Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites

Dynamics of thin-structure domain walls (DW) has been studied taking into account of the g-factor anisotropy. The line speed has been found as a function of the DW motion speed different from that known before. A 180-deg DW of the Neel type with a zero-deg Bloch line localized thereon has been consi...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2004
Автори: Ekomasov, E.G., Shabalin, M.A., Gaeva, O.B.
Формат: Стаття
Мова:English
Опубліковано: НТК «Інститут монокристалів» НАН України 2004
Назва видання:Functional Materials
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139450
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites/ E.G. Ekomasov, M.A. Shabalin, O.B. Gaeva // Functional Materials. — 2004. — Т. 11, № 3. — С. 480-485. — Бібліогр.: 15 назв. — англ.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-139450
record_format dspace
spelling irk-123456789-1394502018-06-21T03:04:02Z Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites Ekomasov, E.G. Shabalin, M.A. Gaeva, O.B. Dynamics of thin-structure domain walls (DW) has been studied taking into account of the g-factor anisotropy. The line speed has been found as a function of the DW motion speed different from that known before. A 180-deg DW of the Neel type with a zero-deg Bloch line localized thereon has been considered using numerical methods. The law of the magnetization vector turning, effective widths of the DW and line, and energy per unit line length have been determined for such a DW. The more precise taking of the DW bidimensionality into account has been shown to result in significant differences as compared to the approximate analytical methods. Исследована динамика доменных границ (ДГ) с тонкой структурой с учетом анизотропии g-фактора. Найдена скорость движения линии в зависимости от скорости движения ДГ, отличающаяся от ранее известной. С помощью численных методов, рассмотрена 180-градусная ДГ неелевского типа с локализованной на ней ноль-градусной линией Блоха. Определены закон разворота вектора намагниченности такой ДГ, эффективные ширины ДГ и линии, энергия, приходящаяся на единицу длины линии. Показано, что более точный учет двумерности ДГ приводит к существенным отличиям по сравнению с приближенными аналитическими методами. Досліджєно динаміку доменної мєжі (ДМ) з тонкою структурою з урахуванням анізотропії g-фактора. Знайдено залежність швидкості руху лінії від швидкості руху ДМ, яка відрізняється від відомої раніше. За допомогою числових методів розглянуто 180-градусну ДМ неєлівського типу з локалізованою на ній нуль-градусною лінією. Визначено закон повороту вектора намагніченості такої ДМ, ефективні значення ширини ДГ та лінії, енергію на одиницю довжини лінії. Показано, що більш точне урахування двовимірності ДМ приводить до істотних відмінностей порівняно з наближеними аналітичними методами. 2004 Article Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites/ E.G. Ekomasov, M.A. Shabalin, O.B. Gaeva // Functional Materials. — 2004. — Т. 11, № 3. — С. 480-485. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. 1027-5495 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139450 en Functional Materials НТК «Інститут монокристалів» НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language English
description Dynamics of thin-structure domain walls (DW) has been studied taking into account of the g-factor anisotropy. The line speed has been found as a function of the DW motion speed different from that known before. A 180-deg DW of the Neel type with a zero-deg Bloch line localized thereon has been considered using numerical methods. The law of the magnetization vector turning, effective widths of the DW and line, and energy per unit line length have been determined for such a DW. The more precise taking of the DW bidimensionality into account has been shown to result in significant differences as compared to the approximate analytical methods.
format Article
author Ekomasov, E.G.
Shabalin, M.A.
Gaeva, O.B.
spellingShingle Ekomasov, E.G.
Shabalin, M.A.
Gaeva, O.B.
Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites
Functional Materials
author_facet Ekomasov, E.G.
Shabalin, M.A.
Gaeva, O.B.
author_sort Ekomasov, E.G.
title Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites
title_short Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites
title_full Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites
title_fullStr Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites
title_full_unstemmed Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites
title_sort properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites
publisher НТК «Інститут монокристалів» НАН України
publishDate 2004
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139450
citation_txt Properties of the "thin" structure domain walls in rare-earth ortho-ferrites/ E.G. Ekomasov, M.A. Shabalin, O.B. Gaeva // Functional Materials. — 2004. — Т. 11, № 3. — С. 480-485. — Бібліогр.: 15 назв. — англ.
