Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного)

Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного)

Георгій Феодосійович Вороний — всесвітньо відомий математик, один з найвизначніших учених, яких дала світовій науці українська земля. Ще за життя його наукові праці вражали сучасників геніальністю спалахів математичної думки. У фаховому середовищі його давно визнано одним з найяскравіших талантів...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2018
Автори: Працьовитий, М.В., Сита, Г.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2018
Назва видання:Вісник НАН України
Теми:
Наукова спадщина
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140641
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного) / М.В. Працьовитий, Г.М. Сита // Вісник Національної академії наук України. — 2018. — № 4. — С. 92-101. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-140641
record_format dspace
spelling irk-123456789-1406412018-07-13T01:23:09Z Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного) Працьовитий, М.В. Сита, Г.М. Наукова спадщина Георгій Феодосійович Вороний — всесвітньо відомий математик, один з найвизначніших учених, яких дала світовій науці українська земля. Ще за життя його наукові праці вражали сучасників геніальністю спалахів математичної думки. У фаховому середовищі його давно визнано одним з найяскравіших талантів в історії математики на межі ХІХ–ХХ ст. Однак найбільшого значення його науковий доробок набув саме в наш час у зв’язку з розвитком комп’ютерних наук. 2018 Article Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного) / М.В. Працьовитий, Г.М. Сита // Вісник Національної академії наук України. — 2018. — № 4. — С. 92-101. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 0372-6436 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140641 uk Вісник НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Наукова спадщина
Наукова спадщина
spellingShingle Наукова спадщина
Наукова спадщина
Працьовитий, М.В.
Сита, Г.М.
Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного)
Вісник НАН України
description Георгій Феодосійович Вороний — всесвітньо відомий математик, один з найвизначніших учених, яких дала світовій науці українська земля. Ще за життя його наукові праці вражали сучасників геніальністю спалахів математичної думки. У фаховому середовищі його давно визнано одним з найяскравіших талантів в історії математики на межі ХІХ–ХХ ст. Однак найбільшого значення його науковий доробок набув саме в наш час у зв’язку з розвитком комп’ютерних наук.
format Article
author Працьовитий, М.В.
Сита, Г.М.
author_facet Працьовитий, М.В.
Сита, Г.М.
author_sort Працьовитий, М.В.
title Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного)
title_short Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного)
title_full Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного)
title_fullStr Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного)
title_full_unstemmed Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного)
title_sort геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора георгія вороного)
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2018
topic_facet Наукова спадщина
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140641
citation_txt Геометричні мозаїки великого українця (до 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного) / М.В. Працьовитий, Г.М. Сита // Вісник Національної академії наук України. — 2018. — № 4. — С. 92-101. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series Вісник НАН України
work_keys_str_mv AT pracʹovitijmv geometričnímozaíkivelikogoukraíncâdo150ríččâvíddnânarodžennâprofesorageorgíâvoronogo
AT sitagm geometričnímozaíkivelikogoukraíncâdo150ríččâvíddnânarodžennâprofesorageorgíâvoronogo
first_indexed 2025-07-10T10:55:48Z
last_indexed 2025-07-10T10:55:48Z
_version_ 1837257143209689088
fulltext 92 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (4) НАУКОВА НАУКОВА СПАДЩИНАСПАДЩИНА ГЕОМЕТРИЧНІ МОЗАЇКИ ВЕЛИКОГО УКРАЇНЦЯ До 150-річчя від дня народження професора Георгія Вороного Георгій Феодосійович Вороний — всесвітньо відомий математик, один з найвизначніших учених, яких дала світовій науці українська земля. Ще за життя його наукові праці вражали сучасників геніальністю спалахів ма- тематичної думки. У фаховому середовищі його давно визнано одним з най- яскравіших талантів в історії математики на межі ХІХ–ХХ ст. Однак найбільшого значення його науковий доробок набув саме в наш час у зв’язку з розвитком комп’ютерних наук. Сама лише математика, як яскрава зірка, сяє переді мною, на неї всі мої сподівання. Георгій Вороний «Щоденник» Георгій Феодосійович Вороний 1 народився 28 квітня (16 квіт- ня за старим стилем) 1868 р. в с. Журавка Полтавської