Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування
Порівняно значення температури у трибосистемі диск–накладка–супорт, отримані за допомогою двох підходів: числового, на основі методу скінченних елементів, та аналітичного, як розв’язку крайової задачі теплопровідності для півпростору (диск), що рівносповільнено ковзає по поверхні плоско-паралельного...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2011
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139199 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування / О. Євтушенко, М. Куцєй, П. Гжесь // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 59-64. — Бібліогр.: 26 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-139199 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1391992018-06-20T03:04:52Z Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування Євтушенко, О. Куцєй, М. Гжесь, П. Порівняно значення температури у трибосистемі диск–накладка–супорт, отримані за допомогою двох підходів: числового, на основі методу скінченних елементів, та аналітичного, як розв’язку крайової задачі теплопровідності для півпростору (диск), що рівносповільнено ковзає по поверхні плоско-паралельного шару (накладка), нанесеного на поверхню напівбезмежної основи (супорт). Максимальні температури на поверхні контакту накладки з диском зіставлено з відомими експериментальними даними. Сравнены значения температуры в трибосистеме диск–накладка–суппорт, полученные с помощью двух подходов: численного, на основании метода конечных элементов, и аналитического, как решения краевой задачи теплопроводности для полупространства (диск), равнозамедленно скользящего по поверхности плоско-параллельного слоя (накладка), нанесенного на поверхность полубесконечного основания (суппорта). Максимальные температуры на поверхности контакта накладки с диском, полученные с помощью этих подходов, сопоставлены с соответствующими экспериментальными значениями. A comparison of temperatures in the disс-pad-caliper tribosystem was obtained by two approaches: numerical, based on the finite element method (FEM) and analytical, as the solution of the boundary-value problem of heat conduction for a semi-space (disc), sliding at constant retardation along the surface of a plane-parallel strip (pad), deposited on the surface of a semi-infinite foundation (caliper). The maximum temperature on the surface of the contact pads and the disc, obtained using these approaches, is compared with the corresponding experimental data. 2011 Article Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування / О. Євтушенко, М. Куцєй, П. Гжесь // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 59-64. — Бібліогр.: 26 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139199 536.12:621.891:539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Порівняно значення температури у трибосистемі диск–накладка–супорт, отримані за допомогою двох підходів: числового, на основі методу скінченних елементів, та аналітичного, як розв’язку крайової задачі теплопровідності для півпростору (диск), що рівносповільнено ковзає по поверхні плоско-паралельного шару (накладка), нанесеного на поверхню напівбезмежної основи (супорт). Максимальні температури на поверхні контакту накладки з диском зіставлено з відомими експериментальними даними. |
| format |
Article |
| author |
Євтушенко, О. Куцєй, М. Гжесь, П. |
| spellingShingle |
Євтушенко, О. Куцєй, М. Гжесь, П. Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Євтушенко, О. Куцєй, М. Гжесь, П. |
| author_sort |
Євтушенко, О. |
| title |
Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування |
| title_short |
Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування |
| title_full |
Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування |
| title_fullStr |
Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування |
| title_full_unstemmed |
Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування |
| title_sort |
числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139199 |
| citation_txt |
Числовий та аналітичний розв’язки теплової задачі тертя під час гальмування / О. Євтушенко, М. Куцєй, П. Гжесь // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2011. — Т. 47, № 6. — С. 59-64. — Бібліогр.: 26 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT êvtušenkoo čislovijtaanalítičnijrozvâzkiteplovoízadačítertâpídčasgalʹmuvannâ AT kucêjm čislovijtaanalítičnijrozvâzkiteplovoízadačítertâpídčasgalʹmuvannâ AT gžesʹp čislovijtaanalítičnijrozvâzkiteplovoízadačítertâpídčasgalʹmuvannâ |
| first_indexed |
2025-07-10T07:09:52Z |
| last_indexed |
2025-07-10T07:09:52Z |
| _version_ |
1837242928504766464 |
| fulltext |
59
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2011. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 536.12:621.891:539.3
ЧИСЛОВИЙ ТА АНАЛІТИЧНИЙ РОЗВ’ЯЗКИ ТЕПЛОВОЇ ЗАДАЧІ
ТЕРТЯ ПІД ЧАС ГАЛЬМУВАННЯ
О. ЄВТУШЕНКО, М. КУЦЄЙ, П. ГЖЕСЬ
Білостоцька політехніка, Польща
Порівняно значення температури у трибосистемі диск–накладка–супорт, отримані за
допомогою двох підходів: числового, на основі методу скінченних елементів, та ана-
літичного, як розв’язку крайової задачі теплопровідності для півпростору (диск), що
рівносповільнено ковзає по поверхні плоско-паралельного шару (накладка), нанесе-
ного на поверхню напівбезмежної основи (супорт). Максимальні температури на
поверхні контакту накладки з диском зіставлено з відомими експериментальними
даними.