series Functional Materials
work_keys_str_mv AT ekomasoveg propertiesofthethinstructuredomainwallsinrareearthorthoferrites
AT shabalinma propertiesofthethinstructuredomainwallsinrareearthorthoferrites
AT gaevaob propertiesofthethinstructuredomainwallsinrareearthorthoferrites
first_indexed 2025-07-10T08:16:32Z
last_indexed 2025-07-10T08:16:32Z
_version_ 1837247126515482624
fulltext ���������� � ��� ���� � ��������� ����� ����� � ���������� ������ ������� ����������� ��� ��������� �������� � ������������ ����� ��������� �� ��� �� ���� ������ ��� ����������� � ������ �� ����� �� ��� ��������� !���� "�##� $�%& ��� '�� ���!��! ���� ( � �� ����� � �� ��� � ������ � ������)�� *�� #� � �)��! ��� '�� ��� ! �� � �� ���� �� ��� �% ����� �)��! !������ � ���� ���� � �" '������ + ,-� !�( �% �� ��� .��# ��)� "��� � ���� !�( �#��� #� � #���#���! ������ ��� '�� �� ��!���! ��� ( �������# �����!�� *�� #�" �� ��� ��( �������� ������ ��� � (� ��������� "�!��� �� ��� �% � ! #� �� � ! � ��(� )�� � �� #� � #� (�� ���� '�� !������ �! ��� ���� � �%� *�� ���� )������ ���� ( �� ��� �% '�!��� ��� �#��� � �� ����� � ��� '�� ���" �� ����#� � ��( ����� � !������ ��� �� ���)���! �� ��� �))��/����� � �#�����# �����!�� 01123�45676 �87698:6 �49377;< �=678� $>?& 1 @47:4A 1@=B:@B=4A 1 B�3@49 678C4 @=4D88 � E6:@4=6� F6A�376 1:4=41@� �58G378H 28788 5 C65818941@8 4@ 1:4=41@8 �58 G378H >?� 4@28�6�I6H1H 4@ =6733 8C531@74A� J D494I�� �812377;< 93@4�45� =61194@ =376 ,-� �=6�B176H >? 7332351:4�4 @8D6 1 24:628C456774A 76 73A 742� �=6�B174A 28 783A K24<6� LD=3�3237; C6:47 =6C54=4@6 53:@4=6 7696�78�37741@8 @6:4A >?� MEE3:@857;3 �8=87; >? 8 28788� M73=�8H� D=8<4�HI6H1H 76 3�878�B �287; 28788� N4:6C674� �@4 O4233 @4�7;A B�3@ �5B93=741@8 >? D=854�8@ : 1BI31@5377;9 4@28�8H9 D4 1=657378� 1 D=8O28G377;98 67628@8�31:898 93@4�698� *� !���� ��� !� ����� �� ����(� ���� !���� "�##� $�%& � ���� ����� ����� ��� ����� $�PQ& '�� ( � ��##� ��� � ������� ��( ����� "��� "��� �������( ����� $%�R& �� ���!��! � �/)����� � � !����# � ��(� � ! �/)#�� �! ����������##� � ��� �������� S,� �T� U �� ����� �� �������( ���� ��� �������� "��� ��� V��� V ��������� � �����(���� �� W���� !������ �� *���������##�� ��� �/���� �� )����'�#��� ��� �"� V��� V ��������� ��)�� �� �% � �PQ "�� )�� !����! ������ #� ( �(� ��� ��� ���� "�� � X ���Y��� ZZ , $��� � ! ��� '�� ( ��� �� ������� � ������)� �� ��� �� � ��� �' � ! �' )#� ��� ���)������#�& S�T� *�� !� ���� ��������������� �� ���� �%� ���� !����� ��( ����� �#� ���� ����� �� �%� "��� #� �� � �������( ��� S�� �T� ��� �/��)#�� ��� (� �����)�� ���� �� ��� !� ���� ����� ���� ( � ��� �PQ #� � �))���� � � �/��� �# ���#! )��)� !���#�� �� ��� ������� )#� � �� ��� � ���������( ����� ������ � � ! �� ��� '� ���)���'#� �� ��� � ����� � ! ��������� ����� � �'��#��� ��#��� *���� ��� �#�� �/ )����� ��# ����#�� S[\-T "���� �� '� � ��� )����! �� �'�������� �� !