Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики
Построены аналитические решения одного уравнения гидродинамики и получены их представления в виде действительнозначных компонент от некоторых функций со значениями в двумерной коммутативной алгебре....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140867 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики / В.С. Шпаковский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 155-164. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-140867 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1408672018-07-18T01:23:22Z Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики Шпаковский, В.С. Построены аналитические решения одного уравнения гидродинамики и получены их представления в виде действительнозначных компонент от некоторых функций со значениями в двумерной коммутативной алгебре. Побудовано аналітичні розв’язки одного рівняння гідродинаміки та отримано представлення цих розв’язків у вигляді дійснозначних компонент від деяких функцій зі значеннями в двовимірній комутативній алгебрі. We construct analytic solutions of one equation of hydrodynamics. We obtain representations of mentioned solutions in the form of real-valued components of some functions taking values in a twodimensional commutative algebra. 2016 Article Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики / В.С. Шпаковский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 155-164. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140867 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Построены аналитические решения одного уравнения гидродинамики и получены их представления в виде действительнозначных компонент от некоторых функций со значениями в двумерной коммутативной алгебре. |
| format |
Article |
| author |
Шпаковский, В.С. |
| spellingShingle |
Шпаковский, В.С. Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Шпаковский, В.С. |
| author_sort |
Шпаковский, В.С. |
| title |
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики |
| title_short |
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики |
| title_full |
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики |
| title_fullStr |
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики |
| title_full_unstemmed |
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики |
| title_sort |
гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/140867 |
| citation_txt |
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики / В.С. Шпаковский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2016. — Т. 30. — С. 155-164. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT špakovskijvs giperkompleksnoepredstavlenieanalitičeskihrešenijodnogouravneniâgidrodinamiki |
| first_indexed |
2025-07-10T11:26:05Z |
| last_indexed |
2025-07-10T11:26:05Z |
| _version_ |
1837259051832967168 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2016. Том 30
УДК 517.5
c⃝2016. В. С. Шпаковский
ГИПЕРКОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ
РЕШЕНИЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
Построены аналитические решения одного уравнения гидродинамики и получены их представле-
ния в виде действительнозначных компонент от некоторых функций со значениями в двумерной
коммутативной алгебре.
Ключевые слова: уравнение гидродинамики, аналитические решения, двумерная коммута-
тивная ассоциативная алгебра.
1. Введение.
Методы комплексного и гиперкомплексного анализа зачастую являются удоб-
ным инструментом для представления решений уравнений и систем уравнений в
частных производных. Этот подход предполагает выполнение следующих взаимо-
связанных этапов [1]:
1) нахождение подходящей коммутативной (или некоммутативной) алгебры;
2) нахождение процедуры построения решений заданного уравнения (системы
уравнений) в частных производных;
3) описание классов тех решений заданного уравнения (системы уравнений),
которые могут быть построены предложенной процедурой.
Так, например, каждая гармоническая функция может быть представлена в ви-
де действительнозначной компоненты от некоторой аналитической функции ком-
плексного переменного. Здесь алгебра — это алгебра комплексных чисел, проце-
дура — взятие действительной или мнимой части, и класс решений — любая гар-
моническая функция.
Подобный подход реализован для построения решений трехмерного уравнения
Лапласа (см. [2, 3, 4]), бигармонического уравнения (см. [5, 6]) и эллиптического
уравнения с вырождением на оси, которое описывает осесимметричные потенци-
альные поля (см. [3]). В работе [7] этапы 2) – 3) приведенной выше схемы реали-
зованы для любого линейного уравнения в частных производных с постоянными
коэффициентами у которого производные во всех слагаемых одного и того же
порядка. Кроме того, в работе [1] с использованием гиперкомплексных представ-
лений описаны аналитические решения следующей системы уравнений
∆2u(x, y)− ∂v(x, y)
∂x
= 0, ∆v(x, y) +
∂u(x, y)
∂x
= 0,
где ∆ := ∂2
∂x2
+ ∂2
∂y2
— двумерный оператор Лапласа, которая применяется в моде-
лировании эффектов приливного торможения в системе Сатурна (см. [8]).
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Украины (проект №
0116U001528).
155
В. С. Шпаковский
В данной работе описанный выше подход реализован для линейного уравне-
ния в частных производных третьего порядка, связанного с известными моделями
гидродинамики.
