Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення
Розглянуто осесиметричну задачу про фрикційний контакт двох пружних тіл параболоїдної форми за умови, що область контакту поділяється на кругову зону зчеплення та кільцеву зону проковзування. Завдяки малості області контакту тіла замінені пружними півпросторами. Здійснено перехід від крайової задачі...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2012
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139766 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення / В.І. Острик, А.Ф. Улітко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 30-38. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-139766 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1397662018-06-22T03:07:14Z Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення Острик, В.І. Улітко, А.Ф. Розглянуто осесиметричну задачу про фрикційний контакт двох пружних тіл параболоїдної форми за умови, що область контакту поділяється на кругову зону зчеплення та кільцеву зону проковзування. Завдяки малості області контакту тіла замінені пружними півпросторами. Здійснено перехід від крайової задачі для двох пружних півпросторів до задачі для одного півпростору. Узагальненим методом Вінера– Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Визначено радіуси області контакту та зони зчеплення, розподіл контактних напружень, зближення тіл. Рассмотрена осесимметричная задача о фрикционном контакте двух упругих тел при условии, что область контакта разделяется на круговую зону сцепления и кольцевую зону проскальзывания. Ввиду малости области контакта тела заменены упругими полупространствами. Осуществлен переход от граничной задачи для двух упругих полупространств к задаче для одного полупространства. Обобщенным методом Винера– Хопфа получено аналитическое решение задачи. Определены радиусы области контакта и зоны сцепления, распределение контактных напряжений, сближение тел. The axi-symmetric problem on frictional contact of two elastic bodies under condition that contact domain is divided into a circular adhesion zone and also a circular slipping zone is solved. In view of the smallness of the contact region, the bodies are replaced by the elastic half-spaces. The passage from the boundary problem of two half-spaces to the problem of one half-space is realized. Using the Wiener–Hopf generalized method, the analytical solution of the problem is obtained. The radia of the contact domain and the adhesion zone, the distribution of contact stresses, the approach of bodies are found. 2012 Article Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення / В.І. Острик, А.Ф. Улітко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 30-38. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139766 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто осесиметричну задачу про фрикційний контакт двох пружних тіл параболоїдної форми за умови, що область контакту поділяється на кругову зону зчеплення та кільцеву зону проковзування. Завдяки малості області контакту тіла замінені пружними півпросторами. Здійснено перехід від крайової задачі для двох пружних півпросторів до задачі для одного півпростору. Узагальненим методом Вінера– Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Визначено радіуси області контакту та зони зчеплення, розподіл контактних напружень, зближення тіл. |
| format |
Article |
| author |
Острик, В.І. Улітко, А.Ф. |
| spellingShingle |
Острик, В.І. Улітко, А.Ф. Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Острик, В.І. Улітко, А.Ф. |
| author_sort |
Острик, В.І. |
| title |
Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення |
| title_short |
Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення |
| title_full |
Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення |
| title_fullStr |
Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення |
| title_full_unstemmed |
Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення |
| title_sort |
осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/139766 |
| citation_txt |
Осесиметричний контакт двох пружних тіл за тертя та зчеплення / В.І. Острик, А.Ф. Улітко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 30-38. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT ostrikví osesimetričnijkontaktdvohpružnihtílzatertâtazčeplennâ AT ulítkoaf osesimetričnijkontaktdvohpružnihtílzatertâtazčeplennâ |
| first_indexed |
2025-07-10T09:00:20Z |
| last_indexed |
2025-07-10T09:00:20Z |
| _version_ |
1837249885813866496 |
| fulltext |
30
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2012. – ¹ 4. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ОСЕСИМЕТРИЧНИЙ КОНТАКТ ДВОХ ПРУЖНИХ ТІЛ
ЗА ТЕРТЯ ТА ЗЧЕПЛЕННЯ
В. І. ОСТРИК, А. Ф. УЛІТКО
Київський національний університет ім. Тараса Шевченка
Розглянуто осесиметричну задачу про фрикційний контакт двох пружних тіл пара-
болоїдної форми за умови, що область контакту поділяється на кругову зону зчеп-
лення та кільцеву зону проковзування. Завдяки малості області контакту тіла заміне-
ні пружними півпросторами. Здійснено перехід від крайової задачі для двох пруж-
них півпросторів до задачі для одного півпростору. Узагальненим методом Вінера–
Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Визначено радіуси області контакту
та зони зчеплення, розподіл контактних напружень, зближення тіл.
