Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites
Dynamics of thin-structure domain walls (DW) has been studied taking into account of the g-factor anisotropy. The line speed has been found as a function of the DW motion speed different from that known before. A 180-deg DW of the Neel type with a zero-deg Bloch line localized thereon has been consi...
Збережено в:
Дата: | 2004 |
---|---|
Автори: | , , |
Формат: | Стаття |
Мова: | English |
Опубліковано: |
НТК «Інститут монокристалів» НАН України
2004
|
Назва видання: | Functional Materials |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139450 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites/ E.G. Ekomasov, M.A. Shabalin, O.B. Gaeva // Functional Materials. — 2004. — Т. 11, № 3. — С. 480-485. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-139450 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1394502018-06-21T03:04:02Z Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites Ekomasov, E.G. Shabalin, M.A. Gaeva, O.B. Dynamics of thin-structure domain walls (DW) has been studied taking into account of the g-factor anisotropy. The line speed has been found as a function of the DW motion speed different from that known before. A 180-deg DW of the Neel type with a zero-deg Bloch line localized thereon has been considered using numerical methods. The law of the magnetization vector turning, effective widths of the DW and line, and energy per unit line length have been determined for such a DW. The more precise taking of the DW bidimensionality into account has been shown to result in significant differences as compared to the approximate analytical methods. Исследована динамика доменных границ (ДГ) с тонкой структурой с учетом анизотропии g-фактора. Найдена скорость движения линии в зависимости от скорости движения ДГ, отличающаяся от ранее известной. С помощью численных методов, рассмотрена 180-градусная ДГ неелевского типа с локализованной на ней ноль-градусной линией Блоха. Определены закон разворота вектора намагниченности такой ДГ, эффективные ширины ДГ и линии, энергия, приходящаяся на единицу длины линии. Показано, что более точный учет двумерности ДГ приводит к существенным отличиям по сравнению с приближенными аналитическими методами. Досліджєно динаміку доменної мєжі (ДМ) з тонкою структурою з урахуванням анізотропії g-фактора. Знайдено залежність швидкості руху лінії від швидкості руху ДМ, яка відрізняється від відомої раніше. За допомогою числових методів розглянуто 180-градусну ДМ неєлівського типу з локалізованою на ній нуль-градусною лінією. Визначено закон повороту вектора намагніченості такої ДМ, ефективні значення ширини ДГ та лінії, енергію на одиницю довжини лінії. Показано, що більш точне урахування двовимірності ДМ приводить до істотних відмінностей порівняно з наближеними аналітичними методами. 2004 Article Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites/ E.G. Ekomasov, M.A. Shabalin, O.B. Gaeva // Functional Materials. — 2004. — Т. 11, № 3. — С. 480-485. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. 1027-5495 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139450 en Functional Materials НТК «Інститут монокристалів» НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
English |
description |
Dynamics of thin-structure domain walls (DW) has been studied taking into account of the g-factor anisotropy. The line speed has been found as a function of the DW motion speed different from that known before. A 180-deg DW of the Neel type with a zero-deg Bloch line localized thereon has been considered using numerical methods. The law of the magnetization vector turning, effective widths of the DW and line, and energy per unit line length have been determined for such a DW. The more precise taking of the DW bidimensionality into account has been shown to result in significant differences as compared to the approximate analytical methods. |
format |
Article |
author |
Ekomasov, E.G. Shabalin, M.A. Gaeva, O.B. |
spellingShingle |
Ekomasov, E.G. Shabalin, M.A. Gaeva, O.B. Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites Functional Materials |
author_facet |
Ekomasov, E.G. Shabalin, M.A. Gaeva, O.B. |
author_sort |
Ekomasov, E.G. |
title |
Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites |
title_short |
Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites |
title_full |
Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites |
title_fullStr |
Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites |
title_full_unstemmed |
Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites |
title_sort |
properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites |
publisher |
НТК «Інститут монокристалів» НАН України |
publishDate |
2004 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139450 |
citation_txt |
Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites/ E.G. Ekomasov, M.A. Shabalin, O.B. Gaeva // Functional Materials. — 2004. — Т. 11, № 3. — С. 480-485. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
series |
Functional Materials |
work_keys_str_mv |
AT ekomasoveg propertiesofthethinstructuredomainwallsinrareearthorthoferrites AT shabalinma propertiesofthethinstructuredomainwallsinrareearthorthoferrites AT gaevaob propertiesofthethinstructuredomainwallsinrareearthorthoferrites |
first_indexed |
2025-07-10T08:16:32Z |
last_indexed |
2025-07-10T08:16:32Z |
_version_ |
1837247126515482624 |
fulltext |
���������� �
��� ����
� ��������� �����
����� �
���������� ������
�������
�����������
���
���������
�������� �
������������
�����
���������
��
��� ��
����
������
���
����������� �
������
�� �����
��
��� ���������
!����
"�##�
$�%&
���
'��
���!��!
