Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией
Рассмотрены теоретические положения проектирования и адаптивной настройки функций прогнозирования выходных координат динамических процессов в виде математических моделей временных рядов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат и управляющих воздействи...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/14076 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией / В.Д. Романенко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 4. — С. 15-25. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-14076 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-140762013-02-13T02:31:40Z Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией Романенко, В.Д. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Рассмотрены теоретические положения проектирования и адаптивной настройки функций прогнозирования выходных координат динамических процессов в виде математических моделей временных рядов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат и управляющих воздействий — с большими. Входные возмущения имеют среднее значение, отличное от нуля на промежутках времени, сравнимых с инерционностью процесса, и являются неизмеряемыми. Разработанная функция прогнозирования представлена в приращениях измеряемых выходных координат и управляющих воздействий при дискретизации их с большим периодом квантования. Theoretical concepts are considered concerning design and adaptive setting of output coordinates of prognostication functions of dynamic processes, which are represented as time series mathematical models under discretization of the input disturbances with small periods of sampling and output coordinates with large ones. The input disturbances are nonmeasurable and have the mean value differing from zero in the time intervals conforming to the process inertia. The designed prognostication function is represented in the form of input coordinates gains and control responses under discretizationt of them with large periods of sampling. Розглянуто теоретичні положення проектування та адаптивного настроювання функцій прогнозування вихідних координат динамічних процесів, які представлені математичними моделями часових рядів при дискретизації вхідних збурень з малими періодами квантування, а вихідних координат і керуючих впливів — з великими. Вхідні збурення мають середнє значення, відмінне від нуля на проміжках часу, порівнюваних з інерційністю процеса і є такими, що не вимірюються. Розроблену функцію прогнозування подано у вигляді приросту вихідних координат і керуючих впливів при дискретизації їх великим періодом квантування. 2007 Article Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией / В.Д. Романенко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 4. — С. 15-25. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/14076 62-50 ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| spellingShingle |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Романенко, В.Д. Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией |
| description |
Рассмотрены теоретические положения проектирования и адаптивной настройки функций прогнозирования выходных координат динамических процессов в виде математических моделей временных рядов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат и управляющих воздействий — с большими. Входные возмущения имеют среднее значение, отличное от нуля на промежутках времени, сравнимых с инерционностью процесса, и являются неизмеряемыми. Разработанная функция прогнозирования представлена в приращениях измеряемых выходных координат и управляющих воздействий при дискретизации их с большим периодом квантования. |
| format |
Article |
| author |
Романенко, В.Д. |
| author_facet |
Романенко, В.Д. |
| author_sort |
Романенко, В.Д. |
| title |
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией |
| title_short |
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией |
| title_full |
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией |
| title_fullStr |
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией |
| title_full_unstemmed |
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией |
| title_sort |
синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/14076 |
| citation_txt |
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией / В.Д. Романенко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2007. — № 4. — С. 15-25. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT romanenkovd sinteziadaptivnaânastrojkafunkcijprognozirovaniâdinamičeskihprocessovvpriraŝeniâhperemennyhdlâmodelejsraznotempovojdiskretizaciej |
| first_indexed |
2025-07-02T15:48:29Z |
| last_indexed |
2025-07-02T15:48:29Z |
| _version_ |
1836550780559032320 |
| fulltext |
В.Д. Романенко, 2007
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 4 15
TIДC
ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І
УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ,
ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
УДК 62-50
СИНТЕЗ И АДАПТИВНАЯ НАСТРОЙКА ФУНКЦИЙ
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В ПРИРАЩЕНИЯХ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ
С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ
В.Д. РОМАНЕНКО
Рассмотрены теоретические положения проектирования и адаптивной на-
стройки функций прогнозирования выходных координат динамических про-
цессов в виде математических моделей временных рядов при дискретизации
входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных коорди-
нат и управляющих воздействий — с большими. Входные возмущения имеют
среднее значение, отличное от нуля на промежутках времени, сравнимых с
инерционностью процесса, и являются неизмеряемыми. Разработанная функ-
ция прогнозирования представлена в приращениях измеряемых выходных ко-
ординат и управляющих воздействий при дискретизации их с большим перио-
дом квантования.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] предложена методика прогнозировани выходных координат
динамических процессов при дискретизации входных возмущений с малы-
ми периодами квантования и выходных координат с большими. Динамика
стационарных процессов представлена стохастическими моделями авторег-
рессии и скользящего среднего (АРСС), а нестационарных процессов — мо-
делями авторегрессии и интегрированного скользящего среднего с разно-
темповой дискретизацией. В данной работе предполагается, что входные
координаты, которыми являются возмущения в виде дискретного белого
шума, измеряются в дискретные моменты времени с малым периодом кван-
тования.