� ���� #� �� � � �% � �PQ ���� ( �� � ��)���� �� �)��!� U ����� �/)����� ��� ��"����� �� !� ��� � "��� ���! ���� "��� �� �� ��!���! ����������##� $��(�� � .��# �%� ��(� �)��!� �� ��� �% � ! #� �&� �� ����� (� ���##� �)���� (� �� �� � �#��� "��� � �)������ ��)� �� ��� �% V��� V ��������� �� ���#���! � )�������� U S-T� � !��'� ��� '�� �/)�����! ���� ��� �/)����� ��# ����#�� �'��� �!� ��(�� ��� #� � �)��! !�)� !� �� � ��� �% �)��!� �� '� �/)#�� �! "�## � ��(� ��� ( ��� ���#! (������)�� ������ U )�� ��)#�� ����� ������� ��)�� �� )����'#� (������)�� ������ ��� � �" ��� �"� ��'#������ ��( ����� S]T� U ��� ���� �� ����� ���! � �/)����� �� S[\-T� ��"����� ��� ����� �� ����� ������ $�� ��#�� ( ���� � )���#� ��#��������� � ����� � � ��� ����#���� ��� � �������� & �� �'�� �� �� "�## �� ��� ���� ! � � ���������! "��� ��� !������ �� '��"�� ��� ��( ��� �� ��� ���# ������ �� ��� ��'#�������� *� �'��� ��� ����! ������ ����#�� �� ���� � �������( �� ���� �# R������#� ,,� .��� $����& ^ ���� _ U ������� ��� �� (#� `�����#� �� ��� �������� ���������������� � ��� � ! )��)����� �# �� ��� ��������� ��( �������� �� ��'#�������� ��� �� �� �������� �� ��� !�" ��� ��� �� � � �� ��� � ��(��#� �� X � � ��� ����� �W����� � ��� ��( ��� ����� � *� !���� ���� �� ���#���! ��� ����(� ���� ��( ����� � #� S,�T� *��������� �� !� ���� � �" �� ! �� (������)�� ������ �� �� �� � ������ �� ���� � �� ����� � ��� � ������)� �� ��� � ������ ���� ��� '� �� (���� ��)�� �� �� � ��� � ���������( �� !� ����� S,,T� U (� ���# ����� ��� a#���� U��������� ��� �W����� ��� �)� )#� �� ����#! '� ���! �� ���� � !� U� ��� '�� ���" S,,T ���� ��� b� !�� b������� �W����� � �� '� �))#��! �� � ��( ���� "��� � ������)�� � ������ �� ��� #����� �� ���� � �� ����� � � ������!� ���� )��� ���# �����(� ��� c���� � ��(�� U ���� "���� ������ ��� !� ����� �� � ��� ��������� �% �� ���!��! ���� ( � �� ����� � ��� � ������ � ������)�� ���� !� � ,-� !�( .��# �% "��� � ���� !�( #� � �� �� ��!���! ��� ( �������# �����!� ��� ��'������ ��#��� �� ��� �������# W��#��� ������ �� b�� � � �� ��� �PQ )#��� '� �� ��!���! � ��� �"� ��'#������ ��!�#� *�� �'���� ����� �� !�����'�! '� �"� ��'#������ ��( �������� ������� �, � ! �� "��� ��� ���� ��!�#�� $d�,d X d��d X ��&� *�� � ��� �������( � ���� ������ � � ! ��� � ���������( ����� � �� �� �� '� !������ �! �� � X $�, e ��&Y���� � X $�, \ ��&Y���� ���)������#�� *�� `������� ����!� ��� �/�� /� �� � ��� '�#����! �� '� ���� ��! �#� ( ��� ������# #�(��)��� � �� �� '� �� ���)������#�� *�� � ��(� !� ���� �� ��� �PQ �� '� )���� ��! S,�� ,,T �� �� = , � ��� + , � �(∇�) � + �[��] + �, � �� � + �� � �� � − − ����� + , � �(��)� + , � �′���� − − ���τ,���� − ���τ������ $,& "���� �� � ��� ��� ����(� ���� � ! � �� ��(� ���� �/��� (� �� ��� ��� ���)�� ����#�f �� �′� ��� ��������� �/��� (� � ��� ����� �� ��� ��f �,� ��� ��� ���� ! ��!�� � ������)� �� ��� ��f �� ��� �/��� �# ��( ���� ���#!