Задача о тени для областей на плоскости
В работе исследуется задача о тени, обобщенная на области пространства R². Под задачей о тени в Rⁿ подразумевается нахождение минимального количества шаров, удовлетворяющих некоторым условиям, и таких, что каждая прямая, проходящая через заданную точку, пересечет хотя бы один шар из набора. Доказано...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140861 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача о тени для областей на плоскости / Т.М. Осипчук // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 100-105. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140861 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1408612018-07-18T01:23:23Z Задача о тени для областей на плоскости Осипчук, Т.М. В работе исследуется задача о тени, обобщенная на области пространства R². Под задачей о тени в Rⁿ подразумевается нахождение минимального количества шаров, удовлетворяющих некоторым условиям, и таких, что каждая прямая, проходящая через заданную точку, пересечет хотя бы один шар из набора. Доказано, что для того, чтобы создать тень в каждой фиксированной точке произвольной области на плоскости набором замкнутых или открытых не пересекающихся кругов, которые не содержат заданную точку и с центрами на границе области, необходимо и достаточно двух таких кругов. У роботі досліджується задача про тінь, узагальнена на області простору R². Під задачею про тінь в Rⁿ тут мається на увазі знаходження мінімального числа куль, що задовільняють деяким умовам, і таких, що кожна пряма, що проходить через дану точку, перетне принаймні одну кулю з набору. Доведено, що для того, щоб створити тінь в кожній фіксованій точці довільної області на площині набором замкнених або відкрити кругів, які не перетинаються, не містять дану точку та з центрами на межі області, необхідно та достатньо двох таких кругів. іn the present work, the problem about shadow, generalized on domains of space R² is investigated. Here the shadow problem in Rⁿ means to find the minimal number of balls satisfying some conditions an such that every line passing through the given point intersects at least one ball of the collection. it is proved that to generate the shadow at every given point of any domain of the plane with collection of mutually non-overlapping closed or open circles which do not hold the point and with centers on the boundary of the domain, it is necessary and sufficient to have two circles. 2016 Article Задача о тени для областей на плоскости / Т.М. Осипчук // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 100-105. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140861 513.83, 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе исследуется задача о тени, обобщенная на области пространства R². Под задачей о тени в Rⁿ подразумевается нахождение минимального количества шаров, удовлетворяющих некоторым условиям, и таких, что каждая прямая, проходящая через заданную точку, пересечет хотя бы один шар из набора. Доказано, что для того, чтобы создать тень в каждой фиксированной точке произвольной области на плоскости набором замкнутых или открытых не пересекающихся кругов, которые не содержат заданную точку и с центрами на границе области, необходимо и достаточно двух таких кругов. |
| format |
Article |
| author |
Осипчук, Т.М. |
| spellingShingle |
Осипчук, Т.М. Задача о тени для областей на плоскости Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Осипчук, Т.М. |
| author_sort |
Осипчук, Т.М. |
| title |
Задача о тени для областей на плоскости |
| title_short |
Задача о тени для областей на плоскости |
| title_full |
Задача о тени для областей на плоскости |
| title_fullStr |
Задача о тени для областей на плоскости |
| title_full_unstemmed |
Задача о тени для областей на плоскости |
| title_sort |
задача о тени для областей на плоскости |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140861 |
| citation_txt |
Задача о тени для областей на плоскости / Т.М. Осипчук // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 100-105. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT osipčuktm zadačaotenidlâoblastejnaploskosti |
| first_indexed |
2025-07-10T11:25:18Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:25:18Z |
| _version_ |
1837259001780240384 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30
УДК 513.83, 517.5
c⃝2016. Т. М. Осипчук
ЗАДАЧА О ТЕНИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ НА ПЛОСКОСТИ
В работе исследуется задача о тени, обобщенная на области пространства R2. Под задачей о тени
в Rn подразумевается нахождение минимального количества шаров, удовлетворяющих некото-
рым условиям, и таких, что каждая прямая, проходящая через заданную точку, пересечет хотя
бы один шар из набора. Доказано, что для того, чтобы создать тень в каждой фиксированной
точке произвольной области на плоскости набором замкнутых или открытых не пересекающихся
кругов, которые не содержат заданную точку и с центрами на границе области, необходимо и
достаточно двух таких кругов.
