Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей
На основі теорії вищого порядку для шаруватих анізотропних пластин та експериментально визначених прогинів за триточкового згину шаруватих балок запропонована методика ідентифікації їх модулів пружності. Теоретична модель враховує зсувні і нормальні деформації та напруження. Модулі знайдено на основ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139633 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей / Б.М. Дівеєв, І.С. Когут, І.Б. Бутитер, Г.Т. Черчик // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 24-29. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-139633 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1396332018-06-21T03:06:00Z Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей Дівеєв, Б.М. Когут, І.С. Бутитер, І.Б. Черчик, Г.Т. На основі теорії вищого порядку для шаруватих анізотропних пластин та експериментально визначених прогинів за триточкового згину шаруватих балок запропонована методика ідентифікації їх модулів пружності. Теоретична модель враховує зсувні і нормальні деформації та напруження. Модулі знайдено на основі мінімізації відхилень експериментальних значень прогинів від розрахункових. На основе теории высшего порядка для слоистых анизотропных пластин и экспериментально определенных прогибов при трехточечном изгибе слоистых балок предложена методика идентификации их модулей упругости. Теоретическая модель учитывает сдвиговые и нормальные деформации и напряжения. Модули определены на основе минимизации отклонений экспериментальных значений прогибов от расчетных. On the basis of the theory of higher order for the layered anisotropic plates and experimentally determined deflections under three-point bending of the layered beams the method of identification of their elastic modulus is proposed. A theoretical model takes into account the shear and normal strains and stresses. The modules are determined on the basis of minimization of the deviations of the deflection experimental values from the calculated ones 2012 Article Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей / Б.М. Дівеєв, І.С. Когут, І.Б. Бутитер, Г.Т. Черчик // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 24-29. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139633 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
На основі теорії вищого порядку для шаруватих анізотропних пластин та експериментально визначених прогинів за триточкового згину шаруватих балок запропонована методика ідентифікації їх модулів пружності. Теоретична модель враховує зсувні і нормальні деформації та напруження. Модулі знайдено на основі мінімізації відхилень експериментальних значень прогинів від розрахункових. |
| format |
Article |
| author |
Дівеєв, Б.М. Когут, І.С. Бутитер, І.Б. Черчик, Г.Т. |
| spellingShingle |
Дівеєв, Б.М. Когут, І.С. Бутитер, І.Б. Черчик, Г.Т. Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Дівеєв, Б.М. Когут, І.С. Бутитер, І.Б. Черчик, Г.Т. |
| author_sort |
Дівеєв, Б.М. |
| title |
Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей |
| title_short |
Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей |
| title_full |
Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей |
| title_fullStr |
Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей |
| title_full_unstemmed |
Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей |
| title_sort |
визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139633 |
| citation_txt |
Визначення модулів пружності шаруватих балок на основі експериментальних досліджень та розрахункових моделей / Б.М. Дівеєв, І.С. Когут, І.Б. Бутитер, Г.Т. Черчик // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 3. — С. 24-29. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT díveêvbm viznačennâmodulívpružnostíšaruvatihbaloknaosnovíeksperimentalʹnihdoslídženʹtarozrahunkovihmodelej AT kogutís viznačennâmodulívpružnostíšaruvatihbaloknaosnovíeksperimentalʹnihdoslídženʹtarozrahunkovihmodelej AT butiteríb viznačennâmodulívpružnostíšaruvatihbaloknaosnovíeksperimentalʹnihdoslídženʹtarozrahunkovihmodelej AT čerčikgt viznačennâmodulívpružnostíšaruvatihbaloknaosnovíeksperimentalʹnihdoslídženʹtarozrahunkovihmodelej |
| first_indexed |
2025-07-10T08:42:10Z |
| last_indexed |
2025-07-10T08:42:10Z |
| _version_ |
1837248741946425344 |
| fulltext |
24
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2012. – ¹ 3. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ВИЗНАЧЕННЯ МОДУЛІВ ПРУЖНОСТІ ШАРУВАТИХ БАЛОК
НА ОСНОВІ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ
ТА РОЗРАХУНКОВИХ МОДЕЛЕЙ
Б. М. ДІВЕЄВ 1, І. С. КОГУТ 2, І. Б. БУТИТЕР 2, Г. Т. ЧЕРЧИК 3
1 Національний університет “Львівська політехніка ”;
2 Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.C. Підстригача, Львів;
3 Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів
На основі теорії вищого порядку для шаруватих анізотропних пластин та експери-
ментально визначених прогинів за триточкового згину шаруватих балок запропоно-
вана методика ідентифікації їх модулів пружності. Теоретична модель враховує
зсувні і нормальні деформації та напруження. Модулі знайдено на основі мінімізації
відхилень експериментальних значень прогинів від розрахункових.
