Наближення класів функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра
Отримано асимптотичні рівності для точних верхніх меж відхилень прямокутних сум Фейера на класах періодичних функцій двох змінних високої гладкості. Основним методом досліджень є вивчення інтегральних уявлень відхилень тригонометричних поліномів на класах періодичних функцій....
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140860 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Наближення класiв функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра / О.О. Новіков, О.Г. Ровенська // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 92-99. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140860 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1408602018-07-18T01:23:22Z Наближення класів функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра Новіков, О.О. Ровенська, О.Г. Отримано асимптотичні рівності для точних верхніх меж відхилень прямокутних сум Фейера на класах періодичних функцій двох змінних високої гладкості. Основним методом досліджень є вивчення інтегральних уявлень відхилень тригонометричних поліномів на класах періодичних функцій. Получены асимптотические равенства для верхних граней уклонений прямоугольных сумм Фейера на классах периодических функций двух переменных высокой гладкости. Основным методом исследований является изучение интегральных представлений уклонений тригонометрических полиномов на классах периодических функций. We obtain asymptotic equalities for upper bounds of the deviations of the rectangular Fejer sums taken over classes of periodic functions of two variables of hight smoothness. The main method of research is the study of integral representations of deviations of trigonometric polynomials on the classes of periodic functions. 2016 Article Наближення класiв функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра / О.О. Новіков, О.Г. Ровенська // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 92-99. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140860 517.5 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано асимптотичні рівності для точних верхніх меж відхилень прямокутних сум Фейера на класах періодичних функцій двох змінних високої гладкості. Основним методом досліджень є вивчення інтегральних уявлень відхилень тригонометричних поліномів на класах періодичних функцій. |
| format |
Article |
| author |
Новіков, О.О. Ровенська, О.Г. |
| spellingShingle |
Новіков, О.О. Ровенська, О.Г. Наближення класів функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Новіков, О.О. Ровенська, О.Г. |
| author_sort |
Новіков, О.О. |
| title |
Наближення класів функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра |
| title_short |
Наближення класів функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра |
| title_full |
Наближення класів функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра |
| title_fullStr |
Наближення класів функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра |
| title_full_unstemmed |
Наближення класів функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра |
| title_sort |
наближення класів функцій високої гладкості прямокутними сумами фейєра |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140860 |
| citation_txt |
Наближення класiв функцій високої гладкості прямокутними сумами Фейєра / О.О. Новіков, О.Г. Ровенська // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 92-99. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT novíkovoo nabližennâklasívfunkcíjvisokoígladkostíprâmokutnimisumamifejêra AT rovensʹkaog nabližennâklasívfunkcíjvisokoígladkostíprâmokutnimisumamifejêra |
| first_indexed |
2025-07-10T11:25:10Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:25:10Z |
| _version_ |
1837258993641193472 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30
UDK 517.5
c⃝2016. О. О. Новiков, О. Г. Ровенська
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ ВИСОКОЇ ГЛАДКОСТI
ПРЯМОКУТНИМИ СУМАМИ ФЕЙЄРА
Отримано асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж вiдхилень прямокутних сум Фейера
на класах перiодичних функцiй двох змiнних високої гладкостi. Основним методом дослiджень
є вивчення iнтегральних уявлень вiдхилень тригонометричних полiномiв на класах перiодичних
функцiй.
Ключовi слова: асимптотична рiвнiсть, узагальнена похiдна, прямокутнi суми Фейєра.
Вступ.
Роботу присвячено питанням наближення тригонометричними полiномами кла-
сiв перiодичних функцiй двох змiнних, якi задаються як аналоги класiв iнтегралiв
Пуасона функцiй однiєї змiнної. Вивчено верхнi гранi по цим класам вiдхилень
прямокутних сум Фейєра.
Класи перiодичних функцiй двох змiнних, якi дозволяють окремо враховувати
властивостi звичайних i мiшаних частинних похiдних їх елементiв, визначимо в
такий спосiб (див., напр., [1–4]).