Ключові слова: осесиметричний контакт, пружний півпростір, тертя, зчеплення,
метод Вінера–Гопфа.
У класичній теорії Герца контактної взаємодії пружних тіл [1, 2] не врахову-
ються сили тертя, що виникають в області контактного тиску. Самі ж тіла для
розрахунку напружень замінюють пружними півпросторами. Тертя суттєво ус-
кладнює як формулювання контактної задачі, так і її розв’язання. Під впливом
тертя область контакту поділяється на зону зчеплення всередині та зону проков-
зування поверхонь тіл на межі області контакту [2].
Вперше контакт зі зчепленням і проковзуванням розглянуто Л. А. Галіним
[3] у задачі про вдавлювання штампа з прямолінійною основою в пружну півпло-
щину. Якщо контакт тіл починається в точці, а зі зростанням навантаження об-
ласть контакту збільшується, то в зоні зчеплення накопичується так звана “за-
щемлена деформація” [2], закон розподілу якої є лінійним [4]. У такому форму-
люванні плоску задачу про вдавлювання параболічного штампа в пружну півпло-
щину розв’язано в праці [5], а про контактну взаємодію двох пружних тіл – у
праці [6]. Осесиметричні контактні задачі зі зчепленням і проковзуванням раніше
не вивчались.
Нижче розглянуто осесиметричну задачу про фрикційний контакт двох
пружних тіл параболоїдної форми за умови, що область контакту поділяється на
зони зчеплення та проковзування. Узагальненим методом Вінера–Гопфа [7–9]
знаходять аналітичний розв’язок задачі.
Постава задачі. Нехай два пружних тіла, модулі зсуву яких G1 і G2, а числа
Пуассона (1)m і (2)m , обмежені в околі точки O початкового співдотику опукли-
ми поверхнями обертання ( )2
0(2 )j
jz r R= ( 0 2≤ ϑ < π ), де введені циліндричні
системи координат jz , r , ϑ пов’язані з кожним із тіл так, що осі jOz перпен-
дикулярні до спільної площини дотику тіл і направлені всередину них, а ( )
0
jR –
радіуси кривизни поверхонь тіл у точці дотику (j = 1, 2).
Під час стискання тіл силами Р на їх межах утворюється кругова область
контакту r ≤ R, яка поділяється на кругову зону зчеплення r ≤ R1 і кільцеву зону
Контактна особа: В. І. ОСТРИК, e-mail: ostrik_v@rambler.ru
31
проковзування 1R r R< ≤ ( 0 2≤ ϑ < π ). Прийнявши друге тіло жорсткішим, вва-
жаємо, що в зоні проковзування точки поверхні першого тіла рухаються вздовж
поверхні другого в напрямку до середини області контакту. При цьому нормальні
та дотичні напруження підпорядковані закону тертя Амонтона. Вважаємо також,
що в зоні зчеплення, згідно з працею [4], різниця повздовжніх радіальних дефор-
мацій тіл розподілена за лінійним законом. Як і в теорії Герца, завдяки малості
області контакту ( ( )
0
jR R<< ), кожне тіло замінюємо пружним півпростором
0jz ≥ ( 1,2j = ).
Змішані крайові умови на межах півпросторів мають вигляд
1 2
(1) (2) 2
00 0
(2 )z zz z
u u r R
= =
+ = δ − ,
1 2
(1) (2)
0 0z zz z= =
σ = σ , 0 r R≤ ≤ ;
1 2
(1) (2) 2
00 0r rz z
u u C r
= =
− = ,
1 2
(1) (2)
0 0rz rzz z= =
τ = −τ , 10 r R≤ ≤ ;
( ) 1 ( )
00 0
( 1)
j j
j j j
rz zz z
+
= =
τ = − µ σ , 1R r R< ≤ ;
( )
0
0
j
j
z z =
σ = , ( )
0
0
j
j
rz z =
τ = , R r< < ∞ , 1,2j = , (1)
де δ – зближення тіл; 0R – зведений радіус кривизни поверхонь тіл у точці по-
чаткового дотику ( (1) (2)
0 0 01/ 1/ 1/R R R= + ); 0C – невідома стала “защемленої де-
формації”; 0µ – коефіцієнт тертя.
