Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації
Методом сингулярних інтегральних рівнянь знайдено розв’язки антиплоских задач теорії пружності для площини, послабленої криволінійними отворами із закругленими та гострими вершинами. Коефіцієнти інтенсивності напружень у гострих вершинах визначено граничним переходом від закруглених вершин за залежн...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2012
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139765 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації / М.П. Саврук, А. Казберук, Ґ. Тарасюк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 5-13. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-139765 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1397652018-06-22T03:06:59Z Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації Саврук, М.П. Казберук, А. Тарасюк, Ґ. Методом сингулярних інтегральних рівнянь знайдено розв’язки антиплоских задач теорії пружності для площини, послабленої криволінійними отворами із закругленими та гострими вершинами. Коефіцієнти інтенсивності напружень у гострих вершинах визначено граничним переходом від закруглених вершин за залежністю між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації напружень у гострій та закругленій вершинах кутового вирізу. Числові результати отримано для отворів різної конфігурації: еліптичного, фізичної щілини, овального, ромбічного та прямокутного. Методом сингулярных интегральных уравнений получены решения антиплоских задач теории упругости для плоскости, ослабленной криволинейными отверстиями с закругленными и острыми вершинами. Коэффициенты интенсивности напряжений в острых вершинах найдены предельным переходом от закругленных вершин с помощью зависимости между коэффициентами интенсивности и концентрации напряжений в острой и закругленной вершинах углового выреза. Численные результаты получены для отверстий различной конфигурации: эллиптического, физической щели, овального, ромбического и прямоугольного. Solutions of antiplane elasticity problems for a plane weakened by curvilinear holes with rounded and sharp vertexes are obtained by the singular integral equation method. The stress intensity factors at the sharp vertexes are found by limiting transition from the rounded vertexes, using the relationship between the stress intensity factor and the stress concentration factor at the sharp and rounded vertexes. Numerical results are obtained for the holes of different shapes: elliptical, physical slot, oval, rhombic, and rectangular. 2012 Article Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації / М.П. Саврук, А. Казберук, Ґ. Тарасюк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 5-13. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139765 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом сингулярних інтегральних рівнянь знайдено розв’язки антиплоских задач теорії пружності для площини, послабленої криволінійними отворами із закругленими та гострими вершинами. Коефіцієнти інтенсивності напружень у гострих вершинах визначено граничним переходом від закруглених вершин за залежністю між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації напружень у гострій та закругленій вершинах кутового вирізу. Числові результати отримано для отворів різної конфігурації: еліптичного, фізичної щілини, овального, ромбічного та прямокутного. |
| format |
Article |
| author |
Саврук, М.П. Казберук, А. Тарасюк, Ґ. |
| spellingShingle |
Саврук, М.П. Казберук, А. Тарасюк, Ґ. Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Саврук, М.П. Казберук, А. Тарасюк, Ґ. |
| author_sort |
Саврук, М.П. |
| title |
Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації |
| title_short |
Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації |
| title_full |
Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації |
| title_fullStr |
Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації |
| title_full_unstemmed |
Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації |
| title_sort |
концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139765 |
| citation_txt |
Концентрація напружень біля отворів у пружній площині за антиплоскої деформації / М.П. Саврук, А. Казберук, Ґ. Тарасюк // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 5-13. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT savrukmp koncentracíânapruženʹbílâotvorívupružníjploŝinízaantiploskoídeformacíí AT kazberuka koncentracíânapruženʹbílâotvorívupružníjploŝinízaantiploskoídeformacíí AT tarasûkg koncentracíânapruženʹbílâotvorívupružníjploŝinízaantiploskoídeformacíí |
| first_indexed |
2025-07-10T09:00:14Z |
| last_indexed |
2025-07-10T09:00:14Z |
| _version_ |
1837249875718176768 |
| fulltext |
5
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2012. – ¹ 4. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
КОНЦЕНТРАЦІЯ НАПРУЖЕНЬ БІЛЯ ОТВОРІВ
У ПРУЖНІЙ ПЛОЩИНІ ЗА АНТИПЛОСКОЇ ДЕФОРМАЦІЇ
M. П. САВРУК 1,2, А. КАЗБЕРУК 2, Ґ. ТАРАСЮК 2
1 Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів;
2 Білостоцька політехніка, Польща
Методом сингулярних інтегральних рівнянь знайдено розв’язки антиплоских задач
теорії пружності для площини, послабленої криволінійними отворами із закруглени-
ми та гострими вершинами. Коефіцієнти інтенсивності напружень у гострих верши-
нах визначено граничним переходом від закруглених вершин за залежністю між ко-
ефіцієнтами інтенсивності та концентрації напружень у гострій та закругленій вер-
шинах кутового вирізу. Числові результати отримано для отворів різної конфігура-
ції: еліптичного, фізичної щілини, овального, ромбічного та прямокутного.