� *�� W�� ������ τ,� τ� ���� � �� ����� � ��� � !��(� �# ���)� � �� �� � ������)�� � ������ ��� �PQ � � ��(� ��� )������� ��( ���� )����� τ, X ���Y���� τ� X ���Y���� ��� ��� ��� � ������)�� �� ��� ��� )� � ��� *�� ������ � X �!� "���� �� ��� �/��� (� ��#��������� ����#���� ��� � ����� ��� � *�� ����� �W����� � ��� � � ! � ��� ���� "���� ��� �/��� (� �))��/������ S,�T� ��� ��� ���� � gg �� ����#�� �� ��� )��� � ���������( ��� S,�T $)����!�! ���� ��� �� !���� λ,�Y����" gg ,� �" X $� e �′&Y��� �� ���&� ��� ������ � �� ��#���! �� � � � '� ��� ��#���� ���) � =    χ⊥ �γ��    [� . ��] + λ,χ⊥ �γ�� �[� . . ��]    + + , �    [���] − ���[�(��) − �]       (, + ε,�� + ε���#) −, � $�& "���� γ �� ��� (�����( ���� �����f α� λ,� λ�� ��� ��#��������� ��#�/���� �� ��� � � ! ��� �/��� (� � ��f χ⊥ X ��Y�"� ��� ��( ���� �����)��'�#��� ���)� � � )��)� !���#�� �� ��� �W��#�'���� � !������� f ε, X τ,��Y��"� ε� X τ���Y��"� �� ( $�&� �� �� ���� �� �'��� $)����!�! ���� �� !����� λ,� Y����"f �λ��Y� gg ,� � X Y��� ��� ��� � ! ���� ( � �� �� ��� � ���� τ� ����� ��� ���##& ��� �W����� [� . . ��] − ��[∆���] + γ ��� �[���](��) + γ�� ��� �    ∂�� ∂� ��    = − � � �   �� ���  − �γ�� χ⊥ (α − λ� �� ∆)[� . ��] − − λ,χ⊥ �γ�� �   [ � . . . ] + [� . . ��] + γ   �[[��� . ]�] + [[� . ��]�] − − γ� ��� [[���]�] + γ(��τ,� . � + ��τ�� . �) × ×    χ⊥ ���γ �[� . �T + χ⊥ ��� � S��T + ��� � S� − �(��)T    − − γ χ⊥ ��� . � $�& .��� ���� "�� �� X τ, X τ� X �� ��� PW�$�& ��� ��!�� "��� ��� � �" �W����� ��� � � S�T� *�� ����� � ��� �� � ! τ� �� ��#�� � �" ����� � ���� �W����� � � �#�! � ( ��� (������)�� �� ! � ��� PW�$�& �� ���� ���)#�/ � ! ���'������� �� �� �� !������#� �� ��#�� �� ��� � ��� ���)#��� ���� �� '�!��� ��� �# �% "��� � �� (#� #� �� *��� �� "�� � "��� ��##�"�� "� "�## ���� ��� �� � ���)#����! !�����)��� � ��� ����� �� ��##������ �����'#� �����!� �� �� ��� �/��� (� ��#�/���� ������ �� ���!��! � !����# � S�T� "� "�## '�#���� λ, X λ� X �� *�� ��#� #� � )���� �� � �#� � ��� � #� �#�(��#� ��� !� ����� �� �% �� ��#�� �� �� �� '� '�#����! ���� ��� �))��� "$%$"������&�� ���$�'�(��)�� �����*� +��, +��,��$$$ ��� �������� ���������������� � ��- � �� �� �" ����� � $�& !��� �� ������ ���� �� ��!���'#� ��� �/)������ ��� ��� �% �)��! ���� �� ���!��! W���� ���)���� ����#� $���� ��(�� S�T&� *��������� "� "�## �� ������ �����#��� '� �� ��!������ �� ��� #� � ����� �)��! � � �% �� � �PQ� ��� !��� ��� ��� ����� #�� ��� ��(� ��� )������� ��( ���� )���� h��� '� �� ��!���! "���� � � !���� �ddQc � ! �ddQi� � ! � .��# ��)� �% "��� � ������� �� � $��� �% )#� � '�� ( )���##�# �� jc& �� ��� � ( � ,-� !�( �������# #� � "������ � � ������� � +� .�� ZZ .�� Z � "���� .�� X �Y� \ �,� .�� X �Y� \ ��� ��� ( ��� �����! !�����'�! '����� S�� �T� "� �� !����� � �W����� ��� ��� �)��! �� ��� �� ��� �� � ��#� #� � &�/� &0 ���� !�����'�! ��� #� � !