Рассмотрим следующую систему уравнений гидродинамики в лагранжевых ко-
ординатах
Vt(t, x)− ux(t, x) = 0, ut(t, x) + px(t, x) = 0, (1)
p(t, x) = a− bV (t, x)− τpt(t, x) , a, b > 0, (2)
где V (t, x), u(t, x), p(t, x) — объем, скорость и давление, соответственно, τ — вре-
мя релаксации, и приняты обозначения Vt(t, x) := ∂V/∂t и т. д. Уравнения (1)
являются, соответственно, законами сохранения массы и импульса и имеют доста-
точно общий характер. Система уравнений движения (1) замыкается уравнением
состояния среды (2), несущее информацию о конкретной модели гидродинамики,
о свойствах среды.
Следует отметить, что динамическое уравнение состояния (2) является част-
ным случаем модели Кельвина–Фойгта [9, c. 31] линейной вязкоупругой среды и
используется при описании волновых процессов в грунтах и горных породах при
малых нагрузках.
Уравнение состояния, подобное уравнению (2), рассматривалось также в ра-
боте [10], где изучались автомодельные решения одной общей системы уравнений
гидродинамики.
Отметим, что система уравнений (1)–(2) при достаточной дифференцируемо-
сти функций V , u, p сводится к уравнению
D[V ](t, x) := Vttt(t, x) + αVtt(t, x)− βVxx(t, x) = 0, (3)
где α := 1/τ > 0, β := b/τ > 0. Структура решений уравнения (3) является
основным объектом исследования данной статьи.
В этой работе с помощью коммутативной алгебры, изоморфной алгебре двой-
ных чисел, описаны все полиномиальные и аналитические решения уравнения (3).
2. Полиномиальные решения.
Опишем здесь все полиномиальные решения уравнения (3) в виде действитель-
нозначных компонент от гиперкомплексных функций. Итак, пусть D(α, β) — ком-
мутативная ассоциативная алгебра над полем действительных чисел R с базисом
{1, e}, причем e2 = α/β. Пусть ζ := t + xe , где t, x ∈ R. Число t =: Re ζ назовем
действительной частью елемента ζ, а число x =: Im ζ — его мнимой частью. Заме-
тим, что алгебра D(α, β) изоморфна алгебре двойных чисел (cм., например, [11]) с
базисом {1, j}, j2 = 1 и при этом e ↔
√
α
β j. Пусть z := t+ xj, где t, x ∈ R. Тогда,
имея, например, представление степенной функции
zn = (t+ xj)n =
[n/2]∑
k=0
C2k
n t
n−2kx2k + j
[(n−1)/2]∑
k=0
C2k+1
n tn−2k−1x2k+1,
156
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики
пользуясь изоморфизмом, получаем
ζn = (t+ xe)n =
[n/2]∑
k=0
C2k
n
(α
β
)k
tn−2kx2k + e
[(n−1)/2]∑
k=0
C2k+1
n
(α
β
)k
tn−2k−1x2k+1 . (4)
Согласно [12, c. 21] любое аналитическое решение уравнения (3) может быть
представлено в виде
V (t, x) =
∞∑
k=0
x2k
(2k)!
Mk[f(t)] +
∞∑
k=0
x2k+1
(2k + 1)!
Mk[g(t)] , (5)
гдеM :=
1
β
∂3
∂t3
+
α
β
∂2
∂t2
,Mk[·] =M
[
Mk−1[·]
]
, а f(t) и g(t) — произвольные бесконеч-
но дифференцируемые функции, при условии, что ряды в равенстве (5) сходятся.
Очевидно, что для получения решений в виде полиномов степени n достаточно в
качестве функции f принять полином n-й степени, а в качестве функции g — поли-
ном (n−1)-й степени. А также вместо рядов в равенстве (5) рассмотреть конечные
суммы. Таким образом, имеем
Qn(t, x) =
[n/2]∑
k=0
x2k
(2k)!
Mk
[
n∑
m=0
amt
m
]
+
[(n−1)/2]∑
k=0
x2k+1
(2k + 1)!
Mk
[
n−1∑
m=0
bmt
m
]
. (6)
Поскольку оператор Mk линейный, т. е. Mk
[
n∑
m=0
amt
m
]
=
n∑
m=0
amM
k[tm], то ра-
венство (6) переписывается в виде
Qn(t, x) =
n∑
m=0
am
[n/2]∑
k=0
x2k
(2k)!
Mk[tm] +
n−1∑
m=0
bm
[(n−1)/2]∑
k=0
x2k+1
(2k + 1)!