Ключові слова: механіка руйнування, коефіцієнт інтенсивності напружень, куто-
вий виріз, антиплоска деформація, гострокутний отвір, метод сингулярних інте-
гральних рівнянь.
Єдиний підхід до розв’язування плоских задач теорії пружності та механіки
руйнування тіл з гострими та закругленими кутовими вирізами (І та ІІ типи де-
формування) [1–5] поширено на відповідні антиплоскі задачі (ІІІ тип деформу-
вання). Ґрунтуючись на отриманих раніше [6] залежностях між коефіцієнтом
концентрації напружень у закругленій вершині кутового вирізу та коефіцієнтом
інтенсивності напружень (КІН) у відповідній гострій вершині, побудували роз-
в’язки задач про концентрацію напружень біля гострокутних отворів різної кон-
фігурації. Розв’язки крайових задач для площини, послабленої отворами із за-
кругленими вершинами, отримано методом сингулярних інтегральних рівнянь
[7], який тут дає змогу досить точно знайти розподіл напружень біля вершин
отвору, закруглених дугою кола малого відносного радіуса.
Розподіл напружень на контурі кутового вирізу за антиплоскої деформа-
ції [6]. Спочатку розглянемо антиплоску задачу на власні значення для пружного
клина, що займає область {( , ); 0, }S r r= θ ≥ − α ≤ θ ≤ α , де ,r θ – полярні коор-
динати з полюсом у вершині клина і полярною віссю вздовж його діагоналі:
iz x iy re θ= + = (рис. 1a). На гранях клина відсутні дотичні напруження:
0,zθτ = θ = ±α . (1)
Переміщення w та напруження ,rz zθτ τ у клині виразимо через комплексні
потенціали 0( )f z і 00( ) ( )F z f z′= за формулами [7]
0 0( , ) Re ( ), ( )i
rz zGw x y f z i e F zθ
θ= τ − τ = , (2)
де G – модуль зсуву.
Задовольнивши крайові умови (1) з урахуванням співвідношень (2), знайшли
комплексний потенціал напружень 0( )F z , який визначає розклад сингулярних
напружень у клині [6, 8]:
Контактна особа: М. П. САВРУК, e-mail: savruk@ipm.lviv.ua
6
III
V
III
0( )
(2 )
iKF z
z λ= −
π
, (3)
де параметр III 1 (2 )λ = − π α характеризує порядок особливості поля напружень
поздовжнього зсуву у вершині клина, а V
IIIK – КІН у цій вершині, який уведено за
допомогою співвідношення [9]
IIIV
III
0
lim (2 ) ( ,0)z
x
K x xλ
θ
→
⎡ ⎤= π τ⎣ ⎦ .
Зазначимо, що у літературі використовують також інше його визначення:
1/2V VIII
III III= (2 )K K−λπ .
Рис. 1. Гострий (a) та закруглений (b) кутові вирізи у пружній площині.
Fig. 1. Sharp (a) and rounded (b) V-notches in an elastic plane.
Розглянемо тепер напівнескінченний закруглений кутовий виріз у пружній
площині, контур L* якого складається з двох променів, з’єднаних плавно дугою
кола радіуса ρ (рис. 1b). Розв’язок задачі про розподіл напружень у такій області
отримано методом суперпозиції, коли основний напружений стан визначає по-
тенціал 0( )F z (3), а збурений, викликаний розрізом вздовж контуру L* у клині
(рис. 1a), знайдено [6] методом сингулярних інтегральних рівнянь [7]. У резуль-
таті для максимальних дотичних напружень у вершині закругленого вирізу отри-
мано залежність
IIIV
max III III( ,0) (2 )z K R −λ
θτ = τ ρ = πρ , (4)
де ρ – радіус закруглення вершини вирізу, а RIII – коефіцієнт впливу закруглення
вирізу на напруження в його вершині.
