Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя
Досліджено напружений стан скінченного циліндра під дією зусиль скручування, які виникають внаслідок дії сил тертя. Відокремлено кутову змінну і тривимірну задачу зведено до розв’язання двовимірних крайових задач. Виявлено, що на напружений стан циліндра суттєво впливають навантаження від чистого ск...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139173 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя / В.П. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 30-35. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-139173 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1391732018-06-20T03:12:28Z Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя Ревенко, В.П. Досліджено напружений стан скінченного циліндра під дією зусиль скручування, які виникають внаслідок дії сил тертя. Відокремлено кутову змінну і тривимірну задачу зведено до розв’язання двовимірних крайових задач. Виявлено, що на напружений стан циліндра суттєво впливають навантаження від чистого скручування. Розглянуто задачу про чисте скручення циліндра навантаженнями, локально розподіленими на його боковій поверхні. Показано, що під впливом кусково-неперервних дотичних навантажень виникають особливості в напруженнях τϕz у точці розриву навантажень. Вивчено зміну максимуму дотичних напружень у циліндрі з наближенням розподілу навантажень до прямокутного. Исследовано напряженное состояние конечного цилиндра, нагруженного усилиями кручения, которые возникают в результате действия сил трения. Методом разделения переменных трёхмерную задачу сведено к решению двумерных краевых задач. Основной вклад в напряженное состояния цилиндра вносят усилия чистого кручения. Рассмотрена задача о чистом кручении цилиндра усилиями, локально распределенными на его боковой поверхности. При использовании кусочно-непрерывных касательных усилий возникают особенности в напряжении τϕz в точке разрыва. Изучено изменение максимума касательных напряжений при приближении распределения усилий к прямоугольному. Исследовано напряженное состояние конечного цилиндра, нагруженного усилиями кручения, которые возникают в результате действия сил трения. Методом разделения переменных трёхмерную задачу сведено к решению двумерных краевых задач. Основной вклад в напряженное состояния цилиндра вносят усилия чистого кручения. Рассмотрена задача о чистом кручении цилиндра усилиями, локально распределенными на его боковой поверхности. При использовании кусочно-непрерывных касательных усилий возникают особенности в напряжении τϕz в точке разрыва. Изучено изменение максимума касательных напряжений при приближении распределения усилий к прямоугольному. 2011 Article Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя / В.П. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 30-35. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139173 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Досліджено напружений стан скінченного циліндра під дією зусиль скручування, які виникають внаслідок дії сил тертя. Відокремлено кутову змінну і тривимірну задачу зведено до розв’язання двовимірних крайових задач. Виявлено, що на напружений стан циліндра суттєво впливають навантаження від чистого скручування. Розглянуто задачу про чисте скручення циліндра навантаженнями, локально розподіленими на його боковій поверхні. Показано, що під впливом кусково-неперервних дотичних навантажень виникають особливості в напруженнях τϕz у точці розриву навантажень. Вивчено зміну максимуму дотичних напружень у циліндрі з наближенням розподілу навантажень до прямокутного. |
| format |
Article |
| author |
Ревенко, В.П. |
| spellingShingle |
Ревенко, В.П. Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Ревенко, В.П. |
| author_sort |
Ревенко, В.П. |
| title |
Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя |
| title_short |
Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя |
| title_full |
Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя |
| title_fullStr |
Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя |
| title_full_unstemmed |
Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя |
| title_sort |
скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139173 |
| citation_txt |
Скручування скінченного циліндра локально розподіленими зусиллями тертя / В.П. Ревенко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 3. — С. 30-35. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT revenkovp skručuvannâskínčennogocilíndralokalʹnorozpodílenimizusillâmitertâ |
| first_indexed |
2025-07-10T07:44:15Z |
| last_indexed |
2025-07-10T07:44:15Z |
| _version_ |
1837245093170380800 |
| fulltext |
30
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2011. – ¹ 3. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
СКРУЧУВАННЯ СКІНЧЕННОГО ЦИЛІНДРА ЛОКАЛЬНО
РОЗПОДІЛЕНИМИ ЗУСИЛЛЯМИ ТЕРТЯ
В. П. РЕВЕНКО
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів
Досліджено напружений стан скінченного циліндра під дією зусиль скручування,
які виникають внаслідок дії сил тертя. Відокремлено кутову змінну і тривимірну за-
дачу зведено до розв’язання двовимірних крайових задач. Виявлено, що на напруже-
ний стан циліндра суттєво впливають навантаження від чистого скручування. Роз-
глянуто задачу про чисте скручення циліндра навантаженнями, локально розподіле-
ними на його боковій поверхні. Показано, що під впливом кусково-неперервних до-
тичних навантажень виникають особливості в напруженнях τϕz у точці розриву на-
вантажень. Вивчено зміну максимуму дотичних напружень у циліндрі з наближен-
ням розподілу навантажень до прямокутного.
