Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля

Рассмотрена задача наблюдения состояния и идентификации параметров математической модели, представленной системой двух связанных осцилляторов Ван дер Поля. Такие системы возникают при моделировании многих физических, биологических процессов, имеющих циклический характер. Для решения использован мето...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Жоголева, Н.В., Щербак, В.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2016
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140857
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля / Н.В. Жоголева, В.Ф. Щербак // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 67-74. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-140857
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1408572018-07-18T01:23:20Z Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля Жоголева, Н.В. Щербак, В.Ф. Рассмотрена задача наблюдения состояния и идентификации параметров математической модели, представленной системой двух связанных осцилляторов Ван дер Поля. Такие системы возникают при моделировании многих физических, биологических процессов, имеющих циклический характер. Для решения использован метод синтеза инвариантных соотношений, разработанный для решения обратных задач теории управления. Метод позволяет формировать конечные соотношения, определяющие искомые неизвестные как функции от известных величин. Розглянуто задачу спостереження стану та iдентифiкацiї параметрiв математичної моделi, яка представлена у виглядi системи двох взаємозалежних осциляторiв Ван дер Поля. Такi системи виникають при моделюваннi багатьох фiзичних або бiологiчних процесiв, що мають циклiчний характер. Використано метод синтезу iнварiантних спiввiдношень, який розроблено для обернених задач теорiї управлiння. Метод дозволяє синтезувати кiнцевi спiввiдношення, що визначають шуканi невiдомi як функцiї вiд вiдомих величин. The observation and identification problem for mathematical model of coupled Van der Pol oscillators is considered. Such systems arise under modeling of many cyclical hisical or biological processes. The synthesis of invariant relationships method is used developed for the solution of inverse control problems. The method allows to synthesize additional relations between the known and unknown quantities of the mathematical model of the object. Работа содержит результаты исследований, выполненных в рамках конкурсного проекта Ф71-19845 ДФФД (Державний фонд фундаментальних дослiджень). 2016 Article Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля / Н.В. Жоголева, В.Ф. Щербак // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 67-74. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140857 62-50, 519.7 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрена задача наблюдения состояния и идентификации параметров математической модели, представленной системой двух связанных осцилляторов Ван дер Поля. Такие системы возникают при моделировании многих физических, биологических процессов, имеющих циклический характер. Для решения использован метод синтеза инвариантных соотношений, разработанный для решения обратных задач теории управления. Метод позволяет формировать конечные соотношения, определяющие искомые неизвестные как функции от известных величин.
format	Article
author	Жоголева, Н.В. Щербак, В.Ф.
spellingShingle	Жоголева, Н.В. Щербак, В.Ф. Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Жоголева, Н.В. Щербак, В.Ф.
author_sort	Жоголева, Н.В.
title	Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля
title_short	Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля
title_full	Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля
title_fullStr	Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля
title_full_unstemmed	Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля
title_sort	идентификация параметров упругой связи осцилляторов ван дер поля
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140857
citation_txt	Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля / Н.В. Жоголева, В.Ф. Щербак // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 67-74. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT žogolevanv identifikaciâparametrovuprugojsvâzioscillâtorovvanderpolâ AT ŝerbakvf identifikaciâparametrovuprugojsvâzioscillâtorovvanderpolâ
