Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions”
Найдены достаточные условия регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным влиянием типа “іnterface condіtіons”. Построен обобщенный оператор Грина и найден вид линейного импульсного возмущения регуляризованой линейной краевой задачи...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140866 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” / С.М. Чуйко, А.С. Чуйко, М.В. Дзюба // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 143-154. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140866 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1408662018-07-18T01:23:26Z Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” Чуйко, С.М. Чуйко, А.С. Дзюба, М.В. Найдены достаточные условия регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным влиянием типа “іnterface condіtіons”. Построен обобщенный оператор Грина и найден вид линейного импульсного возмущения регуляризованой линейной краевой задачи типа “іnterface condіtіons”. Знайдено достатні умови регуляризації лінійної нетерової крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом типу “іnterface condіtіons”. Побудовано узагальнений оператор Гріна та знайдено вигляд лінійного імпульсного збурення регуляризованої лінійної крайової задачі типу “іnterface condіtіons”. Sufficient conditions for the regularization of a linear Fredholm boundary-value problem for system of ordinary differential equations with impulsive influence of type “interface conditions” are obtained. Generalized Green’s operator and the aspect of linear impulsive perturbation regularization of linear boundary-value problem of type “interface conditions” has been constructed. 2016 Article Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” / С.М. Чуйко, А.С. Чуйко, М.В. Дзюба // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 143-154. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140866 517.9 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Найдены достаточные условия регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным влиянием типа “іnterface condіtіons”. Построен обобщенный оператор Грина и найден вид линейного импульсного возмущения регуляризованой линейной краевой задачи типа “іnterface condіtіons”. |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, С.М. Чуйко, А.С. Дзюба, М.В. |
| spellingShingle |
Чуйко, С.М. Чуйко, А.С. Дзюба, М.В. Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Чуйко, А.С. Дзюба, М.В. |
| author_sort |
Чуйко, С.М. |
| title |
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” |
| title_short |
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” |
| title_full |
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” |
| title_fullStr |
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” |
| title_full_unstemmed |
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” |
| title_sort |
регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140866 |
| citation_txt |
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа “interface conditions” / С.М. Чуйко, А.С. Чуйко, М.В. Дзюба // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 143-154. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT čujkosm regulârizaciâlinejnojneterovojkraevojzadačipripomoŝiimpulʹsnogovozdejstviâtipainterfaceconditions AT čujkoas regulârizaciâlinejnojneterovojkraevojzadačipripomoŝiimpulʹsnogovozdejstviâtipainterfaceconditions AT dzûbamv regulârizaciâlinejnojneterovojkraevojzadačipripomoŝiimpulʹsnogovozdejstviâtipainterfaceconditions |
| first_indexed |
2025-07-10T11:25:57Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:25:57Z |
| _version_ |
1837259043618422784 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30
УДК 517.9
c⃝2016. С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ
ЗАДАЧИ ПРИ ПОМОЩИ ИМПУЛЬСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
ТИПА INTERFACE CONDITIONS
Найдены достаточные условия регуляризации линейной нетеровой краевой задачи для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным влиянием типа “interface conditions”.
Построен обобщенный оператор Грина и найден вид линейного импульсного возмущения регу-
ляризованой линейной краевой задачи типа “interface conditions”.
Ключевые слова: условия регуляризации, обобщенный оператор Грина, импульсное воздей-
ствие.
1. Постановка задачи.