Mk[tm]. (7)
Так как Mk[tm] = 0 при k > [m/2], то полиномиальные решения (7) приобретают
вид
Qn(t, x) =
n∑
m=0
amR̃m(t, x) +
n−1∑
m=0
bm
˜̃
Rm(t, x), (8)
где
R̃m(t, x) :=
[m/2]∑
k=0
x2k
(2k)!
Mk[tm],
˜̃
Rm(t, x) :=
[m/2]∑
k=0
x2k+1
(2k + 1)!
Mk[tm]. (9)
Приходим к выводу, что все решения уравнения (3) в виде полиномов степени
n являются линейными комбинациями решений вида (9). Рассмотрим вспомога-
тельное утверждение.
Лемма. Справедливы равенства
1. R̃m(t, x) =
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[Re(ζm)] ; (10)
157
В. С. Шпаковский
2.
˜̃
Rm(t, x) =
1
m+ 1
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[
Im(ζm+1)
]
. (11)
Доказательство. Докажем соотношение (10) пользуясь равенством (4). Мы
имеем
R̃m(t, x) =
[m/2]∑
k=0
x2k
(2k)!
Mk[tm] = tm+
x2
2!
{
α
β
m(m−1)tm−2+
1
β
m(m−1)(m−2)tm−3
}
+
+
x4
4!
{
α2
β2
(tm)(4) + 2
α
β2
(tm)(5) +
1
β2
(tm)(6)
}
+
+
x6
6!
{
α3
β3
(tm)(6) + 3
α2
β3
(tm)(7) + 3
α
β3
(tm)(8) +
1
β3
(tm)(9)
}
+
+
x8
8!
{
α4
β4
(tm)(8) + 4
α3
β4
(tm)(9) + 6
α2
β4
(tm)(10) + 4
α
β4
(tm)(11) +
1
β4
(tm)(12)
}
+ · · ·
· · ·+ x2[m/2]
α[m/2]
β[m/2]
. (12)
Суммируя первые слагаемые во всех фигурных скобках равенства (12), полу-
чим значение
[m/2]∑
k=0
C2k
m
(α
β
)k
tm−2kx2k. Сравнивая последнее выражение с формулой
(4), получаем
[m/2]∑
k=0
C2k
m
(α
β
)k
tm−2kx2k = Re (ζm).
Теперь суммируя вторые слагаемые во всех фигурных скобках равенства (12),
получим сумму
1
1!
[m/2]∑
k=1
C2k
m k(m− 2k)
αk−1
βk
tm−2k−1x2k =
1
1!
∂2
∂t∂α
[Re (ζm)] .
Поступая аналогичным образом с третьеми слагаемыми в фигурных скобках ра-
венства (12), получаем такую сумму
1
2!
[m/2]∑
k=2
C2k
m k(k − 1)(m− 2k)(m− 2k − 1)
αk−2
βk
tm−2k−2x2k =
1
2!
∂4
∂t2∂α2
[Re (ζm)] .
Продолжая этот процесс суммирования [m/3] + 1 раз, получим [m/3] + 1 ра-
венство, сложив которые, убеждаемся в справедливости равенства (10). Подобным
образом доказывается равенство (11). �
158
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики
Теорема 1. Все полиномы степени n, являющиеся решениями уравнения (3),
могут быть представлены в виде действительной части функции
Qn(ζ) = M̃n[Pn(ζ)], (13)
где M̃n :=
[n/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
, Pn(ζ) :=
n∑
m=0
dmζ
m, dm := am + β
αcme, am, cm ∈ R.
Доказательство. Очевидным следствием равенства (8) и леммы является ра-
венство
Qn(t, x) = Qn(ζ) =
n∑
m=0
am
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[Re(ζm)]+
+
n−1∑
m=0
bm
m+ 1
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[
Im(ζm+1)
]
=
n∑
m=0
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[amRe(ζ
m)]+
+
n−1∑
m=0
[m+1
3
]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[
bm
m+ 1
Im(ζm+1)
]
. (14)
При этом во второй сумме равенства (14) мы прибавили некоторое число слагае-
мых вида 1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[
bm
m+1 Im(ζm+1)
]
при k = [m+1
3 ], тождественно равных нулю при
всех m = 0, 1, . . . , n − 1 таких, что [m+1
3 ] ̸= [m3 ]. Переобозначая bm
m+1 =: cm+1 при
m = 0, 1, . . . , n− 1 и учитывая, что Im(ζ0) = 0, имеем
Qn(ζ) =
n∑
m=0
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[Re(amζ
m)] +
n∑
m=0
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[Im(cmζ
m)] .