���� (
� ��
����� �
��
���
� ������
� ������)��
*��
#� �
�)��!
���
'��
��� !
��
�
�� ����
��
���
�%
�����
�)��!
!������ �
����
����
� �"
'������
+
,-� !�(
�%
��
���
.��#
��)�
"���
�
���� !�(
�#���
#� �
#���#���!
������
���
'��
�� ��!���!
��� (
�������#
�����!��
*��
#�"
��
���
��( ��������
������
��� � (�
���������
"�!���
��
���
�%
� !
#� ��
� !
� ��(�
)��
� ��
#� �
#� (��
����
'��
!������ �!
���
����
�
�%�
*��
����
)������
���� (
��
���
�%
'�!��� ��� �#���
� ��
����� �
���
'��
���"
��
����#�
�
��( ����� �
!������ ���
��
���)���!
��
���
�))��/�����
� �#�����#
�����!��
01123�45676
�87698:6
�49377;<
�=678�
$>?&
1
@47:4A
1@=B:@B=4A
1
B�3@49
678C4
@=4D88
� E6:@4=6�
F6A�376
1:4=41@�
�58G378H
28788
5
C65818941@8
4@
1:4=41@8
�58
G378H
>?�
4@28�6�I6H1H
4@
=6733
8C531@74A�
J
D494I��
�812377;<
93@4�45�
=61194@
=376
,-� �=6�B176H
>?
7332351:4�4
@8D6
1
24:628C456774A
76
73A
742� �=6�B174A
28
783A
K24<6�
LD=3�3237;
C6:47
=6C54=4@6
53:@4=6
7696�78�37741@8
@6:4A
>?�
MEE3:@857;3
�8=87;
>?
8
28788�
M73=�8H�
D=8<4�HI6H1H
76
3�878�B
�287;
28788�
N4:6C674�
�@4
O4233
@4�7;A
B�3@
�5B93=741@8
>?
D=854�8@
:
1BI31@5377;9
4@28�8H9
D4
1=657378�
1
D=8O28G377;98
67628@8�31:898
93@4�698�
*�
!����
���
!� �����
��
����(� ����
!����
"�##�
$�%&
�
���� �����
����� ���
�����
$�PQ&
'�� (
� ��##� ���
� �������
��( �����
"���
"���
�������( �����
$%�R&
��
���!��!
�
�/)����� �
�
!����#
� ��(�
� !
�/)#�� �!
����������##�
�
���
��������
S,�
�T�
U
�� �����
��
�������( ����
���
��������
"���
���
V��� V
���������
�
�����(����
��
W����
!������ ��
*���������##��
���
�/���� ��
)����'�#���
���
�"�
V��� V
���������
��)��
��
�%
�
�PQ
"��
)��
!����!
������
#� (
�(�
���
���
����
"��
�
X
���Y���
ZZ
,
$���
� !
���
'�� (
���
��
�������
� ������)�
�� ��� ��
�
���
�'
� !
�'
)#� ���
���)������#�&
S�T�
*��
!� ����
���������������
��
����
�%�
����
!�����
��(
����� �#�
����
�����
��
�%�
"���
#� ��
�
�������( ���
S��
�T�
���
�/��)#��
���
(�
�����)��
����
��
���
!� ����
�����
���� (
�
���
�PQ
#� �
�))����
�
�
�/��� �#
���#!
)��)� !���#��
��
���
�������
)#� �
��
���
� ���������( �����
������
�
� !
��
���
'�
���)���'#�
��
���
� �����
� !
���������
�����
�
�'��#���
��#���
*����
���
�#��
�/
)����� ��#
����#��
S[\-T
"����
��
'�
� ���
)����!
��
�'��������
��
!� ����
#� ��
�
�
�%
�
�PQ
���� (
��
�
��)���� ��
�)��!�
U
�����
�/)����� ���
��"�����
�� !�
��� �
"���
���!
����
"���
��
�� ��!���!
����������##�
$��(��
�
.��#
�%�
��(�
�)��!�
��
���
�%
� !
#� �&�
��
�����
(� ���##�
�)���� (�
��
��
� �#���
"���
�
�)������
��)�
��
���
�%
V��� V
���������
��
���#���!
�
)��������
U
S-T�
�
!��'�
���
'��
�/)�����!
����
���
�/)����� ��#
����#��
�'��� �!�
��(��
���
#� �
�)��!
!�)� !� ��
�
���
�%
�)��!�
��
'�
�/)#�� �!
"�##
� ��(�
��� (
���
���#!
(������)��
������
U
)�� ��)#��
�����
�������
��)��
��
)����'#�
(������)��
������
���
� �"
���
�"� ��'#������
��( �����
S]T�
U
���
����
��
�����
���!