губернії (нині Варвинський р-н Чернігівської обл.) в родині відомого своєю просвітницькою діяльністю випускника Київського уні- верситету Святого Володимира Феодосія Яковича Вороного, ініціатора створення в Києві безоплатних недільних шкіл для робітничої молоді, професора філології Ніжинського ліцею, потім — директора Прилуцької гімназії. Юний Георгій ще у шкільні роки виявив неабиякий інтерес і здібності до матема- тики. Закінчивши Прилуцьку гімназію, з 1885 по 1889 р. він навчався у Петербурзькому університеті. Саме в університетські роки Георгій остаточно визначився зі своїм майбутнім — математика. Його юнацька любов до цієї на- уки, загартована винятковою внутрішньою самодисципліною і щоденною наполегливою працею, поступово перетворилася на непереборну пристрасть до пошуку нових математичних фак- тів, зміцнивши його віру у власні творчі можливості. Цей про- 1 Життєвий шлях Г.Ф. Вороного вперше було висвітлено у статті Й.З. Штокала і Й.Б. Погребиського «Жизнь и научная деятельность Г.Ф. Вороного», опублікованій у 3-му томі повного зібрання наукових праць ученого [1]. Ця стаття стала основою для подальшого вивчення біографії Г.Ф. Вороного, зокрема й досліджень авторів цієї статті. ПРАЦЬОВИТИЙ Микола Вікторович — доктор фізико-математичних наук, професор, декан фізико-математичного факультету Національного педагогічного університету ім. М.П. Драгоманова, в.о. завідувача відділу динамічних систем та фрактального аналізу Інституту математики НАН України СИТА Галина Миколаївна — кандидат фізико-математичних наук, фізико-математичний факультет Національного педагогічного університету ім. М.П. Драгоманова Георгій Феодосійович Вороний (28.04.1868–20.11.1908) ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 4 93 НАУКОВА СПАДЩИНА цес самоусвідомлення себе як ученого яскраво відображено у щоденнику Вороного, який, на щастя, частково зберігся (уривки з нього уві- йшли до збірника науково-популярних статей, виданого Інститутом математики НАН Укра- їни [2]). Щоденник — це щира сповідь юнака перед самим собою. Вороний не лише фіксує події, а й прискіпливо аналізує свої вчинки, намагається глянути на себе збоку неуперед- женим поглядом, іронізує над собою, іноді, в тяжкі хвилини сам себе підбадьорює. Автор щоденника — людина широкого мислення, ак- тивна, вразлива, здатна до співчуття і готова прийти на допомогу. Гортаючи сторінки щоден- ника, мимоволі починаєш симпатизувати авто- рові, захоплюєшся його глибокою порядністю, небайдужістю, його намаганнями, як він сам пише, дійти до всього серцем, а не розумом. Під час навчання в університеті Вороний отримав стипендію лише на четвертому, остан- ньому курсі. Матеріальна скрута постійно тя- жіла над ним. Коштів, що надсилав батько, було недостатньо, доводилося підробляти, переваж- но приватними уроками. Мрія мати окрему кімнату в колегії також була нездійсненною. Життя в Петербурзі та нове середовище, в яке він потрапив, часто викликали у Георгія почут- тя самотності. Його думки знов і знов повер- талися в минуле, до спогадів про батьківську домівку, про гімназичні роки в Прилуках… 1887 рік Понеділок, 16-го березня Від сьогодні я почав готуватися до екзаменів […] Сьо- годні вже почали рубати кригу на Неві, тож слід чека- ти, що невдовзі вона скресне. Товариш мій десь дістав вербових гілочок, з котиками вже, і я, дивлячись на них, довго не міг заспокоїтися. Все мені ввижалися минулі роки, коли в цей час від передчуття великих свят со- лодко завмирало серце, коли за два тижні до Великодня вже починали наливати воском яйця, з яких, щоправда, ніколи нічого не виходило. Нині же заглиблений у зовсім інші клопоти. 31 березня Ось уже другий день я сиджу над розрахунками соняч- ного затемнення на 7-ме серпня. Вчора працював 10 годин, сьогодні годин 7, робота значно просунулася впе- ред, але я почуваюся страшенно втомленим, бо до того ж цілісінькі два дні не виходив на свіже повітря. Цифри, Студент Петербурзького університету Георгій Вороний цифри... Я вчора ними так напхав собі голову, що вони мучили мене цілу ніч, так що я навіть змушений був під- нятися і полити собі голову водою. Так само і сьогодні доведеться вдатись до цього засобу. Працювати доводилося дуже наполегливо і старанно, часто навіть за рахунок сну. Однак при цьому Вороний не став відлюдником, на- впаки, він живо відгукувався на всі події. Свої смаки і життєві висновки юнак свідомо чи під- свідомо звіряв з думкою найавторитетніших для нього людей — батька і вчителя математи- ки Прилуцької гімназії І.