На основі отриманих числових результатів для коефіцієнта RIII побудовано
апроксимаційну формулу [6]
2 3 4 5
III
1 17,845 20,266 19,123 9,502 1,916 , / 2 ,
1 14,248
R + γ + γ − γ + γ − γ
= γ = π −β
+ γ
відносна похибка якої не перевищує 0,1% для всіх кутів [0, 2]β∈ π .
Співвідношення (4) для обмежених тіл має асимптотичний характер: воно
тим точніше, що менший радіус закруглення вирізу. Знаючи КІН V
IIIK у вершині
гострого кутового вирізу, за співвідношенням (4) легко дослідити концентрацію
напружень в околі вершини вирізу малого радіуса кривини, тобто тоді, коли
знайти числовий розв’язок складно. З іншого боку, побудовану залежність можна
також використати для знаходження КІН у гострих вершинах кутових вирізів у
тілах різної геометрії, скориставшись розв’язками для відповідних закруглених
кутових вирізів, за допомогою граничного переходу:
IIIV
III max
0III
1 li ][m (2 )K
R
λ
ρ→
= πρ τ . (5)
7
Застосування цього підходу проілюструємо на задачах про гострокутні отво-
ри у пружній площині.
Інтегральне рівняння задачі [7]. Розглянемо антиплоску задачу теорії пруж-
ності для площини, послабленої криволінійним отвором з гладким контуром L.
Уважатимемо, що на нескінченності задані зсувні напруження
yz
∞τ = τ , а край
отвору вільний від зовнішніх навантажень:
* ( ) 0, .nz t t Lτ = ∈
Комплексний потенціал напружень задачі шукатимемо у вигляді
* 0( ) ( ) ( ),F z F z F z= +
де потенціал 0( )F z i= − τ описує основний напружений стан у суцільній площині
без отвору, а функція ( )F z визначає збурений стан, викликаний отвором.
Крайова умова для збурених напружень має вигляд
0( ) Im ( ) ( ) Im ( ) ,nz
dt dtt F t t F t t L
ds ds
⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ = = τ = − ∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, (6)
де s – дугова абсциса точки t L∈ . Збурені напруження на нескінченності згаса-
ють до нуля. Комплексний потенціал ( )F z шукаємо у вигляді [7]
1 ( )( )
L
tF z dt
i t z
′γ
=
π −∫ , (7)
де ( )t′γ – невідома неперервна на контурі L функція. За додатний напрям обходу
контуру L виберемо той, за якого пружна область залишається зліва. Підставив-
ши потенціал (7) у крайову умову (6), прийдемо до сингулярного інтегрального
рівняння
0
1 ( , ) ( ) ( ),
L
K t t t dt a t t L′ ′ ′ ′γ + = τ ∈
π ∫ , (8)
де ядро ( , )K t t′ визначає залежність
1( , ) Re dtK t t
t t ds
′⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟′ ′−⎝ ⎠
.
До лівої частини інтегрального рівняння (8) додано нульовий (за однознач-
ності переміщень) оператор
0
1 ( )
L
a t dt
l
′= γ
π ∫ ,
який забезпечує його розв’язуваність для довільної правої частини. Тут l – до-
вільний параметр розмірності довжини.
