Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану
Розроблено метод неруйнівного визначення границі міцності і в’язкості руйнування KIc конструкційних сталей, що базується на високоточному обчисленні деформацій і напружень, які отримано з числового розв’язку задачі уточненого плоского деформованого стану в нестаціонарному пружно-пластичному формулюв...
Збережено в:
Дата: | 2010 |
---|---|
Автори: | , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Ukrainian |
Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137190 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану / В.Р. Богданов, Г.Т Сулим // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 5. — С. 16-24. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-137190 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1371902018-06-18T03:07:51Z Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану Богданов, В.Р. Сулим, Г.Т. Розроблено метод неруйнівного визначення границі міцності і в’язкості руйнування KIc конструкційних сталей, що базується на високоточному обчисленні деформацій і напружень, які отримано з числового розв’язку задачі уточненого плоского деформованого стану в нестаціонарному пружно-пластичному формулюванні. Розроблена методика добре описує деградацію міцності матеріалів конструкцій, призначених для тривалої експлуатації за високих чи низьких температур, в агресивному середовищі або під впливом радіаційного опромінення, зокрема реакторних сталей 15Х2НМФА, 10ГН2МФА, 2Cr–Ni–Mo–V. Разработан метод неразрушающего определения предела прочности и вязкости разрушения KIc конструкционных сталей, основанный на высокоточном вычислении деформаций и напряжений, полученных из численного решения задачи уточненного плоского деформированного состояния в нестационарной упруго-пластической постановке. Разработанная методика хорошо описывает деградацию прочности материалов конструкций, предназначенных для длительной эксплуатации при высоких либо низких температурах, в агрессивной среде или под радиационным облучением, например реакторных сталей 15Х2НМФА, 10ГН2МФА, 2Cr–Ni–Mo–V. The method of non-destructive evaluation of ultimate strength and fracture toughness KIc of structural steels, based on high-precision calculations of strains and stresses, obtained from numerical solution of the problem of the plane strain state in non-stationary elastoplastic formulation was developed. The method describes well the degradation of the strength of structural materials used for long-term operation at high or low temperatures in aggressive environments or under radioactive irradiation, e.g. reactor steels 15Х2НМФА, 10ГН2МФА, 2Cr–Ni–Mo–V. 2010 Article Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану / В.Р. Богданов, Г.Т Сулим // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 5. — С. 16-24. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137190 620.179 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
description |
Розроблено метод неруйнівного визначення границі міцності і в’язкості руйнування KIc конструкційних сталей, що базується на високоточному обчисленні деформацій і напружень, які отримано з числового розв’язку задачі уточненого плоского деформованого стану в нестаціонарному пружно-пластичному формулюванні. Розроблена методика добре описує деградацію міцності матеріалів конструкцій, призначених для тривалої експлуатації за високих чи низьких температур, в агресивному середовищі або під впливом радіаційного опромінення, зокрема реакторних сталей 15Х2НМФА, 10ГН2МФА, 2Cr–Ni–Mo–V. |
format |
Article |
author |
Богданов, В.Р. Сулим, Г.Т. |
spellingShingle |
Богданов, В.Р. Сулим, Г.Т. Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану Фізико-хімічна механіка матеріалів |
author_facet |
Богданов, В.Р. Сулим, Г.Т. |
author_sort |
Богданов, В.Р. |
title |
Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану |
title_short |
Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану |
title_full |
Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану |
title_fullStr |
Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану |
title_full_unstemmed |
Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану |
title_sort |
визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану |
publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
publishDate |
2010 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/137190 |
citation_txt |
Визначення тріщиностійкості на основі числового моделювання плоского деформованого стану / В.Р. Богданов, Г.Т Сулим // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 5. — С. 16-24. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
work_keys_str_mv |
AT bogdanovvr viznačennâtríŝinostíjkostínaosnovíčislovogomodelûvannâploskogodeformovanogostanu AT sulimgt viznačennâtríŝinostíjkostínaosnovíčislovogomodelûvannâploskogodeformovanogostanu |
first_indexed |
2025-07-10T03:24:53Z |
last_indexed |
2025-07-10T03:24:53Z |
_version_ |
1837228777259663360 |
fulltext |
16
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 620.179
ВИЗНАЧЕННЯ ТРІЩИНОСТІЙКОСТІ НА ОСНОВІ ЧИСЛОВОГО
МОДЕЛЮВАННЯ ПЛОСКОГО ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ
В. Р. БОГДАНОВ 1, Г. Т. СУЛИМ 2
1 Національний транспортний університет, Київ;
2 Львівський національний університет ім. Івана Франка
Розроблено метод неруйнівного визначення границі міцності і в’язкості руйнування
KIc конструкційних сталей, що базується на високоточному обчисленні деформацій і
напружень, які отримано з числового розв’язку задачі уточненого плоского дефор-
мованого стану в нестаціонарному пружно-пластичному формулюванні. Розроблена
методика добре описує деградацію міцності матеріалів конструкцій, призначених
для тривалої експлуатації за високих чи низьких температур, в агресивному середови-
щі або під впливом радіаційного опромінення, зокрема реакторних сталей 15Х2НМФА,
10ГН2МФА, 2Cr–Ni–Mo–V.
