Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса

Главная цель работы — решение задачи о тени для шаров фиксированного радиуса в трехмерном евклидовом пространстве. Широкий спектр близких задач исследовался в работах одного из авторов и его учеников. Эту задачу можно рассматривать как нахождение необходимых и достаточных условий обеспечивающих прин...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Зелинский, Ю.Б., Дакхил, Х.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2016
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140858
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса / Ю.Б. Зелинский, Х.К. Дакхил // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 75-81. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-140858
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1408582018-07-18T01:23:21Z Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса Зелинский, Ю.Б. Дакхил, Х.К. Главная цель работы — решение задачи о тени для шаров фиксированного радиуса в трехмерном евклидовом пространстве. Широкий спектр близких задач исследовался в работах одного из авторов и его учеников. Эту задачу можно рассматривать как нахождение необходимых и достаточных условий обеспечивающих принадлежность точки обобщенно выпуклой оболочке семейства шаров фиксированного радиуса. Головна мета роботи — розв’язок задачі про тіні для куль фіксованого радіуса в тривимірному евклідовому просторі. Широкий спектр близьких проблем досліджувався в роботах одного з авторів і його учнів. Цю задачу можна розглядати як знаходження необхідних і достатніх умов, що забезпечують належність точки до узагальнено опуклої оболонки сімейства куль фіксованого радіуса. The main objective of the paper is solution the problem’s of the shadow for balls of a fixed radius in three-dimensional Euclidean space. A wide range of related problems are studied in the works of one author and his students. This problem can be regarded as finding the necessary and sufficient conditions to ensure membership of point to the generalized convex hull of a family for balls of fixed radius. 2016 Article Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса / Ю.Б. Зелинский, Х.К. Дакхил // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 75-81. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140858 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Главная цель работы — решение задачи о тени для шаров фиксированного радиуса в трехмерном евклидовом пространстве. Широкий спектр близких задач исследовался в работах одного из авторов и его учеников. Эту задачу можно рассматривать как нахождение необходимых и достаточных условий обеспечивающих принадлежность точки обобщенно выпуклой оболочке семейства шаров фиксированного радиуса.
format	Article
author	Зелинский, Ю.Б. Дакхил, Х.К.
spellingShingle	Зелинский, Ю.Б. Дакхил, Х.К. Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Зелинский, Ю.Б. Дакхил, Х.К.
author_sort	Зелинский, Ю.Б.
title	Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса
title_short	Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса
title_full	Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса
title_fullStr	Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса
title_full_unstemmed	Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса
title_sort	об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140858
citation_txt	Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса / Ю.Б. Зелинский, Х.К. Дакхил // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 75-81. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT zelinskijûb obodnojzadačeotenidlâšarovfiksirovannogoradiusa AT dakhilhk obodnojzadačeotenidlâšarovfiksirovannogoradiusa
first_indexed	2025-07-10T11:24:53Z
last_indexed	2025-07-10T11:24:53Z
_version_	1837258977687109632