� ���� � �PQk (�� − �� ∗)&�/ + �, &�/ �    , − &�/ � ��    , ⁄ � + + �� &�/ � &0    , − &0 � ��    , ⁄ �    , − &�/ � ��    , ⁄ � + + �� &0    , − &�/ � ��    , ⁄ �    , − &0 � ��    , ⁄ � − �� &0 �    , − &�/ � ��    , ⁄ �    , − &0 � ��    + + &0    , − &�/ � ��    , ⁄ �    , − &0 � ��    , ⁄ � = ��    , − &�/ � ��    , ⁄ � � $�& "���� �� = π�! α�" Λ� δ� � �, = π [ τ�Λ� δ�� �� γ� �" � �� = π ,� τ,�� αΛ��" � γ � �� ∗ = π α�" Λ� δ� ����"� �� = π� ,[ τ,�� � α�" � � �� = τ� �γ�� �"δ�� � �� = µ0���� µ0� = π - γ� Λ� α�" � $�& %�� !����� ( PW�$�&� ��� �)��! �� �% ����#� $"���#� !�)� !� ( � ��� )���� �� �� � ��#� #� �& �� '�#����! �� '� ��� ���� �� ��� ����(� ���� �% S�T� .��� ���� � PW�$�&� �" ����� $"��� �� ������� �� ��� ��� � ! ,& �))��� �#� ( "��� ��� � �" � ��� *���� ���� ������ ��� (��� ���)�� ��)� ���� )��)����� �# �� �� � ! � ������! �� ���)���! �� ���� )��)����� �# �� �� '������ �� �/��� (�� ���� !� ��� ����� � )��)����� �� &� �/ � ! &� 0� *���!� �� �� � ���� ��/�! "��� ���)��� �� &�/ � ! &0� PW�$�& �� '� ��!���! �� � � W��!����� "��� ���)��� �� �����'#�� &�/ ⁄ (, − &�/� ⁄��)l,Y�m � ! &0 ⁄ (, − &0� ⁄ ��)l,Y�m ���� ( ��� ��#���� �� ��� ���� &0 = *(&�/)    , + *(&�/) ��    , ⁄ � � $�& "���� *(&�/)=� ± √�� + ���1 ��� � = , + �� &�/ �    , − &�/ � ��    + �� 1 = (�� − �� ∗) &�/    , − &�/ � ��    , ⁄ � + + �, &�/ � (, − &�/� ⁄ ��) − ��� $[& .��� ���� ��� ��� ���� �� gg , � ! & gg �� P�W�$�& ��� �"� )����'#� ��#���� �k &, ≈ −1 ⁄ �� $n& &� ≈ � ⁄ �� + 1 ⁄ �� $-& %�� �� X �� ��� �/)������ ��� � �� '� ���)#����! ��( ����� �#�k *∗ = (�� − �� ∗)&�/(, − &�/� ⁄ ��),⁄� (, − &�/� ⁄ �� + ��&�/ � ) � $]& *�� ��#���� �'��� �! '����� "������ �� ��� � ��� ��� � ������ � ������)�� &, ≈ −��&�% S�T� !������ ���� $n& � ���� �" ��� �������� � ! !� ��� ���� �� $n& �� ��� �" ����� )��)����� �# �� &� �/� +# ����(� � ��#��� ��� τ� )��������� ���� '�� ��� ! � #���������� �� �� ��� ���� $�& ���� ��� �" ����� $� )��)����� �� τ�& ��� �� ��!���'#� ���##�� ��� ��� ������ � ��� ��(� � ( ���� ��(� �)��!�� ��"����� ��� � ������ � ������)� �� � �#�� �� ��( ��� �� �#� ��� #� � !� ������ U� �� �#�� �� � ��� ��� �� �� ��!�� ��� ���� �! X � "�� ����� �� � ����# (������)�� ������ U� �� ��� ���� $�& ���� � ���� ����� ��� ���� �� &0$&�/& "$%$"������&�� ���$�'�(��)�� �����*� +��, +��,��$$$ ��� ��� �������� ���������������� � !�)� !� ��'��� ���##� � ��� %��#� �� ���## �� ��� �� ���� &0$&�/& �� �#���� � �����(�� #� � )���##�# �� �'������ �/��� �� �� !� �� � )���'�#� �� #��(� ��� b�� �" ��� �� ≠ � �))���� �� ����� ��� '� !�������!� Q � )����'#� ����� ��� �� ����� � ���� ��� � ���� ���)� � � �� ��( ���� �����)��'�#��� #� (���!� �# "��� ���)��� �� ��� �W��#�'���� � !������� � χdd� �� ���� � �� ����� � S,�T� ��� ���)#������ "� �� �������� �����#��� �� ��� ���� "�� �� ≈ ��χddY��� '��� � ������� � ! � !� ������ *�� ��� ��������� � �� � $�& �� '� �� ����#���! �� ��′ = π α�" Λ� δ�   �! − χdd �� χ⊥   � U� �� ��� ��������� ���� � �" (������)�� ����� �� �))����!