Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії
Доведено існування та єдиність класичного розв’язку на довільному відрізку часу першої початково-крайової задачі для квазілінійного рівняння дробової дифузії.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140859 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії / М.В. Краснощок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 82-91. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140859 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1408592018-07-18T01:23:16Z Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії Краснощок, М.В. Доведено існування та єдиність класичного розв’язку на довільному відрізку часу першої початково-крайової задачі для квазілінійного рівняння дробової дифузії. Доказано существование и единственность классического решения первой начально-краевой задачи для квазилинейного уравнения дробной диффузии. We prove the existence and the uniqueness of a classical solution to the first initial-boundary problem to quasilinear fractional diffusion equation. 2016 Article Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії / М.В. Краснощок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 82-91. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140859 517.9 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Доведено існування та єдиність класичного розв’язку на довільному відрізку часу першої початково-крайової задачі для квазілінійного рівняння дробової дифузії. |
| format |
Article |
| author |
Краснощок, М.В. |
| spellingShingle |
Краснощок, М.В. Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Краснощок, М.В. |
| author_sort |
Краснощок, М.В. |
| title |
Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії |
| title_short |
Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії |
| title_full |
Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії |
| title_fullStr |
Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії |
| title_full_unstemmed |
Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії |
| title_sort |
перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140859 |
| citation_txt |
Перша початково-крайова задача для одновимірного квазілінійного рівняння дробової дифузії / М.В. Краснощок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 82-91. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT krasnoŝokmv peršapočatkovokrajovazadačadlâodnovimírnogokvazílíníjnogorívnânnâdrobovoídifuzíí |
| first_indexed |
2025-07-10T11:25:02Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:25:02Z |
| _version_ |
1837258986460545024 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30
UDK 517.9
c⃝2016. М. В. Краснощок
ПЕРША ПОЧАТКОВО-КРАЙОВА ЗАДАЧА
ДЛЯ ОДНОВИМIРНОГО КВАЗIЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ
ДРОБОВОЇ ДИФУЗIЇ
Доведено iснування та єдинiсть класичного розв’язку на довiльному вiдрiзку часу першої початково-
крайової задачi для квазiлiнiйного рiвняння дробової дифузiї
Ключовi слова: простiр Гельдера, похiдна дробового порядку, нерухома точка.
1. Формулювання задачi.
Позначимо Q = (0, 1), Σ = {0} ∪ {1}, QT = Ω × (0, T ), ΣT = Σ × (0, T ). Через
Dα
∗,t (0 < α < 1) позначимо регуляризовану похiдну порядку α
Dα
∗,tu(x, t) =
1
Γ(1− α)
∂
∂t
∫ t
0
(t− τ)−α(u(x, τ)− u(x, 0))dτ. (1)
Розглянему задачу
Dα
∗,tu(x, t)− uxx(x, t) + g(u) = f(x, t), QT , (2)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Q, u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ΣT . (3)
Припустимо, що функцiя g(u) задовольняє наступним умовам
g ∈ C1(R), |g(u)| ≤ l1(1 + |u|r),
g(u)u ≥ −l2 + l3|u|r+1, g′(u) ≥ −l4, (4)
де li ≥ 0, i = 1, . . . , 4, r ≥ 0.
Рiвняння виду (2) мають чисельнi застосування при вивченнi складних про-
цесiв i систем, якi характеризуються нелокальнiстю та довгостроковою памяттю
(див. [1]–[5]).
Питання розв’язностi крайових задач для лiнiйних i квазiлiнiйних рiвнянь з
дробовою похiдною за часом дослiджувалося в роботах [6]–[15]. Наскiльки нам
вiдомо, на даний час вiдсутнi результати з класичної розв’язностi квазiлiнiйних
рiвнянь з дробовими похiдними для нелiпшицевої нелiнiйностi g.
2. Функцiональнi простори i основний результат.