first_indexed	2025-07-10T11:24:44Z
last_indexed	2025-07-10T11:24:44Z
_version_	1837258968880119808
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30 УДК 62-50, 519.7 c⃝2016. Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ УПРУГОЙ СВЯЗИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ВАН ДЕР ПОЛЯ Рассмотрена задача наблюдения состояния и идентификации параметров математической моде- ли, представленной системой двух связанных осцилляторов Ван дер Поля. Такие системы возни- кают при моделировании многих физических, биологических процессов, имеющих циклический характер. Для решения использован метод синтеза инвариантных соотношений, разработанный для решения обратных задач теории управления. Метод позволяет формировать конечные соот- ношения, определяющие искомые неизвестные как функции от известных величин. Ключевые слова: наблюдатель, идентификация параметров, инвариантные соотношения, связанные осцилляторы Ван дер Поля. Во многих приложениях физики, биологии в качестве модели нелинейных цик- лических процессов, имеющих, вне зависимости от начальных условий, устойчи- вый предельный цикл, используют систему, состоящую из одного или нескольких связанных между собой осцилляторов Ван дер Поля [1]. Определение характери- стик колебаний таких систем по результатам измерения выходных сигналов в ре- альном масштабе времени является актуальной проблемой медико-биологических исследований [2, 3]. В работе предлагается способ получения асимптотических оце- нок скоростей и параметров, характеризующих взаимовлияние связанных осцил- ляторов Ван дер Поля по информации об их движении. Способ основан на разра- ботанном в аналитической механике методе инвариантных соотношений [4], кото- рый в задачах управления позволяет синтезировать дополнительные связи между известными и неизвестными величинами [5, 6]. 1. Задача определение характеристик осциллятора Ван дер Поля. Рассмотрим уравнения движения, описывающие совместные колебания двух осцилляторов Ван дер Поля [7], соединенных линейной упругой связью ẍ− µ1(1− x2)ẋ+ ω1 2x+ α(x− y) = 0, ÿ − µ2(1− y2)ẏ + ω2 2y + β(x− y) = 0. (1) Здесь x, y означают отклонения колеблющихся точек от положения равновесия x = y = 0, коэффициенты при нелинейных слагаемых µ1, µ2 характеризует вели- чину демпфирования. Режим µ1 = µ2 = 0 соответствует колебаниям без трения двух связанных гармонических осцилляторов с собственными частотами ω1, ω2, соответственно. Работа содержит результаты исследований, выполненных в рамках конкурсного проекта Ф71- 19845 ДФФД (Державний фонд фундаментальних дослiджень). 67 Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак Системы вида (1) возникают во многих физических, медико-биологических прикладных исследованиях. Различают модели с однонаправленной связью, ко- гда один из параметров α или β равен нулю, и модели, учитывающие взаимное влияние активных подсистем. В частности, система (1) используется при модели- ровании характеристик кардиостимуляторов с обратной связью (значения функ- ций времени x(t), y(t) доступны измерению) [8]. Современные кардиостимуляторы – это программируемые адаптивные устройства, использующие сложные алгорит- мы для слежения за сердечной деятельностью. Для таких систем актуальной яв- ляется задача определения в реальном масштабе времени значений параметров α, β. Обозначив x1 = x, x2 = dx/dt, x3 = y, x4 = dy/dt, перепишем (1) в виде системы ẋ1 = x2, ẋ2 = −ω1 2x1 + µ1(1− x21)x2 + α(x1 − x3), ẋ3 = x4, ẋ4 = −ω2 2x3 + µ2(1− x23)x4 + β(x1 − x3), α̇ = 0, β̇ = 0. (2) Рассмотрим задачу определения значений неизвестных компонент фазового вектора x2(t), x4(t) и параметров α, β как задачу наблюдения и одновременной идентификации системы (2) по известной информации о движении. Такой инфор- мацией является выход – функции времени x1(t), x3(t), а также те величины, ко- торые могут быть получены с использованием только лишь значений выхода. В частности, далее известным будем считать любое решение задачи Коши для си- стемы дифференциальных уравнений ξ̇ = U(ξ, x1(t), x3(t)), ξ(0) = ξ0 ∈ Rp, p > 1, (3) в которой функции U(ξ, x1, x3) удовлетворяют достаточным условиям теорем су- ществования и единственности решений для t ∈ [0,∞). Для решения исходной задачи наблюдения и идентификации используем метод синтеза инвариантных соотношений в задачах определения состояния и парамет- ров динамических систем, который позволяет получать в процессе функциониро- вания системы асимптотические оценки неизвестных [6]. Задача. Найти асимптотически точные оценки переменных x2(t), x4(t) и па- раметров α, β системы (2) по известным значениям выхода x1(t), x3(t). Замечание. Достаточным условием локальной наблюдаемости и идентифици- руемости [9] системы (2) является невырожденность якобиевой матрицы J = ∂(x1, ẋ1, x2, ẋ2)/∂(x2, x4, α, β), где производные от выхода x1(t), x3(t) взяты в силу системы (2). Поскольку ве- личина detJ = (x1(t) − x3(t)) 2, то система становится неидентифицируемой при x1(t) = x3(t). 68 Идентификация параметров осцилляторов Ван дер Поля Будем предполагать, что рассматриваемые подсистемы не являются синхрони- зированными по выходу в процессе получения асимптотических оценок парамет- ров, т.е. на рассматриваемом интервале времени величина x1(t)−x3(t) не стремит- ся к нулю. Тогда условия идентифицируемости нарушаются лишь на дискретном множестве моментов времени, не имеющем точек сгущения. Полагаем далее, что построение инвариантных соотношений проводится на интервалах знакопостоян- ства величины x1(t)− x3(t). 2. Синтез дополнительных соотношений. Подход, связанный с синтезом инвариантных соотношений, состоит в дина- мическом расширении исходной системы дифференциальных уравнений (2) урав- нениями (3), где p равно 4 – числу неизвестных: функций времени x2(t), x4(t) и постоянных параметров α, β. Далее ищутся независимые соотношения, связываю- щие неизвестные и известные величины Fi(x1, x2, x3, x4, α, β, ξ) = 0, i = 1, 4. (4) При этом правые части U(ξ, x1, x3) подбираются таким образом, чтобы соотно- шения (4) стали инвариантными для расширенной системы дифференциальных уравнений (2),(3) и при этом обладали бы следующими свойствами: I1. Соотношения (4) формируют дополнительные независимые уравнения для неизвестных, т.е. rank ∂(F1, F2, F3, F4) ∂(x2, x4, α, β) = 4. I2. Соответствующее (4) инвариантное многообразие M = {(x1, x2, x3, x4, α, β, ξ) ⊆ R10 : Fi(x1, x2, x3, x4, α, β, ξ) = 0, i = 1, 4} обладает свойством глобального притяжения для любых решений расширенной системы (2),(3). Иными словами, на любых решениях lim t→∞ Fi(x1(t), x2(t), x3(t), x4(t), ξ(t), α, β) = 0, i = 1, 4. Покажем, что для рассматриваемой задачи соотношения вида (4) существуют. Чтобы свойство I1 было выполнено во всей рассматриваемой области будем искать их в виде F1(x1, x2, ξ) = x2 − ξ1 −Ψ1(x1) = 0, F2(x1, α, ξ) = α− ξ2 −Ψ2(x1) = 0, F3(x3, x4, ξ) = x4 − ξ3 −Ψ3(x3) = 0, F4(x3, β, ξ) = β − ξ4 −Ψ4(x3) = 0. (5) где переменные ξi(t) являются решениями системы дифференциальных уравне- ний (3), а на функции Ψi, Ui, i = 1, 4 пока не накладываем никаких ограничений, кроме требования непрерывной дифференцируемости по своим аргументам. Ес- ли эти функции выбраны так, что соотношения (5) становится инвариантными 69 Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак на рассматриваемом решении, то тогда неизвестные x2(t), x4(t), α, β могут быть найдены непосредственно из равенств (5). Поскольку перекрестные связи между подсистемами в уравнениях (2) зависят от известных функций времени x1(t), x3(t) то задачу 1 будем решать для каждого отдельно взятого осциллятора. Рассмотрим, например, первую подсистему, правая часть которой зависит от известной функции времени x3(t) ẋ1 = x2, ẋ2 = −ω1 2x1 + µ1(1− x21)x2 + α(x1 − x3). (6) Утверждение. Для любых дифференцируемых функций Ψ1(x1), Ψ2(x1) су- ществуют управления U1(ξ1, ξ2, x1, x3), U2(ξ1, ξ2, x1, x3) такие, что первые два ра- венства (5) выполняются тождественно на некоторых решениях расширенной си- стемы дифференциальных уравнений (2),(3). Доказательство. Введем переменные ε1, ε2, которые характеризуют невязку в формулах (5) на решениях системы (2),(3). x2 = ξ1 +Ψ1(x1) + ε1, α = ξ2 +Ψ2(x1) + ε2. (7) Сделаем в уравнениях (2) замену переменных. Перейдем по формулам (7) от пе- ременных x2, α к переменным