Записавши параметричне рівняння контуру L у вигляді
( ), 0 2t l= ω ξ ≤ ξ ≤ π ( ( ), 0 2t l′ = ω η ≤ η≤ π ),
подамо інтегральне рівняння (8) у канонічній формі:
2
0
1 ( , ) ( ) ( ), 0 2M d
π
′ξ η γ ξ ξ = τ η ≤ η< π
π ∫ , (9)
де ( , ) ( ( ), ( )) 1; ( ) ( ( )) ( ); ( ) ( ( ))M lK l l l l′ ′ ′ξ η = ω ξ ω η + γ ξ = γ ω ξ ω ξ τ η = τ ω η ; ( )′γ ξ – шу-
кана 2π-періодична неперервна функція. Застосувавши до інтегрального рівняння
(9) квадратурні формули з рівновіддаленими вузлами, зведемо його до системи
лінійних алгебричних рівнянь [7]. Для збільшення точності числового розв’язу-
вання для малих відносних радіусів закруглення вершин отвору використовують
різні нелінійні перетворення, які призводять до згущення квадратурних вузлів в
8
околі цих вершин. Для отвору з N рівновіддаленими вершинами використано
сигмоїдне перетворення [2, 10]
( ) ( )sin( ), 0 2G A N Nξ = τ = τ − τ ≤ τ ≤ π ,
де A – довільна дійсна стала з інтервалу [0, 1). Зробивши заміну
( ), 0 2 , ( ), 0 2G Gξ = τ ≤ τ ≤ π η= θ ≤ θ ≤ π , (10)
зведемо інтегральне рівняння (9) до вигляду
2
0
1 ( , ) ( ) ( ) ( )M G d
π
′ ′ξ η ϕ ξ τ τ = τ η
π ∫ , (11)
де ( ) ( ( )), ( ) ( ( ))G G′ ′ϕ τ = ϕ τ τ η = τ θ .
Дискретним аналогом інтегрального рівняння (11) є система лінійних алге-
бричних рівнянь
[ ]
4
1
2 ( , ) ( ) ( ) ( ), , 1,...,4 ,
4
n
k m k k k
k
M u G p k m n
n =
′ξ η ξ τ = η =∑ (12)
де ( ), (2 1) (4 ) , 1,...,4k k kG k n k nξ = τ τ = π − = ; ( ), 2 ( 1) (4 ) ,m m mG m nη = θ θ = π −
1,...,4 .m n=
Уважатимемо, що контур отвору симетричний відносно осей Ox і Oy. Тоді,
врахувавши умови симетрії [7] ( ) ( ), ( ) ( ),t t t t t L′ ′ ′ ′γ = γ γ − = −γ ∈ , можна змен-
шити у чотири рази порядок системи (12):
2
1 (0, ) ( , ) (0) ( , ) ( , )
2
( , ) (2 , ) ( ) ( ), 1,...,4 .
{[ ] [
] }
n
m m k m k m
k
k m k m k m
M M M M
n
M M p m n
=
′η − π η ϕ + ξ η − π − ξ η −
′− π + ξ η + π − ξ η ϕ ξ = η =
∑
Знаючи функцію ( )t′ϕ , за формулою (7) знаходимо потенціал ( )F z , який
визначає збурений напружено-деформований стан у всій пружній області. Однак,
якщо отвір ненавантажений, дотичні напруження sz
∗τ на його краю можна знайти
безпосередньо через функцію ( )′ϕ ξ [11]:
0
( ) ( )( ) Im ( ( )) 2
( ) ( )sz F l∗ ⎛ ⎞′ ′ω ξ ϕ ξ
τ ξ = − ω ξ −⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ω ξ ω ξ⎝ ⎠
.
Еліптичний отвір. Для такого отвору в пружній площині, коли параметрич-
не рівняння контуру L має вигляд
( ) (cos sin ), 0 2t l l i= ω ξ = ξ − ε ξ ≤ ξ ≤ π ,
можна отримати замкнений аналітичний розв’язок [12, 13]. Тут 2l – велика вісь
еліпса, lε = ρ – відносний радіус кривини у вершині отвору (на осі Ox).
Для дотичного напруження szτ на краю отвору маємо [12]:
2 2
cos( ) (1 )
sin cos
sz
ξ
τ ξ = τ + ε
ξ + ε ξ
.
Його максимальне значення досягається у вершині отвору:
max (0) (1 ) (1 1 )sz lτ = τ = τ + ρ = τ + ε . (13)
Звідси, зокрема, випливає зв’язок між максимальним напруженням у верши-
ні напівнескінченного параболічного вирізу τmax та КІН для відповідної тріщини
[9], якщо перейти до границі, коли велика вісь еліпса прямує до нескінченності:
max III III 2K Rτ = πρ , де IIIK l= τ π .
