Ковзний контакт штампа з пружним клином
Розглянуто задачу про контактну взаємодію штампа з прямолінійною основою та пружного клина, одна з граней якого закріплена. Враховано сили тертя в області контакту. Методом Вінера–Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Наведено результати обчислень контактних напружень та переміщень точок неза...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/138213 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Ковзний контакт штампа з пружним клином / Острик В.І., Щокотова О.М. // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 82-91. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-138213 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1382132018-06-19T03:07:07Z Ковзний контакт штампа з пружним клином Острик, В.І. Щокотова, О.М. Розглянуто задачу про контактну взаємодію штампа з прямолінійною основою та пружного клина, одна з граней якого закріплена. Враховано сили тертя в області контакту. Методом Вінера–Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Наведено результати обчислень контактних напружень та переміщень точок незакріпленої грані клина. Рассмотрена задача о контактном взаимодействии штампа с прямолинейным основанием и упругого клина, одна грань которого жестко закреплена. Учтены силы трения в области контакта. Методом Винера–Гопфа получено аналитическое решение задачи. Приведены результаты вычислений контактных напряжений и перемещений точек незакрепленной грани клина. The problem of contact interaction of a punch with a rectilinear base and an elastic wedge with one rigid side is considered. Friction forces in the contact region are taken into account. With the use of the Wiener–Hopf method, the analytical solution of the problem was received. The computational results of contact stresses and displacements at the free side of the wedge are presented. 2011 Article Ковзний контакт штампа з пружним клином / Острик В.І., Щокотова О.М. // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 82-91. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/138213 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто задачу про контактну взаємодію штампа з прямолінійною основою та пружного клина, одна з граней якого закріплена. Враховано сили тертя в області контакту. Методом Вінера–Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Наведено результати обчислень контактних напружень та переміщень точок незакріпленої грані клина. |
| format |
Article |
| author |
Острик, В.І. Щокотова, О.М. |
| spellingShingle |
Острик, В.І. Щокотова, О.М. Ковзний контакт штампа з пружним клином Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Острик, В.І. Щокотова, О.М. |
| author_sort |
Острик, В.І. |
| title |
Ковзний контакт штампа з пружним клином |
| title_short |
Ковзний контакт штампа з пружним клином |
| title_full |
Ковзний контакт штампа з пружним клином |
| title_fullStr |
Ковзний контакт штампа з пружним клином |
| title_full_unstemmed |
Ковзний контакт штампа з пружним клином |
| title_sort |
ковзний контакт штампа з пружним клином |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/138213 |
| citation_txt |
Ковзний контакт штампа з пружним клином / Острик В.І., Щокотова О.М. // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 82-91. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT ostrikví kovznijkontaktštampazpružnimklinom AT ŝokotovaom kovznijkontaktštampazpružnimklinom |
| first_indexed |
2025-07-10T05:21:22Z |
| last_indexed |
2025-07-10T05:21:22Z |
| _version_ |
1837236103982088192 |
| fulltext |
82
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2011. – ¹ 4. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
КОВЗНИЙ КОНТАКТ ШТАМПА З ПРУЖНИМ КЛИНОМ
В. І. ОСТРИК, О. М. ЩОКОТОВА
Інститут прикладної фізики НАН України, Суми
Розглянуто задачу про контактну взаємодію штампа з прямолінійною основою та
пружного клина, одна з граней якого закріплена. Враховано сили тертя в області
контакту. Методом Вінера–Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Наведено
результати обчислень контактних напружень та переміщень точок незакріпленої
грані клина.
Ключові слова: ковзний контакт, штамп, пружний клин, напруження, переміщення.
Задачі про взаємодію штампів з пружним клином за гладкого контакту ви-
вчали раніше [1–10]. Наближені розв’язки знайдені асимптотичним методом [1–
5], методом колокацій [6] і ортогональних поліномів [7, 8]. Контактні задачі для
пружної чвертьплощини зведені до систем інтегральних рівнянь [9, 10].
Нижче розглянуто ковзний контакт штампа з прямолінійною основою та
пружного клина, одна з граней якого жорстко закріплена. Із застосуванням мето-
ду Вінера–Гопфа знайдено аналітичний розв’язок задачі. Отримано розподіл кон-
тактних напружень та переміщення точок верхньої грані клина.