Предположим линейную нетерову (m ̸= n) краевую задачу для системы обык-
новенных дифференциальных уравнений [1, 2]
dz(t)/dt = A(t)z(t) + f(t), ℓz(·) = α (1)
не разрешимой для произвольной непрерывной функции f(t) и произвольного век-
тора α ∈ Rm :
PQ∗
{
α− ℓK
[
f(s)
]
(·)
}
̸= 0, Q := ℓX0(·) ∈ Rm×n, rank Q := n1
в пространстве z(t) ∈ C1[a, b]. Здесь A(t) и f(t) — непрерывные по t на отрезке
[a, b] действительные функции,X0(t)− фундаментальная матрица однородной час-
ти дифференциальной системы (1), PQ∗ ∈ Rn×n — матрица-ортопроектор PQ∗ :
Rn → N(Q∗). Исследуем задачу о регуляризации [3, 4] краевой задачи (1) при
помощи импульсного воздействия [1, 2, 5, 6, 7, 8] В отличие от монографии [1]
и статьи [8] поставим задачу не об условиях разрешимости линейной нетеровой
краевой задачи (1) с фиксированным импульсным воздействием, а о нахождении
импульсного воздействия, которое бы гарантировало разрешимость этой задачи
для произвольной непрерывной функции f(t) и произвольного вектора α, а также
решения
z(t) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, i = 1, 2, ... , p, τi ∈ [a, b]
этой задачи. Линейный ограниченный векторный функционал
Lz(·) : C[a, b] → Rm
Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных
исследований. Номер государственной регистрации 0115U003182.
143
С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба
представим в виде
Lz(·) =
p∑
i=0
ℓiz(·), ℓ0z(·) : C[a, τ1] → Rm, ℓpz(·) : C[τp, b] → Rm,
ℓiz(·) : C[τi−1, τi[→ Rm, i = 1, 2, ... , p.
Таким образом, получаем краевую задачу с импульсным воздействием в фикси-
рованные моменты времени [5, 6, 7]
dz(t)/dt = A(t)z(t) + f(t), Lz(·) = α̌, (2)
где
Lz(·) : =
ℓ0z(·) + ℓ1z(·)
ℓ0z(·) + ℓ1z(·) + ℓ2z(·)
...........................................
ℓ0z(·) + ℓ1z(·) + ... + ℓpz(·)
=
0
0
...
α
:= α̌ .
Исследуем задачу о регуляризации краевой задачи (2) в пространстве [1]
z(t) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, a < τ1 < ... < τp < b.
Поставленная задача продолжает исследование условий регуляризации линейных
нетеровых краевых задач с импульсным воздействием, приведенных в монографии
[1, c. 248] и статье [8], причем, в отличие от статьи [9], регуляризация краевой
задачи происходит не при помощи вырожденного импульсного воздействия [10,
11, 12], а при помощи импульсного воздействия более общего вида [5, 6, 7].
2. Условия разрешимости задачи о регуляризации.
Обозначим матрицу
X(t) =
X0(t), t ∈ [a, τ1[,
X0(t− τ1), t ∈ [τ1, τ2[,
............... ................
X0(t− τp), t ∈ [τp, b] ,
где X0(t) — нормальная (X(a) = In) фундаментальная матрица однородной части
дифференциальной системы (1). Обозначим также матрицы
Θ :=
Q0 Q1 O ... O
Q0 Q1 Q2 ... O
... ... ... ... O
Q0 Q1 Q2 ... Qp
∈ Rp·m×n·(p+1), θ :=
θ0
...
θp
∈ Rn(p+1) ,
ортопроектор PΘ∗ : Rm → N(Θ∗), а также матрицы
Q0 := ℓ0X0(·) ∈ Rm×n, ... , Qp := ℓpX0(·) ∈ Rm×n.
144
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия
Общее решение
z(t) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
дифференциальной системы (2) представимо в виде
z(t, c) = X(t)c+K
[
f(s)
]
(t), t ∈ [a, b], t ̸= τi ∈ [a, b], c ∈ Rn,
где
K
[
f(s)
]
(t) := X0(t)
∫ t
0
X−1
0 (s)f(s)ds, t ∈ [a, b], t ̸= τi ∈ [a, b]
— обобщенный оператор Грина задачи Коши z(a) = c для дифференциальной
системы (2). Подставляя общее решение
z0(t, ci) = X(t) · ci =
X0(t) · c0, t ∈ [a, τ1[,
X0(t− τ1) · c1, t ∈ [τ1, τ2[,
............... ................
