Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною
Визначено напружений стан скінченного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною під час крутильних коливань. Коливання відбуваються від дії гармонічного крутильного моменту на жорстку накладку, що зчеплена з одним із торців циліндра. Задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду в...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2011
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139183 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною / В.Г. Попов // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 30-38. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-139183 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1391832018-06-20T03:04:21Z Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною Попов, В.Г. Визначено напружений стан скінченного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною під час крутильних коливань. Коливання відбуваються від дії гармонічного крутильного моменту на жорстку накладку, що зчеплена з одним із торців циліндра. Задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно невідомих напружень у площині розташування тріщини. Определено напряженное состояние конечного цилиндра с внешней кольцевой трещиной при крутильных колебаниях. Колебания происходят в результате действия гармонического крутильного момента на жесткую накладку, сцепленную с одним из торцов цилиндра. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестных напряжений в плоскости расположения трещины. The stress state of a finite elastic cylinder with an external circumferential crack under the torsion oscillations was determined. The oscillations are caused by the harmonic torsion moment influence on the rigid circular plate which is coupled with one of the cylinder ends. The problem is reduced to the Fredgholms integral equation of the second kind with regard to the unknown stress in the plane where a crack is situated. 2011 Article Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною / В.Г. Попов // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 30-38. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139183 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Визначено напружений стан скінченного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною під час крутильних коливань. Коливання відбуваються від дії гармонічного крутильного моменту на жорстку накладку, що зчеплена з одним із торців циліндра. Задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно невідомих напружень у площині розташування тріщини. |
| format |
Article |
| author |
Попов, В.Г. |
| spellingShingle |
Попов, В.Г. Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Попов, В.Г. |
| author_sort |
Попов, В.Г. |
| title |
Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною |
| title_short |
Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною |
| title_full |
Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною |
| title_fullStr |
Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною |
| title_full_unstemmed |
Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною |
| title_sort |
крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139183 |
| citation_txt |
Крутильні коливання скінченного пружного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщиною /
В.Г. Попов // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 30-38. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT popovvg krutilʹníkolivannâskínčennogopružnogocilíndrazízovníšnʹoûkílʹcevoûtríŝinoû |
| first_indexed |
2025-07-10T07:08:57Z |
| last_indexed |
2025-07-10T07:08:57Z |
| _version_ |
1837242873683116032 |
| fulltext |
30
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2011. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
КРУТИЛЬНІ КОЛИВАННЯ СКІНЧЕННОГО ПРУЖНОГО ЦИЛІНДРА
ЗІ ЗОВНІШНЬОЮ КІЛЬЦЕВОЮ ТРІЩИНОЮ
В. Г. ПОПОВ
Одеська національна морська академія
Визначено напружений стан скінченного циліндра зі зовнішньою кільцевою тріщи-
ною під час крутильних коливань. Коливання відбуваються від дії гармонічного
крутильного моменту на жорстку накладку, що зчеплена з одним із торців циліндра.
Задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду відносно неві-
домих напружень у площині розташування тріщини.
Ключові слова: крутильні коливання, скінченний циліндр, зовнішня кільцева тріщи-
на, коефіцієнт інтенсивності напружень.
Елементи деталей машин та будівельних конструкцій часто мають вигляд
циліндрів. Тріщини у них суттєво знижують експлуатаційні характеристики і мо-
жуть призвести до руйнування, особливо в умовах динамічного навантаження.
Поширеним видом тріщин, що виникають під час експлуатації таких деталей, є
зовнішні кільцеві тріщини. Тому встановленню напруженого стану в циліндрич-
них тілах з подібними дефектами приділяють особливу увагу у сучасних дослі-
дженнях. Теоретичне визначення напруженого стану циліндрів з тріщинами по-
лягає у розв’язуванні граничних задач для відповідних рівнянь у частинних по-
хідних, точний розв’язок яких на сьогодні не знайдений. Тому один з підходів до
таких задач – застосування прямих числових методів (скінченних різниць та еле-
ментів) [1, 2]. Поширеним є метод, який ґрунтується на зведенні вихідних крайо-
вих задач до інтегральних рівнянь, як правило сингулярних. Його реалізовано у
працях [3–6].