Рассмотрим классическую модель ARMAX с однотемповой дискрети-
зацией
δξ ++= −−−− )()()()()()( 0
1
0
1
0
1 kTzCkTuzBzkTyzA d , (1)
где )( 0kTy , )( 0kTu , )( 0kTξ — соответственно выходная координата, управ-
ляющее воздействие и возмущение в моменты времени 0kT , а )( 1−zA ,
)( 1−zB , )( 1−zC — полиномы относительно оператора обратного сдвига
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 4 16
1−z . Сигнал )( 0kTξ — возмущение, которое представляет последователь-
ность дискретного белого шума, с нулевым средним, а δ — величина сме-
щения.
При использовании моделей ARMAX для описания динамики процес-
сов в дискретном времени основной является широко известная проблема
смещения среднего значения выходной координаты. Изменение смещения
возникает при изменениях общего режима процесса, а также статического
коэффициента передачи uy / вследствие нелинейности процесса, которая не
учтена в линеаризованной модели (1). При этом смещение δ будет неиз-
вестной величиной, изменяющейся во времени.
Вторая проблема при описании динамики реальных процессов моделью
(1) — наличие неизмеряемых возмущений с ненулевым средним на проме-
жутках времени, сравнимых с инерционностью процессов. Таким образом,
изменяемое во времени смещение δ и возмущение с ненулевым средним
)( 0kTξ приводят к значительному смещению при прогнозировании выход-
ной координаты известными методами [2, 3].
В работе [4] для однотемповой модели (1) предложен k -инкрементный
прогнозатор, который обеспечивает компенсацию изменения во времени
смещения δ в модели (1) при неизмеряемых возмущениях )( 0kTξ .
Цель данной статьи — разработка методики прогнозирования стацио-
нарных временных рядов при дискретизации выходных координат и управ-
ляющих воздействий с увеличенными периодами квантования, а входных
возмущений — с малым базовым периодом квантования в условиях наличия
неизмеряемых возмущений с ненулевым средним и изменения во времени
смещения δ , а также адаптивной настройки функции прогнозирования.
РАЗРАБОТКА ФУНКЦИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА d ПЕРИОДОВ
КВАНТОВАНИЯ h
Исходная динамическая модель второго порядка с разнотемповой дискрети-
зацией [5] имеет вид
+
−
−
−
−=
h
m
kyah
m
kyah
m
ky 21 21
+
−−
+
−
+ hd
m
kubhd
m
kub 121
00201 2... amTh
m
kvcTh
m
kvch
m
kv m +
−
++
−
+
+ , (2)
и ее можно записать как
( ) 00
11
11
1
1 )()()()()( akTvzCrhuzBzrhyzA d ++= −−−− , (3)
где увеличенный период квантования h при дискретизации выходной коор-
динаты определяется соотношением
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 4 17
0mTh = . (4)
При этом m — целое число, большее единицы, а 0T — базовый период
квантования. В модели (2)
m
k — целое число от деления номера дискрет-
ного отсчета k на коэффициент m . Полиномы разнотемповой модели (3)
имеют вид
2
12
1
11
1
1 1)( −−− ++= zazazA , (5)
1
110
1
1 )( −− += zbbzB , (6)
m
m zczczczC 2
2
2
2
1
1
1 ...1)( −−−− ++++= . (7)
На основе (4) соотношение операторов обратного смещения в полино-
мах (5), (6), (7) будет
mzz −− =1
1 . (8)
Таким образом оператор mz− определяет обратное смещение на пери-
од h . Тогда равенства (5), (6) примут вид
mm zazazA 2
21
1 1)( −−− ++= , (9)
mzbbzB −− += 10
1)( , (10)
а исходная модель (3) запишется следующим образом:
00
111 )()()()()()( akTvzCrhuzBzrhyzA dm ++= −−−− . (11)
Случайные возмущения )( 0kTv в модели (11) постоянно дрейфуют с
низкой частотой и на промежутках времени, сравнимых с инерционностью
процесса, имеют ненулевое среднее. Модель динамики такого возмущения
можно представить в виде марковского процесса
( )[ ] )()(1 000 kTkTvgTkv ξ+=+ , (12)
где { })( 0kTξ — последовательность возмущений в виде дискретного белого
шума с нулевым средним. Согласно [6], в случае [ ]95,08,0 =g на выходе
фильтра (12) преобладают низкочастотные составляющие. Параметр 0a в
модели (3) определяет уровень процесса и может изменяться во времени
вследствие изменения среднего значения координаты y или наличия нели-
нейностей в процессе, которые не учтены в линейной модели (11).
