться циліндричне включення з радіусом R та висотою 2l, віднесе-
ний до циліндричної системи координат (r, ϕ, z) із початком у центрі включення.
В області 0 {( , ) : , }r z r R z lΩ = ≤ ≤ , що займає включення, діють рівномірно роз-
поділені внутрішні джерела тепла потужністю q0. На межових поверхнях вклю-
чення {( , ) :| | }RK R z z l= ≤ та { }( , ) :lK r l r R± = ± ≤ відбувається ідеальний тепловий
контакт, а на аналогічних поверхнях шару {( , ) : 0 }r l h r±Γ = ± ± < < ∞ задано кон-
вективний теплообмін із зовнішнім середовищем зі сталою температурою tc (рис. 1).
Контактна особа: А. І. КОСАЧ, e-mail: kosand88@gmail.com
116
Побудова вихідного рівняння
теплопровідності. Розподіл осеси-
метричного стаціонарного темпера-
турного поля ( , )t r z в розглядуваній
системі можна отримати шляхом роз-
в’язання рівняння теплопровідності
[4, 5]
0
1 ( ( , ) )
( ( , ) )
( ) ( )
r r z
r r r
r z
z z
q S R r N z−
∂ ∂θ
⋅λ +
∂ ∂
∂ ∂θ
+ λ =
∂ ∂
= − ⋅ − ⋅
(1)
з граничними умовами
1 1, , 0,z l h z l d r
z l h z l dz z+ −= + =− − →∞
= + =− −
∂θ ∂θ
λ = −α θ λ = α θ θ =
∂ ∂
0,
rr →∞
∂θ
=
∂
(2)
де
1 0 1( , ) ( ) ( ) ( )r z S R r N z−λ = λ + λ −λ ⋅ − ⋅ – (3)
коефіцієнт теплопровідності неоднорідного шару; 1 0,λ λ – коефіцієнти теплопро-
відності основного матеріалу та включення; ±α – коефіцієнти тепловіддачі з межо-
вих поверхонь { }( , ) : 0r l h r±Γ = ± ± < < ∞ ; ; ( ) ( ) ( )ct t N z S z l S z l− +θ = − = + − − ;
( )
1, 0,
0,5 0,5, 0,
0, 0
S±
ζ >⎧
⎪ζ = ζ =⎨
⎪ ζ <⎩
∓ – асиметричні одиничні функції [6].
Введемо функцію [7, 8]
( , )T r z= λ ⋅ θ (4)
і продиференціюємо її за змінними r та z, враховуючи опис коефіцієнта тепло-
провідності ( , )r zλ (3). У результаті отримаємо:
0 1
0 1
( , ) ( ) ( ) ( ),
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ),
r R
z l z l
Tr z N z r R
r r
Tr z z l z l S r R
z z
+=
+ − −= =−
∂θ ∂
λ = + λ − λ ⋅ θ ⋅ ⋅ δ −
∂ ∂
∂θ ∂ ⎡ ⎤λ = + λ − λ ⋅ θ ⋅ δ − − θ ⋅ δ + ⋅ −⎣ ⎦∂ ∂
(5)
де ( )( ) dS
d
±
±
ζ
δ ζ =
ζ
– асиметричні дельта-функції Дірака [6].
Підставивши вирази (5) у співвідношення (1), приходимо до диференціаль-
ного рівняння з частинними похідними із розривними та сингулярними коефіці-
єнтами [8]:
}
0 1
0
1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
r R
z l z l
T r R r R N z
R
z l z l S R r q S R r N z
+ + =
+ − − −= =−
⎧⎡ ⎤′∆ + λ − λ δ − + δ − ⋅θ ⋅ +⎨⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤′ ′+ θ ⋅ δ − − θ ⋅ δ + ⋅ − = − ⋅ − ⋅⎣ ⎦
(6)
Тут
2
2
1 ( )r
r r r z
∂ ∂ ∂
∆ = +
∂ ∂ ∂
– оператор Лапласа в циліндричній системі координат.
Рис. 1. Ізотропний шар з чужорідним цилін-
дричним включенням, що виділяє тепло.
Fig. 1. An isotropic layer with a foreign heat
dissipating cylindrical inclusion.