Переважно вивчали рівновагу нескінченних і скінченних циліндрів з кільце-
вими тріщинами, а теоретичних досліджень напруженого стану циліндрів з кіль-
цевими тріщинами в умовах динамічного навантаження було значно менше. За-
звичай розглядали циліндри необмеженої довжини [7–11]. Останнім часом для
визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) у циліндричних тілах зі
зовнішніми кільцевими тріщинами запропоновано використовувати змішані чис-
лово-експериментальні методи. Так, розглянуто [12] динамічний розтяг, а у праці
[13] динамічний закрут циліндричних зразків з такими тріщинами. Але ці мето-
ди, як і всі експериментальні, мають недоліки, оскільки для кожного конкретного
зразка необхідно проводити експерименти, які потребують складної реєстрацій-
ної апаратури. Це ускладнює дослідження впливу на значення КІН геометричних
розмірів циліндра і тріщини. Тому задача теоретичного визначення КІН у цилінд-
рах з тріщинами в умовах динамічного навантаження і сьогодні залишається ак-
туальною. Нижче запропоновано розв’язання задачі визначення напруженого ста-
ну у циліндрі зі зовнішньою кільцевою тріщиною в умовах крутильних коливань.
Формулювання задачі. Розглянемо пружний скінченний круговий циліндр
0(0 , 0 ,r r z a≤ ≤ ≤ ≤ 0 2 )≤ ϕ < π (рис. 1). Нижній торець циліндра (z = 0) вважаємо
Контактна особа: В. Г. ПОПОВ, e-mail: dr.vg.popov@gmail.com
31
жорстко закріпленим, а верхній – зчепленим з жорсткою накладкою товщини h і
такого ж радіуса. На накладку діє гармонічний в часі момент крутіння i tMe− ω .
На висоті z = c у циліндрі паралельно його торцям
міститься кільцева тріщина з центром на осі ци-
ліндра і займає область z = c, b ≤ r ≤ r0, 0 2 .≤ ϕ < π
Бокову поверхню циліндра і поверхню тріщини
вважають вільними від напружень.
Циліндр знаходиться у стані осесиметричної
деформації закруту і відмінною від 0 буде тільки
кутова складова вектора переміщень ( , )W r z , яка
має задовольняти рівняння
2 2
2
22 2 2
2
2 2
2 22
2
1 0,
, ,
W W W W W
r rr r z
c
Gc
∂ ∂ ∂
+ ⋅ − + + κ =
∂∂ ∂
ω ρ
κ = =
(1)
де ω – частота коливань; ,Gρ – густина і модуль
зсуву матеріалу циліндра. Тут і надалі множник
i te− ω , що визначає залежність від часу, опущений. З
умов на торцях циліндра отримуємо рівності
0( , ) , ( ,0) 0, 0 ,W r a r W r r r= α ⋅ = ≤ ≤ (2)
де α – невідомий кут повороту накладки під дією прикладеного моменту М, який
визначаємо з рівняння руху накладки:
0
2 2
0
0
, 2 ( , ) ,
r
R R zj M M M r r a drϕ−ω α = − = π τ∫ (3)
де 0j – момент інерції накладки; RM – момент реакції з боку циліндра. Відповід-
но з умов на бічній поверхні і на поверхні тріщини отримуємо:
00( , ) 0, 0r r r
Wr z Gr z a
r rϕ =
∂ ⎛ ⎞τ = = ≤ ≤⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
; (4)
0( , ) 0, [ , ]z
z c
Wr c G r b r
zϕ
=
∂
τ = = ∈
∂
. (5)
Необхідно знайти переміщення і напруження у циліндрі, КІН для тріщини і кут
повороту накладки.
Розв’язування задачі. Щоб розв’язати крайову задачу (1)–(5) вводять до
розгляду невідомі дотичні напруження, які діють у площині тріщини
0( , ) ( , ) ( ) , 0z
Wr c G r c r r r
zϕ
∂
τ = = χ ≤ ≤
∂
(6)
причому з умови (5) випливає, що 0( ) 0, ( , ]r r b rχ ≡ ∈ . Далі розв’язок крайової
задачі (1)–(5) подаємо у вигляді
0 1( , ) ( , ) ( , ) ,W r z W r z W r z= + (7)
де
2
0
2
sin( )( , )
sin( )
zW r z r
a
κ
= α
κ
(8)
Рис. 1. Циліндр зі
зовнішньою кільцевою
тріщиною.
Fig. 1. A cylinder with an
external circumferential crack.