Ключові слова: фрикційне нагрівання, температура, гальмування, метод скінчен-
них елементів.
Нагрівання до високих температур внаслідок тертя між робочими поверхня-
ми накладки та диска – одна з головних причин скорочення часу безаварійної
експлуатації дискових гальм [1, 2]. Тому аналітичні, числові та експериментальні
методи теплового розрахунку є важливим етапом під час проектування таких
систем [3]. Середню температуру в трибосистемах типу накладка–диск найчасті-
ше визначають із розв’язків одновимірних теплових задач тертя для трьох розра-
хункових схем: два півпростори [4–7], плоско-паралельний шар–півпростір [8–11]
та два плоско-паралельні шари [12–14].
Застосовуючи сучасні числові пакети, на основі методу скінченних елемен-
тів (МСЕ) вдалося додатково, порівняно з аналітичними методами, врахувати та-
кі параметри, як скінченність розмірів і термочутливість фрикційних елементів,
залежності від температури коєфіцієнтів тертя і зношування. Ці питання висвіт-
лено у праці [15]. Результати експериментальних досліджень температурного
поля в гальмівних системах знаходимо у працях [16–18].
Нижче, з метою порівняння, подано
результати числового аналізу темпе-
ратур, отриманих на підставі числового,
на основі МСЕ, розв’язку теплової зада-
чі тертя для трибосистеми диск–наклад-
ка–супорт; аналітичного розв’язку од-
новимірної крайової задачі теплопро-
відності для півпростору, що рівноспо-
вільнено ковзає по поверхні плоско-
паралельного шару, нанесеного на по-
верхню напівбезмежної основи; експе-
риментальних даних, отриманих мето-
дом термопар [16].
Контактна особа: О. ЄВТУШЕНКО, e-mail: a.yevtushenko@pb.edu.pl
Рис.1. Схема дискового гальма:
1 – диск; 2 – накладка; 3 – супорт.
Fig. 1. A schemе of the disc brake:
1 – disc; 2 – pad; 3 – caliper.
60
Скінченно-елементна модель. Розглянемо трибосистему, що складається із
трьох основних елементів: рухомого диска і нерухомої накладки, з’єднаної зі су-
портом (рис. 1). Під час гальмування накладка притискається до робочої поверхні
диска, внаслідок тертя на ній генерується тепло і трибосистема нагрівається.
Вважаємо, що: 1) тиск р на поверхні контакту накладки з диском сталий;
2) швидкість відносного ковзання накладки по робочій поверхні диска V зменшу-
ється лінійно з часом від максимального значення в початковий момент часу t = 0
до нуля під час зупинки st t= ; 3) сума інтенсивностей теплових потоків, спрямо-
ваних із поверхні контакту по нормалі всередину накладки і диска, рівна питомій
потужності тертя q = fVp, де f – коефіцієнт тертя; 4) термоопір поверхні контакту
незначний, а тому температури накладки і диска на ній однакові; 5) тепловий
контакт накладки і супорта ідеальний; 6) зовнішні поверхні диска і супорта теп-
лоізольовані, а на решті вільних поверхонь накладки, диска і супорта існує теп-
лообмін із довкіллям за законом Ньютона.
Надалі усі величини, що відносяться до диска, накладки та супорта, познача-
тимемо нижніми індексами 1, 2 та 3 відповідно.