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30 УДК 517.5+513.83 c⃝2016. Ю. Б. Зелинский, Х. К. Дакхил ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ О ТЕНИ ДЛЯ ШАРОВ ФИКСИРОВАННОГО РАДИУСА Главная цель работы — решение задачи о тени для шаров фиксированного радиуса в трехмер- ном евклидовом пространстве. Широкий спектр близких задач исследовался в работах одного из авторов и его учеников. Эту задачу можно рассматривать как нахождение необходимых и достаточных условий обеспечивающих принадлежность точки обобщенно выпуклой оболочке се- мейства шаров фиксированного радиуса. Ключевые слова: Евклидово пространство, шар, задача о тени, обобщенная выпуклость. Статья посвящена 75-летнему юбилею Владимира Гутлянского, прекрасного ученого и человека. Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве R3 задачу о тени для ша- ров одинакового радиуса. Задача. Какое минимальное число попарно непересекающихся замкнутых (от- крытых) шаров одинакового радиуса в трехмерном вещественном евклидовом про- странстве R3 необходимо и достаточно чтобы любая прямая, проходящая через фиксированную точку пространства, пересекала хотя бы один из этих шаров? Впервые аналогичная задача рассмотрена Г. Худайбергановым [1, 2] для ша- ров в n-мерном евклидовом пространстве R3, центры которых лежат на фикси- рованной сфере. Различные близкие проблемы исследовались на протяжении по- следних двух лет в работах [3–10]. Рассматриваемая здесь задача формулирова- лась в списке открытых проблем на конференциях: XI Международная матема- тическая летняя школа “Алгебра, Топология, Анализ” 1–14.08.2016 г. в Одессе и “International conference dedicated to the 120th anniversary of Kazimierz Kuratowski” 27.09–1.10.2016 г. в Львове [11–12]. Определение 1. Скажем, что множество E ⊂ Rn m-выпукло относительно точки x ∈ Rn\E, если найдется m-мерная плоскость L, такая что x ∈ L и L ∩ E = ∅. Определение 2. Скажем, что множество E ⊂ Rn m-выпукло, если оно m- выпукло относительно каждой точки x ∈ Rn\E. Легко убедиться, что оба приведенные определения удовлетворяют аксиоме вы- пуклости: пересечение каждого подсемейства таких множеств тоже удовлетворяет определению. Для произвольного множества E ⊂ Rn мы можем рассматривать минимальное m-выпуклое множество, содержащее E, и назвать его m-оболочкой множества E. Определение 3. Скажем, что открытое множество G ⊂ Rn слабо m-выпукло, если оно m-выпукло относительно каждой точки x ∈ ∂G, принадлежащей гра- 75 Ю. Б. Зелинский, Х. К. Дакхил нице множества G. Скажем, что произвольное множество E ⊂ Rn слабо m- выпукло, если его можно аппроксимировать извне семейством открытых слабо m-выпуклых множеств. Легко построить пример слабо m-выпуклого, но не m-выпуклого множества. Пример. Рассмотрим на плоскости R2 множество из четырех открытых квад- ратов E = {(x, y)\|(\|x\| < 1, 1 < \|y\| < 3) ∨ (1 < \|x\| < 3, \|y\| < 1)} . Легко убедиться, что это множество слабо 1-выпукло, но не 1-выпукло. Теперь сформулированную задачу можно рассматривать как частный случай принадлежности точки 1-оболочке объединения некоторого набора шаров одина- кового радиуса. Исследуем, когда семейство шаров обеспечит принадлежность выбранной точ- ки 1-выпуклой оболочке семейства. Не нарушая общности, предположим, что эта точка совпадает с началом координат O = (0, 0, 0) пространства R3, а радиусы открытых шаров равны единице. Покажем, что двух шаров недостаточно для со- здания тени ни в одной точке. Предположим, что двух шаров B1 и B2 достаточ- но. В силу выпуклости каждого шара существует гиперплоскость Li, содержащая выбранную точку, которая не пересекает шар Bi. Пересечение гиперплоскостей l = L1 ∩ L2 содержит искомую прямую. Точки пространства будем обозначать координатами (x, y, z). Рис. 1. Сначала проверим, можно ли создать тень для точки, лежащей на границе одного из шаров. Выберем первый открытый шар B1 единичного радиуса с цен- 76 Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса тром в точке O1 = (0, 0, 1). Теперь прямые через начало координат, которые не пересекают этот шар, должны лежать в плоскости xOy. Второй открытый шар B2 единичного радиуса выберем в плоскости xOz с центром в точке O2, так чтобы он касался шара B1. Рассмотрим сечение шаров B1 и B2 плоскостью xOz. Обозна- чим расстояние OO2 = a > 1, а угол AOO2 через α. Тогда в треугольнике O2CO1 имеем O1C = 1+ a cosα, CO2 = a sinα, OO1 = 2. Из теоремы Пифагора получаем равенство (1 + a cosα)2 + a2 sin2 α = 4 или 1 + 2a cosα+ a2 = 4. Поскольку нас интересует положительный корень, то a = − cosα+ √ 3 + cos2 α. Отрезок AB задает радиус круга D по которому шар B2 пересекает плоскость xOy. Имеем AB = √ 1− a2 cos2 α. Теперь, если мы обозначим через β угол под которым круг D виден из начала координат, то sin(β/2) = √ 1− a2 cos2 α a sinα . Легко убедиться, что это возрастающая функция по α в промежутке (0, π/2), по- этому на этом интервале можно выбрать значение синуса как угодно близким к 1/a при α стремящимся к π/2. При этом OO2 стремиться к √ 