32
– розв’язок крайової задачі (1)–(4) для відповідного циліндра за відсутності
тріщини. Нова невідома функція 1( , )W r z має задовольняти рівняння (1) і крайові
умови (1)–(4). У площині тріщини для цієї функції мають виконуватися рівності:
1 0
0 0( , ) ( ) ( , ) , [0, ], ( ) 0, ( , ] ,z zr c r r c r r r r b rϕ ϕτ = χ − τ ∈ χ ≡ ∈ (9)
( , ) ( , ) , 0,1l l
z
Wr z G r z l
zϕ
∂
τ = =
∂
.
Функцію 1( , )W r z знаходимо окремо для двох частин циліндра, розділених
площиною тріщини
1
( , ) , ( , ]
( , )
( , ) , [0, ) .
W r z z c a
W r z
W r z z c
+
−
⎧ ∈⎪= ⎨
∈⎪⎩
(10)
Щоб визначити ( , )W r z± необхідно знайти розв’язки рівняння (1), які задоволь-
няють такі крайові умови:
2
2
2
cos( )( , ) ( , ) ( )
sin( )z
cWr c G r c r G r
z a
±
±
ϕ
κ∂
τ = = χ − α κ
∂ κ
; (11)
( , ) 0,W r a+ = ( ,0) 0W r− = ; (12)
0( , ) 0,r r z−
ϕτ = [0, ] ,z c∈ 0( , ) 0,r r z+
ϕτ = [ , ]z c a∈ . (13)
Розв’язування крайової задачі для ( , )W r z− ґрунтується на інтегральному
перетворенні [14]
0
( ) ( , ) sin( ) ,
c
k kW r W r z z dz− −= λ∫
1
2( , ) ( ) sin( ) ,k k
k
W r z W r z
c
∞
− −
=
= λ∑ (2 1)
2k
k
c
π −
λ = .(14)
З огляду на умови (11), (12) знайдено
2
22
22
20
cos( )( )sin sin( ) ( )
sin( )
c
k k k k
cW rzdz r c W r
G az
−
−⎛ ⎞κ∂ χ
λ = − α κ ⋅ λ − λ⎜ ⎟κ∂ ⎝ ⎠
∫ .
Враховуючи це співвідношення і застосовуючи інтегральне перетворення (14), з
крайової задачі (1), (11)–(13) отримали таку одновимірну крайову задачу:
2
2
2 2
1 ( ) ,k k k
k k k
d W dW W
W f r
r drdr r
− − −
− −+ ⋅ − − λ = 0(0, )r r∈ ;
0
0k
r r
WdGr
dr r
−
=
⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (15)
де
2
2
2
cos( )( )( ) sin( )
sin( )k k
crf r r c
G a
− ⎛ ⎞κχ
= − − α κ λ⎜ ⎟κ⎝ ⎠
.
Обмежений при 0r → розв’язок (15) має вигляд
0
1
0
( ) ( ) ( ) ( , ) ,
r
k k k k kW r C I q r f g r d− − − −= − η η η∫
де
33
1 11 1
2 2
0 1 1
( ) ( ) ,( ) ( )( , )
( ) ( ) ( ) ,
k k
k
k k k
I q K q r rI I rg r d
q K q I q r r
− −∞
−
− − −
⎧ η η <β βη β ⎪η = β = ⎨
β + η η >⎪⎩
∫ (16)
– фундаментальна функція диференціального рівняння (15), а kC− – довільна
стала; 1 1( ), ( )I x K x – модифіковані циліндричні функції. Після визначення сталої
kC− з крайової умови (15) і застосування формул оберненого перетворення (14),
отримаємо:
0
2
20
sin( )( )( , ) ( , , )
sin( )
r r zW r z F r z d
G a
− − α κχ η
= η η η−
κ∫ , (17)
2 0
1 1
1 2 0
( )2( , , ) ( , ) ( ) ( ) sin( ) sin( )
( )
k
k k k k k
k k
K q r
F r z g r I q I q r c z
c I q r
−∞
− − − −
−
=
⎡ ⎤
η = η + η ⋅ λ ⋅ λ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ .
Щоб знайти ( , )W r z+ використовують інтегральне перетворення [14]:
1
2( ) ( , )cos ( ) , ( , ) ( )cos ( ) ,
a
k k k k
kc
W r W r z z c dz W r z W z z c
d
∞
+ + + +
=
= γ − = γ −∑∫ (18)
(2 1) ,
2k
k d a c
d
π −
γ = = − .
