Исследование нестандартных интервальных арифметических операций

Исследование нестандартных интервальных арифметических операций

Получены аналитические выражения для нестандартных интервальных арифметических операций в форме ценр-радиус. В отличие от известных они более лаконичны и не требуют предварительной подготовки, что облегчает дальнейшее исследование и применение их для решения практических задач....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2005
Автор: Жуковская, О.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2005
Теми:
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/13811
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Исследование нестандартных интервальных арифметических операций / О.А. Жуковская // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2005. — № 2. — С. 106-116. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-13811
record_format dspace
spelling irk-123456789-138112013-02-13T02:53:11Z Исследование нестандартных интервальных арифметических операций Жуковская, О.А. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Получены аналитические выражения для нестандартных интервальных арифметических операций в форме ценр-радиус. В отличие от известных они более лаконичны и не требуют предварительной подготовки, что облегчает дальнейшее исследование и применение их для решения практических задач. The analytical expressions for nonstandart interval arithmetic operations in the centre–radius form in the extended interval space are received. The obtained formulas are more laconic and therefore more suitable for investigation and practical use. Отримано аналітичні вирази для нестандартних інтервальних арифметичних операцій у формі центр-радіус. У порівнянні з відомими вони є більш лаконічними та не потребують попередньої підготовки, що полегшує подальше дослідження і застосування їх при розв’язку практичних задач. 2005 Article Исследование нестандартных интервальных арифметических операций / О.А. Жуковская // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2005. — № 2. — С. 106-116. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/13811 519.6 ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Жуковская, О.А.
Исследование нестандартных интервальных арифметических операций
description Получены аналитические выражения для нестандартных интервальных арифметических операций в форме ценр-радиус. В отличие от известных они более лаконичны и не требуют предварительной подготовки, что облегчает дальнейшее исследование и применение их для решения практических задач.
format Article
author Жуковская, О.А.
author_facet Жуковская, О.А.
author_sort Жуковская, О.А.
title Исследование нестандартных интервальных арифметических операций
title_short Исследование нестандартных интервальных арифметических операций
title_full Исследование нестандартных интервальных арифметических операций
title_fullStr Исследование нестандартных интервальных арифметических операций
title_full_unstemmed Исследование нестандартных интервальных арифметических операций
title_sort исследование нестандартных интервальных арифметических операций
publisher Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate 2005
topic_facet Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/13811
citation_txt Исследование нестандартных интервальных арифметических операций / О.А. Жуковская // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2005. — № 2. — С. 106-116. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT žukovskaâoa issledovanienestandartnyhintervalʹnyharifmetičeskihoperacij
first_indexed 2025-07-02T15:35:20Z
last_indexed 2025-07-02T15:35:20Z
_version_ 1836549953032290304