Ключові слова: в’язкість руйнування, пластична деформація, тріщина, ресурс міц-
ності, критичний коефіцієнт інтенсивності напружень.
Розвинуто [1–4] імовірнісний підхід до визначення в’язкості руйнування KIc
конструкційних сталей. Зокрема, використано моделі течіння і руйнування Брі-
джмена [2, 4]; квазістатичну пружно-пластичну модель [3]; розв’язано задачу плос-
кого напруженого стану за пружно-пластичної динамічної моделі [1]. Нижче за-
пропоновано пружно-деформований стан визначити на основі невеликої кількос-
ті дослідних даних [4] і розв’язку пружно-пластичної динамічної задачі плоского
деформованого стану. З’ясовано, що емпірично визначений параметр m0 = 0,1 зай-
вий, і розрахункові криві в’язкості руйнування точніше описують експерименталь-
ні результати для реакторних сталей типу 2Cr–Ni–Mo–V, 15Х2НМФА, 10ГН2МФА.
Формулювання задачі. Використовуючи дані одновісного розтягу і попе-
реднього циклічного деформування з наступним розривом, експериментально ви-
значали критичні напруження крихкого руйнування SC(κ) для реакторних сталей
[2, 5]. На основі цих результатів запропоновано границю текучості σ0,2(T) та кри-
тичні напруження крихкого руйнування апроксимувати залежностями
02 ( ) ( 273) exp( ( 273));T a c T b h Tσ = − + + − + (1)
[ ] 1 2
1 2( ) exp( )C dS C C A −κ = + − κ ,
де p
idκ = ε∫ – параметр Одквіста; p
idε – прирости інтенсивності пластичних де-
формацій; T – температура за Цельсієм; параметри a, c, b, h, C1, C2 і Ad цих залеж-
ностей характеризують властивості досліджуваного полікристалічного матеріалу.
Для опису процесу зрушення тріщин у маломасштабних зразках Шарпі з по-
лікристалічного матеріалу з включеннями карбіду, зокрема IcK , використано чис-
лове моделювання напружено-деформованого стану відповідної плоскої пружно-
пластичної динамічної моделі, яку доповнено локальним критерієм крихкого руй-
нування полікристалічного матеріалу і застосовано функцію розподілу Вейбула
для врахування розподілу карбідів за міцністю. Усе тіло–зразок умовно поділено
Контактна особа: В. Р. БОГДАНОВ, e-mail: vladislav_bogdanov@hotmail.com
17
на малі елементи-комірки, для яких числовим методом визначають досягнуті
пластичні деформації та напруження для того, щоби використати критерій ло-
кального руйнування у вигляді [2, 4]
1 ( , ) ;T eff dm Tεσ + κ σ ≥ σ (2)
1 ( );CSσ ≥ κ
02eff iσ = σ − σ , (3)
де σ1 – максимальне головне напруження; σі – інтенсивність напружень; σd – ефек-
тивна міцність карбідів або інших частинок, на яких зароджуються мікротріщини
відколу; σeff – певне ефективне напруження. Оскільки основний внесок у явище ви-
никнення пластичних деформацій роблять напруження зсуву, то доцільніше вико-
ристовувати вираз σeff = σі – τ0,2, однак з огляду на експериментально з’ясовані дані
[2, 4], застосовано вираз (3).
Залежний від температури T і рівня досягнутої пластичної деформації ε кое-
фіцієнт зміцнення Tm ε запишемо у вигляді добутку температурної ( )Tm T і де-
формаційної ( )mε κ складових так [4]:
( , ) ( ) ( )T Tm T m T mε εκ = κ .