В результаті отримано одновимірну крайову задачу
2
2
2 2
1 ( ) ( )k k k
k k
d W dW W
q W f r
r drdr r
+ + +
+ + ++ − − = , 0(0, )r r∈ ,
0
0,k
r r
Wdr
dr r
+
=
⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(19)
де 2 2 2
2
2
cos( )( ), ( )
sin( )k k k
crq f r r
G a
+ + κχ
= γ − κ = − α κ
κ
.
Для того, щоб вивести рівняння (19), використали співвідношення
2
2
2 cos ( ) ( ) ( )
a
k k k
c
W z c dz f r W r
z
+
+ +∂
γ − = − − γ
∂
∫ .
Обмежений при 0r → розв’язок (19) шукаємо у вигляді
0
1
0
( ) ( ) ( ) ( , )
r
k k k kW r C I p r f g r d+ + + += − η η η∫ . (20)
У виразі (20) ( , )kg r+ η – фундаментальна функція рівняння (19), яку можна от-
римати із формули (16) заміною kq− на kq+ . Після визначення сталих kC− з крайової
умови (19) і застосування формули оберненого перетворення (18), отримаємо:
2 2
2 20
cos( ) sin( ( ))( )( , ) ( , , )
sin( ) cos( )
b c a zW r z F r z d r
G a d
+ + κ ⋅ κ −χ η
= η η η+ α
κ ⋅ κ∫ ; (21)
2 0
1 1
1 2 0
( )2( , , ) ( , ) ( ) ( ) cos ( )
( )
k
k k k
k k
K q r
F r z g r I q I q r z c
d I q r
+∞
+ + + +
+
=
⎛ ⎞
η = − η + ⋅ η ⋅ ⋅ γ −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ .
34
Як бачимо, формули (7), (10), (17), (21) визначатимуть кутове переміщення у
циліндрі за умови, що буде знайдено невідоме дотичне напруження (6) у площині
тріщини, коли [0, ]r b∈ . Для цього слід скористатися умовою неперервності у цій
площині кутового переміщення:
1 1( , ) ( , ) , [0, ]W r c W r c r b+ −= ∈ , (22)
з якої на основі виразів (21) і (17) отримаємо інтегральне рівняння:
0 0
20
( ) ( ( , ) ( , )) , [0, ]
cos( )
b rF r F r d r b
G d
− +χ η α
η η − η η = ∈
κ∫ , (23)
де 0 ( , ) ( , , )F r F r c± ±η = η .
Щоб розв’язати це рівняння, його попередньо перетворюємо до рівняння Фред-
гольма другого роду за методикою [15]. Для цього вводимо нову невідому функцію
2 2 2 2
( ) 2 ( )( ) , ( ) , ( ) 0,
b b
r
dd r b
r rτ
τχ η ∂ ϕ τ τ
ϕ τ = η χ = − ϕ τ ≡ τ >
π ∂η − τ τ −
∫ ∫ (24)
і застосовуємо до рівняння (23) оператор
2
1 2 2 20 0
[ ]( ) ( )
yxd ydyD f x f r dr
dx x y
=
−
∫ ∫ .
Отримаємо:
( )
2
1 2 2 2( ) ( )
cos( )
b
b
xS x S x d
G c d d
− +
−
α⎡ ⎤ϕ τ τ − + τ − τ =⎢ ⎥π κ⎣ ⎦
∫ , (25)
де
2 0
2 2
1 0 2 0
( )cos ( )( )
( ) ( )
k
k
k k k
K q rYS Y ch q Y
q I q r
±∞∞
± ±
± ±
=
⎛ ⎞β β
= −⎜ ⎟⎜ ⎟β +⎝ ⎠
∑ ∫ . (26)
Для виведення інтегрального рівняння (25) враховано співвідношення
1
0 0
2( ) ( ) ( )sin
b b
J d dηχ η βη η = ϕ τ βτ τ
π∫ ∫ , 1
0 0
2( ) ( ) ( )s
b b
I q d hq dηχ η η η = ϕ τ τ τ
π∫ ∫
[ ]1 1( ) sin ,D J r xβ = β [ ]1 1( ) ,D I qr shqx= [ ]1 2 .D r x=
Окрім того, функція ( )ϕ τ була непарно продовжена з [0, ]b на [ , ] .b b−
Суми рядів у виразі (26) дорівнюють [16]
2 2
2
2 2 2 21 2
1 ,
2( )k k
th aa
q
±
±∞
±
=
⎛ ⎞β − κ⎜ ⎟
⎝ ⎠=
β + β − κ
∑ ,a c− = a d+ = .