fulltext  О.А. Жуковская, 2005 106 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 TIДC МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ УДК 519.6 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ИНТЕРВАЛЬНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ О.А. ЖУКОВСКАЯ Получены аналитические выражения для нестандартных интервальных ариф- метических операций в форме ценр-радиус. В отличие от известных они более лаконичны и не требуют предварительной подготовки, что облегчает даль- нейшее исследование и применение их для решения практических задач. ВВЕДЕНИЕ При моделировании различных объектов в условиях нестохастически задан- ной неопределенности применяются нечеткие и интервальные алгоритмы, теоретической основой которых являются интервальные вычисления [1]. Современные методы интервального анализа, кроме интервальных арифме- тических операций, содержат достаточно развитые средства для решения многих задач, однако общий недостаток этих методов — широкие интер- вальные оценки результата, что неприемлемо не только для проведения практических расчетов, но и для дальнейшего анализа данной модели [2]. Такая ситуация сложилась вследствие алгебраической неполноты тра- диционной интервальной арифметики, что привело к возникновению раз- личных подходов к ее расширению. В работе [3] предлагается расширить интервальное пространство интервалами отрицательной ширины, а в [4] — расширить интервально-арифметическую структуру дополнительными (не- стандартными) арифметическими операциями. В то же время такие расши- рения не решают проблему громоздких вычислительных процедур, что ограничивает их практическое применение [5]. В связи с этим может быть поставлена задача исследования нестандар- тных интервально-арифметических операций и упрощения их применения для практических расчетов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И АНАЛИЗ НЕСТАНДАРТНЫХ ИНТЕРВАЛЬНО - АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ Следуя работе [4], введем расширенную интервально-арифметическую струк- туру ),,,),(( −− ×+×+= RIM , где },,|],{[)( RaaaaaaRI ∈≤= +−+−+− — Исследование нестандартных интервальных арифметических операций Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 107 множество действительных интервалов; ),( ×+ и ),( −− ×+ — стандартные и нестандартные интервальные операции сложения и умножения соответственно действительным интервалам ],[ +−= aaA , ],[ +−= bbB . Результат стандартных интервальных операций может быть получен с помощью формул [2] ],[ +++− ++=+ babaBA , }],,,max{},,,,[min{ ++−++−−−++−++−−−= babababababababaBA . Нестандартные интервальные арифметические операции вводятся сле- дующим образом. Обозначим }*,*,*,*{ ++−++−−−= babababaE , где },{* ×+∈ и рассмотрим ситуацию, когда все четыре точки из E различны. Множество }max,{min1 EEE = состоит из элементов, которые опреде- ляются обычными интервально-арифметическими операциями =BA * ]max,[min EE= . Тогда нестандартные интервально-арифметические опера- ции определяются [4] так: )]\(max),\([min* 11 EEEEBA =− . (1) Для решения практических задач в работе [4] рекомендованы такие формулы нестандартных интервально-арифметических операций: )(,),,(,],[ RIBABAbabaBA ∈=++=+ −−− ϕααααα , (2) )(,),,(,],[)( RIBABAbabaBABA ∈=−−=−+=− −−−− ϕααααα , (3) где },{)()(: −+→× RIRIϕ — функционал, определяющий отношение меж- ду шириной ||)( −+ −= aaAd интервала A и шириной ||)( −+ −= bbBd ин- тервала B , причем    <− ≥+ = ),()( при ),()( при ),( BdAd BdAd BAϕ (4) =×− BA       ∈∈= ∈∈= ∈= = −−− −−− −− )7(),(\)(),(),(,],[ )6(),(),(\)(),(],,[ )5(),(\)(,),,(],,[ )()()()( RZRIBRZABbaba RZBRZRIAAbaba RZRIBABAbaba ABAB σδ σδ ψε δδδδ δδδδ εσεσεσεσ )(,,}],{max,},{min[ RZBAbabababaBA ∈=× ++−−−++−− , (8)        ∈∈= ∈= =×= − −− −− ),(\)(),(),( ,]/,/[ ),(\)(,),,( ],/,/[ )/1(/ )()()()( RZRIBRZAB baba RZRIBABA baba BABA ABAB σδ ψε δδδδ εσεσεσεσ (9) О.А. Жуковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 108 где },{)()(: −+→× RIRIψ — функционал, определяющий отношение меж- ду вспомогательными функциями )(),( BA χχ    <− ≥+ = ),()( при ),()( при ),( BA BA BA χχ χχ ψ (10)     ≤ = −+ +−+− ,случаяхостальных в/ ,||||если,/ )( aa aaaa Aχ (11) а функционал },{}0 или0|)({: +−→≥≤∈ −+ aaRIAσ равен     ≠≤− ≥+ = + − ].0,0[ ,0 если, ,0 если, )( Aa a Aσ Таким образом, применение предложенных в работе [4] формул (2), (5)–(8) для решения практических задач требует значительного предвари- тельного анализа характеристик интервалов. А также, как видно из (8), для интервалов, содержащих нуль, не определено, какое из произведений jiba ),,( +−=ji принимает наименьшее, а какое наибольшее значения, что не позволяет получить решение задачи в явном виде. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Исследование арифметических операций над традиционными интервалами и интервалами с отрицательной шириной проводилось в работах [6, 7]. Были получены лаконичные и более конструктивные для практического примене- ния формулы интервально-арифметических операций. Цель данной статьи состоит в исследовании возможности сокращения подготовительной работы, а также получения конструктивных формул для нестандартных интервально-арифметических операций, ориентированных на решение прикладных задач. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАНДАРТНОЙ ИНТЕРВАЛЬНО-АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ Для проведения необходимого анализа представим интервалы BA, в форме центр-радиус ba rbBraA ,,, == , где 2 , 2 , 2 , 2 −++− −++− − = + = − = + = bb r bb b aa r aa a b a (12) — центры и радиусы соответственно интервалов BA, [8]. Исследование нестандартных интервальных арифметических операций Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 109 Теорема 1. Пусть ba rbBraA ,,, == . Тогда при любом отношении между )(Ad и )(Bd для нестандартной интервально-арифметической опе- рации сложения справедлива формула ||, ba rrbaBA −+=+− . (13) Доказательство. Предположим, что )()( BdAd ≥ . В этом случае, как следует из (2) и (4), ],[ −++−− ++=+ babaBA или с учетом (12) ba rrbaBA −+=+− , . (14) Аналогично можно показать, что ab rrbaBA −+=+− , (15) при )()( BdAd < . Из (14) и (15) следует (16). Теорема доказана. Из теоремы 1 с учетом (3) вытекает следствие. Следствие. При любом отношении между )(Ad и )(Bd для интервалов ba rbBraA ,,, == нестандартная интервально-арифметическая операция вычитания определяется формулой ||, ba rrbaBA −−=−− . Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 1, опираясь на определение (3). НЕСТАНДАРТНАЯ ИНТЕРВАЛЬНО-АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ УМНОЖЕНИЯ Произведением интервалов araA ,= и brbB ,= является некоторая функция четырех переменных baba rbrarbraf ,,),,,( = , которую для дальнейшего анализа запишем в виде     = baba r b r agrbraf ,),,,( . (16) В соответствии с (16) множество всех значений ba rbra ,,, данных ин- тервалов представим как объединение непересекающихся подмножеств, оп- ределяющихся всевозможными комбинациями неравенств 1≥ ar a , 1≥ br b , 1−≤ ar a , 1−≤ br b , 1< ar a , 1< br b , 1−> ar a , 1−> br b , ba r b r a ≥ , ba r b r a < , ba r b r a ≥− , ba r b r a <− , (17) О.А. Жуковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 110 в которых без потери общности считаем, что 0, >ba rr . На рис. 1 эти подмноже- ства ограничены прямыми ara =|| , brb =|| , ba rarb |||| = . На основании ис- следования поведения функции в зависимости от принадлежности значений ba rbra ,,, к соответствующему подмножеству и проведения классификации интервалов (результатов произведения) справедливы следующие теоремы. Теорема 2. Пусть выполняются условия 1||,1|| ≥≥ ba r b r a . (18) Тогда нестандартное произведение интервалов ba rbBraA ,,, == опре- деляется формулой |)sgn(|,)(sgn abba brabarrrababBA −−=×− . (19) Доказательство. Согласно работам [7, 8] для стандартного произведе- ния интервалов ba rbBraA ,,, == при условиях (18) справедлива фор- мула abba rrrr ab AB ||||,)sgn( baab ++= , откуда следует, что при условиях baba r b r a r b r a ≥≥≥ ,1,1 и с учетом формул перехода (12) имеем )])((),)([( baba rbrarbraAB ++−−= . (20) Тогда, из (1) следует )])((),)(([ baba rbrarbraBA +−−+=×− (21) 1 1 –1 –1 ba rar −= ba rarb −= brb =− ara =− ara = brb = br b ar b Рис. 1. Области, определяемые неравенствами (17) Исследование нестандартных интервальных арифметических операций Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 111 или с учетом (13) =×− BA abba brarrrab −− , . Аналогично можно получить формулы для нестандартного произведе- ния интервалов при выполнении остальных составляющих условия (18). Ре- зультаты приведены в табл. 1. Т а б л и ц а 1 . Формулы для нестандартного произведения интервалов при