В. Богословського. Невтомна праця, самодисципліна і захоп- лення математикою невдовзі дали свої плоди, і вже напередодні 1889 р. Вороний занотовує у щоденнику: 1888 рік 31 грудня [...] Так, цей рік пройшов для мене не даремно. Я багато, дуже багато працював і впевнився, що здатний працю- вати, а також, здається, встиг у цьому переконати інших. Минулого року в цей самий час я писав із цього ж приводу тільки несміливе побажання, і ось я бачу його здійсненим: те, чого я боявся, не існує. Я знаю, я твердо вірю, що на ґрунті вченої діяльності і тільки на ньому я знайду своє щастя... Я не поет і не знаю того натхнен- ня, яке описують поети, але я знаю хвилини не само- вдоволення, не гордості — все це приходить потім — а моменти, коли розум цілком охоплює ідею, яка раніше, як м’ячик, вислизала. Тут я забуваю, що я існую [...] 94 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (4) НАУКОВА СПАДЩИНА Основною галуззю досліджень, яку обрав для себе Вороний, була теорія чисел. Саме на цьому напрямі в той час у Петербурзі були зо- середжені наукові математичні дослідження. У другій половині ХІХ ст. тут у галузі теорії чисел плідно працювали такі авторитетні фа- хівці, як професори П.Л. Чебишов, А.А. Мар- ков, Є.І. Золотарьов. У результаті їхньої ді- яльності сформувався науковий напрям, який згодом дістав назву «Петербурзька школа те- орії чисел». Науковим наставником Вороного став професор А.А. Марков. Дебют Вороного в математичному гуртку відбувся 2 грудня 1888 р. Він виступив на за- сіданні з повідомленням про доведення однієї з властивостей чисел Бернуллі запропонова- ним ним способом. Професор Марков дуже схвально поставився до його викладу. Перший успіх надихнув і примножив сили. З гідною подиву наполегливістю Вороний продовжує свої дослідження і отримує новий вагомий результат — доводить теорему Адамса, яку той свого часу сформулював без доведення. На сторінках щоденника молодий дослідник викладає своє доведення і заразом доводить ще одну тео рему — Штаудта. Він продовжує далі обмірковувати свій результат і знаходить нове узагальнення. Результати Георгій подає Маркову, який, ознайомившись з ними, запро- понував підготувати роботу до друку, але ви- могливий до себе Вороний прагне розширити своє дослідження, узагальнити його, зробити досконалішим за формою. У 1890 р. статтю Г. Вороного «О числах Бер- нулли» було опубліковано в «Сообщениях Харьковского математического общества» [3]. Це перше важливе наукове досягнення моло- дого вченого виявило фундаментальні власти- вості чисел Бернуллі, вивчення яких триває й донині. Нові відкриття так захоплюють Георгія, що йому тепер доводиться примушувати себе за- йматися іншими справами, скажімо, підготов- кою до екзаменів. На початку квітня 1889 р. він виїжджає в Журавку і продовжує напружено працювати над своїми дослідженнями та готу- ватися до осінніх випускних іспитів. Восени 1889 р. Георгій Вороний блискуче склав випускні екзамени і захистив кандидат- ську роботу, темою якої було його досліджен- ня про числа Бернуллі. (За тодішніми прави- лами студент, який закінчив університет і не представив роботу на одну із запропонованих тем, мав звання дійсного студента; якщо ж він представив роботу і вона діставала позитивну оцінку, випускник здобував звання кандидата. Отже, термін «кандидатська робота» відпові- дає теперішній дипломній роботі.) У листопаді 1889 р. Георгій Вороний одержав пропозицію залишитися при університеті для підготовки до магістерських екзаменів на основі подання, підписаного усіма провідними професо ра ми- ма те матиками: А.А. Марковим, О.М. Коркіним, Ю.В. Сохоцьким, К.О. Поссе. Крім того, було задоволено прохання факультету про надання йому стипендії. Вороного також призначили позаштатним учителем у Петергофській про- гімназії. Майбутнє щасливо визначилося… Наукові інтереси молодого вченого нада- лі зосередилися на теорії алгебраїчних чисел, точніше — на теорії ірраціональностей третьо- го степеня. Дві великі роботи, написані ним за цим напрямом, становили основу обох його дисертацій — магістерської «О целых алгебра- ических числах, зависящих от корня уравне- ния 3-й степени», С.-Петербург [4], захищеної у квітні 1894 р., і докторської «Об одном обоб- щении алгорифма непрерывных дробей» [5], яка вийшла окремим виданням у Варшаві в 1896 р. та була захищена в 1897 р., і принесли йому визначний успіх. За допомогою алгоритму Вороного в 1976 р. було протабульовано дійсні кубічні поля з до- датним дискримінантом до 100 000. І лише у 1985 р. алгоритм Вороного узагальнив Й. Бух- манн (Німеччина). Ось що в 1934 р. писав з цього приводу ака- демік Д.О. Граве у своєму щоденнику (рукопис цього щоденника зберігається в бібліотеці Ін- ституту математики НАН України): «Георгій Вороний — геніальний український матема- тик. Він під час свого перебування в Петер- бурзькому університеті займався з гідним по- диву успіхом кубічною областю і в цій області ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 4 95 НАУКОВА СПАДЩИНА зробив геніальне відкриття. Він узагальнив на кубічну область алгоритм неперервних дробів, що дає алгебричні одиниці в квадратичній об- ласті. Це узагальнення марно шукали з часів Ейлера протягом ХІХ століття усі найвидат- ніші математики. Вийшов таким чином алго- ритм Вороного». Одержаний Вороним результат був настіль- ки разючим, що професор А.