117
Побудова аналітичного розв’язку задачі. Апроксимуємо функції r R=θ ,
z l=±θ у вигляді [8]
1
( ) ( ) ( )
1 1
1
1
( ) ( ) ( )
1 1
1
1
( ) ( ) ( )
1 1
1
( ) ( ),
( ) ( ),
( ) ( ),
n
R R R
iiir R
i
m
l l l
jjjz l
j
p
l l l
kk kz l
k
S z z
S r r
S r r
−
−+=
=
−
−+=
=
−
− − −
−+=−
=
θ = θ + θ − θ ⋅ −
θ = θ + θ − θ ⋅ −
θ = θ + θ − θ ⋅ −
∑
∑
∑
(7)
де ] [; ;iz l l∈ − 1 2 1... ;nz z z −≤ ≤ ≤ ] [0; ;jr R∈ 1 2 1... ;mr r r −≤ ≤ ≤ ] [0; ;kr R∈
1 2 1... ;pr r r −≤ ≤ ≤ ( ) ( ) ( ), ,R l l
i j k
−θ θ θ – невідомі апроксимаційні значення температури.
Підставивши вирази (7) у рівняння (6), отримаємо:
)
1
( ) ( ) ( )
1 0 1 1
1
1
( ) ( ) ( )
1 1
1
1
( ) ( ) ( )
1 1
1
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ( , )
( ) ( ) ( , ) ( )
( ) ( ) ( , )
n
R R R
iii
i
m
l l l
jjj
j
p
l l l
kk k
k
T r R r R N z N z z
R
S R r M r r z l
S R r M r r
−
+ + +
=
−
− ++
=
−
− − −
− +
=
⎧ ⎡⎪⎡ ⎤ ⎤′∆ = λ − λ δ − + δ − θ + θ − θ +⎨ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎦⎣ ⎦⎪ ⎣⎩
⎡ ⎤
′+ θ − + θ − θ ⋅ δ − −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
′− θ − + θ − θ ⋅ δ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
∑
∑ 0( ) ( ) ( ).z l q S R r N z− −
⎫⎪+ − −⎬
⎪⎭
(8)
Тут _( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( ), ,i i s sN z z S z z S z l M r r S r r S r R s j k− + += − + − = − − − = .
Застосувавши інтегральне перетворення Ганкеля за координатою r до рів-
няння (8) та граничних умов (2) із урахуванням співвідношення (4), приходимо
до звичайного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами
)
1
( ) ( ) ( )2
1 0 1 1 12
1
1
( ) ( ) ( )
1 1 11 1
1
( ) ( ) ( )
1 11 1
1
( ) ( ) ( ) ( ( , )
1 ( ( ) ( )( ( ) ( ))) ( )
( ( ) ( )( ( )
n
R R R
iii
i
m
l l l
j jjj
j
p
l l l
k k
k
dT T R I R N z N z z
dz
R I R R I R r I r z l
R I R R I R
−
+
=
−
++
=
−
− − −
+
=
⎧ ⎡⎪ ⎤− ξ = λ − λ ξ ξ θ + θ −θ +⎨ ⎢ ⎥⎦⎪ ⎣⎩
⎡
′+ ⋅ ξ ⋅ θ + θ − θ ⋅ ξ − ξ δ − −⎢
ξ ⎢⎣
− ⋅ ξ ⋅ θ + θ − θ ⋅ ξ −
∑
∑
1
1
0
1
( ))) ( )
( ) ( )
k kr I r z l
Rq I R N z
−
⎫⎤⎪′ξ δ + −⎬⎥
⎪⎦⎭
− ξ
ξ
∑
(9)
і граничних умов
1 2
1 1
, ,
z l h z l d
z l h z l d
dT dTT T
dz dz= + =− −
= + =− −
α α
= − =
λ λ
(10)
де 0
0
( )T r I r Tdr
∞
= ⋅ ξ∫ – трансформанта функції T; ξ – параметр інтегрального
перетворення Ганкеля; ( )Iν ζ – функція Бесселя першого роду ν-го порядку.