Ключові слова: шаруваті балки, модулі пружності, триточковий згин, ідентифі-
кація модулів пружності, теорії вищого порядку
Шаруваті композитні тонкостінні елементи широко застосовують у сучасних
конструкціях. Для визначення їх пружних, вібраційних, звукозахисних та міцніс-
них властивостей необхідні модулі пружності шарів тонкостінного елемента, які
невідомі, тому актуально розробити методи їх ідентифікації.
Сьогодні детальніше опрацьовані методи визначення механічних характе-
ристик волокнистих композиційних матеріалів за заданими механічними та гео-
метричними параметрами [1, 2]. Задача визначення механічних характеристик на
основі експериментальних результатів є обернена задача механіки. Цей клас за-
дач менше досліджений, особливо для складних композитних структур. Відомий
[3] метод статичного експерименту, за яким можна визначити окремо модуль
Юнґа за розтягу під певним кутом ортотропної балки. У загальнішому підході [4]
запропоновано специфічний вибір поля деформацій, який анулює внески всіх
компонент тензора деформацій, окрім одного для певного модуля. Так вдається
теоретично визначити окремо кожний з модулів. Але необхідно реалізувати ці
поля деформації в схемах експерименту. Іноді для дослідження модулів пруж-
ності застосовують зразки спеціальної форми та спеціальне навантаження [5],
щоб виокремлювати складники енергії деформації пластини, пов’язані з окреми-
ми модулями пружності. Однак ця методика не знайшла достатнього експери-
ментального підтвердження.
Для адекватного відтворення механічних властивостей шаруватих тонко-
стінних елементів слід застосувати уточнені розрахункові схеми [6, 7]. Зокрема,
запропоновані [8] “уніфіковані” схеми, в яких порядок рівнянь, отриманих на
основі змішаного варіаційного принципу Рейснера, не обмежений (розглядають
довільну кількість апроксимацій за товщиною пластини). Проте необхідно ви-
вчити збіжність таких апроксимацій.
Запропоновано [9, 10] адаптивний алгоритм на основі узагальнених кінематич-
них апроксимацій і класичного методу Гальоркіна для еліптичної системи рівнянь
лінійної теорії пружності, в якому гарантують існування і єдиність розв’язку задачі
про напружено-деформований стан у шаруватих елементах за циліндричного згину.
Контактна особа: Б. М. ДІВЕЄВ, e-mail: divboglviv@yahoo.com
25
Нижче за схемою триточкового згину балки та уточненими розрахунковими
схемами розроблена методика визначення модулів Юнґа і зсуву однорідної бал-
ки, лицевого шару і заповнювача тришарової балки. Характеристики пружності
знайдено на основі мінімізації відхилень розрахункових значень прогинів балки
від експериментальних.
Основні математичні співвідношення. Розглянемо такі кінематичні апрок-
симації ( e dU U U= ∪ ) для симетричної тришарової балки (сандвіча) завтовшки
2Hp і внутрішнім шаром 2H (рис. 1):
2 1
,
2 2
,
( ) ,
( ) ,
e i
ik k
i k
e e i
ik k
i k
u u z x
U
w w z x
−
−
⎧ = ϕ
⎪⎪− ⎨
= γ⎪
⎪⎩
∑
∑
,
,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
d i
ik k
i k
d d i
ik k
i k
u u z H x
U
w w z H x
⎧ = − ϕ
⎪⎪− ⎨
= − γ⎪
⎪⎩
∑
∑
(1)
0 ,
0 ,
z H
x L
< <
< <
,
0 ,
pH z H
x L
< <
< <
де u , w – відповідно тангенціальні та нормальні переміщення шарів; e
iku , e
ikw ,
d
iku , d
ikw – невідомі величини; (2 1)( ) sin
/ 2k
k xx
L
− π
ϕ = , (2 1)( ) cos
/ 2k
k xx
L
− π
γ = –
координатні функції, які залежать від крайових умов на краях балки.