Постава задачі. Розглянемо кон-
тактну взаємодію штампа з прямолі-
нійною основою та пружного клина
0 r≤ < ∞ , 0 ≤ ϑ ≤ α в умовах плоскої
деформації (рис. 1). Нижня грань 0ϑ =
клина жорстко закріплена. Під дією
нормальної P та дотичної 0Pµ сил
( 0µ – коефіцієнт тертя між клином
та основою штампа; при 0 0µ >
штамп рухається у напрямку від вер-
шини клина, при 0 0µ < – до верши-
ни, якщо 0 0µ = , маємо гладкий контакт), лінії дії яких проходять через середину
основи штампа, а також моменту М штамп втискується у внутрішню частину
1l r l≤ ≤ верхньої грані ϑ = α клина. Тут є повне проковзування вздовж усієї ді-
лянки контакту 1l r l≤ ≤ , на якій нормальні та дотичні напруження зв’язані за-
коном тертя Амонтона (Кулона). Внаслідок деформації клина основа штампа
повертається на деякий кут ε та зміщується на відстань b .
Мішані крайові умови на гранях клина запишемо так:
( )0 1, ,ru b r l r lϑ ϑ ϑϑ=α ϑ=α ϑ=α= − ε τ = −µ σ ≤ ≤
( )10, 0 0 , ,r r l l rϑ ϑϑ=α ϑ=ασ = τ = ≤ < < < ∞
Контактна особа: В. І. ОСТРИК, e-mail: ostrik_v@rambler.ru
Рис. 1. Ковзний контакт штампа
з пружним клином.
Fig. 1. Slipping contact of a punch
with an elastic wedge.
83
0 00, 0 (0 ).ru u rϑϑ= ϑ== = ≤ < ∞ (1)
Невідомі зміщення b та кут повороту штампа ε визначимо з умов рівноваги
штампа:
1 1
1, .
2
l l
l l
l l
dr P r dr M Pϑ ϑϑ=α ϑ=α
+
σ = − σ = −∫ ∫ (2)
Інтегральне рівняння. Введемо невідому функцію нормальних контактних
напружень (G – модуль зсуву):
1
1( ) ( ).
2
g r l r l
G ϑ ϑ=α= σ < < (3)
Її перетворення Мелліна, з урахуванням третьої крайової умови (1), має вигляд
1
( ) ( ) .
l
s
l
a s g y y dy= ∫ (4)
Тоді переміщення та напруження на грані ϑ = α подамо у вигляді інтегралів Рі-
мана–Мелліна з невідомою густиною ( )a s :
*
1 1
1 1( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ,
2
c i c i
s s
r
c i c i
u M s a s r ds u M s a s r ds c
i i
+ ∞ + ∞
− −
ϑ ϑ=αϑ=α
− ∞ − ∞
= = −δ < < δ
π π∫ ∫
1
0
11 1 ( ) ,2 22
c i
sr
c i
a s r dsG iG
+ ∞
− −ϑ
ϑ ϑ=α
ϑ=α − ∞
τ
σ = − =
πµ ∫
*
*( ) ( )( ) 2( 1) , ( ) ( 1) ,
( ) ( )
s sM s m M s m
s s s s
λ λ
= − = −
∆ ∆
2 2
0
(3 4)( 2)λ( ) (3 4)sin 2 α sin 2α sin α 2 sin α ,
1 1
m m mss m s ms s ms
m m
⎡ ⎤− − ⎛ ⎞= − − + µ − −⎢ ⎥⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎣ ⎦
[ ]* 2 2
0
(3 4)( 2)λ ( ) sin α 2 sin α (3 4)sin 2 α sin 2α ,
1 1
m m mss s ms m s ms
m m
− − ⎛ ⎞= − + −µ − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2 2 2 2( ) (3 4) (cos 2 1) 2 sin 8( 1) ,s m m s m s m∆ = − α − − α + − (5)
де 1δ – найменший корінь рівняння ( ) 0s∆ = із півплощини Re 0s > ; m – число
Пуассона ( 1/m = ν , ν – коефіцієнт Пуассона).
Розв’язок (5) задовольняє всі крайові умови (1), окрім першої. Підставимо в
цю умову вираз для колових переміщень із співвідношень (5) з урахуванням фор-
мул (3), (4). Після заміни змінних
, r le y le−ξ −η= = (6)
для нової невідомої функції
( ) ( )g le e−η −ηϕ η = (7)
отримаємо інтегральне рівняння з різницевим ядром на скінченному інтервалі:
1
0
( ) ( ) ( ) (0 ), ln( / ) ,
a
k d f a a l lξ − η ϕ η η = ξ < ξ < =∫ (8)
( )1 ( ) 1( ) ( ) , ( ) , ( ) .
2 ( ) 2( 1)
i iz bk K e d K z f e
iz iz m l
∞
− τ ξ−η −ξ
−∞
λ − ⎛ ⎞ξ − η = τ τ = ξ = − ε⎜ ⎟π − ∆ − − ⎝ ⎠
∫
84
Полюси мероморфної функції ( )K z є поза смугою 1Im z < δ , тому контур інте-
грування для ядра ( )k ξ − η зміщено на дійсну вісь.