Далее, принимая во внимание очевидное тождество
Im(ζm) =
β
α
Re(e ζm) (15)
имеем
Qn(ζ) =
n∑
m=0
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[
Re
((
am +
β
α
cme
)
ζm
)]
=
=
n∑
m=0
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
[Re (dmζ
m)] = Re
n∑
m=0
[m/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
dmζ
m
,
где dm := am + β
α cme. Изменим порядок суммирования:
Qn(ζ) = Re
[n/3]∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
(
n∑
m=3k
dmζ
m
) . (16)
159
В. С. Шпаковский
Для завершения доказательства достаточно заметить, что
∂2k
∂tk∂αk
(dmζ
m) = 0
при m < 3k, поэтому соотношению (16) можно придать вид (13). �
Подобным до теоремы 1 образом доказывается следующее утверждение: все
полиномиальные решения уравнения (3) могут быть получены в виде мнимой
части функции (13).
Для этого вместо равенства (15) нужно использовать равенство
Re(ζm) = Im(e ζm). (17)
При этом коэффициенты dm будут определяться равенствами dm := ame+ cm.
Заметим, что имея явную формулу (4) для ζm, несложно выписать функцию
(13) для сколь угодно больших значений n.
Из теоремы 1 очевидным образом вытекает следующее утверждение.
Следствие. Действительная и мнимая части функции M̃n[ζ
n] удовлетворя-
ют уравнению (3).
Примеры. 1. Функция
ζ3 =
(
t3 + 3
α
β
tx2
)
+
(
3t2x+
α
β
x3
)
e
порождает следующие решения уравнения (3):
Q3(ζ) = M̃3
[
ζ3
]
= ζ3 +
∂2
∂α∂t
ζ3 =
(
t3 + 3
α
β
tx2 +
3
β
x2
)
+
(
3t2x+
α
β
x3
)
e ,
т. е.,
V3,1(t, x) = Re
(
Q3(ζ)
)
= t3+3
α
β
tx2+
3
β
x2, V3,2(t, x) = Im
(
Q3(ζ)
)
= 3t2x+
α
β
x3.
Также их линейная комбинация
a1V3,1(t, x) + a2V3,2(t, x) ∀ a1, a2 ∈ R
удовлетворяет уравнению (3).
2. Функции
ζ6 =
(
t6 + 15
α2
β2
t2x4 + 15
α
β
t4x2 +
α3
β3
x6
)
+
(
6t5x+ 20
α
β
t3x3 + 6
α2
β2
tx5
)
e
соответствует функция
Q6(ζ) = M̃6
[
ζ6
]
= ζ6 +
∂2
∂α∂t
ζ6 +
1
2!
∂4
∂α2∂t2
ζ6 =
=
(
t6 + 15
α2
β2
t2x4 + 15
α
β
t4x2 +
α3
β3
x6 +
60
β
t3x2 + 60
α
β2
tx4 +
30
β2
x4
)
+
160
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики
+
(
6t5x+ 20
α
β
t3x3 + 6
α2
β2
tx5 +
10
β
t2x3 + 2
α
β2
x5
)
e ,
которая порождает такие решения уравнения (3):
V6,1(t, x) = Re
(
Q6(ζ)
)
=
= t6 + 15
α2
β2
t2x4 + 15
α
β
t4x2 +
α3
β3
x6 +
60
β
t3x2 + 60
α
β2
tx4 +
30
β2
x4,
V6,2(t, x) = Im
(
Q6(ζ)
)
= 6t5x+ 20
α
β
t3x3 + 6
α2
β2
tx5 +
10
β
t2x3 + 2
α
β2
x5.
2.1. Собственные функции оператора D.
Используя аналог формулы Эйлера в двойных числах (см., например, [13,
c. 96])
ez = et+xj = etchx+ jetshx (18)
и изоморфизм алгебр {1, j} и D(α, β), получаем формулу Эйлера в алгебре D(α, β):
eζ = et+xe = etch
√
α
β
x+ e
√
β
α
et sh
√
α
β
x. (19)
Путем непосредственной проверки получаем следующее утверждение.
Теорема 2. Действительная и мнимая части функции eζ являются соб-
ственными функциями оператора D.
3. Аналитические решения.
В этом пункте описываются все аналитические решения уравнения (3), которые
будут представлены в трех эквивалентных формах.