Ключові слова: власні функції, скручування, зусилля тертя, тривимірний напруже-
ний стан, тензор напружень, циліндр.
Напружено-деформований стан (НДС) пружного циліндра під дією тільки
зусиль чистого кручення досліджували раніше [1−6] аналітичними і числовими
методами і експериментально описано розподіл напружень [7]. Нижче розгляну-
то довільний розподіл навантажень і враховано, що зусилля скручування спричи-
нені дією сил тертя.
Формулювання задачі. Розглянемо ізотропний циліндр [1, 2], який займає об-
ласть = {( , , ) ([0, ] [0,2 ] [ , ])}D r z R h hϕ ∈ × π × − , до частини бокової поверхні якого з
заданою нормальною силою прикладена накладка, за допомогою якої створюють
зусилля скручування. Вважатимемо, що дотичні зусилля скручування виникають
внаслідок сухого тертя між накладкою і циліндром і лінійно залежать від нор-
мального тиску накладки на циліндр. Крайові умови на боковій поверхні цилінд-
ра мають вигляд
1 2( , , ) = ( , ), ( , , ) = 0, ( , , ) = ( , )r rz rR z z R z R z zϕσ ϕ σ ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ , (1)
де 1 2( , ) ( , )z zσ ϕ = κτ ϕ ; 2 ( , )zτ ϕ − задані навантаження; κ − коефіцієнт зв’язку
між нормальним і дотичним навантаженнями. При 0κ = , 1( , ) 0zσ ϕ = і крайові
умови (1) враховуватимуть лише дотичні навантаження [1].
Показано [8], що НДС довільно навантаженого циліндра, після виділення ос-
новного напруженого стану, можна розділити на два напружених стани, один з
яких задовольняє такі крайові умови на торцях:
( , , ) = 0, ( , , ) = 0, ( , , ) = 0.z z rzr h r h r hϕσ ϕ ± τ ϕ ± τ ϕ ± (2)
Розв’язок задачі (1), (2) шукатимемо методом відокремлення змінних. Для
цього НДС циліндра подамо через введені функції переміщень [9], які в загально-
му випадку можна розкласти у вигляді рядів Фур’є:
Контактна особа: В. П. РЕВЕНКО, e-mail: victorrev@ukr.net
31
=0
=0
=0
( , , ) = ( , )cos ( , )sin ,
( , , ) = ( , )cos ( , )sin ,
( , , ) = ( , )cos ( , )sin ,
c s
n n
n
c s
n n
n
c s
n n
n
r z r z n r z n
r z r z n r z n
Q r z Q r z n Q r z n
∞
∞
∞
⎡ ⎤Φ ϕ Φ ϕ+ Φ ϕ⎣ ⎦
⎡ ⎤Ψ ϕ Ψ ϕ+ Ψ ϕ⎣ ⎦
⎡ ⎤ϕ ϕ + ϕ⎣ ⎦
∑
∑
∑
(3)
де 0 0 0 0s s sQΦ = Ψ = = ; , ,c c c
n n nQΦ Ψ , ,s s
n nΦ Ψ , s
nQ − функції, які для фіксованого
індекса n задовольняють рівняння
2 2 2
2 2 2 ( , ) = 0.n
n U r z
r rr z r
⎧ ⎫∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ + −⎨ ⎬
∂∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
(4)
Розкладемо праву частину крайових умов (1) у ряд Фур’є:
