Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану
Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі теорії пружності для площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за складного навантаження. На цій основі знайдено залежності між коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу, мак...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2011
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/138209 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану / М.П. Саврук , А. Казберук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 52-61. — Бібліогр.: 21 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-138209 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1382092018-06-19T03:07:15Z Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану Саврук, М.П. Казберук, А. Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі теорії пружності для площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за складного навантаження. На цій основі знайдено залежності між коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу, максимальними напруженнями та їх градієнтом у вершині відповідного закругленого вирізу. Для обмежених тіл з кутовими вирізами отримані розв’язки є асимптотичними залежностями для малих радіусів закруглення їх вершин. Такі співвідношення можна використовувати в граничних переходах для знаходження КІН у вершинах гострих вирізів на основі розв’язків для відповідних закруглених концентраторів напружень. Ефективність методу проілюстровано на задачі про визначення КІН у вершинах прямокутного отвору в пружній площині. Методом сингулярных интегральных уравнений получено решение плоской задачи теории упругости для плоскости с полубесконечным угловым закругленным вырезом при сложном нагружении. На этой основе найдены зависимости между коэффициентами интенсивности напряжений (КИН) в вершине острого углового выреза, максимальными напряжениями и их градиентом в вершине соответствующего закругленного выреза. Для ограниченных тел с угловыми вырезами полученные решения являются асимптотическими зависимостями для малых радиусов закругления их вершин. Такие соотношения можно использовать в предельных переходах для определения КИН в вершинах острых вырезов на основе решений для соответствующих закругленных концентраторов напряжений. Эффективность метода проиллюстрирована на задаче об определении КИН в вершинах прямоугольного отверстия в упругой плоскости. The solution of the elastostatic problem for a plane with a semi-infinite rounded V-notch under mixed-mode loading was obtained by means of singular integral equation method. Based on this solution, the relationships between the stress intensity factor at the sharp V-notch vertex, maximum stresses and their gradients in the vertex of the corresponding rounded notch were found. For finite bodies with V-notches the resulting solutions are asymptotic dependences for small rounded radii of the vertices. The presented relationships can be used for performing the limit transition to find the stress intensity factors at the vertices of sharp Vnotches, based on the solutions for the corresponding rounded stress concentrators. The effectiveness of the method used was illustrated by the problem on determining the stress intensity factors at the vertices of a rectangular hole in the elastic plane. 2011 Article Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану / М.П. Саврук , А. Казберук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 52-61. — Бібліогр.: 21 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/138209 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі теорії пружності для площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за складного навантаження. На цій основі знайдено залежності між коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу, максимальними напруженнями та їх градієнтом у вершині відповідного закругленого вирізу. Для обмежених тіл з кутовими вирізами отримані розв’язки є асимптотичними залежностями для малих радіусів закруглення їх вершин. Такі співвідношення можна використовувати в граничних переходах для знаходження КІН у вершинах гострих вирізів на основі розв’язків для відповідних закруглених концентраторів напружень. Ефективність методу проілюстровано на задачі про визначення КІН у вершинах прямокутного отвору в пружній площині. |
| format |
Article |
| author |
Саврук, М.П. Казберук, А. |
| spellingShingle |
Саврук, М.П. Казберук, А. Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Саврук, М.П. Казберук, А. |
| author_sort |
Саврук, М.П. |
| title |
Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану |
| title_short |
Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану |
| title_full |
Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану |
| title_fullStr |
Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану |
| title_full_unstemmed |
Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану |
| title_sort |
розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/138209 |
| citation_txt |
Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного напруженого стану / М.П. Саврук , А. Казберук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 52-61. — Бібліогр.: 21 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT savrukmp rozpodílnapruženʹbílâkutovihvirízívzaskladnogonapruženogostanu AT kazberuka rozpodílnapruženʹbílâkutovihvirízívzaskladnogonapruženogostanu |
| first_indexed |
2025-07-10T05:20:50Z |
| last_indexed |
2025-07-10T05:20:50Z |
| _version_ |
1837236071961722880 |
| fulltext |
52
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2011. – ¹ 4. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
РОЗПОДІЛ НАПРУЖЕНЬ БІЛЯ КУТОВИХ ВИРІЗІВ
ЗА СКЛАДНОГО НАПРУЖЕНОГО СТАНУ
M. П. САВРУК 1,2, А. КАЗБЕРУК 2
1 Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів;
2 Білостоцька політехніка, Польща
Методом сингулярних інтегральних рівнянь отримано розв’язок плоскої задачі тео-
рії пружності для площини з напівнескінченним кутовим закругленим вирізом за
складного навантаження. На цій основі знайдено залежності між коефіцієнтами ін-
тенсивності напружень (КІН) у вершині гострого кутового вирізу, максимальними
напруженнями та їх градієнтом у вершині відповідного закругленого вирізу. Для об-
межених тіл з кутовими вирізами отримані розв’язки є асимптотичними залежностя-
ми для малих радіусів закруглення їх вершин. Такі співвідношення можна викори-
стовувати в граничних переходах для знаходження КІН у вершинах гострих вирізів
на основі розв’язків для відповідних закруглених концентраторів напружень. Ефек-
тивність методу проілюстровано на задачі про визначення КІН у вершинах прямо-
кутного отвору в пружній площині.