При учете равенств (4), (8), (9), (10) запишем уравнение (11) в виде
( )[ ] ( )[ ] +=+=+
−
−
)(
)(
)(
1
1
0 rhu
zA
zBTdmkyhdry
)(
)(
)(
)(
1
0
01
1
−−
−
++
zA
a
kTv
zA
zCz dm . (13)
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 4 18
Составим диофантово уравнение
)()()()( 1111 −−−−− += zFzzLzAzC dm , (14)
на основе которого выражение (13) можно преобразовать к виду
( )[ ] ( )[ ] +=+=+
−
−
)(
)(
)(
1
1
0 rhu
zA
zBTdmkyhdry
)(
)(
)(
)()()( 1
0
01
1
0
1
−−
−
− +++
zA
a
kTv
zA
zFkTvzLz dm .
Тогда функция прогнозирования на d периодов квантования h будет
определяться
( )[ ] ( )[ ] =+=+ 00
** kTTdmkyrhhdry
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
1
0
01
1
1
1
−−
−
−
−
++=
zA
a
kTv
zA
zFrhu
zA
zB , (15)
а ошибка прогнозирования ( )[ ] ( )[ ] )()( 0
1
0 kTvzLzTdmkehdre dm −=+=+ .
Рассмотрим методику определения полинома )( 1−zF из диофантового
уравнения (14) с учетом (7), (9), (11).
1. При прогнозировании на 01 mTh = диофантово уравнение (14) запи-
шется в виде
)()()1()( 112
21
1 −−−−−− +++= zFzzLzazazC mmm .
Выбираем полином )()( 11 −− = zCzL . Тогда из диофантового уравнения
определяем
)()()( 1
21
1 −−− +−= zCzaazF m .
2. При прогнозировании на 022 mTh = диофантово уравнение запишет-
ся так:
)()()1()( 1212
21
1 −−−−−− +++= zFzzLzazazC mmm .
При выборе полинома )()1()( 1
1
1 −−− −= zCzazL m полином )( 1−zF од-
нозначно определяется
)(])[()( 1
212
2
1
1 −−− +−= zCzaaaazF m .
3. При прогнозировании на 033 mTh = запишем диофантово уравне-
ние )()()1()( 1312
21
1 −−−−−− +++= zFzzLzazazC mmm . Выберем полином
)(])(1[)( 12
2
2
11
1 −−−− −+−= zCzaazazL mm . Тогда однозначно определяется
)(])()2[()( 1
2
2
1221
3
1
1 −−− −+−−= zCzaaaaaazF m .
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 4 19
4. При прогнозировании на 044 mTh = диофантово уравнение будет
)()()1()( 1412
21
1 −−−−−− +++= zFzzLzazazC mmm .
Путем выбора полинома −−+−= −−− mm zaazazL 2
2
2
11
1 )(1[)(
)(])2( 13
21
3
1
−−−− zCzaaa m из диофантового уравнения определяем
( ) )(]2)3[()( 1
21
3
12
2
22
2
1
4
1
1 −−− −++−= zCzaaaaaaaazF m .
Таким образом, при прогнозировании выходной координаты
процесса (11) на d периодов h при +++= −−− mm zlzlzL 2
21
1 1()(
)(] 1)1(
)1(
−−−
−+ zCzl md
d структура полинома )( 1−zF в общем виде запи-
шется
)()()( 1
10
1 −−− += zCzffzF m , (16)
а функция прогнозирования (15) примет вид
[ ] ( )[ ] +=+=+
−
−
)(
)(
)()( 1
1
00
** rhu
zA
zBkTTdmkyrhhdry
)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
1
10
−
−
−
−
+
+
+
zA
a
kTvzC
zA
zff m
. (17)
В связи с тем, что в выражение )( 1−zF согласно (16) входит полином
)( 1−zC , известная методика прогнозирования [3, 7] не подходит при разно-
темповой дискретизации, так как при этом )( 1−zC сокращается, вследствие
чего теряется информация о предыстории действия возмущений. Поэтому в
случае, когда возмущения )( 0kTv не измеряются, в данной работе разработ-
ка функции прогнозирования будет отличаться от [3, 7].