1 1, 1,
=0
2 2, 2,
=0
( , ) { ( )cos ( )sin },
( , ) { ( )cos ( )sin },
c s
n n
n
c s
n n
n
z z n z n
z z n z n
∞
∞
σ ϕ = σ ϕ + σ ϕ
τ ϕ = τ ϕ + τ ϕ
∑
∑
(5)
де 2,0 0sτ = , 1,0 0sσ = . У праці [9] знайдено рівняння для визначення функцій
0 0 0 0,c cΦ = Φ Ψ = Ψ ; , ,c c s
n n n n n nQ QΦ = Φ Ψ = Ψ = , 1,2,3...n = . Аналогічно можна
одержати умови для відшукання функцій , ,s s c
n n nQΦ Ψ , 1,2...n = . Тоді функція
0 0
cQ Q= описуватиме напружений стан під час чистого кручення [1]:
0
r rz
2
0 0
r
0, , 0, 0, 0, 0,
1 , .
r z z
z
Q
u u u
r
Q Q
Gr G
r r r z r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂
= = = − σ = σ = σ = τ =
∂
∂ ∂∂
τ = − τ = −
∂ ∂ ∂ ∂
(6)
Раніше [1] використовували гармонічні функції χ , ξ та функцію переміщень Ψ ,
які можна виразити через введену функцію 0Q :
0 =Q
z
∂
χ
∂
, 0Qξ = , 01=
Q
r r
∂
Ψ −
∂
.
Знайдемо, які компоненти дотичного навантаження (5) мають вирішальний
вплив під час скручування циліндра. Умовно виділимо на боковій його поверхні
кільце шириною 1 2[ , ]z h h∈ . Визначимо крутний момент zM від дії розподілених
на цьому кільці дотичних навантажень (5):
2 2
1 1
2
2 2
2 2,0
0
( , ) 2 ( )
h h
c
z
h h
M R dz z d R z dz
π
= − τ ϕ ϕ = − π τ∫ ∫ ∫ . (7)
Як бачимо, тільки компонента навантаження 2,0 ( )c zτ , яка відповідає чистому
крученню, впливає на момент zM . Визначимо функцію 0Q за заданим наванта-
женням 2,0 ( )c zτ , 1,0 2,0( ) ( )c cz zσ = κτ .
Подання розв’язку у вигляді ряду Фур’є. Спростимо крайові умови (1), (2)
для знаходження напружень чистого кручення до такого вигляду [9, 10]:
32
2 2 2
0 0 0 0
2 2
0 0
0
0, 2(1 ) 0,
(1 2 ) 0, ;
Q
z
r z zz z
z z h
r z z
∂ ∂ Φ ∂Φ ∂ Ψ
= − − ν + =
∂ ∂ ∂∂ ∂
∂Φ ∂Ψ∂ ⎡ ⎤− − ν Φ + = = ±⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
(8)
2 2
0 0 0 0
2̀,0 2,02 2
0 0
0
1 ( ), 2 2 ( ),
2 (1 2 ) 0, ,
c cQ
GR z G z z
r r r zr r
G z r R
r z z
⎡ ⎤∂ ∂ Φ ∂Φ ∂ Ψ∂
− = τ − ν + = κτ⎢ ⎥
∂ ∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
∂Φ ∂Ψ∂ ⎡ ⎤+ − − ν Φ = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
(9)
де 0 0 0 0,c cΦ = Φ Ψ = Ψ . Функції 0 0,Φ Ψ знайдені раніше [10]. Побудуємо функцію
0Q , яка задовольняє умови (8), (9) і описує чисте кручення. Методом відокрем-
лення змінних відшукаємо базову власну функцію vQ , яка є обмеженим розв’яз-
ком рівняння (4):
2
0= ( )cos( )vQ h aI rβ µγ , (10)
де a − дійсний коефіцієнт; µ − власне значення; / hβ = µ ; /z hγ = , [ 1,1]γ∈ − .