Тут ( ) ( )T Ysm T T= σ , 0( ) / ( )Cm S Sε κ = κ , 0 0( )CS S κ=≡ κ ; Ysσ – температурно-за-
лежна складова границі текучості. Співвідношення 0( ) ( )T Ysm T m T= σ використо-
вували [4] з експериментально визначеною на рівні 0,1 ваговою сталою 0m . Од-
нак доцільніше не проводити додаткових експериментів і оцінити ( )Tm T безпо-
середньо величиною ( )Ys Tσ , апріорі вважаючи 0 1m = .
Для врахування спричиненого карбідами імовірнісного характеру руйнуван-
ня у критерії (2) параметр dσ вважаємо стохастичним з функцією розподілу Вей-
була [6] з параметрами 0, ,d dη σ σ :
0( ) 1 exp d d
d
d
p
η⎛ ⎞⎛ ⎞σ − σ⎜ ⎟σ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠⎝ ⎠
.
На відміну від використаної суто експериментальної методики [4] деформа-
ції, їхні прирости, параметр Одквіста, ефективні і головні напруження отримано з
числового розв’язку динамічної пружно-пластичної задачі згину нескінченного
бруса { / 2 / 2L x L− ≤ ≤ ; 0 y B≤ ≤ ; }z−∞ ≤ ≤ ∞ в площині його поперечного пе-
рерізу у формі зразків типу Шарпі. Вважатимемо, що напружено-деформований
стан у кожному поперечному перерізі бруса однаковий, близький до плоскої де-
формації, отже достатньо розв’язувати задачу лише для одного перерізу у формі
прямокутника ∑ = L×B з пропилом-тріщиною завдовжки l { 0x = ; 0 ≤ y ≤ l}, який
контактує з двома нерухомими опорами на ділянці { * *L x L a≤ ≤ + ; y = 0}.
Зверху на тіло падає абсолютно жорсткий ударник. Його дію на відрізку
{ x A≤ ; y B= } замінимо рівномірно розподіленим в області контакту нормаль-
ним напруженням –Р, що змінюється з часом як лінійна функція 01 02P p p t= + .
З огляду на симетрію задачі відносно лінії 0x = розглянемо лише праву частину
поперечного перерізу (рис. 1a). У розрахунках використано відомі методики до-
слідження квазістатичної пружно-пластичної [3, 7] моделі, що враховують неста-
ціонарність навантаження і застосовують числове інтегрування, зреалізоване в
розрахунку динамічної пружної моделі [8]. Крайові умови задачі запишемо так:
18
Рис. 1. Геометрична схема задачі (a)
i сітка розбиття біля вістря тріщини (b).
Fig. 1. Geometric schemе of the problem (a)
and a grid at the crack tip (b).
Розглянемо рівняння плоскої динамічної теорії, для якої компоненти вектора
зміщень u = (ux, uy) пов’язані з компонентами тензора деформацій співвідношен-
нями Коші x
xx
u
x
∂
ε =
∂
, y
yy
u
y
∂
ε =
∂
, 1
2
yx
xy
uu
y x
∂⎛ ⎞∂
ε = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
, а рівняння руху середови-
ща мають вигляд
2
2
xyxx xu
x y t
∂σ∂σ ∂
+ = ρ
∂ ∂ ∂
,
2
2
xy yy yu
x y t
∂σ ∂σ ∂
+ = ρ
∂ ∂ ∂
.
В основу визначальних співвідношень механічної моделі покладено теорію
неізотермічного пластичного течіння середовища зі зміцненням за умови теку-
чості Губера–Мізеса. Ефектами повзучості і температурним розширенням нех-
туємо. Тоді, вважаючи компоненти тензора деформацій сумою пружних і плас-
тичних його складових, отримаємо для них
1, , .
2
p pe e
ij ij ij ij ijij ijs K d s d
G
ε = ε + ε ε = + σ + ϕ ε = λ (4)
Тут ij ij ijs = σ − δ σ – компоненти девіатора тензора напружень; δij – символ Кро-
некера; G – модуль зсуву; 1 (1 2 ) /(3 )K E= − ν , K = 3K1 – модуль об’ємного стиску,
що зв’язує у співвідношенні ε = Kσ + ϕ об’ємне розширення 3ε (температурне
розширення ϕ ≡ 0); σ = (σxx+σyy+σzz)/3 – середнє напруження; dλ – деяка скалярна
функція, що визначається формою поверхні навантаження і квадратично залежить
від девіатора напружень sij [7]. Для матеріалу з коефіцієнтом зміцнення η* [3]:
*
02 0
0
( )( ) ( ) 1 ,S
TT T
η
⎛ ⎞κ
σ = σ +⎜ ⎟
ε⎝ ⎠
02 0
0
( )
,
T
E
σ
ε = 0 20 CT = ,
де Е – модуль пружності; ( )S Tσ – границя текучості після зміцнення матеріалу.