У такому формулюванні в циліндричній системі координат ( , , )r z θ нестаціо-
нарне температурне поле в диску тривимірне, а в накладці та супорті незалежне
від кутової координати θ і двовимірне (рис. 1). Просторову модель на основі
МСЕ для знаходження температури в диску під час гальмування запропоновано
раніше [19]. Перехід від цієї моделі до осесиметричної дає змогу знаходити се-
редню температуру на поверхні диска [20]. Щоб застосувати МСЕ до визначення
температурного поля ( , , )T r z t у цій системі, виконаємо такі кроки:
1) осесиметричне рівняння теплопровідності параболічного типу за допомогою
методу Гальоркіна зведемо до системи звичайних диференційних рівнянь першо-
го порядку, яка у матричній формі має вигляд [21]
[ ] [ ]{ } { } { }d
dt
+ =
TC K T R , (1)
де {T}, {R} – вектори температури та теплового навантаження; [C], [K] – матри-
ці питомої теплоємності і теплопровідності, відповідно;
2) скориставшись апроксимаційною формулою Кренка–Нікольсона [22]
1 [{ } { } (1 )t t t
t t t
d d
t dt dt+∆
+∆
⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ≈ −β + β⎨ ⎬ ⎨ ⎬
∆ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
T TT T ,
({ }tT – значення вектора { }T у момент часу t ; t∆ – крок за часом; 0,5 1≤ β ≤ –
ваговий параметр, який вибираємо так, щоб забезпечити досягнення заданої точ-
ності та стабільності обчислень), матричне диференційне рівняння (1) зведемо до
системи лінійних алгебричних рівнянь
( )([ ] [ ]){ } ([ ] (1 )[ ] ){ } 1 { } { }t t t t t tt t t t+∆ +∆+ β∆ = − −β ∆ + −β ∆ +β∆C K T C K T R R
відносно значень температури у вузлах сітки в момент часу t+∆t.
Обчислювали згідно з цією схемою за допомогою пакета MD Patran/MD
Nastran [23]. Чотиривузлова квадратна сітка МСЕ та крайові умови осесиметрич-
ної моделі фрикційного нагрівання гальмівної системи диск–накладка–супорт
наведено на рис. 2. Поверхню диска поділено на 7000 елементів і 7236 вузлів, на-
кладки – на 3200 елементи і 3381 вузол, а супорта – на 6080 елементів і 6118 вуз-
лів. Для забезпечення виконання умов ідеального теплового контакту між кож-
ною парою вузлів на робочих поверхнях накладки і диска введено 161 в’язь типу
MPC – multi-point constraints.
61
Стабільність обчислень контролювали, перевіряючи зв’язок між просторо-
вими ir∆ , iz∆ і часовим it∆ кроками розбиття 20,1{ , } /i i i it r z k∆ = ∆ ∆ , де ki,
i = 1, 2, 3 – коефіцієнти температуропровідності елементів трибосистеми.
Рис. 2. Fig. 2. Рис. 3. Fig. 3.
Рис. 2. Скінченно-елементна сітка та крайові умови.
Fig. 2. A finite-element mesh and boundary conditions.
Рис. 3. Схема фрикційного нагрівання в триелементній трибосистемі.
Fig. 3. A scheme of frictional heating in a three-element tribosystem.
Аналітична модель. Заміна елементів скінченної товщини di, i = 2,3,4 на
напівобмежені дає вірогідні результати під час знаходження середньої темпера-
тури, якщо 1,73i i sd k t> [16]. За виконання цієї умови середню температуру у
трибосистемі диск–накладка–супорт можна знайти із розв’язку одновимірної
теплової задачі тертя для системи півпростір (диск)–плоско-паралельний шар
(накладка)–півпростір (супорт) (рис. 3).