Розв’язання інтегрального рівняння. Знайдемо розв’язок інтегрального
рівняння (8), звівши його до нескінченної системи алгебричних рівнянь за відо-
мим підходом [11].
Поклавши ( ) 0ϕ ξ = для 0ξ < , aξ > , розповсюдимо інтегральне рівняння (8)
на всю числову вісь і, застосувавши до нього інтегральне перетворення Фур’є, а
також теорему про згортку, отримаємо систему функціональних рівнянь Вінера–
Гопфа [12]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),izaK z z e z z F z+ + − +Φ + Ψ −Ψ =
( ) ( ) ( Im )izaz e z c z c+ − + −Φ = Φ < < (9)
з правою частиною
( 1)
0
1 1 11( ) ( ) ,
2 2 2 ( 1)
a a iz iza
iz e b eF z f e d iA A
z i l z m
−
+ ξ ⎛ ⎞− −
= ξ ξ = ε − =⎜ ⎟⎜ ⎟+π π −⎝ ⎠
∫ (10)
відносно невідомих функцій комплексної змінної
0
0
1 1( ) ( ) , ( ) ( ) ,
2 2
a
iz iz
a
z e d z a e d+ ξ − ξ
−
Φ = ϕ ξ ξ Φ = ϕ ξ + ξ
π π∫ ∫ (11)
0
0 0
1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )
2 2
a aiza
iz iz
a
ez e d k d z e d k d
∞−
+ ξ − ξ
−∞
Ψ = − ξ ξ − η ϕ η η Ψ = ξ ξ − η ϕ η η
π π∫ ∫ ∫ ∫ ,
аналітичних відповідно у півплощинах Im z c+> і Im z c−< ( 0, 0)c c+ −< > .
Для розв’язання системи рівнянь (9) факторизуємо її коефіцієнт
( ) ( ) ( ),K z K z K z+ −= (12)
де ( )K z+ і ( )K z− – функції, які аналітичні та не перетворюються в нуль у пів-
площинах Im z c+> і Im z c−< відповідно, у вигляді нескінченних добутків [13]:
1 1
1 1
( ) (0) 1 1 , ( ) 1 1 ,
n n n nn n
z z z zK z K K z
is i is i
− −∞ ∞
+ −
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
= − + = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ δ δ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∏ ∏ (13)
де ns і ns′ – корені рівняння ( ) 0sλ = із півплощин Re 0s > та Re 0s < ; nδ –
корені рівняння ( ) 0s∆ = із півплощини Re 0s > ( 1, 2, ...)n = .
З урахуванням рівностей (10), (12) перепишемо систему функціональних
рівнянь (9) у вигляді
( )( ) ( )
( )
iza ae e b iAbK z z z iA
z i lz lzK z
−
+ + +
−
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ε⎪ ⎪Φ + Ψ − − − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟+⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
( ) ,
( ) (z)
z iA b iAb
z i lz lzK z K
−
− −
⎧ ⎫Ψ ε⎪ ⎪⎛ ⎞= − − +⎨ ⎬⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
( )
( )
0(z) ( )
a ziA e b iAb
z i lz lK zK K z
+−
+ +
⎛ ⎞ Ψε
− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
85
( ) ( ) ( ) .
(0)( )
izae b iAbK z z z iA
z i lz lK zK z
−
− − −
+
⎧ ⎫⎡ ⎤ε⎪ ⎛ ⎞= Φ − Ψ − − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎭⎪⎩
(14)
Обидві частини кожного з рівнянь (14) аналітичні у смузі Imc z c+ −< < вна-
слідок знищення полюса у точці 0z = шляхом введення в них додаткових додан-
ків ( )iAb lz , ( (0) )iAb lK z . Окрім виразів, відокремлених фігурними дужками,
ліві частини рівнянь (14) є функції, аналітичні у верхній півплощині, а праві – у
нижній. Подамо ці вирази як різницю функцій, аналітичних у півплощинах
Im z c+> , Im z c−< :
( ) 1 1( ) ( ),
( )
iza ae e b iAbz iA z z
z i lz lzK z
−
+ + −
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ε
Ψ − − − = χ − χ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
2 2( ) ( ) ( ),
(0)( )
izae b iAbz iA z z
z i lz lK zK z
−
− + −
+
⎡ ⎤ε⎛ ⎞Ψ − − − = χ − χ⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎣ ⎦
1 1( ) ( ).
