Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств
Результаты этой работы получены в хорошо известном направление геометрической теории функций комплексного переменного – экстремальным задачам на классах непересекающихся областей. Его начало положено с классической работы Лаврентьева [1], в которой, в частности, был впервые решена задача о произведе...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140864 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств / А.Л. Таргонский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 122-132. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140864 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1408642018-07-18T01:23:25Z Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств Таргонский, А.Л. Результаты этой работы получены в хорошо известном направление геометрической теории функций комплексного переменного – экстремальным задачам на классах непересекающихся областей. Его начало положено с классической работы Лаврентьева [1], в которой, в частности, был впервые решена задача о произведении конформных радиусов двух непересекающихся областей. Сейчас этот раздел геометрической теории функций комплексного переменного испытывает активное развитие. Основные классические результаты можно найти в работах [2]–[13]. Результаты этой работы усиливают некоторые результаты работы [7]. Результати цієї роботи отримані у добре відомому напряму геометричної теорії функцій комплексного змінного – екстремальним задачам на класах неперетинних областей. Його початок покладено з класичної роботи Лаврентьєва [1], у якій, зокрема, вперше розв’язана задача о добутку конформних радиусів двох неперетинних областей. Зараз цей розділ геометричної теорії функцій комплексного змінного перебуває у активному розвитку. Основні класичні результати можно знайти у роботах [2]–[13]. Результати цієї роботи посилюють деякі результати робіт [7]. Results of this work are received in the well-known direction geometrical theory of functions of the complex variable. it the direction is called – extremal problems on classes the non-overlapping domains. its beginning is necessary with classical work Lavrentyeva [1] in which, in particular, was put for the first time also the task about work of conformal radiuses of two is solved non-overlapping domains. This section geometric theory function complex variable is experienced by active development now. it is possible to examine the main classical results in works [2]–[13]. Results it was succeeded to receive the strengthening results of work [7] in this work. 2016 Article Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств / А.Л. Таргонский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 122-132. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140864 517.54 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Результаты этой работы получены в хорошо известном направление геометрической теории функций комплексного переменного – экстремальным задачам на классах непересекающихся областей. Его начало положено с классической работы Лаврентьева [1], в которой, в частности, был впервые решена задача о произведении конформных радиусов двух непересекающихся областей. Сейчас этот раздел геометрической теории функций комплексного переменного испытывает активное развитие. Основные классические результаты можно найти в работах [2]–[13]. Результаты этой работы усиливают некоторые результаты работы [7]. |
| format |
Article |
| author |
Таргонский, А.Л. |
| spellingShingle |
Таргонский, А.Л. Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Таргонский, А.Л. |
| author_sort |
Таргонский, А.Л. |
| title |
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств |
| title_short |
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств |
| title_full |
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств |
| title_fullStr |
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств |
| title_full_unstemmed |
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств |
| title_sort |
одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140864 |
| citation_txt |
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек для частично неналегающих областей и открытых множеств / А.Л. Таргонский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 122-132. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT targonskijal odnaékstremalʹnaâzadačanaravnougolʹnyhsistemahtočekdlâčastičnonenalegaûŝihoblastejiotkrytyhmnožestv |
| first_indexed |
2025-07-10T11:25:42Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:25:42Z |
| _version_ |
1837259026080989184 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30
УДК 517.54
c⃝2016. А. Л. Таргонский
ОДНА ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ЗАДАЧА НА РАВНОУГОЛЬНЫХ
СИСТЕМАХ ТОЧЕК ДЛЯ ЧАСТИЧНО НЕНАЛЕГАЮЩИХ
ОБЛАСТЕЙ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ
Результаты этой работы получены в хорошо известном направление геометрической теории функ-
ций комплексного переменного – экстремальным задачам на классах непересекающихся областей.
Его начало положено с классической работы Лаврентьева [1], в которой, в частности, был впервые
решена задача о произведении конформных радиусов двух непересекающихся областей. Сейчас
этот раздел геометрической теории функций комплексного переменного испытывает активное
развитие. Основные классические результаты можно найти в работах [2]–[13]. Результаты этой
работы усиливают некоторые результаты работы [7].