Ключові слова: механіка руйнування, коефіцієнт інтенсивності напружень, куто-
вий виріз, прямокутний отвір, метод сингулярних інтегральних рівнянь.
У механіці руйнування, поряд із задачами теорії тріщин, значну увагу приді-
ляють вивченню процесів деформування та руйнування твердих тіл з кутовими
вирізами. На сьогодні найбільш досліджено кутові вирізи за симетричного наван-
таження, коли максимальні напруження досягаються у вершині вирізу. Розробле-
но єдиний підхід до розв’язування такого класу задач [1–6], коли коефіцієнти ін-
тенсивності напружень (КІН) у вершині гострого вирізу знаходять на основі да-
них про концентрацію напружень у вершинах відповідних закруглених кутових
вирізів (не дуже малого радіуса кривини), які можна отримати різними методами.
Такий підхід узагальнено також на кутові вирізи за антисиметричного розподілу
напружень [7]. Тоді максимальні напруження на контурі вирізу досягаються вже
поза його вершиною, що ускладнює розв’язання задачі.
Нижче розроблено єдиний підхід до розв’язування плоских задач теорії
пружності для тіл з гострими та закругленими кутовими вирізами за складного
напруженого стану, коли у вершині гострого вирізу відмінні від нуля обидва
КІН. Побудовано залежності між КІН V
IK і V
IIK у вершині гострого кутового ви-
різу, напруженнями та їх градієнтом на межовому контурі у вершині відповідно-
го закругленого вирізу. Такі залежності для обмежених тіл мають асимптотичний
характер, коли радіус кривини у вершині вирізу прямує до нуля, що можна вико-
ристати для знаходження КІН у вершинах гострих вирізів на основі даних про
напруження та його градієнт у вершині закругленого вирізу. Ефективність такого
підходу проілюстровано на задачі про концентрацію напружень біля прямокутно-
го отвору у нескінченній пластині під дією двовісного розтягу.
Розподіл напружень біля гострого кутового вирізу. Розглянемо пружну
ізотропну площину з напівнескінченним гострим кутовим вирізом в умовах плос-
Контактна особа: М. П. САВРУК, e-mail: savruk@ipm.lviv.ua
53
кої задачі теорії пружності (плоска деформація та плоский напружений стан). У
вершині вирізу поле напружень має степеневі особливості з різними показниками
для симетричного (λІ) та антисиметричного (λІІ) розподілів напружень. Компо-
ненти тензора сингулярних напружень у полярній системі координат в околі вер-
шини вирізу можна подати у вигляді [8, 9]
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
I
II
I
II
V
I I
I I I I
I1
V
II
II II II II II II
2
V
I
I I I I
1
V
II
II II
2
2 cos 2 cos +cos cos 2
22
1 sin sin 2 2 sin 2 sin ,
2
cos 2 cos cos cos 2
2
2 sin
2
rr
K
r
K
r
K
r
K
r
λ
λ
θθ λ
λ
⎡ + λ ⎤σ = − λ α λ θ λ α − λ θ +⎢ ⎦− λπ ∆ ⎣
⎡ ⎤+ + λ λ α − λ ϑ+ + λ − λ α λ ϑ⎣ ⎦
π ∆
⎡ ⎤σ = − λ α λ θ − λ α − λ θ +⎣ ⎦
π ∆
+ λ − λ α
π ∆
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
I
II
II II II II
V
I I
I I I I
I1
V
II
II II II II II II
2
sin 2 2 sin 2 sin ,
cos 2 sin cos in 2
22
2 sin cos 2 sin 2 cos ,
2
r
K s
r
K
r
θ λ
λ
⎡ ⎤− λ θ+ − λ − λ α λ θ⎣ ⎦
⎡ λ ⎤τ = − λ α λ θ − λ α − λ θ +⎢ ⎦− λπ ∆ ⎣
⎡ ⎤+ − λ λ α − λ θ−λ − λ α λ θ⎣ ⎦
π ∆
(1)
де α = π −β ; 2 (0 2 )β ≤ β < π – кут розхилу вирізу (рис. 1a); 1 Icos(2 )∆ = − λ α −
Icos ,− λ α 2 II II II II(2 )sin sin(2 )∆ = − λ λ α − λ − λ α ; параметри I I(0 1)λ < λ ≤ і
II II(0 1)λ < λ ≤ – корені характеристичних рівнянь
I I(1 ) sin 2 sin 2(1 ) 0,− λ α + − λ α = II II(1 ) sin 2 sin 2(1 ) 0− λ α − − λ α = .