Підставимо функцію (10) в перше рівняння (8) і одержимо характеристичне рів-
няння
sin( ) 0µ =
для визначення власних значень k kµ = π , 1,2,3,...k = . Запишемо загальне подан-
ня функції 0Q у вигляді ряду за власними функціями:
2
0 0
1
= ( )cos( )k k k
k
Q h a I r
∞
=
β µ γ∑ , (11)
де /k k hβ = µ . Підставивши функцію (11) в першу крайову умову (9), одержимо:
0
1
cos( ) ( )k k k
k
B a
∞
=
µ γ = τ γ∑ , r R= , (12)
де 0 2,0( ) ( )c zτ γ = τ ; 2
2 ( )k k kB G I R= − µ β . З рівності (12) визначимо невідомі коефі-
цієнти:
1
0
1
1 ( )cos( )k k
k
a d
B −
= τ γ µ γ γ∫ , 1,2,3,...k = . (13)
Чисте скручування скінченного циліндра. На боковій поверхні задані до-
тичні навантаження 0 ( )τ γ , що створюють крутний момент Mz, дію якого зрівно-
важують два однакові крутні моменти – Mz / 2, прикладені до торців циліндра. За-
дамо розподіл навантаження 0 ( )τ γ , 0 0( ) ( )τ −γ = τ γ за трапецеїдальним законом:
0 0 0 0 1 0 1 0 1 1( ) = , [ , ]; ( ) = ( ), [ , ]; ( ) = 0, [ , ],mτ γ τ γ∈ −γ γ τ γ χ γ − γ γ∈ γ γ τ γ γ∉ −γ γ (14)
де mτ − максимальне навантаження; /mχ = τ δ ; 1 0γ = γ + δ ; величина 0δ ≥ ха-
рактеризує відхилення розподілу напружень від прямокутного. Якщо покласти
0δ = , 1 0γ = γ , 0χ = , то з виразу (14) одержимо прямокутний розподіл наванта-
жень. Знайдемо крутний момент від навантаження (14):
33
2
2
0 0
0
( ) 2 (2 )
h
z m
h
M R dz R d R h
π
−
= τ γ ϕ = π τ γ + δ∫ ∫ .
Вважатимемо, що на торцях циліндра дотичне напруження zϕτ , яке зрівно-
важує момент Mz, розподілене за лінійним законом:
4
z
z
M rz
hJϕτ = − , де 4 / 4J R= π ;
z h= ± . Розв’язок поставленої задачі дає сума основного [1, 8]
0
r 4
zM
rz
hJϕτ = − ,
0 2
r 16
zM r
hJϕτ =
і збуреного (11), (13) розв’язків, якщо покласти 2
0 2,0( ) ( )
16
c zM
z R
hJ
τ γ = τ − .
Подібну задачу для чистого кручення, коли 0δ = , розв’язав А. Тімпе [1, 6],
при цьому в точці розриву зовнішнього навантаження одержав нескінченні зна-
чення напружень zϕτ .
Лема. Якщо дотичні навантаження 2,0 ( )c zτ задати кусково-неперервними,
то напруження zϕτ у точці розриву буде безмежним, якщо задачу розв’язувати
методом розкладу в ряд Фур’є.