Перепишемо (4) у розгорнутій формі:
( ) , ( ) ,
2 2
( ) , ,
2 2
yyxx
xx xx yy yy
xyzz
zz zz xy xy
d d K d d d K d
G G
d d K d d d d
G G
σ − σ⎛ ⎞σ − σ⎛ ⎞ε = + σ + σ − σ λ ε = + σ + σ − σ λ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
σ⎛ ⎞σ − σ⎛ ⎞ε = + σ + σ − σ λ ε = + σ λ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
причому
2 2 3
0 ( ( ) 0) , ( 0, 0) ( 0 неприпустиме);
2
p
i
i S
i
d
d f T f df f
⎧ ⎫ε⎪ ⎪λ = ≡ σ − σ < = = > −⎨ ⎬
σ⎪ ⎪⎩ ⎭
19
2 2 2 2
2 2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) 6( ) ,
3
1 ( ) ( ) ( ) 6 .
2
p p p p p p p p
xx yy xx zz yy zz xyi
i xx yy xx zz yy zz xy
d d d d d d d dε = ε − ε + ε − ε + ε − ε + ε
σ = σ − σ + σ − σ + σ − σ + σ
(5)
На відміну від рівнянь традиційної плоскої деформації, коли ( , ) const,zz x y∆ε =
для уточненого опису деформування зразка з урахуванням можливого поздовж-
нього видовження, zz∆ε подамо у вигляді [7, 9]
0( , ) ,zz zz x yx y x y∆ε = ∆ε + ∆χ + ∆χ (6)
де невідомі ∆χх і ∆χу характеризують згин призматичного тіла (моделює в механіці
деформівного твердого тіла стан плоскої деформації) в площинах Ozx і Ozy відпо-
відно, а 0
zz∆ε – прирости за згаданого згину деформації вздовж волокон х = у = 0.
Схема розв’язування задачі. Нехай нестаціонарна взаємодія відбувається в
інтервалі часу *[0, ]t t∈ . Тоді для кожного моменту часу t :
( ) ( ) ( )
, , , ,
2 2 2 2
, , , .
yy xye e e exx zz
xx yy zz xy
p pp p
yy xyxx zz
xx yy zz xy
K K K
G G G G
d dd d d d d d
dt dt dt dt dt dt dt dt
σ − σ σσ − σ σ − σ
ε = + σ ε = + σ ε = + σ ε =
ε εε λ λ ε λ λ
= σ − σ = σ − σ = σ − σ = σ
Для числового інтегрування за часом використано квадратурну формулу Ґреґорі
[10] порядку m1 = 3 з коефіцієнтами Dn. Після дискретизації за часом з вузлами
*[0, ] ( 0, )kt k t t k K= ∆ ∈ = для кожного значення k запишемо відповідні вузлові
значення приростів деформацій:
2 2
1 2
, 1 , 2 , 1 1 0
1
2 1 2
, 2 , 1 , 2 2 0
1
, 1 , 2 , , , 3 ,
3 0
1 1, , 2 ,
3
( ) 1 1, , ,
3 2
( ) , ,
1 ,
2
xx k xx k yy k xx k
yy k xx k yy k yy k
zz k zz k xx k yy k zz xy k xy k xy
k xx
B B B K D
G
B B B K D
G
b B b
B D b
G
α −α ⎛ ⎞∆ε = σ + σ −β = α = + + ∆λ⎜ ⎟α ⎝ ⎠
α α − α ⎛ ⎞∆ε = σ + σ −β = α = − − ∆λ⎜ ⎟α ⎝ ⎠
∆ε = α σ + α σ − σ − ∆ε = σ −
= + ∆λ β =
1
2 1 2 1
1 , 1 1
,
1
( ) / , ( ) / ,
1 1( ) / ,
2 2
( ) ( , , , ) .