�
�/)����� ��
S[\-T�
��"�����
���
�����
��
�����
������
$��
��#�� (
����
�
)���#�
��#���������
� ����� �
�
���
����#���� ���
� �������� &
��
�'�� ��
��
"�##
��
���
���� !
� �
���������!
"���
���
!������ ��
'��"��
���
��( ��� ��
��� ���#
������
��
���
��'#��������
*�
�'���
���
����!
������
����#��
��
����
�
�������(
�� ���� �#
R������#�
,,�
.���
$����& ^
����
_
U �������
���
�� (#�
`�����#�
��
���
��������
���������������� �
���
� !
)��)����� �#
��
���
���������
��(
��������
��
��'#��������
���
��
��
��������
��
���
!�"
���
���
��
� �
��
���
� ��(��#�
��
X
�
�
���
�����
�W����� �
���
��( ���
����� �
*�
!����
����
��
���#���!
���
����(�
����
��( �����
� #�
S,�T�
*���������
��
!�
����
�
�"
�� !
��
(������)��
������
��
��
��
� ������
��
����
� ��
����� �
���
� ������)�
��
���
� ������
����
���
'�
��
(����
��)��
�� ��
�
���
� ���������( ��
!� �����
S,,T�
U
(� ���#
�����
���
a#���� U���������
���
�W�����
���
�)�
)#� ��
����#!
'�
���!
��
����
� !�
U�
���
'��
���"
S,,T
����
���
b� !�� b�������
�W����� �
��
'�
�))#��!
��
�
��( ����
"���
� ������)��
� ������
��
���
#�����
��
����
� ��
����� �
�
������!�
����
)��� ���#
�����(�
���
c����
� ��(��
U
����
"����
������
���
!� �����
��
�
���
���������
�%
��
���!��!
���� (
� ��
����� �
���
� ������
� ������)��
���� !�
�
,-� !�(
.��#
�%
"���
�
���� !�(
#� �
��
�� ��!���!
��� (
�������#
�����!�
���
��'������
��#���
��
���
�������#
W��#���
������
��
b��
�
� �� ���
�PQ
)#���
'�
�� ��!���!
�
���
�"� ��'#������
��!�#�
*��
�'����
�����
��
!�����'�!
'�
�"�
��'#������
��( ��������
�������
�,
� !
��
"���
���
����
��!�#��
$d�,d
X
d��d
X
��&�
*�� �
���
�������( �
����
������
�
� !
���
� ���������( �����
� ��
��
��
'�
!������ �!
��
�
X
$�,
e
��&Y����
�
X
$�,
\
��&Y����
���)������#��
*��
`�������
����!� ���
�/��
/�
��
�
���
'�#����!
��
'�
���� ��!
�#� (
���
������#
#�(��)���
� ��
��
'�
��
���)������#��
*��
�
��(�
!� ����
��
���
�PQ
��
'�
)���� ��!
S,��
,,T
��
��
=
,
�
���
+
,
�
�(∇�)
�
+
�[��]
+
�,
�
��
�
+
��
�
��
�
−
−
�����
+
,
�
�(��)�
+
,
�
�′����
−
−
���τ,����
−
�������
$,&
"����
��
�
���
���
����(� ����
� !
� ��
��(� ����
�/��� (�
�� ��� ���
���)��
����#�f
��
�′�
���
���������
�/��� (�
� ���
�����
�� ��� ��f
�,�
���
���
���� !
��!��
� ������)�
�� ��� ��f
��
���
�/��� �#
��(
����
���#!�
*��
W�� ������
τ,�
τ�
����
� ��
����� �
���
� !��(� �#
���)� � ��
��
�
������)��
� ������
���
�PQ
�
�
��(� ���
)�������
��( ����
)�����
τ,
X
���Y����
τ�
X
���Y����
���
���
���
� ������)��
�� ���
���
)� � ���
*��
������
�
X
�!�
"����
��
���
�/��� (� ��#���������
����#���� ���
� �����
��� �
*��
�����
�W����� �
���
�
� !
�
���
����
"����
���
�/��� (�
�))��/������
S,�T�
���
���
����
�
gg
��
����#��
��
���
)���
� ���������( ���
S,�T
$)����!�!
����
���
��
!����
λ,�Y����"
gg
,�
�"
X
$�
e
�′&Y���
��
���&�
���
������
�
��
��#���!
��
�
� �
'�
���
��#���� ���)
�
=
χ⊥
��
[�
.
��]
+
λ,χ⊥
��
�[�
.
.
��]
+
+
,
�
[���]
−
���[�(��)
−
�]
(,
+
ε,��
+
��#)
−,
�
$�&
"����
γ
��
���
(�����( ����
�����f
α�
λ,�
�
���
��#���������
��#�/����
�� ��� �
� !