Функцию одной или нескольких действительных переменных называют ана-
литической, если в некоторой окрестности каждой точки ее области определения
она представляется в виде суммы своего ряда Тейлора.
Определим постоянные ak,m следующими рекуррентными соотношениями:
i) am,0 , am,1 — произвольные действительные числа при всех m = 0, 1, 2, . . . ,
ii) am,k+2 =
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)
β(k + 1)(k + 2)
am+3,k +
α(m+ 1)(m+ 2)
β(k + 1)(k + 2)
am+2,k ,
m = 0, 1, . . . , k = 2, 3, . . . .
(20)
Соотношения (20) позволяют вычислить все постоянные am,k в следующей пооче-
редности: a0,2, a1,2, a0,3, a2,2, a1,3, a0,4, a3,2, a2,3, a4,2, a1,4, a3,3, a0,5, a4,2, a3,3, a5,2,
a2,4 и т. д.
Теорема 3. Сходящийся в области Q ⊂ R2 степенной ряд
V (t, x) =
∞∑
m,k=0
am,k t
mxk (21)
161
В. С. Шпаковский
является решением уравнения (3) в области Q тогда и только тогда, когда его
коэффициенты удовлетворяют условиям (20).
Доказательство. Подставим функцию (21) в уравнение (3):
∞∑
m,k=0
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)am+3,k t
mxk + α
∞∑
m,k=0
(m+ 1)(m+ 2)am+2,k t
mxk−
−β
∞∑
m,k=0
(k + 1)(k + 2)am+2,k t
mxk = 0.
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при соответствующих степе-
нях tmxk, имеем равенство
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)am+3,k + α(m+ 1)(m+ 2)am+2,k − β(k + 1)(k + 2)am+2,k = 0.
Теперь выражая am+2,k , получаем второе из условий (20), где для определенно-
сти считаем am,0 , am,1 произвольными действительными числами при всех m =
0, 1, 2, . . . (т. е. первое из условий (20)). �
Далее покажем, что при условиях теоремы 3 решение (21) может быть пред-
ставлено в виде (5).
Теорема 4. Пусть сходящийся в области Q ⊂ R2 степенной ряд (21) с ко-
эффициентами вида (20) является решением уравнения (3) в Q. Тогда функция
(21) представима в виде (5) с f(t) =
∞∑
m=0
am,0 t
m, g(t) =
∞∑
m=0
am,1t
m.
Доказательство. Во-первых, заметим, что сходимость рядов для функций f
и g вытекает из сходимости двойного ряда (21) (см., например, [14, c. 379]). Во-
вторых, представим двойной ряд (21) в виде повторного ряда:
V (t, x) =
∞∑
m,k=0
am,k t
mxk =
∞∑
m=0
am,0 t
m + x
∞∑
m=0
am,1t
m + x2
∞∑
m=0
am,2t
m + · · · . (22)
Сходящийся ряд
∞∑
m=0
am,0 t
m обозначим через f(t), а сходящийся ряд
∞∑
m=0
am,1t
m —
через g(t) и с помощью соотношений (20) выразим остальные ряды из равенства
(22) через эти два. Мы имеем
∞∑
m=0
am,2t
m =
∞∑
m=0
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)
2β
am+3,0t
m+
∞∑
m=0
α(m+ 1)(m+ 2)
2β
am+2,0t
m =
=
1
2!
(
1
β
f ′′′(t) +
α
β
f ′′(t)
)
=
1
2!
M [f(t)]; (23)
∞∑
m=0
am,3t
m =
∞∑
m=0
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)
2 · 3 · β
am+3,1t
m+
∞∑
m=0
α(m+ 1)(m+ 2)
2 · 3 · β
am+2,1t
m =
162
Гиперкомплексное представление аналитических решений одного уравнения гидродинамики
=
1
3!
(
1
β
g′′′(t) +
α
β
g′′(t)
)
=
1
3!
M [g(t)]; (24)
∞∑
m=0
am,4t
m =
∞∑
m=0
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)
3 · 4 · β
(
(m+ 4)(m+ 5)(m+ 6)
2β
am+6,0+
+
α(m+ 4)(m+ 5)
2β
am+5,0
)
tm +
∞∑
m=0
α(m+ 1)(m+ 2)
3 · 4 · β
×
×
(
(m+ 3)(m+ 4)(m+ 5)
2β
am+5,0 +
α(m+ 3)(m+ 4)
2β
am+4,0
)
tm =
=
1
4!
(
1
β2
f (6)(t) + 2
α
β2
f (5)(t) +
α2
β2
f (4)(t)
)
=
1
4!