9
Фізична щілина. Розглянемо задачу про концентрацію напружень біля фі-
зичної щілини – вузького отвору, контур якого творять два паралельні відрізки,
гладко з’єднані на кінцях двома півколами радіуса ρ. Довжину щілини (проекцію
отвору на вісь Ox) позначимо 2l (див. схему на рис. 2), а відносний радіус криви-
ни у вершині – через / lε = ρ .
Ураховуючи симетрію контуру отвору відносно осей Ox і Oy, запишемо його
параметричне рівняння у вигляді
0
0
0
0
( ), 0 / 2,
( ), / 2 ,
( )
( ), 3 / 2,
(2 ), 3 / 2 2 ,
t l l
ω ξ ≤ ξ < π⎧
⎪
−ω π − ξ π ≤ ξ < π⎪= ω ξ = ⎨−ω ξ − π π ≤ ξ < π⎪
⎪−ω π − ξ π ≤ ξ < π⎩
(14)
де функція 0( )ω ξ описує частину контуру L у четвертій чверті системи координат:
0
1 [cos( ) sin( )], 0 /(2 ),
( )
( / 2 ) , /(2 ) / 2.
c i c c
c i c
− ε + ε ξ − ξ ≤ ξ < π⎧
ω ξ = ⎨ ε π − ξ − ε π ≤ ξ < π⎩
Довжина контуру L рівна 2 cπρ , де 1 2(1/ 1) /c = + ε − π .
Обчислювали для значень пара-
метра 6[10 ; 1]−ε∈ . На основі отрима-
них числових результатів побудовано
залежність добутку maxτ ε τ від па-
раметра ε (рис. 2), що дало змогу пе-
рейти до математичної щілини ( 0ε→ )
та отримати для неї на основі
залежності (5) відоме значення КІН:
IIIK l= τ π .
Для максимальних напружень у
вершині фізичної щілини побудовано
апроксимувальну формулу
max
1,3442
0,5249
⎛ ⎞ε
τ = τ +⎜ ⎟⎜ ⎟ε ε +⎝ ⎠
, (15)
максимальна відносна похибка якої не перевищує 0,4% (для 0,3ε = ). Числові
коефіцієнти у формулі (15) отримано з умов: max 2τ = τ для 1ε = та maxτ →
III III / 2K R→ πρ , коли 0ε→ .
Порівняння значень максимальних напружень у вершинах еліптичного отво-
ру (13) та фізичної щілини (15) свідчить, що найбільша відносна різниця між ни-
ми (близько 35%) досягається, якщо 0ε→ . Зі збільшенням параметра ε ця різни-
ця монотонно спадає до нуля (для 1ε = ).
Овальний отвір. Нехай контур L складається з двох симетричних дуг кола
радіуса R, дотичні до яких у кінцевих точках перетинаються під кутом 2β. Кінці
цих дуг гладко з’єднані між собою дугами кіл радіуса ρ. Довжину проекції отво-
ру на вісь Ox позначимо через 2l. Відношення цих радіусів кіл до половини про-
екції отвору на вісь Ox описують параметри / lε = ρ і /R lε = . Коли 0ρ→ ,
овальний отвір переходить у двокутний лінзоподібний. Параметричне рівняння
контуру L має вигляд (14), де
Рис. 2. Залежність добутку maxτ ε τ від
параметра ε у вершині фізичної щілини.
Fig. 2. Dependence of the product maxτ ε τ
on parameter ε at the physical slot vertex.
10
0
(1 ) cos sin , 0 ,
( )
( ) ( )cos cos sin , .
2
B
B B
B B B
c ci
c ci
ξ ξ⎧ − ε + ε − ≤ ξ < ξ⎪ ε ε⎪ω ξ = ⎨ ⎡ ⎤ξ − ξ ξ − ξ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ε + θ + β − + θ ξ ≤ ξ <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ε ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
Тут B
B c
εθ
ξ = , 2 1 2B Bc θ θ⎛ ⎞= ε + ε −⎜ ⎟π π⎝ ⎠
, cosarctg
1B
ε β⎛ ⎞θ = ⎜ ⎟− ε⎝ ⎠
.