А. Марков довго не вірив у правильність викладок Вороного і не міг зважитися схвалити роботу. Він викли- кав Вороного до Петербурга і запропонував йому знайти корінь рівняння r3 = 23, для якого він штучним способом один корінь уже отри- мав. Вороний за допомогою свого алгоритму обчислював упродовж трьох годин і знайшов інший корінь. Таким чином було доведено, що алгоритм дійсно є. Обидві дисертаційні робо- ти 1896 р. було відзначено премією ім. В. Буня- ковського Петербурзької академії наук. Після захисту магістерської дисертації (1894) Вороний одержав призначення до Вар- шавського університету, де працював майже все життя. Професорське навантаження в уні- верситеті забирало багато часу. Вороний зму- шений був викладати кілька курсів, оскільки крім нього у Варшавському університеті тоді було тільки два професори з математики. Сту- дентів різних курсів навіть об’єднували під час його лекцій. Вороний ставився до викладання дуже відповідально, намагався познайомити слухачів з новітніми досягненнями науки, роз- повідав студентам і про свої нові результати. Під час літньої відпустки, яку він майже за- вжди проводив у рідній йому Журавці, Воро- ний майже весь вільний час віддавав своїм до- слідженням. З 1898 р. Георгій Вороний працював також деканом механічного факультету Варшавсько- го політехнічного інституту. У 1898 р. Московське математичне товари- ство обрало Вороного своїм членом. У серпні того самого року він брав участь у роботі Х з’їзду російських природознавців і лікарів у Києві, в 1901 р. був учасником наступного, ХІ з’їзду російських природознавців і лікарів у Петербурзі і виступив на ньому з трьома допо- відями. В одній із них Вороний запропонував оригінальний метод узагальненого підсумо- вування розбіжних рядів. Цей метод через 28 років перевідкрив і ввів у науковий обіг дан- ський математик Ньорлунд (N.E. Nörlund), тривалий час він був відомий у науці як метод Ньорлунда. На міжнародному математичному з’їзді в Гейдельбергу (1904) Вороний виступив з дво- ма доповідями. Тут він особисто познайомив- ся з німецьким математиком Г. Мінковським, автором монографії «Геометрія чисел» (1896). Саме Г. Мінковського і Г. Вороного вважають основоположниками геометричної теорії чи- сел — розділу теорії чисел, який вивчає роз в’я- зування теоретико-числових проблем із засто- суванням засобів геометрії. У 1903−1904 рр. виходять друком дві вели- кі праці Вороного з аналітичної теорії чисел. Метод знаходження членів асимптотичного розкладу арифметичних функцій, запропоно- ваний Вороним у 1903 р. в роботі [6], формула підсумовування Вороного і тотожність Воро- ного [7] стали визначальними для подальших досліджень в аналітичній теорії чисел. У 1907 р. Вороного обрано членом-корес- пондентом Петербурзької академії наук. У зв’язку з революційними подіями 1905— 1907 рр. університет і Політехнічний інститут Георгій Вороний. Журавка, орієнтовно 1907 р. 96 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (4) НАУКОВА СПАДЩИНА у Варшаві було закрито. Георгій Вороний, від- чуваючи, що доведеться переїжджати в інше місце, звернувся листом до професора Київ- ського університету Св. Володимира Б.Я. Бу- креєва з проханням поклопотати за нього від- носно викладання в цьому університеті, тим більше, що Київ — місто знайоме і близьке йому ще з дитинства. Мати Георгія Вороного, Клеопатра Михайлівна Личкова, викладала у Київській жіночій гімназії на Подолі та По- дільській жіночій недільній школі. Личкови мали спадкове почесне громадянство: при хре- щенні Георгія в церковній книзі його хресними батьками записано Івана Яковича Вороного (студента Ніжинського ліцею, ймовірно, бра- та Феодосія) і Любов Михайлівну Личкову (доньку київського почесного громадянина). На жаль, це клопотання Вороного задоволено не було (лист Г.Ф. Вороного до Б.Я. Букреєва зберігається в Інституті рукопису Національ- ної бібліотеки України ім. В.І. Вернадського). Отже, групу професорів варшавських вишів (серед них і Вороного) направили до Новочер- каська для створення там Донського політех- нічного інституту. Вороний перебував у Ново- черкаську близько року, виконуючи обов’язки декана механічного факультету. Восени 1908 р. заняття у Варшавському уні- верситеті поновилися і Вороний повернувся у Варшаву. Навантаження стало ще більшим, оскільки він залишився єдиним професором з математики. На допомогу йому з Політехніч- ного інституту запросили професора І.