xx zz zz yy yy zz zz
zz zz zz ij ij k ij k
m
n ij k n ij k n k n
n
b b b
b b K
G G
D i j x y z
− −
− − −
=
− α + ∆ε α β = − α + ∆ε α
⎛ ⎞β = − + ∆ε α = σ + δ − σ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
− σ − δ σ ∆λ =∑
(7)
Функція 1 (2 )Gψ = + ∆λ , що характеризує умову текучості, з урахуванням
(5), (6) дорівнює:
2 2 2 2
31 1 ( 0), ( 0, 0) ( 0 неприпустиме),
2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) 6( ) ,
3
, , ,
p
i
i
p p p p p p p p
xx yy xx zz yy zz xyi
p e p e p e p
xx xx xx yy yy yy xy xy xy zz zz
f f df f
G G
⎧ ⎫∆ε⎪ ⎪ψ = < + = = > −⎨ ⎬
σ⎪ ⎪⎩ ⎭
∆ε = ∆ε − ∆ε + ∆ε − ∆ε + ∆ε − ∆ε + ∆ε
∆ε = ∆ε − ∆ε ∆ε = ∆ε − ∆ε ∆ε = ∆ε − ∆ε ∆ε = ∆ε −
, ,
,
1 1 1 1, ,
2 2 2 2
e
zz
e e
xx xx k k yy yy k kK K
G G G G
∆ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ε = σ + − σ ∆ε = σ + − σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
20
, , ,
, ,
1 1 1, , .
2 2 2 3
xx k yy k zz ke e
xy xy k zz zz k k kK
G G G
σ + σ + σ⎛ ⎞∆ε = σ ∆ε = σ + − σ σ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(8)
Враховуючи під час розрахунків величину p
zz∆ε , виявили, що її вплив настільки
малий, що без зменшення точності обчислень можна вважати 0p
zz∆ε = .
Для врахування фізичної нелінійності, що міститься в умовах (8), застосова-
но метод послідовних наближень, який дає можливість нелінійну задачу звести
до послідовності лінійних задач [7]
( ) ( )( 1) ( ) ( )
( )
( )( )
1 ( ( ) ); ( ( ) );
2
( ( ) ) ,
( )
n nn n n
S Si i
n
nn i
Si
S
pp T Q Q T Q
G
T Q
T
+ −⎧ψ = ψ + σ − σ < − ψ − < σ − σ <⎨
⎩
⎫σ ⎪ψ σ − σ > ⎬σ ⎪⎭
де Q – найбільше відхилення інтенсивності напружень від зміцненої границі те-
кучості; емпіричну сталу 0 1p≤ ≤ визначають для різних типів матеріалів (для
м’яких сталей вона дорівнює 0,25; для твердих 0,75; для дуже твердих інструмен-
тальних сталей 0,87...0,90).
Розв’язок системи (7) дає вирази для компонент тензора напружень на кож-
ному кроці:
2 2
, 1 , 2 , 1 2 1 1 1 2
2 2
, 2 , 1 , 2 1 2 2 1 2
, 3 , , 2 , , 1 3 3 3
, , /( ),
, , /( ),
, ( ) / , , 1/ .
xx k xx k yy k xx xx xx yy
yy k xx k yy k yy yy xx yy
xy k xy k xy zz k xx k yy k zz xy xy
A A Y Y A A A B B B
A A Y Y A A A B B B
A Y Y A b A B
σ = ∆ε + ∆ε + = β + β = −
σ = ∆ε + ∆ε + = β + β = − −
σ = ∆ε + σ = −α σ + σ α −β = =
(9)
Невідомі x∆χ , y∆χ і 0
zz∆ε в (6) визначають з умов врівноваженості парних
щодо х нормальних напружень zzσ
( , ) ( 1, , )zz x y dxdy M x yρ
Σ
σ ρ = ρ =∫∫ , коли 1 0x yM M M= = = , (10)
де M1 – проекція на вісь z головного вектора контактних напружень, а Mx, My –
відповідні проекції головного моменту зусиль, що діють на опору (кручення від-
сутнє). З огляду на симетрію задачі та ( , ) ( , )zz zzx y x yσ = σ − це рівняння у разі
ρ = x задовольняється автоматично.
Якщо у (10) підставити (6) і (9), з урахуванням симетричності області інте-
грування щодо х і парності функцій , ,, ,xx k yy k zzbσ σ , матимемо 0x∆χ = . Для об-
числення 0 ,zz y∆ε ∆χ отримуємо систему лінійних алгебричних рівнянь
0
1
2
1 1
( 1, );
( )
, ( , 1, , ).
zz y y
xx yy zz
r
L L M y
brdxdyL M rdxdy r x y
ρ ρ ρ
ρ ρ
Σ Σ
∆ε + ∆χ = ρ =
α σ + σ −ρ
= = ρ ρ =
α α∫∫ ∫∫
Прирости ∆u вектора переміщень пов’язані з приростами деформацій таки-
ми співвідношеннями:
1, ,
2
y yx x
xx yy xy
u uu u
x y y x
∂∆ ∂∆⎛ ⎞∂∆ ∂∆
∆ε = ∆ε = ∆ε = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
.