X0(t− τp) · cp, t ∈ [τp, b]
однородной части дифференциальной системы (2) в краевое условие (2) приходим
к уравнению Θ · θ = 0, общее решение которого
θ = PΘ · θ̌, θ̌ ∈ Rn(p+1);
здесь PΘ — ортопроектор: Rn(p+1) → N(Θ). Обозначим матрицу PΘr , составленную
из r ≤ n линейно независимых столбцов ортопроектора PΘ и матрицы
W0 := ( In O ... O ) · PΘr , ... , Wp := ( O O ... In ) · PΘr .
Таким образом, получаем общее решение
z0(t, cr) = Xr(t) · cr, cr ∈ Rr
однородной части краевой задачи (2), где
Xr(t) :=
X0(t) ·W0, t ∈ [a, τ1[,
X0(t− τ1) ·W1, t ∈ [τ1, τ2[,
............... ................
X0(t− τp) ·Wp, t ∈ [τp, b]
— фундаментальная матрица однородной части краевой задачи (2). Для решения
неоднородной краевой задачи (2) достаточно удовлетворить краевое условие
Lz(·) := ℓ0z(·) + ℓ1z(·) + ... + ℓpz(·) = α̌. (3)
145
С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба
Подставляя общее решение дифференциальной системы (2)
z(t, c) = X(t)c+K
[
f(s)
]
(t)
в краевое условие (3), приходим к уравнению
Q · c = α̌− LK
[
f(s)
]
(·), Q := Q(τ) := LX(·), τ := [ τ1, τ2, ... , τp ] ,
разрешимому тогда и только тогда, когда
PQ∗
{
α̌− LK
[
f(s)
]
(·)
}
= 0;
здесь PQ∗ — ортопроектор: Rm → N(Q∗).
3. Решение задачи о регуляризации.
Разрешимость краевой задачи (2) для произвольной непрерывной функции f(t)
и произвольного вектора α ∈ Rm гарантирует условие PQ∗ = 0, равносильное
уравнению
F(τ) := Q(τ) · Q+(τ) = Im (4)
относительно неизвестного вектора τ ∈ Rp. Заметим, что в критическом случае
(PQ∗ ̸= 0) уравнение (4) разрешимо лишь для фредгольмовой (m = n), либо недо-
определенной (m < n) краевой задачи (2). Действительно, предположим задачу
(2) переопределенной (m > n), при этом
rank Q(τ) · Q+(τ) ≤ rank Q(τ) = rank Q+(τ) ≤ n < m,
что противоречит равенству рангов левой и правой части уравнения (4). Уравне-
ние (4), в частности, разрешимо для фредгольмовой (m = n) краевой задачи (2)
при условии detQ(τ) ̸= 0, при этом существует по меньшей мере один вектор τ,
являющийся решением уравнения (4). Таким образом, доказано следующее усло-
вие регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного
воздействия.
Теорема. Если краевая задача (1) в классе z(t) ∈ C1[a, b] является не раз-
решимой для произвольной непрерывной функции f(t) и произвольного вектора
α ∈ Rm :
PQ∗
{
α− ℓK
[
f(s)
]
(·)
}
̸= 0,
то для каждого вектора τ ∈ Rp, являющегося решением уравнения (4), краевая
задача (2) в классе
z(t) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, p = min
j∈N
pj , max
0≤i≤pj
rank
[
Q(τ)
]
= m ≤ n
146
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия
имеет по меньшей мере одно решение
z(t, cr) = Xr(t)cr + G
[
f(s)
]
(t), t ∈ [a, b], t ̸= τi ∈ [a, b], cr ∈ Rr,
где
G
[
f(s)
]
(t) := X(t)Q+
{
α̌− LK
[
f(s)
]
(·)
}
+K
[
f(s)
]
(t)
— обобщенный оператор Грина в задаче о регуляризации при помощи импульсного
воздействия (2),
Xr(t) =
X0(t)W0, W0 = ( In O ... O ) · PΘr , t ∈ [a, τ1[,
X0(t− τ1)W1, W1 = ( O In ... O ) · PΘr , t ∈ [τ1, τ2[,
................. ...................................... ................
X0(t− τp)Wp, Wp := ( O O ... In ) · PΘr , t ∈ [τp, b]
— фундаментальная матрица однородной части задачи (2).