Ключевые слова: внутренний радиус области, квадратичный дифференциал, кусочно-разде-
ляющее преобразование, функция Грина, равноугольная система точек, логарифмическая ем-
кость, вариационная формула, неналегаюшие области, открытое множество, частично нена-
легаюшие области.
1. Основные определения.
Пусть N, R, C — множество натуральных, действительных и комплексных чи-
сел, соответственно, и R+ = (0,∞).
Пусть n,m ∈ N. Систему точек
An,2m−1 = {ak,p ∈ C : k = 1, n, p = 1, 2m− 1 },
будем называть (n, 2m−1)-равноугольной системой точек на лучах, если для всех
k = 1, n справедливы соотношения:
0 < |ak,1| < . . . < |ak,2m−1| <∞;
arg ak,1 = arg ak,2 = . . . = arg ak,2m−1 =
2π
n (k − 1).
(1)
Также, введем в рассмотрение следующую систему угловых областей:
Pk = {w ∈ C :
2π
n
(k − 1) < argw <
2π
n
k}, k = 1, n.
Обозначим два “управляющих”, функционала для произвольной (n, 2m − 1)-
равноугольной системы точек на лучах
M
(
A
(1)
n,2m−1
)
=
n∏
k=1
m∏
p=1
χ
(∣∣∣ak,2p−1
∣∣∣n2) · |ak,2p−1|,
The author is grateful to Prof. A. Bakhtin for suggesting problems and useful discussions. This
research is partially supported by Grant of Ministry of Education and Science of Ukraine (Project No.
0115U003027).
122
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек...
M
(
A
(2)
n,2m−1
)
=
n∏
k=1
m−1∏
p=1
χ
(∣∣∣ak,2p∣∣∣n2) · |ak,2p|,
где χ(t) = 1
2(t+
1
t ), t ∈ R+.
Пусть D, D ⊂ C – произвольное открытое множество и w = a ∈ D, тогда D(a)
обозначает связную компоненту множества D, которая содержит точку a. Для
произвольной системы точек (n, 2m − 1) и открытого множества D, An,2m−1 ⊂ D
обозначим через Dk (as,p) связную компоненту множества D (as,p)
∩
Pk, которая
содержит точку as,p, k = 1, n, s = k, k + 1, p = 1, 2m− 1, an+1,p := a1,p. Обо-
значим Dk(0) (соответственно Dk(∞)) связную компоненту множества D(0)
∩
Pk
(соответственно D(∞)
∩
Pk), содержащую точку w = 0 (соответственно w = ∞).
Будем говорить, что открытое множество D, {0,∞} ∪An,2m−1 ⊂ D удовлетво-
ряет условие неналегания относительно системы точек {0,∞} ∪An,2m−1 если:[
Dk(ak,s)
∩
Dk(ak+1,p)
]∪[
Dk(0)
∩
Dk(ak,p)
]∪[
Dk(0)
∩
Dk(∞)
]∪
∪[
Dk(∞)
∩
Dk(ak,p)
]∪[
Dk(∞)
∩
Dk(ak+1,p)
]∪[
Dk(0)
∩
Dk(ak+1,p)
]∪
∪[
Dk(ak,s)
∩
Dk(ak,u)
]∪[
Dk(ak+1,s)
∩
Dk(ak+1,u)
]
= ∅, (2)
k = 1, n, p, s, u = 1, 2m− 1, s ̸= u для всех углов Pk.
Систему областей {Bk}nk=1, k = 1, n, будем называть системой частично нена-
легающих областей, если
D :=
n∪
k=1
Bk, (3)
и открытое множество D, удовлетворяет условие неналегания (2).
Пускай r(B; a) — внутренний радиус области B ⊂ C относительно точки a ∈ B
(см. [4–7, 14]).
2. Результаты.
Предметом изучения данной работы являются следующие задачи.
Задача 1. Пусть n,m ∈ N, n ≥ 2, α, β ∈ R+. Определить максимум функцио-
нала
J = (r (D, 0) · r (D,∞))
n2α
4 ·
n∏
k=1
m∏
p=1
rβ (D, ak,2p−1) ·
n∏
k=1
m−1∏
p=1
rα (D, ak,2p) ,
где An,2m−1 – произвольная (n, 2m−1)-равноугольная система точек, удовлетворя-
ющая соотношению (1), D – произвольное открытое множество, удовлетворяющее
соотношению (2), 0,∞, ak,p ∈ D ⊂ C, и определить все экстремали (k = 1, n, p =
1, 2m− 1).