Р. Брай- цева. Вороному довелося викладати новий для нього курс — математичний аналіз. Він склав підручник з цієї дисципліни, який було надру- ковано за редакцією Брайцева у Варшавських університетських відомостях у 1909−1911 рр. Згодом цей підручник з диференціального і ін- тегрального числення було перевидано в Києві у 1914 р. Протягом багатьох років Вороний працював над питаннями арифметичної теорії квадра- тичних форм. Він мав особливу звичку обмір- ковувати і тримати свої висновки в голові доти, доки вони остаточно не визріють і не набудуть належної їм досконалої форми. У 1908 р. Во- роний надсилає свою роботу до одного з про- відних на той час математичних журналів, який було засновано в 1826 р. німецьким ма- тематиком Креллем (A.L. Krelle), — Journal für die reine und angewandte Mathematik, разом із таким супровідним листом: «Протягом два- надцяти років я вивчав властивості парале- лоедрів. Я можу сказати, що це тернисте поле для досліджень і що одержані результати, ви- кладені в цьому мемуарі, коштували мені до- рого... Тривимірні паралелоедри відіграють те- пер важливу роль у теорії кристалічних тіл, і кристалографи вже звернули увагу на власти- вості цих дивних многогранників, але до цього часу кристалографи вдовольнялися описом паралелоедрів із суто геометричної точки зору. Я вже давно помітив, що задача розбиття n-вимірного аналітичного простору на опуклі конгруентні многогранники тісно пов’язана з арифметичною теорією додатних квадратич- них форм». Два мемуари Вороного, надруковані в жур- налі Крелля в 1908–1909 рр. [8, 9], поряд із роботами Г. Мінковського (1896, 1907) стали основоположними у створенні нової галузі ма- тематики — геометрії чисел. Напружена розумова праця потребувала титанічних зусиль, а здоров’ям Вороний не ви- різнявся. Лікарі діагностували в нього хворо- бу жовчного міхура, яка в періоди свого заго- стрення завдавала йому багато фізичних і мо- ральних страждань. Тепер він розробляв новий напрям досліджень — невизначені квадратичні форми, про які говорив із великим захоплен- ням. Несприятливі умови життя в Новочер- каську спричинили серйозне загострення його хвороби. Лікарі наполягали, щоб він відпочив від тяжкої розумової праці, поїхав на лікуван- ня до Карлсбада, але вчений не міг припинити свої дослідження і, як і в попередні роки, пере- брався на літо до рідної Журавки, яка завжди давала йому сили і здоров’я. Дійсно, у Журавці його самопочуття значно поліпшилося, і він повернувся до Варшави. Проте наприкінці жовтня хвороба різко загострилася, і 20 лис- топада (7 листопада за старим стилем) 1908 р. Георгія Вороного не стало. ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 4 97 НАУКОВА СПАДЩИНА 28 листопада 1908 р. В. Серпінський, най- талановитіший з учнів Георгія Вороного, вша- новуючи пам’ять свого геніального вчителя, прочитав лекцію у Львівському університеті, яку розпочав словами: «Нещодавно теорія чи- сел втратила в особі професора Георгія Воро- ного одного зі своїх найвидатніших представ- ників» [10]. Згідно з останньою волею вченого, його по- ховали у Журавці. Забальзамоване тіло збері- галося у спеціальному склепі, але на початку 30-х років ХХ ст. цей склеп було зруйновано, і односельці перепоховали останки великого математика в могилі його батька Феодосія Во- роного. Передчасна смерть Георгія Вороного врази- ла всіх, хто його знав. «Нікому не вірилося, що помер Георгій Феодосійович, якого всі так гли- боко поважали і любили. Відчувалося, що тра- пилося щось надзвичайне. Всі усвідомлювали, що вони передчасно втратили видатного вче- ного, славного професора, який був гордістю і окрасою двох вищих шкіл Варшави... Прово- джаючи останки покійного на вокзал для пере- везення на місце поховання в містечко Журав- ку, всі сумували ще й тому, що втратили наза- вжди правдиву, чуйну і сердечну людину...», — писав у некролозі професор Брайцев [11]. Він висловив також глибокий жаль з приводу того, що з тієї грандіозної роботи з теорії невизначе- них квадратичних форм, яку розробляв Воро- ний, він встиг викласти на папері лише окремі частини: «Навряд чи з них вдасться відтворити хоча б частково ті хитромудрі геометричні мір- кування, які привели до згаданого в щоденни- ку алгоритма, про який покійний завжди гово- рив з великим піднесенням і ентузіазмом. Щоб зробити це, не досить у загальних рисах знати ті напрями думок покійного, а потрібно бути таким же глибоким знавцем теорії квадратич- них форм з n змінними, яким він був, потрібно володіти тією дивовижною технікою, яку під кінець свого життя опанував покійний, а ще потрібно так самовіддано любити цю область математичної науки, як любив її він...» [11]. Рукописи Г. Вороного, кілька зошитів його математичного щоденника родичі вченого передали до відділу рукописів Центральної наукової бібліотеки Академії наук УРСР (те- пер — Інститут рукопису Національної біблі- отеки України ім. В.