� U� ��� ��"����� � )��)�� ��� �� ��� �/��� �# ��( ���� ���#! �� �� "�� '������ '�� ���� ����� �� ��� �� ���)� � �� +� ��� ������ �� �% "��� ,-� !�( #� �� �� � �'#� �" �/)#�� ���)#���#� ��� �/)��� �� ��# ����#�� S-T� �� �� �� � ������ �� ���!� ��� ������ � ! !� ���� �% "��� ���� !�( #� �� �� ��'������ ��#��� �� ��� �������# W��#��� ������ �� U "��� ��##�"�� #�� ��� �������� �� ��� ������ ��������� '� �� ��! ���! ��� � ,-� !�( .��# �% $����#�� �� ���� �� ��!���! �'���& '�� ���� ���� �� ��� � ( � ���� !�( #� �� .�������# �����!� "�## '� ���! �� ���� � !� �� � �#�(� "��� S,�T� �� �� ������! ���� � (� ���# ����� θ$��!&� ϕ$��!&� ��� �" � ������ �� �W����� � !�����'� ( ��� '�!��� ��� �# �% ��������� ��� ( � (�#�� �����'#�� � = �(���θ��� θ�� ϕ��� θ���ϕ)k ∆θ − ( .�� − .������ϕ + �(∇ϕ) � ) �� θ���θ = �� $,�& ��� θ∆ϕ − .���� �θ�� ϕ���ϕ + + ��� θ���θ∇θ∇ϕ = �� $,,& ��� � ��� � ����# �))��/������ ��� ���� θ� = ����((�/)(� ⁄ δ))� ϕ� = ����(  �2 �/)(! ⁄ �, ⁄ �δ�) + �/)(−! ⁄ �, ⁄ �δ�)    � $,�& "���� θ�$±∞& X �� π� ϕ�$±∞& X �� δ X δ�$, e �\,�� �ϕ�& \,Y� �� ��� �% "�!��f 2� ��)#���!� $��/���� !������� �� ��� ������ � � ��� �% �� ��� ���� ��� ��� )#� � �� � ����(� ���� .��# ��)� �%&f θ� !�����'�� ��� ,-� !�( �% "��#� ϕ�� ��� V��� V ��������� �� ��� �% "��� � ���� !�( �������# �#��� #� �� *�� ����� "���� � X ,� �� �� ,� � ! 2 X ���� ��n�� ,� �� ,� "��� �� ��!���!� *�� ������ �� �W����� � $,�&\$,,& "�� ��#��! ��� ( ��� ��������� �����! S,�\,�T� .��� ���� ��� �����! �� ��� �! ���#���� ����������##� ��� �� ���� � ��(� )�� � �� #� � #� (��� �� ( � (�#�� �����'#��� ���� � ��(� �� �/)�����! �� /0 = = , �∫ ∫ 2  (∇θ) � + �� �θ(∇ϕ)� + �� �θ(, + �−,�� �ϕ) � ! − − /�λ� $,�& "���� /� �� ��� ����(� ���� �% � ��(�f 2� ��� � ��(����� ��(�� f λ� ��� � ��(����� ��(�� !��� ��� �#� ( ��� ! �/��� �� � ������# ��#��#���� �� ��� θ$��!&� ϕ$��!& !� )� !� ��� "��� ��� !f )�����!� ( ���� ������ �#������# )��������� !��� � ( ��� V��� V �% ��������� $��� ��( �������� ��� #�"� �% � ! #� � "�!���� � ��(� �� ��� ��������� �'��� �!� ����& "��� !���� �� �! ��� !������ � � � ! 2 ��#���� ��(� , )���� �� ��� �'��� �! !�����'���� �� � ��� ������( ����� ������ � � ,-� !�( .��# ��)� �% "��� � �������# ���� !�( #� � #���# ���! �� ��� )�� � $���& ��� � X �� 2 X ,�� ����������##�� ��� � ��� � ���� �% �� '� !�����'�! �� ��##�"�� ������ �#� ( ��� / �/��� ��� ������ � (��� ��� �� ��� �� )#� � $"��� �� ��� ��� )#� � � ����(� ���� �%& �� � ��/���� !������� � ��� �% �� ���� ���� !� � ��� �% �� ���� ��� ������ � !� ������ ���� ��� �� )#� � �� � ������! �!!� ��(� ,� ������'���� ��������� �� � ������� ��( ����� ������ � � ,-� !�( .��# ��)� �% "��� � ���� !�( �#��� #� � #���#���! �� ��� $���& )�� �� � X �� 2 X ,�� "$%$"������&�� ���$�'�(��)�� �����*� +��, +��,��$$$ ��� �������� ���������������� � ��� ��� �##� �� �� �))������� ��� #� � �� ��� "���� ��� ��/���� !