Рис. 1. Схема навантаження (а) і перетин балки (b).
Fig. 1. Loading modes of a beam (a) and beam cross-section (b) (schematically).
Узагальнений закон Гука для циліндричного згину шарів балки буде [1, 2]:
, ,xx xx xx xz zz zz zx xx zz zzC C C Cσ = ε + ε σ = ε + ε xz xz xzGτ = γ , (2)
де для плоского згину коефіцієнти жорсткості можна виразити через технічні
константи E1, E2, G, ν так:
1
2
2 11 /
xx
EC
E E
=
− ν
, 2
2
2 11 /
zz
EC
E E
=
− ν
, 1
2
2 11 /
xz
EC
E E
ν
=
− ν
, xzG G= .
Підставивши співвідношення (1) і (2) у варіаційне рівняння Лаґранжа
( )
P
xx xx zz zz xz xz
V S
dV P UdSσ δε + σ δε + τ δγ = δ∫ ∫ (3)
і застосувавши метод Бубнова–Гальоркіна, отримуємо систему лінійних алгеб-
ричних рівнянь для визначення амплітуд переміщень [10]:
1
2
[ ] d e
T
dd
A A U
A U p
UA A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
, (4)
де iiε – розтягальні деформації; ijγ – деформації зсуву; iiσ – нормальні напру-
26
ження; ijτ – дотичні напруження; V – об’єм балки; Sp – поверхня з відомими зу-
силлями; [A] – блочна матриця жорсткості, визначена подвійним інтегруванням
за товщиною і довжиною балки; U , p – вектори амплітуд переміщень і зовніш-
ніх зусиль; Т – індекс транспонування.
Експериментальні випроби. Досліджували на згин (рис. 1) балки із піно-
пласту марок 3715 і 6718 компанії General Plastics (США) та тришарові з тримки-
ми шарами із вуглепластику і заповнювачем із пінопласту марки 3715. Шари зав-
товшки 0,5⋅10–3 m із тканини полотняного плетіння, волокна орієнтовані вздовж і
впоперек шару. Тришарова балка завдовжки 0,611 m прямокутного перетину,
завширшки 0,028 і заввишки 0,0264 m. Навантажували ступінчасто мірними ван-
тажами. Максимальний прогин (табл. 1 і 2) вимірювали індикатором годиннико-
вого типу з ціною поділки 0,01 mm. Радіуси циліндричних опор і ширина наван-
тажувального індентора 5 mm.
Таблиця 1. Прогини балок з пінопласту (b×2H = 6,4×25,4 mm2; F = 2bH)
залежно від навантаження Р і довжини прольоту L
Р, N 4,41 14,22 24,03 38,84 43,65
L, m δ·103, m
0,06 0,020
0,015
0,060
0,045
0,090
0,075
0,135
0,100
0,170
0,135
0,08 0,035
0,025
0,140
0,090
0,230
0,145
0,315
0,205
0,390
0,365
0,10 0,065
0,045
0,220
0,165
0,360
0,275
0,515
0,385
0,660
0,505
0,12 0,105
0,080
0,350
0,280
0,600
0,465
0,855
0,645
1,100
0,825
0,14 0,165
0,125
0,580
0,420
0,970
0,725
1,345
1,025
1,755
1,335
У верхньому рядку – прогини балки з пінопласту 3715, в нижньому – з пінопласту 6718.