Відносні тангенціальні переміщення поверхонь півпросторів задовольняють
умову
1 2
(1) (2)
0 0
0r r rz z
u u u
= =
∆ = − < , 0 r< < ∞ . (2)
Зі зростанням навантаження та розширенням області контакту крайові точки тіл із
зони проковзування переходять у зону зчеплення, де різницю тангенціальних пере-
міщень виражають третьою умовою (1). Тому в зоні проковзування маємо умову
2
0ru C r∆ > , 1R r R< ≤ , (3)
а у зоні зчеплення справджується умова
1 1
(1) (1)
0
0 0
rz z
z z= =
τ < µ σ , 10 r R≤ ≤ . (4)
Окрім того, потрібно задовольнити умови рівноваги півпросторів
( )
00
2
j
R
j
z z
rdr P
=
π σ = −∫ , 1,2j = . (5)
Коли одне з тіл є абсолютно жорстке ( 2G = ∞ ), приходимо до осесиметрич-
ної задачі про фрикційний контакт штампа параболічного профілю 2
0/(2 )r Rζ < −
( 0 2≤ ϑ < π ) і пружного півпростору ζ≥0 ( 1G G= , (1)m m= , (1)
0R = ∞ , (2)
00R R= ,
1z = ζ ) з такими крайовими умовами:
2
00
(2 )u r Rζ ζ=
= δ − , 0 r R≤ ≤ ; 2
00ru C rζ= = , 10 r R≤ ≤ ;
00 0rζ ζζ= ζ=
τ = µ σ , 1R r R< ≤ ;
0
0ζ ζ=
σ = ,
0
0rζ ζ=
τ = , R r< < ∞ , (6)
32
крайовими нерівностями
2
00ru C rζ= > , 1R r R< ≤ ; 00 0rζ ζζ= ζ=
τ < µ σ , 10 r R≤ ≤ (7)
та умовою рівноваги
0
0
2
R
rdr Pζ ζ=
π σ = −∫ . (8)
Як показано в праці [10], достатньо побудувати розв’язок задачі (6)–(8) для
одного пружного півпростору, за яким розв’язок задачі (1), (3)–(5) для двох пів-
просторів відтворюють формальною заміною
(1) (2) (2)
1 2
(1) (2) (2)
1 2
[ (3 4) ]
(2 3)
m G m G mm
G m m G m
− +
=
− +
. (9)
При цьому всі силові чинники – напруження і силу P – слід віднести до зве-
деного модуля пружності E∗ , який в обох задачах визначають співвідношеннями
11
2
m
GmE∗
−= ,
(1) (2)
(1) (2)
1 2
1 11
2 2
m m
E G m G m∗
− −= + . (10)
Переходимо до розв’язування контактної задачі (6)–(8) для одного півпростору.
Система інтегральних рівнянь та її зведення до системи функціональ-
них рівнянь Вінера–Гопфа. Введемо невідомі функції контактних напружень у
зонах зчеплення та проковзування
0
1( )
2
p r
G ζ ζ=
= σ ,
0
1( )
2 rq r
G ζ ζ=
= τ , 10 r R≤ ≤ ;
0
1( )
2
r
G ζ ζ=
σ = σ , 1R r R< < (11)
і розглянемо першу крайову задачу для пружного півпростору з умовами
10
1 ( )
2
g r
G ζ ζ=
σ = , 20
1 ( )
2 r g r
G ζ ζ=
τ = , (12)
де
1
1 1
( ), 0 ,
( ) ( ), ,
0, ,
p r r R
g r r R r R
r R
≤ ≤⎧
⎪= σ < <⎨
⎪ >⎩
1
2 0 1
( ), 0 ,
( ) ( ), ,
0, .
q r r R
g r r R r R
r R
≤ ≤⎧
⎪= µ σ < <⎨
⎪ >⎩
(13)
Розв’язок крайової задачі (12) знайдемо за допомогою інтегрального пере-
творення Мелліна. Зокрема, переміщення на межі півпростору мають вигляд
1 1 2 20
(1 2) (1 2 2)1 1 ( ) ( )
2 (1 2 2) (1 2)
c i
s
c i
s su m a s m a s r ds
i s s s
+ ∞
−
ζ ζ=
− ∞
Γ + Γ −⎛ ⎞= − −⎜ ⎟π Γ + Γ −⎝ ⎠
∫ ,
2 1 1 20
(1 2 2) (1 2)1 1 ( ) ( )2 1 (1 2) (1 2 2)
c i
s
r
c i
s su m a s m a s r dsi s s s
+ ∞
−
ζ=
− ∞
Γ + Γ −⎛ ⎞= − −⎜ ⎟π − Γ + Γ −⎝ ⎠∫ , (14)
0
( ) ( ) s
j ja s g y y ds
∞
= ∫ , 1,2j = ; 1
12 mm
m
−= , 2
2mm
m
−= , 0 1c< < .