118
Розв’язавши граничну задачу (9), (10) та застосувавши обернене інтегральне
перетворення Ганкеля, одержимо вираз
( )
1 0 11
1
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 31 1 1
1
( , ) ( ) ( ( , )
( ) ( , , ) ( , ) ( , ))
R
n
R R l l
iii
i
T r z R F r z
F r z z F r z F r z
−
−
+
=
⎡= λ − λ θ +⎣
+ θ −θ + θ − θ +∑
) )
11
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 0 41 1
1 1
( ( , , ) ( ( , , ) ( , ),
pm
l l l l
j kij k k
j k
F r z r F r z r Rq F r z
−−
− −
+ +
= =
⎤
+ θ −θ − θ −θ −⎥
⎦
∑ ∑ (11)
де
1 0 1 1 0 1
0 0
( , ) ( ) ( ) ( , ) , 1,4; ( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ;t t i iF r z I R I r z d t F r z z I R I r z z d
∞ ∞
= ξ ξ ϕ ξ ξ = = ξ ξ ϕ ξ ξ∫ ∫
[ ]1 1 0
0
( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) , 2,3; , ;t s s s tF r z r RI R r I r I r z d t s j k
∞
= ξ − ξ ⋅ ξ ϕ ξ ξ = =∫
1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , );z ch z l S z l ch z l S z l N z f z− +ϕ ξ = ξ + + − ξ − − − + ξ Φ ξ
2 2 3 3( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ); ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , );z ch z l S z l f z z ch z l S z l f z+ −ϕ ξ = ξ − − + ξ Φ ξ ϕ ξ = ξ + + + ξ Φ ξ
4 1 12
1( , ) ( , ); ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )i i i iz z z z ch z z S z z ch z l S z l N z z− +ϕ ξ = ϕ ξ ϕ ξ = ξ − − − ξ − − − +
ξ
( ) ( )
1
1 1
1( , ) ( , ); ( , ) ( ) ( ) ;
( )
z l d z l d
if z z z e e
P
ξ + + −ξ + +− −⎡ ⎤α α
+ ξ Φ ξ Φ ξ = ⋅ ξ + + ξ −⎢ ⎥ξ λ λ⎣ ⎦
(2 ) (2 )
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;l h d l h dP e e−ξ + + ξ + ++ − + −α α α α
ξ = ξ − ⋅ ξ − − ξ + ⋅ ξ +
λ λ λ λ
[ ] [ ]1 2
1 1
( ) (2 ) (2 ) ; ( ) ;f sh l h sh h ch l h ch h f sh h ch h+ +α α
ξ = ξ ξ + − ξ + ξ + − ξ ξ = ξ ξ + ξ
λ λ
3 1
1
( ) (2 ) (2 ); ( , )if sh l h ch l h f z+αξ = ξ ξ + + ξ + ξ =
λ
[ ] [ ]
1
( ) ( ) .i ish l h z sh h ch l h z ch h+α= ξ ξ + − − ξ + ξ + − − ξ
λ
Невідомі апроксимаційні значення температури ( ) ( ) ( ), ,R l l
i j k
−θ θ θ знаходимо, роз-
в’язуючи систему n + m + p лінійних алгебричних рівнянь, отриманих з виразу (11).
Отже, шукане температурне поле в неоднорідному шарі описує формула
(11). Зі співвідношення (11) дістаємо значення температури в довільній точці ша-
ру та чужорідного включення.
Аналіз числових результатів. Виконано числовий аналіз безрозмірної над-
лишкової температури * 2
0/( )T T q R= для значень критерію Біо 1 1Bi / ,R+= α ⋅ λ
2 1Bi /R= α ⋅ λ і таких вихідних даних: матеріал шару – кераміка ВК94–I
1( 13,4 W/(m×K))λ = , матеріал включення – срібло 0( 419 W/(m×K))λ = ,
5p m= = – кількість розбиттів інтервалу ] [0;R ; 10n = – кількість розбиттів ін-
тервалу ] [;l l− ; / 1; / 1.L l R D d R= = = =
119
Побудовано (рис. 2) залежність
температури T* від безрозмірних ко-
ординат /r Rρ = та /Z z R= для Н =
1 2/ 2, Bi 10, Bi 15h R= = = = . Як бачи-
мо, максимальна температура дося-
гається в області включення, причому
для значень 5ρ ≥ і 2 3Z− ≤ ≤ вона
практично дорівнює температурі сере-
довища tc.
Рис. 3а ілюструє зміну температу-
ри T* залежно від аксіальної Z, а рис.
3b – цю ж зміну від радіальної ρ коор-
динат для / 2,H h R= = 1Bi 10,=
2Bi 15= . Як видно із графіків, на ме-
жових поверхнях Z = –2, Z = 3 шару та
для 5ρ ≥ температура практично до-
рівнює температурі середовища.
Рис. 3. Залежність надлишкової безрозмірної температури T*
від безрозмірних координат Z (а) та ρ (b) .