Определим из модели (11)
0
11
0
1 )()()()()()( arhuzBzrhyzAkTvzC dm −−= −−−− .
Подставим это выражение в уравнение (17). В результате будем иметь
[ ] ( )[ ] =+=+ 00
** )( kTTdmkyrhhdry
+
+−
=
−
−−−
)(
)(
)()](1[
1
1
10 rhu
zA
zBzffz mdm
)(
)1(
)()( 1
100
10 −
−
− −−
+++
zA
zffa
rhyzff
m
m .
Учитывая (9), прогнозируемое значение координаты y можно предста-
вить в виде
( )[ ] [ ]{ } [ ]{ }+−−+−−−+−=+ hrhdryahrhdryarhhdry )2()2()1()1( *
2
*
1
*
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 4 20
+−+++++ −−−−
010
2
21 (1[)())(1( fzrhyzffzaza dmmmm
] )1()()() 100
1
1
mm zffarhuzBzf −−− −−++ . (18)
Запишем это уравнение со сдвигом во времени на dh назад.
[ ] [ ] [ ]+−−−−−−−−=− hdrhryahdrhryahdrrhy )2()2()1()1()( *
2
*
1
*
[ ]+−++++ −−− hdryzffzaza mmm )())(1( 10
2
21
[ ] [ ] dmmmdm zzffahdruzBzffz −−−−− −−+−+−+ )1()()()(1 100
1
10 . (19)
Введем следующие разностные операторы:
[ ]{ } [ ][ ]−−−+=−−+∆ hrhdryhrhdrydh )1()1()1()1( **
[ ]hdrhry )1()1(* −−−− ,
[ ][ ] [ ][ ]−−−+=−−+∆ hrhdryhrhdrydh )2()2()2()2( **
[ ]hdrhry )2()2(* −−−− ,
[ ]hdryrhyrhydh )()()( −−=∆ ,
[ ]hdrurhurhudh )()()( −−=∆ ,
−−−=−−∆ −− )1()1( 100100
mm
dh zffazffa
dmm zzffa −−−−− )1( 100 . (20)
Вычтем выражение (19) из (13). Тогда прогнозируемое значение y бу-
дет представлено в приращениях переменных
[ ] [ ]{ −−−+∆−=+ hrhdryarhyrhhdry dh )1()1()()( *
1
*
[ ]{ }+−−+∆− hrhdrya dh )2()2(*
2
+∆++++ −−− )())(1( 10
2
21 rhyzffzaza dh
mmm
+∆+−+ −−− )()()](1[ 1
10 rhuzBzffz dh
mdm
)1( 100
m
dh zffa −−−∆+ . (21)
Прогнозируемые координаты
[ ]hrhdry )1()1((* −−+ , [ ]hrhdry )2()2(* −−+ ,
которые входят в разностные операторы (20), определяются на основе про-
цедуры (18) соответственно при прогнозировании на hd )1( − и hd )2( − .
При этом необходимо отдельно вычислять коэффициенты 0f , 1f согласно
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 4 21
определению )( 1−zF из диофантового уравнения (14) для прогнозирования
на hd )1( − и hd )2( − .
АДАПТИВНАЯ НАСТРОЙКА ПАРАМЕТРОВ ФУНКЦИИ
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
Динамические параметры прогнозируемых финансово-экономических и со-
циальных процессов изменяются во времени вследствие изменения внешних
условий, законодательных актов, конфликтных и кризисных ситуаций и т.д.
Поэтому коэффициенты математической модели (11) и разработанной
функции прогнозирования (21) также будут изменяться во времени. Для
адаптивной настройки параметров функции (21) запишем ее со смещением
назад на время dh .
[ ] [ ] [ ]+−∆−−∆−−= hryahryahdryrhy dhdh )2()1()()( 21
[ ]+−∆++++ −−− hdryzffzaza dh
mmm )())(1( 10
2
21
[ ] )1()()()](1[ 100
1
10
m
dhdh
mdm zffahdruzBzffz −−−− −−∆+−∆+−+ .