123
А. Л. Таргонский
Задача 2. Пусть n,m ∈ N, n ≥ 2, α, β ∈ R+. Определить максимум функцио-
нала
J = (r (B0, 0) · r (B∞,∞))
n2α
4 ·
n∏
k=1
m∏
p=1
rβ (Bk,2p−1, ak,2p−1) ·
n∏
k=1
m−1∏
p=1
rα (Bk,2p, ak,2p) ,
где An,2m−1 – произвольная (n, 2m − 1)-равноугольная система точек, удовлетво-
ряющая соотношению (1), {B0, Bk,p, B∞} – произвольная система частично нена-
легающих областей, 0 ∈ B0,∞ ∈ B∞, ak,p ∈ Bk,p ⊂ C, и определить все экстремали
(k = 1, n, p = 1, 2m− 1).
Теорема 1. Пусть α, β ∈ R+, n,m ∈ N, n ≥ 3. Тогда для произвольной
(n, 2m− 1)-равноугольной системы точек, удовлетворяющей условию (1), и про-
извольного открытого множества D, удовлетворяющего условию неналегания
(2) относительно системы точек {0,∞} ∪ An,2m−1, 0,∞, ak,p ∈ D ⊂ C, k = 1, n,
p = 1, 2m− 1, справедливо неравенство
(r (D, 0) · r (D,∞))
n2α
4 ·
n∏
k=1
m∏
p=1
rβ (D, ak,2p−1) ·
n∏
k=1
m−1∏
p=1
rα (D, ak,2p) ≤
≤
(n
4
)nα
·
(
1
2mn
)nm(α+β)
·
(
M
(
A
(1)
n,2m−1
))β
·
(
M
(
A
(2)
n,2m−1
))α
×
×
(
αα
|
√
α− 1||
√
α−1|2 |
√
α+ 1||
√
α+1|2
)mn
2
.
Равенство достигается в неравенстве, когда открытое множество
D =
∪
k,p
Bk,p ∪B0 ∪B∞,
точки ak,p и области B0, B∞, Bk,p являются, соответственно, полюсами и кру-
говыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −wn−2 (1 + wn)2m−2×
×
(β − α)
((
1− iw
n
2
)4m
+
(
1 + iw
n
2
)4m)
− 2(β + α) (1 + wn)2m((
1− iw
n
2
)4m
−
(
1 + iw
n
2
)4m)2 dw2. (4)
Теорема 2. Пусть α, β ∈ R+, n,m ∈ N, n ≥ 3. Тогда для произвольной
(n, 2m− 1)-равноугольной системы точек, удовлетворяющей условию (1), и про-
извольной системы частично неналегающих областей {B0, Bk,p, B∞}, удовлетво-
ряющей условию (3), ak,p ∈ Bk,p ⊂ C, k = 1, n, p = 1, 2m− 1, 0 ∈ B0 ⊂ C,
124
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек...
∞ ∈ B∞ ⊂ C, справедливо неравенство
(r (B0, 0) · r (B∞,∞))
n2α
4 ·
n∏
k=1
m∏
p=1
rβ (Bk,2p−1, ak,2p−1) ·
n∏
k=1
m−1∏
p=1
rα (Bk,2p, ak,2p) ≤
≤
(n
4
)nα
·
(
1
2mn
)nm(α+β)
·
(
M
(
A
(1)
n,2m−1
))β
·
(
M
(
A
(2)
n,2m−1
))α
×
×
(
αα
|
√
α− 1||
√
α−1|2 |
√
α+ 1||
√
α+1|2
)mn
2
.
Равенство в этом неравенстве достигается, когда точки ak,p и области B0, B∞,
Bk,p являются, соответственно, полюсами и круговыми областями квадратич-
ного дифференциала (4).
3. Доказательства.