Рис. 1. Гострий (a) та закруглений (b) кутові вирізи у пружній площині.
Fig. 1. Sharp (a) and rounded (b) V-notches in an elastic plane.
Для визначення параметрів λІ та λІІ можна користуватися апроксимувальни-
ми формулами [5]
2 3 4 *
II
2 3 4 1,247cos 1,312cos 0,8532cos 0,2882co
0,5 0,3134tg 0,2479tg 0,1937tg 0,0410tg , 0
s 0 /
,
, 2,I
λ
λ ≈ β − β + β −
≈ − β − β + β − β ≤ β
β ≤ π
≤ β
β ≤
максимальна абсолютна похибка яких не перевищує 0,001. Тут β* = 0,8945
(51,2733°) – корінь рівняння tg2( )= 2( )π −β π −β , який визначає граничне значен-
ня кута β, коли напруження за антисиметричного розподілу мають особливість у
вершині вирізу.
54
Величини V
IK та V
IIK називають узагальненими КІН у вершині кутового
вирізу для симетричного та антисиметричного розподілів напружень відповідно.
Вони визначають розподіл напружень в околі вершини гострого кутового вирізу.
КІН V
IK та V
IIK можна виразити через напруження за допомогою співвідношень
( ) ( )IV
I
0
lim 2 ,0
r
K r rλ
θθ
→
⎡ ⎤= π σ⎢ ⎥⎣ ⎦
, ( ) ( )IIV
II
0
lim 2 ,0 .r
r
K r rλ
θ
→
⎡ ⎤= π τ⎢ ⎥⎣ ⎦
Зауважимо, що КІН в околі вершини вирізу також називають дещо інші
величини [10]:
I1 2V V
I I(2 )K K−λ= π , II1 2V V
II II(2 )K K−λ= π .
Сингулярному розподілу напружень (1) відповідає власний розв’язок крайо-
вої задачі для клина, який через комплексні потенціали напружень Колосова–
Мусхелішвілі [11] можна подати у вигляді [12]
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
I II
I II
V V
I II
0
I I II II
V V
I II II
0
I I II II
sin 2 sin 2( ) ,
2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 22 2
sin 2 sin 2( ) .
2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 22 2
K iKz
z z
K iKz
z z
λ λ
λ λ
α α
Φ = − +
λ − α + λ α λ α − λ απ π
λα λ α
Ψ = +
λ − α + λ α λ α − λ απ π
(2)
Співвідношення (2) дають розв’язок однорідної сингулярної задачі теорії
пружності для клина з кутом розхилу 2α > π [13] за складного напруженого ста-
ну. Вони служать асимптотикою на нескінченності розв’язків різних однорідних
сингулярних крайових задач для клиноподібних областей.
Кутовий закруглений виріз. Розглянемо напівнескінченний кутовий за-
круглений виріз у пружній ізотропній площині (рис. 1b). Вважатимемо, що межа
пружної області вільна від навантаження, а на нескінченності поле напружень
має асимптотику (1), тобто описується комплексними потенціалами (2). Цю зада-
чу можна інтерпретувати також в дещо інший спосіб. У пружному клині, напру-
жено-деформований стан якого описують комплексні потенціали (2), зроблений
розріз вздовж контуру L (рис. 1a). Треба знайти збурений напружений стан у
пружній площині (або клині), послабленій кутовим закругленим вирізом з межо-
вим контуром L. Оскільки пружна область симетрична відносно осі Ox, то задачу
можна розбити на дві: симетричну [1] та антисиметричну [7]. Їх розв’язки знай-
дено методом сингулярних інтегральних рівнянь [14] для контуру вирізу, рівнян-
ня якого в параметричній формі можна подати у вигляді
( ), 1 1t ω ξ −= < ξ <ρ ,
де ρ – радіус кривини у вершині вирізу; t x iy L= + ∈ .