3. Следовательно sin(β/2) ≤ 1/ √ 3, поэтому угол β < π/2. Аналогично, третий шар тоже виден с на- чала координат в плоскости xOy под углом не превышающим π/2. Отсюда следует, что в плоскости xOy существует прямая проходящая через точку (0, 0, 0) которая не пересекает ни одного из трех шаров. Отсюда получаем следующее утверждение. Теорема 1. Произвольный набор из трех попарно непересекающихся откры- тых шаров одинакового радиуса в пространстве R3 образует слабо 1-выпуклое множество. Предположим теперь, что тремя шарами все же можно обеспечить тень в нача- ле координат O = (0, 0, 0). Пусть B1, B2, B3 – такой набор шаров, упорядоченный по увеличению расстояния от точки O, а точка O1 – центр ближайшего шара B1 к началу координат. Выберем систему координат так, чтобы плоскость xOz проходила через цен- тры O1, O2 двух ближайших к точке O шаров и точка O1 находилась на оси Oz. Тень, создаваемая шаром B2, увеличивается по мере его приближения к точке O, поэтому при оценке можем считать, что шары B1, B2 касаются друг друга. Для удобства расчетов будем считать, что OO2 = 1, а радиусы шаров равны r < 1. 77 Ю. Б. Зелинский, Х. К. Дакхил Рис. 2. Используем рассуждения, примененные в [3] для оценок тени при помощи ша- ров с центрами на фиксированной сфере. Проведем сферу единичного радиуса с центром в начале координат. Пусть OB касательная прямая к шару B1 в плос- кости xOz, а OD касательная прямая к шару B2 в той же плоскости. Опустим перпендикуляры: BA – из точки B на ось Oz, DC – из точки D на отрезок OO2. Обозначим r1 = O1O < 1, а углы ∠O1OB = α, ∠FOO2 = β, где точка F – про- екция точки O2 на ось Oz. Тогда AB = sinα = r/r1, OF = cosβ, FO2 = sinβ, OO2 = 2r. Обозначим через G точку пересечения отрезков AB и CD. Как пока- зано в [3], для существования тени в точке O радиус третьего шара с центром на сфере должен быть не меньше отрезка OG. Оценим длину этого отрезка. Отметим, что точка G лежит на окружности, проходящей через точки O, A(0, √ 1− r2/r21), C( √ 1− r2 sinβ,− √ 1− r2cosβ). Обозначим центр этой окружности точкой (x, y). Запишем уравнение этой окружности ( √ 1− r2 sinβ − x)2 + ( √ 1− r2 cosβ + y)2 = x2 + y2. Имеем y = √ 1− r2/r21/2. Теперь 2x = √ 1− r2/ sinβ + √ 1− r2/r21 ctg β, где r1 = √ 4r2 − sin2 β − cosβ. 78 Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса Отсюда OG2 = (1− r2)/ sin2 β + 2 √ 1− r2 √ 1− r2/r21 cosβ/ sin 2 β + ctg2 β − r2 ctg2 β/r21+ +1− r2/r21 = (2− r2)/ sin2 β − r2/r21/ sin 2 β + 2 √ 1− r2 √ 1− r2/r21 cosβ/ sin 2 β. Нас интересует минимально возможное значение OG. Для оценки этого мини- мума используем Microsoft Excel. Минимальное значение OG = 0, 76 получим при следующих значениях sinβ = 0.58, r = 0, 91, r=0.91, r1 = 0.9105. Тогда шар B3 дол- жен находиться на оси Oy не дальше чем r/OG = 1, 195 от начала координат. Но тогда расстояние OO3 не превышает √ OO2 1 +OO2 3 = √ 0.91052 + 1.1952 ≈ 1.5 < 2r = 1.83. Следовательно, шары B1 и B3 должны пересекаться. Отсюда получим утверждение. Теорема 2. Произвольный набор из трех попарно непересекающихся откры- тых шаров одинакового радиуса в пространстве R3 образует 1-выпуклое множе- ство. Из этого результата и теоремы 4 [10] получаем результат. Теорема 3. Четырех попарно непересекающихся замкнутых (открытых) ша- ров одинакового радиуса в пространстве R3 необходимо и достаточно для созда- ния тени в фиксированной точке. Определение 4. Скажем, что множество E ⊂ Rn m-полувыпукло относи- тельно точки , если найдется m-мерная полуплоскость P , такая что x ∈ P и P ∩E = ∅. Определение 5. Скажем, что множество E ⊂ Rn m-полувыпукло, если оно m-полувыпукло относительно каждой точки x ∈ Rn\E. Легко убедиться, что и эти определения удовлетворяют аксиоме выпуклости, и мы тоже можем строить m-полувыпуклые оболочки множеств согласно этим определениям. Исследуем, когда семейство шаров обеспечит принадлежность выбранной точ- ки 1-полувыпуклой оболочке семейства. Не нарушая общности, предположим, что эта точка совпадает с началом координат (0, 0, 0) пространства R3. Точки про- странства будем обозначать координатами (x, y, z). Выберем два открытых шара единичного радиуса B1 и B2 в точках (0, 0, 1) и (0, 0,−1). Теперь лучи из нача- ла координат, которые не пересекают эти два шара, должны лежать в плоскости xOy. Разместим три открытых шара радиуса 1 с центрами в точках ( √ 3, 0, 0), (− √ 3/2, 3/2, 0), (− √ 3/2,−3/2, 0) соответственно, на расстоянии r1 = √ 3 от