Інтенсивність напружень і деформацій, які використані вище, визначали для
кожної елементарної комірки з числового розв’язку. Коефіцієнт інтенсивності напру-
жень (КІН) KI в кожний момент часу kt k t= ∆ обчислювали зі співвідношення [11]
21
2 3 4
I 12 1,93 3,07 14,53 25,11 25,8l l l l lK F
BH B B B B
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(11)
для пружної задачі триточкового згину балки з тріщиною, де 2F AP= – контакт-
на сила.
Числова реалізація. Для розрахунків моделей зразків зі сталі 15Х2НМФА
застосовано метод скінченних різниць зі змінюваним кроком розбиття вздовж
осей Ox (N елементів) і Oy (M елементів). Крок між точками розбиття найменший
в околі вершини тріщини і на межах зразка. Характерний розмір ucρ комірок у
радіусі 1...2 mm від вершини тріщини дорівнює середньому розміру зерна випро-
буваного металу 0,05 mm. Розбиття за часом рівномірне.
Виходячи з того, що руйнування в кожній комірці незалежна подія, для да-
них 0T і IK імовірність I( )fP K крихкого руйнування за заданого IK обчислю-
ємо за формулою [3]
0
,
I 0
1 1
( ) 1 exp ( )
( )
M N
n m
f T T nuc d
m nd
P K η
= η
= =
⎡ ⎤ϖ
= − − σ − σ⎢ ⎥
σ⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ , (12)
де , , , , ,
1 , 2n m n m n m n m n m
nuc ucT effm m Hεσ = σ + σ ϖ = ρ ; H – товщина маломасштабного зраз-
ка; m, n – індекси елементарних комірок, утворених сітками розбиття вздовж
осей Ox і Oy. Причому в сумах залежності (12) враховують тільки ті комірки, які
руйнуються за умовами
, , , , ,
1 00, ,n m n m n m n m n m
nucCeff dSσ ≥ σ ≥ σ ≥ σ .
Результати розрахунків середніх напружень у комірках поблизу вістря трі-
щини за відносно невеликих навантажень, коли у дискретизованій задачі плас-
тичні деформації відсутні, зіставлялися з розрахованими для центра комірки на
основі класичних одночленних асимптотичних залежностей п. 1.2 [11] з викорис-
танням КІН (11). Для комірок 1, 6 (див. рис. 1b), коли x = 0,01 mm, y =3 ± 0,04 mm
різниця не перевищувала 0,3%.
На рис. 2–6 відображено результати розрахунків зразків Шарпі з коефіцієн-
том зміцнення матеріалу *η = 0,05. Обчислення здійснені за таких значень пара-
метрів: L = 60 mm; B = 10 mm; l = 3 mm; ∆t = 5⋅10–4 s; а = 5 mm; p01 = 8 MPa;
p02 = 10 MPa; M = 60; N = 77. Найменший крок розбиття 0,02 mm, а найбільший
2,6 mm ( minx∆ = 0,02 mm; miny∆ = 0,04 mm (лише перший шар); maxx∆ = 2,6 mm;
maxy∆ = 0,6 mm).
Графіки розрахованої залежності від КІН IK напружень, які виникають у
комірці продовження тріщини (комірка 1 на рис. 1b) двовимірної моделі зразка
Шарпі (рис. 2) свідчать, що з розвитком навантаження за перевищення інтенсив-
ністю напружень рівня I I* 93,5 MPa mK K= = , напруження у цій точці монотон-
ний характер збільшення змінюють на коливний.
Дослідження залежності від KI максимальних за абсолютною величиною
значень напружень, що виникають на продовженні x = 0, y > l осі тріщини (рис. 3)
дає можливість стверджувати, що коли інтенсивність напружень набуває значен-
ня I I*K K= , максимальні напруження виникають у другій від вістря комірці 2
(див. рис. 1b). У цей момент у першій комірці, що торкається вістря спостеріга-
ють коливання напружень. Скоріше за все ці осциляції свідчать про втрату стій-
кості деформування в області вістря тріщини (комірки 1, 4–6 на рис. 1b) і ймовір-
ний початок його руху.
22
У використаній моделі припускаємо, що довжина тріщини не змінюється.
Врахування такої зміни потребує окремих досліджень.
Рис. 2. Fig. 2. Рис. 3. Fig. 3.
Рис. 2. Напруження у комірці 1 (див. рис. 1b) на продовженні осі тріщини:
1 – σхх; 2 – σуу; 3 – σzz; 4 – напруження текучості σS ; 5 – еквівалентне напруження σeq.