Таблиця 2. Прогини сандвіча залежно від навантаження Р і довжини прольоту L
P , N 19,62 39,24 58,86 78,48 98,10 L , m
0,15 0,300 0,440 0,590 0,730 0,38
0,09 0,185 0,275 0,360 0,445 0,30 δ⋅103, m
0,05 0,100 0,140 0,180 0,220 0,20
Алгоритм ідентифікації. Модулі пружності ідентифікували методом карту-
вання функції похибки
exp
exp
PN ii
i i
w w
w
−
∆ = ∑ , (5)
яка є усереднена за всіма навантаженнями сума відносних різниць експеримен-
тальних exp
iw і розрахованих за формулами (1)–(4) теоретичних iw прогинів.
На рис. 2 подано карти параметрів E, G – ізолінії функції похибки (5) за ва-
ріації модулів E1, G однорідних балок та модулів Ef обкладинок і зсуву Gc ядра
сандвіча.
27
Рис. 2. Карти параметрів E1, G (матеріал 3715) балки Тимошенка (a) і уточненої моделі
за різних порядків апроксимацій (b), E1, G (матеріал 6718) (с) і Ef, Gc (сандвіч) (d).
Fig. 2. Map of the parameters: E1, G (material 3715) of Timoshenko beam (а) and a refined mo-
del for different approximations orders (b); E1, G (material 6718) (c) and Ef, Gc (sandwich) (d).
Тут величини E1, G змінюються у деяких наперед заданих інтервалах DE, DG
з кроками, які залежать від кількості точок розбиття NE, NG:
1 10 ( 0,5)E EE E p D= + − , 0 ( 0,5)G GG G p D= + − , (6)
11 , , 1,..., 1, 1,..., 1GE
E G E E G G
E G
iip p i N i N
N N
−−
= = = + = + .
Ідентифікованим параметрам відповідає точка в центрі області, яка обмеже-
на лінією з найменшим значенням функції похибки (5).
Щоб отримати карту (рис. 2а), прогини розраховували за формулою
3
(0)
4 48
L Lw P
GF EI
⎛ ⎞
δ = = +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Модель балки Тимошенка (рис. 2а) дає дещо занижені значення модуля зсу-
ву G, які близькі до отриманих за уточненою моделлю при Nz = 1. Для точної
апроксимації на основі формул (1)–(4) достатньо двох членів розкладу по норма-
лі Nz = 2 (рис. 2b). Опуклі карти параметрів свідчать про однозначність та робаст-
ність розв’язку задачі ідентифікації.
Ідентифіковані модулі Юнґа для матеріалів 3715 і 6718 збігаються з точніс-
тю до 1,5% з даними компанії General Plastics (США), а модуль зсуву G від-
різняється на 11,5% (табл. 3). Водночас збіг з модулем зсуву, визначеним за зги-
ну тришарової балки, становить 5%.
Таблиця 3. Порівняння пружних характеристик матеріалів
Пінопласт E1, GРа G, МРа
1 0,1792 34...35,4
3715
2 0,1765 34,5
1 0,2517 57,5...58,0
6718
2 0,2510 52,1
Сандвіч Ef, GРа Gc, МРа
1 52,6 34,4
3715
2 51,8 36,15
Примітка: 1 – дані компанії General Plastics; 2 – результати ідентифікації.
28
Константи E2, ν менше впливають на прогини однорідної балки. Якщо ви-
значити функцію похибки за цими параметрами в модельній задачі, де у виразі
(5) замість експериментальних прогинів exp
iw використаємо прогини (0)
iw , обчис-
лені за середніх значень модулів E10, G0 (6), то отримаємо замість опуклих об-
ластей (рис. 2) смуги (рис. 3а–d). Це свідчить, що в такій схемі ідентифікації кон-
станти E2, ν недоступні. Їх можна визначити, використовуючи дуже короткі зраз-
ки з довжиною, сумірною з товщиною. Однак тоді неможливо точно знайти про-
гини балки через суттєвий вплив локальних прогинів на опорах та під індентором.
Рис. 3. Карти параметрів: a–d – за критерієм (5); e–g – за критерієм (7).
Fig. 3. Map of the parameters: a–d – by criterion (5); e–g – by criterion (7).