( )
iA b iAb f z f z
z i lz lzK z
+ −
−
ε⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟+⎝ ⎠
(15)
Перетворюючи відповідні інтеграли типу Коші в ряди за лишками підінтеграль-
ної функції, одержуємо:
( ) ( )1
1
,
1
ks a a
k
k
k k kk
e e bz is A
s iz s ls
−+ −∞
− +
=
⎡ ⎤⎛ ⎞α ε
χ = Ψ − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
2
1
( ) ( ) ,
1( )(1 )
ks aa
k
k
k k kk
eAe bz is A
s iz s lsK i iz
′−− ∞
+ −
+
=
⎡ ⎤⎛ ⎞αε ε′χ = − − Ψ − −⎢ ⎥⎜ ⎟′ ′ ′+ +− − ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
( ) ( )
1
( ) ( )
( ) , , .
( ) ( )( )(1 )
k k k k k k
k k
k k
s s K is s s K isAf z
s sK i iz
+ −
+ + −
−
′ ′ ′∆ ∆ε
= α = α =
′ ′ ′λ λ− −
(16)
Ліва частина другого рівняння (14) аналітична у півплощині Im z c+> :
2
( ) ( )( ) .
(0)( ) ( ) ( )
aA i e ib iAb z zf z
z i lz lK zK z K z K z
− + +
+
+ + +
⎛ ⎞ε Ψ Ψ
− + − = −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
Виконані перетворення дають змогу віднести до лівої частини функціональ-
них рівнянь (14) функції, аналітичні у верхній півплощині, а до правої − у ниж-
ній, тобто подати функціональні рівняння у вигляді
1 1 1 1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
( )
zK z z z f z z f z
K z
−
+ + + + − −
−
Ψ
Φ + χ + = + χ +
2 2 2
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
( )
zf z z K z z z
K z
+
+ + − − −
+
Ψ
+ χ − = Φ + χ (17)
Обидві частини кожного рівняння (17) аналітично продовжують одна одну на
всю комплексну площину, а отже, є довільною цілою функцією, яку визначимо з
умов на нескінченності.
Використовуючи асимптотичну поведінку коренів рівнянь ( ) 0sλ = , ( ) 0s∆ =
із першого і другого квадрантів
86
1 1ln( ) (1) , ln( ) (1) ,
4 4n n
i is n qn s n qn+ +π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= + + + ο = − − + + ο⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ln( ) (1) , ,n
n i q n n+ π ′δ = + + ο →∞
α α
0
0
2 2sin , sin ,
(3 4)[2( 1) ( 2)] 3 4
mq m q
m m i m m
µπ π′= α = α
α − − + µ − α −
знаходимо асимптотичні оцінки [14] для нескінченних добутків (13):
1
1 2
0
( ) ( ) , ( ) ( ) , | | ,
( 2)1 1 arctg (1/2 1) ,
2 2( 1)
K z A iz K z A iz z
m
m
+ ρ− − −ρ− →∞
µ −
ρ = + ≤ ρ <
π −
∼ ∼
11 2 2
( 1) 2[( 1) / 2] 0
1 2 2
11
( 2)1(0) , 1 ,
4( 1)
C nn
nn
m
A K e e A
s mA m
−ρ−ρ ∞
ρ− +
=
δ µ −π⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ′α −⎝ ⎠ −
∏
де C = 0,57721566... – стала Ейлера–Маскероні; [x] – ціла частина числа х. Крім
цього, функції 1 1 2( ), ( ), ( ), ( )z f z z z± + + −Φ χ χ зникають на нескінченності. Тому
робимо висновок, що обидві частини кожного рівняння (17) тотожно дорівнюють
нулеві. Таким чином, розв’язок системи функціональних рівнянь (9) має вигляд
1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ,z f z z K z z z K z+ + + + − − −⎡ ⎤Φ = − + χ Φ = −χ⎣ ⎦
2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) .z K z f z z z K z f z z+ + + + − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ = + χ Ψ = − + χ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (18)
Вирази (18) з урахуванням співвідношень (16) містять невідомі значення
( )kis+Ψ , ( )kis− ′Ψ ( 1, 2, ...)k = , для знаходження яких покладемо у третій і чет-
вертій рівностях (18) відповідно nz is= і nz is′= ( 1, 2, ...)n = . Скориставшись
асимптотичною поведінкою коренів ~ ~ (2 )n ns s n′− π α , n →∞ , введемо малий
параметр /(2 ) /(2 )
1( / )ae l l−π α π αλ = = (0 1)< λ < . Тоді відносно невідомих
( ) , ( ) ( 1, 2, ...)