Ключевые слова: задача о тени, выпуклость, линейная выпуклость, круг, окружность.
1. Введение.
В 1982 году Г. Худайбергановым была поставлена задача о тени [8],которая
может быть сформулирована следующим образом: найти минимальное число за-
мкнутых (открытых) шаров в пространстве Rn, которые попарно не пересека-
ются, с центрами на сфере Sn−1 и радиусами, меньше радиуса сферы и таких,
что произвольная прямая, проходящая через центр сферы, пересекает хотя бы
один из этих шаров.
Если для m шаров это имеет место, то говорят, что m замкнутых (открытых)
шаров в пространстве Rn, которые попарно не пересекаются, с центрами на сфере
Sn−1 и радиусами, меньшими радиуса сферы создают тень в центре сферы.
Эта задача была решена Г. Худайбергановим для случая сферы при n = 2:
было показано, что для окружности на плоскости достаточно двух кругов [8]. Там
же было сделано предположение о том, что и для случая n > 2 минимальное
число таких шаров равно n. С задачей можно ознакомиться в [1, 2]. Она также ин-
тересна с точки зрения выпуклого анализа тем, что является частичным случаем
задачи о принадлежности точки обобщенно выпуклой оболочке семьи компактных
множеств [2].
В [3] Ю. Зелинский со своими учениками доказал, что для n = 3 трех ша-
ров не достаточно, вместе с тем, четыре шара уже будут создавать тень в центре
сферы. Там же доказывается, что в общем случае необходимо и достаточно n+ 1
шара. Таким образом, предположение Г. Худайберганова оказалось ошибочным.
В [3] также предложен другой подход к решению задачи для n = 2, который дает
некоторые числовые оценки радиусов шаров.
В [5] задачу обобщено на произвольную точку внутренности круга для случая
n = 2. Доказано, что для того, чтобы семья попарно непересекающихся открытых
(замкнутых) кругов с центрами на окружности и радиусами, меньшими радиуса
окружности, создавала тень в каждой точке внутренности окружности, необходи-
мо и достаточно трех кругов.
100
Задача о тени для областей на плоскости
Для случая n > 2 эта задача остается открытой.
Можно изучать обобщенные задачи о тени, если вместо сферы рассматривать
другую поверхность.
В [6, 7] рассматривается вытянутый эллипсоид вращения. Доказано, что для
того, чтобы создать тень в центре вытянутого эллипсоида вращения с отношением
d большой полуоси к малой строго большим 2
√
2 семьей попарно непересекающих-
ся замкнутых (открытых) шаров с центрами на эллипсоиде и таких, что не содер-
жат его центр, необходимо и достаточно трех шаров. Для эллипсоидов с d <= 2
√
2
трех шаров не достаточно.
С некоторыми приведенными здесь и другими обобщениями задачи о тени мож-
но ознакомиться также в обзорной работе [4].
2. Основные результаты.
В данной работе задача о тени обобщена с окружности на произвольные об-
ласти пространства R2. Рассматриваются круги с центрами на границе данной
области, которые попарно не пересекаются, и такие, которые не содержат неко-
торую фиксированную точку области. Найдено минимальное число таких кру-
гов, для того, чтобы создать тень в каждой фиксированной точке данной области
пространства R2. Для доказательства теоремы используются свойства кругов из
задачи о тени для окружности, которые отражены в следующей лемме.
Лемма. Пусть заданы два замкнутых или открытых круга в пространстве
R2, которые не пересекаются, с центрами на окружности S1 и радиусами мень-
ше радиуса окружности. Тогда, каждый круг с центром за окружностью, гомо-
тетичный меньшему кругу (в случае, если круги равны — гомотетичный одному
из кругов) относительно центра окружности, не пересекает второй круг.