M2[f(t)]; (25)
и т. д.
Следствием тождеств (22) – (25) и т. д. является равенство
V (t, x) = f(t) + xg(t) +
x2
2!
M [f(t)] +
x3
3!
M [g(t)] +
x4
4!
M2[f(t)] +
x5
5!
M2[g(t)] + · · · =
=
∞∑
k=0
x2k
(2k)!
Mk[f(t)] +
∞∑
k=0
x2k+1
(2k + 1)!
Mk[g(t)].
�
Следствием теоремы 4 и леммы является еще одно представление аналитиче-
ского решения.
Теорема 5. Пусть сходящийся в области Q ⊂ R2 степенной ряд (21) с ко-
эффициентами вида (20) является решением уравнения (3) в Q. Тогда функция
(21) может быть представлена в виде действительной части функции
M̃∞[P (ζ)], (26)
где M̃∞ :=
∞∑
k=0
1
k!
∂2k
∂tk∂αk
, P (ζ) :=
∞∑
m=0
dmζ
m, dm ∈ D(α, β).
Благодарности. Выражаю искреннюю благодарность С. И. Скуратовскому,
обратившему мое внимание на возможность изучения решений уравнения (3), и
за обсуждение результатов.
1. Плакса С. А. Аналитические решения одной системы эллиптических уравнений // Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. — 2012. — T. 9, № 2. — С. 292– 306.
2. Мельниченко И. П. О представлении моногенными функциями гармонических отображений
// Укр. мат. журн. — 1975. — T. 27, № 5. — С. 606–613.
3. Мельниченко И. П., Плакса С. А. Коммутативные алгебры и пространственные потенциаль-
ные поля. — К.: Ин-т математики НАН Украины, 2008. — 230 с.
4. Плакса С. А., Шпаковский В. С. Конструктивное описание моногенных функций в гармони-
ческой алгебре третьего ранга // Укр. мат. журн. — 2010. — T. 62, № 8. — С. 1078–1091.
163
В. С. Шпаковский
5. Ковалев В. Ф., Мельниченко И. П. Бигармонические функции на бигармонической плоско-
сти // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1981. — № 8. — С. 25–27.
6. Грищук С. В., Плакса С. А. Моногенные функции в бигармонической алгебре // Укр. мат.
журн. — 2009. — T. 61, № 12. — С. 1587–1596.
7. Shpakivskyi V. S. Constructive description of monogenic functions in a finite-dimensional commu-
tative associative algebra // Adv. Pure Appl. Math. — 2016. — V. 7, № 1. — P. 63–75.
8. Самойленко Ю. И. Эффекты приливного торможения в системе Сатурна // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. — 2006. — T. 3, № 4. — С. 431–454.
9. Ляхов Г. М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. — М.: Наука, 1982. —
288 с.
10. Danylenko V. A., Sorokina V. V., Vladimirov V. A. On the governing equations in relaxing media
models and self-similar quasiperiodic solutions // J. Phys. A: Math. Gen. – 1993. – V. 26. –
P. 7125–7135.
11. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с.
12. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравненимм математической физики. — М.: Физ-
матлит, 2001. — 576 с.
13. Boccaletti D. etc. The mathematics of Minkowski space-time and an introduction to commutative
hypercomplex numbers. — Springer, 2006. — 181 p.
14. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.–Л.: Госте-
хизд, 1948. — Т. 2. — 860 с.
V. S. Shpakivskyi
Hypercomplex representation of analytic solutions of one equation of hydrodynamics.
We construct analytic solutions of one equation of hydrodynamics. We obtain representations of
mentioned solutions in the form of real-valued components of some functions taking values in a two-
dimensional commutative algebra.
Keywords: equation of hydrodynamics, analytic solutions, two-dimensional commutative associative
algebra.
В. С. Шпакiвський
Гiперкомплексне предсталення аналiтичних розв’язкiв одного рiвняння гiдродина-
мiки.
Побудовано аналiтичнi розв’язки одного рiвняння гiдродинамiки та отримано представлення цих
розв’язкiв у виглядi дiйснозначних компонент вiд деяких функцiй зi значеннями в двовимiрнiй
комутативнiй алгебрi.
Ключовi слова: рiвняння гiдродинамiки, аналiтичнi розв’язки, двовимiрна комутативна асо-
цiативна алгебра.
Ин-т математики НАН Украины, Киев
shpakivskyi86@gmail.com
Получено 15.11.16
164
|