Розраховували максимальні напруження у вершині овального отвору (рис. 3).
Стійкі результати одержано для значень параметрів 6[10 ; 1]−ε∈ і [0; 89,5 ]β∈ ° .
На основі отриманих числових результатів за допомогою граничного пере-
ходу (5), коли відносний радіус закруглення вершин овального отвору 0ε→ ,
знайдено безрозмірний КІН IIIV V
III III /[ ]K lF λ= τ π у вершинах двокутного лінзопо-
дібного отвору (рис. 4).
Рис. 3. Fig. 3. Рис. 4. Fig. 4.
Рис. 3. Залежність коефіцієнта концентрації напружень maxτ τ
у вершині овального отвору від параметра ε для різних кутів 2β.
Fig. 3. Dependence of the stress concentration factor, maxτ τ , at the vertex
of an oval hole on parameter ε for different opening angles 2β.
Рис. 4. Залежність безрозмірного КІН V
IIIF від кута розхилу 2β
вершини лінзоподібного отвору.
Fig. 4. Dependence of the dimensionless stress intensity factor, V
IIIF ,
on the opening angle 2β of a lens-shaped hole vertex.
Ромбічний отвір. Розглянемо пружну площину, послаблену ромбічним от-
вором із закругленими вершинами дугами радіусів ρ (на осі Ox) і ρ′ (на осі Oy)
(див. схему на рис. 5). Довжину проекції отвору на вісь Ox позначимо 2l. Пара-
метричне рівняння контуру отвору L має вигляд (14), де
( )
( )
( )
( ) ( ){ }
0
(1 ) cos( ) sin( ), 0 ,
(1 ) sin cos
( ) cos sin , ,
sin
1 tg cos , / 2.
B
B
B B C
C
C C
c i c
c
i c
c
i c
⎧
− ε + ε ξ ε − ξ ε ≤ ξ < ξ⎪
⎪ − ε + ε β − ξ − ξ β −⎪
⎪ ⎡ ⎤ω ξ = − ε β + ξ − ξ β ξ ≤ ξ < ξ⎨ ⎣ ⎦
⎪
⎡ ⎤−ε ξ − ξ ε −β −⎪ ⎣ ⎦
⎪
⎡ ⎤− − ε β + ε ξ − ξ ε −β ξ ≤ ξ < π⎪ ⎣ ⎦⎩
Тут ( / 2 ) , ((1 ) )sec , (2(1 ) )secB C Bc c cξ = ε π −β ξ = ξ + − ε β = ε + − ε π β .
11
Обчислено максимальні напруження у вершині ромбічного отвору, вершини
якого закруглені дугами однакового радіуса ( ′ρ = ρ ) (рис. 5). Стійкі результати
отримано для значень параметрів 610−ε ≥ та [0 ; 87 ]β∈ ° ° .
Рис. 5. Fig. 5. Рис. 6. Fig. 6.
Рис. 5. Залежність коефіцієнта концентрації напружень τmax /τ
у вершині ромбічного отвору від параметра ε для різних кутів 2β.
Fig. 5. Dependence of the stress concentration factor, τmax /τ, at the vertex
of a rhombic hole on parameter ε for different angles 2β.
Рис. 6. Залежність безрозмірного КІН IIIV V
III III /[ ]K lF λ= τ π
від кута розхилу 2β вершини ромбічного отвору.
Fig. 6. Dependence of the dimensionless stress intensity factor, IIIV V
III III /[ ]K lF λ= τ π ,
on the opening angle 2β of a rhombic hole vertex.
У граничному випадку ( 0ε→ ) за залежністю (5) знайдено КІН у гострій
вершині ромбічного отвору (рис. 6). Отримані значення КІН добре узгоджуються
(відносна похибка не перевищує 0,1%) з відомим аналітичним розв’язком [14]
IIIIII
V
III
3B , cos2
2
F
λ−λ −
⎡ ⎤α⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥π⎝
α α⎛ ⎞ − − α⎜ ⎟π ⎦⎝ ⎠⎣ π⎠
, α = π −β ,
знайденим методом конформних відображень. Тут B( , )x y – бета-функція.