Нехай R2 — евклiдiв простiр з елементами x⃗ = (x1, x2), T
2 = [−π;π] × [−π;π]
— квадрат зi стороною 2π,
N2 =
{
x⃗ ∈ R2 | xi ∈ N, i = 1; 2
}
,
N2
∗ =
{
x⃗ ∈ R2 | xi ∈ N∗ = N ∪ {0}, i = 1; 2
}
,
N2
i =
{
x⃗ ∈ R2 | xi ∈ N, xj ∈ N∗, i ̸= j
}
,
E2 =
{
x⃗ ∈ R2 | xi ∈ {0; 1}, i = 1; 2
}
.
Через L(T 2) позначимо множину 2π-перiодичних за кожною зi змiнних та су-
мовних на квадратi T 2 функцiй f(x⃗) = f(x1, x2).
Нехай f ∈ L(T 2). Кожнiй парi точок s⃗ ∈ E2, k⃗ ∈ N2
∗ поставимо у вiдповiднiсть
величину
as⃗
k⃗
(f) =
1
π2
∫
T 2
f(x1, x2) cos
(
k1x1 −
s1π
2
)
cos
(
k2x2 −
s2π
2
)
dx1dx2.
Величини as⃗
k⃗
(f), s⃗ ∈ E2, k⃗ ∈ N2
∗ є коефiцiєнтами Фур’є функцiї f(x⃗) [4].
Кожнiй точцi k⃗ ∈ N2
∗ поставимо у вiдповiднiсть гармонiку
A
k⃗
(f ; x⃗) =
∑
s⃗∈E2
as⃗
k⃗
(f) cos
(
k1x1 −
s1π
2
)
cos
(
k2x2 −
s2π
2
)
,
92
Наближення класiв функцiй високої гладкостi прямокутними сумами Фейєра
а також величини
Ae⃗1
k⃗
(f ; x⃗) =
∑
s⃗∈E2
as⃗
k⃗
(f) cos
(
k1x1 − (s1 + 1)
π
2
)
cos
(
k2x2 −
s2π
2
)
,
Ae⃗2
k⃗
(f ; x⃗) =
∑
s⃗∈E2
as⃗
k⃗
(f) cos
(
k1x1 −
s1π
2
)
cos
(
k2x2 − (s2 + 1)
π
2
)
,
що є гармонiками, спряженими до A
k⃗
(f ; x⃗) за змiнними x1 i x2 вiдповiдно.
Наслiдуючи [4], ряд Фур’є функцiї f(x⃗) визначимо таким спiввiдношенням
S[f ] =
∑
k⃗∈N2
∗
2−q(k⃗)A
k⃗
(f ; x⃗),
де q(k⃗) — кiлькiсть нульових координат точки k⃗.
Нехай f ∈ L(T 2) i ψij(k), Ψij(k), i = 1; 2, j = 1; 2 — фiксованi набори систем
чисел, k ∈ N∗.
Покладемо
ψi(k) =
√
ψ2
i1(k) + ψ2
i2(k), Ψi(k) =
√
Ψ2
i1(k) + Ψ2
i2(k)
i будемо вважати, що виконано умови: ψi(k) ̸= 0, Ψi(k) ̸= 0, k ∈ N∗, ψi1(0) = 1,
Ψi1(0) = 1, ψi2(0) = 0, Ψi2(0) = 0, i = 1; 2.
Вiдтак, припустимо, що вираз∑
k⃗∈N2
i
1
2q(k⃗)ψ
2
i (ki)
[ψi1(ki)Ak⃗(f ; x⃗)− ψi2(ki)A
e⃗i
k⃗
(f ; x⃗)]
є рядом Фур’є деякої функцiї з L(T 2). Позначимо її fψi(x⃗) = ∂ψif(x⃗)
∂xi
та назвемо
ψi-похiдною функцiї f(x⃗) за змiнною xi, i = 1; 2.
Мiшаною Ψ-похiдною за змiнними xi, i = 1; 2, за аналогiєю до означення зви-
чайної мiшаної похiдної, будемо називати функцiю fΨ(x⃗), яка задається спiввiд-
ношенням
fΨ(x⃗) =
∂Ψ2
∂x2
(
∂Ψ1f(x⃗)
∂x1
)
.