ограничениях (18) Условие Формула baba r b r a r b r a ≥≥≥ ,1,1 =×− BA abba brarrrab −− , baba r b r a r b r a −≥−<< ,1,1 baba r b r a r b r a <≥≥ ,1,1 =×− BA abba brarrrab +−− , baba r b r a r b r a −<−<−<− ,1,1 baba r b r a r b r a −≥−≤≥ ,1,1 =×− BA abba brarrrab −−+ , baba r b r a r b r a ≥−≥−≤− ,1,1 baba r b r a r b r a −<−≤≥ ,1,1 =×− BA abba brarrrab ++ , baba r b r a r b r a <−≥−≤ ,1,1 Из табл. 1 видно, что при выполнении условий (18) справедлива фор- мула (19). Теорема доказана. Теорема 3. Пусть выполняются условия baa r b r a r a ||||,1|| << . (22) Тогда нестандартное произведение интервалов в форме центр-радиус ba rbBraA ,,, == определяется формулой |)(sgn|,)(sgn baab rrbbrrabbaAB −−= . (23) Доказательство. Согласно [6, 7] для стандартного произведения ин- тервалов ba rbBraA ,,, == при условиях (22) справедлива формула baab rrrb,ar ab AB ++= )(sgn b , О.А. Жуковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 112 откуда следует, что при условиях 1,1|| >< ba r b r a и с учетом формул перехо- да (12) имеем )])((),)([( baba rbrarbraAB +++−= , следовательно, по определению (1) нестандартное произведение будет таким: )])((),)([( baba rbrarbraBA −+−−=×− или с учетом (12) =×− BA abab rrbrarab −− , . Рассуждая аналогичным образом, получаем формулы нестандартного произведения для остальных составляющих условия (22). Результаты при- ведены в табл. 2. Т а б л и ц а 2 . Формулы для нестандартного произведения интервалов при ограничениях (22) Условие Формула 1,1|| >< ba r b r a =×− BA abab rrbrarab −− , baba r b r a r b r a <<<< ||,10,1|| =×− BA baab rrbrarab +−− , baba r b r a r b r a −<<<−< ||,01,1|| =×− BA baab rrbrarab ++ , 1,1|| −<< ba r b r a =×− BA baab rrbrarab −−+ , Из табл. 2 видно, что при выполнении условий (22) справедлива фор- мула (23). Теорема доказана. Теорема 4. Пусть выполняются условия bab r b r a r b ||||,1|| ≥< . (24) Тогда нестандартное произведение интервалов в форме центр-радиус ba rbBraA ,,, == определяется формулой |)sgn(|,)(sgn abba rraarbraabBA −−=×− . (25) Доказательство. Так как операция умножения действительных чисел коммутативна, то в результате замены ba rrba ↔↔ , из (23) получим (25). Исследование нестандартных интервальных арифметических операций Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 113 Теорема доказана. Из доказанных теорем следует такой алгоритм вычисления нестандарт- ного произведения двух интервалов в форме центр-радиус (рис. 2): |)(sgn|,)(sgn abba brabarrrababBA −−=×− при 1||,1|| ≥≥ ba r b r a (область 1), |)(sgn|,)(sgn baab rrbbrarbabBA −−=×− при baa r b r a r a ||||,1|| << (область 2), |)sgn(|,)(sgn abba rraarbraabBA −−=×− при bab r b r a r b ||||,1|| ≥< (область 3). Следствие. Пусть 1|| > br b . Тогда нестандартное деление интервалов araA ,= , brbB ,= определяется формулами ( ) |)sgn(|sgn1 2 abba2 rra,rr ab ab b B/A - bab rb −− − = (26) при 1|| ≥ ar a , (27) ar a 1 3 2 br b 1 -1 1 -1 1 1 1 2 3 Рис. 2. Области 1–3 , определяемые соответственно неравенствами (18), (22), (24) О.А. Жуковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 114 |)sgn()sgn(1/ 2 baab2 rrbr|,ar ab b bb r BA b −− − =− (28) при 1|| < ar a . (29) Доказательство. Согласно (9) результат нестандартной операции де- ления интервалов ],[],,[ +−+− == bbBaaA вычисляется по формуле    ×=×= −+ −+−−− bb aaBABA 1,1],[)/1(/ , если B∉0 , или ],[],[1/ +−−+− +− − ×= bbaa bb BA , если B∉0 . (30) В форме центр-радиус (30) будет иметь вид bb r b,r a, /A 22 ba 22 bb r BA r B − × = − × = −− − при 1> br b . Тогда, согласно с теоремами (2) – (4), нестандартная операция деления интервалов A и B определится формулами (26), (28) при условиях соответст- венно (27), (29). МОДЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ Пример 1. Найти нестандартную сумму интервалов ]5,1[=A и ]4,2[=B . (31) Вычислим нестандартную сумму по формуле (3). 1. Найдем ширину )(Ad и )(Bd : 4|15|)( =−=Ad , 2|24|)( =−=Bd . 2. Определим знак функционала ),( BAϕ : так как 2)(4)( =>= BdAd , то +=),( BAϕ . 3. Определим формулу нестандартной операции сложения: ],[],[ −++−+−+++++−− ++=++=+ babababaBA . 