1 1
a
k k k k
k k k k
e b bz is A z is A k
s ls s ls
−
+ + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε ε′= Ψ − − = Ψ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ′ ′+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
отримаємо нескінченну систему алгебричних рівнянь
1 1
, ( 1, 2, ...) ,k kk k
n n k n n n k n
k n k nk k
z z g z z g n
s s s s
− +∞ ∞
+ + − + − − + −
= =
α α
+β λ = + β λ = =
′ ′− −∑ ∑ (19)
2 2( ) ( )( ), ( ), , ,
k k
k ks a s a
n n n n k k k kK is K is e e
π π
α α
′− − ++ + − − + + − −′β = β = α = α α = α
, ,
(0) ( )( 1) ( )( 1)
a
n n n n
n nn n
b e bg A g A
lK s lsK i s K i s
−+ + − −
+ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε ε= β − = β −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′− + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
розв’язок якої шукаємо у вигляді
0
( 1,2,...).m
k km
m
z k
∞
± ±
=
= ξ λ =∑ (20)
Підставляючи розвинення (20) у систему (19), знаходимо 0n ng± ±ξ = та отри-
муємо рекурентні співвідношення
87
, ,
1 1
,
m m
k k
nm n k m k nm n k m k
k n k nk ks s s s
− +
+ + − − − +
− −
= =
α α
ξ = −β ξ ξ = −β ξ
′ ′− −∑ ∑
для визначення коефіцієнтів ( , 1,2,...)nm n m±ξ = .
Подамо розв’язок системи рівнянь (19) у вигляді
( / ) ( 1,2,...).k k kz z b l z k± ± ±= ε + =
Тоді з умов рівноваги (2) одержимо лінійну систему алгебричних рівнянь
( )11 12 21 22
1 1( ), 1 ,
22 2
a MK ia a b a a b e
Pl
+
−⎡ ⎤ε + = ε + = + −⎢ ⎥π π ⎣ ⎦
(21)
11
1 1
11 ,
(0)(0) ( ) ( )
k ka
k k
k k
k kk k
ea A z z
s sKK K i K i
+ −− ∞ ∞
+ −
− +
= =
⎡ ⎤ α λ α λ
= − + −⎢ ⎥ ′− −⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑
12
1 1
1 ,
(0) (0)
k k
k k
k k
k kk k
Aa z z
s sK K
+ −∞ ∞
+ −
= =
α λ α λγ
= − + − ′∑ ∑
1
1 1 2 ,
k k kk
a
s s
∞
=
⎛ ⎞
γ = − − −⎜ ⎟′ δ⎝ ⎠
∑
21
1 1
1 ,
2 1 1( ) ( )
k ka k k
k k
k kk k
A ea z z
s sK i K i
+ −∞ ∞− + −
− +
= =
⎡ ⎤ α λ α λκ= − + − κ⎢ ⎥ ′− −− −⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ ( ) ,
( )
aK i e
K i
+ −
−
κ =
22
1 1
1
(0) 1 1
k k
k k
k k
k kk k
a A z z
K s s
+ −∞ ∞
+ −
= =
⎛ ⎞ α λ α λκ
= − − + − κ⎜ ⎟ ′− −⎝ ⎠
∑ ∑
для обчислення параметрів (2 / )Gl Pε = ε і (2 / )b G P b= .
Обертаючи перше співвідношення (11), з урахуванням рівностей (12), (15),
(18) знаходимо розв’язок інтегрального рівняння (8):
1 1 1( ) ( ) ( )
( )2 2
i t i tbt e dt t iA e dt
K t t i lt
∞ ∞
+ − ξ − − ξ
−∞ −∞
⎡ ⎤ε⎛ ⎞ϕ ξ = Φ = Ψ − − −⎢ ⎥⎜ ⎟+π π ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
( )1 1 ( ) (0 ).
( )2
a
it ae bt iA e dt a
K t t i lt
∞ −
+ −ξ
−∞
⎡ ⎤⎛ ⎞ε
− Ψ − − ≤ ξ ≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+π ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ (22)
Контактні напруження та переміщення на верхній грані клина. Обчис-
люючи інтеграли (22) за теорією лишків та переходячи до функції ( )g r (3) за до-
помогою замін (6), (7), дістанемо контактні напруження
2
2
0
22 ( cos 1)
2 (0)( 2)sin 2 4 sin
Abm
G K rm
ϑ
ϑ=α
σ πε α −= − + +
− α + µ α
1 1
1
1 11 1
( ) ( )
2 2 ( ).
( ) ( )
k ks s
k k k k k k
k kk k
s s z s s zl r r l r l
l s l s l
′− − − −+ −∞ ∞
= =
′ ′∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ π + π < <⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ (23)
На краях штампа напруження (23) необмежені. Застосовуючи лему Ватсона
[15] до першого та другого інтегралів із формул (11) і враховуючи при цьому роз-
в’язок (18), отримаємо асимптотичну поведінку контактних напружень:
1
1
1
2 1 , 0,
2 ( )
r r l
G A l
ρ−
ϑ
ϑ=α
σ πω ⎛ ⎞− → −⎜ ⎟Γ ρ ⎝ ⎠
∼
88
2
1
2 1 1
2
1 , 0,
2 (1 )
l r r l
G A l l
−ρ
ϑ
ϑ=α
⎛ ⎞σ πω
− → +⎜ ⎟Γ − ρ ⎝ ⎠
∼
1 2
1 1
, .