���
�/��� (�
� ��f
χ⊥
X
��Y�"�
���
��( ����
�����)��'�#���
���)� � �
)��)� !���#��
��
���
�W��#�'����
�
!������� f
ε,
X
τ,��Y��"�
ε�
X
�Y��"�
�� (
$�&�
��
��
����
��
�'���
$)����!�!
����
�� !�����
λ,� Y����"f
��Y�
gg
,�
�
X
Y���
���
���
� !
���� (
� ��
��
��� �
����
τ�
�����
���
���##&
���
�W�����
[�
.
.
��]
−
��[∆���]
+
γ
���
�[���](��)
+
�
���
�
∂��
∂�
��
=
−
�
�
�
��
���
−
��
χ⊥
(α
−
λ�
��
∆)[�
.
��]
−
−
λ,χ⊥
��
�
[
�
.
.
.
]
+
[�
.
.
��]
+
γ
�[[���
.
]�]
+
[[�
.
��]�]
−
−
γ�
���
[[���]�]
+
γ(��τ,�
.
�
+
��τ��
.
�)
×
×
χ⊥
���γ
�[�
.
�T
+
χ⊥
���
�
S��T
+
���
�
S�
−
�(��)T
−
−
γ
χ⊥
���
.
�
$�&
.���
����
"��
��
X
τ,
X
τ�
X
��
���
PW�$�&
��� ��!��
"���
���
� �"
�W�����
���
�
�
S�T�
*��
����� �
���
��
� !
τ�
��
��#��
�
�"
�����
�
����
�W����� �
� �#�!
� (
���
(������)��
�� !
� ���
PW�$�&
��
����
���)#�/
� !
���'�������
��
��
��
!������#�
��
��#��
��
���
�
���
���)#���
����
��
'�!��� ��� �#
�%
"���
�
�� (#�
#� ��
*���
��
"��
�
"���
��##�"��
"�
"�##
����
���
��
�
���)#����!
!�����)���
�
���
�����
��
��##������
�����'#�
�����!�
�� ��
���
�/��� (�
��#�/����
������
��
���!��!
�
!����#
�
S�T�
"�
"�##
'�#����
λ,
X
λ�
X
��
*��
��#�
#� �
)���� ��
� �#�
� ���
� #�
�#�(��#�
���
!� �����
��
�%
��
��#��
��
��
��
'�
'�#����!
����
���
�))���
"$%$"������&��
���$�'�(��)��
�����*�
+��,
+��,��$$$
���
��������
���������������� � ��-
� ��
��
�"
�����
�
$�&
!���
��
������
����
�� ��!���'#�
���
�/)������
���
���
�%
�)��!
����
��
���!��!
W����
���)����
����#�
$����
��(��
S�T&�
*���������
"�
"�##
��
������
�����#���
'�
�� ��!������
��
���
#� �
�����
�)��!
�
�
�%
��
�
�PQ�
���
!��� ��� ���
�����
#��
���
��(� ���
)�������
��( ����
)����
h���
'�
�� ��!���!
"����
�
�
!����
�ddQc
� !
�ddQi�
� !
�
.��#
��)�
�%
"���
�
�������
��
�
$���
�%
)#� �
'�� (
)���##�#
��
jc&
�� ��� � (
�
,-� !�(
�������#
#� �
"������
�
�
������� �
+�
.��
ZZ
.��
Z
�
"����
.��
X
�Y�
\
�,�
.��
X
�Y�
\
���
��� (
���
�����!
!�����'�!
'�����
S��
�T�
"�
��
!�����
�
�W�����
���
���
�)��!
��
���
�� ���
��
�
��#�
#� �
&�/�
&0
����
!�����'�!
���
#� �
!� ����
�
�PQk
(��
−
��
∗)&�/
+
�,
&�/
�
,
−
&�/
�
��
,
⁄
�
+
+
��
&�/
� &0
,
−
&0
�
��
,
⁄
�
,
−
&�/
�
��
,
⁄
�
+
+
��
&0
,
−
&�/
�
��
,
⁄
�
,
−
&0
�
��
,
⁄
�
−
��
&0
�
,
−
&�/
�
��
,
⁄
�
,
−
&0
�
��
+
+
&0
,
−
&�/
�
��
,
⁄
�
,
−
&0
�
��
,
⁄
�
=
��
,
−
&�/
�
��
,
⁄
�
�
$�&
"����
��
=
π�!
α�"
Λ�
δ�
�
�,
=
π
[
τ�Λ�
�
��
γ� �"
�
��
=
π
,�
τ,��
αΛ��"
� γ
�
��
∗
=
π
α�"
Λ�
δ�
����"�
��
=
π�
,[
τ,��
�
α�"
�
�
��
=
τ�
�� �"�
�
��
=
µ0����
µ0�
=
π
-
γ� Λ�
α�"
�
$�&
%��
!����� (
PW�$�&�
���
�)��!