Числові результати отримано для кутового закругленого вирізу (гладкий
контур L складається з двох променів і дуги кола радіуса ρ у вершині), коли
sin( ), ,
( )
si
1/ 1
1, ( 2 )
n( )1 ,
,
,/ 1
B
i
B B
B
e ξα
ξα −β ξ < −ξ
ω ξ = ξ ≤ ξ ≤ ξ
ξα +β ξ < ξ <
− − <⎧
⎪ − = π −β α⎨
⎪
⎩
та гіперболічного контуру [12]:
cos( ) 1.
cos cos
, 1ie− ξα α
ω ξ = ξ <
α − ξ
− <
α
Тангенціальні нормальні напруження на контурі вирізу L можна подати у
вигляді
55
V
I
V
II
II
I I
I
I
( ) ( , ) ( , )
(2 ) (2 )
s
KR RK
λ λσ θ = θ β + θ β
π π
, (3)
де I I I( , ) ( , ) ( )R R Rθ β = −θ β = θ (рис. 2a, b) і II II II( , ) ( , ) ( )R R Rθ β = − −θ β = θ (рис. 2c, d)
– безрозмірні напруження за симетричного та антисиметричного розподілів від-
повідно. З подання (3) випливає твердження, що КІН V
IK та V
IIK визначають
розподіл напружень у пружному тілі, послабленому відповідним гладким криво-
лінійним вирізом для малих відносних радіусів закруглення його вершини.
Порівнюючи наведені дані для кутового закругленого та гіперболічного ви-
різів для таких самих радіусів кривини ρ у вершині та однакових кутів розхилу
2β, можна зробити висновок про значну різницю між ними за антисиметричного
розподілу. Екстремальні значення напружень в обох випадках (рис. 2c, d) відріз-
няються більше ніж у два рази. За симетричного навантаження (рис. 2a, b) від-
носна різниця максимальних напружень у вершинах вирізів не перевищує 15%.
Зазначимо, що наведений розв’язок для гіперболічного вирізу добре узгоджуєть-
ся з відомими даними [12], отриманими методом інтегральних рівнянь Шермана–
Лаурічелли [11].
Рис. 2. Розподіл безрозмірних напружень RI(θ) (a, b) та RII(θ) (с, d) вздовж контуру L
для кутового закругленого (a, c) і гіперболічного (b, d) вирізів.
Fig. 2. Distribution of dimensionless stresses, RI(θ), (a, b) and, RII(θ), (с, d) along contour L
for a rounded V-notch (a, c) and a hyperbolic notch (b, d).
Таким чином, форма контуру вирізу в околі його вершини значно впливає на
розподіл напружень. Тому актуально вивчити концентрацію напружень біля ку-
тових закруглених вирізів як найбільш реальних (клин з прямолінійними гранями
закруглений у вершині дугою кола). Переваги такого підходу очевидні, коли
отримані результати використовують як асимптотичні розв’язки для малих від-
носних радіусів закруглення вершини кутового вирізу в обмежених тілах.
Надалі обмежимося розглядом закругленого кутового вирізу. Наведемо
апроксимувальні формули для безрозмірних напружень I ( )R θ та II ( )R θ на про-
56
міжку 0 ∗≤ θ ≤ θ , на якому напруження ( )sσ θ набуває максимального значення
за складного напруженого стану ( V V
I II0, 0K K≠ ≠ ):
I I I I II II II
4
I
2
I
3 5( ) ( ), , 0a b c R a bR c ∗θ = + θ + θ θ = θ + θ θ ≤ θ ≤ θ+ . (4)
Тут ∗θ – кут, в якому напруження ( )sσ θ досягають екстремального значення,
коли V
I 0K = . Коефіцієнти aI,II, bI,II, cI,II можна подати в аналітичній формі, вико-
ристовуючи значення безрозмірних напружень I ( )R θ і II ( )R θ та їх похідних у
вершині вирізу ( 0θ = ) та в точці ∗θ = θ :
2
I I I I I I
I I I I
I I I I I I
II II II II
II II II II
II II
4
3
II II II0
5
,
(0), ( ), ( ) ;
,
(
4 4 2 2, ,
2 2
5 4 3 2, ,
2
) , (
2
).