Нехай θ ∈ (0, 1). Введемо стандартнi позначення (див. [16])|f |QT , ⟨f⟩(θ)x,QT , ⟨f⟩(θ)x,QT
для, вiдповiдно, максимуму та сталих Гельдера функцiї f за змiнними x i t з по-
казником θ в областi QT .
Позначимо
|f |(θ)α,QT = |f |QT + ⟨f⟩(θ)x,QT + ⟨f⟩(
θ
2
α)
t,QT
82
Квазiлiнiйне рiвняння дробової дифузiї
Визначимо простiр Cθα(QT ) як множину функцiй iз скiнченною нормою |f |(θ)α,QT .
Простiр C2+θ
α (QT ), k ∈ N визначимо як множину функцiй iз скiнченною нормою
|f |(2+θ)α,QT
= |f |QT + |Dα
∗,tf |
(θ)
α,QT
+ |fxx|(θ)α,QT + ⟨fx⟩
((1+θ)α
2
)
t,QT
.
Умови сумiсностi мають вигляд
u0(x) = 0, u0,xx(x) + f(x, 0)− g(0) = 0, x ∈ Σ. (5)
Теорема 1. Нехай u0 ∈ C2+θ(Ω), f ∈ Cθα(ΩT ), ψ ∈ C2+θ
α (ΣT ), i виконано умови
(4), (5). Тодi для довiльних функцiй iснує єдиний розв’язок u ∈ C2+θ
α (ΩT ) задачi
(2)–(3).
3. Допомiжнi твердження.
Використовуємо наступнi позначення
ωα(t) =
tα−1
Γ(α)
, (ωα ∗ v)(t) =
t∫
0
ωα(t− τ)v(τ)dτ. (6)
Позначимо через Dα
t u дробову похiдну Рiмана–Лiувiля порядка α
Dα
t u(x, t) = ∂t(ω1−α ∗ u)(x, t)
Регуляризовану дробову похiдну запишемо у виглядi
Dα
∗,tu(x, t) = Dα
t (u− u0)(x, t) = Dα
t u(x, t)− ω1−α(t)u0(x)
За допомогою Теореми 3.8 з [17], маємо
(ωα ∗Dα
t u)(x, t) = u(x, t), (7)
для u, таких, що Dα
∗,tu(x, t) ∈ C([0, T ]) для всiх x ∈ Q.
З результатiв роботи [13] випливає, що для довiльної функцiї u ∈ C2+θ
α (QT )
при p = 2k (k ∈ N) має мiсце нерiвнiсть
pup−1(x, t)Dα
t u(x, t) ≥ Dα
t u
p(x, t) + (p− 1)ω1−α(t)u
p(x, t). (8)
Для лiнiйної задачi
Dα
∗,tu(x, t)− uxx(x, t) = f(x, t), QT , (9)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Q, u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ΣT , (10)
з результатiв роботи [10] випливає наступна теорема.
Теорема 2. Нехай виконано умови сумiсностi
u0(x) = 0, −u0,xx(x) = f(x, 0), x = 0, 1,
83
М. В. Краснощок
тодi для довiльних f ∈ Cθα(QT ), u0 ∈ C2+θ(Q) iснує єдиний роз’вязок u ∈ C2+θ
α (ΩT )
задачi (9)–(10). Крiм того, має мiсце оцiнка
|u|(2+θ)α,ΩT
≤ C(T )
(
|u0|(2+θ)Ω + |f|(θ)α,QT
)
. (11)
4. Оцiнка максимуму.
Перепишемо рiвняння (1) у виглядi
Dα
τ u(x, τ)− uxx(x, τ) + g(u(x, τ)) = f(x, τ) + ω1−α(τ)u0(x), QT , (12)
Помножимо останне рiвняння на pup−1. Далi p = 2k, k = 1, 2, ... Зазначимо, що
p(p− 1)up−2|ux|2 ≥
p2
4
(u
p
2
−1u2)
2 = |(u
p
2 )x|2.