Доказательство теоремы 1. Сразу отметим, что из условия неналегания сле-
дует, что capC\D > 0 и множество D имеет обобщенную функцию Грина gD(z, a),
где gD(z, a) =
gD(a)(z, a), z ∈ D(a),
0, z ∈ C\D(a),
lim
ζ→z
gD(a)(ζ, a), ζ ∈ D(a), z ∈ ∂D(a)
– обобщенная функция Гри-
на множества D относительно точки a ∈ D, и gD(a)(z, a) – функция Грина области
D(a) относительно точки a ∈ D(a).
Далее, мы будем использовать методы работ [6, 7, 9]. Введем в рассмотрение
следующие множества E0 = C\D; U t = {w ∈ C : |w| 6 t} , ∆t =
{
w ∈ C : |w| > 1
t
}
,
E(ak,p, t) = {w ∈ C : |w − ak,p| 6 t}, k = 1, n, p = 1, 2m− 1, n > 3, n,m ∈ N,
t ∈ R+. Для достаточно малых t > 0 определим конденсатор
C (t, D, An,2m−1) =
{
E0, U t, ∆t, E1, E2
}
,
E1 =
n∪
k=1
m∪
p=1
E(ak,2p−1, t), E2 =
n∪
k=1
m−1∪
p=1
E(ak,2p, t). Емкостью конденсатора
C (t, D, An,2m−1) мы назовем величину (см. [5, 7])
capC (t, D, An,2m−1) = inf
∫ ∫ [
(G′
x)
2 + (G′
y)
2
]
dxdy,
где нижняя грань берется по всем непрерывным и липшицевым в C функциям
G = G(z), таким, что G
∣∣∣
E0
= 0, G
∣∣∣
E1
=
√
β, G
∣∣∣
E2
=
√
α, G
∣∣∣
Ut
= n
2
√
α, G
∣∣∣
∆t
= n
2
√
α.
Будем называть модулем конденсатора величину
|C| = [capC]−1 .
125
А. Л. Таргонский
Согласно теореме 1 [6] имеем
|C (t,D,An,2m−1) | =
1
2π
· 2
n (α (n+ 2m− 2) + 2mβ)
· log 1
t
+M(D,An,2m−1)+
+o(1), t→ 0, (5)
где
M(D,An,2m−1) =
1
2π
· 4
n2 · (α (n+ 2m− 2) + 2mβ)2
·
[αn2
4
log r(D, 0)+
+
αn2
4
log r(D,∞) +
αn2
2
gD(0,∞) + n
√
αβ
n∑
k=1
m∑
p=1
(gD(0, ak,2p−1) + gD(∞, ak,2p−1))+
+nα
n∑
k=1
m−1∑
p=1
(gD(0, ak,2p) + gD(∞, ak,2p)) + α
n∑
k=1
m−1∑
p=1
log r(D, ak,2p)+
+β
n∑
k=1
m∑
p=1
log r(D, ak,2p−1) + β
∑
(k,2p−1) ̸=(q,2s−1)
gD(ak,2p−1, aq,2s−1)+
+α
∑
(k,2p) ̸=(q,2s)
gD(ak,2p, aq,2s) + 2
√
αβ
∑
(k,2p)̸=(q,2s−1)
gD(ak,2p, aq,2s−1)
]
. (6)
Функция
zk(w) = (−1)k i · w
n
2 ,
реализует однолистное и конформное отображение области Pk на правую полу-
плоскость Rez > 0.
Тогда функция
ζk(w) :=
1− zk(w)
1 + zk(w)
(7)
отображает однолистно и конформно область Pk на единичный круг
U = {z : |z| ≤ 1}, k = 1, n.
Очевидно, что ζk (0) = 1, ζk (∞) = −1, k = 1, n.
Определим ω
(1)
k,p := ζk (ak,p), ω
(2)
k−1,p := ζk−1 (ak,p), an+1,p := a1,p, ω
(2)
0,p := ω
(2)
n,p,
ζ0 := ζn (k = 1, n, p = 1, 2m− 1).