Fig. 2. Stresses in a cell 1 (see Fig. 1b) at the extension of the crack axis:
1 – σхх; 2 – σуу; 3 – σzz; 4 – yield stresses, σS ; 5 – equivalent stresses σeq.
Рис. 3. Максимальні напруження на осі продовження тріщини:
1 – σхх; 2 – σуу; 3 – σxy; 4 – σzz; 5 – напруження текучості σS.
Fig. 3. Maximal stresses at the crack extension: 1 – σхх; 2 – σуу; 3 – σxy; 4 – σzz; 5 – yield stresses, σS.
Рис. 4. Залежність параметра Одквіста κ
від КІН KI (а) і температури T (b) та середніх
напружень σ від температури Т (с)
у комірці 1 (див. рис. 1b).
Суцільні лінії – плоска деформація;
штрихові – плоский напружений стан.
Fig. 4. Dependence of Odqist parameter, κ,
on SIF KI (а), and temperature ,T, (b) and also
average stresses on temperature,T, (c) in cell 1
(see Fig. 1b). Solid lines – plane strain;
dashed – plane stress state.
Виявлені залежності у комірці 1 (див. рис. 1b) параметра Одквіста κ від КІН
KI (рис. 4а), середніх напружень σ (рис. 4с) та параметра Одквіста κ (рис. 4b) від
температури T, коли I I0 I*57,1 MPa mK K K= = < , для плоскої деформації та
плоского напруженого стану свідчать, що в усіх випадках плоскому напружено-
му стану властивий вищий рівень накопичених пластичних деформацій. Пара-
метр κ і накопичені пластичні деформації з розвитком деформування (рис. 4а) зі
збільшенням температури (рис. 4b) монотонно зростають. Під час плоскої дефор-
23
мації за більших середніх напружень накопичуються менші, ніж у випадку плос-
кого напруженого стану, пластичні деформації, причому зі збільшенням темпе-
ратури за заданого докритичного рівня навантажень рівень середніх напружень у
комірці 1 в цілому зменшується.
Вивчаючи розподіл головних нормальних σ1 (рис. 5а) і дотичних напружень
τ1 (рис. 5b) в околі вістря тріщини завдовжки l = 3 mm, коли KI = KI0, виявили, що
області найбільших нормальних і дотичних напружень зосереджені в зоні перед
вістрям, причому місця екстремумів приблизно збігаються і лежать на продов-
женні осі тріщини на відстані 0,1 mm від її вістря.
Рис. 5. Головні нормальні σ1 (a)
та дотичні τ1 (b) напруження
в околі вістря тріщини.
Fig. 5. Main normal σ1 (a)
and tangential τ1 (b) stresses
in the area of the crack tip.
Імовірнісні криві (суцільні лінії)
KIc(T) (рис. 6) побудовано для опроміне-
них зразків завтовшки 0,05 m зі сталі
15Х2НМФА, що перебувають в окрих-
ченому стані. Під час їх розрахунку па-
раметр mT взято у вигляді [4]
02 0 02( ) (350 C)Tm T= σ − σ .
У температурній залежності грани-
ці текучості (1) для сталі в окрихченому
стані вибирали такі значення параметрів
[4]: а = 867 МРа, b = 975 MPa, c = 0,0305
MPa⋅K–1, h = 1,04⋅10–2 K–1. Для
розрахунку параметрів розподілу Вей-
була, використано три дослідні [4]
значення в’язкості руйнування
I 0,05
(50 C) 53
f
c P
K
=
= ;
I 0,5
(50 C) 88
f
c P
K
=
= і I 0,95
(50 C) 123
f
c P
K
=
= , які є ординатами відповідних то-
чок на штрихових лініях. Мінімізація функції середньоквадратичного відхилення
( ) ( )
( )
I I
I
2 2
I I53, 50 C 88, 50 C
1/ 22
I 123, 50 C
( ) 0,05 ( ) 0,5
( ) 0,95
f fK T K T
f K T
P K P K
P K
= = = =
= =
⎛
− + − +⎜⎜
⎝
⎞
+ − ⎟⎟
⎠
дала такі значення параметрів розподілу: 17960 МPаdσ = , 0 1590 МPаdσ = , η = 6.
Для порівняння на рис. 6 зазначено використані [4] значення параметрів Вейбула,
а круглими маркерами позначено експериментальні дані визначення KIc триточ-
ковим згином маломасштабних зразків Шарпі.