Cкористаємося (8), (4). Отримуємо
ω1−α(τ)
∫
Q
up(x, τ)dx+Dα
τ
∫
Q
up(x, τ)dx+
∫
Q
|(u(x, τ)
p
2 )x|2dx+pl3
∫
Q
|u(x, τ)|r+p−1dx ≤
≤ p
∫
Q
|f(x, τ)|up−1(x, τ)dx+ pl2
∫
Q
up−2(x, τ)dx+
+pω1−α(τ)
∫
Q
|u0(x)|up−1(x, τ)dx (13)
Оцiнимо праву частину (13) за допомогою нерiвностi Юнга.
Dα
τ
∫
Q
up(x, τ)dx+
∫
Q
|(u(x, τ)
p
2 )x|2dx ≤
≤ p
∫
Q
up(x, τ)dx+
∫
Q
(|f(x, τ)|p + 1)dx+ ω1−α(τ)
∫
Q
|u0(x)|pdx (14)
Далi, нерiвнiсть Нiренберга–Гальярдо (див. Теорему 2.2 роздiлу II в [16]) для
функцiї v = u
p
2 i нерiвнiсть Юнга дозволяють оцiнити перший iнтеграл в правiй
частинi (14) наступним чином∫
Q
up(x, τ)dx ≤ ϵ
∫
Q
|(u
p
2 (x, τ))x|2dx+ Cϵ−
1
2
(∫
Q
u
p
2 (x, τ)dx
)2
. (15)
Повернемось до (14), враховуючи (15) при ϵ = 1
2p
Dα
τ
∫
Q
up(x, τ)dx ≤ Cp
3
2
(∫
Q
u
p
2 (x, τ)dx
)2
+
∫
Q
(|f(x, τ)|p+1)dx+ω1−α(τ)
∫
Q
|u0(x)|pdx.
84
Квазiлiнiйне рiвняння дробової дифузiї
Згортка обох частин останньої нерiвностi з ωα приводить до оцiнки∫
Q
up(x, t)dx ≤ Cp
3
2
t∫
0
ωα(t− τ)
(∫
Q
u
p
2 (x, τ)dx
)2
dτ + CT (|f |pQT + |u0(x)|pQ + 1))
На наступному кроцi, ми добуваємо корiнь p з лiвої та правої частини останньої
нерiвностi i використовуємо нерiвнiсть (A+B)
1
p ≤ A
1
p +B
1
p , A,B ≥ 0. В результатi
одержуємо
sup
t∈(0,T )
∥u(·, t)∥Lp(Q) ≤ [CT p
3
2 ]
1
p (1 + sup
QT
|f |+ sup
Q
|u0|+ sup
t∈(0,T )
∥u(·, t)∥L p
2
(Q)). (16)
Зазначимо, що при p = 2, за допомогою нерiвностi Кошi–Буняковського i нерiвно-
стi Пуанкаре з (13), можна одержати оцiнку
sup
t∈(0,T )
∥u(·, t)∥L2(Q) ≤ [CT p
3
2 ]
1
p (1 + sup
QT
|f |+ sup
Q
|u0|). (17)
Далi, маємо [C(T )p
3
2 ]
1
p = [C(T )2k
3
2 ]
1
2k ≤ [2C(T )]
3k
2k+1 . Оскiльки ряд
∞∑
i=0
3k
2k+1 збi-
гається, можна застосувати стандартнi iтерацiї (див., наприклад, [18, 19, 20]) i
одержати з (16) та (17) оцiнку
sup
QT
|u| ≤M0 ≡ C
(
sup
QT
|f |+ sup
Q
|u0|+ 1
)
(18)
5. Оцiнка максимуму похiдної ux.
Перепишемо рiвняння (2) у виглядi
−Dα
τ u(x, τ) + uxx(x, τ) + (g(u) + l4u− g(0)) = −f − (l4u− g(0))− ω1−α(τ)u0(x).