І. Вернадського), де вони нині зберігаються. У 1952–1953 р. Інститут математики АН УРСР видав повне зібрання наукових праць Сім’я Георгія Вороного. У се- редньому ряду (зліва направо): дружина Георгія Ольга Криць- ка, Георгій Вороний, його батьки і сестра Надія Єрмакова в ото- ченні дітей і чотирьох служниць (сестра Георгія Феодосійовича Надія рано овдовіла і він узяв на себе матеріальне забезпечення її сім’ї) 98 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (4) НАУКОВА СПАДЩИНА Г.Ф. Вороного у 3 томах з детальними комен- тарями провідних учених того часу (Б.М. Де- лоне, Б.О. Венкова, Ю.В. Линника, Й.Б. По- гребиського, Й.З. Штокала) [1]. Зазначимо, що у цьому виданні було наведено опис рукопис- ного фонду Г. Вороного. Проте цей фонд і досі чекає свого дослідника. Праці Георгія Вороного вирізняються гли- биною і довершеністю викладу. Він залишив після себе 12 основних робіт, переважно в галузі теорії чисел, проте майже кожна з них стала поштовхом для подальшого розвитку но- вого напряму досліджень. «У Вороного всього шість великих і шість малих праць. Кожна з великих праць або капітальна в даному обсягу, або відкриває велику ділянку досліджень; на- віть кожна мала праця Вороного незвичайно оригінальна і часом по-новому спрямовує до- слідження», — писав у 1933 р. Борис Делоне, один із найталановитіших послідовників Во- роного [12]. Пізніше, у 1947 р., Делоне зазна- чив: «Глибина і важливість його обширних до- сліджень залишили глибокий слід у сучасній теорії чисел. Поряд із Мінковським Вороний є творцем геометрії чисел. Роботу Вороного 1903 року про число точок під гіперболою тре- ба вважати віхою, з якої починається сучасна аналітична теорія чисел [...] В роботі Вороного про алгоритм для обчислення кубічних оди- ниць поставлено ряд проблем про розподіл відносних мінімумів, одну з яких, дуже важку, вирішив сам Вороний, але більша частина їх ще чекає свого вирішення. Дослідження Воро- ного з квадратичних форм і заповнення про- стору ще далеко не вичерпують піднятого ним важливого питання, в якому він дав такі фун- даментальні результати» [13]. Однак Делоне не міг передбачити, наскільки важливими виявляться теоретичні результати Вороного в галузі геометрії чисел для розвитку сучасної науки, оскільки в середині минулого століття людство ще не дозріло до розуміння значущості праць Вороного. Основним об’єктом вивчення геометрії чи- сел є просторові решітки — системи всіх точок, координати яких у заданій афінній системі координат виражаються цілими числами. Такі решітки розглядалися, зокрема, в досліджен- нях кристалографа Є.С. Федорова. Вороний же, як він пише у процитованому вище листі до Крелля, помітив прямий зв’язок між зада- чею розбиття n-вимірного аналітичного про- стору на опуклі конгруентні многогранники з арифметичною теорією додатних квадратич- них форм. Вороний розглянув узагальнену на n-ви- мір ний випадок проблему Діріхле (1850) про розташування точок з цілими координатами у n-ви мір ному просторі, на яких певна додатно визначена квадратична форма досягає свого мінімуму. Він увів у n-вимірному просторі по- няття точкових решіток і примітивних пара- лелоедрів, побудував узагальнені області Ді- ріхле, які визначаються так: для певної точки Р з деякої решітки розглядається сукупність точок простору, що віддалені від Р не далі, ніж від усіх інших точок решітки (зони впливу), — і встановив, що загальне розбиття n-вимірного простору на примітивні паралелоедри є афін- ним образом узагальненої області Діріхле. Та- ким чином він звів вивчення паралелоедрів до теорії квадратичних форм, тобто дав матема- тичний апарат для досліджень зон впливу. У зв’язку з розвитком теоретичної ком п'ю- терної науки в середині 1970-х років науковці світу знову звернулися до двох останніх праць ученого, в яких він розглянув нові об’єкти, на- звані ним примітивними паралелоедрами. Роз- винутий у цих працях Вороного математичний апарат став відправною точкою для численних практичних застосувань, пов’язаних із роз- биттям простору на певні області (зони впли- ву). У 1998 р. австрійські математики О. Айх- гольцер та Ф. Ауренгаммер зазначали: «Тер- мін «діаграма Вороного» ввели в теоретичну комп’ютерну науку в середині 1970-х років. З того часу цей об’єкт став настільки по- ширеним у дослідженнях, пов’язаних з геоме- тричними алгоритмами, що деякі фахівці да- тують народження обчислювальної геометрії саме цією подією. Значний відсоток сучасних розробок в обчислювальній геометричній літе- ратурі прямо чи опосередковано пов’язаний з діаграмами Вороного або з пов’язаними з ними ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 4 99 НАУКОВА СПАДЩИНА структурами» [14]. (Зазначимо, що елементар- не пояснення поняття «діаграма