��
�%
����#�
$"���#�
!�)� !� (
�
���
)���� ��
��
�
��#�
#� �&
��
'�#����!
��
'�
���
����
��
���
����(� ����
�%
S�T�
.���
����
�
PW�$�&�
�"
�����
$"���
��
������� ��
���
���
� !
,&
�))���
�#� (
"���
���
� �"
� ���
*����
����
������
���
(���
���)��
��)�
����
)��)����� �#
��
��
� !
�
������!
��
���)���!
��
����
)��)����� �#
��
��
'������
��
�/��� (��
���� !�
���
�����
�
)��)�����
��
&�
�/
� !
&�
0�
*���!�
��
��
�
����
��/�!
"���
���)���
��
&�/
� !
&0�
PW�$�&
��
'�
��!���!
��
� �
W��!�����
"���
���)���
��
�����'#��
&�/
⁄
(,
−
&�/�
⁄��)l,Y�m
� !
&0
⁄
(,
−
&0�
⁄
��)l,Y�m
���� (
���
��#����
��
���
����
&0
=
*(&�/)
,
+
*(&�/)
��
,
⁄
�
�
$�&
"����
*(&�/)=�
±
√��
+
���1
���
�
=
,
+
��
&�/
�
,
−
&�/
�
��
+
��
1
=
(��
−
��
∗)
&�/
,
−
&�/
�
��
,
⁄
�
+
+
�,
&�/
�
(,
−
&�/�
⁄
��)
−
���
$[&
.���
����
���
���
����
��
gg
,
� !
&
gg
��
P�W�$�&
���
�"�
)����'#�
��#���� �k
&,
≈
−1
⁄
�� $n&
&�
≈
�
⁄
��
+
1
⁄
�� $-&
%��
��
X
��
���
�/)������
���
�
��
'�
���)#����!
��( ����� �#�k
*∗
=
(��
−
��
∗)&�/(,
−
&�/�
⁄
��),⁄�
(,
−
&�/�
⁄
��
+
��&�/
� )
�
$]&
*��
��#����
�'��� �!
'�����
"������
��
��� �
���
���
� ������
� ������)��
&,
≈
−��&�%
S�T�
!������
����
$n&
�
����
�"
���
��������
� !
!� ��� ����
��
$n&
��
���
�"
�����
)��)����� �#
��
&�
�/�
+#
����(�
�
��#���
���
τ�
)���������
����
'��
��� !
�
#����������
��
��
���
����
$�&
����
���
�"
�����
$�
)��)�����
��
τ�&
���
�� ��!���'#�
���##��
���
���
������
� ���
��(� � (
����
��(�
�)��!��
��"�����
���
� ������
� ������)�
��
� �#�� ��
��( ���
�� �#�
���
#� �
!� ������
U�
��
�#��
��
� ���
���
��
�� ��!��
���
����
�!
X
�
"��
�����
��
�
����#
(������)��
������
U�
��
���
����
$�&
����
�
����
�����
���
����
��
&0$&�/&
"$%$"������&��
���$�'�(��)��
�����*�
+��,
+��,��$$$
���
���
��������
���������������� �
!�)� !�
��'��� ���##�
�
���
%��#�
��
���##
��
���
�� ����
&0$&�/&
��
�#����
�
�����(��
#� �
)���##�#
��
�'������
�/���
��
�� !�
��
�
)���'�#�
��
#��(�
���
b��
�"
���
��
≠
�
�))���� ��
�����
���
'�
!�������!�
Q �
)����'#�
����� ���
�� �����
�
����
���
� ����
���)� � �
��
��( ����
�����)��'�#���
#� (���!� �#
"���
���)���
��
���
�W��#�'����
�
!������� �
χdd�
��
����
� ��
����� �
S,�T�
���
���)#������
"�
��
��������
�����#���
��
���
����
"��
��
≈
��χddY���
'���
�
�������
� !
�
!�
������
*��
���
��������� �
��
�
$�&
��
'�
�� ����#���!
��
��′
=
π
α�"
Λ�
δ�
�!
−
χdd
��
χ⊥
�
U�
��
���
���������
����
�
�"
(������)��
�����
��
�))����!�
U�
���
��"�����
�
)��)��
���
��
���
�/��� �#
��( ����
���#!
��
��
"��
'������
'��
����
�����
��
���
��
���)� � ��
+�
���
������
��
�%
"���
,-� !�(
#� ��
��
� �'#�
�"
�/)#��
���)#���#�
���
�/)���
�� ��#
����#��
S-T�
��
��
��
� ������
��
���!�
���
������
� !
!� ����
�%
"���
���� !�(
#� ��
��
��'������
��#���
��
���
�������#
W��#���
������
��
U
"���
��##�"��
#��
���
��������
��
���
������
���������
'�
�� ��!