У формулюванні цієї задачі передбачаємо виконання записаних вище умов
(1)–(5). За допомогою інтегрального перетворення Лапласа встановлено такі фор-
мули для знаходження температури трибосистеми [24, 25]:
0
0
( , )2( , ) ( , ) , 0
( )
i
s
G x
T z t T P x dx
x
∞ ζΛ
= + τ ≤ τ ≤ τ
π ∆∫ , 1,2,3i = , (2)
2 2
1 1 3 3 1 3 1
2
3 1
( , ) [( )cos (1 )sin ]cos( / )
(1 )sin cos sin( / ), 0 ,
G x x x x k
x x x k
∗
∗
ζ = ε + ε + ε + ε ε ζ −
− − ε ζ ≤ ζ < ∞
(3)
2 1 3 3 1 3( , ) ( )cos cos[(1 ) ] (1 )sin sin[(1 ) ]G x x x x xζ = ε + ε + ζ + ε + ε ε + ζ , 1 0,− ≤ ζ ≤ (4)
3 1 3 3 1 3 3( , ) ( )cos cos[(1 ) / ] (1 )sin sin[(1 ) / ],
1,
G x x x k x x k∗ ∗ζ = ε + ε + ζ + + ε ε + ζ
−∞ < ζ ≤ −
(5)
2 2 2 2
1 3 1 3( ) ( ) cos (1 ) sinx x x∆ = ε + ε + + ε ε , (6)
2 22 2 2( , ) (1 ) / [ (1 ) / ]/( ),x x
sP x e x e x x− τ − ττ = − − τ − − τ (7)
1,3 1,3
1,3 1,3 1,322 2
1,32 2
2 2 2 22 2 1,3
, , , , , ,s
s
K K kk tqd z k t K k
K d K kd d k
∗
∗ ∗
∗
Λ = ζ = τ = τ = ε = = = . (8)
62
де Т0 – початкова температура. Інтегрування у формулах (2)–(8) здійснювали чи-
сельно за допомогою пакета QUADPACK [26].
Числовий аналіз. Обчислення виконано для диска, виготовленого із чавуну
ЧМНХ (K1 = 37,2 W/(mK), c1 = 500,31 J/(kgK), ρ1 = 7100 kg/m3), металокерамічної
(ФМК-11) накладки (K2 = 34,3 W/(mK), c2 = 505,21 J/(kgK), ρ2 = 4750 kg/m3) і ста-
левого (30ХГСА) супорта (K3 = 51 W/(mK), c3 = 468,975 J/(kgK), ρ3 = 7800 kg/m3)
[17]. Значення оперативних вхідних параметрів такі: контактний тиск p = 1 MPa,
початкова швидкість V = 30 m/s, коефіцієнт тертя f = 0,7, коефіцієнт теплообміну
h = 60 W/(m2K), час гальмування ts = 3,44 s, початкова температура T0 = 20°C [16].
Розміри фрикційних елементів трибосистеми наведено в таблиці.
Розміри елементів трибосистеми
Параметри Диск, i = 1 Накладка, i = 2 Супорт, i = 3
Внутрішній радіус ri, m 0,07 0,08 0,08
Зовнішній радіус Ri, m 0,12 0,12 0,12
Товщина di, m 0,01 0,005 0,02
Рис. 4. Розподіл температури з часом на поверхні контакту z = 0 (a) та в поперечному
перерізі фрикційних елементів для t = 1,6 s (b): 1 – r = 0,08 m; 2 – 0,1; 3 – 0,12 m.
Суцільні криві – МСЕ модель; штрихова – аналітичний розв’язок.
Fig. 4. Distribution of temperature in time on the contact surface z = 0 (a) and in the cross-
section of friction elements at t = 1.6 s (b): 1 – r = 0.08 m; 2 – 0.1; 3 – 0.12 m.
Solid curves – the FEM model; dashed curve – the analytical solution.
З початком гальмування температура на поверхні контакту накладки з дис-
ком швидко підвищується, досягаючи максимального значення приблизно в по-
ловині гальмівного шляху, після чого аж до зупинки охолоджується (рис. 4а). У
фіксований момент часу найнижча температура на внутрішній поверхні наклад-
ки, а найвища – на зовнішній. Зокрема, значення максимальної температури
Tmax = 401,2°C; 651,3°C; 726,1°C; 796,2°C; 843,7°C знайдено для r = 0,08 m; 0,09;
0,1; 0,11; 0,12 m, відповідно. Крім цього, бачимо, що значення Tmax = 742°C, знай-
дене за формулами (2)–(8), незначно відрізняється від отриманого (726,1°C) для
r = 0,1 МСЕ та експериментального 760°C [16].