Константи E2, ν можна обчислити, одночасно використовуючи прогини wc,
ws, відповідно, однорідної балки та сандвіча з внутрішнім шаром з того самого
матеріалу. Тут функція похибки матиме вигляд
29
exp, exp,
exp, exp,
p p
c sc sN Ni ii i
c s c s
i ii i
w w w w
w w
− −
∆ = ∆ + ∆ = +∑ ∑ . (7)
На рис. 3e–g подано карти параметрів внутрішнього шару сандвіча з мате-
ріалу 3715. Як бачимо, карти параметрів – обмежені опуклі області, що є необ-
хідною умовою для однозначного розв’язання задачі ідентифікації.
ВИСНОВКИ
За схемою триточкового згину балки та уточненими розрахунковими моделя-
ми розроблена методика визначення характеристик пружності однорідної балки,
лицевого і внутрішнього шарів сандвіча на основі мінімізації відхилень експери-
ментальних значень прогинів балки від розрахункових. Результати дослідження
однорідної балки не дають достатньої інформації, щоб визначити всі технічні конс-
танти. Лише, коли розглядати сандвіч з використанням функції похибки (7), облас-
ті карт для внутрішнього шару стають опуклими (рис. 3e–g). Опуклість карт рівнів
відхилень (рис. 2 і 3e–g) свідчить про однозначність та робастність розв’язку задачі
ідентифікації. Для адекватного визначення модулів на основі уточнених моделей
достатньо апроксимацій другого порядку за товщиною прошарків балки.
РЕЗЮМЕ. На основе теории высшего порядка для слоистых анизотропных пластин
и экспериментально определенных прогибов при трехточечном изгибе слоистых балок
предложена методика идентификации их модулей упругости. Теоретическая модель учи-
тывает сдвиговые и нормальные деформации и напряжения. Модули определены на осно-
ве минимизации отклонений экспериментальных значений прогибов от расчетных.
SUMMARY. On the basis of the theory of higher order for the layered anisotropic plates
and experimentally determined deflections under three-point bending of the layered beams the
method of identification of their elastic modulus is proposed. A theoretical model takes into
account the shear and normal strains and stresses. The modules are determined on the basis of
minimization of the deviations of the deflection experimental values from the calculated ones
1. Жигун И. Г., Поляков В. А. Свойства пространственно-армированных пластиков. – Ри-
га: Зинанте, 1978. – 216 с.
2. Композиционные материалы: Справ. / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др.;
Под общ. ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. – М.: Машиностроение, 1999. – 512 с.
3. Morozov E. V. and Vasiliev V. V. Determination of the shear modulus of orthotropic materials
from off-axis tension tests // Composite Structures. – 2003. – 62. – Р. 379–382.
4. Greediac M., Toussaint E., and Pierron F. Special virtual fields for the direct determination
of material parameters with the virtual fields method. 1 – Principle and definition // Int. J.
Solids and Structures. – 2002. – 39, № 10. – Р. 2691–2706.
5. Greediac M., Toussaint E., and Pierron F. Special virtual fields for the direct determination
of material parameters with the virtual fields method. 2 – Application to in-plane properties
// Ibid. – 2002. – 39, № 10. – Р. 2707–2730.
6. Шереметьев М. П., Пелех Б. Л. К построению уточненной теории пластин // Инж.
журн. – 1964. – 4, Вып. 3. – С. 504–510.
7. Review and assessment of various theories for modeling sandwich composites / Heng Hu,
Salim Belouettar, Michel Potier-Ferry, and El Mostafa Daya // Composite Structures.
– 2008. – 84. – Р. 282–292.
8. Demasi L. 13 Hierarchy plate theories for thick and thin composite plates // Ibid. – 2008.
– 84. – Р. 256–270.
9. Diveyev B., Butyter I., and Shcherbyna N. High order theories for elastic modules identifica-
tion of composite plates. Part 1. Theoretical approach // Mechanics of Composite Materials.
– 2008. – 44, № 1. – Р. 25–36.
10. Diveyev B., Butyter I., and Shcherbyna N. Influence of clamp conditions and material anisotro-
py on frequency spectra of laminated beams // Ibid. – 2011. – 47, № 2. – Р. 149–160.
Одержано 10.01.2011
|