Прямокутний отвір. Нехай площина послаблена прямокутним отвором із
закругленими вершинами дугами кіл радіуса ρ. Проекції отвору на осі Ox і Oy
відповідно рівні 2l і 2b. Уведемо параметри: / lε = ρ ( 0 1< ε ≤ ) – відносний раді-
ус закруглення вершин і /l bγ = ( ε ≤ γ < ∞ ) – відносне видовження отвору. Пара-
метричне рівняння контуру отвору L має вигляд (14), де
[ ]0
, 0 ,
( ) ( ) cos (1 ) sin , ,
( ) ( ) , / 2.
A
A C
C C
ic
i
c i
γ − ξ ≤ ξ ≤ ξ⎧
⎪ω ξ = γ − ε + ε φ− − ε + ε φ ξ ≤ ξ ≤ ξ⎨
⎪ γ − ε − ξ − ξ − ξ ≤ ξ ≤ π⎩
Тут ( ) /Acφ = ξ − ξ ε ; 2[(1 ) ( )]c = ε + − ε + γ − ε π ; (1 ) /A cξ = − ε ; (4 )B A cξ = ξ + πε ;
2C A cξ = ξ + πε .
Обчислено розподіл напружень в околі закругленої вершини прямокутного
отвору ( 0/ ,5b l = ) на його контурі. Зі зменшенням параметра ε точка, в якій на-
пруження досягають максимального значення, наближається до вершини отвору.
Для збільшення точності розв’язування інтегрального рівняння використано мо-
12
дифікацію нелінійного перетворення (10) на нерівновіддалені вершини отвору [5].
Безрозмірні КІН V V 1/
I
3
II III /[ ]lF K= τ π і V V 1/6
III III )( /F F lb= у гострій вершині пря-
мокутного отвору отримано за формулою (5) для значень 0,02 1b l≤ ≤ (рис. 7a).
Рис. 7. Залежності безрозмірних КІН V
IIIF і V
IIIF у вершині прямокутного отвору
від відносних видовжень b/l (a) і l/b (b).
Fig. 7. Dependences of the dimensionless stress intensity factors, V
IIIF , and, V
IIIF ,
at the vertex of a rectangular hole on relative elongations b/l (a) and l/b (b).
На основі цих числових результатів для безрозмірного КІН побудовано
апроксимувальну формулу
( ) ( ) ( )1/6V
III 0,6255 / 0,659 0,739 , 0,02 1F b l b l b l b l−= + + ≤ ≤ ,
відносна похибка якої не перевищує 0,5%.
Для видовжених отворів, коли відношення 0b l → , КІН у вершині прямо-
кутного отвору можна подати у вигляді
IIIV V V 1/3 V 1/6 V 1/6
III III III III III IIIK F l F l F l l F K bλ − −= τ π = τ π = τ π = ,
де ( )1/6V V
III IIIF F b l= (рис. 7b), IIIK l= τ π .
Функція V
IIIF прямує до граничного значення V
III 0,95F ≈ , коли відношення
l b→∞ . У результаті отримуємо КІН V
IIIK у вершині напівнескінченного прямо-
кутного вирізу:
III 1 2V
III III0,95K b Kλ −= ,
де IIIK – КІН у вершині відповідної напівнескінченної тріщини.
ВИСНОВКИ
Розвинуто єдиний підхід до розв’язування антиплоских задач теорії пруж-
ності для тіл з гострими та закругленими кутовими вирізами. Методом сингуляр-
них інтегральних рівнянь знайдено розв’язки антиплоских задач теорії пружності
про концентрацію напружень біля криволінійних отворів із закругленими верши-
нами. На основі раніше побудованої авторами залежності між коефіцієнтами ін-
тенсивності та концентрації напружень у гострій та закругленій вершинах куто-
вого вирізу визначено КІН у гострих вершинах лінзоподібного, ромбічного та
прямокутного отворів. Порівняння отриманих результатів з відомими розв’язка-
ми підтвердили високу точність запропонованого підходу. За допомогою гранич-
ного переходу, коли відношення сторін прямокутного отвору прямує до нескін-
ченності, отримано залежність КІН у вершині напівнескінченного прямокутного
вирізу через КІН для відповідної напівнескінченної тріщини.