Розв’язок (14) підставимо у продиференційовані першу та помножену на r
другу крайові умови (6). Виконавши заміни
s i= − τ , r Re−ξ= , y Re−η= , (15)
відносно нових невідомих функцій
33
( ) ( )Re e−η −ηϕ η = σ , 0 a≤ η < ; 1ln( )a R R= ;
1( ) ( )p Re e−η −ηψ η = , 2 ( ) ( )q Re e−η −ηψ η = , a ≤ η < ∞ (16)
отримаємо систему інтегральних рівнянь
0 21
1
2 2 02
( ),
( )
( ),
a m RL e
m m Ra
− ξµ ϕ ξ ξ <⎧
− ξ =⎨ψ ξ ξ ≥⎩
, 0 < ξ < ∞ ;
21
1 2 0
2 2
3( ) ( )m L C Re
m m
− ξψ ξ − ξ = , a < ξ < ∞ ; (17)
1
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a
j
j j j j
a
L k d k d
∞
−ξ ≡ µ ξ − η ϕ η η+ ξ − η ψ η η∫ ∫ ,
різницеві ядра якої мають вигляд
3 2 ( )1( ) ( )2
j i
jk K e d
∞
− − τ ξ−η
−∞
ξ − η = τ τ
π ∫ , 1,2j = ; (1 2) (1 2 2)( ) (1 2 2) (1 2)
i iK i i
Γ − τ Γ + τ
τ =
Γ − τ Γ + τ
.
Продовжимо інтегральні рівняння (17) на всю числову вісь і застосуємо до
них інтегральне перетворення Фур’є. Відносно функцій комплексної змінної
0
1( ) ( )
2
a
izz e d+ ξΦ = ϕ ξ ξ
π ∫
,
0
1( ) ( )
2
iz
a
z a e d− ξ
−
Φ = ϕ ξ + ξ
π ∫ ,
0
1( ) ( )
2
iz
j jz a e d
∞
+ ξΨ = ψ ξ + ξ
π ∫
,
0
1( ) ( ( 1) )
2
iz
j j
mz L j a e d− ξ
−∞
Ψ = ξ + − ξ
π ∫ , 1,2j = , (18)
де індекс “+” вказує на аналітичність функцій у півплощині Im z c+> ( 0c+ < ), а
індекс “–” – у півплощині Im z c−< ( 0c− > ), отримаємо систему функціональних
рівнянь Вінера–Гопфа
[ ]1 0 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )izam K z m z e m K z z m z z F z+ + + − +⎡ ⎤− µ Φ + Ψ − Ψ −Ψ =⎣ ⎦ ,
1 0 1
2 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
izam mz e m z z z F zK z K z
+ − + + − +µ
− Φ + Ψ − Ψ + Ψ = ,
( ) ( )izaz e z+ −Φ = Φ , Imc z c+ −< < , (19)
праві частини якої мають вигляд
1
0
1( )
22
RF z
izR
+ = −
−π
,
20
2
3
( )
22
aC R eF z
iz
−+ =
−π
.
Розв’язування системи функціональних рівнянь. Увівши функції
0 1 2( ) ( ) ( )z z z+ + +Ψ = µ Ψ −Ψ , 1 1( ) ( ) ( )izaz z e z+ + +Φ = Φ + Ψ ,
2 2( ) ( ) ( )izaz z m e z− − − +Ψ = Ψ − Φ ,
1 1 0 2 1( ) ( ) ( ) (1 2) (1 2 2)K z m K z m z iz iz= − µ = λ Γ − Γ + , 0 1
2 2( ) ( )
m
K z m K z
µ
= − ,
0 21
1( ) (1 2 2) (1 2) (1 2) (1 2 2)
mmz iz iz iz iz
µ
λ = −
Γ − Γ + Γ − Γ +
, 3
3 4mm
m
−= ,
систему функціональних рівнянь (19) перетворимо до вигляду
34
1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )izaK z z m e z z F z+ + − +Φ + Ψ −Ψ = , (20)
1 2 1 1 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )izaK z z e K z z F z m z K z F z− − − + + +⎡ ⎤Ψ + Ψ + + Ψ =⎣ ⎦ ,
Imc z c+ −< < .