Пример 1. Условия доказанной теоремы выполняются для трехточечной за-
дачи
dz/dt = A(t)z + f(t), ℓz(·) :=M0z(−π) +M1z(0) +M2z(π) = α, α := 1, (5)
которая для произвольной непрерывной функции f(t) ∈ C[−π;π] не имеет реше-
ний в классе функций z(t) ∈ C1[−π;π]; в то же время в классе
z(t) ∈ C1
{
[−π;π] \ {τi}I
}
, τ1 := −π
2
, τ2 :=
π
2
трехточечная краевая задача с импульсным воздействием
dz/dt = A(t)z + f(t), t ̸= τ, Lz(·) :=M0z(−π) +M1z(0) +M2z(π) = α (6)
разрешима для произвольной непрерывной функции f(t) ∈ C[−π;π]; здесь
A(t) =
(
0 −1
1 0
)
, f(t) =
(
sin t
cos t
)
, M0 =M2 =
(
1 1
)
, M1 = 2M0.
Поскольку
X0(t) =
[
− cos t sin t
− sin t − cos t
]
, Q =
[
0 0
]
, PQ∗ = (1), PQ =
[
1 0
0 1
]
,
постольку в случае трехточечной задачи для дифференциального уравнения (5)
имеет место критический случай, при этом необходимое и достаточное условие су-
ществования гладкого решения в классе z(t) ∈ C1[−π;π] для произвольной непре-
рывной функции f(t) ∈ C[−π;π] не выполнено, в то же время в классе
z(t) ∈ C1
{
[−π;π] \ {τi}I
}
, τ1 := −π
2
, τ2 :=
π
2
147
С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба
трехточечная краевая задача с импульсным воздействием (6) разрешима для про-
извольной функции
f(t) ∈ C
{
[−π;π] \ {τi}I
}
.
В том же пространстве нормальная (X(−π) = X(−π
2 ) = X(π2 ) = I2) фундамен-
тальная матрица X(t) однородной части дифференциальной системы (5) прини-
мает вид
X(t) =
(
− cos t sin t
− sin t − cos t
)
, t ∈ [−π;−π
2 [,(
sin t cos t
− cos t sin t
)
, t ∈ [−π
2 ,
π
2 [,(
− sin t − cos t
cos t − sin t
)
, t ∈ [π2 , π].
Здесь
Q0 := ℓ0X0(·) =M0X0(−π) =
(
1 1
)
,
Q1 := ℓ1X0(·) =M1X0(0) =
(
−2 2
)
,
Q2 := ℓ2X0(·) =M2X0(π) =
(
−1 1
)
.
Для построения фундаментальной системы решений Xr(t) однородной части диф-
ференциальной системы (6) используем матрицу
Θ =
(
1 1 −2 2 0 0
1 1 −2 2 −1 1
)
,
ортопроектор
PΘ =
1
10
9 −1 2 −2 0 0
−1 9 2 −2 0 0
2 2 6 4 0 0
−2 −2 4 6 0 0
0 0 0 0 5 5
0 0 0 0 5 5
,
а также матрицу, составленную из двух линейно независимых столбцов последнего
ортопроектора
PΘr =
1
10
2 0
2 0
6 0
4 0
0 5
0 5
.
Поскольку PQ∗ = 0; постольку неоднородная задача (6), регуляризованная при
помощи импульсного воздействия, разрешима для произвольной функции f(t);
здесь
Q =
[
−2 4
]
.