Ця формула і усі попередні перетворення приводять рівняння (25) до вигляду
[ ]
1
0 01
1 2( ) ( ) ( )
cos( )
g y F y Q y dy
d−
ας
− ς + − ς =
π κ γ∫ . (27)
Підінтегральні функції у виразі (27) визначають за формулами
0 0 0 0
0
( ) ( )cos( ( )) ,F Y b B u b u y du
∞
= κ κ − ς∫
35
20
0 0 0 0
( )
( ) , 1,
( ) ( )
ush q
B u q u
qch c q ch d q
κ γ
= = −
κ γ κ γ
(28)
1 2( ) ( ) ( ) ,Q Y Q Y Q Y= +
0
0
21
4 ( )
( ) ( ) , 1,2
( )
l l l kl
l l kl
l klk
b K s
Q Y ch b s Y l
I s
∞
=
β β
= − β =
π β∑ ,
де використано такі позначення:
2, , ( ) ( ) , ,by x b by Gbg y uτ = = ς ϕ = β = κ
0 0 0 0 0 0 2
0 0
, , , 1 , ,a c bc b d c r
r a r
γ = = = = − κ = κ (29)
0
2 2
1 2 2
0 0
, , (2 1) .
2 2 kl
l
s k
c d
κπ π
β = β = = − −
γ γ β
Підінтегральна функція B(u) в інтегралі (28), що визначає F(Y), має асимптотику
0 0 0 02 2( ) 2 ( ), .c u d uB u O e e u− γκ − γκ= + + → +∞
Таким чином, цей інтеграл розбіжний і його значення можна встановити
згідно з теорією узагальнених функцій [17]
( ) 2 ( ) ( )F Y Y D Y= πδ + , (30)
де ( )Yδ – дельта-функція Дірака, а ( )D Y визначають рівномірно збіжними інте-
гралами. Завдяки виразу (30) рівняння (27) набуде вигляду інтегрального рівнян-
ня Фредгольма другого роду
[ ]
1
01
1( ) ( ) ( ) ( )
2 cos( )
g g y D y Q y dy
d−
αζρ
ζ + − ζ + − ζ =
π κγ∫ . (31)
Щоб визначити невідомий кут повороту накладки, необхідно до рівняння (31) до-
дати ще рівняння (3). Тоді, після введення позначень (24), (29) і перетворень,
рівняння (3) набуде вигляду
1
0 0
1
1 2 ( )[ ( ) ( )] ,M b g y Z y U y dy
q −
⎛ ⎞
α = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ (32)
де
2 0 0 0
0
0 00
( )sin( )
( ) ,
cos( )
J u b yu
Z y b du
d
∞ κ κ
= κ
κ γ ρ∫
2 0
2 2 2 0 2 2
21
4 (2 1)( ) ( 1) ( ) ( ) ,k
k k
kk
b kU y K s sh b s y
s
∞
=
β −
= − − β β
π ∑
2
0 * 0 0 0 * 0 1 0 3
0
( ( ) , / , ,
2
Mq m tg d m m m M
Gr
π
= κ γ + κ γκ = =
2
0 0 0m r h= π ρ – маса накладки; 2
1 0m r a= π ρ – маса циліндра; h – товщина накладки;
0ρ – густина накладки.
Наближений розв’язок рівнянь (31) і (32) зводимо до розв’язання системи
лінійних алгебричних рівнянь [14], [18]
36
0 01
1 [ ( ) ( )] , 1,2,..., ,
2 cos( )
n j
j m m m j m j
m
g g A D y y Q y y j n
d=
αζ
+ − + − = =
π κ γ∑ (33)
0 0
1
1 2 [ ( ) ( )] ,
n
m m m
m
M b g Z y U y
q =
⎛ ⎞
α = − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
де
( ) ,m mg g y= 2 2
2 , 1,2,..., ,
(1 )[ ( )]
m
m n m
A m n
y P y
= =
′−
my – корені многочлена Лежандра n-го степеня ( )nP y . Після розв’язування сис-
теми (33) невідома функція наближається інтерполяційним многочленом
1
( )
( ) ( ), ( ) .