Помножимо дане рiвняння на p(up−1
x )x = p(p− 1)up−2
x uxx. Одержимо
Dα
τ
∫
Q
upx(x, τ)dx+ (p− 1)
∫
Q
upx(x, τ)ω1−α(τ)dx+ p(p− 1)
∫
Q
up−2
x (x, τ)u2xx(x, τ)dx+
+p
∫
Q
(g′(u(x, τ)) + l4)u
p
x(x, τ)dx ≤ pω1−α(τ)
∫
Q
|u0,x||ux(x, τ)|p−1dx+
+p(p− 1)
∫
Q
[|f(x, τ)|+ λ(l4|u(x, τ)|+ l1)] (ux(x, τ))
p−2|uxx|(x, τ)dx = R1+R2. (19)
Внаслiдок нерiвностi Юнга одержимо
R1 ≤ ω1−α(τ)
∫
Q
|u0,x|pdx+ (p− 1)ω1−α(τ)
∫
Q
|ux(x, τ)|pdx. (20)
85
М. В. Краснощок
Використовуючi послiдовно нерiвнiсть Кошi–Буяковського i нерiвнiсть Юнга,
одержимо
R2 ≤ p(p− 1)ϵ
∫
Q
(ux(x, τ))
p−2|uxx(x, τ)|2dx+
+p(p− 1)Cϵ
∫
Q
[
|F (x, τ)|2 + |u(x, τ)|2 + 1)
]
(ux(x, τ))
p−2dx ≤
≤ p(p− 1)ϵ
∫
Q
(ux(x, τ))
p−2|uxx(x, τ)|2dx+
+p(p− 1)Cϵ
∫
Q
(ux(x, τ))
pdx+ p(p− 1)Cϵ
∫
Q
[|F (x, τ)|p + |u(x, τ)|p + 1)] dx. (21)
Для оцiнки другого iнтегралу нам знадобиться нерiвнiсть типу Нiренберга–
Гальярдо (див. нерiвнiсть (2.19), роздiл II в [16]) для v = (ux)
p
2 . За допомогою
нерiвностi Юнга одержимо
∫
Q
(ux(x, τ))
pdx ≤ δ
p2
4
∫
Q
up−2
x u2xxdx+
∫
Q
upxdx
+ Cδ−
1
2
∫
Q
(
(ux(x, τ)
p
2 dx
)2
. (22)
Збираємо разом оцiнки (19)-(22) при ϵ = 1
4 . Далi помножимо отримане спiввiд-
ношення на ωα(t− τ) i проiнтегруємо по (0, t). У пiдсумку маємо∫
Q
(ux(x, t))
pdx+
3p(p− 1)
4
t∫
0
ωα(t− τ)dτ
∫
Q
(ux(x, τ))
p−2(uxx(x, τ))
2dx ≤
≤
∫
Q
(u0,x(x))
pdx+ p(p− 1)C
t∫
0
ωα(t− τ)dτ
∫
Q
[|F (x, τ)|p + |u(x, τ)|p + 1)] dx+
+δp(p− 1)C
t∫
0
ωα(t− τ)
p2
4
∫
Q
(ux(x, τ))
p−2(uxx(x, τ))
2dx+
∫
Q
(ux(x, τ))
pdx
dτ+
+δ−
1
2 p(p− 1)C
t∫
0
ωα(t− τ)
(∫
Q
(ux(x, τ)
p
2 dx
)2
dτ. (23)
Далi бачимо, що
sup
(0,T )
∫
Q
(ux(x, t))
pdx+
3p(p− 1)
4
sup
(0,T )
t∫
0
ωα(t− τ)dτ
∫
Q
(ux(x, τ))
p−2(uxx(x, τ))
2dx ≤
86
Квазiлiнiйне рiвняння дробової дифузiї
≤ p(p− 1)CT
(
|u0,x|pQ + |f |pQT + |u|pQT + 1
)
+
+δp(p− 1)
p2
4
C sup
(0,T )
t∫
0
ωα(t− τ)
∫
Q
(ux(x, τ))
p−2(uxx(x, τ))
2dxdτ+
+δp(p− 1)CT sup
(0,T )
∫
Q
(ux(x, τ))
pdx+ δ−
1
2 p(p− 1)CT sup
(0,T )
(∫
Q
(ux(x, τ)
p
2 dx
)2
. (24)
Обираємо параметр δ за умови
δCp2 ≤ 2, δp(p− 1)CT ≤ 1
2
.