Согласно формуле (7), получаем следующие асимптотические соотношения∣∣∣ζk(w)− ζk(ak,p)
∣∣∣ ∼ [ 2
n
· χ
(∣∣∣ak,p∣∣∣n2) |ak,p|
]−1
· |w − ak,p|,
w → ak,p, w ∈ P k.∣∣∣ζk−1(w)− ζk−1(ak,p)
∣∣∣ ∼ [ 2
n
· χ
(∣∣∣ak,p∣∣∣n2) |ak,p|
]−1
· |w − ak,p|,
126
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек...
w → ak,p, w ∈ P k−1, k = 1, n, p = 1, 2m− 1, (8)∣∣∣ζk(w)− 1
∣∣∣ ∼ 2|w|
n
2 , w → 0, w ∈ P k, k = 1, n∣∣∣ζk(w) + 1
∣∣∣ ∼ 2|w|−
n
2 , w → ∞, w ∈ P k, k = 1, n. (9)
Пусть, также, множество Ω
(1)
k,p является связной компонентой
ζk
(
D
∩
P k
)∪ (
ζk
(
D
∩
P k
))∗, содержащей точку ω
(1)
k,p, а Ω
(2)
k−1,p – связной компо-
нентой ζk−1
(
D
∩
P k−1
)∪ (
ζk−1
(
D
∩
P k−1
))∗, содержащей точку ω
(2)
k−1,p, k = 1, n,
p = 1, 2m− 1, P 0 := Pn,Ω
(2)
0,p := Ω
(2)
n,p. Отметим, что Ω
(s)
k,p вообще говоря, многосвяз-
ные области, k = 1, n, p = 1, 2m− 1, s = 1, 2. Пара областей Ω
(2)
k−1,p и Ω
(1)
k,p является
результатом кусочно-разделяющего преобразования открытого множестваD отно-
сительно семейства углов {Pk−1, Pk}, {ζk−1, ζk} в точке ak,p, k = 1, n, p = 1, 2m− 1.
Пусть Ω
(0)
k – связная компонента ζk
(
D
∩
P k
)∪ (
ζk
(
D
∩
P k
))∗, содержащая точку
1, k = 1, n; Ω
(∞)
k – связная компонента ζk
(
D
∩
P k
)∪ (
ζk
(
D
∩
P k
))∗, содержащая
точку −1, k = 1, n. Семейство областей
{
Ω
(0)
k
}n
k=1
является результатом кусочно-
разделяющего преобразования открытого множества D относительно семейства
углов {Pk}nk=1 и функций {ζk}nk=1 в точке w = 0, k = 1, n; семейство областей{
Ω
(∞)
k
}n
k=1
является результатом кусочно-разделяющего преобразования откры-
того множества D относительно семейства углов {Pk}nk=1 и функций {ζk}nk=1 в
точке w = ∞, k = 1, n.
Рассмотрим конденсаторы
Ck (t, D, An,2m−1) =
(
E
(k)
0 , U
(k)
t , ∆
(k)
t , E
(k)
1 , E
(k)
2
)
,
где
E(k)
s = ζk
(
Es
∩
P k
)∪[
ζk
(
Es
∩
P k
)]∗
,
U
(k)
t = zk
(
U t
∩
Pk
)∪{
zk
(
U t
∩
Pk
)}∗
,
∆
(k)
t = zk
(
∆t
∩
Pk
)∪{
zk
(
∆t
∩
Pk
)}∗
,
k = 1, n, s = 0, 1, 2, {Pk}nk=1 – система углов, соответствующая системе точек
An,2m−1. Пусть операция [A]∗, определяет множество A ⊂ C, симметричное мно-
жеству A относительно единичной окружности |w| = 1. Из этого следует, что
конденсатору C (t, D, An,2m−1), при кусочно-разделяющем преобразовании отно-
сительно углов {Pk}nk=1 и функций {ζk}nk=1, соответствует множество конденсато-
ров {Ck (t, D, An,2m−1)}nk=1, симметричных относительно {z : |z| = 1}. Согласно
результатам работ [6, 7, 9], получаем, что
capC (t,D,An,2m−1) >
1
2
n∑
k=1
capCk (t,D,An,2m−1) . (10)
127
А. Л. Таргонский
Отсюда следует, что
|C (t,D,An,2m−1) | 6 2
(
n∑
k=1
|Ck (t,D,An,2m−1) |−1
)−1
. (11)
Формула (5) выражает асимптотику модуля конденсатора C (t, D, An,2m−1)