Для заданого набору функцiй ψij , Ψij , i = 1; 2, j = 1; 2, символом C2ψ
∞ позна-
чимо множину неперервних функцiй f ∈ L(T 2), що мають майже скрiзь обмеженi
в розумiннi плоскої мiри Ψ- i ψi-похiднi
ess sup |fΨ(x⃗)| ≤ 1, ess sup |fψi(x⃗)| ≤ 1, i = 1; 2, x⃗ ∈ T 2.
Якщо для наборiв функцiй ψij(k) i Ψij(k), i = 1; 2, j = 1; 2, що визначають
класи C2ψ
∞ , iснують функцiї ψi(k), Ψi(k) i числа βi, β∗i ∈ R, i = 1; 2, такi, що
ψi1(k) = ψi(k) cos
βiπ
2
, ψi2(k) = ψi(k) sin
βiπ
2
,
93
О. О. Новiков, О. Г. Ровенська
Ψi1(k) = Ψi(k) cos
β∗i π
2
, Ψi2(k) = Ψi(k) sin
β∗i π
2
,
то C2ψ
∞ є класами (ψ, β)-диференцiйовних функцiй, якi було введено в роботi [3].
Будемо позначати такi класи C2ψ
β,∞. Нехай послiдовностi, якi визначають клас, за-
даються спiввiдношеннями ψi(k) = qki , qi ∈ (0; 1), Ψi(k) = Qki , Qi ∈ (0; 1), i = 1; 2.
У цьому випадку класи C2ψ
∞ будемо позначати C2q
β,∞ i вiдповiдно fψi(x⃗) ≡ f qiβi(x⃗),
i = 1; 2, fΨ(x⃗) ≡ fQβ∗(x⃗). Класи функцiй однiєї змiнної Cqβ,∞, якi визначають-
ся аналогiчним чином, складаються з 2π-перiодичних функцiй, якi дозволяють
аналiтичне подовження до функцiй f(z) = f(x+ iy), регулярних у смузi |y| < ln 1
q
(див., напр., [2]), i називаються iнтегралами Пуассона.
Iз результатiв роботи С. М. Нiкольського [5] випливає асимптотична рiвнiсть
для точних верхнiх меж вiдхилень сум Фур’є Sn(f ;x) на класах Cqβ,∞
E(Cqβ,∞;Sn) ≡ sup
f∈Cqβ,∞
||f(x)− Sn(f ;x)||C =
8qn
π2
K(q) +O(1)
qn
n
,
де
K(q) =
π/2∫
0
dt√
1− q2 sin2 t
— повний елiптичний iнтеграл першого роду, O(1) — величина, рiвномiрно обме-
жена щодо n. С. Б. Стєчкiн [6] цей результат довiв iншим методом, який дозволив
уточнити залишковий член останньої рiвностi
E(Cqβ,∞;Sn) =
8qn
π2
K(q) +O(1)
qn
n(1− q)
.
Розв’язки подiбної екстремальної задачi для класiв Cqβ,∞ i сум Валле Пуссе-
на Vn,p(f ;x) знайденi у роботах [7–8]. У роботi [7] доведена така асимптотична
формула якщо n− p→ ∞ при n→ ∞
E(Cqβ,∞;Vn,p) ≡ sup
f∈Cqβ,∞
||f(x)− Vn,p(f ;x)||C =
=
qn−p+1
p
(
4
π2
Kp,q +O(1)
q
(n− p+ 1)(1− q)s
)
,
де
Kp,q =
π∫
0
√
1− 2qp cos pt+ q2p
1− 2q cos pt+ q2
dt, s = s(p) =
{
1, p = 1,
3, p = 2, 3, ...,
O(1) — величина, рiвномiрно обмежена щодо n, p, q.