148
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия
При этом трехточечная краевая задача с импульсным воздействием (6), регуля-
ризованная при помощи импульсного воздействия имеет однопараметрическое се-
мейство решений
z(t, cr) = Xr(t)cr + G
[
f(s)
]
(t), t ∈ [−π;π], t ̸= τ1 = −π
2
, t ̸= τ2 =
π
2
, cr ∈ R2,
где
Xr(t) =
1
5
(
− cos t+ sin t 0
− cos t− sin t 0
)
, t ∈ [−π;−π
2 [,
1
5
(
2 cos t+ 3 sin t 0
−3 cos t+ 2 sin t 0
)
, t ∈ [−π
2 ;
π
2 [,
1
2
(
0 − cos t− sin t
0 cos t− sin t
)
, t ∈ [π2 ;π]
— фундаментальная матрица однородной части трехточечной краевой задачи с
импульсным воздействием (6),
G
[
f(s), α
]
(t) =
1
10
[
cos t+ 2 sin t
−2 cos t+ 11 sin t
]
, t ∈
[
−π;−π
2
[
,
G
[
f(s), α
]
(t) =
1
10
[
2 cos t− sin t
cos t+ 12 sin t
]
, t ∈
[
−π
2
;
π
2
[
,
G
[
f(s), α
]
(t) =
1
10
[
−2 cos t+ sin t
− cos t+ 8 sin t
]
, t ∈
[π
2
;π
]
— обобщенный оператор Грина в задаче о регуляризации при помощи импульсного
воздействия (5).
Уравнение (4) в частности разрешимо для фредгольмовой (m = n) периодиче-
ской задачи
dz(t)/dt = A(t)z(t) + f(t), ℓz(·) := z(0)− z(T ) = 0, (7)
при этом любое 0 < τ < T является решением уравнения (4). Таким образом,
доказано следующее условие регуляризации линейной нетеровой краевой задачи
при помощи импульсного воздействия.
Следствие. Если краевая задача (7) в классе z(t) ∈ C1[0;T ] является не раз-
решимой для произвольной непрерывной функции f(t) :
PQ∗ℓK
[
f(s)
]
(·) ̸= 0,
то для каждого 0 < τ < T краевая задача (7) в классе
z(t) ∈ C1
{
[0, T ] \ {τ}I
}
149
С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба
имеет по меньшей мере одно решение
z(t, cr) = Xr(t)cr + G
[
f(s)
]
(t), t ∈ [0;T ], t ̸= τ, cr ∈ Rr,
где
G
[
f(s)
]
(t) := K
[
f(s)
]
(t)−X(t)Q−1LK
[
f(s)
]
(·)
— обобщенный оператор Грина в задаче о регуляризации при помощи импульсного
воздействия периодической задачи (7),
Xr(t) =
{
X0(t)W0, W0 = ( In O ) · PΘr , t ∈ [0, τ [,
X0(t− τ1)W1, W1 = ( O In ) · PΘr , t ∈ [τ, T ]
— фундаментальная матрица однородной части задачи (7).
Пример 2. Условия доказанного следствия выполняются для периодической
задачи
dz/dt = A(t)z + f(t), ℓz(·) := z(0)− z(2π) = 0, (8)
которая для произвольной непрерывной функции f(t) ∈ C[0, 2π] не имеет решений
в классе функций z(t) ∈ C1[0; 2π]; в то же время в классе
z(t) ∈ C1
{
[0, 2π] \ {τ}I
}
, τ := π
периодическая краевая задача с импульсным воздействием
dz/dt = A(t)z + f(t), t ̸= τ, Lz(·) := z(0)− z(2π) = 0 (9)
разрешима для произвольной непрерывной функции f(t) ∈ C[0, 2π]; здесь
A(t) :=
0 0 −1 1 1
0 0 0 −1 −1
1 −1 0 1 0
0 1 0 0 −1
0 0 0 0 1
.
Поскольку
X0(t) =
cos t t sin t − sin t t cos t t cos t
0 cos t 0 − sin t − sin t
sin t −t cos t cos t t sin t t sin t
0 sin t 0 cos t −et + cos t
0 0 0 0 et
,
150
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия
постольку
Q =
0 0 0 −2π −2π
0 0 0 0 0
0 2π 0 0 0
0 0 0 0 −1 + e2π
0 0 0 0 1− e2π
,
при этом
PQ∗ =
1
2
0 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
̸= 0,
следовательно, в случае периодической задачи (8) имеет место критический слу-
чай, при этом необходимое и достаточное условие существования гладкого реше-
ния в классе z(t) ∈ C1[0, 2π] для произвольной функции f(t) ∈ C[0, 2π] не выпол-
нено, в то же время в классе
z(t) ∈ C1
{
[0, 2π] \ {τ}I
}
, τ := π
периодическая краевая задача с импульсным воздействием (9) разрешима для про-
извольной функции
f(t) ∈ C1
{
[0, 2π] \ {τ}I
}
.