������� �� ����� �! !��� �! '� ��� ��)#���!� 2 � ! ��� ��� ������ � ����� � �� ��� � ����# )������ � *�� !�)� !� �� �� ��� ��/���� !������� � (#� ψ��� � ��� � ����!� ��� ��� !������ � � � ! 2 ��#��� �� ���" � ��(� �� U� ��##�"� ���� ��� �������# ��#��#� ��� � ���� � ��� ���� � Z ,� $���� � ��� ��(�� "���� ��� � �#�����# �����! � ZZ , "���� "�##& ��� ��������� !������ �! � ������##� ��� ��!�� "��� ��� � �#�����# � � �� � ��(� ��������� +� � !��������� ��� !�� ���� �� '��"�� ����� ����#�� � ������� � )���##�# "��� ��� ��)#���!� 2� ���� � #��� ��� �% "��� � ,-� !�( �#��� #� � S,�T� � ��/���� !������ �� '��"�� � �#�����##� � ! �������##� !������ �! � (#� $ϕ�$!& \ ϕ$��!&& �� �'�����! � ��� ��(�� ��� � X � � ! ���� !������ �� � ������� "��� ��� �� )#���!� 2� + "����� !�)� !� �� � ��� �� )#���!� ��#�� �� ��� ! ��� ��� � (#� !����� � �� $θ�$�& \ θ$��!&& ���� ���"� � )�� �� ��! ��/���� ��� ��� �� ��!���! � ��#���� U� �� �#�� �� ��� ���� "��#� ��� ��� ! θ$��!& ��#��� !�)� ! � #� �#�(��#� � ��� ! ����!� ��� ��� �## ��� � � ! 2 ��#��� �� ��!���!� ��� ϕ$��!& !�)� ! � � �����#� � ��(�� *�� !�)� !� ��� �� ��� ��������� �% "�!�� $�� !������ �! '� ��� V�#�����V "�� ����� b�##�& � ! ��� #� � � � � ��� ����!� ��� �#� ( ��� �% $!& ��� !������ � � � ! 2 ��#��� ��� ���" � ��(�� � � ! �� *�� �% "�!�� �� ��� �� '� ��'��� ���##� � !� )� !� � �� � � ! 2 � ! �� !����� � #� �#�(��#� ���� ��� � �#�����# � �� δ = δ�$, e �\,�� �ϕ&\,Y�� U �� ������ ��� ��#��#���! #� � "�!�� !������ ��( ����� �#� � ��(� ���� ��� � �#�����# � �� *�� !�)� !� �� �� � ��(� )�� � �� #� � #� (�� �� � X � $ ����# ���! �� ��� � ��(� �� � �% "��� � ,-� !�( #� �� $/0 � = ���−, ⁄ �&� �� � X ,�& � ��� �� )#���!� 2 �� ���" � ��(� �� U� �� �� ��� ���� � ��� ����� �� 2 !�������� �� � �� ��� � �� ��� ��#��#���! � ! � �#�����# � ��(� ��#��� '����� �#���� �� � � � ����� "��#� �� 2 � �������� ��� � ��(� � ������� � ! ��� � ��(� !������ �� ∆/$��2& � �������� ���� +� � � �������� ���� !������ �� !��������� '������ ��� �% ��������� '� ����� �#��� �� ��� � �#�����# � �� *��� !� )� !� �� �����#���� "�## "��� ��� ��#��#���! ϕ$2& !�)� !� ��� U� �� ��� ���� ��(� � ���� � ��� ����� ��� ��#��#���! ����� � ��(� �� 2 g � �� #�"�� ��� ���� �� � ,-� !�( #� � S,�T� �� ���� ��� ���� !�( #� � �� ���� � ��(� ������'#�� *� �� �#�!�� �� �� '� �����! ���� ��� ��� ! θ$��!& � ! ϕ$��!& ��#��� ��� ��'��� ���##� '�!��� ��� �# � ��� #� � #���#������ ��(�� � ! ���� '�!��� ��� �#��� � ������� ��(� �� ��)� !� �� �� ��� � ��/���� !���� ��� � (#� ψ��� ���� ��� �� )#� � � � ���� !� ��� �� !������ � � � ! 2 ��#���k � X �� 2 X ,�� � �#�����# $-&f � X �� 2 X ,�� ��#�� #���! $�&f � X �� 2 X ,� � �#�����# $�&f � X �� 2 X ,� ��#��#���! $�&� ��(� �� �% � ! #� � "�!�� !�)� !� �� � � �� 2 X ���k #� � "�!��� � �#�����# $-& � ! ��# ��#���! $�&f �% "�!