94
Наближення класiв функцiй високої гладкостi прямокутними сумами Фейєра
Асимптотичну формулу для точних верхнiх меж вiдхилень сум Фейера σn(f ;x)
на класах Cqβ,∞ у випадку β = 1 отримано в роботi [9]:
E(Cq1,∞;σn) ≡ sup
f∈Cq1,∞
||f(x)− σn(f ;x)||C =
2
πn
(
2q
1− q2
+ ln
1 + q
1− q
)
+O(1)
qn
n(1− q)3
,
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена щодо n, q.
У роботi [10] розглянуто питання наближення класiв функцiй двох змiнних
C2q
β,∞ прямокутними сумами Фур’є Sn⃗(f ; x⃗) i отримано асимптотичну формулу
E(C2q
β,∞;Sn⃗) ≡ sup
f∈C2q
β,∞
||f(x⃗)− Sn⃗(f ; x⃗)||C =
=
8qn1
1
π2
K(q1) +
8qn2
2
π2
K(q2) +O(1)
(
qn1
1
n1
+
qn2
2
n2
+Qn1
1 Q
n2
2
)
, ni → ∞, i = 1; 2.
У роботi [11] дослiджено аппроксимативнi властивостi прямокутних сум Валле
Пуссена на класах C2q
β,∞. Крiм того, деякi сумiжнi питання вивчено в роботах [12,
13].
У данiй роботi дослiджено асимптотичну поведiнку величини
E(C2q
1,∞;σn⃗) ≡ sup
f∈C2q
1,∞
||f(x)− σn⃗(f ; x⃗)||C ,
за умови ni → ∞, i = 1; 2, де
σn⃗(f ; x⃗) ≡
1
n1n2
∑
i=1;2
ni−1∑
ki=0
Sn⃗(f ; x⃗)
— прямокутнi суми Фейєра функцiї f ∈ L(T 2).
Результати.
Основний результат полягає у такому твердженнi.
Теорема. Нехай qi, Qi ∈ (0; 1), βi = β∗i = 1, i = 1; 2. Тодi за умови ni → ∞,
i = 1; 2 виконується асимптотична рiвнiсть
E(C2q
1,∞σn⃗) =
2
π
∑
i=1;2
1
ni
(
2qi
1− q2i
+ ln
1 + qi
1− qi
)
+
+O(1)
( ∑
i=1;2
qnii
ni(1− qi)3
+
∏
j=1;2
1
nj(1−Qj)3
)
, (1)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена щодо ni, qi, Qi, i = 1; 2.
Доведення. Розглянемо величину
δn⃗(f ; x⃗) ≡ f(x)− σn⃗(f ; x⃗) =
1
n1n2
n1−1∑
k1=0
n2−1∑
k2=0
ρ
k⃗
(f ; x⃗),
95
О. О. Новiков, О. Г. Ровенська
де
ρ
k⃗
(f ; x⃗) ≡ f(x⃗)− S
k⃗
(f ; x⃗).
Використовуючи мiркування роботи [11] можна показати, що для f ∈ C2q
β,∞ у
кожнiй точцi x⃗ ∈ T 2 виконується рiвнiсть
δn⃗(f ; x⃗) =
1
π
∑
i=1;2
1
ni
π∫
−π
f qiβi(x⃗+ tie⃗i)
ni−1∑
ki=0
∞∑
si=ki
qsii cos(siti +
βiπ
2
)dti−
− 1
π2n1n2
∫
T 2
fQβ∗(x⃗+
∑
j=1;2
tj e⃗j)
∏
j=1;2
nj−1∑
kj=0
∞∑
sj=kj
Q
sj
j cos(sjtj +
β∗j π
2
)dtj .
Враховуючи, що
π∫
−π
dt
(1− 2q cos t+ q2)2
= O(1)
1
(1− q)3
та виконуючи елементарнi перетворення (див. [9]), для βi = β∗i = 1, i = 1; 2 отри-
муємо
δn⃗(f ; x⃗) =
1
π
∑
i=1;2
1
ni
π∫
−π
f qi1 (x⃗+ tie⃗i)
q2i sin 2ti − 2qi sin ti
(1− 2qi cos ti + q2i )
2
dti +O(1)
∑
i=1;2
qnii
ni(1− qi)3
+
+
O(1)
n1n2
∫
T 2
∏
j=1;2
(
Q2
j sin 2tj − 2Qj sin tj
(1− 2Qj cos tj +Q2
j )
2
+
Q
nj
j
(1−Qj)3
)
dtj .