Действительно, нормальная (X(0) = X(π) = I5) фундаментальная матрица X(t)
однородной части дифференциальной системы с импульсным воздействием (9)
X(t) =
{
X0(t), t ∈ [0;π[,
X0(t− π), t ∈ [π, 2π]
определяет равенство PQ∗ = 0, где
Q =
2 0 0 π π
0 2 0 0 0
0 −π 2 0 0
0 0 0 2 1 + eπ
0 0 0 0 1− eπ
.
Для построения фундаментальной системы решений Xr(t) однородной части диф-
ференциальной системы (6) используем матрицу
Θ =
1 0 0 0 0 1 0 0 π π
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 −π 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 + eπ
0 0 0 0 1 0 0 0 0 −eπ
.
151
С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба
Здесь Q0 = I5, кроме того
Q1 =
1 0 0 π π
0 1 0 0 0
0 −π 1 0 0
0 0 0 1 1 + eπ
0 0 0 0 −eπ
.
При этом периодическая краевая задача, регуляризованная при помощи импульс-
ного воздействия (9) имеет единственное (PQ = 0) решение z(t) = G[f(s)](t) для
произвольной непрерывной функции f(t) ∈ C[0, 2π]; положим, к примеру,
f(t) :=
sin t
cos t
sin t
cos t
sin t
,
при этом, для t ∈ [0, π[ :
G
[
f(s), 0
]
(t) =
=
1
4
(2 + π + t)((π + t) cos t+ (2π − 1 + 2t) sin t)
2(π + t)(2 cos t− sin t)
−(2π2 + t(3 + 2t) + π(3 + 4t)) cos t+ (3 + π2 + 2t+ t2 + 2π(1 + t)) sin t
2(eπ+t + (1 + π + t) cos t+ 2(1 + π + t) sin t)
2(−eπ+t − cos t− sin t)
и при t ∈ [π; 2π] :
G
[
f(s), 0
]
(t) =
=
1
4
(−2 + π − t)((π − t) cos t+ (2π + 1− 2t) sin t)
−2(π − t)(2 cos t− sin t)
(2π2 − t(3 + 2t) + π(3 + 4t)) cos t+ (3 + π2 + 2t+ t2 − 2π(1 + t)) sin t
2(e−π+t + (1− π + t) cos t+ 2(1− π + t) sin t)
2(−e−π+t − cos t− sin t)
— обобщенный оператор Грина в задаче о регуляризации при помощи импульсного
воздействия (9).
В отличие от статьи [9] задача о регуляризации линейной краевой задачи при
помощи импульсного воздействия решена конструктивно, причем получены доста-
точные условия существования решения уравнения (4).
Предложенная в статье техника регуляризации линейной нетеровой краевой
задачи при помощи импульсного воздействия может быть аналогично [13–15] пе-
ренесена на матричные краевые задачи для систем обыкновенных дифференци-
альных уравнений, а также аналогично [16, 17] — на матричные дифференци-
ально-алгебраические краевые задачи. С другой стороны, полученные в статье
152
Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия
результаты могут быть аналогично [18] перенесены на матричные краевые задачи
для систем интегро-дифференциальных уравнений, а также, аналогично [19] — на
матричные краевые задачи в абстрактных пространствах.
В заключение, считаем своим долгом от всего сердца поблагодарить члена-
корреспондента НАН Украины Владимира Яковлевича Гутлянского за постоян-
ное внимание и поддержку, а также поздравить его с замечательным юбилеем и
пожелать плодотворной работы, новых творческих идей, осуществления всех за-
мыслов, душевной гармонии и оптимизма. Пусть накопленный жизненный опыт и
мудрость поможет Вам достичь новых высот.
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value
problems (2-th edition). — Berlin; Boston: De Gruyter, 2016. — 298 p.
2. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздей-
ствием. — К.: Вища школа, 1987. — 287 с.
3. Азбелев Н. В., Максимов Н. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 277 с.
4. Крейн С. Г.Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
5. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц.
уравнения. — 2001. — T. 37, № 8. — С. 1132–1135.
6. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Доклады
Академии Наук. — 2001. — T. 379, № 2. — С. 170–172.
7. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с пе-
реключениями // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — T. 10, № 1. — C. 51–65.
8. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Бифуркация решений импульсной краевой задачи // Нелiнiйнi
коливання. — 2008. — T. 11, № 1. — С. 21–31.
9. Чуйко С. М. О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожден-
ного импульсного воздействия // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — T. 16, № 1. — C. 133–145.
10. Бойчук А. А., Чуйко С. М., Чуйко Е. В. Слабонелинейные краевые задачи с импульсным
воздействием типа "interface conditions"// Нелiнiйнi коливання. — 2000. — T. 3, № 3. —
С. 291–296.
11. Бойчук А. А., Чуйко Е. В., Чуйко С. М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи
с вырожденным импульсным воздействием // Укр. мат. журн. — 1996. — T. 48, № 5. —
С. 588–594.
12. Чуйко С. М., Чуйко Е. В. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воз-
действием // Доповiдi НАНУ. — 1999. — № 6. — С. 43–47.
13. BoichukA. A., Krivosheya S. A. A Critical Periodic Boundary Value Problem for a Matrix Riccati
Equations // Differential Equations. – 2001. – V. 37, № 4. – P. 464–471.
14. Chuiko S. M. Generalized Green Operator of Noetherian boundary-value problem for matrix
differential equation // Russian Mathematics. — 2016. — V. 60, № 8. — P. 64–73.
15. Chuiko S. Weakly nonlinear boundary value problem for a matrix differential equation // Miskolc
Mathematical Notes. — 2016. — V. 17, № 1. — P. 139–150.
16. Chuiko S. M. A generalized matrix differential-algebraic equation // Journal of Mathematical
Sciences (N.Y.). — 2015. — V. 210, № 1. — P. 9– 21.
17. Chuiko S. M. The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary
value problem // Siberian Mathematical Journal. — 2015. — V. 56, № 4. — P. 752–760.
18. SamoilenkoA. M., BoichukA. A., Krivosheya S. A. Boundary value problems for systems of
integro-differential equations with Degenerate Kernel // Ukrainian Mathematical Journal. — 1996.
— V. 48, № 11. — P. 1785–1789.
153
С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба
19. ЧуйкоС. М. Линейная краевая задача для матричного дифференциального уравнения / О
семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университе-
те // Дифференц. уравнения. — 2016. — T. 52, № 11. — C. 157–1579.
S. M. Chuiko, A. S. Chuiko, M. V. Dziuba
Regularization of linear Fredholm boundary-value problem for system of ordinary diffe-
rential equations of impulsive influence of type “interface conditions” .
Sufficient conditions for the regularization of a linear Fredholm boundary-value problem for system
of ordinary differential equations with impulsive influence of type “interface conditions” are obtained.
Generalized Green’s operator and the aspect of linear impulsive perturbation regularization of linear
boundary-value problem of type “interface conditions” has been constructed.
Keywords: conditions for the regularization, generalized Green’s operator, impulsive perturbation.
С. М. Чуйко, О. С. Чуйко, М. В. Дзюба
Регуляризацiя лiнiйної нетерової крайової задачi за допомогою iмпульсного впливу
типу “interface conditions”.
Знайдено достатнi умови регуляризацiї лiнiйної нетерової крайової задачi для системи звичай-
них диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом типу “interface conditions”. Побудовано уза-
гальнений оператор Грiна та знайдено вигляд лiнiйного iмпульсного збурення регуляризованої
лiнiйної крайової задачi типу “interface conditions”.
Ключовi слова: умови регуляризацiї, оператор Грiна, iмпульсний вплив.
Донбасский государственный педагогический университет,
Слaвянск
chujko-slav@inbox.ru
Получено 04.10.16
154
|