при t → 0. Используя соотношения (8), (9) и тот факт, что множество D удо-
влетворяет условию неналегания относительно системы точек An,2m−1, для кон-
денсаторов Ck (t,D,An,2m−1), k = 1, n, мы получим аналогичные асимптотические
представления
|Ck (t,D,An,2m−1) | =
=
1
2π (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
log
1
t
+Mk (D,An,2m−1) + o(1), t→ 0, (12)
где
Mk (D,An,2m−1) =
1
2π (α (2m+ n− 2) + 2mβ)2
·
α log
r
(
Ω
(0)
k , 1
)
2
+
+β
m∑
p=1
log
r
(
Ω
(1)
k,2p−1, ω
(1)
k,2p−1
)
[
2
n · χ
(
|ak,2p−1|
n
2
)
|ak,2p−1|
]−1 + α
m−1∑
p=1
log
r
(
Ω
(1)
k,2p, ω
(1)
k,2p
)
[
2
n · χ
(
|ak,2p|
n
2
)
|ak,2p|
]−1+
+α log
r
(
Ω
(∞)
k ,−1
)
2
+ β
m∑
t=1
log
r
(
Ω
(2)
k,2t−1, ω
(2)
k,2t−1
)
[
2
n · χ
(
|ak+1,2t−1|
n
2
)
|ak+1,2t−1|
]−1+
+α
m−1∑
t=1
log
r
(
Ω
(2)
k,2t, ω
(2)
k,2t
)
[
2
n · χ
(
|ak+1,2t|
n
2
)
|ak+1,2t|
]−1
, k = 1, n.
С помощью (12), мы получаем
|Ck (t,D,An,2m−1)|−1 =
2π (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
log 1
t
×
×
(
1 +
2π (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
log 1
t
Mk (D,An,2m−1) + o
(
1
log 1
t
))−1
=
=
2π (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
log 1
t
−
(
2π (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
log 1
t
)2
Mk (D,An,2m−1)+
+o
( 1
log 1
t
)2
, t→ 0. (13)
128
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек...
Используя соотношение (13), имеем
n∑
k=1
|Ck (t,D,An,2m−1)|−1 =
2πn (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
log 1
t
−
−
(
2π (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
log 1
t
)2
·
n∑
k=1
Mk (D,An,2m−1) + o
( 1
log 1
t
)2
, t→ 0.
(14)
В свою очередь (14), позволяет получить следующее асимптотическое равен-
ство (
n∑
k=1
|Ck (t,D,An,2m−1)|−1
)−1
=
log 1
t
2πn (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
×
×
(
1− 2π (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
n log 1
t
·
n∑
k=1
Mk (D,An,2m−1) + o
(
1
log 1
t
))−1
=
=
log 1
t
2πn (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
+
1
n2
·
n∑
k=1
Mk (D,An,2m−1) + o(1), t→ 0. (15)
Неравенства, (10) и (11), принимая во внимания (5) и (15), дают возможность
заметить, что
1
π
· 1
n (α (n+ 2m− 2) + 2mβ)
· log 1
t
+M(D,An,2m−1) + o(1) 6
6
log 1
t
πn (α (2m+ n− 2) + 2mβ)
+
2
n2
·
n∑
k=1
Mk (D,An,2m−1) + o(1). (16)
Из соотношения (16), при t→ 0, мы получаем, что
M(D,An,2m−1) 6
2
n2
·
n∑
k=1
Mk (D,An,2m−1) . (17)
Используя формулы (6), (12) и (17) имеем, что
1
2π
· 4
n2 (α (n+ 2m− 2) + 2mβ)2
·
[αn2
4
log r(D, 0) +
αn2
4
log r(D,∞)+
+
αn2
2
gD(0,∞) + n
√
αβ
n∑
k=1
m∑
p=1
(gD(0, ak,2p−1) + gD(∞, ak,2p−1))+
+nα
n∑
k=1
m−1∑
p=1
(gD(0, ak,2p) + gD(∞, ak,2p)) + α
n∑
k=1
m−1∑
p=1
log r(D, ak,2p)+
129