Доказательство. Не уменьшая общности, будем рассматривать единичную
окружность. Обозначим круги, как B1(O1, R), B2(O2, r) с радиусами R, r и цен-
трами O1, O2 соответственно и пусть
r ≤ R. (1)
Пусть расстояние между центрами кругов равно d, тогда, условие о том, что шары
не пересекаются, равносильно неравенству
r +R ≤ d. (2)
Дальше будем рассматривать угол α (рис. 1) между отрезком OO2, что соединя-
ет центры окружности и круга B2, и между лучом, который выходит из центра
окружности и касается круга B2 в точке A, а также угол φ между отрезком OO2 и
перпендикуляром к d. Случай, когда треугольник O1OO2 вырождается в отрезок
O1O2, не рассматриваем, поскольку он соответствует диаметрально противопо-
ложному размещению кругов B1, B2, для которых утверждение леммы справед-
ливо. Легко видеть, что ∠α ≤ ∠φ. Действительно, рассмотрим прямоугольные
101
Т. М. Осипчук
треугольники OAO2 и ODO2. Из них sinα = r, sinφ =
1
2
d. С неравенств (1), (2)
вытекает, что r ≤ 1
2
d, поэтому
sinα ≤ sinφ,
а значит, ∠α ≤ ∠φ.
Рис. 1.
Теперь рассмотрим любой круг Bε(E, rε) с центром за окружностью в точ-
ке E на расстоянии ε от центра круга B2, гомотетичный кругу B2 относительно
центра окружности O и радиусом rε. Покажем, что для этого круга справедливо
неравенство
rε +R ≤ dε,
где dε — расстояние между центрами кругов Bε, B1.
Сначала отметим, что из того, что rε = r + ε sinα и с (2) имеем
rε +R ≤ d+ ε sinα.
Дальше, в △O1OO2 опустим высоту O1H = h с вершины O1 на сторону OO2, тогда
∠O2O1O = φ и
HO2 = l = d sinφ.
Из △O1HO2
d2 = h2 + l2,
102
Задача о тени для областей на плоскости
а из △O1HE и двух предыдущих формул
d2ε = h2 + (l + ε)2 = d2 + ε2 + 2lε = d2 + ε2 + 2dε sinφ. (3)
Рассмотрим выражение
(d+ ε sinα)2 = d2 + ε2 sin2 α+ 2dε sinα. (4)
Из (3), (4) теперь легко видеть, что
d+ ε sinα ≤ dε,
а значит rε +R ≤ dε, что и нужно было показать. Лемму доказано. �
Несложно привести контрпример, для кругов, гомотетичных меньшему кругу
относительно центра окружности и с центрами внутри нее.
Следствие 1. Пусть задано два замкнутых или открытых круга в простран-
стве R2, попарно не пересекающихся, с центрами на окружности S1 и радиусами
меньше радиуса окружности. Тогда, каждый круг с центром внутри окружности,
гомотетичный большему кругу (в случае, если круги равны — гомотетичный од-
ному из кругов) относительно центра окружности, не пересечет второй круг.
Следствие 2. Пусть задано два замкнутых или открытых круга в простран-
стве R2, попарно не пересекающихся, с центрами на окружности S1и радиусами
меньше радиуса окружности. Тогда, каждый круг, гомотетичный меньшему кру-
гу (в случае, если круги равны — гомотетичный одному из кругов) относительно
центра окружности, с коэффициентом гомотетии k1, не пересечет каждый круг,
гомотетичный большему кругу относительно центра окружности, с коэффициен-
том гомотетии k2, если k1 ≥ k2.
Доказательство обоих следствий есть очевидным.
В [2] вводятся множества, подобные выпуклым. Они описываются следующими
двумя определениями.
Определение 1. ([2]) Множество E ⊂ Rn называется m-выпуклым относи-
тельно точки x ∈ Rn \E, если существует m-мерная плоскость L, такая что x ∈ L
и L ∩ E = ∅.
Определение 2. ([2]) Множество E ⊂ Rn называется m-выпуклым если оно
m-выпукло относительно каждой точки x ∈ Rn \ E.
Нетрудно убедиться, что каждое из определений удовлетворяет аксиоме вы-
пуклости: пересечение каждого подсемейства из семейства таких множеств также
удовлетворяет определению. Для произвольного множества E ⊂ Rn можно рас-
сматривать минимальное m-выпуклое множество, содержащее E и которое назы-
вают m-оболочкой множества E.