Звiдси можна вважати, що δ = cp−2 для деякої сталої c. Тодi з (24) випливає
sup
(0,T )
∫
Q
(ux(x, t))
pdx ≤ p3CT
|u0,x|pQ + |f |pQT + |u|pQT + 1 + sup
(0,T )
(∫
Q
(ux(x, τ)
p
2 dx
)2 .
Неважко помiтити, що при p = 2 (див. (23)) обчислення дещо спрощуються, тому
в даному випадку маємо
sup
(0,T )
∫
Q
(ux(x, t))
2dx ≤ CT
(
|u0,x|2Q + |f |2QT + |u|2QT + 1
)
.
Знову використовучи iтерацiї, одержуємо
sup
QT
|ux| ≤ C(1 + sup
QT
|f |+ sup
Q
|u0|+ sup
Q
|ux,0|) ≡M1. (25)
6. Гельдеровiсть розв’язку за часом.
Вiзьмемо довiльнi значення x, y ∈ Q. Нехай h ∈ (0, 1) i x + h
α
2 ∈ Q. Будемо
оцiнювати рiзницю u(x, t+ h)− u(y, t).
З iнтегральної теореми про середнє випливає, що iснує значення x∗ ∈ [x, x+h
α
2 ]
таке, що
x+h
α
2∫
x
(u(z, t+ h)− u(z, t))dz = (u(x∗, t+ h)− u(x∗, t))h
α
2 .
З iншого боку
u(z, t) = u(z, 0) +
1
Γ(α)
t∫
0
(t− s)α−1Dα
∗,su(z, s)ds
87
М. В. Краснощок
i, як наслiдок, для довiльного z ∈ Q
u(z, t+ h)− u(z, t) =
1
Γ(α)
t∫
0
[
(t− s)α−1 − (t+ h− s)α−1
]
Dα
∗,su(z, s)ds+
+
1
Γ(α)
t+h∫
t
(t+ h− s)α−1Dα
∗,su(z, s)ds.
Таким чином
(u(x∗, t+ h)− u(x∗, t))h
α
2 =
x+h
α
2∫
x
(u(z, t+ h)− u(z, t))dz =
=
1
Γ(α)
t∫
0
[
(t− s)α−1 − (t+ h− s)α−1
] x+h
α
2∫
x
Dα
∗,su(z, s)dx
ds+
+
1
Γ(α)
t+h∫
t
(t+ h− s)α−1
x+h
α
2∫
x
Dα
∗,su(z, s)dx
ds. (26)
Оскiльки функцiя u задовольняє рiвняння (2), маємо∣∣∣∣∣∣∣
x+h
α
2∫
x
Dα
∗,su(z, s)dx
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
x+h
α
2∫
x
(uzz(z, s)− g(u(z, s)) + f(z, s))dx
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 2M1 + sup
QT
|f |+ l1(1 +M r
0 ). (27)
З оцiнок (26), (27) i Леми 3.3 [21] випливає
|(u(x∗, t+ h)− u(x∗, t))h
α
2 | ≤ C(2M1 + sup
QT
|f |+ l1(1 +M r
0 ))h
α,
i, пiсля скорочення на h
α
2 ,
|(u(x∗, t+ h)− u(x∗, t)| ≤ C(2M1 + ∥k∥L1(Q)2M1 + sup
QT
|f |+ l1(1 +M r
0 ))h
α
2 = Nh
α
2
Перейдемо до оцiнки гельдеровостi розв’язку
|u(x, t+h)−u(y, t)| ≤ |u(x, t+h)−u(x∗, t+h)|+|u(x∗, t+h)−u(x∗, t)|+|u(x∗, t)−u(y, t)| ≤
≤M1|x− x∗|+Nh
α
2 +M1|x∗ − y|.