А. Л. Таргонский
+β
n∑
k=1
m∑
p=1
log r(D, ak,2p−1) + β
∑
(k,2p−1) ̸=(q,2s−1)
gD(ak,2p−1, aq,2s−1)+
+α
∑
(k,2p) ̸=(q,2s)
gD(ak,2p, aq,2s) + 2
√
αβ
∑
(k,2p)̸=(q,2s−1)
gD(ak,2p, aq,2s−1)
]
≤
≤ 1
πn2 (α (2m+ n− 2) + 2mβ)2
·
n∑
k=1
α log
r
(
Ω
(0)
k , 1
)
2
+
+β
m∑
p=1
log
r
(
Ω
(1)
k,2p−1, ω
(1)
k,2p−1
)
[
2
n · χ
(
|ak,2p−1|
n
2
)
|ak,2p−1|
]−1 + α
m−1∑
p=1
log
r
(
Ω
(1)
k,2p, ω
(1)
k,2p
)
[
2
n · χ
(
|ak,2p|
n
2
)
|ak,2p|
]−1+
+α log
r
(
Ω
(∞)
k ,−1
)
2
+ β
m∑
t=1
log
r
(
Ω
(2)
k,2t−1, ω
(2)
k,2t−1
)
[
2
n · χ
(
|ak+1,2t−1|
n
2
)
|ak+1,2t−1|
]−1+
+α
m−1∑
t=1
log
r
(
Ω
(2)
k,2t, ω
(2)
k,2t
)
[
2
n · χ
(
|ak+1,2t|
n
2
)
|ak+1,2t|
]−1
Таким образом, получаем
(r (D, 0) · r (D,∞))
n2α
4 ·
n∏
k=1
m∏
p=1
rβ (D, ak,2p−1) ·
n∏
k=1
m−1∏
p=1
rα (D, ak,2p) ≤
≤
(n
4
)nα
·
(
2
n
)nm(β+α)
·
(
M
(
A
(1)
n,2m−1
))β
·
(
M
(
A
(2)
n,2m−1
))α
×
×
n∏
k=1
rα (Ω(0)
k , 1
)
·
m∏
p=1
rβ
(
Ω
(1)
k,2p−1, ω
(1)
k,2p−1
)
·
m−1∏
p=1
rα
(
Ω
(1)
k,2p, ω
(1)
k,2p
)
×
× rα
(
Ω
(∞)
k ,−1
)
·
m∏
t=1
rβ
(
Ω
(2)
k,2t−1, ω
(2)
k,2t−1
)
·
m−1∏
t=1
rα
(
Ω
(2)
k,2t, ω
(2)
k,2t
)] 1
2
.
Доказательство теоремы заканчивается аналогично доказательству теорема
3.3.3 [7]. �
Доказательство теоремы 2. В случае частично неналегающих областей, от-
крытое множество введенное соотношением (3), удовлетворяет условию (2). Тогда,
мы имеем
B0, Bk,p, B∞ ⊂ D, k = 1, n, p = 1, 2m− 1. (18)
130
Одна экстремальная задача на равноугольных системах точек...
Из (18), используя результаты работ [4, 5, 14], мы получаем
r (B0, 0) ≤ r (D, 0) , r (B∞,∞) ≤ r (D,∞) ,
r (Bk,p, ak,p) ≤ r (D, ak,p) , k = 1, n, p = 1, 2m− 1. (19)
Перемножая неравенства (19), можем сделать вывод, что
(r (B0, 0) · r (B∞,∞))
n2α
4 ·
n∏
k=1
m∏
p=1
rβ (Bk,2p−1, ak,2p−1) ·
n∏
k=1
m−1∏
p=1
rα (Bk,2p, ak,2p) ≤
≤ (r (D, 0) · r (D,∞))
n2α
4 ·
n∏
k=1
m∏
p=1
rβ (D, ak,2p−1) ·
n∏
k=1
m−1∏
p=1
rα (D, ak,2p) .
При этом, используя теорему 1, получаем окончательный результат. �
1. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. –
1934. – T. 5. – С. 159–245.
2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М: Наука,
1966. – 628 с.
3. Бахтина Г. П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о нена-
легающих областях: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. – К., 1975. – 11 с.
4. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении
// Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – T. 168. – С. 48–66.
5. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного пе-
ременною // Успехи мат. наук. – 1994. – T. 49, № 1(295). – С. 3–76.
6. Дубинин В. Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее приме-
нения // Зап. науч. сем. ПОМИ. – 1997. – T. 237. – С. 56–73.
7. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические структуры и
геометрические методы в комплексном анализе. // Працi iн-ту мат-ки НАН Укр. – 2008. –
Т. 73. – 308 с.
8. Бахтiн О. К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих мно-
жин // Укр. мат. журн. – 2009. – T. 61, № 5. – С. 596–610.
9. Дубинин В. Н. О квадратичных формах, порожденных функциями Грина и Робена // Мат.
сборник. – 2009. – T. 200, № 10. – С. 25–38.
10. Бахтин А. К.,Вьюн В.Е., Трохимчук Ю. Ю. Неравенства для внутренних радиусов нена-
легающих областей // Доп. НАН Украини. – 2007. – № 8. – С. 7–10.
11. Таргонский А. Л. Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой
сфере // Доп. НАН Украини. – 2008. – № 9. – С. 31–36.
12. Кузьмина Г. В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. науч. сем.
ПОМИ. – 2001. – T. 276. – С. 253–275.
13. Емельянов Е. Г. К задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов нена-
легающих областей // Зап. науч. сем. ПОМИ. – 2002. – T. 286. – С.103–114.
14. Хейман В. К. Многолистные функции. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
15. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. – М.: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
16. Таргонский А. Л., Таргонская И. И. Экстремальная задача для открытых множеств в случае
безконечно удаленной точки // Труды ИПММ НАН Украины. – 2015. – Т. 29. – С. 102–109.
17. Таргонський А. Л., Таргонська I. I. Одна екстремальна задача для функцiоналу другого
типу у випадку частинно-неперетинних областей // Аналiз та застосування. Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2015. – T. 12, № 3. – С. 236–242.
131
А. Л. Таргонский
18. Targonskii A., Targonskaya I. On the One Extremal Problem on the Riemann Sphere // Inter-
national Journal of Advanced Research in Mathematics. – 2016. – V. 4. – P. 1–7.
19. Targonskii A. Extremal problem (2n; 2m-1)-system points on the rays // An. St. Univ. Ovidius
Constanta. – 2016. – V. 24, № 2. – P. 283–299.
20. Targonskii A. On the One Extremal Problem with the Free Poles on the Unit circle // International
Journal of Advanced Research in Mathematics. – 2016. – V. 6. – P. 26–31.
A. L. Targonskii
One extremal problem on equiangular systems of points for partially non-overlapping
domains and open sets.
Results of this work are received in the well-known direction geometrical theory of functions of the
complex variable. It the direction is called – extremal problems on classes the non-overlapping domains.
Its beginning is necessary with classical work Lavrentyeva [1] in which, in particular, was put for the
first time also the task about work of conformal radiuses of two is solved non-overlapping domains.
This section geometric theory function complex variable is experienced by active development now. It
is possible to examine the main classical results in works [2]–[13]. Results it was succeeded to receive
the strengthening results of work [7] in this work.
Keywords: inner radius of domain, quadratic differential, piecewise-separating transformation, the
Green function, radial systems of points, logarithmic capacity, variational formula, non-overlapping
domains, open set, partially non-overlapping domains.
А.Л. Таргонський
Одна екстремальна задача на рiвнокутнiй системi точок.
Результати цiєї роботи отриманi у добре вiдомому напряму геометричної теорiї функцiй ком-
плексного змiнного – екстремальним задачам на класах неперетинних областей. Його початок
покладено з класичної роботи Лаврентьєва [1], у якiй, зокрема, вперше розв’язана задача о до-
бутку конформних радиусiв двох неперетинних областей. Зараз цей роздiл геометричної теорiї
функцiй комплексного змiнного перебуває у активному розвитку. Основнi класичнi результати
можно знайти у роботах [2]–[13]. Результати цiєї роботи посилюють деякi результати робiт [7].
Ключовi слова: внутрiшнiй радiус областi, квадратичний диференцiал, кусково-подiляюче
перетворення, функцiя Грiна, рiвнокутна система точок, логарифмiчна ємнiсть, варiацiйна
формула, неперетиннi областi, вiдкрита множина, частинно неперетиннi областi.
Житомирский государственный университет им. И. Франка,
Житомир
targonsk@zu.edu.ua
Получено 15.11.16
132
|