Fig. 3. Dependence of dimensionless excess temperature, T*,
on dimensionless coordinates Z (а) and ρ (b).
Побудовано (рис. 4а) залежність температури T* від координати Z для різних
значень критерію 1Bi , коли 2/ 2, Bi 15H h R= = = . Як бачимо, тепловіддача
впливає на розподіл температури для вказаних даних і в області включення, при-
чому зі збільшенням критерію 1Bi температура падає. Рис. 4b відтворює зміну
температури T* від величини H (безрозмірна відстань від межової поверхні шару
Z = L + H до межової поверхні включення Z = L) для Bi1 = 10, Bi2 = 15, ρ = 0,5,
Z = 0,5. Із зростанням параметра H температура підвищується, що відповідає по-
даній моделі.
Рис. 4. Залежність надлишкової безрозмірної температури T*
від безрозмірної координати Z для ρ = 0,5 (а) та параметра H (b).
Fig. 4. Dependence of dimensionless excess temperature, T*,
on dimensionless coordinate Z for ρ = 0.5 (а) and parameter H (b).
Рис. 2. Залежність надлишкової безрозмір-
ної температури T* від безрозмірних
координат ρ та Z.
Fig. 2. Dependence of dimensionless excess
temperature, T*, on dimensionless
coordinates ρ and Z.
120
ВИСНОВКИ
Запропонована методика знаходження температури в шарі з чужорідним
включенням і тепловіддачею дає можливість ефективно досліджувати темпера-
турні режими в конструктивних елементах мікроелектронних пристроїв, що не-
обхідно для їх теплового проектування, підвищення термотривкості та продов-
ження терміну експлуатації. Проаналізовано числові результати, отримані на ос-
нові розробленого алгоритму та програмних засобів, і встановлено, що для вказа-
них матеріалів шару, включення та значень геометричних параметрів тепловідда-
ча впливає на розподіл температурного поля і в області включення, причому для
радіальної 5ρ ≥ та аксіальної 2 3Z− ≤ ≤ координат вона практично дорівнює
температурі середовища.
РЕЗЮМЕ. С использованием обобщенных функций получено уравнение теплопро-
водности с разрывными и сингулярными коэффициентами для изотропного слоя с ино-
родным тепловыделяющим включением цилиндрической формы. С помощью кусочно-
линейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях включения и инте-
грального преобразования Ханкеля построено аналитическое решение граничной задачи
теплопроводности с теплоотдачей. Выполнен численный анализ для рассматриваемой
системы.
SUMMARY. The heat equation with discontinuous and singular coefficients for an
isotropic layer with a foreign heat dissipating cylindrical inclusion has been obtained using
general functions. The analytical solution of thermal conduction boundary problem with heat
emission has been conducted by means of piecewise-linear approximation of temperature on the
inclusion limiting surfaces and integral Hankel transform. Numerical analysis for the system
under consideration has been conducted.
1. Беляев Н. В., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. Ч. I. – М.: Высш. шк.,
1982. – 327 с.
2. Саврук М. П., Зеленяк В. М. Двовимірні задачі термопружності для кусково-однорід-
них тіл з тріщинами: монографія. – Львів: Вид-во “Растр-7”, 2009. – 212 с.
3. Температурное поле в полупространстве с инородным включением / Ю. М. Коляно,
Ю. М. Кричевец, Е. Г. Иваник, В. И. Гаврыш // Инж.-физ. журн. – 1988. – 55, № 6.
– С.1006 –1011.
4. Подстригач Я. С., Ломакин В. А., Коляно Ю. М. Термоупругость тел неоднородной
структуры. – М.: Наука, 1984. – 368 с.
5. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – К.:
Наук. думка, 1992. – 280 с.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.
– М.: Наука, 1977. – 720 с.
7. Коляно Ю. М., Кричевец Ю. М., Гаврыш В. И. Уравнение теплопроводности для эле-
ментов микроэлектроники // Радиоэлектронное материаловедение. Ч. II. – Львов, 1989.
– С. 175–183.
8. Гавриш В. І., Волошин М. М. Визначення температурного поля в окремому елементі
інтегральної схеми // Тези доп. Першої міжнар. конф. “Конструкційні та функціональ-
ні матеріали” КФМ’93. Теорія, експеримент, взаємодія. 20–23 вересня 1993. – Львів,
1993. – С. 32–33.
Одержано 17.05.2010
|