R R R R R Ra R b c
R R R R R R
R R R Ra R b c
R R R R
d d
d Rd
∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗
θ
∗ ∗ ∗ ∗
∗
θ=
=
∗ ∗
θ
∗
′ ′− + − θ − +
= = = θ
θ
= = =
θ θ
′θ
′ ′− θ − + θ′= = =
θ θ
θ
θ θ =′ θ= =
(5)
Для вжитих тут параметрів запишемо апроксимувальні формули
I
I
I
II I
2 3 5
2 5
2
I
5
II
2,081 exp(0,445 ),
2,993 0,1810 0,3694 0,08291 ,
1,668 0,7049 0,3286 0,09378
2,004 0,297 0,7830 0
,
, 0,3101 ;
4,467 0,875exp(1,137 ),
5,234exp(0,137 ) 0,051exp
R
R
R
R R
R
∗
∗
∗
∗
θ = − β
= + β − β − β
= + β − β − β
′ = − − β − β − β β ≤ π
= = − β
′ = β −
≤
(3,114 ), ,0 ∗β ≤ β ≤ β
(6)
відносна похибка яких не перевищує 0,5%.
Положення точок maxθ (рис. 3a), де досягаються максимальні напруження
max( ) ( )sR γ = σ θ (рис. 3b), залежать від параметра I II V V
II IK Kλ −λγ = ρ . На основі
залежності (3) для кута maxθ отримуємо наближену формулу
[ ]{ }max 1 th 0,5822ln(( ) ) 2, 00,6222∗θ γ = θ γ ++ ≤ γ < ∞ . (7)
Відповідні максимальні значення тангенціальних напружень на контурі ви-
різу знайдемо за формулою (3), поклавши maxθ = θ .
Отримані розв’язки сингулярної крайової задачі для напівнескінченного за-
кругленого кутового вирізу можна використовувати як асимптотичні залежності
для обмежених тіл з кутовими вирізами-отворами, коли відносні радіуси закруг-
лення їх вершин є малі. Знаючи КІН V
IK та V
IIK , за співвідношеннями (3)–(7)
легко дослідити концентрацію напружень в околі вершини вирізу малого радіуса
кривини якраз тоді, коли знайти числовий розв’язок надто складно. З іншого
боку, побудовані залежності можна також використати для знаходження КІН у
гострих вершинах кутових вирізів на основі розв’язків для відповідних закругле-
них вирізів за допомогою граничних переходів:
I IIV V
I II
0 0I II 0
( )1 1lim (2 ) (0)], lim (2 )[
'
s
s
dK K
R dR
λ λ
ρ→ ρ→ θ=
σ θ
= πρ σ = πρ
θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
. (8)
57
Рис. 3. Залежності кута θmax (a) і відносного максимального напруження R(γ)/RI (b)
від параметра γ для різних кутів розхилу 2β.
Fig. 3. Dependences of angle θmax (a) and relative maximal stress, R(γ)/RI (b),
on parameter γ for different vertex angles, 2β.
Застосування цього підходу проілюструємо на задачі про прямокутний отвір
у пружній площині.
Прямокутний отвір у пружній площині. Розглянемо задачу про напруже-
ний стан пружної площини, послабленої прямокутним отвором із закругленими
вершинами. Вважатимемо, що край отвору (контур L) вільний від навантаження,
а на нескінченності задано розтягувальні напруження y p∞σ = і x q∞σ = (рис. 4).
Задачу розв’язуватимемо ме-
тодом суперпозиції. Запишемо
комплексні потенціали напру-
жень Колосова–Мусхелішвілі у
вигляді
0( ) ( ) ( ),z z z∗Φ = Φ +Φ
0( ) ( ) ( ),z z z∗Ψ = Ψ + Ψ
де потенціали
0( ) = ( ) 4,z p qΦ +
0( ) = ( ) 2z p qΨ −
описують однорідне поле напру-
жень у суцільній площині, а
функції ( )z∗Φ і ( )z∗Ψ визнача-
ють збурений напружений стан, викликаний отвором. Ці функції візьмемо у
вигляді [14]
2
1 ( ) 1 ( ) ( )( ) , ( ) .
2 2 ( )L L
g t g t tg tz dt z dt dt
t z t z t z∗ ∗
⎡ ⎤′ ′ ′
Φ = Ψ = −⎢ ⎥π − π − −⎣ ⎦
∫ ∫
Задовольнивши для цих потенціалів крайову умову
0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,n ns
dtp t t t t t t t Li
dt
∗ ∗ ⎧ ⎫
⎡ ⎤′= = − Φ +Φ + Φ +Ψ ∈⎨ ⎬+ ⎦
⎭
τ ⎣
⎩
σ ,
прийдемо до сингулярного інтегрального рівняння
1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ),
L
K t t g t dt L t t g t dt p t t L⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′+ = ∈⎣ ⎦π ∫ , (9)
ядра якого виражають залежності
Рис. 4. Прямокутний отвір із закругленими
вершинами у пружній площині.
Fig. 4. A rectangular hole with rounded vertexes
in an elastic plane.
58
2
2 2
1 1 1 1( , ) ,
2 ( )
1 1( , ) .