���!
���
�
,-� !�(
.��#
�%
$����#��
��
����
�� ��!���!
�'���&
'��
����
����
�� ��� � (
�
���� !�(
#� ��
.�������#
�����!�
"�##
'�
���!
��
����
� !�
��
� �#�(�
"���
S,�T�
��
��
������!
����
�
(� ���#
�����
θ$��!&�
ϕ$��!&�
���
�"
�
������
��
�W����� �
!�����'� (
���
'�!��� ��� �#
�%
���������
��� (
�
(�#��
�����'#��
�
=
�(���θ��� θ�� ϕ��� θ���ϕ)k
∆θ
−
(
.��
−
.������ϕ
+
�(∇ϕ)
�
)
�� θ���θ
=
��
$,�&
��� θ∆ϕ
−
.����
�θ�� ϕ���ϕ
+
+
��� θ���θ∇θ∇ϕ
=
��
$,,&
���
�
���
� ����#
�))��/������
���
����
θ�
=
����((�/)(�
⁄
δ))�
ϕ�
=
����(
�2
�/)(!
⁄
�,
⁄
�δ�)
+
�/)(−!
⁄
�,
⁄
�δ�)
�
$,�&
"����
θ�$±∞&
X
��
π�
ϕ�$±∞&
X
��
δ
X
δ�$,
e
�\,�� �ϕ�&
\,Y�
��
���
�%
"�!��f
2�
��)#���!�
$��/����
!�������
��
���
������
�
�
���
�%
�� ���
����
���
���
)#� �
��
�
����(� ����
.��#
��)�
�%&f
θ�
!�����'��
���
,-� !�(
�%
"��#�
ϕ��
���
V��� V
���������
��
���
�%
"���
�
���� !�(
�������#
�#���
#� ��
*��
�����
"����
�
X
,�
��
��
,�
� !
2
X
����
��n��
,�
��
,�
"���
�� ��!���!�
*��
������
��
�W����� �
$,�&\$,,&
"��
��#��!
��� (
���
���������
�����!
S,�\,�T�
.���
����
���
�����!
�� ��� �!
���#����
����������##�
���
�� ����
� ��(�
)��
� ��
#� �
#� (���
�� (
� (�#��
�����'#���
����
� ��(�
��
�/)�����!
��
/0
=
=
,
�∫
∫
2
(∇θ)
�
+
�� �θ(∇ϕ)�
+
�� �θ(,
+
�−,�� �ϕ) � !
−
−
/�λ�
$,�&
"����
/�
��
���
����(� ����
�%
� ��(�f
2�
���
� ��(�����
��(�� f
λ�
���
� ��(�����
��(��
!��� ���
�#� (
���
!
�/���
��
�
������#
��#��#���� ��
���
θ$��!&�
ϕ$��!&
!�
)� !� ���
"���
��� !f
)�����!� (
����
������
�#������#
)���������
!��� � (
���
V��� V
�%
���������
$���
��( ��������
���
#�"�
�%
� !
#� �
"�!����
� ��(�
��
���
���������
�'��� �!�
����&
"���
!����
�� �!
���
!������ �
�
� !
2
��#����
��(�
,
)���� ��
���
�'��� �!
!�����'����
��
� ���
������( �����
������
�
�
,-� !�(
.��#
��)�
�%
"���
�
�������#
���� !�(
#� �
#���#
���!
��
���
)�� �
$���&
���
�
X
��
2
X
,��
����������##��
���
�
���
�
����
�%
��
'�
!�����'�!
��
��##�"��
������
�#� (
���
/
�/���
���
������
�
(���
���
��
���
��
)#� �
$"���
��
���
���
)#� �
�
����(� ����
�%&
��
�
��/����
!�������
�
���
�%
�� ����
���� !�
�
���
�%
�� ����
���
������
�
!�
������
����
���
��
)#� �
��
� ������!
�!!�
��(�
,�
������'����
���������
��
� �������
��( �����
������
�
�
,-� !�(
.��#
��)�
�%
"���
�
���� !�(
�#���
#� �
#���#���!
��
���
$���&
)�� ��
�
X
��
2
X
,��
"$%$"������&��
���$�'�(��)��
�����*�
+��,
+��,��$$$
���
��������
���������������� � ���
��� �##�
��
��
�))�������
���
#� �
�� ���
"����
���
��/����
!�������
��
����� �!
!��� �!
'�
���
��)#���!�
2
� !
���
���
������
�
����� �
��
���
� ����#
)������ �
*��
!�)� !� ��
��
���
��/����
!�������
� (#�
ψ���
�
���
�
����!� ���
���
!������ �
�
� !