Тогда задачу о тени можно рассматривать как частный случай принадлежно-
сти точки 1-оболочке объединения некоторого набора шаров или других множеств.
Далее, под областью будем понимать открытое связное множество.
103
Т. М. Осипчук
Теорема. Для того, чтобы любая фиксированная точка x0 области D ⊂ R2
принадлежала 1-оболочке замкнутых (открытых) кругов, которые попарно не
пересекаются, не содержат точку x0 и с центрами на границе области D, необ-
ходимо и достаточно двух таких кругов.
Доказательство. Рассмотрим окружность S1 с центром в точке x0 максималь-
ного радиуса, такого, что его внутренность содержится в области D. Тогда, для
такой окружности, построим семью из двух замкнутых (открытых) кругов, кото-
рые попарно не пересекаются, не содержат точку x0 и с центрами на окружности
так, как это было сделано в [8], при этом, разместим центр большего круга в точке
x ∈ ∂D∩S1. Теперь, построим круг, гомотетичный меньшему, относительно точки
x0 и с центром на ∂D. Тогда, по лемме 2, этот круг не пересечет больший круг.
Очевидно, что для создания тени в точке x0 одного круга не достаточно. Теорема
доказана. �
1. Зелинский Ю. Б. Многозначные отображения в анализе. — K.: Наукова думка, 1993. — 264 с.
2. Зелинский Ю. Б. Выпуклость. Избранные главы // Працi Iнституту математики НАНУ. —
K.: Iнститут математики НАНУ. — 2012. — T. 92. — 280 с.
3. Зелинский Ю. Б., Выговская И. Ю., Стефанчук М. В. Обобщённо выпуклые множества и
задача о тени // Укр. мат. журн. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1658–1666.
4. Зелинский Ю. Б. Обобщенно выпуклые оболочки множеств и задача о тени // Укр. мат.
вiсник. — 2015. — Т. 12, № 2. — С. 278–289.
5. Зелiнський Ю. Б., Стефанчук М. В. Узагальнення задачi про тiнь // Укр. мат. журн. — 2016.
— Т.68, № 6. — С. 757 – 762.
6. Ткачук М. В., Осiпчук Т. М. Задача о тени для эллипсоида вращения // Зб. праць Iн-ту
математики НАНУ. — 2015. — T. 12, № 4. — С. 246–253.
7. Tkachuk M., Osipchuk T. On the shadow problem and its generalizations to ellipsoids // arXiv
preprint arXiv:1501.06747, 2015.
8. Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объединения шаров //
Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.02.1982 г. № 1772 – 85 Деп.
T. M. Osipchuk
On the shadow problem for domains of plane.
In the present work, the problem about shadow, generalized on domains of space R2 is investigated.
Here the shadow problem in Rn means to find the minimal number of balls satisfying some conditions
an such that every line passing through the given point intersects at least one ball of the collection. It
is proved that to generate the shadow at every given point of any domain of the plane with collection
of mutually non-overlapping closed or open circles which do not hold the point and with centers on
the boundary of the domain, it is necessary and sufficient to have two circles.
Keywords: shadow problem, convexity, linear convexity, circle, circumference.
Т. М. Осiпчук
Задача про тiнь для областей на площинi.
У роботi дослiджується задача про тiнь, узагальнена на областi простору R2. Пiд задачею про
тiнь в Rn тут мається на увазi знаходження мiнiмального числа куль, що задовiльняють деяким
104
Задача о тени для областей на плоскости
умовам, i таких, що кожна пряма, що проходить через дану точку, перетне принаймнi одну кулю
з набору. Доведено, що для того, щоб створити тiнь в кожнiй фiксованiй точцi довiльної областi
на площинi набором замкнених або вiдкрити кругiв, якi не перетинаються, не мiстять дану точку
та з центрами на межi областi, необхiдно та достатньо двох таких кругiв.
Ключовi слова: задача про тiнь, опуклiсть, лiнiйна опуклiсть, круг, коло.
Ин-т математики НАН Украины, Киев
osipchuk@imath.kiev.ua
Получено 08.12.2016
105
|