(0)( ) ( )
a
k k
k k k k
k k
b b eA z A z
l K lK i K i
−∞ ∞
+ + − −
− +
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ε ε
ω = − + α λ ω = − + α λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑
Визначимо переміщення точок верхньої грані клина. Підставивши вираз для
( )a s (4) у перше і друге співвідношення (5), виконавши заміни (6), (7) та враху-
вавши першу рівність (11), знаходимо:
*2( ) ( ) , ( ) ( ) .
2
c i c i
s s
r
c i c i
l lu is M s e ds u is M s e ds
i i
+ ∞ + ∞
+ ξ + ξ
ϑ ϑ=αϑ=α
− ∞ − ∞
= Φ = Φ
π π∫ ∫ (24)
Перетворивши інтеграли (24) так само, як інтеграли (22), маємо:
11
( )
,
( ) ( )
n
n n
n n n n
cl ru
A lK i
δ∞
ϑ ϑ=α −
=
⎛ ⎞λ −δ
= ⎜ ⎟
′δ ∆ −δ − δ ⎝ ⎠
∑
*
1
11
( )
(0 ) ,
( ) ( )
n
n n
r
n n n n
cl ru r l
A lK i
δ∞
ϑ=α −
=
⎛ ⎞λ −δ
= ≤ <⎜ ⎟
′δ ∆ −δ − δ ⎝ ⎠
∑
1
( )
,
( ) ( )
n
n n
n n n n
bl ru
A lK i
−δ∞
ϑ ϑ=α +
=
λ δ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟′ ⎝ ⎠δ ∆ δ δ
∑
*
1
( )
( ) ,
( ) ( )
n
n n
r
n n n n
bl ru l r
A lK i
−δ∞
ϑ=α +
=
λ δ ⎛ ⎞= < < ∞⎜ ⎟′ ⎝ ⎠δ ∆ δ δ
∑
2 2
0 0
2 2
0 0
( 2)sin ( 1)sin 2 2 sin [ sin 2 2 (3 4)]
2
( 2)sin 2 4 sin 2 (3 4) sin 2 2 sin
r
m m m m m
u r b
m m m mϑ=α
− α + µ − α α + µ α + α −
= ε − +
− α + µ α α − − α + µ α
* *
1
11 1
( ) ( )
( ) ,
( ) ( )
n ns s
n n n n
n nn n
s z s zl r l r l r l
A s l A s l
− ′−+ −∞ ∞
= =
′⎛ ⎞λ λ ⎛ ⎞+ + ≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′λ λ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑ (25)
1
1
,
(0)( )( 1)
.
( )( 1)
ka
k k
n
n k nkn
k
k k
n
n k nkn
ze bc A
K l sK i
zbb A
l sK i
− −− ∞
+
=
+ +∞
−
=
⎛ ⎞ α λε
= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ′δ + δ− δ −⎝ ⎠
⎛ ⎞ α λε
= − +⎜ ⎟⎜ ⎟δ − δ− δ +⎝ ⎠
∑
∑
Симетричний випадок. Розглянемо втискування штампа за відсутності ку-
та повороту ( 0ε = ) і тертя ( 0 0µ = ). Через парність функцій ( )K z , ( )k ξ − η ,
( )f ξ розв’язок ϕ(η) інтегрального рівняння (8) є симетричний: ( ) ( )aϕ η ≡ ϕ − η
( 0 a< η < ). Тоді для функцій із рівностей (11) маємо: ( ) ( )z z+ −Φ ≡ Φ − ,
( ) ( )z z+ −Ψ ≡ −Ψ − .
Із співвідношень (3), (7), (24) для функцій нормальних напружень ( )r ϑ ϑ=ασ = σ і
колових переміщень ( )u r uϑ ϑ=α= ( 0 r< < ∞ ) на незакріпленій грані клина отри-
муємо тотожності
89
( ) 1 1ll llr r
r r
⎛ ⎞σ ≡ σ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, ( ) 1llu r u
r
⎛ ⎞≡ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (26)
які свідчать, що напруження ϑ ϑ=ασ , помножені на радіальну координату r, а
також переміщення uϑ ϑ=α незмінні при перетворенні інверсії відносно точки
1r ll= . Тут нескінченна система алгебричних рівнянь (19) спрощується. У ній
замість двох груп рівнянь залишається одна з невідомими k kz z+ −= − ( 1, 2, ...k = ).