Найвища температура досягає поверхні контакту, коли 0z = (рис. 4b). Її
зниження в накладці (для [0;0,05mm]z∈ ) з віддаленням від поверхні тертя май-
63
же лінійне. Ефективна глибина прогрівання диска та супорта (відстань від по-
верхні контакту, на якій температура рівна 5% від максимального значення) ста-
новить близько двох з половиною товщин накладки. Розподіли температури в
накладці та диску, знайдені за допомогою аналітичного розв’язку (2)–(8) та МСЕ,
практично збігаються. Незначну різницю температур, обчислених на підставі цих
двох підходів, спостерігаємо в супорті.
ВИСНОВКИ
Встановлено, що одновимірні моделі теплоутворення у трибосистемі нак-
ладка–диск–супорт дають можливість досить адекватно до експериментальних
даних визначати середню температуру як на поверхні контактну, так і всередині
фрикційних елементів. Найкраще узгодження температури, знайденої за допомо-
гою аналітичного розв’язку одновимірної теплової задачі тертя під час гальму-
вання, з відповідними числовими результатами, отриманими за допомогою МСЕ,
зафіксовано на середньому радіусі накладки 2 20,5( )r r R= + .
РЕЗЮМЕ. Сравнены значения температуры в трибосистеме диск–накладка–суппорт,
полученные с помощью двух подходов: численного, на основании метода конечных эле-
ментов, и аналитического, как решения краевой задачи теплопроводности для полупрост-
ранства (диск), равнозамедленно скользящего по поверхности плоско-параллельного слоя
(накладка), нанесенного на поверхность полубесконечного основания (суппорта). Макси-
мальные температуры на поверхности контакта накладки с диском, полученные с помощью
этих подходов, сопоставлены с соответствующими экспериментальными значениями.
SUMMARY. A comparison of temperatures in the disс-pad-caliper tribosystem was ob-
tained by two approaches: numerical, based on the finite element method (FEM) and analytical,
as the solution of the boundary-value problem of heat conduction for a semi-space (disc), sliding
at constant retardation along the surface of a plane-parallel strip (pad), deposited on the surface
of a semi-infinite foundation (caliper). The maximum temperature on the surface of the contact
pads and the disc, obtained using these approaches, is compared with the corresponding experi-
mental data.
Роботу виконано за проектом “Iuventus Plus” No. IP 2010 021270, фінансо-
ваним із державного бюджету Польщі.
1. Александров М. П. Тормозные устройства в машиностроении. – М.: Машиностроение,
1965. – 676 с.
2. Newcomb T. P. and Spurr R. T. Braking of road vehicles. – London: Chapman and Hall,
1967. – 292 p.
3. Гинзбург А. Г., Чичинадзе А. В. Применение уравнений тепловой динамики трения для
расчета рабочих характеристик тормозов // Тепловая динамика трения. – М.: Наука,
1970. – С. 7–17.
4. Левицький В. П., Бурнаєв О. М. Оптимізація зношування з врахуванням теплоутворен-
ня від тертя // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1993. – 29, № 5. – С. 91–94.
(Levyts’kyi V. P. and Burnaev O. M., Wear Optimization with Regard to Frictional Heat
// Materials Science. – 1993. – 29, № 5. – Р. 530–534.)
5. Євтушенко О. О., Пир’єв Ю. О. Розрахунок контактної взаємодії та зносу фрикційних
елементів гальм // Там же. – 1998. – 34, № 2. – С. 93–96.
(Evtushenko O. O. and Pyr'ev Yu. O. Calculation of the contact temperature and wear of
frictional elements of brakes // Ibid. – 1998. – 34, № 2. – P. 249–254.)
6. Yevtushenko A. A., Ivanyk E. G., and Yevtushenko O. O. Exact formulae for determination of
mean temperature and wear during braking // Heat Mass Trans. – 1999. – 35, № 2.
– P. 163–169.
7. Носко А. Л., Носко А. П. Решение контактной тепловой задачи с учетом теплопередачи
между элементами трибосопряжения // Трение и износ. – 2006. – 27, № 3. – С. 279–284.
64
8. Yevtushenko A. and Kuciej M. Influence of convective cooling on the temperature in a fric-
tionally heated strip and foundation // Int. Commun. Heat Mass Trans. – 2009. – 36, № 2.