Вороного» на- ведено в [2].) Діаграми Вороного (таку назву дістав но- вий об’єкт) почали широко використосувати в багатьох актуальних напрямах науки. Вони стали об’єктом досліджень та узагальнень у численних наукових статтях та окремих ви- даннях. Для прикладу наведемо лише перелік застосувань, який розглядали на симпозіумі з діаграм Вороного в Калгарі (2006): молекуляр- не моделювання, біологічне і фізичне моделю- вання, діаграми Вороного у біоінформатиці, астрономії, географії, хімії, матеріалознавстві, теорії комірок, моделюванні твердих тіл, муль- типлікації, в аналізі зображень і розпізнаванні, аналізі руху та його плануванні, у виявленні зіткнень, переміщень і запобіганні конфлік- там, в аналізі мереж і зв’язків, імітаційне мо- делювання, дослідження операцій, мистецтво за Вороним. В останні десятиліття дослідження діаграм Вороного та їх узагальнення проводяться прак- тично в усіх країнах Європи, у США, Канаді, в країнах Південної Америки, Японії, Китаї, Австралії, Новій Зеландії. У Сеулі (Південна Корея) є Дослідницький центр з діаграм Воро- ного. За ініціативою цього Центру починаючи з 2004 р. в різних країнах світу проводилися щорічні міжнародні симпозіуми, присвячені узагальненням діаграм Вороного та їх вико- ристанню (ISVD). Такі симпозіуми відбулися в Японії (Токіо, 2004), Південній Кореї (Сеул, 2005), Канаді (Калгарі, 2006), Великій Брита- нії (Гламорган, 2007), Україні (Київ, 2008), Да- нії (Копенгаген, 2009), Канаді (Квебек, 2010), Китаї (Циндао, 2011), США (Ратджерс, 2012), Росії (Санкт-Петербург, 2013). Приклади інженерних конструкцій, основаних на діаграмах Вороного: яхта «Voronoi yacht», лампа-гриб «за Вороним», проект будівлі «Instant bridge, Rome» у Римі 100 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2018. (4) НАУКОВА СПАДЩИНА У Києві з 1993 р. започатковано проведення міжнародних конференцій International Con- ference on Analytic Number Theory and Spatial Tessellations (раз на п’ять років), в яких беруть участь як математики з різних країн світу, так і фахівці з інших галузей знань, які в своїх дослі- дженнях використовують діаграми Вороного. Праці цих конференцій публікуються під на- звою Voronoi’s Impact on Modern Science і при- вертають до себе велику увагу, про що свідчить значна кількість посилань на них у науковій літературі. У 2008 р., коли відзначали 100 ро- ків від дня смерті Г. Вороного, за пропози цією Дослідницького центру з діаграм Вороного (Південна Корея) симпозіум ISVD проходив у Києві разом із IV Київською конференцією 2. За результатами київських конференцій ви- йшло друком п’ять збірників «Voronoi’s Impact on Modern Science» (збірник 2008 р. у двох то- мах). Інформацію про цю спільну конферен- цію та її учасників наведено у статті [15]. Крім того, є кілька спільних проектів фахів- ців різних країн, які розробляють певні аспек- ти застосувань діаграм Вороного. Наприклад, у 2011–2013 рр. за європейською програмою EuroGIGA розроблявся дослідницький проект «Просторові розшарування і графіки» (корот- ка назва VORONOI). Цей проект складався з програм, представлених провідними вченими, які очолюють наукові школи у своїх країнах — в Австрії, Бельгії, Німеччині, Польщі, Швей- царії та Іспанії. Діаграми Вороного використовують також в інженерних конструкціях та дизайнерських 2 https://www.imath.kiev.ua/~voronoi/ проектах. Метод Вороного з розбиття певного об’єму на частини дає змогу обчислювати мак- симально міцні структури з використанням мінімальної кількості матеріалу. Так, у Китаї за проектом дизайнера Hyun-Seok Kim побу- довано унікальну яхту «Voronoi yacht», пор- тугальський архітектор Andre Coelho створив лампу-гриб «за Вороним», у Римі планується спорудження будівлі «Instant bridge, Rome», на яку знадобиться на 30 % менше металу, ніж для звичайних споруд зі стовпів і балок. У Се- улі під час симпозіуму 2005 р. в Художньому музеї було відкрито виставку «Мистецтво за Вороним», подібна виставка відбулася і в ка- надському місті Калгарі у 2006 р. Феномен Георгія Вороного полягає не тіль- ки у сплеску популярності серед сучасних до- слідників його останньої наукової роботи. Во- роний є засновником ряду новітніх напрямів у галузі аналітичної теорії чисел, алгебраїчної теорії чисел, теорії підсумовування розбіжних рядів у математичному аналізі. Усі ці напрями досліджень зараз активно продовжують розви- ватися. Постановою Верховної Ради України від 08.02.2018 № 7274 150-річний ювілей Георгія Вороного увійшов до переліку пам’ятних дат і ювілеїв, що відзначатимуться на державному рівні. Деякі кроки із вшанування видатного вченого вже було зроблено у 2008 р. до 100-ї річниці його пам’яті: Національний банк Укра- їни випустив монету «Георгій Вороний», ПАТ «Укрпошта» — конверт з портретом Г. Воро- ного і 28 квітня, в день його народження, у с. Журавка Варвинського р-ну Чернігівської обл. було організовано спеціальне погашення конверта. 