В роботi [9] показано, що
π∫
0
2q sin t− q2 sin 2t
(1− 2q cos t+ q2)2
dt =
2q
1− q2
+ ln
1 + q
1− q
= O(1)
1
1− q
. (2)
Застосовуючи останню оцiнку, маємо
δn⃗(f ; x⃗) =
1
π
∑
i=1;2
1
ni
π∫
−π
f qi1 (x⃗i + tie⃗i)
q2i sin 2ti − 2qi sin ti
(1− 2qi cos ti + q2i )
2
dti+
+O(1)
( ∑
i=1;2
qnii
ni(1− qi)3
+
∏
j=1;2
1
nj(1−Qj)3
)
. (3)
96
Наближення класiв функцiй високої гладкостi прямокутними сумами Фейєра
Знайдемо функцiю f0(x⃗) ∈ C2q
1,∞, для якої виконується спiввiдношення
δn⃗(f0; 0⃗) =
1
π
∑
i=1;2
1
ni
π∫
−π
|q2i sin 2ti − 2qi sin ti|
(1− 2qi cos ti + q2i )
2
dti+
+O(1)
( ∑
i=1;2
qnii
ni(1− qi)3
+
∏
j=1;2
1
nj(1−Qj)3
)
. (4)
На пiдставi (3) для будь-якої функцiї f(x⃗) ∈ C2q
1,∞ можемо записати
δn⃗(f ; 0⃗) =
1
π
∑
i=1;2
1
ni
π∫
−π
f qi1 (⃗0 + tie⃗i)
q2i sin 2ti − 2qi sin ti
(1− 2qi cos ti + q2i )
2
dti+
+O(1)
( ∑
i=1;2
qnii
ni(1− qi)3
+
∏
j=1;2
1
nj(1−Qj)3
)
. (5)
Позначимо
yi(t) = sign(q2i sin 2t− 2qi sin t), i = 1; 2.
Маючи на увазi, що для функцiй yi(t) виконуються умови
π∫
−π
yi(ti)dti = 0, ess sup |yi(ti)| ≤ 1, i = 1; 2, t ∈ [−π;π],
побудуємо функцiї φi(t1, t2) = yi(ti), (t1, t2) ∈ T 2, i функцiї fi(t1, t2) такi, що
(fi)
qi
1 (t1, t2) = φi(t1, t2). Використовуючи мiркування роботи [10], можна показа-
ти, що функцiя f0(t1, t2) = f1(t1, t2) + f1(t1, t2) задовольняє умовi
(f0)
qi
1 (t1, t2) = φi(t1, t2), i = 1; 2.
Оскiльки f0(x⃗) ∈ C2q
1,∞ i
π∫
−π
f qi1 (⃗0 + tie⃗i)
q2i sin 2ti − 2qi sin ti
(1− 2qi cos ti + q2i )
2
dti =
π∫
−π
|q2i sin 2ti − 2qi sin ti|
(1− 2qi cos ti + q2i )
2
dti,
то для функцiї f0(x⃗) виконується спiввiдношення (4). Враховуючи, що
ess sup |f qi1 (x⃗)| ≤ 1, i = 1; 2, x⃗ ∈ T 2,
отримуємо нерiвнiсть
E(C2q
1,∞;σn⃗) ≤
1
π
∑
i=1;2
1
ni
π∫
−π
|q2i sin 2ti − 2qi sin ti|
(1− 2qi cos ti + q2i )
2
dti+
97
О. О. Новiков, О. Г. Ровенська
+O(1)
( ∑
i=1;2
qnii
ni(1− qi)3
+
∏
j=1;2
1
nj(1−Qj)3
)
. (6)
Порiвнюючи (4) i (6), можна записати
E(C2q
1,∞;σn⃗) =
2
π
∑
i=1;2
1
ni
π∫
0
2qi sin ti − q2i sin 2ti
(1− 2qi cos ti + q2i )
2
dti+
+O(1)
( ∑
i=1;2
qnii
ni(1− qi)3
+
∏
j=1;2
1
nj(1−Qj)3
)
. (7)
Поєднуючи спiввiдношення (2) i (7), здобудемо твердження теореми. 2
1. Степанец А. И. Скорость сходимости рядов Фурье на классах ψ-интегралов // Укр. мат.