2
��#���
��
���"
�
��(�
��
U�
��##�"�
����
���
�������#
��#��#�
��� �
����
�
���
����
�
Z
,�
$����
�
���
��(��
"����
���
� �#�����#
�����!
�
ZZ
,
"����
"�##&
���
���������
!������ �!
�
������##�
��� ��!��
"���
���
� �#�����#
� �
��
�
��(�
���������
+�
�
!���������
���
!��
���� ��
'��"��
�����
����#��
� �������
�
)���##�#
"���
���
��)#���!�
2�
����
� #���
���
�%
"���
�
,-� !�(
�#���
#� �
S,�T�
�
��/����
!������ ��
'��"��
� �#�����##�
� !
�������##�
!������ �!
� (#�
$ϕ�$!&
\
ϕ$��!&&
��
�'�����!
�
���
��(��
���
�
X
�
� !
����
!������ ��
� �������
"���
���
��
)#���!�
2�
+
"�����
!�)� !� ��
�
���
��
)#���!�
��#��
��
��� !
���
���
� (#�
!�����
� ��
$θ�$�&
\
θ$��!&&
����
���"�
�
)��
�� ��!
��/����
���
���
�� ��!���!
�
��#����
U�
��
�#��
��
���
����
"��#�
���
��� !
θ$��!&
��#���
!�)� !
� #�
�#�(��#�
�
���
!
����!� ���
���
�##
���
�
� !
2
��#���
�� ��!���!�
���
ϕ$��!&
!�)� !
�
�
�����#�
� ��(��
*��
!�)� !� ���
��
���
���������
�%
"�!��
$��
!������ �!
'�
���
V�#�����V
"��
�����
b�##�&
� !
���
#� �
� �
�
���
����!�
���
�#� (
���
�%
$!&
���
!������ �
�
� !
2
��#���
���
���"
�
��(��
�
� !
��
*��
�%
"�!��
��
���
��
'�
��'��� ���##�
� !�
)� !� �
��
�
� !
2
� !
��
!�����
� #�
�#�(��#�
����
���
� �#�����#
� ��
δ
=
δ�$,
e
�\,�� �ϕ&\,Y��
U
�� ������
���
��#��#���!
#� �
"�!��
!������
��( ����� �#�
� ��(�
����
���
� �#�����#
� ��
*��
!�)� !� ��
��
�
��(�
)��
� ��
#� �
#� (��
��
�
X
�
$ ����#
���!
��
���
� ��(�
��
�
�%
"���
�
,-� !�(
#� ��
$/0
�
=
���−,
⁄
�&�
��
�
X
,�&
�
���
��
)#���!�
2
��
���"
�
��(�
��
U�
��
��
���
����
�
���
�����
��
2
!��������
��
�
��
��� �
��
���
��#��#���!
� !
� �#�����#
�
��(�
��#���
'�����
�#����
��
� �
� �����
"��#�
��
2
� ��������
���
� ��(�
� �������
� !
���
� ��(�
!������ ��
∆/$��2&
�
��������
����
+�
�
� ��������
����
!������ ��
!���������
'������
���
�%
���������
'�
�����
�#���
��
���
� �#�����#
� ��
*���
!�
)� !� ��
�����#����
"�##
"���
���
��#��#���!
ϕ$2&
!�)� !� ���
U�
��
���
����
��(�
�
����
�
���
�����
���
��#��#���!
�����
� ��(�
��
2
g
�
��
#�"��
���
����
��
�
,-� !�(
#� �
S,�T�
��
����
���
���� !�(
#� �
��
����
�
��(�
������'#��
*�
�� �#�!��
��
��
'�
�����!
����
���
��� !
θ$��!&
� !
ϕ$��!&
��#���
���
��'���
���##�
'�!��� ��� �#
�
���
#� �
#���#������
��(��
� !
����
'�!��� ��� �#���
� �������
��(�
��
��)� !� ��
��
���
�
��/����
!����
���
� (#�
ψ���
����
���
��
)#� �
�
�
����
!� ���
��
!������ �
�
� !
2
��#���k
�
X
��
2
X
,��
� �#�����#
$-&f
�
X
��
2
X
,��
��#��
#���!
$�&f
�
X
��
2
X
,�
� �#�����#
$�&f
�
X
��
2
X
,�
��#��#���!
$�&�
��(�
��
�%
� !
#� �
"�!��
!�)� !� ��
�
�
��
2
X
���k
#� �
"�!���
� �#�����#
$-&
� !
��#
��#���!
$�&f
�%
"�!���
� �#�����#
$�&
� !
��#
��#���!
$�&�
��(�
��
�%
� !
#� �
"�!��
!�)� !� ��
�
2
��
�
X
�k
#� �
"�!���
� �#�����#
$-&
� !
��#��
#���!
$�&f
�%
"�!���
� �#�����#
$�&
� !
��#��
#���!