Доведення. Нехай навантаження 2,0 ( )c zτ у точці 0 [ , ]z h h∈ − має розрив пер-
шого роду, тоді напруження ( , )r R zϕτ у точці 0z буде розривним. Із співвідно-
шень (6) випливає, що функція 0Q у точці 0z також буде розривною за змінною
z . Оскільки
2
0
z
Q
G
z rϕ
∂
τ = −
∂ ∂
, то, взявши похідну від кусково-неперервної функції
з розривом у точці 0z , одержимо, що напруження zϕτ у цій точці будуть без-
межні. Кінець доведення.
Числовий аналіз. Покладемо в умовах (9) 1κ = . Рис. 1 ілюструє розподіл
дотичних напружень залежно від безрозмірних координат /r Rα = , γ для
0 0,1γ = . Покладемо, як і в праці [6], 1R = cm; 1zM = kg·cm, 2[kg / cm ]τ . Для
аналізу впливу на НДС циліндра відношення /R h і величини δ досліджували
відносно довгий R/h = 0,1; 0,0001δ = (рис. 1а) та відносно короткий R/h = 2,
0,01δ = (рис. 1b) циліндри. Встановили, що відношення /R h несуттєво впливає
на розподіл напружень. Зафіксовано (рис. 1a, крива 1) чіткий пік дотичного на-
пруження 0,49zϕτ = , оскільки розподіл навантажень дуже близький до прямо-
кутного ( 0,0001δ = ). Якщо 0δ→ , то спостерігається залежність zϕτ →∞ .
Порівняно (див. таблицю) знайдені напруження (1, )zϕτ γ (рис. 1а, в дужках)
з відомими [6] (без дужок). Як бачимо, вже при / 8z R> π напруження відрізня-
ються тільки в третьому знаку після коми.
Подано (рис. 2) симетричний відносно змінної γ розподіл нормальних напру-
жень. Як бачимо, під час скручування нормальні напруження значно менші від
дотичних.
34
Рис. 1. Розподіл дотичних напружень у циліндрі: a − R/h = 0,1; δ = 0,0001; b − R/h = 2;
δ = 0,01; 1 – τϕz(1, γ); 2 – τrϕ(1, γ); 3 – τϕz(0,8, γ); 4 – τrϕ(0,8, γ); 5 – τϕz(0,4, γ); 6 – τrϕ(0,4, γ).
Fig. 1. Distribution of stresses in a cylinder: a − R/h = 0.1; δ = 0.0001; b − R/h = 2; δ = 0.01;
1 – τϕz(1, γ); 2 – τrϕ(1, γ); 3 – τϕz(0.8, γ); 4 – τrϕ(0.8, γ); 5 – τϕz(0.4, γ); 6 – τrϕ(0.4, γ).
Порівняння знайдених напружень zϕτ з результатами праці [6]
r
R
z = 0
16
z Rπ
=
8
z Rπ
=
4
z Rπ
= z = πR z = 2πR
1,0 ∞ (0) 0,468(0,318) 0,318(0,318) 0,318(0,318) 0,318(0,318) 0,318(0,318)
0,8 0(0) 0,236(0,255) 0,256(0,255) 0,256(0,255) 0,256(0,255) 0,256(0,255)
0,6 0(0) 0,113(0,191) 0,166(0,191) 0,199(0,191) 0,191(0,191) 0,191(0,191)
0,4 0(0) 0,059(0,127) 0,098(0,127) 0,123(0,127) 0,127(0,127) 0,128(0,127)
0,2 0(0) 0,029(0,063) 0,045(0,063) 0,063(0,063) 0,064(0,063) 0,064(0,063)
0 0(0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0)
Рис. 2. Розподіл нормальних напружень
у циліндрі: R/h = 0,1; δ = 0,01;
1 – σr(1, γ); 2 – σz(1, γ); 3 – σϕ(1, γ);
4 – σz(0,9, γ); 5 – τrz(0,95, γ).