Коефіцієнт 1( )K z подамо як добуток, а другі доданки і праві частини рів-
нянь (20) – різницею аналітичних функцій у верхній ( Im z c+> ) і нижній
( Im z c−< ) півплощинах
1 1 1 1( ) (0) ( ) ( )K z K K z K z+ −= , 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )izam e z K z z z+ − + −Ψ = χ − χ ,
2 1 1 1( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )izae K z z F z K z z z− − + + + −Ψ + = χ − χ ,
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )F z K z f z f z+ − + −= − , 1 1 2(0) ( ) ( ) ( ) ( )K K z F z f z f z− + + −= − ,
( ) 1
1
1
( ) 1 1
2nn
iz izK z
n
∞ −
+
=
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟′ζ⎝ ⎠
∏ , ( ) 1
1
1
( ) 1 1
2 1nn
iz izK z
n
∞ −
−
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ζ −⎝ ⎠
∏ ,
1
1 0
1( ) ( )
22
k ak
k
k kk
Rz i e
iz R
−∞
′ζ+ −
=
⎡ ⎛ ⎞α ′χ = Ψ ζ − +⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ζ + + ζπ⎢ ⎝ ⎠⎣
∑
2
1
0
1( (2 1))
2 1 2 32
kak Ri k e
k iz kR
−
− −
⎤⎛ ⎞α
+ Ψ − − + ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− − −π ⎥⎝ ⎠ ⎦
,
1
1
( ) ( ) kak
k
kk
z i e
iz
+∞
−ζ− +
=
α
χ = Ψ ζ
ζ +∑ ,
1
0 1
1( )
22 ( 2 )
Rf z
izR K i
+
−
= −
−π −
,
20
1 1
3
( ) (0) ( 2 ) 22
aC R ef z K K i iz
−+ −= −
−π
,
2 1 2 1(0) ( ) ( )k k km K i K i+ +α = − λ ζ ζ , 1
3 2 1 2 1(0) ( ) ( )k k km m K i K i− − −′ ′α = − λ ζ ζ ,
2
1 1
1 22
[(2 1)!!] ( (2 1))(0)
(2 1)[(2 2)!!]
a
k
m k K i kK em k k
−
− − − −
α =
− −
, 1,2,...k = ,
2 1( ) [ ( ) (1 2) (1 2 2)]z i z iz iz′λ = λ Γ − Γ + , (21)
де nζ , n′ζ ( 1,2,...n = ) − додатні та від’ємні корені рівняння 1( ) 0isλ = .
Зі співвідношень (20), (21) знаходимо [7, 9]
1 1
1
1 1
( ) ( )( )
(0) ( )
f z zz
K K z
+ +
+
+
− χ
Φ = , 1 1 1 1( ) ( )[ ( ) ( )]z K z f z z− − − −Ψ = − χ ,
1
3
1( ) ( )[ ( ) ( )]z K z f z zm
+ + + +Ψ = − χ ,
1 1
( ) ( )( )
(0) ( )
f z zz
K K z
− −
−
−
− χ
Ψ = − . (22)
Розв’язок (22) системи функціональних рівнянь (20) містить невідомі зна-
чення ( )ki+Ψ ζ , 1 ( )ki− ′Ψ ζ , 1 ( (2 1))i k−Ψ − − ( 1,2,...k = ). Для їх визначення візьмемо
у третій рівності (22) nz i= ζ , а у другій − nz i ′= ζ і (2 1)z i n= − − ( 1,2,...n = ).