2 ( ) ( )
dt t dsK t t
t t dt t t l dtt
dt t t tL t t
t t dt t t t
⎧ ⎫⎡ ⎤′ ′⎪ ⎪′ = + − +⎨ ⎬⎢ ⎥′ ′ ′ ′− − ′⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
⎧ ⎫⎡ ⎤′ ′−⎪ ⎪′ = − −⎨ ⎬⎢ ⎥′ ′− ′ ′−⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
(10)
У формулах (10) додано регуляризаційні доданки [14]
2 2
1 1 1,
2 2( ) ( )
dt t ds dt t
dt l dt dtt t
′ ′ ′
− + +
′ ′ ′′ ′
(s′ – дугова абсциса точки t′ на контурі L, l – довільний параметр розмірності
довжини), які забезпечують існування єдиного розв’язку інтегрального рівняння
(9) для довільної правої частини.
Запишемо параметричне рівняння контуру L у вигляді
( ), 0 2t l= ω ξ ≤ ξ < π .
Уважатимемо, що 2a і 2b – проекції отвору на осі Ox і Oy, а ρ – радіус
закруглення його вершин. У вершині отвору введемо локальну полярну систему
координат з полюсом у точці O′ та полярною віссю вздовж діагоналі кутової вер-
шини (рис. 4). За основний параметр довжини приймемо l = b. Запишемо функ-
цію ( )ω ξ у четвертій чверті системи координат Oxy:
[ ]
, 0 ,
( ) ( ) cos (1 ) sin , ,
( ) ( ) , / 2,
A
A C
C C
ic
i
c i
γ − ξ ≤ ξ ≤ ξ⎧
⎪ω ξ = γ − ε + ε ϕ − − ε + ε ϕ ξ ≤ ξ ≤ ξ⎨
⎪ γ − ε − ξ − ξ − ξ ≤ ξ ≤ π⎩
де ( 0 1)l bε = ρ = ρ < ε ≤ – відносний радіус закруглення вершин; (1 ) ,A cξ = − ε
(4 ) , (2 )CB A Ac cξ = ξ + πε ξ = ξ + πε – координати точок A, B і C (рис. 4); /a bγ =
( ε ≤ γ < ∞ ); ( ) /Acϕ = ξ − ξ ε , 2[(1 ) ( ) ]c = ε + − ε + γ − ε ε π .
Зробивши заміну змінних ( )t l= ω ξ ( 0 2≤ ξ ≤ π ), ( )t l′ = ω η ( 0 2≤ η≤ π ), при-
йдемо до канонічного вигляду інтегрального рівняння:
2
0
1 [ ( , ) ( ) ( , ) ( )] ( ), 0 2 ,M u N u d p
π
ξ η ξ + ξ η ξ ξ = η ≤ η≤ π
π ∫ (11)
де ( , ) ( ( ), ( )) ( ), ( , ) ( ( ), ( )) ( )l l lNl l lM K L′ ′ξ η = ω ξ ω η ω ξ ξ η = ω ξ ω η ω ξ ; ( ) ( ( ))lu g′ξ = ω ξ ,
( ) ( ( ))p p lη = ω η .
Шукану 2π-періодичну неперервну функцію ( )u ξ знайдемо, розв’язавши
методом квадратур сингулярне інтегральне рівняння (11) [6, 14]. Нормальне на-
пруження на контурі отвору ( )sσ ξ (за відсутності навантаження на ньому) визна-
чимо безпосередньо через функцію ( )u ξ [15]:
( = 4 Im[ ( ) ( )])s uξ ξ ′ω ξσ − .
Знайшовши напруження ( )sσ ξ для малих радіусів кривини у вершинах от-
вору, за допомогою граничного переходу на підставі залежностей (8) отримаємо
КІН у гострих вершинах прямокутного отвору. Безрозмірні КІН наведено на
рис. 5 для трьох видів зовнішнього навантаження. У разі квадратного отвору
(a = b) і всебічного розтягу (p = q) обчислені результати добре узгоджуються з
раніше опублікованими [16, 17].
Маючи КІН у гострих вершинах отвору, за формулами (7) і (3) для отвору із
закругленими вершинами малого відносного радіуса bε = ρ легко знайти кут
maxθ , за якого напруження ( )sσ ξ досягає максимального значення maxσ . За од-
59
новісного розтягу (q = 0) для трьох значень відношення сторін прямокутника a/b
у проміжку 0,001 1≤ ε ≤ обчислено кути maxθ та відносні максимальні напру-
ження max pσ (рис. 6, суцільні лінії) і порівняно їх з асимптотичними значення-
ми, знайденими за формулами (7) і (3) (штрихові лінії). У діапазоні 0 0,1< ε ≤ об-
числені та асимптотичні результати практично збігаються. Їх відносна різниця не
перевищує 0,3%.