Для розрахунку значень функцій Pf(KI) спочатку методом скінченних різ-
ниць розв’язували динамічні пружно-пластичні задачі для різних значень темпе-
Рис. 6. Температурна залежність в’язкості
руйнування KIc(T) для різних рівнів
імовірності руйнування.
Fig. 6. Fracture toughness, KIc, (T)
dependence on temperature for different
values of fracture probability.
24
ратур T0 у діапазоні від –200°С до 200°С з кроком 50°С (ефективні напруження
обчислювали за виразом (3)), а потім, згідно з (12), розраховували коефіцієнт ін-
тенсивності напружень KI за значень ймовірності крихкого руйнування 0,05; 0,5;
0,95 і за отриманими точками на площині TOKI будували остаточні залежності
критичного коефіцієнта інтенсивності напружень KIc(T).
Для порівняння штриховою лінією на рис. 6 зображено результати праці [9].
Отримані суцільні криві в цілому краще відповідають експериментальним даним.
ВИСНОВКИ
Розв’язування уточненої задачі плоскої деформації у динамічному пружно-
пластичному формулюванні дає можливість набагато точніше визначити поля
пластичних деформацій і напружень, аніж за розв’язку квазістатичної пружно-
пластичної задачі плоскої деформації. Запропонована методика неруйнівного ви-
значення границі міцності і в’язкості руйнування покращує запропоновані [1–4]
розрахункові методики.
РЕЗЮМЕ. Разработан метод неразрушающего определения предела прочности и
вязкости разрушения KIc конструкционных сталей, основанный на высокоточном вычис-
лении деформаций и напряжений, полученных из численного решения задачи уточненно-
го плоского деформированного состояния в нестационарной упруго-пластической поста-
новке. Разработанная методика хорошо описывает деградацию прочности материалов
конструкций, предназначенных для длительной эксплуатации при высоких либо низких
температурах, в агрессивной среде или под радиационным облучением, например реак-
торных сталей 15Х2НМФА, 10ГН2МФА, 2Cr–Ni–Mo–V.
SUMMARY. The method of non-destructive evaluation of ultimate strength and fracture
toughness KIc of structural steels, based on high-precision calculations of strains and stresses,
obtained from numerical solution of the problem of the plane strain state in non-stationary elasto-
plastic formulation was developed. The method describes well the degradation of the strength of
structural materials used for long-term operation at high or low temperatures in aggressive
environments or under radioactive irradiation, e.g. reactor steels 15Х2НМФА, 10ГН2МФА,
2Cr–Ni–Mo–V.
1. Богданов В. Р. Визначення в’язкості руйнування матеріалу на основі чисельного моде-
лювання плоского напруженого стану // Вісник Київського національного ун-ту. Серія
фіз.-мат. науки. – 2008. – № 3. – C. 51–56.
2. Марголин Б. З., Швецова В. А. Критерий хрупкого разрушения: структурно-механичес-
кий подход // Пробл. прочности. – 1992. – № 2. – С. 3–16.
3. Махненко В. И. Совершенствование методов оценки остаточного ресурса сварных сое-
динений конструкций длительного срока эксплуатации // Автоматическая сварка.
2003. – № 10–11. – С. 112–121.
4. Fracture toughness predictions for a reactor pressure vessel steel in the initial and highly
embrittled states with the Master Curve approach and a probabilistic model / B. Z. Margolin,
V. A. Shvetsova, A. G. Gulenko, et al. // Pressure Vessels and Piping. – 2002. – Jan.
– P. 219–231.
5. Margolin B. Z., Shvetsova V. A., and Karzov G. P. Brittle fracture of nuclear pressure vessel
steels. Part 1. Local criterion for cleavage fracture // Int. J. Pressure Vessels Piping. – 1997.
– 72. – P. 73–87.
6. Weibull W. A. A statistical theory of the strength of materials // Roy Swed Inst. Eng. Res.
– 1939. – 151. – P. 5–45.
7. Махненко В. И. Расчетные методы исследования кинетики сварочных напряжений и
деформаций. – К.: Наук. думка, 1976. – 320 c.
8. Kubenko V. D. and Bogdanov V. R. Planar problem of the impact of a shell on an elastic
half-space // Int. Applied Mechanics. – 1995. – 31, № 6. – P. 483–490.
9. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. – М.: Мир, 1964. – 360 c.
10. Хемминг Р. В. Численные методы. – М.: Наука, 1972. – 399 c.
11. Саврук М. П. Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. Коэффициенты ин-
тенсивности напряжений в телах с трещинами. – К.: Наук. думка, 1988. – 620 с.
Одержано 19.01.2010
|