При цьому k ks s′ = − , (0)n nK+ −β = β , (0)k kK+ −α = − α , n ng g+ −= − ( , 1, 2, ...k n = ). З
урахуванням останніх співвідношень тотожності (26) безпосередньо випливають
із рівностей (23), (25).
За допомогою першого рівняння (21) ( 0ε = ) зміщення штампа виразимо че-
рез силу Р, а з другого рівняння (21) визначимо момент М, необхідний для забез-
печення його поступального переміщення.
Результати розрахунків. На рис. 2 і 3 подано результати обчислень нор-
мальних контактних напружень та переміщень точок грані ϑ = α пружного кли-
на з кутом розхилу / 4α = π за відсутності моменту ( 0M = , 10 / 3m = ).
Рис. 2. Розподіл нормальних контактних
напружень: 1 – l/l1 = 2; 2 – 6;
суцільні криві – µ0 = 0,5 (рух штампа
від вершини); штрихові – µ0 = –0,5
(рух штампа до вершини);
штрихпунктирні – µ0 = 0 (гладкий
контакт); α = π/4, m = 10/3, M = 0.
Fig. 2. The distribution of normal contact stresses: 1 – l/l1 = 2; 2 – 6; solid curves – µ0 = 0.5
(punch movement from the tip); dashed curves – µ0 = –0.5 (punch movement to the tip);
dashed-dot curves – µ0 = 0 (a smooth contact); α = π/4, m = 10/3, M = 0.
Рис. 3. Переміщення точок верхньої грані клина: a – колові; b – радіальні.
(Позначення див. рис. 1).
Fig. 3. The displacements on the upper wedge side: a – circular; b – radial.
(Designation as in Fig. 1).
Розподіл безрозмірних нормальних контактних напружень 1
1( )l l P−
ϑ ϑ=ασ = − σ
наведено на рис. 2 (l/l1 – відношення відстаней від країв штампа до вершини кли-
90
на). Зі зростанням відношення l/l1, тобто зі зменшенням відстані від штампа до
вершини клина, так само, як і під час руху штампа до вершини клина ( 0 0µ < ),
розподіл контактних напружень стає асиметричнішим.
Безрозмірні колові переміщення (2 / )u G P uϑ ϑ ϑ=α= , які відтворюють форму
деформованої верхньої грані клина, зображено на рис. 3а, якщо l/l1 = 2. Зі збіль-
шенням коефіцієнта тертя за руху штампа від вершини клина ( 0 0µ > ) його про-
сідання, а також кут повороту зростають. Під час переміщення штампа у зворот-
ному напрямку (штрихова крива), порівняно з гладким контактом (штрихпунк-
тирна), зменшується як його просідання, так і кут повороту (табл. 1).
Подано (рис. 3b) радіальні пе-
реміщення (2 / )r ru G P u ϑ=α= точок
верхньої грані клина, якщо l/l1 = 2. За
гладкого контакту (штрихпунктирні
криві) граничні точки пружного кли-
на зміщуються від його вершини.
Проковзування штампа від вершини
клина (суцільна крива) значно поси-
лює це зміщення, а у зворотному на-
прямку (штрихові) веде до зміщення
граничних точок клина у напрямку
руху штампа. Поздовжня
деформація /r ru rε = ∂ ∂ на ділянці
контакту є деформація стиску ( 0rε < ), необмежена на краях зони контакту
( 0r l→ − , 1 0r l→ + ), і лише за значного зсуву внаслідок тертя (коли 0 0,5µ ≥ )
всередині ділянки контакту виникає зона розтягу ( 0rε > ). Поза нею вільна межа
клина стиснута перед штампом ( 0rε < ) і розтягнута позаду нього ( 0rε > ) за
ковзного контакту, та скрізь розтягнута, окрім точок межі, які значно віддалені
від штампа, за гладкого контакту.
Дію моменту М, прикладеного до штампа, можна врахувати зміщенням сили
Р зі середини уздовж основи штампа. Повний контакт штампа з пружним клином
можливий за умови, коли координата 0r точки прикладання нормальної сили Р
належатиме певному проміжку 1 0 2r r r≤ ≤ . Якщо 0 1r r< або 0 2r r> , контакт по-
рушується на одному з країв штампа, на що вказує зміна знака контактного тиску
на цьому краї. У табл. 2 для клина з кутом розхилу / 4α = π ( 10 / 3m = ) подано
граничні значення 1 1 1 1( ) /( )r l l lλ = − − , 2 2 1 1( ) /( )r l l lλ = − − відносної координати
точки прикладання сили P, в межах яких штамп щільно прилягає до поверхні клина.