Fig. 2. Distribution of stresses in a cylinder:
R/h = 0.1; δ = 0.01; 1 – σr(1, γ); 2 – σz(1, γ);
3 – σϕ(1, γ); 4 – σz(0.9, γ); 5 – τrz(0.95, γ).
ВИСНОВКИ
Показано, що загальний розв’язок тривимірних задач теорії пружності у ци-
ліндричній системі координат можна подати у вигляді набору двовимірних задач.
Встановлено, що основний внесок у напружений стан циліндра під час його скру-
чування вносять навантаження від чистого кручення. Знайдено, що під час скру-
чування зусиллями тертя нормальні напруження в циліндрі є суттєво менші, ніж
дотичні. Числово підтверджено висновки леми і показано, що чим менша вели-
35
чина 0δ > , то більший пік дотичних напружень zϕτ . Встановлено, що дотичні
напруження на відстані R вздовж осі Oz від прикладання локальних зусиль не
залежать від їх розподілу, а тільки від прикладеного моменту zM .
РЕЗЮМЕ. Исследовано напряженное состояние конечного цилиндра, нагруженного
усилиями кручения, которые возникают в результате действия сил трения. Методом раз-
деления переменных трёхмерную задачу сведено к решению двумерных краевых задач.
Основной вклад в напряженное состояния цилиндра вносят усилия чистого кручения.
Рассмотрена задача о чистом кручении цилиндра усилиями, локально распределенными
на его боковой поверхности. При использовании кусочно-непрерывных касательных уси-
лий возникают особенности в напряжении τϕz в точке разрыва. Изучено изменение макси-
мума касательных напряжений при приближении распределения усилий к прямоугольному.
SUMMARY. The stress state of a finite cylinder loading by the action of torsion stresses
that arise as a result of friction forces action is investigated. By using the method of separation
of variables a three-dimensional problem is reduced to the solution of two-dimensional boundary
value problems. It is found that the main contribution to the stress state of the cylinder is done
by the pure torsion stresses. The problem about the cylinder pure torsion by the forces locally
distributed on its lateral surface is considered. It is shown, that piecewise continuous loading
causes the singularity stress τϕz at a point of discontinuity. The maximum shear stress change in
the cylinder, when forces distribution is approaching the rectangular distribution, is investigated.
1. Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. – М.: ГИФМЛ, 1963. – 686 с.
2. Лурье А. И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с.
3. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1975. – 576 с.
4. Chau K. T. and Wei X. X. Finite solid circular cylinders subjected to arbitrary surface load.
Part I: Analytic solution // Int. J. of Solids and Struct. – 2000. – 37. – P. 5707–5732.
5. Taliercio. A. Torsion of micropolar hollow circular cylinders // Mechanics Research Com-
munications. – 2010 – 37, № 4. – P. 406–411.
6. Timpe A. Die Torsion von Umdrehungskörpern // Math. Ann. Leipzig. – 1911. – 71.
– S. 480–509.
7. Lade P. V., Nam J., and Hong W. P. Interpretation of strains in torsion shear tests // Compu-
ters and Geotechnics. – 2009. – 36. – P. 211–225.
8. Ревенко В. П. Дослідження напруженого стану навантаженого скінченного циліндра з
використанням власних функцій // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2009.
– Вип. 7. – С. 183–190.
9. Ревенко В. П. О решении трехмерных уравнений линейной теории упругости // Прикл.
механика. – 2009. – 45, № 7. – С. 52–65. (Int. Appl. Mech. – 2009. – 45. – P. 730–741.)
10. Ревенко В. П. Дослідження напружено-деформованого стану скінченного циліндра
під дією зусиль стиску // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2010. – 46, № 3. – С. 42–46.
(Revenko V. V. Investigation of the Stress-Strain State of a Finite Cylinder under the Action
of Compressive Forces // Materials Science. – 2010. – 46, № 3. – P. 330–335.)
Одержано 10.08.2010
|