13
РЕЗЮМЕ. Методом сингулярных интегральных уравнений получены решения анти-
плоских задач теории упругости для плоскости, ослабленной криволинейными отверсти-
ями с закругленными и острыми вершинами. Коэффициенты интенсивности напряжений
в острых вершинах найдены предельным переходом от закругленных вершин с помощью
зависимости между коэффициентами интенсивности и концентрации напряжений в ост-
рой и закругленной вершинах углового выреза. Численные результаты получены для от-
верстий различной конфигурации: эллиптического, физической щели, овального, ромби-
ческого и прямоугольного.
SUMMARY. Solutions of antiplane elasticity problems for a plane weakened by curvilinear
holes with rounded and sharp vertexes are obtained by the singular integral equation method.
The stress intensity factors at the sharp vertexes are found by limiting transition from the roun-
ded vertexes, using the relationship between the stress intensity factor and the stress concentra-
tion factor at the sharp and rounded vertexes. Numerical results are obtained for the holes of
different shapes: elliptical, physical slot, oval, rhombic, and rectangular.
Робота виконана за проектом № 2011/03/B/ST8/06456, який фінансує На-
ціональний центр науки (Польща).
1. Саврук М. П., Казберук А. Зв’язок між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації
напружень для гострих і закруглених кутових вирізів // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2006. – 42, № 6. – С. 17–26.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Relationship between the stress intensity and stress concen-
tration factors for sharp and rounded notches // Materials Science. – 2006. – 42, № 6.
– P. 725–738.)
2. Саврук М. П., Казберук А. Единый подход к решению задач о концентрации напряже-
ний около острых и закругленных угловых вырезов // Прикл. механика. – 2007. – 43,
№ 2. – С. 70–87.
3. Savruk M. P. and Kazberuk A. Two-dimensional fracture mechanics problems for solids with
sharp and rounded V-notches // Int. J. Fract. – 2010. – 161, № 1. – P. 79–95.
4. Kazberuk A. Dwuwymiarowe zagadnienia mechaniki pękania ciał z karbami. – Białystok:
Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockej, 2010. – 242 s.
5. Саврук М. П., Казберук А. Розподіл напружень біля кутових вирізів за складного на-
пруженого стану // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2011. – 47, № 4. – С. 52–61.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Distribution of stresses near V-shaped notches in the comp-
lex stressed state // Materials Science. – 2011. – 47, № 4. – P. 476–487.)
6. Саврук М.П., Казберук А., Тарасюк Г. Розподіл напружень на контурі кутового закруг-
леного вирізу за антиплоскої деформації // Там же. – 2011. – 47, № 6. – С. 7–14.
(Savruk M. P., Kazberuk A., and Tarasyuk G. Distribution of stresses over the contour of a
rounded V-shaped notch under antiplane deformation // Materials Science. – 2011. – 47,
№ 6. – P. 717–725.)
7. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка,
1981. – 324 с.
8. Benthem J. P. Stresses in the region of rounded corners // Int. J. Solids Struct. – 1987. – 23,
№ 2. – P. 239–252.
9. Seweryn A. Metody numeryczne w mechanice pękania. – Warszawa: IPPT PAN, 2003. – 361 s.
10. Sidi A. A new variable transformation for numerical integration // Numerical Integration IV
/ Eds. H. Brass, G. Hammerlin. – Basel: Birkhäuser, 1993. – 112. – P. 359–373.
11. Саврук М. П., Осив П. Н., Прокопчук И. В. Численный анализ в плоских задачах тео-
рии трещин. – К.: Наук. думка, 1989. – 248 с.
12. Neuber H. Kerbspannungslehre: Theorie der Spannungskonzetration; genaue Berechnung
der Festigkeit. – Berlin: Springer-Verlag, 1985. – 326 s.
13. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение / Под
ред. Г. Либовица. – М.: Мир, 1975. – Т. 2. – С. 83–203.
14. Kohno Y. and Ishikawa H. Singularities and stress intensities at the corner point of a polygo-
nal hole and rigid polygonal inclusion under antiplane shear // Int. J. Eng. Sci. – 1995. – 33,
№ 11. – P. 1547–1560.
Одержано 13.07.2012
|