Увівши малий параметр 2 2
1( )ae R R−λ = = ( 0 1< λ < ) і прийнявши позначення
35
(2 )kk a
k k e −ζ+ +α = α , (2 )kk a
k k e ′+ζ− −α = α , 1
3 1 ( )n nm K i+ − +β = ζ , 1 ( )n nK i− − ′β = ζ ,
1 ( (2 1))n K i n− −β = − − ,
2
0
1 1
3
(0) ( 2 ) 22
a
n
n
n
C R e
g K K i
+ −
+ − β
= −
+ ζπ
,
0 12 ( 2 )(2 )
n
n
n
Rg
R K i
−
−
−
β
= −
′π − + ζ
,
0 12 ( 2 )(2 3)
n
n
Rg
R K i n
−
−
−
β
=
π − −
, , 1,2,...k n = ,(23)
відносно невідомих
( )k kz i+ += Ψ ζ , 1
0
1( ) 22k k
k
Rz i
R
− − ′= Ψ ζ − ′+ ζπ
,
1
0
1( (2 1)) 2 32k
Rz i k kR
− −= Ψ − − +
−π
(24)
отримаємо нескінченну систему алгебричних рівнянь
1 2 1
kk kk
n n k k n
k n nk
z z z g
k
− −∞
+ + − − +
=
⎛ ⎞α α
+ β + λ =⎜ ⎟⎜ ⎟′ζ − ζ − + ζ⎝ ⎠
∑ ,
1
kk
n n k n
k nk
z z g
+∞
− − + −
=
α
+ β λ =′ζ − ζ∑ ,
1 2 1
kk
n n k n
kk
z z g
n
+∞
− − + −
=
α
+ β λ =
ζ + −∑ , 1,2,...n = . (25)
Система рівнянь (25) має експоненціально спадальні за індексом k коефіцієнти.
Її розв’язок знаходимо у рядах за степенями параметра λ [8, 9].
Сталі 0C і λ визначаємо із двох додаткових умов
20
1 1
1
3
( ) (0) ( 2 )
2
k a
k k k k
k
C R
z z K K i e
∞
− − − − − −
=
α − α λ = − −
π
∑ , (26)
20
1 1
1
6
(2 1) (0) ( 2 )
2
k a
k k k k k
k
C R
z k z K K i e
∞
− − − − − −
=
⎡ ⎤′ζ α + − α λ = −⎣ ⎦ π
∑ , (27)
перша з яких умова неперервності контактних напружень на лінії переходу із зо-
ни зчеплення в зону проковзування, а друга забезпечує виконання крайових не-
рівностей (7) [9].
Розв’язок системи рівнянь (25) подамо у вигляді 0 1 0 2( )k k kz R R z C R z± ± ±= + ,
0 1 0 2( )k k kz R R z C R z− − −= + . Тоді з умови (26) знаходимо
0
0
0
C
C R= ,
1
2
0 1 1 2 2 1 1
1 1
3 (0) ( 2 ) ( ) ( )
2
a k k
k k k k k k k k
k k
C K K i e z z z z
−∞ ∞
− − − − − − − − − −
= =
⎛ ⎞
= − − − α − α λ α − α λ⎜ ⎟
π⎝ ⎠
∑ ∑ ,
а умова (27) служить трансцендентним рівнянням для визначення відносного
розміру зони зчеплення 1R R = λ .
Визначення радіуса області контакту, контактних напружень та збли-
ження тіл. Радіус R області контакту знайдемо із умови рівноваги (8). Перетво-
ривши інтеграл із рівняння (8) і, врахувавши розв’язок (22) і заміни (9), (10),
отримаємо:
36
0 03
1
k PR
R
m E∗
=
π
, 1 1
0
1
1 1 0 2
1
(0) ( )
1 (3 ( 2 )) 2 ( 1) ( ) k
k k k k
k
K K ik
K i z C z
+
∞
− + − + +
=
=
− + π α ζ − + λ∑
.
Напруження в області контакту знайдемо, застосовуючи заміни (12), (13),
(16) і обертаючи інтеграли Фур’є із виразів (18). Перетворивши відповідні інте-
грали до рядів за теорією лишків, на підставі (21), (22) отримаємо такі розподіли
нормальних та дотичних контактних напружень:
( )
1
2 2 2
(1) 0 02 1
0 1 0 220 3 3 1
[(2 1)!!]3 ( )
2 (2 1)[(2 2)!!]
k
z k kz k
C pm m kr rp z C zm R m Rk k
∞ −
− −
= =
−σ = − + +
π − −
∑ ,
1
(1) 0 02 1
00 3 2 1 1
1 13 ln 12 4 2 2 32rz z kn
C pm m r r
m m R k R
∞
= =
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞τ = µ − + − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ζ + −π ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
2 12
01
3 1 11 1
[(2 1)!!]