После перемножения и учета (6), (8) это выражение можно записать
[ ] [ ]+−∆−−∆−−= hryahryahdryrhy dhdh )2()1(])[()( 21
[ ] [ ]+−−∆++−∆+ hdryffahdryf dhdh )1()()( 1010
[ ] [ ]+−−∆+−−∆++ hdryfahdryfafa dhdh )3()2()( 121102
[ ]−−∆−−∆+∆+ hdrufbhrubrhub dhdhdh )(])1[()( 0010
[ ]−−−∆+− hdrufbfb dh )1()( 0110
)1(])2[( 10011
m
dhdh zffahdrufb −−−∆+−−∆− . (22)
При введении коэффициентов 1011 ffaf +=′ , 11022 fafaf += , =3f
12 fa= , 002 fbb −= , 01103 fbfbb +−= , 114 fbb −= , )1( 1000
m
dh zffaa −−−∆=′
выражение (22) можно представить в форме перемножения векторов
)()()( rhrhXrhy T ξθ += , (23)
где )(rhX — вектор, содержащий измеряемые отсчеты координат процесса
[ ] ])2[(],)1[(,)({)( hryhryhdryrhX dhdh
T −∆−∆−= ,
[ ] [ ] ])2[(,)1(,)( hdryhdryhdry dhdhdh −−∆−−∆−∆ ,
])1(),(],)3[( hrurhuhdry dhdhdh −∆∆−−∆ ,
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 4 22
}1],)2(],)1[(],)[( hdruhdruhdru dhdhdh −−∆−−∆−∆ ;
Tθ — вектор неизвестных параметров процесса, который необходимо пе-
риодически оценивать по мере поступления измерений входа и выхода про-
цесса
],,,,,,,,,,,,1{ 043210321021 abbbbbffffaaT ′′−−=θ ;
)(rhξ — дискретный белый шум.
Для оценки вектора параметров в реальном времени применим рекур-
рентный метод наименьших квадратов [8]
[ ] ]})1[()()(){()1()( hrrhXrhyrhKhrrh T −−+−=
∧∧∧
θθθ ,
1)}(])1[()(){(])1[()( −−+−= rhXhrPrhXrhXhrPrhK Tβ ,
где фактор экспоненциального забывания целесообразно выбирать в
пределах 19,0 << β .
Матрица ковариации ошибки оценки определяется следующим обра-
зом:
{ }×−−−= )(])1[(])1[(1)( rhXhrPhrPrhP
β
{ }])1[()()}(])1[()( 1 hrPrhXrhXhrPrhX TT −−+× −β .
Начальными значениями матрицы ковариации можно принять
Ι=α)0(P , где α — большое положительное число, а Ι — единичная мат-
рица.
Пример. Динамический процесс представлен разнотемповой моделью
00
4
4
3
3
2
2
1
1
4
2
2
1 )()1()()1( akTvzczczczcrhyzaza +++++=++ −−−−−− ,
где 9539,01 −=a ; 1107,02 =a ; 3726,01 =c ; 6125,02 −=c ; 045,03 −=c ;
0665,04 =c ; 1568,00 =a .
Периоды квантования связаны соотношением (4) 02Th = .
Необходимо разработать процедуру прогнозирования координаты y на
h2 , если на вход поступают возмущения )( 0kTv с низкочастотным дрейфом
согласно (12).
Запишем исходную модель в разностной форме при условии =rh
hk
=
2
.
+−++
−
−
−
−=
])1[()(2
2
1
22 01021 TkvckTvhkyahkyahky
0040302 ])4[(])3[(])2[( aTkvcTkvcTkvc +−+−+−+ ,
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 4 23
где возмущения )( 0kTv имеют низкочастотный дрейф и генерируются сог-
ласно (12).
Определим коэффициенты 0f , 1f функции прогнозирования (20). Для
диофантового уравнения (14) при 2=d выберем полином
)1()1()( 4
4
3
3
2
2
1
1
2
1
1 −−−−−− ++++−= zczczczczazL .
Тогда получим
)1(])[()( 4
4
3
3
2
2
1
1
2
212
2
1
1 −−−−−− +++++−= zczczczczaaaazF ,
из которого определим 7992,0)( 2
2
10 =−= aaf ; 10559,0211 −== aaf .