Рис. 5. Залежності безрозмірних КІН у вершинах прямокутного отвору
від відношення його сторін a/b.
Fig. 5. Dependences of dimensionless stress intensity factors at vertexes
of a rectangular hole on its sides ratio a/b.
Рис. 6. Порівняння обчислених (суцільні криві) і асимптотичних (штрихові) значень
кута θmax (a) та відносних максимальних напружень σmax /p (b)
на контурі прямокутного отвору із закругленими вершинами.
Fig. 6. Comparison of calculated (solid curves) and asymptotic (dashed-line curves) values
of angle θmax (a) and relative maximal stresses, σmax /p, (b) on the contour
of a rectangular hole with rounded vertexes.
Треба зазначити, що задачу про концентрацію напружень біля прямокутного
отвору вже раніше розглядали методом конформних відображень багато дослід-
ників [18, 19]. Проте такий підхід не дає змоги [2] розв’язати задачу для малих
радіусів закруглення вершин отворів та зробити граничний перехід до отвору з
гострими вершинами. Для її розв’язання також застосовували [20] метод інте-
гральних рівнянь, однак у вершині отвору враховували лише одну особливість
вищого порядку.
Для одновісного розтягу ( , 0)y xp∞ ∞σ = σ = розширимо діапазон зміни відно-
шення сторін a/b, щоб отримати безрозмірні КІН I1 2V V
I I ( ) ,F K b p a−λ= π
II1 2V V
II II ( )F K b p a−λ= π (рис. 7) для видовженого прямокутного отвору. Зі
збільшенням цього відношення прямокутний отвір наближається до фізичної щі-
60
лини зі скінченною шириною 2b, а величини V
IF і V
IIF асимптотично прямують
до певних граничних значень. У результаті отримуємо розв’язок сингулярної
крайової задачі для напівнескінченного прямокутного вирізу:
I II1 2 1 2V V
I I 11 I 11I 2I 1 12 0,73, 0,39,, , K K F b K K F b F Fλ − λ −= = == (12)
де KI – КІН для відповідної тріщини (b = 0).
Рис. 7. Безрозмірні КІН V
IF (a) і V
IIF (b) у вершинах вузького прямокутного отвору.
Fig. 7. Dimensionless stress intensity factors, V
IF , (a) and, V
IIF , (b)
at vertexes of a narrow rectangular hole.
Розв’язок (12) дає загальний зв’язок між КІН у вершинах вузького прямокут-
ного вирізу (отвору) та КІН KI для відповідної тріщини. Зазначимо, що спробу
розв’язати цю задачу методом конформних відображень зроблено раніше [21],
однак залежностей типу (12) не вдалося отримати.
ВИСНОВКИ
Розроблено єдиний підхід до проблеми концентрації напружень біля гострих
та закруглених кутових вирізів у пружних тілах за складного напруженого стану.
Запропоновано залежності (у вигляді аналітичних апроксимувальних формул),
які дають змогу оцінити розподіл напружень на контурі отвору, коли відомі КІН
для симетричного та антисиметричного напружених станів. Ці залежності можна
інтерпретувати як асимптотичні розв’язки для скінченних тіл з вирізами малого
радіуса закруглення. Як ілюстрацію можливостей підходу наведено приклад об-
числення КІН у вершинах прямокутного отвору в розтягненій пружній площині.
У граничному випадку знайдено розв’язок сингулярної крайової задачі для напів-
нескінченного прямокутного вирізу.
РЕЗЮМЕ. Методом сингулярных интегральных уравнений получено решение плос-
кой задачи теории упругости для плоскости с полубесконечным угловым закругленным
вырезом при сложном нагружении. На этой основе найдены зависимости между коэффи-
циентами интенсивности напряжений (КИН) в вершине острого углового выреза, макси-
мальными напряжениями и их градиентом в вершине соответствующего закругленного
выреза. Для ограниченных тел с угловыми вырезами полученные решения являются
асимптотическими зависимостями для малых радиусов закругления их вершин. Такие со-
отношения можно использовать в предельных переходах для определения КИН в верши-
нах острых вырезов на основе решений для соответствующих закругленных концентрато-
ров напряжений. Эффективность метода проиллюстрирована на задаче об определении
КИН в вершинах прямоугольного отверстия в упругой плоскости.