Таблиця 2. Граничні значення λ1, λ2 відносної координати точки
прикладання сили P
1 2 6 10
l/l1
λ1 λ2 λ1 λ2 λ1 λ2 λ1 λ2
0,5 0,227 0,727 0,243 0,704 0,229 0,665 0,211 0,656
0 0,250 0,750 0,262 0,723 0,236 0,664 0,215 0,647 µ0
–0,5 0,273 0,773 0,281 0,740 0,244 0,662 0,221 0,636
Таблиця 1. Відносний кут повороту
(2 / )Gl Pε = ε та відносне зміщення
(2 / )b G P b= штампа
l/l1 2 6
µ0 ε b ε b
0,5 0,421 –0,329 0,370 –0,158
0 0,283 –0,369 0,339 –0,126
–0,5 0,144 –0,409 0,309 –0,091
91
ВИСНОВКИ
Методом Вінера–Гопфа знайдено аналітичний розв’язок задачі про фрикцій-
ний контакт з повним проковзуванням штампа з прямолінійною основою і пруж-
ного клина із однією закріпленою гранню. Отримано та проаналізовано розподіл
контактних напружень, колові та радіальні переміщення точок незакріпленої гра-
ні пружного клина. Знайдено кут повороту та зміщення штампа. З’ясовано, що за
відсутності тертя та кута повороту штампа контактні напруження, помножені на
радіальну координату, а також колові переміщення незакріпленої грані клина не-
змінні за перетворення інверсії. За повного контакту обчислено межі точки при-
кладання втискувальної сили. Показано, що тертя суттєво впливає на напружено-
деформований стан клина та параметри контакту: просідання, кут повороту
штампа та межі відносної координати точки прикладання втискувальної сили.
РЕЗЮМЕ. Рассмотрена задача о контактном взаимодействии штампа с прямолиней-
ным основанием и упругого клина, одна грань которого жестко закреплена. Учтены силы
трения в области контакта. Методом Винера–Гопфа получено аналитическое решение за-
дачи. Приведены результаты вычислений контактных напряжений и перемещений точек
незакрепленной грани клина.
SUMMARY. The problem of contact interaction of a punch with a rectilinear base and an
elastic wedge with one rigid side is considered. Friction forces in the contact region are taken
into account. With the use of the Wiener–Hopf method, the analytical solution of the problem
was received. The computational results of contact stresses and displacements at the free side of
the wedge are presented.
1. Александров В. М. Об одной контактной задаче для упругого клина // Изв. АН
АрмССР. Механика. – 1967. – 20, № 1. – С. 3–13.
2. Александров В. М. Контактные задачи для упругого клина // Изв. АН СССР. Механика
твердого тела. – 1967. – № 2. – С. 120–131.
3. Александров В. М. К контактным задачам для упругого клина с одной защемленной
гранью // Изв. АН АрмССР. Механика. – 1968. – 21, № 2. – С. 17–27.
4. Александров В. М. Контактные задачи для упругого плоского клина // Контактные за-
дачи и их инженерные приложения. – М.: Изд. НИИмаш, 1969.
5. Александров В. М., Копасенко В. В. Контактная задача для упругого клина с жестко
защемленной гранью // Прикл. механика. – 1968. – 4, вып. 7. – С. 75–82.
6. Бронштейн М. И. Решение контактной задачи для штампа на клиновидном основании
// Основания, фундаменты и механика грунтов. – 1968. – Вып. 4. – С. 2–4.
7. Лутченко С. А. О вдавливании штампов в боковую поверхность упругого основания в
виде клина // Прикл. механика. – 1966. – 2, вып. 12. – С. 61–66.
8. Лутченко С. А., Попов Г. Я. О некоторых плоских контактных задачах теории упру-
гости для клина // Там же. – 1970. – 6, вып. 3. − С. 64–71.
9. Тоноян В. С. Об одной плоской контактной задаче для упругой четвертьплоскости
// Докл. АН АрмССР. – 1963. – 37, № 3. – С. 121–130.
10. Тоноян В. С. Плоская контактная задача для упругой четвертьплоскости с неподвиж-
ной вертикальной кромкой // Там же. – 1963. – 37, № 5. – С. 249–258.
11. Антипов Ю. А. Точное решение задачи о вдавливании кольцевого штампа в полупро-
странство // Докл. АН УССР. − 1987. − № 7. − С. 29–33.
12. Нобл Б. Метод Винера−Хопфа. − М.: Изд-во иностр. лит., 1962. − 280 с.
13. Острик В. И., Улитко А. Ф. Метод Винера–Хопфа в контактных задачах теории упру-
гости. – К.: Наук. думка, 2006. – 328 с.
14. Зражевський Г. М., Острик В. І. Асимптотика канонічних добутків // Мат. методи та
фіз.-мех. поля. – 2004. – 47, № 3. – С. 69–77.
15. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1987. – 544 с.
Одержано 21.06.2010
|