В результате функция прогнозирования (21) запишется следующим об-
разом:
+
∆−
=
+
hkyahkyhkhky h 1
222
2
2
*
21
*
+
−
∆−
−
hkhkyahk
h 2
22
1
2
*
22
( )( ) ( )=−−∆+
∆++++ −−−− 2
10022
2
10
4
2
2
1 1
2
1 zffahkyzffzaza hh
−
−
+
∆+
= hkhkyhky h 1
2
1
2
9539,0
2
*
2
−
∆+
−
∆− hkyhkhky hh 2
7922,02
22
1107,0 22
−
−
∆+
−
∆− hkyhky hh 2
2
1891,01
2
8678,0 22
−
∆− hkyh 3
2
0116,0 2 . (24)
На рис. 1 показан график изменения возмущения )( 0kTv согласно (12)
при 85,0=g , на рис. 2 — результаты прогнозирования координаты y на
основе функции (18) без приращения переменных. Из графика видно, что
качество прогнозирования низкое. Это объясняется тем, что в возмущении
v (см. рис. 1) на отдельных участках среднее значение отличается от нуля.
На рис. 3 показаны результаты прогнозирования y на основе функции (24)
в приращениях выходной координаты, подтверждающие высокое качество
прогнозирования.
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 4 24
Рис. 1. График марковского процесса )()(])1[( 000 kTkTvgTkv ζ+=+ при 85,0=g
kT0
v(kT0)
10 20
30
Рис. 3. Графики моделирования выходной переменной (1) y[[k/2]h] и ее прогно-
зируемого значения (2) на основе функции прогнозирования в приращениях
переменных
y[[k/2]h]
y*[[k/2]h|([k/h]–2)h]
kT0
[k/2]h
1
2
Рис. 2. Графики моделирования выходной переменной (1) и ее прогнозируемого
значения (2) на основе функции прогнозирования без приращения переменных
y(rh)
y*[rh|(r–2)h]
kT0
rh
Y2
1
2
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 4 25
ВЫВОДЫ
Для адаптивной настройки функций прогнозирования разработаны:
• функция прогнозирования в приращениях измеряемых выходных
координат и управляющих воздействий при дискретизации их с большим
периодом квантования;
• процедура адаптивной настройки параметров функции прогнозиро-
вания на основе рекуррентного метода наименьших квадратов при измене-
нии динамики прогнозируемых процессов.
Проведено экспериментальное исследование предложенной методики
прогнозирования на основе цифрового моделирования, которое подтвердило
высокую точность прогнозирования при воздействии случайных возмуще-
ний со средним значением, отличным от нуля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Романенко В.Д. Прогнозирование динамических процессов на основе матема-
тических моделей временных рядов с разнотемповой дискретизацией //
Системні дослідження та інформаційні технології. — 2005. — № 2. —
С. 23 – 41.
2. Бідюк П.І. Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових ря-
дів // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. — № 3. —
С. 88 – 110.
3. Clarke D.W., Phil M.A.D., Gawthrop P.J. Self-tuning controller // Proc. of the IEE:
Cont. science. — 1975. — 122, № 9. — P. 929 – 935.
4. Clarke D.W., Hodgson A.J.F., Tufts P.S. Offset problem and K-incremental predica-
tors in self-tuning control // Proceeding IEE. — 1983. — 130. — P. 217–226.
5. Романенко В.Д. Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедастиче-
ских процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией // Сис-
темні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 2. —
С. 115 – 130.
6. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. — М.:
Мир, 1974. — Вып. 1. — 406 с.
7. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. — М.: Мир,
1973. — 319 с.
8. Романенко В.Д. Методи автоматизації прогресивних технологій: Підручник. —
Київ: Вища шк., 1995. — 519 с.
Поступила 05.06.2007
Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с разнотемповой дискретизацией
В.Д. Романенко
Введение
Разработка функции прогнозирования на периодов квантования
АДАПТИВНАЯ НАСТРОЙКА ПАРАМЕТРОВ ФУНКЦИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
Выводы
Рис. 1. График марковского процесса при
Рис. 2. Графики моделирования выходной переменной (1) и ее прогнозируемого значения (2) на основе функции прогнозирования без приращения переменных
Рис. 3. Графики моделирования выходной переменной (1) y[[k/2]h] и ее прогнозируемого значения (2) на основе функции прогнозирования в приращениях переменных
|