(0) (2 )!!(2 2)!! ( 2 )
k
k
pm k r
m K Rk k K ik
−∞
−
=
− ⎛ ⎞− ×⎜ ⎟− − ⎝ ⎠
∑
1 21 0 2 1 0 2
1
( ) ( )
2 2( ) 1
nn n n n n n
k
nn
z C z z C z
k n k
− − − − − −∞
−
=
⎡ ⎤⎛ ⎞α + α +
⎢ ⎥× τ + + λ⎜ ⎟⎜ ⎟′ζ + − −⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ , 10 r R≤ ≤ ,
1 0τ = , 0 1
1 1
3 1(0) ( 2 )
2( 1)2k
C R K K i
R k
−τ = −
−π
, 2,3,...k = , 0
0 22
k Pp
R
=
π
,
( )
1
(1)
0 2 2 1 0 2 2 1 0 20 11
( )( ) ( )( )
k k
z k k k k k kz k
R r rp m i z C z i z C zr R R
−ζ ′∞ −ζ
+ + − −
= =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ′⎢ ⎥σ = λ ζ + − λ ζ +⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ,
1R r R< < .
Зближення тіл δ визначаємо, виходячи із виразу (14) для нормальних пере-
міщень
0
uζ ζ=
при 0r = . Отримуємо:
2
1 0 2
0 11
1 2 ( )
2 ( 2 )
kk
k k
kk
R z C zR K i
+∞
+ +
−
=
⎛ ⎞α
δ = + π + λ⎜ ⎟⎜ ⎟ζ−⎝ ⎠
∑ .
Результати обчислень. Наведено відносний радіус зони зчеплення 1R R
(табл. 1) та нормалізовані значення зближення тіл 2 3
0 02 ( ( ))R G PRδ = δ , радіуси
області контакту 1 3
0( ( ))R G PR R= і максимальні за модулем нормальні кон-
тактні напруження (у центрі області контакту)
1
2 (1)
0 0, 0
( ) z z r
R P
= =
σ = σ (табл. 2),
обчислені за різних відношень модулів зсуву 2 1G G і коефіцієнтів тертя 0µ для
чисел Пуассона (1) (2) 10 3m m= = . За гладкого контакту ( 0 0µ = ) вказані норма-
лізовані значення такі [2]:
( )2 3
3
3 1
2 3
m
m
−δ = , ( )1 311 32
mR m
−= , 0
3
2
σ = −
π
.
37
Відносний розмір зони зчеплення в осесиметричній задачі є значно більший, ніж
у відповідній задачі для плоскої деформації, де він для 0 0,25µ = , (1) 10 3m = ,
2 1G G = ∞ становить 0,5432 [4].
Таблиця 1. Відносні радіуси зони зчеплення R1/R (m(1)=m(2)=10/3)
0µ
G2/G1
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5
1,5 0,8477 0,9827 0,9970 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
2 0,5184 0,9153 0,9810 0,9953 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
4 0,1224 0,5921 0,8428 0,9380 0,9739 0,9884 0,9993 1,0000
10 0,0329 0,3412 0,6509 0,8234 0,9092 0,9519 0,9851 0,9956
∞ 0,0105 0,1996 0,4869 0,6980 0,8239 0,8957 0,9608 0,9838
Таблиця 2. Нормалізовані значення зближення тіл δ , радіуси області
контакту R і максимальні нормальні контактні напруження σ0 (m(1)=m(2)=10/3)
0µ 0 0,25 0,5
G2/G1 δ R 0σ δ R 0σ δ R 0σ
1,5 0,6814 0,5837 –0,4775 0,6818 0,5853 –0,4819 0,6841 0,5913 –0,4931
2 0,7004 0,5918 –0,4775 0,6998 0,5913 –0,4809 0,7034 0,6005 –0,4977
4 0,7427 0,6094 –0,4775 0,7399 0,6059 –0,4850 0,7417 0,6106 –0,4934
10 0,7825 0,6255 –0,4775 0,7774 0,6194 –0,4931 0,7770 0,6188 –0,4919
∞ 0,8199 0,6403 –0,4775 0,8126 0,6319 –0,5033 0,8113 0,6297 –0,4991
Показано (див. рисунок) розподіли безрозмірних нормальних
1
2 (1)
0
( ) z z
R P
=
σ = σ і дотичних
1
2 (1)
0
( ) rz z
R P
=
τ = τ контактних напружень для
0 0,25µ = , 2 1 2, 4,G G = ∞ (криві 1–3), а також нормальних контактних напру-
жень ( 23 1 ( )
2
r Rσ = −
π
, 0τ ≡ ) за гладкого контакту пружних тіл ( 0 0µ = [2]).