��� � �#�����# $�& � ! ��# ��#���! $�&� ��(� �� �% � ! #� � "�!�� !�)� !� �� � 2 �� � X �k #� � "�!��� � �#�����# $-& � ! ��#�� #���! $�&f �% "�!��� � �#�����# $�& � ! ��#�� #���! $�&� "$%$"������&�� ���$�'�(��)�� �����*� +��, +��,��$$$ ��� ��� �������� ���������������� � �� � !�������� � ! �� 2 � �������� ���� �� ��#�� ( � � �� ��!���'#� ��� (�� � ��� �% ��������� �� ���)���! �� ��� ��#���� $,�&� *���� �� !�����'� �!�W����#� ��� ���� !�( #� � !� ����� � �PQ� ��� '�!��� ��� �#��� �� θ � ! ϕ � (#� ��#��� ����#! '� ���� � �� ����� � � � ���� )������ �� ��� ���������� ,� R�R������!� ��� �)� %���� � ����� � ! + ���������( ����� �� ����� ���������� .����� R����" $,]--& S� ������ T� �� a�h� ���o�������� R�a�`����� � ��+�U�� ��� ��.�h�!�����p� �� ����� �� *�)�#�(���# R�( ���� ��#��� �� �)�� (�� a��#�(� ���#� $,]]�&� �� R�R������!� ��� R�+��������!� ��� +�+�q��# �� �� ��$�3&�� $�3���� ��� ,��� $,]n]&� �� R�R������!� ��� R�+��������!� ��� P�h�P� ������� ��$�3&�� $�3���� ��� ,-[[ $,]--&� �� P�h�P�������� ��$�4���$�3��)$� �� -n- $����&� [� R�a�`����� � j��.�q��'������ +�U�+����� �� 5$��))�$�(+!�$� ��� [,�� $,]][&� n� +�r�q��s�� ��� a�q���#(����� ��$�3&�� $ 3���� ��� -[� $����&� -� R�a�`����� � j��.�q��'������ ��$�3&�� $ 3���� ��� ,��� $���,&� ]� t�h�t:496�4�� U k r���� uU�Ro]]� u4���"� )���� � $,]]]&� )���� ,�� a��������# ����� .�q��� s��� � b�*�*���'�#� a�h��������� 6�)$� ��$�4���� � �� ,��] $,]]]&� ,,� P�+�*����� +�a�q�#��� ��� a�a�R� s����� �� �#�� �������� � ! r������# r��)������ �� + ���������( ������ .����� R����" $���,& S� ������ T� ,�� a�h����s�������� ��$�4���$�3��)$� ��� ,,]- $,]-�&� ,�� P�h�P�������� R�+����'�#� � ��$�3&�� $�3���� �!� ,[[� $����&� ,�� +����������� +�r�*� ����� +�h����(�#��� ��$ 3&�� $�3���� ��� ,�� $,]-]&� ,�� .���������#��� .�r�c��!���� h�R�q�'�#���� .�������# R����!�� .����� R����" $,]-n& S� ������ T� "#$%&'()%&� �&)*+),� %&-.+&.-' �)/0**'1 /02 . -��+3%*)40/0#�*'1 )-&)50-'&$1 �������� !�" �#�$�% & '�( �)�*�� +" >412��G374 �8769�:B �493774v 93G� $>u& C @47:4� 1@=B:@B=4� C B=6<B5677H9 67�C4@=4D�v � E6:@4=6� w76A�374 C623G7�1@� �58�:41@� =B<B 2�7�v 5�� �58�:41@� =B<B >u� H:6 5��=�C7Hx@�1H 5�� 5��494v =67��3� w6 �4D494�4� �812458< 93@4��5 =4C�2H7B@4 ,-� �=6�B17B >u 73x2�51�:4�4 @8DB C 24:62�C45674� 76 7�A 7B2� �=6�B174� 2�7�x�� y8C76�374 C6:47 D454=4@B 53:@4=6 7696�7��3741@� @6:4v >u� 3E3:@857� C76�377H �8=8 78 >? @6 2�7�v� 373=��� 76 4�878�� �45G878 2�7�v� N4:6C674� I4 O�2�� @4�73 B=6<B 5677H �54589�=741@� >u D=854�8@� �4 �1@4@78< 5��9�7741@3A D4=�57H74 C 76O28G37898 6762�@8�7898 93@4�698� ��(� �� ��)� !� �� �� � �#�����# $-& � ! ��# ��#���! $�& � ��(� )�� � �� #� (�� �� ���� !�( #� � ����#���! �� ���� �� �% "��� � ,-� !�( #� � $/0 � = ���−, ⁄ �& � 2 �� � X ,�� P ��(� )�� � �� #� (�� �� ,-� !�( #� � S,�T �� � X � $�&� "$%$"������&�� ���$�'�(��)�� �����*� +��, +��,��$$$ ��� �������� ���������������� � ��7