нача- ла координат. Еще три открытых шара радиуса 1 разместим с центрами в точках (−( √ 3 + √ 7)/2, 0, 0), ( √ 3 + √ 7)/4, (3 + √ 21)/4, 0), ( √ 3 + √ 7)/4,−(3 + √ 21)/4, 0) 79 Ю. Б. Зелинский, Х. К. Дакхил на расстоянии r2 = ( √ 3 + √ 7)/2 от начала координат. Эти первые три шара касаются заданных двух шаров B1 и B2 и видны из начала координат в плос- кости xOy под углом α, синус половины которого равен 1/ √ 3. Следовательно, α/2 = arc sin(1/ √ 3) = 0, 549306, α = 1, 098612. Поскольку каждый шар из второй тройки касается двух соседних шаров первой тройки, а центры их находятся на разном расстоянии от начала координат r1 < r2, то касательная прямая к двум соседним шарам в точке их касания не может проходить через начало координат. Поэтому этот набор из восьми шаров обеспечит принадлежность начала ко- ординат 1-полувыпуклой оболочке их объединения. Как и выше чуть уменьшая радиусы шаров, видим, что существует набор замкнутых восьми шаров с теми же свойствами. Получаем следующее утверждение. Теорема 4. Для того чтобы точка в трехмерном евклидовом пространстве принадлежала 1-полувыпуклой оболочке семейства открытых (замкнутых) ша- ров постоянного радиуса достаточно восьми шаров. Вопрос минимальности найденного количества шаров остается открытым. 1. Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объединения шаров. – Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.02.1982 г., № 1772. 85 Деп. 2. Зелинский Ю. Б. Выпуклость. Избранные главы. Працi Iнституту математики НАНУ. – Kиїв: Iнститут математики НАНУ. – 2012. – T. 92. – 280 с. 3. Зелинский Ю. Б., Выговская И. Ю., Стефанчук М. В. Обобщённо выпуклые множества и задача о тени // Укр. мат. журн. – 2015. – Т. 67, № 12. — С. 1658–1666. 4. Зелинский Ю. Б. Задача о тени для семейства множеств // Збiрник праць Iнституту мате- матики НАНУ. – 2015. – T. 12, № 4. – C. 197–204. 5. Ткачук М. В., Осипчук Т. М. Задача о тени для эллипсоида вращения // Збiрник праць Iнституту математики НАНУ. – 2015. – T. 12, № 3. – C. 243–250. 6. Зелiнський Ю. Б., Стефанчук М. В. Узагальнення задачi про тiнь // Укр. мат. журн. – 2016. – Т. 68, № 6. – С. 657–662. 7. Зелинский Ю. Б. Обобщенно выпуклые оболочки множеств и задача о тени // Укр. мат. вiсник. – 2015. – T. 12, № 2. – C. 278–289. 8. Zelinskii Yu. B. Problem of shadow (complex case) // Advances in Mathematics: Scientific Journal. –2016. – V. 5, N. 1. – P. 1–5. 9. Zelinskii Yu. B. The problem of the shadows // Bulletin de la societé des sci.et letters de Lódź. Sér. Rech. Déform. – 2016. – V. 66, N. 1. – P. 37–42. 10. Зелинский Ю. Б., Выговская И. Ю., Дакхiл Х. К. Задача о тени для шаров фиксированного радиуса // Укр. мат. вiсник. – 2016. – T. 13, № 4. – C. 599–603. 11. Zelinskii Yu. B. Open topological and geometrical problems in analysis https://www.academia.edu/29063888/Open_topological_and_geometrical_problems_in_analysis. 12. Zelinskii Yu. B. Some open topological problems in analysis // Intern. Conf. dedicated to the 120th anniversary of Kazimierz Kuratowski, 27.09–1.10.2016. Abstracts of reports, Lviv. – P. 55. Y. B. Zelinskii, Х. К. Dakhil On a problem of the shadow for balls of fixed radius. The main objective of the paper is solution the problem’s of the shadow for balls of a fixed radius in three-dimensional Euclidean space. A wide range of related problems are studied in the works of one author and his students. This problem can be regarded as finding the necessary and sufficient 80 Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса conditions to ensure membership of point to the generalized convex hull of a family for balls of fixed radius. Keywords: shadow problem, convexity, linear convexity, circle, circumference. Ю. Б. Зелiнський, Х. К. Дакхiл Про одну задачу про тiнi для куль фiксованого радiуса. Головна мета роботи — розв’язок задачi про тiнi для куль фiксованого радiуса в тривимiрному евклiдовому просторi. Широкий спектр близьких проблем дослiджувався в роботах одного з авторiв i його учнiв. Цю задачу можна розглядати як знаходження необхiдних i достатнiх умов, що забезпечують належнiсть точки до узагальнено опуклої оболонки сiмейства куль фiксованого радiуса. Ключовi слова: задача про тiнь, опуклiсть, лiнiйна опуклiсть, круг, коло. Ин-т математики НАН Украины, Киев zel@imath.kiev.ua moonm5385@gmail.com Получено 8.12.2016 81

Об одной задаче о тени для шаров фиксированного радиуса

Репозитарії

Схожі ресурси