4. Произведем непосредственные вычисления: ]7,5[]25,41[ =++=+− BA . (32) Исследование нестандартных интервальных арифметических операций Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 115 Вычислим нестандартную сумму по формуле (13). Согласно (12) интервалы (31) в форме центр-радиус имеют вид 1,3,2,3 == BA . 1. Произведем непосредственные вычисления 1,6|12|,33 =−+=+− BA . (33) Сравним полученные результаты (32) и (33) 1,6]16,16[]7,5[ =+−= . Как видно, применение формулы (13) дает тот же результат, что и (2), но требует существенно меньшего количества операций. Пример 2. Найти нестандартное произведение интервалов ]4,2[=A и ]6,4[=B . (34) Вычислим нестандартное произведение по формуле (5). 1. Определим знак функционалов )(Aσ и )(Bσ : так как 02 >=−a , то +=)(Aσ , так как 06 >=−b , то +=)(Bσ . 2. Найдем вспомогательную функцию )(Aχ и )(Bχ : так как +− < aa , то 2 1)( == + − a aAχ , так как +− < bb , то 3 2)( == + − b bBχ . 3. Определим знак функционала ),( BAψ : так как 3 2)( 2 1)( =<= BA χχ , то −=),( BAψ . 4. Определим формулу нестандартного произведения: ],[],[ −++−−+−+−−+−−+− ==× babababaBA . 5. Произведем непосредственные вычисления: ]16,12[]44,62[ =⋅⋅=×− BA . (35) Вычислим нестандартное произведение по формуле (19). Согласно (12) интервалы (34) в форме центр-радиус имеют вид 1,5,1,3 == BA . О.А. Жуковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 116 1. Произведем непосредственные вычисления: 2,14|15)53(sgn13|,11)53(sgn53 =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅=×− BA . (36) Сравним полученные результаты (35) и (36) 2,14]214,214[]16,12[ =+−= . Как видно, применение формулы нестандартного произведения интер- валов в форме центр-радиус существенно уменьшает количество операций. ВЫВОДЫ 1. В статье приведены формулы для нестандартных арифметических операций над интервалами в форме центр-радиус. Полученные формулы (13), (19), (23), (25) являются более лаконичными по сравнению с известны- ми (2), (5) – (8) и не требуют проведения предварительной подготовки для их использования, что способствует дальнейшему исследованию алгебраи- ческих свойств интервалов. 2. Определено, какое из произведений ),,( +−=jiba ji для интервалов, содержащих нуль, принимает наименьшее, а какое наибольшее значения, что позволяет получить решение задачи в явном виде. 3. Показано, что применение этих формул существенно облегчает реа- лизацию интервальных операций для решения практических задач. ЛИТЕРАТУРА 1. Gardeñes E., Trepat A. Fundamentals of SIGLA, an Interval Computing System over the Completed Set of Intervals // Computing. — 1980. — 24. — Р. 161–179. 2. Alefeld G., Herzberger J. Introduction to Interval Computation — New York: Aca- demic Press, 1983. — 356 р. 3. Kaucher E. Interval Analysis in the Extended Interval Space I ( 4. Markov S. Extended Interval Arithmetic Involving Infinite Intervals // Mathematica Balkanika. New Series. — 1992. — 6. — P. 269–304. R) // Computing Suppl. — 1980. — 2. — P. 33–49. 5. Popova E.D. Algebraic Solutions to a Class of Interval Equations // Journal of Uni- versal Computer Science. — 1998. — 4.— Р. 48–67. 6. Жуковська О.А., Новицький В.В. Прямий метод обчислення добутку інтервалів у формі центр-радіус // Наук. вісті НТУУ «КПІ». — 2003. — № 1. — С. 138–144. 7. Жуковська О.А. Метод обчислення добутку інтервалів у формі центр-радіус в розширеному інтервальному просторі // Наук. вісті НТУУ «КПІ». — 2003. — № 6. — С. 144–149. 8. Sunaga T. Theory of Interval Algebra and its Application to Numerical Analysis // RAAG Memoirs. — 2. — Misc. II. — 1958. — P. 547–564. Поступила 20.04.2004 МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ Исследование нестандартных интервальных арифметических операций О.А. Жуковская Введение Определение и анализ нестандартных интервально - арифметических операций Постановка задачи Основной результат. Исследование нестандартной интервально-арифметической операции сложения Нестандартная интервально-арифметическая операция умножения Модельные примеры Выводы Рис. 1. Области, определяемые неравенствами (17) Рис. 2. Области 1–3, определяемые соответственно неравенствами (18), (22), (24)

Схожі ресурси