( ) ( )
n
n
n n m
m n mm
P y
g y g y g y g
y y P y=
≈ =
′−∑ (34)
Для механіки руйнування найцікавішим є КІН, який тут визначають формулою
0
lim ( ) .
r b
K b r r
→ +
= − χ
Враховуючи подання (24) і позначення (29) та після здійснення граничного
переходу, знайдемо формулу
2 2 (1).K G bg=
π
Тепер, скориставшись наближенням (34), отримаємо наближене значення КІН:
1
2 2 .
(1 )[ ( )]
n
m
m n mm
g
K G b
y P y=
=
′π −∑ (35)
Результати числових розрахунків. Як приклад розглянемо циліндр з алю-
мінію висотою а = 0,2 m, на який діє сталева накладка завтовшки h = 0,01 m, на-
вантажена моментом 1000M n m= ⋅ . Досліджено залежності абсолютних безроз-
мірних значень КІН | | | | /k K G b= і кута повороту | |α від безрозмірної частоти
0 2 0rκ = κ ⋅ для різних співвідношень між розмірами циліндра і внутрішнім радіу-
сом тріщини. Результати обчислень показано графічно (рис. 2). Для числового
розв’язування інтегрального рівняння (31) у формулі (34) використали до 15 вуз-
лів інтерполяції, що забезпечило в частотному інтервалі 0 [0,3]κ ∈ відносну по-
хибку меншу 0,1%.
Аналіз графіків показує, що зовнішня тріщина змінює значення резонансних
частот циліндра, які за її відсутності визначають рівністю 0 , 1,2,...,l lκ γ = π =
0/a rγ = . Резонансні максимуми КІН (рис. 2а–с) узгоджуються з резонансними
максимумами кута повороту накладки (рис. 2d–f). Зі збільшенням відношення
між висотою та радіусом циліндра γ (r0 = 0,2...0,05 m) зменшується частота пер-
шого резонансу, а кількість резонансних частот у частотному інтервалі 0 [0,3]κ ∈
зростає. За тих самих розмірів циліндра зі зменшенням внутрішнього радіуса трі-
щини (b/r0 = 0,9...0,5) значення КІН зростають у дорезонансній зоні, а також
зменшується значення першої резонансної частоти.
37
Рис. 2. Залежності КІН (а–с) та кута повороту накладки (d–f) від частоти для різних радіусів
циліндра: a, d – r0 = 0,20 m; b, e – 0,10 m; c, f – 0,05 m. (1 – b0 = 0,9; 2 – 0,7; 3 – 0,5).
Fig. 2. The dependences of SIF (а–с) and the torsion angle of the rigid circular plate on the
frequency for different cylinder radii: a, d – r0 = 0.20 m; b, e – 0.10 m; c, f – 0.05 m.
(1 – b0 = 0.9; 2 – 0.7; 3 – 0.5).
ВИСНОВКИ
Запропоновано новий числово-аналітичний метод визначення напруженого
стану у скінченному циліндрі зі зовнішньою кільцевою тріщиною під час кру-
тильних коливань. В результаті аналізу числових результатів, отриманих цим ме-
тодом, встановлено, що зовнішня тріщина змінює значення резонансних частот
циліндра і вони є іншими, ніж у циліндра без тріщини; збільшення відношення
між висотою та радіусом циліндра призводить до зменшення частоти першого
резонансу; для незмінних розмірів циліндра та зі зменшенням внутрішнього
радіуса тріщини збільшується значення КІН у дорезонансній зоні і знижується
значення частоти першого резонансу.
РЕЗЮМЕ. Определено напряженное состояние конечного цилиндра с внешней коль-
цевой трещиной при крутильных колебаниях. Колебания происходят в результате дейст-
вия гармонического крутильного момента на жесткую накладку, сцепленную с одним из
торцов цилиндра. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода
относительно неизвестных напряжений в плоскости расположения трещины.
SUMMARY. The stress state of a finite elastic cylinder with an external circumferential crack
under the torsion oscillations was determined. The oscillations are caused by the harmonic torsion
moment influence on the rigid circular plate which is coupled with one of the cylinder ends. The
problem is reduced to the Fredgholms integral equation of the second kind with regard to the
unknown stress in the plane where a crack is situated.