– P. 129–136.
9. Yevtushenko A. A. and Kuciej M. Influence of the convective cooling and the thermal resis-
tance on the temperature of the pad/disc tribosystem // Ibid. – 2010. – 37, № 4. – P. 337–342.
10. Yevtushenko A. A., Kuciej M., and Yevtushenko O. O. Influence of the pressure fluctuations
on the temperature in pad/disc tribosystem // Ibid. – 2010. – 37, № 8. – P. 978–983.
11. Kuciej M. Investigation of the temperature field induced in the process of friction of a com-
posite pad and a homogeneous disc // Ibid. – 2011. – 38, № 1–2. – P. 16–24.
12. Гриліцький Д. В. Термопружні контактні задачі в трибології. – К.: Ін-т змісту і методів
навчання Міністерства освіти України, 1996. – 204 с.
13. Носко А. Л., Беляков Н. С., Носко А. П. Применение обобщенных граничных условий к
решению тепловых задач трения // Трение и износ. – 2009. – 30, № 6. – С. 279–284.
14. Євтушенко О. О., Пир’єв Ю. О. Температура та знос поверхні тертя металокерамічної
накладки і металевого диска під час гальмування // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2000. – 36, № 2. – С. 55–59.
(Evtushenko O .O. and Pyr'ev Yu. O. Temperature and wear of the friction surfaces of a
cermet patch and metal disk in the process of braking // Materials Science. – 2000. – 36,
№ 2. – P. 218–223.)
15. Yevtushenko A. A. and Grzes P. The FEM-modeling of the frictional heating phenomenon in
the pad/disc tribosystem (a reviev) // Numerical Heat Trans., Part A. – 2010. – 58, № 3.
– P. 207–226.
16. Расчет, испытание и подбор фрикционных пар / А. В. Чичинадзе, Э. Д. Браун,
А. Г. Гинзбург, З. В. Игнатьева. – М.: Наука, 1979. – 267 с.
17. Балакин В., Сергиенко В. Тепловые расчеты тормозов и узлов трения. – Гомель: Ин-т
механики металлополимерных систем им. В. А. Белого НАНБ, 1999. – 220 с.
18. Yun-Bo Yi, Barber J. R., and Hartsock D. L. Thermoelastic instabilities in automotive disc
brakes – Finite element analysis and experimental verification / Eds. J. A. C. Martins and
Manuel D. P. Monteiro Marques // Contact Mechanics. – Dordrecht: Kluwer, 2002.
– P. 187–202.
19. Adamowicz A. and Grzes P. Analysis of disc brake temperature distribution during single
braking under non-axisymmetric load // Appl. Thermal Engn. – 2011. – 31, № 6–7.
– P. 1003–1012.
20. Yevtushenko A. A. and Grzes P. Finite element analysis of heat partition in a pad/disc brake
system // Numerical Heat Trans., Part A. – 2011. – 59, № 7. – P. 521–542.
21. Lewis R. W., Nithiarasu P., and Seetharamu K. N. Fundamentals of the finite element
method for heat and fluid flow. – New York: John Wiley & Sohns, 2004. – 335 p.
22. Crank J. and Nicolson P. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial
differential equations of the heat conduction type // Proc. Camb. Phil. Soc. – 1947. – 43,
№ 1. – P. 50–67.
23. MSC. Software, Reference Manual MD Nastran, Version r2.1. – 2008.
24. Yevtushenko A., Kuciej M., and Yevtushenko O. The contact heat transfer during frictional
heating in a three-element tribosystem // Int. J. Heat Mass Trans. – 2010. – 53, № 13–14.
– P. 2740–2749.
25. Yevtushenko A. A., Kuciej M., and Yevtushenko O. Three-element model of frictional heating
during braking with contact thermal resistance and time-dependent pressure // Int. J. Therm.
Sci. – 2011. – 50, № 6. – P. 1116–1124.
26. QUADPACK: A Subroutine Package for Automatic Integration / R. Piessens, E. De Donc-
ker–Kapenga, W. Uberhuber, D. K. Kahaner. – Berlin: Springer-Verlag, 1983. – 301 p.
Одержано 15.09.2011
|