Розподіли безрозмірних контактних
напружень: нормальних σ (суцільні лінії,
µ0 = 0,25; штрихпунктирні, µ0 = 0),
дотичних τ (штрихові, µ0 = 0,25):
1 – G2/G1 = 2; 2 – 4; 3 – ∞.
Distributions of dimensionless contact stresses:
normal σ (solid lines, µ0 = 0.25; dash-dotted,
µ0 = 0), tangential τ (dashed,
µ0 = 0.25): 1 – G2/G1 = 2; 2 – 4; 3 – ∞.
Тертя впливає на розподіл нормальних контактних напружень несуттєво,
зменшуючи їх за абсолютною величиною до 5% у центрі ділянки контактного
38
тиску, але викликає дотичні контактні напруження, які зростають зі збільшенням
відношення модулів зсуву 2 1G G , яке характеризує ступінь різнорідності мате-
ріалів контактуючих тіл. Вплив сил тертя на досліджувані характеристики кон-
такту найбільший, якщо одне із тіл, які знаходяться в контакті, абсолютно жорстке.
РЕЗЮМЕ. Рассмотрена осесимметричная задача о фрикционном контакте двух уп-
ругих тел при условии, что область контакта разделяется на круговую зону сцепления и
кольцевую зону проскальзывания. Ввиду малости области контакта тела заменены упру-
гими полупространствами. Осуществлен переход от граничной задачи для двух упругих
полупространств к задаче для одного полупространства. Обобщенным методом Винера–
Хопфа получено аналитическое решение задачи. Определены радиусы области контакта и
зоны сцепления, распределение контактных напряжений, сближение тел.
SUMMARY. The axi-symmetric problem on frictional contact of two elastic bodies under
condition that contact domain is divided into a circular adhesion zone and also a circular slip-
ping zone is solved. In view of the smallness of the contact region, the bodies are replaced by
the elastic half-spaces. The passage from the boundary problem of two half-spaces to the prob-
lem of one half-space is realized. Using the Wiener–Hopf generalized method, the analytical
solution of the problem is obtained. The radia of the contact domain and the adhesion zone, the
distribution of contact stresses, the approach of bodies are found.
1. Hertz H. Über die Berührung fester elastischer Körper // J. für die reine und angewandte
Mathematik. − 1882. − 92. − S. 156–171.
2. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. − М.: Мир, 1989. − 510 с.
3. Галин Л. А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления // Прикл. математи-
ка и механика. − 1945. − 9, вып. 5. − С. 413–424.
4. Spence D. A. An eigenvalue problem for elastic contact with finite fraction // Proc. Cambrige
Phil. Soc. − 1973. − 73. − P. 249–268.
5. Жупанська О. І. Фрикційна взаємодія жорсткого циліндра з пружним півпростором
// Мат. методи та фіз.-мех. поля. − 1999. − № 2. − С. 125–134.
6. Улитко А. Ф., Острик В. И. Фрикционный контакт упругих тел и взаимодействие
межфазных трещин // Актуальні аспекти фізико-механічних досліджень. Механіка.
– К.: Наук. думка, 2007. – С. 305–317.
7. Нобл Б. Метод Винера−Хопфа. − М.: Изд-во иностр. лит., 1962. − 280 с.
8. Антипов Ю. А. Точное решение задачи о вдавливании кольцевого штампа в полупрос-
транство // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. − 1987. − № 7. − С. 29–33.
9. Острик В. І. Контакт пружного та жорсткого клинів з урахуванням тертя і зчеплення
// Мат. методи та фіз.-мех. поля. − 2005. − 48, № 3. − С. 88–100.
10. Острик В. І., Улітко А. Ф. Про одну властивість розв’язків задач теорії пружності для
двох півплощин або півпросторів // Там же. − 2009. − 52, № 2. − С. 72–80.
Одержано 27.05.2011
|