ε1, ε2 соответственно. Дифференцируя (7) в силу системы (6),(3), получаем дифференциальные уравнения для отклонений ε̇1 =− U1 − ω1 2x1 + (ξ1 +Ψ1 + ε1) [ (µ1(1− x21)−Ψ′ 1 ] + + (x1 − x3)(ξ2 +Ψ2 + ε2), ε̇2 =− U2 −Ψ′ 2(ξ1 +Ψ1 + ε1), (8) где знак ′ означает дифференцирование по переменной x1. Чтобы равенства (5) выполнялись тождественно на некоторых решениях систе- мы дифференциальных уравнений (6),(3), достаточно показать, что система диф- ференциальных уравнений (8) допускает тривиальное решение ε1(t) = ε2(t) ≡ 0. Для этого фиксируем вид правых частей (3), а именно: для любых Ψ1(x1),Ψ2(x1) положим U1(ξ1, ξ2, x1, x3) = −ω1 2x1 + [µ1(1− x21)−Ψ1 ′](ξ1 +Ψ1) + (x1 − x3)(ξ2 +Ψ2), U2(ξ1, ξ2, x1, x3) = −Ψ2 ′(ξ1 +Ψ1). (9) В результате система дифференциальных уравнений для отклонений ε1, ε2 ста- новится однородной ε̇1 = [µ1(1− x21)−Ψ1 ′(x1)]ε1 + (x1 − x3)ε2, ε̇2 = −Ψ2 ′(x1)ε1, (10) а значит, допускает тривиальное решение. Утверждение доказано. � 70 Идентификация параметров осцилляторов Ван дер Поля Аналогичным образом доказывается существование для любых дифференци- руемых функций Ψ3(x3), Ψ4(x3) управлений U3(ξ3, ξ4, x1, x3), U4(ξ3, ξ4, x1, x3), при которых последние два равенства (5) становятся инвариантными. Таким образом, можно утверждать, что для любых дифференцируемых функ- ций Ψ1(x1),Ψ2(x1),Ψ3(x3),Ψ4(x3) начальные значения ξ(0) в задаче Коши для дифференциальных уравнений (4) могут быть выбраны таким образом, что в мо- мент t = 0 формулы (5) становятся верными равенствами. В частности, это озна- чает, что начальные значения для отклонений εi(0) = 0, i = 1, 4. В этом случае равенства (5) на траектории расширенной системы (2),(3) выполняются тожде- ственно, образуя, тем самым, систему дополнительных соотношений, в которых единственными неизвестными остаются x2(t), x4(t), α, β. В общем случае осуществить такой выбор ξ(0) не удается, поскольку для это- го необходимо знать значения x2(0), x4(0), α, β, которые, собственно, и являются искомыми величинами. Для того, чтобы использовать формулы (5) для оценки x2(t), α на любом решении системы (2),(3) требуется из фактически произвольно- го множества функций Ψ1(x1),Ψ2(x1),Ψ3(x3),Ψ4(x3) выбрать такие, при которых тривиальное решение системы уравнений в отклонениях обладало бы свойством глобальной асимптотической устойчивости. 3. Стабилизация отклонений от инвариантного соотношения. Как и в случае доказательства существования инвариантных соотношений, ре- шение задачи стабилизации отклонений проведем для подсистемы (6). При этом найденные законы управления переносятся на вторую подсистему простой заменой соответствующих индексов. Чтобы обеспечить глобальную асимптотическую устойчивость тривиального решения системы (10) используем функции Ψ1(x1),Ψ2(x1). Введем обозначения: V1(x1) = µ1(1− x21)−Ψ1 ′(x1), V2(x1) = −Ψ2 ′(x1), (11) и перепишем систему (10) в виде ε̇1 = V1(x1)ε1 + (x1 − x3)ε2, ε̇2 = V2(x1)ε1. (12) Будем рассматривать функции V1(x1), V2(x1) как управления, с помощью ко- торых необходимо обеспечить глобальную асимптотическую устойчивость триви- ального решения системы (12). Пусть k = −sign (x1−x3), т.е. k(x1−x2) = −\|x1−x3\|. В качестве функции Ляпу- нова, в зависимости от знака разности x1−x3, будем использовать с положительно определенную функцию V (ε1, ε2) = 1 2 [ε1 2 + (ε1 + kε2) 2]. (13) Ее производная, взятая в силу системы (12), равна dV dt = (2V1 + kV2)ε1 2 + (kV1 + V2 + 2x1 − 2x3)ε1ε2 + k(x1 − x3)ε2 2. 71 Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак Пусть V1 = 3k(x1 − x3), V2 = −5(x1 − x3). Тогда dV dt = −\|x1 − x3\|(ε12 + ε2 2) < 0, следовательно, при x1(t) ̸= x3(t) производная от функций Ляпунова отрицательна. Поэтому значения функций V (ε1, ε2) строго убывают на интервалах знакопосто- янства величины x1(t)− x3(t). Поскольку V (0, 0) = 0, то можно утверждать, что lim t→∞ εi(t) = 0, i = 1, 2. Так как V1(x1), V2(x1) выбраны, то равенства (11) можем рассматривать как дифференциальные уравнения для искомых функций Ψ1(x1),Ψ2(x1), формирую- щих инвариантные соотношения (5). Эти уравнения имеют вид Ψ1 ′ = µ1(1− x21)− 3k(x1 − x3), Ψ2 ′ = 5(x1 − x3). (14) Для завершения построений соответствующих инвариантных соотношений до- статочно в формулы (5),(9) подставить