1. Сhen Y. Z. Stress intensity factors a finite length cylinder with a circumferential crack // Int.
J. of Pressure Vessels and Piping. – July 2000. – 77, № 8. – Р. 439–444.
2. Jones I. S. and Rothwell G. Reference stress intensity factors with application to weight
functions for internal circumferential crush in cylinders // Engineering Fracture Mechanics.
– March 2001. – 68, № 4. – Р. 435–454.
3. Попов П. Задача про кручення скінченого циліндра з кільцевою тріщиною // Машино-
знавство. – 2005. – № 9. – С. 15–18.
4. Han Xue-Li and Wang Duo A circular or ring-shaped crack in a no homogeneous cylinder
under torsion loading // Int. J. of Fracture. – 1994. – 68, № 3. – Р. 79–83.
38
5. Ahmet Birinci T. Sucru Ozsahin, and Ragip Erdol Axisymetric circumferential internal crack
problem a thick-walled cylinder with inner and outer claddings // European J. of Mechanics-
A/Solids. – 2006. – 25, № 5. – Р. 764–777.
6. Atsumi A. and Shindo Y. Torsional Impact Response in an infinite Cylinder With a circumfe-
rential Edge Crack // J. Appl. Mech. – 1982. – 49, № 3. – Р. 531–536.
7. Shindo Y. and Li W. Torsional Impact Response of a Thick-Walled Cylinder With a circum-
ferential Edge crack // J. Pressure Vessel Technol. – 1990. – 112–4, № 4. – Р. 367–374.
8. Vaziri A. and Nayeb-Hashemi The effect of crack surface interaction on stress intensity factor
in Mode III chack growth in round shafts // Engng. Frac. Mechanics. – 2005. – 72, № 4.
– Р. 617–629.
9. Scattering of guided waves by circumferential cracks in composite cylinders / H. Bai, A. H. Shah,
N. Popplevel, and S. K. Datta // Int. J. of Sol. and Struct. – 2002. – 39, № 17. – Р. 4583–4603.
10. Bastero J. M. and Martinez-Eshaola Singular character of axisymmetric Stresses around
wedge- shaped notches in cylindrical bodies under torsion: unit step loud // Theoret. and
Appl. Fract. Mech. – 1993. – 18, № 3. – Р. 247–257.
11. Dimarogonas A. and Massourors G. Torsional vibration of a shaft with a circumferential
crack // Engng. Fract. Mech. – 1981. – 15, № 3–4. – Р. 439–444.
12. Динамічний розтяг циліндричного зразка з кільцевою тріщиною / О. Є. Андрейків,
В. М. Бойко, С. Є. Ковчик, І. В. Ходань // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2000. – 36, № 3.
– С. 59–66.
(Andreikiv O. E., Boiko V. M., Kovchyk S. E., and Khodun I. V. Dynamic tension of a cylindri-
cal specimen with circumferential crack // Materials Scince. – 2000. – 36, № 3. – Р. 382–391.)
13. Напружений стан циліндра з зовнішньою кільцевою тріщиною за динамічного закруту
/ Я. Л. Іваницький, В. М. Бойко, І. В. Ходань, С. Т. Штаюра // Там же. – 2007. – 43, № 2.
– С. 55–67.
(Ivanytskyi Ya. L., Boiko V. M., Khodun I. V., and Shtayura S. T. Stress-strain state of a
cylinder with an external circular crack under dynamic torsion // Ibid. – 2007. – 43, № 2.
– Р. 203–214.)
14. Попов Г. Я., Реут В. В., Вайсфельд Н. Д. Рівняння математичної фізики. Метод інте-
гральних перетворень. – Одеса: Астропринт, 2005. – 184 с.
15. Вахонина Л. В., Попов В. Г. Концентрация напряжений вблизи кругового тонкого аб-
солютно жесткого отслоившегося включения при взаимодействии с волной кручения
// Механика твердого тела. Известия РАН. – 2004. – № 4. – С. 70–76.
16. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные
функции. – М.: Наука, 1981. – 799 с.
17. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в
технике. – М.: Мир, 1978. – 520 с.
18. Вахонина Л. В., Попов В. Г. Взаимодействие упругих волн с тонким жестким круго-
вым включением в случае гладкого контакта // Теоретическая и прикладная механика.
– 2003. – № 38. – С. 158–166.
Одержано 10.05.2011
|