24–28 вересня цього року Національний пе- дагогічний університет ім. М.П. Драгоманова та Інститут математики НАН України прове- дуть міжнародну конференцію VI International Conference on Analytic Number Theory and Spatial Tessellations, присвячену 150-річчю від дня народження Георгія Вороного. Планують- ся також й інші заходи з увічнення пам’яті ви- датного вченого. Монета, випущена Національним бан- ком України в 2008 р. на увічнення пам’яті Георгія Вороного ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2018, № 4 101 НАУКОВА СПАДЩИНА СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Г.Ф. Вороной. Собрание сочинений в 3 томах. К.: Ин-т матем. АН УССР, 1952–1953. 2. Георгій Вороний. Вчений, який випередив час на століття (за ред. М.В. Працьовитого). К., 2010. С. 39–59. ukrlife.org/main/evshan/vorony.doc. 3. Вороной Г. О числах Бернулли. Сообщения Харьковского математического общества. 1890. Т. 2. С. 129–148. (Г.Ф. Вороной. Собр. соч. в 3 т. Т. 1. К., 1952. С. 7–23.) 4. Вороной Г. О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени. СПб.: Тип. Имп. Академии Наук, 1894. (Г.Ф. Вороной. Собр. соч. в 3 т. Т. 1. К., 1952. С. 25–195.) 5. Вороной Г. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Докторская диссертация. Варшава, 1896. (Г.Ф. Вороной. Собр. соч. в 3 т. Т. 1. К., 1952. С. 197–391.) 6. Voronoi G. Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1903. 126(4): 241–282. (Об одной задаче из теории асимптотических функций. В кн.: Г.Ф. Вороной. Собр. соч. в 3 т. Т. 2. К., 1952. С. 5–49.) 7. Voronoi G. Sur une fonction transcendante et ses applications à la sommation de quelques séries. Annales scienti- fiques de l'École Normale Supérieure. 1904. Série 3. 21: 203–267; 459–533. (Об одной трансцендентной функции и ее приложениях к суммированию некоторых рядов. В кн.: Г.Ф. Вороной. Собр. соч. в 3 т. Т. 2. К., 1952. С. 51– 165.) 8. Voronoi G. Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques. Premier Mémoire. Sur quelques propriétés des formes quadratiques positive parfaites. Journal für die reine und angewandte Mathe- matik. 1907. 133(2): 97–156; 1908. 133(3): 157–178. (Новые приложения непрерывных параметров к теории квадратичных форм. Первый мемуар. О некоторых свойствах положительных совершенных квадратичных форм. В кн.: Г.Ф. Вороной. Собр. соч. в 3 т. Т. 2. К., 1952. С. 171–238.) 9. Voronoi G. Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques. Deuxième Mé- moire. Recherches sur les paralléloèdres primitifs. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1908. 134(3): 198–246; 1908. 134(4): 247–287; 1909. 136(2): 67–178. (Новые приложения непрерывных параметров к теории квадратичных форм. Второй мемуар. Исследования о примитивных параллелоэдрах. В кн.: Г.Ф. Вороной. Собр. соч. в 3 т. Т. 2. К., 1952. С. 239–368.) 10. Серпінський В. Георгій Вороний: конспект лекції, прочитаної у Львівському університеті дня 28 листопада 1908 р. Wiadomości matеmatyczne. 1909. (укр. перекл. Г.Ф. Вороний. Щоденник 1885–1890. К.: Укр. наук. асоціація, Ін-т фундамент. досл., 1994. Або: Георгій Вороний і його родинне оточення (за ред. Г.М. Ситої). Чернігів: Десна Поліграф, 2012. С. 34–38.) 11. Брайцев И.Р. Г.Ф. Вороной (Некролог). Сообщения Харьковского математического общества. 1910. Сер. 2. Т. 11 № 6. С. 197–210. 12. Делоне Б. Юрій Тодосьович Вороний. Журнал математичного циклу ВУАН. 1934. Т. 1, № 2. С. 15–16. 13. Делоне Б.Н. Георгий Федосеевич Вороной. В кн.: Петербургская школа теории чисел. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947. С. 195–318. 14. Engel P., Syta H. (eds). Voronoi’s Impact on Modern Science. (Kyiv: Institute of Mathematics, 1998). Вook 2. Р. 7–21. 15. Працьовитий М.В., Сита Г.М. Георгій Вороний. Український вчений, який випередив час на століття. Світо- гляд. 2009. № 2. << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 1200 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages false /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 1200 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages false /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages false /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f00740020006c00e400680069006e006e00e4002000760061006100740069007600610061006e0020007000610069006e006100740075006b00730065006e002000760061006c006d0069007300740065006c00750074007900f6006800f6006e00200073006f00700069007600690061002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e> /SVE <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> /TUR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /UKR <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Схожі ресурси