любое частное решение системы (14). Пусть Ψ1(0) = Ψ2(0) = 0. Тогда Ψ1(x1) = x1 [ µ1 ( 1− x1 2 3 ) − 3kx1 (x1 2 − x3 )] , Ψ2(x1) = 5x1 (x1 2 − x3 ) . (15) В результате проведенных построений первые две из формул (5), предназна- ченные для оценки неизвестных x2(t), α, принимают вид x2 = ξ1 + x1 [ µ1(1− x21 3 )− 3k (x1 2 − x3 )] +O(ε21 + ε22), α = ξ2 + 5x1 (x1 2 − x3 ) +O(ε21 + ε22), (16) где функции ξ1(t), ξ2(t) являются решением задачи Коши для вспомогательной системы дифференциальных уравнений (3), которую, с учетом формул (9),(15), можем записать в виде ξ̇1 =− ω1 2x1 + 3\|x1 − x3\| { ξ1 + x1 [ µ1 ( 1− x1 2 3 ) − 3kx1 (x1 2 − x3 )]} + + (x1 − x3) [ ξ2 + 5x1 (x1 2 − x3 )] , ξ̇2 =− 5(x1 − x3) { ξ1 + x1 [ µ1 ( 1− x1 2 3 ) − 3kx1 (x1 2 − x3 )]} . (17) 72 Идентификация параметров осцилляторов Ван дер Поля Уравнения (16),(17), определяют семейство наблюдателей, параметризованное начальными условиями ξ1(0), ξ2(0). При этом каждый из них обеспечивает полу- чение асимптотических оценок искомых неизвестных x2(t), α. Последние два со- отношения (5), определяющие асимптотические оценки для неизвестных x4(t), β, конструируются аналогичным образом. 1. Кузнецов А.П., Селиверстова Е.С., Трубецков Д.И., Тюрюкина Л.В. Феномен уравнения ван дер Поля // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. – 2014. – Т. 22, № 4. – С. 3–42. 2. Grudzinski K., Zebrowski J.J. Modeling cardiac pacemakers with relaxation oscillators // Physica A 336. – 2003. – P. 153–162. 3. Булдаков Н. С., Самочетова Н. С., Ситников А. В., Суятинов С. И. Моделирование связей в системе «сердце-сосуды» // Наука и образование, Электронный научно-технический журнал. – 2013. – С. 123. 4. Харламов П. В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений // Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. 5. Щербак В. Ф. Синтез дополнительных соотношений в задаче наблюдения // Механика тве- дого тела. – 2004. – T. 33. – С. 197–216. 6. Жоголева Н. В., Щербак В. Ф. Синтез дополнительных соотношений в обратных задачах управления // Труды ИПММ НАН Украины. – 2015. – T. 29. – C. 69–76. 7. Van der Pol B. On relaxation oscillations // The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. and J. of Sci. – 1927. – V. 2(7). – P. 978–992. 8. Gholizade-Narm H., Azemi A., Khademi M., Karimi-Ghartemani M. A State Observer and a Synchronization Method for Heart Pacemakers // Journal of Applied Sciences. – 2008. – 8(18). – P. 3175–3182. 9. Ковалев А. М., Щербак В. Ф. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость динами- ческих систем. – К.: Наук. думка, 1993. N. V. Zhogoleva, V. F. Shcherbak Identification of elastic coupling parameters of van der Pole oscillators . The observation and identification problem for mathematical model of coupled Van der Pol oscillators is considered. Such systems arise under modeling of many cyclical hisical or biological processes. The synthesis of invariant relationships method is used developed for the solution of inverse control problems. The method allows to synthesize additional relations between the known and unknown quantities of the mathematical model of the object. Keywords: observer, identification of parameters, invariant relations, coupled Van der Pol oscillators. Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак Iдентифiкацiя параметрiв пружного зв’язку осциляторiв Ван дер Поля. Розглянуто задачу спостереження стану та iдентифiкацiї параметрiв математичної моделi, яка представлена у виглядi системи двох взаємозалежних осциляторiв Ван дер Поля. Такi системи виникають при моделюваннi багатьох фiзичних або бiологiчних процесiв, що мають циклiчний характер. Використано метод синтезу iнварiантних спiввiдношень, який розроблено для оберне- них задач теорiї управлiння. Метод дозволяє синтезувати кiнцевi спiввiдношення, що визначають шуканi невiдомi як функцiї вiд вiдомих величин. 73 Н. В. Жоголева, В. Ф. Щербак Ключовi слова: спостерiгач, iдентифiкацiя параметрiв, iнварiантнi спiввiдношення, пов’язанi осцилятори Ван дер Поля. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Славянск scherbakvf@ukr.net Получено 21.05.16 74

Идентификация параметров упругой связи осцилляторов Ван дер Поля

Репозитарії

Схожі ресурси