SUMMARY. The solution of the elastostatic problem for a plane with a semi-infinite roun-
ded V-notch under mixed-mode loading was obtained by means of singular integral equation
method. Based on this solution, the relationships between the stress intensity factor at the sharp
V-notch vertex, maximum stresses and their gradients in the vertex of the corresponding roun-
61
ded notch were found. For finite bodies with V-notches the resulting solutions are asymptotic
dependences for small rounded radii of the vertices. The presented relationships can be used for
performing the limit transition to find the stress intensity factors at the vertices of sharp V-
notches, based on the solutions for the corresponding rounded stress concentrators. The
effectiveness of the method used was illustrated by the problem on determining the stress
intensity factors at the vertices of a rectangular hole in the elastic plane.
1. Саврук М. П., Казберук А. Зв’язок між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації
напружень для гострих і закруглених кутових вирізів // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2006. – 42, № 6. – С. 17–26.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Relationship between the stress intensity and stress concen-
tration factors for sharp and rounded notches // Mater. Sci. – 2006. – 42, № 6. – P. 725–738.)
2. Саврук М. П., Казберук А. Единый подход к решению задач о концентрации напряже-
ний около острых и закругленных угловых вырезов // Прикл. механика. – 2007. – 43,
№ 2. – С. 70–87.
3. Саврук М. П., Казберук А. Плоска періодична крайова задача теорії пружності для півпло-
щини з криволінійним краєм // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2008. – 44, № 4. – С. 5–12.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Plane periodic boundary-value problem of elasticity theory
for a half-plane with curvilinear edge // Mater. Sci. – 2008. – 44, № 4. – P. 461–470.)
4. Саврук М. П., Казберук А. Напруження у пружній площині з періодичною системою
близько розміщених отворів // Там же. – 2009. – 45, № 6. – С. 70–81.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Stresses in an elastic plane with periodic system of closely
located holes // Mater. Sci. – 2009. – 45, № 6. – P. 831–844.)
5. Savruk M. P. and Kazberuk A. Two-dimensional fracture mechanics problems for solids with
sharp and rounded V-notches // Int. J. Fract. – 2010. – 161, № 1. – P. 79–95.
6. Kazberuk A. Dwuwymiarowe zagadnienia mechaniki pękania ciał z karbami. – Białystok:
Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockej, 2010. – 242 s.
7. Саврук М. П., Казберук А. Антисиметричний розподіл напружень у пружному тілі з
гострим та закругленим кутовим вирізом // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2010. – 46,
№ 6. – С. 5–15.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Antisymmetric stress distribution in an elastic body with a
sharp or a rounded V-shaped notch // Mater. Sci. – 2010. – 46, № 6. – P. 711–722.)
8. Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular
corners of plates in extension // J. Appl. Mech. – 1952. – 19, № 4. – P. 526–530.
9. Seweryn A. and Molski K. Elastic stress singularities and corresponding generalized stress
intensity factors for angular corners under various boundary conditions // Eng. Fract. Mech.
– 1996. – 55, № 4. – P. 529–556.
10. Gross B. and Mendelson A. Plane elastostatic analysis of V-notched plates // Int. J. Fract.
Mech. – 1972. – 8, № 3. – P. 267–276.
11. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.
– М.: Наука, 1966. – 708 с.
12. Benthem J. P. Stresses in the region of rounded corners // Int. J. Solids Struct. – 1987. – 23,
№ 2. – P. 239–252.
13. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.
14. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка,
1981. – 324 с.
15. Саврук М. П., Осив П. Н., Прокопчук И. В. Численный анализ в плоских задачах тео-
рии трещин. – К.: Наук. думка, 1989. – 248 с.
16. Noda N. A., Oda K., and Inoue T. Analysis of newly-defined stress intensity factors for
angular corners using singular integral equations of the body force method // Int. J. Fract.
– 1996. – 76. – P. 243–261.
17. Кравець В. С. Дослідження напруженого стану нескінченної пластини з квадратним
отвором // Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій.
– Львів: Каменяр, 2002. – 5. – С. 95–105.
18. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. – К.: Наук. думка, 1968. – 888 с.
19. Pilkey W. D. and Pilkey D. F. Peterson’s Stress Concentration Factors. – New York: Wiley,
2008. – 569 p.
20. Gecit M. R. An integral equation approach for simultaneous solution of rectangular hole and
rectangular block problems // Int. J. Eng. Sci. – 1983. – 21, № 9. – P. 1041–1051.
21. Кулиев В. Д. Сингулярная задача теории упругости для полубесконечного прямоуголь-
ного выреза // Прикл. математика и механика. – 1980. – 44, № 5. – С. 952–957.
Одержано 25.07.2011
|