журн. — 1997. — T. 49, № 8. — С. 1069–1113.
2. Степанец А. И. Решение задачи Колмогорова-Никольского для интегралов Пуассона непре-
рывных функций // Мат. сборник. — 2001. — Т. 192, № 1. — С. 113–138.
3. Задерей П. В. Интегральные представления уклонений линейных средних рядов Фурье на
классах дифференцируемых периодических функций двух переменных // Некоторые во-
просы теории аппроксимации функций : Сб. научн. тр. — К. : Ин-т математики, 1985. —
C. 16–28.
4. Степанец А. И., Пачулиа Н. Л. Кратные суммы Фурье на множествах (ψ, β)-дифференцируемых
функций // Укр. мат. журн. — 1991. — T. 43, № 4. — C. 545–555.
5. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем //
Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1946. — Т. 10, № 3. — С. 207–256.
6. Стечкин С. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. Мат.
ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. — 1980. — Т. 145. — С. 126–151.
7. Сердюк А. С. Наближення iнтегралiв Пуасона сумами Валле Пуссена // Укр. мат. журн. —
2004. — Т. 56, № 1. — С. 97–107.
8. Рукасов В. I., Чайченко С. О. Наближення аналiтичних перiодичних функцiй сумами Валле
Пуссена // Укр. мат. журн. — 2002. — Т. 54, № 12. — С. 1653–1668.
9. Новиков О. А., Ровенская О. Г. Приближение классов интегралов Пуассона суммами Фейе-
ра // Компьютерные исследования и моделирование. — 2015. — Т. 7, № 4 — С. 813–820.
10. Рукасов В. И., Новиков О. А., Бодрая В. И. Приближение классов функций двух перемен-
ных высокой гладкости прямоугольными линейными средними их рядов Фурье // Теорiя
наближення функцiй та сумiжнi питання : Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
2007. — T. 4, № 1. — С. 270–283.
11. Рукасов В. И., Новиков О. А., Ровенская О. Г. Приближение функций двух переменных с
высокой гладкостью прямоугольными суммами Валле Пуссена // Теорiя наближення функ-
цiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2008. — T. 5, № 1. —
С. 286–296.
12. Новiков О. О., Ровенська О. Г. Наближення перiодичних функцiй високої гладкостi пря-
мокутними сумами Фур’є // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2013. — Т. 5, № 1. —
C. 111–118.
13. Новиков О. А., Ровенская О. Г. Приближение периодических функций высокой гладкости
прямоугольными методами // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3,
№ 3. — С. 255–264.
98
Наближення класiв функцiй високої гладкостi прямокутними сумами Фейєра
Approximation of classes of functions of hight smoothness by rectangular Fejer sums.
We obtain asymptotic equalities for upper bounds of the deviations of the rectangular Fejer sums taken
over classes of periodic functions of two variables of hight smoothness. The main method of research
is the study of integral representations of deviations of trigonometric polynomials on the classes of
periodic functions.
Keywords: asymptotic equality, generalized derivative, rectangular Fejer sums.
Приближение классов функций высокой гладкости прямоугольными суммами
Фейера.
Получены асимптотические равенства для верхних граней уклонений прямоугольных сумм Фейе-
ра на классах периодических функций двух переменных высокой гладкости. Основным методом
исследований является изучение интегральных представлений уклонений тригонометрических
полиномов на классах периодических функций.
Ключевые слова: асимптотическое равенство, обобщенная производная, прямоугольные сум-
мы Фейера.
Донбаський державний педагогiчний унiверситет
Донбаська державна машинобудiвна академiя
sgpi@slav.dn.ua
o.rovenskaya@mail.ru
Отримано 27.04.16
99
|