88
Квазiлiнiйне рiвняння дробової дифузiї
Розглянемо три можливостi: а) y ≥ x∗, тодi |y − x∗| ≤ |y − x|; б) x ≤ y < x∗,
тодi |y − x∗| < h
α
2 ; в) y < x, тодi |y − x∗| ≤ |x − y| + h
α
2 . Пiдсумовуючi наведенi
вище мiркування, бачимо, що
|u(x, t+ h)− u(y, t)| ≤ 2M1(|x− y|+ h
α
2 ) +Nh
α
2 ≤ (2M1 +N)(|x− y|+ h
α
2 ). (28)
7. Доведення Теореми 1.
Визначимо простiр B
B = {w ∈ Cθα(QT ) : w(x, 0) = 0, при x ∈ Σ}.
Для довiльної функцiї w ∈ B визначимо u як єдиний розв’язок задачi (див.
Теорему 1)
Dα
∗,tu(x, t)− uxx(x, t) + σg(w) = σf(x, t), QT , (29)
u(x, 0) = σu0(x), x ∈ Q, u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ΣT . (30)
Неважко переконатися в тому, що умови сумiсностi задач (2)–(3) та (29)–(30) спiв-
падають. Таким чином (див. Теорему 2) визначено оператор T : w → u.
У свою чергу, рiвняння u = σT u еквiвалентно наступнiй задачi
Dα
∗,tu(x, t)− uxx(x, t) + σg(u) = σf(x, t), QT , (31)
u(x, 0) = σu0(x), x ∈ Q, u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ΣT . (32)
Далi, з теореми Арцела–Асколi випливає, що множина
KR = {u ∈}C2+θ
α (QT ) : |u|(2+θ)α,QT
≤ R}
є компактом в просторах Cθα(QT ) i C2
α(QT ), де
C2
α(QT ) = {u : |u|QT + |ux|QT + |uxx|QT + |Dα
∗,tu|QT <∞}.
Таким чином, оператор T є компактним i неперервним вiдображенням банахо-
ва простора B в себе. З нерiвностей (18), (25), (28) бачимо, що iнує стала M така,
що для всiх u ∈ B i σ ∈ [0, 1], якi задовольняють рiвняння u = σT u, справедлива
нерiвнiсть
∥u∥B < M.
Як наслiдок Теореми Лере–Шаудера (див. Теорему 11.3 в [22] ) маємо, що вiдобра-
ження T має нерухому точку, отже iснує принаймнi один розв’язок задачi (2)–(3).
Якщо u1, u2 — два розв’язки задачi (2)–(3), тодi v = u1 − u2 задовольняє
спiввiдношення
Dα
∗,τv(x, τ)− vxx(x, τ) + (g(u1) + l4u1 − (g(u2) + l4u2))(x, τ) = l4v(x, τ), QT , (33)
v(x, 0) = 0, x ∈ Q, v(x, t) = 0, (x, t) ∈ ΣT . (34)
89
М. В. Краснощок
Помножимо рiвняння (33) на ωα(t − τ)v(x, τ) i проiнтегруємо по областi Qt за
змiнними x, τ . З урахуванням (7), (8) та припущення (4), одержуємо
∫
Q
v2(x, t)dx ≤ l4
t∫
0
ωα(t− τ)dτ
∫
Q
v2(x, τ)dx.
З Леми Гронуола (див. Лему 6.19 в [17]) випливає, що v(x, t) = 0 в QT . Теорему 1
доведено.
1. Hilfer R. Applications of fractional analysis in physics. – World Scientific: Singapore, New Jersy,
London, Hong Kong, 2000. – 560 p.
2. Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного поряд-
ка. – Москва–Ижевск: Ижевский институт компьютерных технологий. – 2011.
3. Langlands T. A. M., Henry B. I. Fractional chemotaxis diffusion equation // Phys. Rev. E. –
2010. – V. 81. – P. 051102.
4. Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in
the description of anomalous transport by fractional dynamics // J. Phys. A. – 2004. – V. 37. –
P. 161–208.
5. Weiss M., Hashimoto H., Nilsson T. Anmalous protein diffusion in living cells as seen by fluorescence
correlation spectroscopy // Biophys. J. – 2003. – V. 84. – P. 4043–4052.
6. Eidelman S. D., Kochubei A. N. Cauchy problem for fractional diffusion equations // Journal of
differential equations. – 2004. – V. 199. – P. 211–255.
7. Kemppainen J., Ruotsalainen K. Boundary Integral Solution of the Time-Fractional Diffusion
Equation // Integr. equ. oper. theory. – 2009. – V. 64. – P. 239—249.
8. Clément Ph., Londen S.-O., Simonett G. Quasilinear evolutionary equations and continuous inter-
polation spaces // Journal of differential equations. – 2004. – V. 196. – P. 418–447.
9. Kochubei A. N. Fractional parabolic systems // Potential analysis. – 2012. – V. 37. – P. 1–30.
10. Krasnoschok M., Vasylyieva N. On a solvability of nonlinear fractional reaction-diffusion system
in the Hölder spaces // Nonlinear Studies. – 2013. – V. 20. – P. 591–621.
11. Mophou G. M., N’Guérékata G. M. On a class of fractional differential equations in a Sobolev
space // Applicable Analysis. – 2012. – V. 91. – P. 15—34.
12. Псху А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка
// Изв. РАН. Сер. матем. – 2009. – Т. 73:2. – С. 141—182.
13. Zacher R. Quasilinear parabolic problems with nonlinear boundary conditions. Ph. D. Thesis,
Martin-Luther-Universität, Halle-Wittenberg. – 2003.
14. Лопушанская Г. П., Лопушанский А. О., Пасичник Е. В. Задача Коши для уравнений с
дробной производной по времени в пространстве обобщенных функций // Сиб. матем. журн.
– 2011. – Т. 52. – С. 1288—1299 .
15. Sakamoto K., Yamamoto M. Initial value boundary value problems for fractional diffusion-wave
equations and applications to some inverse problems // J. Math. Anal. Appl. – 2011. – V. 382. –
P. 426–447.
16. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные урав-
нения параболического типа. – М.: Наука, 1967.
17. Diethelm K. The analysis of fractional differential equations. – Springer: Berlin, 2010. – 310 p.
18. Alikakos N. An Application of the Invariance Principle to Reaction-Diffusion Equations // Journal
of Differential Equations. – 1979. – V. 33. – P. 201–225.
19. Rothe F. Uniform Bounds from Bounded-Functionals in Reaction-Diffusion Equations // Journal
of Differential Equations. – 1982. – V. 45. – P. 207–233.
20. Yin H.-M. The classical solutions for nonlinear parabolic integrodifferential equations // Journal
of Integral Equations and Applications. – 1988. – V. 1. – P. 249–263.
90
Квазiлiнiйне рiвняння дробової дифузiї
21. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и
некоторые их приложения. – Наука и техника: Минск, 1987. – 688 с.
22. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические уравнения второго порядка. – М.: Наука, 1989. –
465 с.
M. V. Krasnoschok
On a first initial-boundary problem for an one-dimensional quasilinear fractional diffusion
equation.
We prove the existence and the uniqueness of a classical solution to the first initial-boundary problem
to quasilinear fractional diffusion equation.
Keywords: Höolder space, fractional derivetive, fixed point.
Н. В. Краснощек
Первая начально-краевая задача для одномерного квазилинейного уравнения дроб-
ной диффузии.
Доказано существование и единственность классического решения первой начально-краевой за-
дачи для квазилинейного уравнения дробной диффузии.
Ключевые слова: пространство Гельдера, дробная производная, неподвижная точка.
Iн-т прикл. математики i механiки НАН України, Слов’янск
iamm012@ukr.net
Отримано 20.12.16
91
|