$�&�
"$%$"������&��
���$�'�(��)��
�����*�
+��,
+��,��$$$
���
���
��������
���������������� �
��
�
!��������
� !
��
2
� ��������
����
��
��#�� (
�
�
�� ��!���'#�
��� (��
�
���
�%
���������
��
���)���!
��
���
��#����
$,�&�
*����
��
!�����'�
�!�W����#�
���
���� !�(
#� �
!� �����
�
�PQ�
���
'�!��� ��� �#���
��
θ
� !
ϕ
� (#�
��#���
����#!
'�
����
� ��
����� �
�
�
����
)������
�� ���
����������
,�
R�R������!� ���
�)�
%����
�
�����
� !
+ ���������( �����
��
�����
����������
.�����
R����"
$,]--&
S�
������ T�
��
a�h�
���o��������
R�a�`����� �
��+�U�� ���
��.�h�!�����p�
�� �����
��
*�)�#�(���#
R�(
����
��#��� ��
�)�� (�� a��#�(�
���#�
$,]]�&�
��
R�R������!� ���
R�+��������!� ���
+�+�q��#
�� ��
��$�3&�� $�3����
���
,���
$,]n]&�
��
R�R������!� ���
R�+��������!� ���
P�h�P�
�������
��$�3&�� $�3����
���
,-[[
$,]--&�
��
P�h�P��������
��$�4���$�3��)$�
��
-n-
$����&�
[�
R�a�`����� �
j��.�q��'������
+�U�+����� ��
5$��))�$�(+!�$�
���
[,��
$,]][&�
n�
+�r�q��s�� ���
a�q���#(�����
��$�3&�� $
3����
���
-[�
$����&�
-�
R�a�`����� �
j��.�q��'������
��$�3&�� $
3����
���
,���
$���,&�
]�
t�h�t:496�4��
U k
r����
uU�Ro]]�
u4���"�
)����
�
$,]]]&�
)����
,��
a��������# �����
.�q��� s��� �
b�*�*���'�#�
a�h���������
6�)$�
��$�4����
� ��
,��]
$,]]]&�
,,�
P�+�*�����
+�a�q�#��� ���
a�a�R� s�����
��
�#��
��������
� !
r������#
r��)������
��
+ ���������( ������
.�����
R����"
$���,&
S�
������ T�
,��
a�h����s��������
��$�4���$�3��)$�
���
,,]-
$,]-�&�
,��
P�h�P��������
R�+����'�#� �
��$�3&�� $�3����
�!�
,[[�
$����&�
,��
+�����������
+�r�*� �����
+�h����(�#���
��$
3&�� $�3����
���
,��
$,]-]&�
,��
.���������#���
.�r�c��!����
h�R�q�'�#����
.�������#
R����!��
.�����
R����"
$,]-n&
S�
������ T�
"#$%&'()%&� �&)*+),� %&-.+&.-' �)/0**'1 /02
. -��+3%*)40/0#�*'1 )-&)50-'&$1
�������� !�"
�#�$�% & '�(
�)�*�� +"
>412��G374
�8769�:B
�493774v
93G�
$>u&
C
@47:4�
1@=B:@B=4�
C
B=6<B5677H9
67�C4@=4D�v
� E6:@4=6�
w76A�374
C623G7�1@�
�58�:41@�
=B<B
2�7�v
5��
�58�:41@�
=B<B
>u�
H:6
5��=�C7Hx@�1H
5��
5��494v
=67��3�
w6
�4D494�4�
�812458<
93@4��5
=4C�2H7B@4
,-� �=6�B17B
>u
73x2�51�:4�4
@8DB
C
24:62�C45674�
76
7�A
7B2� �=6�B174�
2�7�x��
y8C76�374
C6:47
D454=4@B
53:@4=6
7696�7��3741@�
@6:4v
>u�
3E3:@857�
C76�377H
�8=8
78
>?
@6
2�7�v�
373=���
76
4�878��
�45G878
2�7�v�
N4:6C674�
I4
O�2��
@4�73
B=6<B
5677H
�54589�=741@�
>u
D=854�8@�
�4
�1@4@78<
5��9�7741@3A
D4=�57H74
C
76O28G37898
6762�@8�7898
93@4�698�
��(�
��
��)� !� ��
��
� �#�����#
$-&
� !
��#
��#���!
$�&
� ��(�
)��
� ��
#� (��
��
���� !�(
#� �
����#���!
��
����
��
�%
"���
�
,-� !�(
#� �
$/0
�
=
���−, ⁄ �&
�
2
��
�
X
,��
P ��(�
)��
� ��
#� (��
��
,-� !�(
#� �
S,�T
��
�
X
�
$�&�
"$%$"������&��
���$�'�(��)��
�����*�
+��,
+��,��$$$
���
��������
���������������� � ��7
|